球的表面积及体积计算公式
球的体积与表面积
例2：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。求 ：圆柱的底面直径与高都等于球的直径。 ：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积； 证：（ ）球的表面积等于圆柱的侧面积； （2）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。 ）球的表面积等于圆柱全面积的三分之二。
R O A
一个几何体的各面与另一个几何体的 各面都相切，称这两个几何体相切。 各面都相切，称这两个几何体相切。
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 2.如图，正方体ABCD的棱长为a,它的各 如图 ABCD a, 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。 个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球， 分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知， 体都是中心对称图形可知，它们中心重 则正方体对角线与球的直径相等。 合，则正方体对角线与球的直径相等。
O A
O′
R ∵O′O = , ∆ABC是正三角形， 是正三角形， 2
则O′落在∆ABC的中心
C
∴ O′A =
2 2 3 •高 = 3 3
B
已知过球面上三点A、 、 的截面到球心 的截面到球心O的距离 例３:已知过球面上三点 、B、C的截面到球心 的距离 已知过球面上三点 等于球半径的一半， 等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积， ２ ，求球的体积， 表面积． 表面积．
2
B
正 正方体与球 方 问题： 的接切问题： 体 设正方体棱长为a， 设正方体棱长为 ， 的 外 球的半径为Ｒ。 球的半径为Ｒ。 接 球
D1 C1 B1
•
D1 A1
•O1
C1 B1
D A B
C
D1B = 2 R =
3a
球体的表面积和体积计算
球体的表面积和体积计算球体是一种简单而常见的几何图形，它具有很多独特的性质和特点。
在数学和物理学中，计算球体的表面积和体积是一个基本而重要的问题。
在本文中，我们将介绍如何准确计算球体的表面积和体积。
一、球体的表面积计算公式要计算球体的表面积，我们可以使用以下公式：S = 4πr²其中，S表示球体的表面积，π是圆周率（约为3.14159），r是球体的半径。
这个公式的推导过程较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作由无数微小的面元组成，每个面元都是一个微小的圆形。
球体的表面积就是这些微小圆形的面积之和。
而每个微小圆形的半径都等于球体的半径r，因此我们可以将每个微小圆形的面积表示为πr²。
最后，将所有的微小圆形面积之和即得到了球体的表面积。
二、球体的体积计算公式要计算球体的体积，我们可以使用以下公式：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是圆周率，r是球体的半径。
这个公式的推导也较为复杂，我们可以简单解释一下。
我们可以将球体看作无数个微小的圆柱体叠加而成。
每个微小圆柱体的体积可以表示为πr²h，其中h是圆柱体的高度，也就是球体半径r对应的微小圆柱体的高度。
由于球体是各向同性的，每个微小圆柱体的高度都等于r。
因此，我们将微小圆柱体的体积表示为πr²r，即πr³。
最后将所有微小圆柱体的体积之和即得到了球体的体积。
三、实例应用假设我们需要计算一个半径为5cm的球体的表面积和体积。
根据上述公式，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 计算表面积：S = 4πr²= 4 × 3.14159 × 5²≈ 314.159 cm²2. 计算体积：V = (4/3)πr³= (4/3) × 3.14159 × 5³≈ 523.599 cm³因此，半径为5cm的球体的表面积约为314.159 cm²，体积约为523.599 cm³。
球体体积和表面积的公式
球体体积和表面积的公式球体是一种几何体，具有独特的性质和特征。
在数学中，对于球体的体积和表面积有着严格的计算公式。
本文将对球体的体积和表面积进行介绍，并详细解释其计算公式。
一、球体的体积公式球体的体积是指球体所占据的空间大小。
我们可以通过计算球体的体积来了解其大小和容量。
球体的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 表示球体的半径。
通过这个公式，我们可以方便地计算出球体的体积。
例如，如果一个球体的半径r为5厘米，则可以使用上述公式计算出其体积V为(4/3)π(5³) ≈ 523.6立方厘米。
二、球体的表面积公式球体的表面积是指球体外部的总面积。
我们可以通过计算球体的表面积来了解其外部曲面的大小和形状。
球体的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于 3.14159，r表示球体的半径。
通过这个公式，我们可以方便地计算出球体的表面积。
例如，如果一个球体的半径r为5厘米，则可以使用上述公式计算出其表面积A为4π(5²) ≈ 314.16平方厘米。
三、球体的体积和表面积的关系通过球体的体积公式和表面积公式，我们可以看出，球体的体积和表面积之间存在一定的关系。
具体而言，当半径r固定时，球体的体积和表面积是不同的。
体积与r³成正比，而表面积与r²成正比。
这意味着，当半径增大时，球体的体积和表面积都会增大；当半径减小时，球体的体积和表面积都会减小。
这一关系可以通过计算公式得到验证。
四、应用举例球体的体积和表面积公式在实际生活中有着广泛的应用。
以下是一些具体的举例：1. 建筑领域：在建筑设计中，设计师需要计算球形穹顶的体积和表面积，以确保其结构的稳定性和合理性。
2. 化学实验：在化学实验中，需要计算球形试剂瓶中所装液体的体积，以便准确调配实验药液。
球体的面积公式和体积公式
球体的面积公式和体积公式球体是我们身边最常见的几何体之一，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
在研究球体时，我们会常用到球体的面积公式和体积公式，它们分别是：球体的面积公式：$4πr^2$，其中r为球体的半径。
球体的体积公式：$\frac{4}{3}πr^3$，其中r为球体的半径。
这两个公式是研究球体时必须掌握的基本公式，下面我们将详细讲解它们的含义和应用。
球体的面积公式球体的面积公式是指球体表面积的计算公式。
在生活中，我们经常会用到这个公式，比如计算篮球、足球等球体的表面积。
球体的面积公式为：$4πr^2$，其中r为球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的平面元素，然后对这些平面元素的面积进行累加求和，最终得到球体的表面积。
由于球体具有旋转对称性，因此可以通过旋转体积公式得到。
球体的面积公式也可以用于计算球冠的表面积。
球冠是由一个平面截过球体而得到的，因此球冠的表面积就是球体表面积的一部分，可以通过球体面积公式进行计算。
球体的体积公式球体的体积公式是指球体的体积计算公式。
在生活中，我们也会经常用到这个公式，比如计算篮球、足球等球体的体积。
球体的体积公式为：$\frac{4}{3}πr^3$，其中r为球体的半径。
这个公式的推导可以通过将球体划分为无数个微小的立体元素，然后对这些立体元素的体积进行累加求和，最终得到球体的体积。
由于球体具有旋转对称性，因此可以通过旋转体积公式得到。
球体的体积公式也可以用于计算球冠的体积。
球冠是由一个平面截过球体而得到的，因此球冠的体积就是球体体积的一部分，可以通过球体体积公式进行计算。
结语球体是一个非常重要的几何体，它在数学、物理、化学等领域中都有广泛的应用。
通过掌握球体的面积公式和体积公式，我们可以更加方便地计算球体的表面积和体积，进而应用到实际生活中。
计算圆球的体积与表面积的公式及应用
计算圆球的体积与表面积的公式及应用圆球是数学中一个重要的几何形体，它具有很多特殊的性质和应用。
在我们的日常生活中，我们经常会遇到需要计算圆球的体积和表面积的情况。
本文将介绍计算圆球体积和表面积的公式，并结合实际应用进行说明。
一、圆球的体积公式圆球的体积是指圆球所占据的空间大小，可以用体积来衡量。
圆球的体积公式如下：V = (4/3)πr³其中，V表示圆球的体积，π表示圆周率，r表示圆球的半径。
例如，如果一个圆球的半径是5厘米，那么它的体积可以通过以下计算得到：V = (4/3)π(5³) ≈ 523.6立方厘米所以，该圆球的体积约为523.6立方厘米。
二、圆球的表面积公式圆球的表面积是指圆球外部所有表面的总面积，可以用表面积来衡量。
圆球的表面积公式如下：A = 4πr²其中，A表示圆球的表面积，π表示圆周率，r表示圆球的半径。
例如，如果一个圆球的半径是5厘米，那么它的表面积可以通过以下计算得到：A = 4π(5²) ≈ 314.16平方厘米所以，该圆球的表面积约为314.16平方厘米。
三、圆球体积和表面积的应用1. 包装设计在包装设计中，我们常常需要计算物品的体积和表面积，以确定合适的包装尺寸。
例如，如果我们要设计一个圆球形的礼品盒，我们就需要计算出礼品的体积，然后选择合适大小的盒子。
同样地，我们还需要计算出盒子的表面积，以确定包装材料的用量。
2. 气球充气在生日派对或其他庆祝活动中，我们常常会使用气球来装饰场地。
如果我们知道气球的体积和表面积，那么我们就可以根据需要来计算所需的气体量和充气时间。
这样可以确保气球充满气体并保持适当的大小。
3. 建筑设计在建筑设计中，圆球的体积和表面积也是非常重要的。
例如，在设计一个球形建筑物时，我们需要计算出建筑物的体积，以确定所需的建筑材料和成本。
同时，我们还需要计算出建筑物的表面积，以确定外墙的装饰材料和维护成本。
总结：通过本文的介绍，我们了解了计算圆球体积和表面积的公式，并且了解了这些公式在实际应用中的重要性。
球体的体积与表面积计算
球体的体积与表面积计算球体是一种具有特殊形状的几何体，具有很多有趣的性质。
其中最基本的性质就是它的体积和表面积，而这两个数值的计算也是球体的基本问题之一。
本文将就球体的体积与表面积的计算方法进行详细的介绍。
一、球体的体积计算球体的体积表示了球体所包含的三维空间的大小。
下面介绍两种常见的球体体积计算方法。
1. 球体体积计算公式根据数学原理，球体的体积可以通过以下公式进行计算：V = 4/3 * π * r^3其中，V表示球体的体积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r 是球体的半径。
2. 球体体积计算实例假设有一个球体，其半径为5厘米，我们可以利用上述公式进行计算：V = 4/3 * 3.14159 * 5^3≈ 523.599厘米^3所以，该球体的体积约为523.599厘米^3。
二、球体的表面积计算球体的表面积表示了球体外部所覆盖的曲面的大小。
下面介绍两种常见的球体表面积计算方法。
1. 球体表面积计算公式根据数学原理，球体的表面积可以通过以下公式进行计算：A = 4 * π * r^2其中，A表示球体的表面积，π是一个数学常数，约等于3.14159，r是球体的半径。
2. 球体表面积计算实例假设有一个球体，其半径为5厘米，我们可以利用上述公式进行计算：A = 4 * 3.14159 * 5^2≈ 314.159厘米^2所以，该球体的表面积约为314.159厘米^2。
结语通过以上的介绍，我们可以得知，球体的体积和表面积计算并不复杂，只需要了解相应的计算公式，即可准确计算出结果。
在实际应用中，球体的体积和表面积计算常常被用于建筑、工程、数学等领域，具有广泛的应用前景。
以上就是本文关于球体的体积与表面积计算的介绍。
希望本文能够对读者有所帮助，并对球体的性质有更深入的了解。
如有任何疑问或错误之处，请指正。
球的体积与表面积计算
球的体积与表面积计算球是一种常见的几何体，具有独特的特性和性质。
其中，球的体积和表面积是最为重要的参数之一。
本文将介绍球的体积和表面积计算公式，并通过具体的案例进行详细解析。
1. 球的体积计算球的体积定义为球内部所有点构成的点集的总体积。
为了计算球的体积，我们需要知道球的半径。
定义：球的半径是从球心(中心点)到球面上的任意一点的距离。
球的体积计算公式为：V = (4/3)πr³其中，V表示球的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
举例说明：假设球的半径为5cm，我们可以利用球的体积计算公式计算出球的体积。
V = (4/3)πr³≈ (4/3) × 3.14159 × 5³≈ (4/3) × 3.14159 × 125≈ 523.5988 cm³所以，球的半径为5cm时，它的体积约为523.5988 cm³。
2. 球的表面积计算球的表面积定义为球表面所覆盖的总面积。
为了计算球的表面积，我们同样需要知道球的半径。
球的表面积计算公式为：A = 4πr²其中，A表示球的表面积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示球的半径。
举例说明：假设球的半径为5cm，我们可以利用球的表面积计算公式计算出球的表面积。
A = 4πr²≈ 4 × 3.14159 × 5²≈ 4 × 3.14159 × 25≈ 314.159 cm²所以，球的半径为5cm时，它的表面积约为314.159 cm²。
综上所述，本文介绍了球的体积和表面积的计算方法。
通过运用相应的公式，我们可以轻松计算出球的体积和表面积。
这些计算对于解决与球形物体相关的问题非常有帮助，例如在建筑设计、物理学、工程学等领域中。
需要注意的是，在实际应用中，球形物体的半径可能以不同的单位给出，因此在计算时需要确保所有数值的单位保持一致。
球体表面积和体积的公式
球体表面积和体积的公式一、球体表面积公式。
1. 公式内容。
- 球体的表面积公式为S = 4π r^2，其中S表示球体的表面积，r表示球的半径，π是圆周率，通常取3.14。
2. 公式推导（高中阶段了解）- 可以通过对球体进行无限分割，将球体表面分割成无数个小的曲面三角形。
利用极限的思想，当分割得足够细时，这些小曲面三角形的面积之和就近似等于球体的表面积。
- 从数学分析的角度，利用球坐标变换等高等数学方法可以严格推导出这个公式。
3. 应用示例。
- 例：已知一个球的半径r = 5厘米，求这个球的表面积。
- 解：根据球体表面积公式S = 4π r^2，将r = 5代入公式，可得S=4×3.14×5^2=4×3.14×25 = 314（平方厘米）。
二、球体体积公式。
1. 公式内容。
- 球体的体积公式为V=(4)/(3)π r^3，其中V表示球体的体积，r表示球的半径，π是圆周率，通常取3.14。
2. 公式推导（高中阶段了解）- 可以使用祖暅原理（等积原理）来推导球体体积公式。
将一个半球体与一个底面半径和高都等于球半径r的圆柱体挖去一个底面半径和高都为r的圆锥体进行对比，利用祖暅原理可知它们的体积相等，从而推导出球体体积公式。
- 从高等数学角度，也可以通过三重积分等方法进行推导。
3. 应用示例。
- 例：已知球的半径r = 3厘米，求这个球的体积。
- 解：根据球体体积公式V = (4)/(3)π r^3，将r = 3代入公式，可得V=(4)/(3)×3.14×3^3=(4)/(3)×3.14×27 = 113.04（立方厘米）。
圆球的表面积公式和体积公式
圆球的表面积公式和体积公式
圆球的表面积公式和体积公式是指一个圆球的表面积和体积可以用统一的公式来计算，它是几何数学中最重要的几何体之一，广泛应用于生活中。
一般来说，圆球是一种近似球形的物体，它的表面是圆形的，其中只有一个中心点，中心点到表面的距离称为半径r。
根据三角函数的基本性质可知，一个圆的面积和周长都可以用圆的半径r来表示。
因此，圆球的表面积S和体积V可以分别用下面的公式来计算：
圆球的表面积公式：S=4πr²
圆球的体积公式：V=4/3πr³
其中，S表示圆球的表面积，V表示圆球的体积，r表示圆球的半径，π表示圆周率（取值为
3.1415926……）。
同时，我们也可以用另一种方法来计算圆球的表面积S和体积V，即把圆球看作由多个小圆块组成的。
这样，我们可以用如下的公式来计算圆球的表面积S和体积V：圆球的表面积公式：S=2πr(h+r)
圆球的体积公式：V=(4/3)πr³
其中，h表示圆球的高度，r表示圆球的半径，π表示圆周率（取值为3.1415926……）。
此外，圆球的表面积S和体积V也可以通过立体几何的原理来计算。
例如，我们可以把圆球看作由三棱锥和六棱柱组成的，并利用三棱锥和六棱柱的体积公式来计算圆球的表面积S和体积V。
总之，圆球的表面积S和体积V可以用多种方法来计算，从最常见的公式法到更复杂的几何原理法，只要能正确的把握公式和原理，就可以很容易的计算出圆球的表面积S和体积V。
球面积公式和体积公式
球面积公式和体积公式
球面积公式和体积公式是非常重要的数学公式，在很多地方有着广泛的应用，它们已经成为了数学家们求解问题的重要手段。
球面积公式是用来计算球的表面积的，它表达的是球面所占的平面积，它的公式为：S=4πr2，其中S是球面积，r是球的半径。
这个公式可以用来计算任何大小的球的表面积，只要知道球的半径就可以计算出球的表面积。
体积公式是用来计算球的体积的，它表示的是球体所占的空间体积，它的公式为：V=4/3πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。
这个公式也可以用来计算任何大小的球的体积，只要知道球的半径就可以计算出球的体积。
球面积公式和体积公式能够让我们快速准确地计算出球的表面积和体积，它们不仅仅可以用于常见的球体，在物理学中，用它们也可以计算其他类型的球体，比如圆形的星球和行星等。
球面积公式和体积公式也可以应用于其他领域，比如建筑学、化学和工程等。
在建筑学中，它们可以用来计算柱体和圆顶的表面积和体积；在化学中，它们可以用来计算溶液体积；在工程中，它们可以用来计算金属材料的体积。
球面积公式和体积公式是非常重要的数学公式，它们在很多领域都
有广泛的应用，是数学家们求解问题的重要手段。
球的表面积体积公式
球的表面积体积公式球的表面积体积公式是有关球体物理学上最基本的几何概念之一。
它指的是由一个定义在三维空间中的球所围成的外形，拥有一个完整的表面，并且拥有一个确定的体积。
由于球体的特殊性，它们可以被用来描述很多自然界中的物体，例如地球、月球、火星、行星、星云等，而球的表面积体积公式可以用来计算它们的表面积和体积。
球的表面积体积公式是由法国数学家拉格朗日在1700年代提出的，它表示球体的表面积S和它的体积V的关系，即:S=4πR² (1) V= 4/3πR³ (2)其中R为球的半径。
从数学角度来看，球的表面积体积公式的推导是基于变分原理的：假设存在一个球体的表面，其体积为V，这时将该球体的表面分割成许多小的正方体，每个小正方体的体积都相同，假设为dV，那么该球体的表面积S就可以写成以下形式：S=∫dS = ∫n dS (3)其中n表示正方体的数量，dS为每个正方体的表面积，分析可知，dS可表示为：dS = 6dV (4)将（3）式代入（4）式，可得：S=6∫dV (5)现在，要求求得球体的表面积，只需要求得该球体的体积，将其代入（5）式即可。
接下来，要求得球体的体积V，可以采取积分的方法：V=∫dV (6)将球体的半径R代入（6）式，可得：V=∫R²sinθdφdθ (7)将（7）式积分，可得：V= 4/3πR³ (8)将（8）式代入（5）式，可得：S=4πR² (9)将（9）式代入（1）式，可得：S=4πR² (10)由此可见，球的表面积体积公式S=4πR²和V=4/3πR³是由变分原理推导出来的，其中R为球的半径，π为常数π，它们可以用来计算球体的表面积和体积。
球的表面积和体积
球的表面积和体积1．球的表面积公式：S球面＝4πR2(R为球半径) 2．球的体积公式：V球＝43πR3(R为球半径)球的表面积和体积的计算过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为12π cm2，试求此球的表面积．若截面不过球的半径的中点，而是过半径上与球心距离为1的点，且截面与此半径垂直，若此截面的面积为π，试求此球的表面积和体积．球的表面积及体积的应用一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在此容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？有关球的切、接问题求棱长为a的正四面体P—ABC的外接球，内切球的体积．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体各条棱都相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积．基础训练1．若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于( )A.12B．1C．2 D．32．用过球心的平面将一个球平均分成两个半球，则两个半球的表面积是原来整球表面积的________倍．3．过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48π cm 2，试求此球的表面积和体积．4．正方体的表面积与其外接球表面积的比为( )A ．3∶π B．2∶πC．1∶2π D．1∶3π5．(2013·温州高一检测)长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A ．25π B．50πC．125π D．都不对4．把3个半径为R 的铁球熔成一个底面半径为R 的圆柱，则圆柱的高为( )A ．RB ．2RC ．3RD ．4R6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2 7．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是________cm.提高训练．1.一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径是 （ ）A ．3或8B ．8或11C ．5或8D ．3或112.已知A 、B 、C 是球O 的球面上三点，三棱锥O ABC -的高为22,且ABC ∠=60º ，AB =2， BC =4，则球O 的表面积为( )A ． 24π B.32π C. 48π D.192π3.一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．π3C ．π2D ．π4. 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（ ）A .5πB .12πC .20πD .8π6.【江西省抚州市临川一中2015届高三10月月考】已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A ． 18B ．36C ． 45D ． 547.【浙江省重点中学协作体2015届第一次适应性训练】一几何体的三视图如右图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ． 4πB ．π3C ．π2D ．π8.【山西省大同市2015届高三学情调研测试】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2a πB. 237a πC. 2311a π D. 25a π9.【四川省成都实验外国语高2015届高三11月月考】某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )A .3πB .π4C .π2D .π2510. 【全国高考新课标（I ）理】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A 、500π3cm 3 B 、866π3cm 3 C 、1372π3cm 3 D 、2048π3cm 311. 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125 12.在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 1 4R D. 1 3R13. 一个平面截一个球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离是4，则该球的体积是 .14.三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一球面上，其中ABC ∆是正三角形，PA ⊥平面ABC ，26PA AB ==，则该球的体积是 .15.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是16. 四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 _ ．17. 过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．19. 【改编自浙江高考题】已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，求球O 的体积.20. 【改编自山东高考题】在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，求三棱锥P-DCE 的外接球的体积.21. 一个正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，五个顶点都在同一个球面上，求此球的表面积.22. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，求这个球的半径．。
球体的表面积公式及性质
球体的表面积公式及性质
球的表面积计算公式：球的表面积=4πr^2（r为球半径），球的体积计算公式:V球=(4/3)πr^3（r为球半径）。
推导过程
球体表面积公式S(球面)=4πr^2
运用第一数学归纳法：把一个半径为R的球的上半球横向切成n 份，每份等高
并且把每份看成一个圆柱，其中半径等于其底面圆半径
则从下到上第k个圆柱的侧面积S(k)=2πr(k)×h
其中h=R/n，r(k)=√[R^2;-﹙kh^2;]=2πR^2;×√[1/n^2;-(k/n^2)^2;]
则S(1)+S(2)+……+S(n)当n取极限（无穷大）的时候，半球表面积就是2πR^2;
球体乘以2就是整个球的表面积4πR^2;
球体性质
用一个平面去截一个球，截面是圆面。
球的截面有以下性质：1球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆。
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离。
球的体积表面积计算公式
球的体积表面积计算公式
一、球的体积公式。
1. 公式内容。
- 设球的半径为r，球的体积V = (4)/(3)π r^3。
2. 推导（简单介绍，人教版高中教材有详细推导过程）
- 推导球的体积公式可以使用祖暅原理。
将半球的体积与一个底面半径和高都为r的圆柱挖去一个底面半径和高都为r的圆锥的体积进行比较。
- 设圆柱底面半径为r，高为r，其体积V_圆柱=π r^2· r=π r^3。
圆锥体积
V_圆锥=(1)/(3)π r^2· r = (1)/(3)π r^3。
- 那么圆柱挖去圆锥后的体积V = V_圆柱-V_圆锥=π r^3-(1)/(3)π r^3=(2)/(3)π r^3，而半球的体积等于这个体积，所以整个球的体积V=(4)/(3)π r^3。
二、球的表面积公式。
1. 公式内容。
- 设球的半径为r，球的表面积S = 4π r^2。
2. 推导（简单介绍，人教版高中教材有详细推导过程）
- 一种推导方法是使用极限的思想。
将球的表面分割成许多小的曲面片，当这些曲面片足够小时，可以近似看成平面三角形。
- 把球的表面展开近似看成是由许多个小三角形组成的多面体的表面，通过计算这些小三角形面积之和在分割无限细密时的极限值，就可以得到球的表面积公式S = 4π r^2。
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球的表面积及体积计算公式：
V球=4/3πr^3；S球=4πr^2。
（r为球的半径）
讨论：公式的特点；球面是否可展开为一个平面图形？
（证明的基本思想是：“分割→求体积和→求极限→求得结果”，以后的学习中再证明球的公式）
练习：一个气球的体积扩大2倍，那么它的表面积、体积分别扩大多少倍？ 2. 体积公式的实际应用：
示例：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. （钢密度7.9kg/cm3）
讨论：如何求空心钢球的体积？
列式计算 → 小结：体积应用问题.
示例：有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.
圆柱容球定理是这样的：
圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。
在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱全面积的三分之二。
在今天看来这个定理不难证明,事实上：
设圆的半径为R，球的体积与圆柱的体积分别为V球及V柱，球的表面积与圆柱的全面积分别为S球及S柱，则有: V柱=底面积×高=πr^2×2r=2πr^3
V球=4/3πr^2
V球=3/2V柱
S柱=侧面积+上下底面积=2πr×2r+2πr^2=6πr^2
S球=4πr^2
S球=3/2S柱
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