《概率论与数理统计》习题及答案 第八章

《概率论与数理统计》习题及答案

第　八　章

1．设是从总体中抽出的样本，假设服从参数为的12,,,n X X X L X X λ指数分布，未知，给定和显著性水平，试求假设

λ00λ>(01)αα<<的检验统计量及否定域.

00:H λλ≥2χ 解 00

:H λλ≥ 选统计量

2

001

22n

i i X nX

χλλ===∑记

2

1

2n

i i X χ

λ==∑%则，对于给定的显著性水平，查分布表求出临界值，

2

2~(2)n χ

χ%α2χ2(2)n αχ使 22

((2))P n αχχα

≥=%因

，所以，从而

22χχ>%2222((2))((2))n n ααχχχχ≥⊃≥% 2222{(2)}{(2)}

P n P n αααχχχχ=≥≥≥%可见的否定域为.

00:H λλ≥22

(2)n αχχ≥ 2．某种零件的尺寸方差为，对一批这类零件检查6件得尺寸数

2

1.21σ=据（毫米）：3

2.56, 29.66, 31.64, 30.00, 21.87, 31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（）.0.05α= 解 问题是在已知的条件下检验假设2

σ0:32.50

H μ= 的否定域为0H /2

||u u α≥其中

29.4632.50

2.45 6.77

1.1

u -=

=

⨯=-，因，所以否定，即不能认为平均尺寸是

0.025

1.96u =|| 6.77 1.96u =>0H 3

2.5毫米。

3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为，今抽了一个容100σ=量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平下，能否认为这0.05α=批产品的指标的期望值不低于1600。

μ

解 问题是在已知的条件下检验假设2

σ0:1600

H μ≥

，其中

0H /2u α- .

15801600

5.1 1.02100u -=

=⨯=- .

0.05

1.64u -=-

因为，所以接受，即可以认为这批产品的0.051.02 1.64u u =->-=-0H 指标的期望值不低于1600.μ

4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取

25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为

小时的正态分布，问这批元件是否合格？（）

100σ=0.05α= 解 设元件寿命为，则，问题是检验假设X 2

~(,100)X N μ

，其中

0:H μ≥0.05u u ≤- 9501000

5 2.5

100

u -=

=

⨯=- 0.05 1.64

u =因为

0.05

2.5 1.64u u =-<-=所以否定，即元件不合格.0H 5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为：

(%)X 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24

设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为？

3.25(0.01)α= 解 问题是在未知的条件下检验假设2

σ0: 3.25

H μ= 的否定域为

0H /2||(4)

t t α> 5

2

21

13.252,(5)0.00017,

0.013

4i i X S

X X S ===-⨯==∑ 0.005(4)t = 3.252 3.25

2.240.3450.013

t -=

=⨯=因为

0.005||0.345 4.6041(4)

t t =<=所以接受，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.0H

6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验

一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：

99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5

问该日打包机工作是否正常（；已知包重服从正态分布）？

0.05α= 解 ，，，

99.98X =92

2

1

1(()) 1.478i i S X X ==-=∑ 1.21S = 问题是检验假设0:100

H μ= 的否定域为.

0H /2

||(8)t t α≥其中 99.98100

30.051.21t -=

=⨯=- 0.025(8) 2.306

t =因为

0.025||0.05 2.306(8)

t t =<=所以接受，即该日打包机工作正常.0H 7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素的含量不得少于21毫克，C 现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素的含量（单位：毫克）

C 如下 22,21,20,23,21,19,15,13,16,

23,17,20,29,18,22,16,25.

已知维生素的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。

C (0.025)

α=

解

设为维生素的含量，则，

X C 2~(,

)X N μσ，，. 问题是检验假设220,419.625X S ==20.485S =17n =0:21.

H μ≥

（1）.

0:

21H μ≥ （2

0.20t =

==- （3）对于给定的查分布表求出临界值.

0.025α=t 0.025()(16) 2.2t n t α== （4）因为。所以接受，即认为维生素含0.025(16) 2.200.20t t -=-<-=0H 量合格.

8．某种合金弦的抗拉强度，由过去的经验知

2~(,

)X N μσ（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉

10560μ≤试验，测得数据如下：