无穷限的反常积分
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第四节 反常积分
无穷限的反常积分
第十二章
熟悉常义积分 b f (x)dx a
积分区间是有限 被积函数是有界的
将这两种限制曲线
积分区间是无限 反常积分 (广义积分) 被积函数是无界的
很多实际问题往往需要突破这些限制，考虑无 穷限 上的“积分”或无界函数的“积分”. 引例(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？
球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
的积分
r
r dr R
mgR2 x2
dx
lim
r
r R
mgR2 x2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用g 9.81(m/ s2 ), R 6.371106(m)代入，得
v0 2gR 11.2 (km / s).
1 ln(1 x2 ) 2
=
-
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
dx
例2. 讨论第一类 p 积分 a x p
证:由反常积分的定义有
a
dx xp
lim
b
x1 p 1 p
b
a
r
R
O
定义1. 设 f (x) C[a , ),取b a , 若
b
lim f (x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
b
a
f (x) dx lim f (x) dx b a
这时称反常积分
a
f (x) dx收敛 ; 如果上述极限不存在,
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f (x)dx F(x) a
F() F(a)
b
f
( x) dx
F ( x)
b
F(b) F()
f
( x) dx
F ( x)
F() F()
无穷限的反常积分的几何意义-----求开口曲边梯形面积
1
例1. 计算反常积分
1
dx x
2
.
解:
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
2[ arctan x ]
2
0
2
y
y
1 1 x2
o
x
思考:
x dx 1 x2
0
对吗 ?
分析:
x dx 1 x2
当 p = 1 时有
a 0 的敛散性.
dx
b dx
bwenku.baidu.com
a
x
lim b
a
x
lim
b
ln
x
a
lim[ln b
b
ln
a]
当 p ≠ 1 时有
a
dx xp
lim
b
x1 p 1 p
b
a
b1 p lim [
b 1 p
解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重
力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r R处需作功
r R
mgR x2
2
dx
mgR 2
1 R
1 r
.
当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称 f (x) dx 发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
若F(x) 是 f (x)的原函数 , 引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
例
求曲线y
1 x2
和直线x
1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积
利用定积分曲边梯形的面积的求法，
可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim
b
1 x
b 1
A
1b
lim 1 b
1 b
a1 p ]
1 p
,
a 1 p p 1
,
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 ,
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
就称反常积分 f (x) dx 发散 . a 类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
b
b
f (x) dx lim f (x) dx
a a
若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
f (x) dx lim f (x) dx lim f (x) dx
无穷限的反常积分
第十二章
熟悉常义积分 b f (x)dx a
积分区间是有限 被积函数是有界的
将这两种限制曲线
积分区间是无限 反常积分 (广义积分) 被积函数是无界的
很多实际问题往往需要突破这些限制，考虑无 穷限 上的“积分”或无界函数的“积分”. 引例(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初 速度 v0 至少要多大？
球需作的功．于是自然把这一极限写作上限为
的积分
r
r dr R
mgR2 x2
dx
lim
r
r R
mgR2 x2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用g 9.81(m/ s2 ), R 6.371106(m)代入，得
v0 2gR 11.2 (km / s).
1 ln(1 x2 ) 2
=
-
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用
“偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
dx
例2. 讨论第一类 p 积分 a x p
证:由反常积分的定义有
a
dx xp
lim
b
x1 p 1 p
b
a
r
R
O
定义1. 设 f (x) C[a , ),取b a , 若
b
lim f (x) dx
b a
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
b
a
f (x) dx lim f (x) dx b a
这时称反常积分
a
f (x) dx收敛 ; 如果上述极限不存在,
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
a
f (x)dx F(x) a
F() F(a)
b
f
( x) dx
F ( x)
b
F(b) F()
f
( x) dx
F ( x)
F() F()
无穷限的反常积分的几何意义-----求开口曲边梯形面积
1
例1. 计算反常积分
1
dx x
2
.
解:
dx 1 x2
0 dx 1 x2
dx 0 1 x2
2[ arctan x ]
2
0
2
y
y
1 1 x2
o
x
思考:
x dx 1 x2
0
对吗 ?
分析:
x dx 1 x2
当 p = 1 时有
a 0 的敛散性.
dx
b dx
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a
x
lim b
a
x
lim
b
ln
x
a
lim[ln b
b
ln
a]
当 p ≠ 1 时有
a
dx xp
lim
b
x1 p 1 p
b
a
b1 p lim [
b 1 p
解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重
力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r R处需作功
r R
mgR x2
2
dx
mgR 2
1 R
1 r
.
当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称 f (x) dx 发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
若F(x) 是 f (x)的原函数 , 引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
例
求曲线y
1 x2
和直线x
1及x轴所围成的开口曲边梯形的面积
利用定积分曲边梯形的面积的求法，
可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
y
1 x2
A lim b
b 1
dx x2
lim
b
1 x
b 1
A
1b
lim 1 b
1 b
a1 p ]
1 p
,
a 1 p p 1
,
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 ,
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
就称反常积分 f (x) dx 发散 . a 类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
b
b
f (x) dx lim f (x) dx
a a
若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
f (x) dx lim f (x) dx lim f (x) dx