2011年全国初中数学竞赛试题及答案
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2011年全国初中数学竞赛试题
考试时间2011年3月20日9︰30-11︰30满分150
答题时注意:1、用圆珠笔或钢笔作答
2、解答书写时不要超过装订线
3、草稿纸不上交。
一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、
C 、
D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)
1
、设x =,则代数式(1)(2)(3)x x x x +++的值为( C ) A .0 B .1 C .-1 D .2
2、对于任意实数,,,a b c d ,定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为:(,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ∆=++。如果对于任意实数,u v ,都有
(,)(,)(,)u v x y u v ∆=,那么(,)x y 为( B )
。 A .(0,1) B .(1,0) C .(1,0)- D .(0,1)-
3、已知,A B 是两个锐角,且满足225sin cos 4A B t +=,2223cos sin 4
A B t +=,则实数t 所有可能值的和为( C )
A .83-
B .53-
C .1
D .113
4、如图,点,D E 分别在△ABC 的边AB ,AC 上,BE ,CD 相交于点F ,设1EADF S S 四边形=,BDF 2S S ∆=,BCF 3S S ∆=,CEF 4S S ∆=,则13S S 与24S S 的大小关系为( C ) A .13S S <24S S
B .13S S =24S S
C .13S S >24S S
D .不能确定
5、设33331111S 1232011=++++,则4S 的整数部分等于( A ) A .4 B .5 C .6 D .7
二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)
6、两条直角边长分别是整数,a b (其中2011b <),斜边长是1b +的直角三角形的个数为__31__。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,2,3,3,4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,3,4,5,6,8。同时掷这
A
B C E
D F
两枚骰子,则其朝上的面两数字之和为5的概率是____。91
8、如图,双曲线2(0)y x x =>与矩形OABC 的边CB ,BA 分别交于点E ,F 且AF =BF ,连接EF ,则△OEF 的面积为_____;23 9、⊙O 的三个不同的内接正三角形将⊙O 分成的
区域的个数为_____。28
10、设四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+,则这样的四位数的个数为
___。5
三、解答题(共4题,每题20分,共80分)
11、已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1,求a b c ++的值。 解:设方程20x ax b ++=的两个根为α、β,其中α、β为整数,且α≤β
则方程20x cx a ++=的两个整数根为α+1、β+1,
由根与系数关系得:α+β=-a ,(α+1)(β+1)=a
两式相加得:αβ+2α+2β+1=0即(α+2)(β+2)=3
∴⎩⎨⎧=+=+3212βα或⎩⎨⎧-=+-=+1232βα 解得:⎩⎨⎧=-=11βα或⎩
⎨⎧-=-=35βα 又∵a =-(α+β),b =αβ,c =-[(α+1)+(β+1)]
∴a =0,b =-1,c =-2或a =8,b =15,c =6
故a b c ++=-3或a b c ++=29
12、如图,点H 为△ABC 的垂心,以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ,延长AD 交CH 于点P ,求证:点P 为CH 的中点。
证明:如图,延长AP 交⊙2O 于点Q
连结AH ,BD ,QC ,QH
∵AB 为直径 ∴∠ADB =∠BDQ =900
∴BQ 为⊙2O 的直径
于是CQ ⊥BC ,BH ⊥HQ
∵点H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC ,BH ⊥AC
∴AH ∥CQ ,AC ∥HQ ,四边形ACHQ 为平行四边形
则点P 为CH 的中点。
A
13、若从1,2,3,…,n 中任取5个两两互素的不同的整数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,其中总有一个整数是素数,求n 的最大值。
解:若n ≥49,取整数1,22,32,52,72,这五个整数是五个两两互素的不同的整
数,但没有一个整数是素数,∴n ≤48,在1,2,3,┉┉,48中任取5个两两互素的不同的整数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,
若1a ,2a ,3a ,4a ,5a 都不是素数,则1a ,2a ,3a ,4a ,5a 中至少有四个数是合数,不妨假设1a ,2a ,3a ,4a 为合数,
设1a ,2a ,3a ,4a 的最小的素因数分别为p 1,p 2,p 3,p 4
由于1a ,2a ,3a ,4a 两两互素,∴p 1,p 2,p 3,p 4两两不同
设p 是p 1,p 2,p 3,p 4中的最大数,则p ≥7
因为1a ,2a ,3a ,4a 为合数,所以1a ,2a ,3a ,4a 中一定存在一个
a j ≥p 2≥72=49,与n ≥49矛盾,于是1a ,2a ,3a ,4a ,5a 中一定有一个是素数 综上所述,正整数n 的最大值为48。
14、如图,△ABC 中,∠BAC =60°,AB =2AC 。点P 在△ABC 内,且PA
PB =5,PC =2,求△ABC 的面积。
解:如图,作△ABQ ,使得:∠QAB =∠PAC ,∠ABQ =∠ACP ,
则△ABQ ∽△ ACP ,由于AB =2AC ,∴相似比为2
于是,AQ =2 AP =23,BQ =2CP =4
∠QAP =∠QAB +∠BAP =∠PAC +∠BAP =∠BAC =60°
由AQ :AP =2:1知,∠APQ =900
于是,PQ =3AP =3
∴BP 2=25=BQ 2+PQ 2 从而∠BQP =900
作AM ⊥BQ 于M ,由∠BQA =1200,知
∠AQM =600,QM =3,AM =3,于是,
∴AB 2=BM 2+AM 2 =(4+3) 2+32=28+83 故S △ABC =21AB •ACsin600=
83AB 2=2
376
A C P
B Q M