微积分 第十一章 差分方程初步

定义3 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函数方程, 称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最 高阶数,称为差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt, Dyt,…, Dnyt)=0, 其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出 现．
这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．
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特别值得注意的是： 只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t 提前或 推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者 有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0
与方程
都是相互等价的．
ayt+2-byt+1=0
基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和 需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方 程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可 由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,… 恒成立时，对t=-1,-2,…也是成立的．为此，今后也就只需讨 论t=0,1,2,…的情形．
依此定义类推,有
Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ………………
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由定义1，我们很容易验证一阶差分具有如下性质： (1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0; (2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt．
(4)D( yt - zt ) = Dyt - Dzt .
因为函数 yt 的一阶差分 Dyt 通常还是t的函数，故可以考虑求 Dyt 的差分，进而还可继续考虑 Dyt 的差分的差分，如此等等， 这样的差分统称为高阶差分．
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定义2 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即 D2yt= D (D yt)= D( yt +1 - yt ) = D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt． 依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ……………… 类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
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例如 , 函数 yt=at+C(a 为已知常数 ,C 为任意常数 ) 是差分方程 yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解. 由差分方程的通解来确定它的特解 , 需要给出确定特解的 定解条件 .n 阶差分方程 F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0常见的定解条件为 初始条件. y0=a0, y1=a1，…,yn-1=an-1，
例如
yt +1 - yt = a(a为常数)就是一阶差分方程 .
由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程． 因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方程．
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三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使 其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有 n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解 yt=j(t,C1,C2,…,Cn) 称为 n 阶差分方程的通解 . 在通解中给任意常数 C1,C2,…,Cn 以确 定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.
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定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为 (常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为 差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0, （*） 其中 F 为 t,yt,yt+1,… ， yt+n 的已知函数 , 且 yt 和 yt+n 一定要在差 分方程中出现.
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四、 线性差分方程及其基本定理
形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
的差分方程 , 称为 n 阶非齐次线性差分方程 . 其中 a1(t),a2(t),…,an1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)≠0,f(t)≠0 而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0
在第十章中我们讨论了微分方程，在那里，自变量x是在 给定区间内连续取值的，所求函数是自变量x的连续函数． 然而，在经济与管理的实际问题中，经济数据绝大多数是 以等间隔时间周期地统计的． 基于这一原因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关 的经济变量的取值是离散(非连续)化的，描述各经济变量之间的 变化规律的数学模型也是离散(非连续)型的．而最常见的一类离 散型经济数学模型就是差分方程模型．
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一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
D yt = D ( D
k
k -1
yt )
k -1
=D
k -1
yt +1 - D
yt ( k = 1,2,3,)
i = ( -1) i C k yt + k - i i =0
k
这里
k! C = i! ( k - i )!
i k
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二、 差分方程
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第一节
差分方程的基本概念
一、 差分的概念 给定函数 yt = f (t ) ,其自变量t(通常表示时间)的取值为离散 等间隔的整数值：t=…,-2,-1,0,1,2,…．因t是离散地取等间隔 值，那么函数 yt 只能在相应的点有定义．
定义1 设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函 数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间 t的一阶差分定 义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．