2019年江苏省高考理科数学试题及答案

数学Ⅰ试题

参考公式

圆柱的体积公式：V 圆柱=Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 圆锥的体积公式：V 圆锥

1

3

Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。 1.已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<< 则=A B I ________▲________. 2.复数(12i)(3i),z =+- 其中i 为虚数单位，则z 实部是________▲________. 3.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22

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x y -=的焦距是________▲________.

4.已知一组数据4.7,4.8,

5.1,5.4,5.5，则该组数据方差是________▲________.

5.函数y =232x x -- 的定义域是 ▲ .

6.如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 ▲ .

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 ▲ .

8.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 9.定义在区间[0,3π]上函数y =sin2x 的图象与y =cos x 的图象的交点个数是 ▲ .

10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22

221()x y a b a b

+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，

C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 ▲ .

(第10题)

11.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪

=⎨-≤<⎪⎩

其中.a ∈R 若

59

()()22

f f -= ，则f （5a ）的值是 ▲ .

12. 已知实数x ，y 满足240

220330x y x y x y -+≥⎧⎪

+-≥⎨⎪--≤⎩

，则x 2+y 2的取值范围是 ▲ .

13.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=u u u r u u u r ，1BF CF ⋅=-u u u r u u u r

，

则BE CE ⋅u u u r u u u r

的值是 ▲ .

14.在锐角三角形ABC 中，若sin A =2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是 ▲ .

二、解答题 （本大题共6小题，共90分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分） 在ABC △中，AC =6，4πcos .54

B C ==， （1）求AB 的长； （2）求π

cos(6

A -)的值.

16.(本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥. 求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；

（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .

现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的四倍. (1) 若16m,2m,AB PO ==则仓库的容积是多少？

(2) 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？

18. （本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M :2

2

1214600x y x y +--+=及其上一点A (2，4)

(1) 设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x =6上，求圆N 标准方程； (2) 设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC =OA ,求直线l 的方程；

(3) 设点T （t ,0）满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r

,求实数t 取值范围。

已知函数()(0,0,1,1)x

x

f x a b a b a b =+>>≠≠. （1） 设a =2,b =

12

. ① 求方程()f x =2的根;

②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（2）若01,1a b <<＞

，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值.

20.（本小题满分16分）

记{}1,2,100U =…，

.对数列{}(

)*

n a n N ∈和U 的子集T ，若T =∅,定义0T

S

=;若{}12,,k T t t t =…，，

定义12+k T t t t S a a a =++….例如：{}=1,3,66T 时，1366+T S a a a =+.现设{}()

*

n a n N ∈是公比为3的等比

数列，且当{}=2,4T 时，=30T S . (1) 求数列{}n a 的通项公式；

(2) 对任意正整数()1100k k ≤≤，若{}1,2,k T ⊆…，

，求证：1T k S a +<； （3）设,,C D C U D U S S ⊆⊆≥,求证：2C C D D S S S +≥I .

数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．【选修4—1几何证明选讲】（本小题满分10分） 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，D 为垂足，E 是BC 的中点，求证：∠EDC =∠ABD .