2019年江苏省高考理科数学试题及答案
2019年江苏高考试题(数学_word解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．（2019年江苏省5分）已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．【答案】{}1,2,4,6。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6AB =。
2．（2019年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。
将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。
因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2019年江苏省5分）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + 。
4．（2019年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。
2019高考数学江苏卷(附参考答案和详解)
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2019年高考真题数学(江苏卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共 4页，均为非选择题 (第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据x1,x2,⋯,x n的方差s21n n12x i x ，其中xi1 nnx i．i1柱体的体积V Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．锥体的体积V 1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合 A { 1,0,1,6}，B {x|x 0,x R}，则A B ▲.2．已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是▲. 3．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.4．函数y 7 6x x2的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2y21(b0)经过点（3，4)，则该双曲线的b2渐近线方程是▲.8．已知数列{a n}(n N*)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5a80,S927，则S8的值是▲.9．如图，长方体ABCD A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是▲.410．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx (x0)上的一个动点，则点P到直线xx+y=0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是▲.12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若ABAC6AOEC，则AB的值是▲.AC13．已知tan 2，则sin2 π的值是▲.π 3 4tan4．设f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为，g(x)的周期为，且14 4 2k(x2),0 x 1f(x)是奇函数.当x (0,2]时，f(x) 1 (x 1)2，g(x) 12 ，,1x 2其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=2，cosB=2，求c的值；3（2）若sinA cosB，求sin(B)的值．a 2b 216．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2y21(ab0)的焦点为（–1、0），a2b2F1 F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x1)2y24a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1=5．2（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为百米）．（1）若道路 PB与桥ACAB 和BD（C、D垂直，求道路为垂足），测得PB的长；AB=10，AC=6，BD=12（单位:（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA 的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R、f'(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在集合{ 3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a 0,0b,1,c 1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4．27 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n}(n N*)满足：a2a4a5,a34a24a40，求证:数列{an} 为“M－数列”；（2）已知数列{bn}满足:b11,1 2 2 ，其中Sn为数列{bn}的前n项和．S n b n b n1①求数列{bn}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n}(n N*)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k剟b k c k1成立，求m的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）3 1已知矩阵 A2 2（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A3,,B2, ，直线l的方程为sin 3.4 2 4（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x R，解不等式|x|+|2x1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计 20分．请在答题卡指定区域内作答，解．．．．．．．答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设(1 x)n a0a1x a2x2a n x n,n⋯4,n N*.已知a322a2a.4（1）求n的值；（2）设(1 3)n a b3，其中a,b N*，求a23b2的值.23（.本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,(n,0)}，B n(0,1),(n,1)},C n{(0,2),(1,2),(2,2), ,(n,2)},n N.令M n A n B n C n.从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.{1,6}2.23.54.[1,7]56.77.y 2x 5.1038.16 9.10 10.4 11.(e,1) 12.3 13. 2 14. 1, 210 3 4二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为a 3c,b 2,cosB 2 ，3由余弦定理cosB a2c2b2，得 2 (3c)2c2(2)2，即c2 1 .2ac 3 2 3c c 33.所以c3（2）因为sinA cosB，a 2b由正弦定理 a b ，得cosB sinB，所以cosB 2sinB.sinA sinB 2b b4 从而cos2B (2sinB)2，即cos2B 41cos2B，故cos2B .5因为sinB 0，所以cosB 2sinB 0，从而cosB 2 5. 5因此sinB π 2 5. 2cosB516.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.又因为BE?平面ABC ，所以CC 1⊥BE.因为C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C ∩AC=C ，所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C1E?平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭圆 C 的焦距为 2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1= 5，AF 2⊥x 轴，所以DF2= DF 12 F 1F 22(5)2 223， 22 2因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为x2y 21 .4 3 （2）解法一：由（1）知，椭圆C ：x2y 21， ，43 a=2因为AF 2⊥x 轴，所以点 A 的横坐标为1.将 x=1代入圆F 2的方程(x-1)2+y 2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以 A(1，4).又 F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.y2x 2 ，得5x 26x 110，由1) 2 y 2(x 16解得x 1或x 11.11 5 12将x 代入y 2x2，得y，5 5因此B( 11, 12).又F 2(1，0)，所以直线BF 2：y 3(x1).554y3(x1)13由4，得 2，解得 x 1 或x y 2 7x6x130.x 2 1 7 4 3又因为 E 是线段BF2与椭圆的交点，所以x 1.将x1代入y 3(x 1)，得y 3.因此E(1,3).42 2 解法二：由（1）知，椭圆C ：x2 y 21 .如图，连结EF1.4 3因为BF2=2a ，EF1+EF2=2a ，所以EF1=EB ，从而∠BF1E=∠B.因为F2A=F2B ，所以∠A=∠B ，所以∠A=∠BF1E ，从而EF1∥F2A.因为AF2⊥x 轴，所以 EF1⊥x 轴.x13 因为F1(-1，0)，由x 2y2，得y. 4 123又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以 y 3 .23因此E(1, ).18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力 .满分16分.解：解法一：（1）过A 作AEBD ，垂足为E.由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，DEBEAC6,AECD8.'因为PB ⊥AB ，所以cosPBDsin84ABE.105BD 12所以PB 15.cosPBD 45因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知AD AE2ED210，AD2AB2BD27，所以∠BAD为锐角.从而cosBAD 02ADAB 25所以线段AD上存在点到点 O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求 .综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°，对线段时PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P1为l上一点，且PB1AB，由（1）知，P1B=15，此时PD1PB1sinPBD1PB1cosEBA15 39；5当∠OBP>90°时，在△PPB中，PB PB1 1 由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得 QA≥15，点Q只有位于点15.C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ QA2AC215262321.此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=3 21时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 21.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+3 21（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，-3.因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（-4，-3），直线AB的斜率为3.4因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为4，4 253x直线PB的方程为y.3 3所以P（-13，9），PB(134)2(93)215.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（-4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（-4，9），又A（4，3），所以线段AD：y 3x6(4剟x4). 4在线段AD上取点M（3，15），因为OM3215 232425，4 4 所以线段AD上存在点到点 O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设P为l上一点，且P B AB，由（1）知，PB=15，此时P（-13，9）；1 1 1 1当∠OBP>90°时，在△PPB1中，PBPB115.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q（a，9），由AQ(a4)2(93)215(a4)，得a=43 21，所以Q（4321，9），此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（-13，9），Q（4 321 ，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ4321 (13)17 321.因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17321（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为abc，所以f(x) (x a)(xb)(x c) (x a)3．因为f(4) 8，所以(4 a)38，解得a 2．（2）因为b c，所以f(x) (xa)(x b)2x3(a 2b)x2b(2ab)x ab2，从而f'(x) 3(xb)x 2ab．令f'(x)0，得x b或x 2ab．3 3因为a,b,2a b，都在集合{3,1,3}中，且a b，3所以2ab 1,a3,b 3．3此时f(x) (x3)(x 3)2，f'(x)3(x 3)(x1)．令f'(x) 0，得x 3或x 1．列表如下：x ( , 3)3( 3,1) 1(1, ) f'(x)+ 0 –0+ f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1) (13)(13)232．（3）因为a 0,c 1，所以f(x)x(x b)(x1) x3(b 1)x2bx，f'(x)3x22(b 1)x b．因为0 b 1，所以4(b 1)212b (2b1)2 3 0，则f'(x)有2个不同的零点，设为x1,x2x1x2．由f'(x) 0，得x1b1 b2b1,x2b1 b2b1．3 3列表如下：x (,x1)x1x1,x2x2(x2, ) f'(x) + 0–0 +f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值M fx1．解法一：Mfx1x13(b1)x12bx122(b 1)x1 b x1b 1 2b2 b 1 b(b 1)3x13 9 9x192b 2b 1(b 1) b(b 1) 2 23b b1279 27b(b 1) 2(b1)2(b 1) 2(b(b 1) 1)327 27 27b(b 1)24．因此M 4．27 27 27 27解法二：因为0 b 1，所以x1(0,1)．当x (0,1)时，f(x)x(xb)(x 1) x(x 1)2．令g(x) x(x 1)2,x(0,1)，则g'(x)3x 1(x1)．31令g'(x) 0，得x ．列表如下：3x (0,1) 1 (1,1)3 3 3g'(x)+ 0 –g(x)极大值所以当x 1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)max g14．3 3 27所以当x (0,1)时，f(x)4，因此M4g(x) ．27 2720．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）设等比数列 {an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.a2a4a5，得a12q4a1q4a1 1由4a24a10 a1q2，解得．a34a1q4a10 q2 因此数列{a n}为“M—数列”.（2）①因为1 2 2，所以b n0．S n b n b n 11 2 2由b11,S1b1得1 1 b2，则b2 2.1 2 2S n b n b n1，由b n ，得2(b n1b n)S n b n1当n 2时，由b n S n S n1，得b nb n b n1 b n1b n，2b n1b n2b n b n1整理得b n1b n 1 2bn．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{b n}的通项公式为bn=n n N*.②由①知，bk=k，kN*.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以q k1k qk，其中k=123，⋯，m.，，当k=1时，有q≥1；当k=2，3，⋯，m时，有lnk lnq lnk．k k1设f（x）=lnx1) ，则f'(x)1 lnx(xx2．x令f'(x) 0，得x=e.列表如下：x (1,e) e (e+∞)，f'(x) +0–（f x）极大值因为ln2ln8 ln9 ln3f(k)max f(3)ln32 6 6，所以3．3取q 33，当k=1，2，3，4，5时，lnk,lnq，即k q k，k经检验知q k1k也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4–2：矩阵与变换 ]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为A3 12 ，2所以A23 1 3 12 2 2 23 3 1 2 3 1 1 2 11 5=3 2 2 2 1 2 =10．2 2 6 （2）矩阵A的特征多项式为f()3 1 25 4.2 2令f() 0，解得A的特征值1 1,24.B．[选修4–4：坐标系与参数方程 ]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（2，），4 2由余弦定理，得AB= 32(2)22 3 2 cos() 5.2 4（2）因为直线l的方程为sin( ) 3，4则直线l过点(32, )，倾斜角为3．2 4B l的距离为(3 2 2) 3 )2.又B(2,)，所以点到直线sin(2 4 2C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x<–1：3当0≤x≤1时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；2当x>1时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.2综上，原不等式的解集为{x|x 1或x1}.322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为(1 x)n C n0C1n x C n2x2C n n x n，n4，所以a2C n2n(n 1),a3C n3n(n1)(n 2) ，2 6a4C n4n(n1)(n 2)(n3) ．24因为a322a2a4，所以[n(n1)(n2)]2 2 n(n 1) n(n1)(n 2)(n3) ，6 2 24解得n5．（2）由（1）知，n 5 ．(1 3)n(13)5C50C153C52(3)2C53(3)3C54(3)4C55(3)5a b 3．解法一：因为a,b N*，所以a C503C529C5476,b C513C539C5544，从而a23b2762 3 44232．解法二：(1 3)5C50C15(3)C52(3)2C53(3)3C54(3)4C55(3)5C50C153C52(3)2C53(3)3C54(3)4C55(3)5．因为a,b N*，所以(1 3)5 a b3．因此a23b2(a b3)(a b3) (1 3)5(1 3)5(2)532．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当n 1时，X的所有可能取值是1，2，2，5 ．X的概率分布为P(X1) 7 7,P(X 2)4 42 2 ，C615 C615P(X2) 2 2,P(X 5) 2 2．C6215 C6215（2）设A(a，b)和B(c，d)是从M n中取出的两个点．因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑X n的情况．①若b d，则AB n，不存在X n的取法；②若b 0，d 1，则AB(a c)2 1 n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0，c n或an，c 0，有2 种取法；③若b 0，d2，则AB(ac)2 4 n24，因为当n 3时，(n1)24n，所以X n当且仅当ABn24，此时a 0，c n或a n，c0，有2种取法；④若b 1，d 2 ，则AB(a c)2 1 n21，所以X n当且仅当AB n21，此时a 0，c n或a n，c 0，有2种取法．综上，当X n时，X的所有可能取值是n21和n24，且P(X n 21)4,P(X n24)2．C2n2 4 C2n2 4P(Xn) 1P(X n21)P(X n24)1 6因此，C2n24．。
2019年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
2019年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ． 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4． 6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．【答案】6320 【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯． 8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ． 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z 2 ． 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+=xAB C1A DE F1B1C213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ． 11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
2019年江苏省高考数学试卷及参考答案
数学I试题参考公式：样本数据:，.v2，…..V,,的方差^7) 2 ,其中£ = +X_V,.柱体的体积丨Z= S V i ,其中S是柱体的—商1积，/!是柱体的高._锥体的体积F= *|*仙，其中S是锥体的底面积，/;是锥体的高.一、填空题：本大题共、4小题，每小题5分，共计7〇分.请把答案填写在字年單丰.1.已知集合.4=卜1，0, 1, 6丨，= U U> 0, .v e R!,则,4门石..........................2i)(l+ i)的实部为0,其中i为虚数单位，则实2.已知复数（数a的值是▲-3.右罔是一个算法流程图，则输出的S的值是▲.4.函数y= V7+6.1-.v2的定义域是▲•5.已知一组数据6, 7, 8, 8, 9, 10+则该组数据的方差是▲.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有〗名女同学的概率是▲.7.在平面直角坐标系中，若双曲线(3, 4),则该双曲线的渐近线方程是I I¥(6>〇)经过点8.已知数列丨《…丨（》e N •)是等差数列，又是其前》项和.若《2<V是▲.9.如图，长方体-.4"'/^的体积是120, £为C C jif中点，则三棱锥£，的体积是▲.(第3题〉0, 27,则&的值___________c,10.在平面直角坐标系x()y中，尸是曲线>•= x+ 土(X> 0)上的一X个动点，则点Z3到直线H二0的距离的最小值是▲.11.在平面直角坐标系A_Oy中，点/I在曲线>•= hi•上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点4的坐标是▲.12.如图，在AA价；巾，0是沉’的中点，£：在边.招上，财；=2E4,AB5, (第9题)az?与⑶交于点a若仙•4Ctan a2 13.已知ta t](a+子)3.，则6.40 •E C,则完的值是_i(2a+ y)的值.是_▲D(第丨2题）C14.设是定义在R上的两个周期闲数，/(.t)的周期为4, #(x_)的周期为2,且/(x)是(k( x+ 2 ) +0 < ^^I,奇函数.当x e(0, 2]时,/U)= V\-(：t-1 )2t g(x)= |_丄<；v$2,其中A‘> 0•若在区间(0,9]上，关于*的方程/U)= 有8个不同的实数根，则A•的取值范围是_二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤...........................15.(本小题满分]4分）在A.4fiC中，角.4, J5, C的对边分别为(1)若n= 3c1，i= v/2 , f.os/〕]=十，求(.•的值；(2)若^^求的值.a 2b 2—16—16.(本小题满分〗4分）如图，在直三棱柱中，D , E 分别为沉’，A C 的中点，.4JS =此. 求证：（1) ,4,,// 平面 £)i ；C ：t ;(2) S 芯丄(：,£；•(第16题)D ______C _____________1_(第18题）17.(本小题满分！4分）22如1^1，在平面直角坐标系中，椭圆C : $ + J y 二1U > 6 > 0)的焦点为尸,（-1，0)，F 2(l ，0)•过厂2作义轴的垂线/，在:t 轴的i 方，/与圆F 2: ( t - 1 )2+ /= 4“2交于点与圆C 交于点连结并延长交圆于点S ，连结交椭圆C 于点连结/>/•'.已知(1 )求椭圆C 的标准方程；（2)求点£：的坐标.18•(本小题满分I 6分）如图，一个湖的边界是圆心为的圆，湖的一侧有一条直线型公路/，湖上有桥.4/?(_4打是 圆0的直径）.规划在公路/上选两个点P ，（>，并修建两段直线型道路/出，（M ，规划要 求：线段PJ 5, (?/!上的所有点到点0的距离均不小于圆0的半径.已知点,4, 到直线/的 距离分別为.4C 和仙（C ，D 为垂足），测得/l i i 』l 'O , ,4C 二6, = 12 (单位：百米）•(1 )若道路PZ ?与桥A fi 垂直，求道路的长；(2) 在规划要求下，/>和p 中能否有一个点选在1>处？并说明理由；(3) 在规划要求下，若道路和的长度均为^ (单位：百米），求当d 最小时，P ，两点间的距离.19. (本小题满分〗6分）设兩数 f (.v ) = 〇 - a ) (:r - fc ) (^ - f )，a , r e R ，厂〇)为y " (x )的导兩数-(1)若… = 6 = c ，/(4) = 8,求《 的值；(2〉若《 # &，& = c ，且/“)和尸“)的零点均在集合|-3, 1，3丨中，求/〇〇的极小值；(3)若a = 0,0<6矣1，^=1,且/⑴的极大值为M ，求证：M 专為20. {本小题满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列(1)已知等比数列U J U s N * )满足：《.，a 4= «s ,〜-4«，+4…=0,求证：数列丨为“M -数列”;(2 )已知数列! (“ e IV * )满足：6, = i , f = #■ - #_，其中t s …为数列！ \丨的前n 项和_①求数列丨丨的通项公式；(|)设m 为正整数.若存在“M ，数列”),对任意正整数当/c 各m 时,都有成立，求…的最矢搶•数学I 试题参考答案、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分..A '• 310. 41. U ,6}2. 23. 54.[-1,7]7. )- =8. 169.1011- (e , 1)12. -J3n ^1014.[y ■J 2，417二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：(.1)因为二，厶二 v T ，（-〇s S由余弦定理C fis B a2jf c2- b2 心曰 2_2ac(3e )2+ c 1- (V 2)2 x 3c x c、即A所以c sin ‘4(2)因为〇〇$ B2b '由正弦定理从而ros j =得cos J S sin B，所以cos 5sin A sin B'2bb(2sin，KPcos 2沒=4(1 - f ‘os _S ) t 故{.:<^-5 =2^52siii B. 4因为 sii ] /? > 0,所以 <.，〇s 5 = 2sin B > 0，从而 c ;〇s S j因此 siii (= cos B 二—J6.本小题主要考查直线&与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分. 叫证明：（1)因为£), £分别为/1C 的中点.所以E D //AR在直三棱柱/1M ； -,4 中，/,所以又因为平面Z ^C ,, ,4,/?,広平面，所以本fi ,//平面(2)因为仙=, £：为此的中点，所以丄/1C .因为三棱柱训C -d W i 是直棱柱，所以C f 丄平面 又因为C 平面,4S C ,所以C , C 丄石£.因为 C 'C 平面 ，，4C C 平面.4丨」4CC ,，C 丨CHAC 二 C ,所以财：丄平面'因为C ,f C 平面:4丨,4CC ,,所以fi £：丄C .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分.解：（1)设椭圆C 的焦距为2r .因为 ^(-1，0)，F ，（l , 0)，所以 2. c = 1.C (第16题）又因为/)尽=十，狀2丄_1‘轴，所以DF 2= ^DF]-因此2u ： 由厶2 = u :2DFt + DF2-C -2 T 得 i ):224,从而a 3.2.因此，椭圆6’的标准方程为+4(2)解法一：由（1)知，椭圆•v _Tr 22.因为.4 F ，丄；t _轴，所以点/I 的横坐标为1.将.v . = 1代人圆R 的方程(.v - 1):+ y 2= 16 因为点,4在a ■轴上方，所以.4(1, 4).又。
2019年江苏高考数学试卷及答案
2019年江苏高考数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =▲.2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是▲.3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是▲.4．函数y =的定义域是▲.5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是▲.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是▲.7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲.8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是▲.9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是▲.10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是▲.11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是▲.12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅ ，则ABAC的值是▲.13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是▲.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin(2B π+的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,R f x x a x b x c a b c =---∈、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<= ，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427．20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N .已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N 令n n n n M A B C = .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；数学试卷参考答案1.{1,6}2.23.54.[1,7]- 5.536.7107.y =8.169.1010.411.(e, 1)13.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭15.解：（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以33c =.（2）因为sin cos 2A Ba b =，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =.因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.16.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB ∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因为ED ⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因为AB=BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC1⊥BE.因为C1C ⊂平面A1ACC1，AC ⊂平面A1ACC1，C1C ∩AC=C 所以BE ⊥平面A1ACC1.因为C1E ⊂平面A1ACC1，所以BE ⊥C1E.17.解：（1）设椭圆C 的焦距为2c.因为F1(－1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=52，AF2⊥x 轴，所以32==，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a=2，因为AF2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因为点A 在x 轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-.将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F2(1，0)，所以直线BF2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =.又因为E 是线段BF2与椭圆的交点，所以1x =-.将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --.18.（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP<90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B=15，此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB △中，115PB PB >=.由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）.19．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-，从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=．因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠，所以21,3,33a ba b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-．令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x(,3)-∞-3-(3,1)-1(1,)+∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>，则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b b b b b x x ++==．列表如下：x1(,)x -∞1x ()12,x x 2x 2(,)x +∞()f 'x +0–0+()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =．()321111(1)M f x x b x bx ==-++()()221111211(1)32(1)3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤．20．解：（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n ∈N .②由①知，bk=k ，*k ∈N .因为数列{cn}为“M –数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck ≤bk ≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q ≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下：x(1,e)e (e ，+∞)()f 'x +–f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k=1，2，3，4，5时，ln ln kq k，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6.综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==.B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB 中，A （3，4π），B ，2π），由余弦定理，得AB==.（2）因为直线l 的方程为sin(34ρθπ+=，则直线l 过点2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(242ππ⨯-=.C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x<0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x<–13：当0≤x ≤12时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；当x>12时，原不等式可化为x+2x –1>2，解得x>1.综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥ ，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n n n n n n n a a ---====，44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==．因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n=+02233445555555C C C C C C =++++a =+因为*,a b ∈N ，所以024135555555C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．23．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12．X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======．（2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点．因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况．①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB =≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；④若12b d ==，，则AB =≤所以X n >当且仅当AB =此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年江苏高考数学真题及答案
求证：（1）A B ∥平面 DEC ；
11
1
（2）BE⊥C E． 1
17．（本小题满分 14 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的焦点为 F （–1、0）， 1
F （1，0）．过 F 作 x 轴的垂线 l，在 x 轴的上方，l 与圆 F : (x 1)2 y2 4a2 交于点 A，与椭圆 C
111 1
1
10．在平面直角坐标系 xOy
中，P
是曲线
y
x
4 x
(x
0)
上的一个动点，则点 P
到直线
x+y=0
的距离的最
小值是▲.
11．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e，-1)(e 为自
然对数的底数），则点 A 的坐标是▲.
uuur uuur uuur uuur 12．如图，在△ABC 中， D是 BC 的中点， E在边 AB 上，BE=2EA，AD 与 CE 交于点O.若 AB AC 6AO EC ，
满分 14 分.
解：（1）因为a 3c, b
2,cos B 2 ， 3
由余弦定理 cos B
a2 c2 b2 2ac
2 (3c)2 c2 ( ，得 3 2 3c c
2) 2
，即 c2
1
.
3
所以 c
3
.
3
（2）因为
sin a
A
cos B 2b
，
由正弦定理
a sin A
b sin B
15 .
5
因此道路 PB 的长为 15（百米）.
2019年江苏理科数学高考试题(含解析).doc
2019年江苏数学高考试题数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高。
圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B I ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________▲________.3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________. 5.函数y =232x x --的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ .9.定义在区间[0,3π]上的函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b +=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10, ()2,01,5x axf xx x+-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a∈R若59()()22f f-=，则f（5a）的值是▲ .12. 已知实数x，y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x2+y2的取值范围是▲ .13.如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4BC CA⋅=u u u r u u u r，1BF CF⋅=-u u u r u u u r，则BE CE⋅u u u r u u u r 的值是▲ .14.在锐角三角形ABC中，若sin A=2sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值是▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）在ABC△中，AC=6，4πcos.54B C==，（1）求AB的长；（2）求πcos(6A-)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .17.（本小题满分14分）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. 若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？(1) 若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:221214600x y x y+--+=及其上一点A(2，4)(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T（t,o）满足：存在圆M上的两点P和Q,使得,TA TP TQ+=u u r u u r u u u r,求实数t的取值范围。
2019年江苏省高考数学试卷(含答案)
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2019年江苏省高考数学试卷（含答案）
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2019年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
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2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =，当k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(13)3na b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(13)(13)n +=+0122334455555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=+++++ 3a b =+．解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)-=+-+-+-+-+- 0122334455555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(13)3a b -=-．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯-=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======， 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=．因此，222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-．。
2019年江苏高考数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题及答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．.1.已知集合{}123A =，，,{}245B =，，,则集合A B 中元素的个数为_______. 【答案】52.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________. 【答案】63.设复数z 满足234z i =+(i 是虚数单位),则z 的模为_______.4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S 为________. 【答案】75.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________. 【答案】566.已知向量()21a =，,()2a =-1，,若()()98ma nb mn R +=-∈，,则m-n 的值为______. 【答案】-37.不等式224x x -<的解集为________. 【答案】(-1,2)8.已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.【答案】39.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个,则新的底面半径为________.10.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 . 【答案】22(1)2x y -+=11.数列}{n a 满足11=a ,且11+=-+n a a n n (*N n ∈),则数列}1{na 的前10项和为 .【答案】201112.在平面直角坐标系xOy 中,P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点.若点P 到直线01=+-y x 的距离对c 恒成立,则是实数c 的最大值为 .13.已知函数|ln |)(x x f =,⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 .【答案】414.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos =+=k k k k a k πππ,则∑=+111)(k k k a a 的值为 .【答案】二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（第4题图）15.(本小题满分14分)在ABC 中,已知2,3,60.AB AC A === (1)求BC 的长; (2)求sin2C 的值.解:(1)由余弦定理得,7BC =(2)由正弦定理得,43sin 2C =16.(本小题满分14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,已知1,AC BC BC CC ⊥=,设1AB 的中点为D,11.B C BC E ⋂= 求证:(1)11//DE AACC 平面 (2)11BC AB ⊥ 证明:(1)只需证明DE//AC;(2)需先证AC ⊥平面11BCC B ,再证1BC ⊥平面1AB C .17.(本小题满分14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为12l l ，,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到12l l ，的距离分别为5千米和40千米,点N 到12l l ，的距离分别为20千米和2.5千米,以12l l ，所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数2ay x b=+(其中a,b 为常数)模型. (I)求a,b 的值；(II)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ,并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度. 解:(1)由题意知,点,M N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入2ay x b =+中得,10000a b =⎧⎨=(2)由勾股定理得,62410()3,[5,20]4tf t t t =+∈ 由基本不等式可知,当102t =时,min ()153f t =Ml 1y CPl18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆()222210x y a b a b +=>>且右焦点F 到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC=2AB ，求直线AB 的方程.解:(1)2212x y += (2)分AB 与x 轴垂直和不垂直两种情况讨论, 得直线AB 的方程为10x y --=或10x y +-=19.(本小题满分16分)已知函数32()(,)f x x ax b a b =++∈R ; (1)试讨论)(x f 的单调性；(2)若a c b -=(实数c 是与a 无关常数),当函数)(x f 有三个不同零点时,a 的取值范围恰好是33(,3)(1,)(,)22-∞-+∞求c 的值 解:(1)当0a <时,()f x 在2(0,)3a -上递减,在2(,0),(,)3a-∞-+∞上递增; 当0a =时,()f x 在(,)-∞+∞上递增; 当0a >时,()f x 在2(,0)3a -上递减,在2(,),(0,)3a-∞-+∞上递增. (2)1c =20.(本小题满分16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 (1)证明:31242,2,2,2a a a a依次成等比数列(2)是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列,并说明理由(3)是否存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列,并说明理由 解:(1)证明:因为11222(1,2,3)2n n n na a a da n ++-===是同一个常数,所以31242,2,2,2a a a a 构成等比数列.(2)用假设法,可证不存在1,a d ,使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列.(3)用假设法,可证不存在1,a d 及正整数,n k ,使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次成等比数列.附加题21、(选做题)本题包括A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A 、[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图,在ABC ∆中,AC AB =,ABC ∆的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D 求证:ABD ∆≈AEB ∆ 证明:只需证ABD E ∠=∠,而BAE ∠为公共角,易证.B 、[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知R y x ∈,,向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11α是矩阵⎢⎣⎡⎥⎦⎤=01y x A 的属性特征值2-的一个特征向量,矩阵A 以及它的另一个特征值. 解:1120A ⎡-⎤=⎢⎥⎦⎣,另一个特征值为1C.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径. 解:r =D ．[选修4-5：不等式选讲]解不等式|23|3x x ++≥ 解:1(,5][,)3-∞--+∞22.如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，2ABC BAD π∠=∠=,2,1PA AD AB BC ====(1)求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值；(2)点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成角最小时,求线段BQ 的长 BQ =23.已知集合*{1,2,3},{1,2,3,,}()n X Y n n N ==∈,设},,|),{(n n Y b X a a b b a b a S ∈∈=整除或整除，令()f n表示集合n S 所含元素个数.A第21——AP A BC DQ 第22题（1）写出(6)f 的值； (6)13f =（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明. 略。
(精校版)2019年江苏卷数学高考试题文档版(含答案)_最新修正版
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则AB = ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .4．函数276y x x =+-的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲.14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，2()1(1)f x x =--，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b =2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分. 1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =±8.16 9.10 10.4 11.(e, 1) 12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)323c c c c +-=⨯⨯，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =.从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =. 因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos 5B =. 因此π25sin cos 25B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知2210AD AE ED =+=，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，2222156321CQ QA AC =-=-=.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=． 因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：x (,3)-∞-3-(3,1)-1 (1,)+∞()f 'x + 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得22121111,33b b b b b b x x +--+++-+==．列表如下：x 1(,)x -∞1x()12,x x2x2(,)x +∞()f 'x+ 0 – 0 + ()f x极大值极小值所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()()23221(1)(1)2127927b b b b b b b --+++=++-+23(1)2(1)(1)2((1)1)272727b b b b b b +-+=-+-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得13x =．列表如下： x 1(0,)3131(,1)3()g'x + 0 – ()g x极大值所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M —数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取33q =，当k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k qk -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A（1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在极坐标系中，已知两点3,,2,42A B ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N ….已知23242a a a =.（1）求n 的值；（2）设(13)3na b +=+，其中*,a b ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ， 所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A=3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B （2，2π）， 由余弦定理，得AB =223(2)232cos()524ππ+-⨯⨯⨯-=. （2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点(32,)2π，倾斜角为34π． 又(2,)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3(322)sin()242ππ-⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(13)(13)n +=+0122334455555555C C 3C (3)C (3)C (3)C (3)=+++++ 3a b =+．解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(13)C C (3)C (3)C (3)C (3)C (3)-=+-+-+-+-+- 0122334455555555C C C (3)C (3)C (3)(3C 3)=-+-+-．因为*,a b ∈N ，所以5(13)3a b -=-．因此225553(3)(3)(13)(13)(2)32a b a b a b -=+-=+⨯-=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X 的所有可能取值是1225，，，．X 的概率分布为22667744(1),(2)C 15C 15P X P X ======， 22662222(2),(5)C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则22()44AB a c n =-+≤+，因为当3n ≥时，2(1)4n n -+≤，所以X n >当且仅当24AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则22()11AB a c n =-+≤+，所以X n >当且仅当21AB n =+，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X 的所有可能取值是21n +和24n +，且2222242442(1),(4)C C n n P X n P X n ++=+==+=．因此，222246()1(1)(4)1C n P X n P X n P X n +≤=-=+-=+=-．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2019年江苏卷数学高考真题文档版(含答案)
更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ参考公式：样本数据12,,,n x x x …的方差()2211n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,0,1,6}A =-，{|0,}B x x x =>∈R ，则A B =I ▲ .2．已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲ . 3．下图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ .更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年4．函数y =的定义域是 ▲ .5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是 ▲ .6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 ▲ .7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是▲ .8．已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 ▲ .9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 ▲ .10．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .11．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ .更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年12．如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是 ▲ .13．已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 14．设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，bcos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ． 求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1． 已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．18．（本小题满分16分）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．19．（本小题满分16分）设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数． （1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=…，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 20．（本小满分16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ·参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年1.{1,6}2.23.54.[1,7]-5.536.7107.2y x =± 8.16 9.10 10.411.(e, 1)12.313.21014.12,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.解：（1）因为23,2,cos 3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)(2)3c c +-=，即213c =.所以33c =. （2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而25cos B =. 因此π25sin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭. 16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：（1）因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点， 所以ED ∥AB .在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ∥A 1B 1， 所以A 1B 1∥ED .又因为ED ⊂平面DEC 1，A 1B 1⊄平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年（2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BE .因为C 1C ⊂平面A 1ACC 1，AC ⊂平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1.因为C 1E ⊂平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E .17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分14分. 解：（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-，更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.18.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分. 解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.' 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年所以12154cos 5BD PB PBD ===∠.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年CQ ===此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ=时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ=17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），15PB ==. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a=4+Q（4+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q（4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q两点间的距离为17+.19．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-． 因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =． （2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=--⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a bx +=．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年因为2,,3a ba b +，都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a b a b +===-．此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得1211,33b b x x ++==．列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭ ()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下： 所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年因此数列{}n a 为“M —数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1； 当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k„，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A （1）求A 2；（2）求矩阵A 的特征值.B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++∈N L ….已知23242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值.23.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n *==∈N L令n n n n M A B C =U U .从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4–2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）因为3122⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，所以231312222⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A =3312311223222122⨯+⨯⨯+⨯⎡⎤⎢⎥⨯+⨯⨯+⨯⎣⎦=115106⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）矩阵A 的特征多项式为231()5422f λλλλλ--==-+--.令()0f λ=，解得A 的特征值121,4λλ==. B ．[选修4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB=（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=. C ．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分． 解：当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <-13； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1. 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或.22.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分10分．解：（1）因为0122(1)C C C C 4n n nn n n n x x x x n +=++++≥L ，， 所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=+02233445555555C C C C C C =++++a =+更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-． 解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-． 因为*,a b ∈N，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=+⨯=-=-．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）当1n =时，X的所有可能取值是12X的概率分布为22667744(1),(C 15C 15P X P X ======，22662222(2),(C 15C 15P X P X ======． （2）设()A a b ，和()B c d ，是从n M 中取出的两个点． 因为()1()P X n P X n ≤=->，所以仅需考虑X n >的情况． ①若b d =，则AB n ≤，不存在X n >的取法；②若01b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法；③若02b d ==，，则AB ≤，因为当3n ≥n ≤，所以X n >当且仅当AB =，此时0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法； ④若12b d ==，，则AB =≤，所以X n >当且仅当AB =，此时更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年0 a c n ==，或 0a n c ==，，有2种取法．综上，当X n >时，X，且22242442(,(C C n n P X P X ++====．因此，2246()1((1C n P X n P X P X +≤=-=-==-．。
2019年江苏省高考数学试卷(含参考答案)
2019年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝{1，6}．解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是2．解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是5．解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．（5分）函数y＝的定义域是[﹣1，7]．解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是y＝．解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是16．解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是10．解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是4．解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是（e，1）．解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是[，）．解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x|x ＜﹣或x＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C ＝，a3＝C ＝，a4＝C ＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，第21页（共22页）可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X ＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X ＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB ＝≤，所以X＞n当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X 的所有值是或，且P（X ＝）＝，P（X ＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X ＝）﹣P（X ＝）＝1﹣．第22页（共22页）。
2019年高考真题数学(江苏卷)Word版含解析
uuur
2
uuur2
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1
uuur
2
3
uuur
2
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g
AB
AC
g
AB
AC
g，
2
3
AB AC
AB AC
2
2
AB AC
3
1uuur2
3uuur2
uuur
3
uuur
AB
3.
得
AB
AC ,即
AB
AC ,故
2
2
AC
【点睛】此题考察在三角形中平面向量的数目积运算，浸透了直观想象、逻辑推理和数学运
x
2
x
1
xi
，此中
．
i
ni
1
i 1
柱体的体积VSh，此中S是柱体的底面积，h是柱体的高．
1
3
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题
．．
卡相应地点上
．．．．．．
1.已知会合A={－1,0,1,6}，Bx | x0, xR，则A∩B=_____.
【答案】{1,6}.
【分析】
【剖析】
由题意利用交集的定义求解交集即可.
【详解】由题知，AI B{1,6}.
【点睛】此题主要考察交集的运算，属于基础题.
2.已知复数(a
2i)(1
i)的实部为
0，此中i为虚数单位，则实数
a的值是_____.
【答案】2
【分析】
【剖析】
此题依据复数的乘法运算法例先求得
z，而后依据复数的观点，令实部为
0即得a的值.
2019年高考真题数学(江苏卷)答案
直线PB的方程为 y = − 4 x − 25 . 33
所以P（−13，9）， PB = (−13 + 4)2 + (9 + 3)2 = 15.
因此道路PB的长为15（百米）.
（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规
CQ = QA2 − AC2 = 152 − 62 = 3 21 .此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小
于圆O的半径.
综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ= 3 21 时，d最小，此时P，Q两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+ 3 21 . 因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+ 3 21 （百米）.
因为 sin B 0 ，所以 cos B = 2sin B 0 ，从而 cos B = 2
5
.
5
因此
sin
B
+
π 2
=
cos
B
=
25 5
.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空
间想象能力和推理论证能力.满分 14 分.
证明：（1）因为 D，E 分别为 BC，AC 的中点，
令 f '(x) = 0 ，得 x = −3 或 x = 1 ．列表如下：
x
(−, −3)
−3
(−3,1)
1
(1, +)
f '(x)
+
0
–
0
+
f (x)
2019年高考理科数学江苏卷真题及答案详解
2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．函数y＝的定义域是．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P 到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g （x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB ＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小．．于．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．时，都有ck21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V＝E﹣BCD＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF 2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x，0），2则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x+x2＝，x1x2＝，1可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）1＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；}的公比为q，②设{cn存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c成立，k+1即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x ＞1或x ∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x |x ＜﹣或x ＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．【解答】解：（1）由（1+x ）n ＝C +C x +C x 2+…+C x n ，n ≥4， 可得a 2＝C ＝，a 3＝C ＝，a 4＝C ＝，a 32＝2a 2a 4，可得（）2＝2••，解得n ＝5；（2）方法一、（1+）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，由于a ，b ∈N *，可得a ＝C +3C +9C ＝1+30+45＝76，b ＝C +3C +9C ＝44， 可得a 2﹣3b 2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C +C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，（1﹣）5＝C +C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C ﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a ，b ∈N *，可得（1﹣）5＝a ﹣b ， 可得a 2﹣3b 2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32． 23．【解答】解：（1）当n ＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，X 的概率分布为P （X ＝1）＝＝；P （X ＝）＝＝；P （X ＝2）＝＝；P （X ＝）＝＝；（2）设A （a ，b ）和B （c ，d ）是从M n 中取出的两个点， 因为P （X ≤n ）＝1﹣P （X ＞n ），所以只需考虑X ＞n 的情况， ①若b ＝d ，则AB ≤n ，不存在X ＞n 的取法； ②若b ＝0，d ＝1，则AB ＝≤，所以X ＞n 当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．。
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M ﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n 项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin （θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n ∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B ＝，cos B＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2] ＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．【分析】（1）设等比数列{a n}的公比为q，然后根据a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0列方程求解，在根据新定义判断即可；（2）求出b2，b3，b4猜想b n，然后用数学归纳法证明；（3）设{c n}的公比为q，将问题转化为，然后构造函数f（x）＝，g（x）＝，分别求解其最大值和最小值，最后解不等式，即可．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；②设{c n}的公比为q，存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．【点评】本题考查了由递推公式求等比数列的通项公式和不等式恒成立，考查了数学归纳法和构造法，是数列、函数和不等式的综合性问题，属难题．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．【分析】（1）根据矩阵A直接求解A2即可；（2）矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，解方程f（λ）＝0即可．【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．【点评】本题考查了矩阵的运算和特征值等基础知识，考查运算与求解能力，属基础题．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【分析】（1）设极点为O，则由余弦定理可得，解出AB；（2）根据直线l的方程和点B的坐标可直接计算B到直线l的距离．【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．【点评】本题考查了在极坐标系下计算两点间的距离和点到直线的距离，属基础题．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．【分析】对|x|+|2x﹣1|去绝对值，然后分别解不等式即可．【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x＞1或x∈∅或x＜﹣，∴不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属基础题．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．【分析】（1）运用二项式定理，分别求得a2，a3，a4，结合组合数公式，解方程可得n 的值；（2）方法一、运用二项式定理，结合组合数公式求得a，b，计算可得所求值；方法二、由于a，b∈N*，求得（1﹣）5＝a﹣b，再由平方差公式，计算可得所求值．【解答】解：（1）由（1+x）n＝C+C x+C x2+…+C x n，n≥4，可得a2＝C＝，a3＝C＝，a4＝C＝，a32＝2a2a4，可得（）2＝2••，解得n＝5；（2）方法一、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，由于a，b∈N*，可得a＝C+3C+9C＝1+30+45＝76，b＝C+3C+9C＝44，可得a2﹣3b2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C+C+C（）2+C（）3+C（）4+C（）5＝a+b，（1﹣）5＝C+C（﹣）+C（﹣）2+C（﹣）3+C（﹣）4+C（﹣）5＝C﹣C+C（）2﹣C（）3+C（）4﹣C（）5，由于a，b∈N*，可得（1﹣）5＝a﹣b，可得a2﹣3b2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32．【点评】本题主要考查二项式定理、组合数公式的运用，考查运算能力和分析问题能力，属于中档题．25．【分析】（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，由古典概率的公式，结合组合数可得所求值；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，分别讨论b，d的取值，结合古典概率的计算公式和对立事件的概率，即可得到所求值．【解答】解：（1）当n＝1时，X的所有可能取值为1，，2，，X的概率分布为P（X＝1）＝＝；P（X＝）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝）＝＝；（2）设A（a，b）和B（c，d）是从M n中取出的两个点，因为P（X≤n）＝1﹣P（X＞n），所以只需考虑X＞n的情况，①若b＝d，则AB≤n，不存在X＞n的取法；②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．【点评】本题考查随机变量的概率的分布，以及古典概率公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及化简运算能力，属于难题．。
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数学Ⅰ试题参考公式圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B I ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.4.已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据方差是________▲________.5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ .(第10题)11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .12. 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r，则BE CE ⋅u u u r u u u r的值是 ▲ .14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值.16.(本小题满分14分)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :221214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 取值范围。
已知函数()(0,0,1,1)xxf x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.20.（本小题满分16分）记{}1,2,100U =…，.对数列{}()*n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0TS=;若{}12,,k T t t t =…，，定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()*n a n N ∈是公比为3的等比数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . (1) 求数列{}n a 的通项公式；(2) 对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥I .数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC =∠ABD .B.【选修4—2：矩阵与变换】（本小题满分10分）已知矩阵12,02A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 矩阵B 的逆矩阵111=202B -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB .C.【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数），椭圆C 的参数方程为cos ,2sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. D.设a ＞0，|x -1|＜3a ，|y -2|＜3a，求证：|2x +y -4|＜a .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. （本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x -y -2=0，抛物线C ：y 2=2px (p ＞0).（1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称相异两点P 和Q .①求证：线段PQ 的中点坐标为（2-p ，-p ）； ②求p 取值范围.23.（本小题满分10分） （1）求3467–47C C 的值； （2）设m ，n N *，n ≥m ，求证：（m +1）C mm +（m +2）+1C mm +（m +3）+2C mm +…+n –1C mn +（n +1）C mn =（m +1）+2+2C m n .参考答案1.{}1,2-2.53.4.0.15.[]3,1-6.97.5.68.20. 9.7.10.11. 25-12. 4[,13]513. 7814.8.15.解（1）因为4cos ,0,5B B π=<<所以3sin ,5B由正弦定理知sin sin AC ABB C=，所以6sin 23sin 5AC C AB B ⋅===（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+于是cosA cos(B C)cos()cos cossin sin ,444B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==，故43cos 525210A =-⨯+⨯=-因为0A π<<，所以sin A ==因此1cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ-=+=+=16.证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点.所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面 所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面 所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面17.本小题主要考查函数概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题能力.满分14分. 解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A1B1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224;33V A B PO m ⋅⋅=⨯⨯=柱 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1体积()2231=68288.V AB OO m ⋅=⨯=柱 所以仓库容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.(2)设A 1B 1=a(m),PO 1=h(m)，则0<h<6,OO 1=4h.连结O 1B 1. 因为在11RT PO B ∆中，222111OB PO PB +=，所以22362h ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()222311326436,06333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<锥柱， 从而()()2226'36326123V h h =-=-.令'0V =，得h =或h =-（舍）.当0h <<'0V > ，V 是单调增函数；当236h <<时，'0V <，V 是单调减函数. 故23h =时，V 取得极大值，也是最大值. 因此，当123PO = 时，仓库的容积最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算等基础知识，考查分析问题能力及运算求解能力.满分16分.解：圆M 标准方程为()()226725x y -+-=，所以圆心M(6，7)，半径为5,. （1）由圆心在直线x=6上，可设()06,N y .因为N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以007y <<，于是圆N 的半径为0y ，从而0075y y -=+，解得01y =. 因此，圆N 标准方程为()()22611x y -+-=. (2)因为直线l||OA ，所以直线l 的斜率为40220-=-. 设直线l 的方程为y=2x+m ，即2x-y+m=0， 则圆心M 到直线l 的距离267555mm d ⨯-++==因为222425,BC OA ==+=而222,2BC MC d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()252555m +=+，解得m=5或m=-15.故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)设()()1122,,Q ,.P x y x y因为()()2,4,,0,A T t TA TP TQ +=u u r u u r u u u r ,所以2124x x ty y =+-⎧⎨=+⎩ ……①因为点Q 在圆M 上，所以()()22226725.x y -+-= …….② 将①代入②，得()()22114325x t y --+-=.于是点()11,P x y 既在圆M 上，又在圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦上， 从而圆()()226725x y -+-=与圆()()224325x t y -++-=⎡⎤⎣⎦没有公共点， 所以5555,-≤≤+解得22t -≤+因此，实数t的取值范围是22⎡-+⎣.19．（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =.②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=， 所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=， 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>， 所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=.因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=， 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以2x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又002x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾. 因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =. 20．（1）由已知得1*13,n n a a n N -=•∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =. 所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. （2）因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈， 所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<.（3）下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l k l F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤. 又k l ≠，故1l k ≤-，从而1121131133222l l k E F l a S S a a a ----≤+++=+++==≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ， 即21C C D D S S S +≥+I .综合①②③得，2C C D D S S S +≥I . 21．A 证明：在ADB ∆和ABC ∆中， 因为90,,ABC BD AC A ∠=⊥∠o为公共角， 所以ADB ∆∽ABC ∆，于是ABD C ∠=∠.在Rt BDC ∆中，因为E 是BC 的中点， 所以ED EC =，从而EDC C ∠=∠. 所以EDC ABD ∠=∠.B ．解：设a b B c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1110120102a b B B c d ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故1121022021a c b d c d ⎧-=⎪⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎪=⎩，解得114012a b c d ⎧⎪⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩，所以114102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦.因此，15112144021012AB⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦.C．解：椭圆C的普通方程为2214yx+=，将直线l的参数方程112x ty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入2214yx+=，得22)12(1)124t++=，即27160t t+=，解得1t=，2167t=-.所以1216||7AB t t=-=.21D.证明：因为|1|,|2|33a ax y-<-<所以|24||2(1)(2)|2|1||2|2.33a ax y x y x y a+-=-+-≤-+-<⨯+=22.解：（1）抛物线2:y2(0)C px p=>的焦点为由点(,0)2p在直线:20l x y--=上，得02p-- 4.p=所以抛物线C的方程为28.y x=（2）设1122(x,y),(x,y)P Q，线段PQ的中点00(x,y)M因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ,于是直线PQ的斜率为1-，则可设其方程为.y x b=-+①由22y pxy x b⎧=⎨=-+⎩消去x得2220(*)y py pb+-=因为P 和Q是抛物线C上相异两点，所以12,y y≠从而2(2)4(2)0p pb∆=-->，化简得20p b+>.方程（*）的两根为1,2y p=-12.2y yy p+==-因为00(x,y)M在直线l上，所以2.x p=-因此，线段PQ的中点坐标为(2,).p p--②因为M(2,).p p--在直线y x b=-+上所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p < 因此p 的取值范围为4(0,).323.解：（1）3467654765474740.3214321C C ⨯⨯⨯⨯⨯-=⨯-⨯=⨯⨯⨯⨯⨯（2）当n m =时，结论显然成立，当n m >时11(1)!(1)!(1)(1)(1),1,2,,.!()!(1)![(k 1)(m 1)]!m m k k k k k k C m m C k m m n m k m m +++⋅++==+=+=++-++-+L又因为122112,m m m k k k C C C +++++++=所以2221(1)(1)(),k m 1,m+2,n.m m m k k k k C m C C +++++=+-=+L ，因此12122222222232432122(1)(2)(3)(n 1)(1)[(2)(3)(n 1)](1)(1)[()()()](1)m m m mm m m n m m m m m m m n m m m m m m m m m m m m n n m n m C m C m C C m C m C m C C m Cm CCCCCCm C +++++++++++++++++++++++++++=+++++++=+++-+-+-=+L L L。