北师大版数学必修二课件：1.4.2空间图形的基本关系与公理
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高中数学北师大版必修2配套课件：1.4空间图形的基本关系与公理
A在b上
D．任意两条直线不能确定一个平面 [答案] D
[解析]
由公理3得，两个不重合的平面有一个公共点，则
它们相交于过这一点的一条直线，因此有无数个公共点；若两 个平面重合，亦知也有无数个公共点，A正确；如果任意三点 共线，则四点共面，因此B正确；C满足公理3，正确；两条平
行或相交直线，可以确定一个平面，D是错误的．
[答案] ② [解析] 由已知得a与α相交，
空间点、线、面的位置关系
已知长方体 ABCD－A1B1C1D1， 如图所示， AC 与 BD 相交于点 M，则下列说法中正确的是( )
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交； ③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行； ④直线AC与平面A1B1C1D1异面； ⑤直线BC与A1B1异面．
作异面直线．
2．空间直线与平面的位置关系
无数个公共点 ，我们称这条直线在这个 (1)直线与平面有______________ 平面内；
一个公共点 ，称这条直线与这个平 (2)直线和平面只有______________
面相交． 没有公共点 ，称这条直线和这个平面平 (3) 直线和平面 ____________ 行．
要学习的内容．
1．空间两条直线的位置关系 没有公共点 ，这样的两 (1) 直线 a与b 在同一平面内，但 _____________ 条直线叫作平行直线； 只有一个公共点 ，这样的两条直线叫作相交 (2)直线a与b________________ 直线； 不同在任何一个平面内 ，这样的两条直线叫 (3)直线a与b______________________
[答案] (1)A∈a，B∈a (2)a α C∈α (3)D∉α b α
高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理
理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l
A
a
a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；
北师大版数学必修二课件：1.4.2空间图形的基本关系与公理
√2
√3
2
2
连接 HF,设 AA1=1,则 EF= ,HE= .
取 A1D1 的中点 I,连接 IF,HI,则 HI⊥IF,
∴HF =HI +IF
2
2
5
= ,
4
2
∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
一题多解
解法3如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,
异面直线DB1与EF所成的角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
一题多解
解法 2(中位线平移法)如图所示.
连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连接 HE,则 HE∥DB1,且
1
HE= DB1,
2
所以∠HEF 或其补角就是所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角.
行,因此OB与O'B'不一定平行.
答案:D
1
2
3
4
5
2.若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条
(
)
A.相交
B.异面
C.相交或异面 D.平行
解析:在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1
是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1
的中点.
求证:∠PNA1=∠BCM.
证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC.①
又M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1M NC.
所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1N∥MC.②
√3
2
2
连接 HF,设 AA1=1,则 EF= ,HE= .
取 A1D1 的中点 I,连接 IF,HI,则 HI⊥IF,
∴HF =HI +IF
2
2
5
= ,
4
2
∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
一题多解
解法3如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,
异面直线DB1与EF所成的角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.
探究一
探究二
一题多解
解法 2(中位线平移法)如图所示.
连接 A1D,取 A1D 的中点 H,连接 HE,则 HE∥DB1,且
1
HE= DB1,
2
所以∠HEF 或其补角就是所求异面直线 DB1 与 EF 所成的角.
行,因此OB与O'B'不一定平行.
答案:D
1
2
3
4
5
2.若一条直线与两条平行线中的一条为异面直线,则它与另一条
(
)
A.相交
B.异面
C.相交或异面 D.平行
解析:在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AA1与直线B1C1
是异面直线,与B1C1平行的直线有A1D1,AD,BC,显然直线AA1与A1D1
的中点.
求证:∠PNA1=∠BCM.
证明:因为P,N分别为AB,AC的中点,所以PN∥BC.①
又M,N分别为A1C1,AC的中点,所以A1M NC.
所以四边形A1NCM为平行四边形,故A1N∥MC.②
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 2-优质公开课-北师大必修2精品
公理等多以文字语言叙述.
(3)图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、 公理、定理的本质及相互关系，在抽象的数学思维面前起 着具体化和加深理解的作用.
【例1】依据下列数学符号语言画出图形：
(1)α∩β=l， m α ，n β ， m∥l， n∥l；
(2)α∩β=l，直线PO
α，直线PO∩直线l=O，直线
【例3】如图，空间四边形ABCD中，
E、H分别是AB、AD的中点，F、G分
CF CG 2 . 别是BC、CD上的点，且 CB CD 3
求证：三条直线EF、GH、AC交于一 点. 【审题指导】要证三条直线EF、GH、AC交于一点，可先 证直线EF与GH交于一点P，然后再证该交点P在直线AC上.
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空 间图形的公理(公理1、2、3)》课件
文字语言、图形语言、符号语 言的相互转化 文字语言、图形语言、符号语言的特点及相互关系 (1)符号语言简洁，层次感强，应用方便. (2)文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的 含义更加明白地叙述出来，因此教科书中的概念、定理、
【规范解答】(1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一 个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内.因为 B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在 平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面. (2)如果B、C、D三点共线于l，若A∈l，E∈l，则A、B、
C、D、E五点一定共面.若A，E有且只有一个在l上，则A、
【解析】(1)α∩β=m，n∩α=A，n∩β=B，A m，B (2)α∩β=l，a α，b β，a∩l=P，b∩l=P.
m.
共面问题
1.证明共面问题的依据
高中数学北师大版必修二：1.4 空间图形的基本关系与公理 课件
基本题型
证明点共线：证明这些 点同时在两相交平面内 证明线共点：先确定两 条直线交点，再证交点 在第三条直线上。 证明点共面或线共面： 先由一些元素确定一个 平面，再证另一些元素 也在这个平面内。
(2)
AB B
B A
l
l , A l A
l
思考2:请你用尺子做实验并回答以下 问题（分组讨论）
1、过一点有几个平面？ 2、过两点有几个平面？ 3、过三点有几个平面？
不共线三点确定一个平面
公理2 经过不在同一条直线上的三点,
有且只有一个平面。
O
D
M A B
C
平面的基本性质
公理1: 如果一条直线上的两点在 一个平面内，那么这条直线上的 所有点都在这个平面内。 公理3:如果两个不重合的平面有 一个公共点，那么它们有且只有 一条过该点的公共直线 公理2:经过不在同一条直线上 的三点有且只有一个平面。 推论1:经过一条直线和这条直线 外的一点有且只有一个平面。 推论2: 经过两条相交直线有且 只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线有且 只有一个平面。
点评：证明线共点——先确定两条直线交点， 再证交点在第三条直线上。
探讨2：3个平面可将空间分成几部分？
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
• 例8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平 面BDC1交于O，AC、BD交于点M． • 求证：点C1、O、M共线．
D1 C1 B1
A1
B A
王新敞
奎屯 新疆
C
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
A
B
C
高中数学课件-北师大版高中数学必修二1.4《空间图形的基本关系与公理》课件1 最新
∴GH∥BD.∴EF∥GH. ∴E、F、G、H 四点共面．
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
• (2)∵EG∩FH ＝ P ， P∈EG ， EG 平 面 ABC， • ∴P∈平面ABC. • 同理P∈平面ADC. • ∴P为平面ABC与平面ADC的公共点． • 又平面ABC∩平面ADC＝AC， • ∴P∈AC， • ∴P、A、C三点共线．
答案： 5
• 1．点共线问题 • 证明空间点共线问题，一般转化为证明这 些点是某两个平面的公共点，再根据公理3 证明这些点都在这两个平面的交线上．
• 2．线共点问题 • 证明空间三线共点问题，先证明两条直线 交于一点，再证明第三条直线经过这点， 把问题转化为证明点在直线上． • 3．证明点线共面的常用方法 • (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内． • (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定 平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后 证明平面α、β重合．
• • • • • •
(2)在平面EFD1C内，由于EF≠CD1， 所以CE与D1F必相交．设CE∩D1F＝P， ∵D1F在平面A1ADD1内， ∴P在平面A1ADD1内． 同理，P在平面ABCD内， ∴P 在平面 A1ADD1 与平面 ABCD 的交线 DA 上， • 即CE、D1F、DA三线共点．
• 1．分别在两个平面内的两条直线的位置关 系是( ) • A．异面 B．平行 • C．相交 D．以上都有可能 • 解析： 如图， a∥b ， c 与 d 相交， a与 d异 面．
• 答案： D
• 2 ．直线 a ， b ， c 两两平行，但不共面，经 过其中两条直线的平面的个数为( ) • A．1 B．3 • C ．6 D．0 • 解析： 以三棱柱为例，三条侧棱两两平 行，但不共面，显然经过其中的两条直线 的平面有3个． • 答案： B
1-4-2空间图形的公理(二)课件(北师大版必修二)
范围
特例
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课堂讲练互动
活页限时训练
名师点睛 1．对公理 4 的理解 公理 4 是今后论证平行问题的主要依据．公理 4 中，若把直线 a，b，c 的平行关系限制在同一平面内，可看作公理 4 的一种 特殊情况． 2．对等角定理的理解 等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是公理 4 的直接应用，并且当这两个角的两边方向分别相同或相反时， 它们相等，或者互补．
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3．异面直线的判定方法 (1)定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． (2)反证法：用此法可以证明两条直线是异面直线． (3)重要结论法：可以利用重要结论来判断，即“过平面外一点 和平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直 线”．
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4．关于平面分空间的题目 (1)直线分平面： 在平面内一条直线将平面分成两部分；两条直线如果平行则将 平面分成三部分，如果相交则将平面分成四部分；三条直线可 以将平面分成四或六或七部分，如图．以此类推，我们可以求 出四条直线、五条直线„„分别把平面分成多少部分．
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题型一
公理 4 的应用
【例 1】 如图所示， 已知 E， G， 分别是空间四边形 ABCD F， H 的边 AB，BC，CD，DA 的中点． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)若 AC⊥BD，求证：四边形 EFGH 是矩形． [思路探索] (1)利用三角形中位线定理及公理 4 可证明． (2)由 EH∥BD，HG∥AC，得 EH⊥HG.再证明 EFGH 为平行四 边形即可．
∵BC＝CD，BC⊥CD， ∴四边形 BCDE 为正方形． ∴BE＝BC＝AB. ∵AB⊥BC，AB＝BC，AB 与 CD 成 60° 的角，
高中数学北师大版必修二《1.4.2空间图形的公理1》课件
∴E»Q五级B1C1，
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
11/14/2024
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
• 单击此∴处QD编辑C1母F. 版文本样式
– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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单击此求异处面直编线所辑成的母角版标题样式
利用定义法求异面直线所成的角的一般步骤
• 单击此处编辑母版文本样式
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
11/14/2024
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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• 单击此“等处角编定理辑”母的应版用文本样式
– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
B1C1，
∴四边形EQC1B1为平行四边形，
∴B1E C1Q.
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又∵Q、F分别是DD1、C1C两边的中点，
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– 二级 ∴四边形DQC1F为平行四边形，
• 三级
– ∴四C级1Q DF. 又»∵B五1级E C1Q，
∴四边形CED1G与四边形BFD1G均是平行四边形.
∴GC∥D1E，GB∥D1F.
∴结合图形可知∠BGC=∠FD1E.
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• 三级
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• 三级而F1，M分别为C1D1，A1B1的中点，
– 四级
则F»1五M级 C1B1，而C1B1 CB，
∴F1M∥BC且F1M=BC，
∴四边形F1MBC是平行四边形，
∴BM∥CF1，又BM∥A1F，∴A1F∥CF1.
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同理取A1D1的中点N，连接DN，E1N，则A1N
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– 二级 对“等角定理”的理解
•
三级
–(四1)级本质：“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广.
(2)»作五用级：①解决空间中角的平移的问题.②揭示空间中两条
边对应平行的两个角的大小关系.
2018-2019学年北师大版必修2 1-4-1,4-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 课件(33张) (1)
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
课前预习
课堂互动
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3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
课前预习
课堂互动
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5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
课前预习
课堂互动
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课前预习
课堂互动
课堂反馈
一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据
课前预习
课堂互动
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方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
课前预习
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证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
课前预习
课堂互动
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3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
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5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
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课前预习
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一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据
北师大版高中数学必修2课件1.4空间图形基本关系的认识课件(北师大版)
图形分别如图(1)(2)(3)所示
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
北京师范大学出版社 | 必修二
第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
解：(1)点A在平面α内，点B不在平面α内； (2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于 点A，且点A不在直线l上；
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q。
课堂小结
1.空间基本图形的关系及符号语言的描述 2.熟练用图形语言表示空间点线面之间的关系
作业
课本28页习题1-4A组4题
解：
例2 如图，在正方体 ABCD A' B'C ' D' 中，哪几条棱所在 的直线与直线BC′是异面直线？
解：棱DC，A′B′，AA′，DD′，AD，
A′D′所在的直线与直线BC′是异面
直线。
变式训练
3.根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形： (1)α ，B∉ α ；(2)l α ，m∩α ＝A，A∉ l；(3)P∈l，P∉ α ；Q∈l，Q∈α
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第一章 · 立体几何初步
空间图形基本关系的认识
新课导入
观察：长方体模型认识空间图形基本元素。
探索新知
空间图形的基本关系
阅读教材P22～P23“练习”以上部分，完成下列问题。
位置关系 点A不在直线a上 点B在直线a上
图形表示
符号表示
点与线的位置关系
A∉a B∈a
点A 在平面α 内 点与面的位置关系 点B 在平面α 外 平行 直线与直线的位置关系 相交 异面
(3)直线l 在平面α 内，可以表示为“l
)
α ”( ) )
(4)平面内的直线与不在该平面内的直线互为异面直线 (
【答案】
(1)× (2)×
(3)√
(4)×
《1.4.1 空间图形基本关系的认识 1.4.2 空间图形的公理公理1、2、3》课件 5-优质公开课-北师大必修2精品
自
课
主 位置关系、符号表示．
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法 分
满足下列条件，平面α∩平面β＝AB，直线a α，直线
易 误
析
辨
b β且a∥AB，b∥AB的图形是( )
析
教
学
当
方
堂
案
双
设
基
计
达
标
课
前
自
课
主
时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
教
【解析】 由线面符号语言描述及图形语言知D正确．
教
师
备
课
资
源
菜单
BS ·数学 必修2
教
学
易
教
错
法
易
分 析
误
【思路探究】 (1)点P、R、Q与平面α、平面ABC有何 辨
析
教 学
关系？
当
方
堂
案 设
(2)平面α与平面ABC什么关系？与点P、R、Q又有何关 双 基
计
系？
达 标
课
前 自
【自主解答】 法一 ∵AB∩α＝P，
课
主
时
导 学
∴P∈AB，P∈平面 α.
自
课
主 导
与平面相交．
时 作
学
业
4．平行和相交．
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜单
教 学 教 法 分 析
教 学 方 案 设 计
北师大版4.2空间图形的基本关系与公理精品课件
18
空间四边形的有关概念： （1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形； （2）四个点中的各个点叫做空间四边形 的顶点； （3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空 间四边形的边； （4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间 四边形的对角线。
19
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
想一想：下图中有那些异面直线？
D A C
B
D’
C’
A’
B’
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角 问题1：在平面内，如果两个角的两边分别对 应平行，那么这两个角相等或者互补.在空间 中成立吗？举例说明
观察下图
等角或补角定理：在空间中如果两个角的两 边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
16
知识探究: 等角定理及异面直线所成的角
既是证明“等角定理”的基础，是以后证明平 行关系的主要依据之一
4
注意：并非所有平面几何中的定理都可以推广到空间．
思考一 1.直线a,b相交吗？ 不相交 2.平移a,b两条直线，它们能完全重合吗？
不平行
a'
a b
b'
找不到一个平面使得 3. 能否找到一个平面, 直线a,b在 使得a,b两条直线都在这个平面内？ 同一共面内！
)
当堂练习2：列图形中不一定是平面图形的（ ）
A、三角形 C、梯形
B、菱形 D、四边相等的四边形
25
当堂练习3 在正方体ABCD—A1B1C1D1中指出下列各对线段 所成的角： 1）AB与CC1； 3）A1B与D1B1. 1）AB与CC1所成的角 等于90° 2）A1 B1与AC所成的角 等于45° 3）A1B与D1B1所成的角 等于60°
高中数学北师大版必修二1.4.2【教学课件】《空间图形的公理》
图形语言：
，使得 A, B, C 。
②证明两个平面重合
公理2应用：①确定平面
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思考交流
1. 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一个平面吗？（ 推论1） 2. 经过两条相交直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论2 ） 3. 经过两条平行直线，可以确定一个平面吗？ （ 推论3）
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探究问题三
如下图所示，三角板与平面 有一个公共点 A ，那么三角板与平面 有多少个公共点？
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公理3
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,且
所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
符号语言：
A Al A
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实例：
(1) 自行车的撑脚
(2)摄像机的三角支架
(3)三轮车
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公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A, B, C 不共线 符号语言： A, B, C 与 重合 A, B, C
或者：∵ A, B, C 不共线， ∴存在唯一的平面
证明：如图，连接 BD
FG是CBD的中位线 ， FG ∥ BD, FG 1 BD
2
同理EH ∥ BD, EH 1 BD
2
FG ∥ EH 且FG = EH
四边形EFGH 为平行四边形
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例 2 如图，将无盖正方体纸盒展开，直线 AB, CD 在原正方体中的位置关系是(
l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异
2019版高中数学北师大版必修二课件：第一章 4.1 空间图形基本关系的认识-4.2 空间图形的公理(一)
跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P， BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线.
证明
当堂训练
1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是
A.A∈l，l∉α
√B.A∈l，l α
C.A l，l∉α
D.A l，l α
解析 ∵点A在直线l上，∴A∈l. ∵l在平面α外，∴l α.故选B.
___A_∈___l_， __B__∈__l__， 用来证明直 且_A_∈___α_， 线在平面内 _B__∈__α__⇒
lα
公 过不在一条直线上 的 三点，有且只有一个平
理 面(即可以确定一个平面
2 )
公 如果两个不重合的平面 理 有一个公共点，那么它
们有且只有一条_通__过___这___ 3 _个__点___的___公___共___直__线______
本课结束
A，B，C三点不 共线⇒存在唯一 用来确定 的α使A，B， 一个平面 C∈α
P∈α ， P∈β ⇒α∩β ＝l，且P∈l
用来证明 空间的点 共线和线 共点
(2)公理2的推论 推论1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图①). 推论2：两条相交直线确定一个平面(图②). 推论3：两条平行直线确定一个平面(图③).
解答
类型二 平面的基本性质的应用 命题角度1 点线共面问题 例2 如图，已知：a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
解 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线 a β，点 P∈β. 因为 P∈b，b α，所以 P∈α. 又因为 a α，所以 α 与 β 重合，所以 PQ α.
(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯 一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上， 也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. (2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两 条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上， 此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与 另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
2021-2022数学北师大版必修2课件：第一章4.2空间图形的公理(二) (43张)
(3)若 a，b 是两条直线，α，β是两个平面，且 a α，b β，则 a，b 是异面直线．( × )
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝
50°，则β等于( A)
A．50°
B．130°
C．40°ห้องสมุดไป่ตู้
D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A.
3．垂直于同一条直线的两条直线( D )
A．平行四边形 C．菱形
B．矩形 D．梯形
(2)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S 分别是所在 棱的中点，这四个点中不共面的是___④_____．
(3)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：DE∥AC，DE＝13AC.
解：(1)因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EF 綊12AC，
[方法归纳] 在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
1．(1)如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，G，H 分别在边 CD，DA 上，且满足 CG＝12GD，DH ＝2HA，则四边形 EFGH 为( D )
就是异面直线a，b所成的角
取值 范围 特例
异面直线所成的角θ的取值范围：_0_°__<_θ_≤__9_0_°__ 当θ＝____9_0_°______时，a与b互相垂直，记作a⊥b
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( × )
2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝
50°，则β等于( A)
A．50°
B．130°
C．40°ห้องสมุดไป่ตู้
D．50°或130°
解析：由等角定理知β与α相等，故选A.
3．垂直于同一条直线的两条直线( D )
A．平行四边形 C．菱形
B．矩形 D．梯形
(2)下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S 分别是所在 棱的中点，这四个点中不共面的是___④_____．
(3)如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：DE∥AC，DE＝13AC.
解：(1)因为 E，F 分别为 AB，BC 的中点， 所以 EF 綊12AC，
[方法归纳] 在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系． (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系．
1．(1)如图，在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB，BC 的中点，G，H 分别在边 CD，DA 上，且满足 CG＝12GD，DH ＝2HA，则四边形 EFGH 为( D )
就是异面直线a，b所成的角
取值 范围 特例
异面直线所成的角θ的取值范围：_0_°__<_θ_≤__9_0_°__ 当θ＝____9_0_°______时，a与b互相垂直，记作a⊥b
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知 a，b，c，d 是四条直线，若 a∥b，b∥c，c∥d，则 a∥d.( √ ) (2)两条直线 a，b 没有公共点，那么 a 与 b 是异面直线．( × )
高中数学第一章立体几何初步1.4.12空间图形基本关系的认识空间图形的公理课件北师大版必修2
同理在 a 上任取一点作 b 的平行线，都与 a、b 共面，所以 这些平行线都共面．
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方 法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合， 所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面 之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、 线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二 空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解 的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表 示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平 面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能 有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另 一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因 为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．
公理 1、公理 2、公理 3 的意义和作用 1．公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直” 来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方 法．
提示：因为点可看作元素，则直线与平面都可看作是点的集合， 所以，点与线、点与面之间的关系就是元素与集合的关系，线与面 之间的关系就是集合与集合之间的关系，所以用集合的符号表示点、 线、面之间的关系正好与集合中元素、集合的关系一致．
知识点二 空间图形的公理 [填一填]
[答一答] 2．你对公理 2 及课本思考交流中的三个问题是怎样理解 的？
第一章
立体几何初步
§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识
4.2 空间图形的公理
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点一 点、直线、平面之间位置关系的三种语言表示 [填一填]
[答一答] 1．点、线、面之间的关系为什么可借助于集合的符号来表 示？
提示：它们都可作为确定平面的依据，还可作为判定两个平 面重合的依据．“确定”和“有且只有一个”是同义词．“有” 说明存在性，“只有一个”说明唯一性．数学中的“只有一个” 并不保证符合条件的图形一定存在，所以不能用“只有一个”来 代替“有且只有一个”．符合某一条件的图形既存在，而且只能 有一个，就说明这个图形是完全确定的．
4．已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另 一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？
提示：都共面，如图所示，a∩b＝A，过 b 上任意一点 B 作 c∥a，则 a、c 可确定一个平面 α，因为 A∈a，所以 A∈α.又因 为 B∈c，所以 B∈α，所以 AB α，即 b α.所以 a、b、c 共面．
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