线性代数_北京邮电大学出版社(戴斌祥_主编)习题答案(、2、3、4、5)

线性代数习题及答案

（北京邮电大学出版社 戴斌祥主）编

习题一 （A 类）

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321； (3) n (n 1)...321； (4) 13 (2)

1)(2n )(2n

2)…2.

【解】

(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36; (3) τ(n (n

1)…3·2·1)= 0+1+2 +…+(n

1)=

(1)

2

n n ; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n

2)…2)=0+1+…+(n

1)+(n

1)+(n

2)+…+1+0=n (n

1).

2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意.

所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。 解：D 4=1234()

11223344(1)

j j j j j j j j a a a a τ-

由题意有：232,

4.j j ==

故1234141243

243241j j j j j j ⎧==⎨

⎩

D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-

即为：1122344313223441a a a a a a a a -+

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？ （1）233142561465a a a a a a ；

解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a = 因为(431265)6τ=，(431265)

6(1)(1)1τ-=-=

所以该项带正号。 （2）324314516625a a a a a a

解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-=

所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

0200

001030000004

； (2)

1230

002030450001

. （3

）

0100002

0001000

n n -

【解】(1) D =(1)τ(2314)4!=24; (2) D =12.

（3）由题意知：12231,,112

10

n n

n ij a a a n a n a -=⎧⎪=⎪⎪⎪

⎨=-⎪⎪=⎪=⎪⎩其余

所以

12

()112233(2341)

122334

1,1

1

1(1)(1)(1)

123(1)(231)1

(1)!

n j j j n j j j njn n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅

6. 计算下列各行列式.

(1)

2

141312112325062-----； (2) ab

ac ae bd

cd

de bf

cf

ef

-------； (3)

1

001100110

1a b c d ---； (4)

1234234134124123

.

【解】(1) 12

5

0623121012325

62

r r D

+---=--;

(2) 1

11

41

11111

D abcdef abcdef --==------;

21

011

111(3)(1)1

1

10

1100

1

011;

b c D a a b cd c c d d d

d abcd ab ad cd --⎡--⎤

=+-=+++--⎢⎥⎣⎦=++++ 32122113

314214

41

210234

10

234

102

3410341011

30

113(4)160.1041202220

04

410123

111

4r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---=

=

==-------

7. 证明下列各式.

(1) 22

3

22()111

a a

b b a a b b a b +=-；

(2)

222222222

2

2

2

2

2

2

2

(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++；

(3) 2

3

2

2

322

32

111()111a a a a b

b ab b

c ca b b c c c c =++ (4) 2000

(

)000

n n a b

a b D ad bc c d c

d

=

=-； (5)

1211

111

111111

1

1n

n

i i i i n

a a a a a ==++⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+∑∏. 【证明】(1)