计算方法数值分析第二章PPT课件

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数值分析原理课件第二章

第二章非线性方程数值解法在科学计算中常需要求解非线性方程()0f x = (2.1)即求函数()f x 的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}k k x +∞=，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton 迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．§2.1 二分法一、实根的隔离定义 2.1 设非线性方程(2.1)中的()f x 是连续函数．如果有*x 使*()0f x =，则称*x 为方程(2.1)的根，或称为函数()f x 的零点；如果有*()()()m f x x x g x =-，且()g x 在*x 邻域内连续，*()0g x ≠，m 为正整数，则称*x 为方程(2.1)的m 重根．当1m =时，称*x 为方程的单根．非线性方程根的数值求解过程包含以下两步(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()f x ，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．当函数()f x 连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下设[,]a b 是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长()/h b a n =-，k x a kh =+，(0,1,,)k n = ．由左向右逐个计算()k f x ，如果有1()()0k k f x f x +<，则区间1[,]k k x x +就是方程的一个较小的有根区间．一般情况下，只要步长h 足够小，就能把方程的更小的有根区间分离出来；如果有根区间足够小，例如区间长度小于给定的精度要求，则区间内任意一点可视为方程(2.1)的根的一个近似．例2.1 确定出方程32()3430f x x x x =-+-=的一个有根区间．解由22()3643(1)10f x x x x '=-+=-+>知()f x 为(,)-∞∞上的单调递增函数，进而()f x 在(,)-∞∞内最多只有一个实根．经计算知(0)0f <，(2)0f >，所以()0f x =在区间[0,2]内有惟一实根．如果希望将有根区间再缩小，可以取步长0.5h =，在点0.5x =，1x =， 1.5x =计算出函数值的符号，最后可知区间[1.5,2]内有一个实根．二、二分法二分法是求非线性方程实根近似值的最简单的方法．其基本思想是将有根区间分半，通过判别函数值的符号，逐步缩小有根区间，直到充分逼近方程的根，从而得到满足一定精度要求的根的近似值．设()f x 在区间[,]a b 上连续，()()0f a f b <，且方程(2.1)在区间(,)a b 内有惟一实根*x ．记1a a =，1b b =，中点111()/2x a b =+将区间11[,]a b 分为两个小区间11[,]a x 和11[,]x b ，计算函数值1()f x ，根据如下3种情况确定新的有根区间：(1) 如果1()0f x =，则1x 是所要求的根；(2) 如果11()()0f a f x <，取新的有根区间2211[,][,]a b a x =； (3) 如果11()()0f x f b <，取新的有根区间2211[,][,]a b x b =．新有根区间22[,]a b 的长度为原有根区间11[,]a b 长度的一半．对有根区间22[,]a b 施以同样的过程，即用中点222()/2x a b =+将区间22[,]a b 再分为两半，选取新的有根区间，并记为 33[,]a b ，其长度为22[,]a b 的一半(如图2.1所示)．图2.1 二分法示意图重复上述过程，建立如下嵌套的区间序列1122[,][,][,][,]k k a b a b a b a b =⊃⊃⊃⊃其中每个区间的长度都是前一个区间长度的一半，因此[,]k k a b 的长度为11()2k k k b a b a --=-由*[,]k k x a b ∈和()/2k k k x a b =+，得*11()()22k k k k x x b a b a -≤-=-当k →∞时，显然，有*k x x →．总结得到如下收敛定理：定理 2.1 设()f x 在隔根区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b <，则由二分法产生的序列0{}k k x +∞=收敛于方程(2.1)在[,]a b 上的根*x ，并且有误差估计*1()(1,2,)2k kx x b a k -≤-= (2.2) 设预先给定根*x 的绝对误差限为ε，要求*k x x ε-≤，只要1()2k b a ε-≤成立，这样求得对分次数ln()ln ln 2b a k ε--≥． (2.3)取k 为大于(ln()ln )/ln 2b a ε--的最小整数．此时k x 是方程(2.1)的满足精度要求的根近似值．注：由于舍入误差和截断误差存在，利用浮点运算不可能精确计算函数值，二分法中的判断()0k f x =几乎不可能满足，取而代之为判断条件0()k f x ε<，其中0ε为根近似值的函数值允许误差限．总结以上内容，给出如下算法算法2.1 (二分法)输入端点,a b 、根的绝对误差限ε、根近似值的函数值允许误差限0ε；输出近似解c 或失败信息；Step 1 用公式(2.3)计算最大迭代次数k ； Step 2 对1,,n k = 循环执行Step 3～5； Step 3 ()/2c a b =+，计算()f c ；Step 4 若0()f c ε<，则输出c ，end ； Step 5 若()()0f c f b <，则a c =，否则b c =．例 2.2 用二分法求32()4100f x x x =+-=在[1,2]上的根*x 的近似值，要求*31102k x x --<⨯．解由于在区间[1,2]上，(1)5f =-，(2)14f =，2()38(38)0f x x x x x '=+=+>，故()0f x =在[1,2]上有惟一实根*x ．确定循环次数为11k =，利用二分法计算结果见表2.1．二分法具有如下特点(1) 优点：计算简单，对函数()f x 的光滑性要求不高，只要它连续，且在两端的函数值异号，算法收敛就可以保证；(2) 缺点：只能求单实根和奇数重实根，收敛较慢，与1/2为公比的等比级数相同．当函数()f x '连续时，方程(2.1)的实重根可转换为()0()f x f x ='的实单根．一般在求方程根近似值时不单独使用二分法，而常用它为其它数值方法提供初值．§2.2 简单迭代法简单迭代法是求解非线性方程根的近似值的一类重要数值方法．本节将介绍简单迭代法的基本思想、收敛条件、收敛速度以及相应的加速算法．一、简单迭代法的基本思想简单迭代法采用逐步逼近的过程建立非线性方程根的近似值．首先给出方程根的初始近似值，然后用所构造出的迭代公式反复校正上一步的近似值，直到满足预先给出的精度要求为止．在给定的有根区间[,]a b 上，将方程(2.1)等价变形为()x x ϕ= (2.4)在[,]a b 上选取0x 作为初始近似值，用如下迭代公式1()k k x x ϕ+= (0,1,2,k = ) (2.5)建立序列0{}k k x +∞=．如果有*lim k k x x →∞=，并且迭代函数()x ϕ在*x 的邻域内连续，对式(2.5)两边取极限，得**()x x ϕ=因而*x 是(2.4)的根，从而也是(2.1)的根．称()x ϕ为迭代函数，所得序列0{}k k x +∞=为迭代序列．将这种求方程根近似值的方法称为简单迭代法，简称迭代法．例2.3 试用方程3()10f x x x =--=的不同形式的变形建立迭代公式，并试求其在1.5附近根的近似值．解利用方程的变形建立如下4种迭代公式(1) 1k x + (2) 311k kx x +=-(3) 1k x += (4) 3112k k k x x x ++-=取初值0 1.5x =，迭代计算，结果见表2.2．例 2.3表明非线性方程的不同等价形式对应不同的迭代过程，从某一初值出发，有的迭代收敛快，有的收敛慢，甚至不收敛．那么迭代函数()x ϕ满足什么条件时才能保证迭代序列收敛? 迭代序列0{}k k x +∞=的误差如何估计? 怎样才能建立收敛速度快的迭代公式?定理2.2 若函数()x ϕ在区间[,]a b 上具有一阶连续导数，且满足条件 ① 对任意[,]x a b ∈，有()[,]x a b ϕ∈；② 存在常数L ：01L <<，使得对任意[,]x a b ∈有()x L ϕ'≤成立．则(1) 方程()x x ϕ=在[,]a b 上有惟一实根*x(2) 对任意0[,]x a b ∈，迭代公式(2.5)收敛，且*lim k k x x →∞=(3) 迭代公式(2.5)有误差估计式*11k k k Lx x x x L --≤-- (2.6) *101k k L x x x x L-≤-- (2.7)(4) **1*lim()k k kx x x x x ϕ+→∞-'=- (2.8) 证明 (1)构造函数()()g x x x ϕ=-，由条件①知()()0g a a a ϕ=-≤，()()0g b b b ϕ=-≥，因此()0g x =在[,]a b 上至少存在一个实根，又由条件②知当[,]x a b ∈时，()1()10g x x L ϕ''=-≥->，所以()0g x =在[,]a b 内存在惟一实根，即()x x ϕ=在[,]a b 内存在惟一实根，记为*x ．(2) 由0[,]x a b ∈及条件①知，[,]k x a b ∈(1,2,)k = ，并且有1()k k x x ϕ+=，**()x x ϕ=，二者作差，并由微分中值定理得***1()()()()k k k k x x x x x x ϕϕϕξ+'-=-=- (1,2,k =(2.9) 其中，k ξ介于k x 与*x 之间．结合条件②，得**1k k x x L x x +-≤- (1,2,k =(2.10) 反复递推，有**2*1*1100k k k k x x L x x L x x L x x ++-≤-≤-≤-≤≤- ， (1,2,)k =因01L <<，故*lim k k x x →∞=．(3) 由式(2.10)得***1111*1k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x L x x +++++-=-+-≤-+-≤-+-从而*111k k k x x x x L+-≤-- (2.11) 又由于111()()()()k k k k k k k x x x x x x ϕϕϕη+--'-=-=-1k k L x x -≤- (1,2,)k = (2.12)其中k η介于k x 和1k x -之间．综合式(2.11)及式(2.12)得误差估计*11k k k Lx x x x L--≤--由式(2.12)反复递推，得111210k k k k k x x L x x L x x -----≤-≤≤-并代入式(2.6)得误差估计*11011kk k k L L x x x x x x L L--≤-≤--- (1,2,)k =(4) 由式(2.9)得*1*()k k k x x x x ϕξ+-'=-两端取极限，并注意到()x ϕ'的连续性和*lim k k x ξ→∞=(因为k ξ介于*x 与k x 之间)，得**1*lim ()k k kx x x x x ϕ+→∞-'=-．误差估计(2.6)称为后验误差估计，也称为误差渐进估计，误差估计(2.7)称为先验误差估计．定理2.2条件成立时，对任意0[,]x a b ∈，迭代序列均收敛，故称定理2.2为全局收敛性定理．下面讨论*x 邻近的收敛性，即局部收敛性．定理 2.3 设存在方程()x x ϕ=根*x 的闭邻域***(,)[,](0)U x x x δδδδ=-+>以及小于1的正数L ，使得()x ϕ'连续且()1x L ϕ'≤<．则对任意*0(,)x U x δ∈，迭代1()k k x x ϕ+=收敛．证明由()x ϕ'在*(,)U x δ内连续，且有()1x L ϕ'≤<，则对任意*(,)x U x δ∈，有****()()()()x x x x x x L ϕϕϕϕηδδ'-=-=-≤<由定理2.2知迭代过程1()k k x x ϕ+=对任意初值*0(,)x U x δ∈均收敛．二、迭代法的收敛阶为刻画迭代法收敛速度的快慢，引进收敛序列的收敛阶概念．定义2.2 设迭代序列0{}k k x +∞=收敛到*x ，记*k k e x x =-，如果存在常数0c >和实数1p ≥，使得1limk pk ke c e +→∞= (2.13)则称序列0{}k k x +∞=是p 阶收敛的．当1p =时，称0{}k k x +∞=为线性收敛的，此时要求01c <<；1p >为超线性收敛．p 越大，序列0{}k k x +∞=收敛到*x 越快．c 称为渐进常数，c 越小，收敛越快．所以迭代法的收敛阶是对迭代法收敛速度的一种度量．显然，由定理2.2(4)知，当*()0x ϕ'≠时简单迭代法线性收敛，渐进常数*()c x ϕ'=．算法2.2 (简单迭代法)输入初始值0x 、容许误差ε；输出近似解1x 或失败信息；Step 1 对1,,n m = 循环执行Step 2～3； Step 2 10()x x ϕ=；Step 3 若10x x ε-<，则输出1x ，end ；否则01x x =，转向Step2．例 2.4 求方程()2lg 70f x x x =--=的最大实根的近似值，要求绝对误差不超过31102-⨯．解 (1)确定有根区间．方程等价形式为27lg x x -=作函数27y x =-和lg y x =的图形，如图2.2所示，知方程的最大实根在区间[3,4]内．(2)建立迭代公式，判别收敛性．将方程等价变形为1(lg 7)2x x =+迭代函数1()(lg 7)2x x ϕ=+，迭代公式11(lg 7)2k k x x +=+．由11()02ln10x xϕ'=⋅>，[3,4]x ∈，知()x ϕ在区间[3,4]内仅有一根．又(3) 3.74ϕ≈，(4) 3.80ϕ≈，所以，当[3,4]x ∈时，()[3,4]x ϕ∈．图2.2 函数27y x =-和lg y x =的图形因为 3.54max ()(3)0.07x L x ϕϕ≤≤''==≈，所以对于一切[3,4]x ∈有()(3)0.071x ϕϕ''≤≈<由定理2.2知，迭代法收敛．(3) 迭代计算．取0 4.0x =，有1=3.801030x ，2=3.789951x ，3=3.789317x ，4=3.789280x 因为343110 2x x --≤⨯，所以方程的最大根*4 3.789280x x ≈=．三、迭代法的加速对于收敛的迭代序列，理论上迭代次数足够多时，就可以使计算结果满足任意给定的精度要求．但在应用中，有的迭代过程收敛极为缓慢，计算量很大，因此研究迭代格式的加速方法是非常必要的．1. 线性收敛序列的Aitken 加速法设0{}k k x +∞=是一个线性收敛的序列，极限为*x ．即有小于1的正数c 使得*1*limk k k x x c x x +→∞-=-由于它线性收敛，误差减少的速度较慢，值得采用加速技术．下面介绍Aitken 加速法．对充分大的k ，有*1*,k k x x c x x +-≈- *2*1k k x x c x x ++-≈-由上面两式得**12**1k k k k x x x x x x x x +++--≈--解得22*2112121()22k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x +++++++--≈=--+-+利用上式右端的值可定义另一序列0{}k k y +∞=，即得Aitken 加速公式2121()2k k k k k k kx x y x x x x +++-=--+ (2.14)它仍然收敛到*x ，但收敛速度更快．证明请参考文献[19]． 2. Steffensen 迭代法Aitken 加速方案是对任意线性收敛序列0{}k k x +∞=构建的，并不限定0{}k k x +∞=如何获得．将Aitken 加速方法用于简单迭代法产生迭代序列时，得到著名的Steffensen 迭代法，具体迭代公式如下21()()(0,1,2,)()2k k k k k s x t s k s x x x t s x ϕϕ+=⎧⎪==⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩(2.15) 或者直接写成21(())(())2()k k k k k k k x x x x x x x ϕϕϕϕ+-=--+ (0,1,2k =可以证明Steffensen 迭代法在一定的条件下与原简单迭代法的迭代序列具有相同的极限，但Steffensen 迭代法收敛速度更快，可以达到二阶收敛．证明请参考文献[19]．例2.5 对例 2.3用Steffensen 迭代法求方程根的近似值，要求811102k k x x -+-<⨯．解 (1) 简单迭代法将原方程化成1(10/(4))x x =+，建立迭代公式121104k k x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭易验证该迭代公式在区间[1,2]上满足定理2.2的条件，产生的迭代序列收敛．(2) Steffensen 迭代法加速公式为12122110410(0,1,2,)4()2k k k k k s x t k s s x x x t s x +⎧⎛⎫⎪= ⎪+⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨==⎪⎪+⎝⎭⎪-⎪=-⎪-+⎩(1) 取初值0 1.5x =，简单迭代法和Steffensen 迭代法计算结果见表2.3．注意：Steffensen 迭代法每一迭代步的计算量大约是原简单迭代法计算量的两倍．§2.3 Newton 迭代法Newton 迭代法是求解非线性方程根的近似值的一种重要数值方法．其基本思想是将非线性函数()f x 逐步线性化，从而将非线性方程(2.1)近似地转化为一系列线性方程来求解．下面讨论其格式的构造、收敛性、收敛速度以及有关变形．一、Newton 迭代法的构造设k x 是方程(2.1)的某根的一个近似值，将函数()f x 在点k x 处作Taylor 展开2()()()()()()2!k k k k f f x f x f x x x x x ξ'''=+-+-取前两项近似代替()f x ，即用线性方程()()()0k k k f x f x x x '+-=近似非线性方程(2.1)．设()0k f x '≠，则用线性方程的根作为非线性方程根的新近似值，即定义1()()k k k k f x x x f x +=-' (2.16) 上式即是著名的Newton 迭代公式．它也是一种简单迭代法，其中迭代函数()()()f x x x f x ϕ=-' Newton 迭代法具有明显的几何意义(如图 2.3所示)．方程()0f x =的根*x 即为曲线()y f x =与x 轴的交点的横坐标．设k x 是*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上相应的点(,())k k x f x 作切线，其方程为()()()k k k x f x y f x x '+-=它与x 轴的交点横坐标就是1k x +．只要初值0x 取得充分靠近根*x ，序列0{}k k x ∞=就会很快收敛到*x ．所以Newton 迭代法也称为切线法．二、收敛性定理 2.4 设*x 是方程(2.1)的单根，在*x 的邻域上()f x ''连续且*()0f x '≠．则存在0δ>，当***0(,)[,]x U x x x δδδ∈=-+时，Newton 法产生的序列0{}k k x ∞=至少二阶收敛．证明 (1) Newton 法迭代函数的导数为2()()()[()]f x f x x f x ϕ'''='显然，()x ϕ'在*x 邻域上连续．又*()0x ϕ'=，一定存在*x 的某个δ闭邻域*(,)U x δ，当*(,)x U x δ∈时，有()1x L ϕ'≤<从而Newton 法产生的序列0{}k k x ∞=收敛．(2)将()f x 在k x 处作一阶Taylor 展开***210()()()()()()2!k k k k k f x f x f x x x f x x ξ'''==+-+- (2.17) 其中k ξ介于*x 与k x 之间．又由Newton 迭代公式有10()()()k k k k f x f x x x +'=+- (2.18)式(2.17)与式(2.18)相减**21()()2()k k k k f x x x x f x ξ+''-=--'从而**1*2*()lim 0()2()k k kx x f x x x f x +→∞''-=≠'- (2.19) 由迭代法收敛阶的定义知，Newton 迭代法至少具有二阶收敛速度．上述定理给出了Newton 法局部收敛性，它对初值要求较高，初值必须充分靠近方程根时才可能收敛，因此在实际应用Newton 法时，常常需要试着寻找合适的初值．下面的定理则给出Newton 法在有根区间上全局收敛的一个充分条件．定理2.5 设*x 是方程(2.1)在区间[,]a b 上的根且()f x ''在[,]a b 上存在，如果(1) 对于任意[,]x a b ∈有，()0f x '≠()0f x ''≠； (2) 选取初值0[,]x a b ∈，使00()()0f x f x ''>．21则Newton 法产生的迭代序列0{}k k x ∞=单调收敛于*x ，并具有二阶收敛速度．(a)(b)(c) (d)图2.4 定理2.5的几何解释证明满足定理条件(1)共有4种情形，如图2.4所示．下面仅以图2.4(a )情况进行证明，此时满足对任意[,]x a b ∈有，()0f x '>，()0f x ''>，初值*0x x >．首先用数学归纳法证明0{}k k x ∞=有下界*x ．当0k =时，*0x x >成立．假设k n =时，不等式*n x x >成立．将*()f x 在n x 处作一阶Taylor 展开，得***2*()()()()()()0,(,)2!n n n n n n n f f x f x f x x x x x x x ξξ'''=+-+-=∈于是**2()()()()2()n n n n n n f x f x x x x f x f x ξ''=---'' 又由Newton 迭代公式，有22**21()()2()n n n n f x x x x f x ξ+''=--' (2.20)式(2.20)右端的第二项大于零，因此*1n x x +>．由数学归纳法知*k x x >，(0,1,2,)k = ．其次证明0{}k k x ∞=单调递减．由()0f x '>，*k x x >，*()0f x =知，()0k f x >，()0k f x '>，于是Newton 迭代公式(2.16)的第二项大于零，从而1k k x x +>故迭代序列0{}k k x ∞=单调减少．序列0{}k k x ∞=单调减少有下界*x ，它必有极限，记为ˆx ，它满足*0ˆx x x ≤<，进而有ˆ[,]xa b ∈．对1()()k k k k f x x x f x +=-'两端取极限，并利用()f x ，()f x '的连续性，得ˆ()f x=0．结合函数()f x 在[,]a b 上的单调性知*ˆxx =．因此，Newton 法产生的迭代序列0{}k k x ∞=单调收敛于*x ，利用式(2.20)及式(2.19)知该Newton 迭代序列二阶收敛．算法2.3 (Newton 迭代法)输入初始近似值0x 、容许误差ε；输出近似解1x 或失败信息；Step 1 对1,,n m = 循环执行Step 2～3； Step 2 1000()/()x x f x f x '=-；Step 3 若10x x ε-<，则输出1x ，end ；否则01x x =，转向step2．例 2.6 利用非线性方程230x -=的Newton 迭代公式计算的近似值，使得811102n n x x ---≤⨯，并证明对任意0(0,)x ∈+∞，该迭代法均收敛．解 (1) 建立计算公式213213(0,1,2,)(2)k k k kk kk x x x x x x +-=-=+=其中00x >．(2) 判断收敛性在区间(0,)+∞内，()20f x x '=>，()20f x ''=>，当选取初值0)x ∈+∞时，存在足够大的M，使得0]x M ∈．由定理 2.5知，该迭代公式产生的迭代序列0{}k k x ∞=都收敛于当选取初值0x ∈时，100013()2x x x x =+> 这样，从1x 起，以后的(2)k x k ≥．故该迭代公式对任何初值00x >都收敛． (3) 取初值02x =，迭代计算，结果见表2.4．23从表2.4可见，迭代4 1.73205080756888= ．三、Newton 迭代法的变形Newton 迭代格式构造容易，迭代收敛速度快，但对初值的选取比较敏感，要求初值充分接近真解，另外对重根收敛速度较慢（仅有线性收敛速度），而且当函数复杂时，导数计算工作量大．下面从不同的角度对Newton 法进行改进． 1 Newton 下山算法Newton 迭代法的收敛性依赖于初值0x 的选取，如果0x 偏离*x 较远，则Newton 迭代法有可能发散，从而在实际应用中选出较好的初值有一定难度，而Newton 下山法则是一种降低对初值要求的修正Newton 迭代法．方程(2.1)的根*x 也是()f x 的最小值点，若把()f x 看成()f x 在x 处的高度，则*x 是山谷的最低点．若序列0{}k k x ∞=满足单调性条件1()()k k f x f x +< (2.21)则称0{}k k x ∞=为称为()f x 的下山序列．在Newton 迭代法中引入下山因子(0,1]λ∈，将Newton 迭代公式(2.16)修正为1()(0,1,2,)()k k k k f x x x k f x λ+=-=' (2.22)适当选取下山因子λ，使得单调性条件(2.21)成立，即称为Newton 下山法．对下山因子的选取是逐步探索进行的．一般地，从1λ=开始反复将因子λ的值减半进行试算，一旦单调性条件(2.21)成立，则称“下山成功”；反之，如果在上述过程中找不到使条件(2.21)成立的下山因子λ，则称“下山失败”，这时可对k x 进行扰动或另选初值0x ，重新计算．2 针对重根情形的加速算法假设*x 是方程的(2)m ≥重根，并且存在函数()g x ，使得有**()()(),()0m f x x x g x g x =-≠ (2.23)式中()g x 在*x 的某邻域内可导，则Newton 迭代函数***1**()()()()()()()()()()()()()()m m m f x x x g x x x g x x x x x f x m x x g x x x g x mg x x x g x ϕ---=-=-=-'''-+-+-，其导数在*x 处的值***********()()()()()()()()lim lim()1lim11()()()x x x x x x x x g x x x x x mg x x x g x x x x x x g x m mg x x x g x ϕϕϕ→→→---'-+-'==--=-=-'+- 所以*0()1x ϕ'<<，由定理2.2知Newton 迭代法此时只有线性收敛速度．为了加速收24敛，可以采用如下两种方法方法一令()()()f x x f x μ='，则*x 是方程()0x μ=的单根，将Newton 迭代函数修改为 2()()()()()[()]()()x f x f x x x x x f x f x f x μψμ'=-=-''''- 因此有重根加速迭代公式12()()(0,1,2,)[()]()()k k k k k k k f x f x x x k f x f x f x +'=-='''- (2.24)它至少二阶收敛．方法二将Newton 迭代函数改为()()()f x x x mf x ϕ=-' 这时*()0x ϕ'=，由此得到加速迭代公式1()(0,1,2,)()k k k k f x x x mk f x +=-=' (2.25)3 割线法Newton 法每步需要计算导数值()k f x '．如果函数()f x 比较复杂时，导数的计算量比较大，此时使用Newton 法不方便．为了避免计算导数，可以改用平均变化率11()()k k k k f x f x x x ----替换Newton 迭代公式中的导数()k f x '，即使用如下公式111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=--- (2.26)上式即是割线法的迭代公式．割线法也具有明显的几何意义，如图2.5所示，依次用割线方程11()()()()k k k k k k f x f x y f x x x x x ---=+--的零点逐步近似曲线方程()0f x =的零点．割线法的收敛速度比Newton 法稍慢一点，可以证明其收敛阶约为1.618，证明请参考文献[4]．此外在每一步计算时需要前两步的信息1,k k x x -，即这种迭代法也是两步法．两步法在计算前需要提供两个初始值0x 与1x ．25图2.5 割线法的几何意义例2.7 已知方程42()440f x x x =-+=有一个二重根*x =Newton 法(2.16)和重根Newton 法(2.24)和(2.25)求其近似值，要求611102n n x x ---≤⨯解 32()48,()128f x x x f x x '''=-=-，2()2()()4f x x x f x xμ-=='，2m =．由Newton 法(2.16)得221232(0,1,2,)44k k k k k kx x x x k x x +-+=-==由Newton 法(2.24) 得2122(2)4(0,1,2,)22k k kk k k k x x x x x k x x +-=-==++由Newton 法(2.25) 得22122(0,1,2,)22k k k k k kx x x x k x x +-+=-==利用上述三种迭代格式，取初值0 1.4x =，分别计算，结果见表2.5．26知识结构图习题1 用二分法求方程2sin 0x e x --=在区间[0,1]内根的近似值，精确到3位有效数字．2 方程340x x +-=在区间[1,2]内有一根，试用二分法求根的近似值，使其具有5位有效数字，至少应二分多少次．3已知方程3210x x --=在0 1.5x =附近有根，试判断下列迭代格式的收敛性，并用收敛的迭代公式求方程根的近似值，比较迭代次数，要求311102n n x x ---≤⨯(1) 1211n nx x +=+；(2) 1n x +=；(3) 1n x +．4设有方程(1) cos 0x x -=； (2) 230x x e -=确定区间[,]a b 及迭代函数()x ϕ，使1()k k x x ϕ+=对任意初值0[,]x a b ∈均收敛，并求各方程根的近似值，要求411102n n x x ---≤⨯．5 用迭代法求50.20x x --=的正根，要求准确到小数点后5位．6 用Steffensen 迭代法求方程31x x =-在区间[1,1.5]内的根，要求准确到小数点后4位．7 用Newton 法和割线法分别求方程3310x x --=在02x =附近根的近似值，并比较迭代次数(根的准确值为* 1.87938524x = ，要求准确到小数点后4位)．8Halley 法是加速Newton 法收敛的一个途径，Halley 法在()f x 的单根情况下可达到三阶收敛．Halley 迭代函数是12()()()()1()2(())f x f x f x g x x f x f x -''⎛⎫=-- ⎪''⎝⎭其中括号中的项是对Newton 迭代公式的改进．(1) 设函数2()f x x a =-，试给出Halley 迭代公式，取初值02x =求5的近似值，要求准确到小数点后10位．(2) 设函数3()32f x x x =-+，试给出Halley 迭代公式，取初值0 2.4x =计算其根的近基本概念（单根、重根、收敛阶）27似值．要求准确到小数点后10位．9试建立计算x =Newton 迭代公式，并取初值01x =，要求611102n n x x ---≤⨯．10 （数值试验）用二分法和Newton 法求下列方程的惟一正根的近似值)0.50x x x =11 （数值试验）设投射体的运动方程为/15/15()9600(1)480()2400(1)t t y g t et x h t e --⎧==--⎪⎨==-⎪⎩１）求当撞击地面时的时间，精确到小数点后10位．２）求水平飞行行程，精确到小数点后10位．12 （数值试验）试用Newton 法分别求解方程(1)0m x -=，(3,6,12m =)，观察迭代序列的收敛情形，分析所发生的现象．能否改造Newton 法使得它收敛更快．。

数值计算方法第2章2-1节

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0，则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可在(a,b)上任取一点x0作为初始近似根。

《数值分析第二章》PPT课件

定理2.1
顺序高斯消去法的前 n1 个主元
a (k ) kk
均不
为零的充要条件是 Ax b 的系数矩阵 A 的前 n 1个
顺序主子式
a a (1) (1) 11 12
Dk
a(1) 21
a(1) 22
a(1) 1k
a(1) 2k
0
(k1,2,...,n1).
a a (1) (1) k1 k2
a(1) kk
(1)
4 x2 x3 5
(2)
2
x1
2
x2
x3
1
(3)
解 <1> 化上三角方程组
x1 x2 x3 6
①
4 x2 x3 5
②
③+(-2)×①
2
x1
2 x2
x3
1
③
x1 x2 x3 6
①
4 x2 x3 5
②
④+ ②
4 x2 x3 11
④
x1 x2 x3 6
检验
原方程组：
0.012x1 0.010x20.167x3 0.6781
x10.8334x25.910x3 12.1
3200x1 1200x2 4.2x3 981
近似解： x 3 5 .5 4 6 ,x 2 1 0 0 .0 ,x 1 1 0 4 .0
把上近似解代入第 3 个方程后，得
3200×(-104)+1200×100 +4.2×5.546 = -2.1278e+005
列主元素消去法求解方程组时，各个列主元素
a (k ) ik k
均不为零。
证
设有一个列主元素
a
(r ) ir r

数值分析2-03PPT课件

h0,1 (
x)
h1 (
x
h
x0
),
则
h1,1 (
x)
h1 (
x1
h
x
),
h0,1 ( x0 ) 1,
h0,1 (
x0
)
h0,1 (
x1
)
h0
,1
(
x1
)
0.
h1,1 ( x1 ) 1, h1,1( x0 ) h1,1( x0 ) h1,1( x1 ) 0.
湘潭大学数学与计算科学学院
定理3.2 若f C 3[a,b], f (4)( x) 在 (a,b) 存在，则对
x [a,b], 两点Hermite插值问题解的误差为
(
x0
)
h0
,0
(
x1 )
0.
h0,1 ( x0 ) 1,
h0,1 (
x0
)
h0,1 (
x1
)
h0
,1
(
x1
)
0.
h1,0 ( x1 ) 1, h1,0 ( x0 ) h1,0( x0 ) h1,0( x1 ) 0.
0 (ht1),1( x(11 )t1)2,(1 h21,t1)(,x0) 1(th)1,1(tx(10 )t )h21,,1(t x1 )[0,10].
上一页下一页 8
综合为
h0,0
(
x
)
0
(
x
h
x0
),
h1,0 ( x)
0
(
x1
h
x ),
h0,1 (
x)
h1 (
x
h
x0
),
h1,1 (

数值分析第2章插值法PPT课件

P(x) f(x) = y
上页下2 页
2.1 引言
2.1.1 插值问题
设 y= f(x) 是区间[a , b] 上的一个实函数, xi ( i=0,
1, ... ,n)是[a,b]上n+1个互异实数,已知 y=f(x) 在 xi 的
值 yi=f(xi) (i=0,1,...,n), 求一个次数不超过n的多项式
上页 1下1 页
或用直线的两点式表示为：
L1(x)y0x x0 x x11y1x x1 x x00.
记
l0(x)x x0 x x 1 1, l1(x)x x1 x x0 0.
l l 则称： 0 ( x )叫做点 x 0的一次插值基函数 1 ( x )为
点 x 1的一次插值基函数
上页下7 页
2.2 拉格朗日插值
2.2.1 基函数
考虑最简单、最基本的插值问题. 求n次插值多项式 l i(x) (i=0,1, …,n), 使其满足插值条件
Lagrange 法1736-1813
0, ji li(xj) 1, ji (j0,1, ,n ) 可知, 除 xi点外, 其余都是 li(x)的零点, 故可设 l i ( x ) A ( x x 0 ) (xx i 1)(xx i 1) ( x x n )
证设所求的插值多项式为
Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn
(5-2)
则由插值条件式Pn(xi)=yi (i=0,1, ..., n) 可得关于系数 a0 ,a1 , …,an的线性代数方程组
上页下6 页
a0 a1x0 anx0n y0
a0
a1x1

数值分析课件第二章

可以用基函数的方法求 L 2 ( x ) 的表达式，此时基函数
l k 1 ( x ), l k ( x ), l k 1 ( x ) 是二次函数，且在节点上满足条件 l k 1 ( x k 1 ) 1,
l k ( x k ) 1,
l k 1 ( x j ) 0 ,
( j k , k 1);
16
yk
y k 1
2.2.2
拉格朗日插值多项式
将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过
n 1 个节点 x 0 x1 x n 的 n 次插值多项式 L n ( x ) .
根据插值的定义
Ln ( x )
应满足（2.6）
Ln ( x j ) y j
( j 0 ,1, , n ).
L1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1l k 1 ( x ) L 2 ( x ) y k 1l k 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1l k 1 ( x )
20
n 1 ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x n ),
Ln ( x j ) y j
( j 0 ,1, , n ).
（2.6）
19
形如（2.9）的插值多项式 L n ( 称为拉格朗日插值多项式， x) 而(2.3)与(2.5)是
L
n
n 1 的特殊情形 n2 和 .
(x)

n
k 0
y k lk ( x ).
（2.9）（2.3）（2.5）
为构造 L n ( x ) ，先定义 n 次插值基函数.
17
定义1
若 n次多项式 l j ( x ) ( j

计算方法第二章ppt

当方程组的系数矩阵为非奇异矩阵（即满秩矩阵）时，高斯消元法可求得唯一解。
列主元高斯消元法
列主元高斯消元法的基本思想
在高斯消元法的基础上，每次选取列中绝对值最大的元素作为主元进行消元，以避免出现小主元导致的误差放大问题。
列主元高斯消元法的步骤
首先选取第一列中绝对值最大的元素作为主元，通过行交换将其移到第一行第一列位置，然后进行高斯消元。在后续的消元过程中，每次均选取当前列中绝对值最大的元素作为主元进行消元。
100%
数值解法
通过计算机求解常微分方程的近似解的方法，主要包括欧拉方法和龙格-库塔方法等。
80%
离散化与步长
将连续的时间或空间域离散化，取离散点上的函数值作为近似解，步长是相邻离散点间的距离。
欧拉方法
显式欧拉法
一种简单的数值解法，通过前一步的函数值及其导数来推算下一步的函数值。
隐式欧拉法
通过求解一个非线性方程来得到下一步的函数值，具有较高的精度和稳定性。
改进欧拉法
结合显式欧拉法和隐式欧拉法的优点，提高算法的精度和效率。
龙格-库塔方法
龙格-库塔法基本思想
自适应步长龙格-库塔法
通过多步计算并利用泰勒级数展开式，得到更高精度的近似解。
根据误差估计自动调整步长，实现精度和计算效率的动态平衡。
标准四阶龙格-库塔法
一种常用的高精度数值解法，具有局部截断误差为$O(h^5)$的优点。
常微分方程数值解法误差分析
局部截断误差
数值解法在单步计算中所产生的误差，可以通过泰勒级数展开式进行估计。
全局误差
数值解法在整个计算过程中所产生的累积误差，与算法稳定性、步长选择等因素有关。

《计算方法第二章》PPT课件

的解的数值方法。
• 迭代法：Iteration
从给定的一个或几个初始近似值x0 , x1 , … , xr 出发，按某种方法产生一个序列
x0 , x1 , … , xr , xr+1 , … , xk , …
(1.2)
称为迭代序列，使得此序列收敛于方程
f(x)=0 的一个根p, 即
xk→p, (k→∞), 这样，当k足够大时，取xk作为p的一个近似值。
我们通常的做法：
因为局部收敛方法比大范围收敛方法收敛的更快。所以，一个合理的算法是先用一种大范围收敛方法求得接近于根的近似值，再以其作为新的初始值使用局部收敛方法。
§2 区间分半法[Interval Having]
• 理论依据： • 闭区间上连续函数的零点定理 • 区间套定理 • 根本思想 • 优缺点 • 程序简单，对函数性质要求低，敛
否则 x 0 p .
s te p 4输出（ ‘ M e t h o df a i l e d ’ ） ; 停机。
局部收敛定理：（P20 定理 1）
设 g( x) 为定义在有限区间 I=[a, b] 上的
一个实函数，它满足下列条件：
（I） x I, g(x) I ; （映内性）
（II）满足 Lipschitz 条件。即存在正常数 L<1,
step2p (ab)/2.
step3若 f(p)TO 1或 L(ba)/2TO 2L 则输出（ p ），停机。
step4若 f(p)f(b)0,则 a p,否b则 p.
step5 输出（ ‘ Method failed’ ） ; 停机。
区间分半法产生的序列 p n n 1

数值计算方法第二章讲义ppt

一、二分法 ——算法的收敛性
二分法产生一个含根区间序列： [a, b] [a1 , b1 ] ... [ak , bk ] ...
f ( x)
其中区间[ak , bk ]的长度为：
a1
b1
1 1 x0 b bk ak (bk 1 ak 1 ) ... k (b a). a 2 2 ak bk 因此，当 k 足够大时，我们可以用 xk 作为函数 2 常用来估计k的值 f ( x)的一个根的近似值。
if fx = = 0|(b-a)/2<Tol x break end i=i+1; if fa * fx>0 a=x; fa=fx; else b=x; end end
例2.1 用二分法求方程 f ( x) x3 x 1 0
在[1,1.5]内的实根，要求 0.005.
解由于 f (a) f (1) 1 0, f (b) f (1.5) 0.875 0,
因而
f ( x) 0
在区间[1,1.5]上至少存在一个根。由误差估计式
| xk | b a 1.511 0.005 2k 1 2k
即可推出所需的迭代次数满足 k 6.
其具体过程如下：
k
0 1 2
ak
1.0000 1.2500 1.2500
bk
1.5000 1.5000 1.375
此时有误差估计：
bk ak b a xk k 1 . 2 2
bk ak b a xk k 1 . 2 2

2
k 1

ba

,
ln(b a ) ln 2 k . ln 2

数值分析课件第二章_非线性方程求根

*
| xn x || ( xn 1 ) ( x ) |
* *
| ( ) || xn 1 x* |
*
| xn x | L | xn1 x | | xn x | L | x0 x |
* n *
lim | xn x | lim L | x0 x | 0
x*即为不动点。
不动点存在的唯一性证明：
设有 x1*≠ x2*, 使得
* 1 * 2 * 1
(x ) x
* 1
* 1
(x ) x
* 2
* 2
* * 则 | x x || ( x ) ( x ) || ( ) || x1 x2 | * 2
其中，ξ介于 x1* 和 x2* 之间。
由于
计法

Ln xn x * x1 x0 1 L
很难估计，采用事后估
| xn x* |
1 | xn 1 xn || xn 1 xn | ，L大误差大。 1 L
不动点迭代法可以求方程的复根和偶数重根。
例用不同方法求 x 2 3 0 在x=2附近的根。解：格式（1）
则对任意x0 [a, b]，由xn+1=(xn )得到的迭代序列{xn }收敛到(x)的不动点x *，并有误差估计：
1 | xn x | | xn 1 xn | 1 L
*
L xn x * x1 x0 1 L
n
证明：
xn ( xn1 ) * * x ( x )
x0
O
x1
x3 x * x2
x0
y ( x)
发散
y ( x)
O

《数值分析》课件-第2章

（1）
则称ϕ (x)
为
f
(x)
在
Φ
中关于节点
{xi
}n i=0
的一个插值函数。
f (x) ——被插值函数； [a, b] ——插值区间；
{xi
}n i=0
——插值节点；
式（1）——插值条件.
2004-9-9
3
2 . 几何意义、内插法、外插法
M~
=
max{x
i
}n i =0
m~
=
min{x
i
}n i =0
2004-9-9
内插
x ∈[m~, M~ ]
外插 x ∈[a, b] but x ∉[m~, M~ ]
4
3. 多项式插值问题
对于不同的函数族Φ的选择，得到不同的插值问题
当Φ为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当Φ为一些有理分式集合时：有理插值；当Φ为一些多项式集合时：多项式插值
{ } 特别的取 Φ = Pn =∆ span 1, x, x2 ,L, xn , 即
g
(t )
在区间
[a,
b]
上的
n
+
2
个互异零点：
x
、
{xi
}n i=0
当 g(t) 充分光滑时， g (n+1) (t) 在开区间 (a, b) 内至少存在一个零点ξ
g g
(n (n
+1) +1)
(t) =
(ξ ) =
f( 0
n+1)
(t
)
−
(n
+
1)!k
(
x)
⇒
k
(

数值分析第二章PPT

提示已知道
§4 差分与等距节点插值
上节讨论任意分布节点的插值公式，应用时常碰到等距节点的情形，此时插值公式可简化，为此先介绍差分．一、差分及其性质
差分的基本性质:
差分表:
k fk ∆
∆2
0 f0
∆f0
1 f1
∆2f0
∆f1
2 f2
∆2f1
∆f2
3 f3
∆2f2
∆f3
┆
4 f4 ┆
┆┆
• 解 x0 = − 1, x1 = 1,
f(0.5)≈H3(0.5) = 3.5625.
例2 给定 f(0) = 1, f(1) = 2, f '(0) = 2, 构造二次插值函数。
• 解公式法
•
设 f '(1) = m1，有三次Hermite插值公式得，
令 m1 = 0，得到二次Hermite插值函数 H2(x) = −x2 + 2x + 1.
利用
sin 50内0 插L1(通51p8常) 优0于.77外614推。这选里择
而要计算的 x 所在的区间的
端点，插值效果较好。
sin 50 = 0.7660444…
外推 /* extrapolation */ 的实际误差 0.01001
利用
sin 50 0.76008,
内插 /* interpolation */ 的实际误差 0.00596
二、拉格朗日插值多项式
需要指出…
练习给定数据表
xi
ห้องสมุดไป่ตู้
01 2
3
yi
0 1 5 14
求三次拉格朗日插值多项式L3(x).
三、插值余项与误差估计

数值分析课件非线性方程的迭代解法方程求根

k
解: 改写为以下两种等价方程 0
方法1 1.5
方法2 1.5
(1)x x3 1, (2)x 3 x 1 1 2.375 1.35721
建立迭代公式:(1)xk 1

x
3 k
1;
2
(2)xk 1 3 xk 1
3
4
各步迭代结果如下：
5
12.39
1.33086 1.32588 1.32494 1.32476
定义：迭代公式 xk+1= g(xk) (k= 0,1, …) 被称为求
解方程 f(x)=0 的简单迭代法（不动点迭代法），其中g(x)称为迭代函数。
注：上述迭代法是一种逐次逼近法，其基本思想是将隐式方程归结为一组显示的计算公式，就是说，迭代过程是一个逐步显示化过程。
例:
求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根。
求 g(x) 不动点的过程
找s,使得s = g(s).
从一个初值 x0 出发，计算
x1= g(x0), x2= g(x1), … , xk+1= g(xk), …
若
{
xk
}
收敛,即存在实数
s
使得
lim
k
xk

s且
g(x)
连续，
则由
lim
k
xk
1
lim g k
xk
可知 s=g(s), 即 s是 g 的不动点, 它也是 f 的零点.
二分法求根思想
找有根区间序列(ak , bk); 用(ak , bk)的中点近似根.
二分法：
设一元非线性函数 f (x) 在 (a, b) 内只有一个零点s , 用二分法求f (x)=0实根的过程如下:

《数值计算方法》课件 (2)

模拟仿真
应用数值计算方法进行仿真和实验，验证理论和验证结果。
数值计算方法的发展
历史演变
回顾数值计算方法的发展历程和重要里程碑。
未来趋势
展望数值计算方法在人工智能和大数据时代的应用前景。
数值计算方法与其他学科的关联
1
数学
数值计算方法是数学在计算科学中的具体应用。
2
计算机科学
数值计算方法依赖于计算机科学的算法和数据结构。
2
优化算法
探讨数值计算方法的优化法，如梯度下降和共轭梯度法。
3
实际应用
展示数值计算方法在实际问题中的应用，如最优化和插值。
数值计算方法的误差分析
1 精度和稳定性
解释数值计算方法的精度和稳定性以及其对计算结果的影响。
2 截断误差
讨论数值计算方法中的截断误差产生原因和如何减小误差。
3 舍入误差
3
工程学
数值计算方法在工程学中的应用广泛，如结构分析和流体力学。
结语
数值计算方法是计算科学和工程学中的基础领域，掌握数值计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
解释数值计算方法中的舍入误差，以及浮点数表示和运算的限制。
数值计算
数值计算是利用计算机进行数值计算的过程，通过数值计算方法解决实际问题，如方程求解和函数逼近。
数值计算方法的选择
决策方面
评估不同数值计算方法在特定问题上的可行性和效果。
数据分析
比较数值计算方法在数据处理和模型拟合中的效率和准确性。
《数值计算方法》PPT课件 (2)
数值计算方法的介绍 - 什么是数值计算方法 - 数值计算方法的应用领域 - 数值计算方法的重要性数值计算方法的基本原理 - 数值计算方法的概念 - 常用的数值计算方法 - 数值计算方法的数学原理