微积分 第十一章 差分方程初步
微积分第十一章
第二节 正项级数及其审敛法
设级数u1+u2+u3+…+un+… un≥0，则称此级数为正项级数.显然，正项级数的部分和数列是 单调增加的，即
S1≤S2≤S3≤…≤Sn≤Sn+1≤…
由数列收敛的准则可知，如果{Sn}单调有界，则数列{Sn}一
定收敛，即若Sn≤M
S且有S≤M .
反之，如果正项级数
第一节 常数项级数
定理1
设有序列u1，u2，u3，…，un，…，则称u1+ u2+u3+…+un+…为无穷级数，简称级数，记 为 ，即
其中第n项un称为级数的一般项.我们称un是 常数的级数为常数项级数.
第一节 常数项级数
【例1】
是一个常数项级数，其 中通项为1n.此级数通常称为调和级数.
【例2】
第一节 常数项级数
第一节 常数项级数
性质1
第一节 常数项级数
性质2
第一节 常数项级数
性质3
在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性. 证只证明“改变级数的前面有限项不会改变级数的收敛性”，其 他ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ种情况容易由此结果推出. 设有级数
(11-1) (11-2)
第一节 常数项级数
性质4
第一节 常数项级数
又如，计算半径为R的圆面积A，具体做法如下：作圆的内接 正六边形，算出这个六边形的面积a1，它是圆面积A的一个粗糙的 近似值.为了比较准确地计算出A的值，我们在这个六边形的每个边 上分别作一个顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形 的面积之和a2.那么a1+a2(即内接正十二边形的面积)就是A的一个较 好的近似值.同样的，在这个正十二边形的每个边上分别作一个顶点 在圆周上的等腰三角形，算出这十二等腰三角形的面积之和a3.那么 a1+a2+a3(即内接正二十四边形的面积)是A的一个更好的近似值.如 此继续下去，内接正3×2n边形的面积就逐步逼近圆的面积：
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第11章
t t 1 t 1 1 1 yt (1)i 2t i 1 2t 1 ( )i 2t 2 3 i 0 i 0
由 (11 2 4) 式，得所给方程的通解
1 yt A(1)t 2t 3
(A 为任意常数)
*
(4)对应齐次差分方程为 yt 1 yt 0 ，其通解为 yt A ， 设原方程特解为
yt 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 代入原方程得：
2t 1[ B1 cos π(t 1) B2 sin π(t 1)] 2t ( B1 cos πt B2 sin πt ) 2t cos πt
yt 1
1 4 yt ，其中 3 3
1 4 a ， b ，由通解公式 (11 2 7) 得原方程的通解为： 3 3
1 yt y A (t ) yt A( )t 1 (A 为任意常数) 3 1 3 t 1 3 1 (2)方程可化为 yt 1 yt ，其中 a ， b0 ， b1 ，故由通解公式 2 2 2 2 2 2 (11 2 9) 得方程的通解为： 3 1 1 1 t 1 7 t yt A( ) 2 2 2 t 即 yt A( )t . 1 1 1 2 9 3 2 1 (1 ) 2 1 2 2 2
t
(4) a 4 ， π ， b1 0 ， b2 3 ， D (4 cos π) sin π=9 0 ，且
2 2
由公式 (11 2 14) 得 = [0 (4 cos π) 3 sin π]=0 ， = [3(4 cos π) 0 sin π]=1 ， 方程通解为 yt A(4) sin πt ，以 t 0 时 y0 1 代入上式，得 A 1 ，故原方程特解为：
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
11 第十一章 差分方程 习题详解
λ − 2 = 0，
特征根为 λ = 2 ．故所求通解为
2
y x = C 2 x ( C 为任意常数).
(2) 方程对应的齐次方程 y x +1 − y x = 0 的特征方程为
λ −1 = 0 ，
其特征根为 λ = 1 .所以齐次方程的通解为 Yx = C ( C 为任意常数). 由于 1 是特征方程的根，所以方程的特解具有形式 y x = bx ，代入方程，并比较两端同
=1
所以，函数 y t = C1 + C 2 2 − t 是差分方程的通解．
t
(2) 由初始条件 y0 = 0 ， y1 = 3 ，得
⎧C1 + C2 = 0 ， ⎨ ⎩C1 + 2C2 − 1 = 3
解之得， C1 = −4 ， C2 = 4 ．故所求特解为 y t = −4 + 2
t+2
−t ．
解
(1) 方程 Δy x − 3 y x = 0 改写为 y x +1 − 4 y x = 0 ，它的特征方程为
λ − 4 = 0，
特征根为 λ = 4 ．故所求通解为
yx = C 4 x ( C 为任意常数).
由 y 0 = 1 ，得 C = 1 ，故原方程满足初始条件的特解为
yx = 4 x .
x
4．已知 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，求 a ． 解 因为 y x = e 是方程 y x +1 + ay x −1 = 2e 的一个解，所以 e
x x
x +1
+ ae x −1 = 2e x ，
即 e + a = 2e ，故 a = e( 2 − e) ．
差分方程课件
例3 求 yt t 2 3t 的差分.
解 由差分的运算性质，有
yt (t 3 ) 3 t (t 1) (3 )
2 t t 2 2 t
3 (2t 1) (t 1) 2 3 3 (2t 6t 3)
t 2 t t 2
.
1 差分方程的概念
差分满足以下性质： （1） （2） （3）
(Cyt ) Cyt (C为常数)
（yt zt ) yt zt
（yt zt ) zt yt yt 1zt
yt zt yt yt zt ( zt 0) （4） （ ) zt zt 1 zt
引例1： Fibonacci （斐波那契）数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
yt t
( n)
t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
yt (t 1)( n) t ( n) (t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
高等数学中的差分方程相关知识点详解
高等数学中的差分方程相关知识点详解在高等数学中，差分方程是一个非常重要的数学工具，它被广泛应用于各种科学领域，如物理、化学、工程学等。
差分方程与微分方程不同，在处理离散数据时更加方便，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
接下来，我们将详细介绍差分方程的相关知识点。
1.差分方程的定义差分方程是一种用递推关系式描述离散变量间数值关系的数学工具，通常表示为：$a_n=F(a_{n-1},a_{n-2},...,a_{n-k})$其中，$a_n$表示一个数列的第$n$项，$k$为正整数，$F$为给定的函数。
差分方程起始值$a_0,a_1,...,a_{k-1}$也是给定的。
2.差分方程的求解方法求解差分方程的过程与求解微分方程的过程类似，需要先求出差分方程的通解，然后根据初始条件得到特解。
（1）求通解对于一个$k$阶差分方程，我们可以猜测一个$k$次线性递推数列$\{b_n\}$，即$b_n=c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n$，其中$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$是$k$个根。
将猜测的线性递推数列带入差分方程中得到：$c_1\lambda_1^n+c_2\lambda_2^n+...+c_k\lambda_k^n=F(c_1\la mbda_1^{n-1}+c_2\lambda_2^{n-1}+...+c_k\lambda_k^{n-1},c_1\lambda_1^{n-2}+c_2\lambda_2^{n-2}+...+c_k\lambda_k^{n-2},...,c_1\lambda_1^{n-k}+c_2\lambda_2^{n-k}+...+c_k\lambda_k^{n-k})$整理得到：$c_1(\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k}))+c_2(\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k}))+...+c_k(\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k}))=0$由于$c_1,c_2,...,c_k$是任意常数，因此需要使方程的每个系数都等于$0$，也就是：$\lambda_1^n-F(\lambda_1^{n-1},\lambda_1^{n-2},...,\lambda_1^{n-k})=0$$\lambda_2^n-F(\lambda_2^{n-1},\lambda_2^{n-2},...,\lambda_2^{n-k})=0$...$\lambda_k^n-F(\lambda_k^{n-1},\lambda_k^{n-2},...,\lambda_k^{n-k})=0$将上述$k$个方程写成矩阵的形式，即可解得$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。
差分方程的概念
微积分Calculus差分方程的概念一差分的概念1定义()y f x =的增量1x x xy y y +∆=− 称为函数()y f x =在点x 的一阶差分，x y ∆记为。
当自变量从变到时，函数x 1x + (1)x a a =−()(1)n n nx x x ∆=+-分别求()x a ∆与()n x ∆由定义知：1()x x xa a a +∆=-例解2()0c ∆= （1）（为常数）c ()x x cy c y ∆=∆（为常数）c （2）由定义容易证明，差分具有以下性质：()x x x x ay bz a y b z ∆+=∆+∆（3）（为常数）,a b 11()x x x x x x x x x y z y z z y y z z y ++∆=∆+∆=∆+∆（4）1()(0)x x x x xx x x x y z y y z z z z z +⋅∆−⋅∆∆=≠⋅（5）113[cos(1)cos ]cos (33)x x x x x x ++=+−+−13cos(1)3cos x x x x+=+−求的一阶差分3cos x y x =(3cos )xx y x ∆=∆13(cos )cos 3x xx x +=∆+⋅∆按照差分的定义，我们可以继续求二阶及其它各阶差分。
例解二阶差分：x x x x y y y y ∆−∆=∆∆=∆+12)()(112x x x x y y y y −−−=+++x x x y y y +−=++122xx x x y y y y 21223)(∆−∆=∆∆=∆+三阶差分：32(2)x x x y y y ++=−+xx x x y y y y −+−=+++1233321(2)x x x y y y ++−−+反之x x x y y y ∆+=+1x x x x y y y y 222∆+∆+=+xx x x x y y y y y 32333∆+∆+∆+=+22x =−2()x x y y ∆=∆∆(22)x =∆−2()(2)2x =∆−∆=32()x x y y ∆=∆∆0312+−+=x 已知231y x x =−+，求x y ∆2x y ∆3和2()3()(1)x y x x ∆=∆−∆+∆(2)0=∆=例解二差分方程的概念含有自变量、未知函数及未知函数差分的方程称为差分方程。
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
第十一章差分方程
yx ) .
例 设 解
yx e
2x
,求 y x .
2
2( x1)
y x y x1 y x e
2
e
2
2x
e
2x
(e 1)
2
y x ( y x ) [e
2x
( e 1 )]
(e 1) e
2
2x
(e 1) e
2 2
第十一章
差分方程
1
定义差分1 设函数 y x y ( x ), 称改变量 y x 1
为函数 y 在点 x 的差分 ，记为：
yx
y x y ( x 1) y ( x )
函数 y 在点 x+1 的差分为
y x1 y x 2 y x 1
2
已知
yx 3 x
y x 1 ay x f ( x )
(1)
其中 a 0 为常数 , f (x) 为已知函数 . 当 f (x) 0 时 , 称方程
y x1 ay x 0 (a 0)
(2)
为一阶常系数齐次线性差分方程 . 若 f (x) 0 则 (1) 称为一阶常系数非齐次线性差分方 程. 下面介绍它们的求解方法 .
( y x ) ( y x1 y x ) y x1 y x ( y x 2 y x1 ) ( y x1 y x ) y x 2 2 y x1 y x .
称为函数 y = f (x) 的二阶差分 , 记为 2 y x , 即
y x y x 2 2 y x1 y x .
2
同样 , 二阶差分的差分称为三阶差分 , 记为3 y x , 即
差分方程
差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
数学意义及性质意义差分方程是微分方程的离散化。
一个微分方程不一定可以解出精确的解，把它变成差分方程，就可以求出近似的解来。
比如dy+y*dx=0,y(0)=1 是一个微分方程，x取值[0,1] (注：解为y(x)=e^(-x)); 要实现微分方程的离散化，可以把x的区间分割为许多小区间[0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1] 这样上述微分方程可以离散化为：差分方程y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0，k=0,1,2,...,n-1 （n 个离散方程组）利用y(0)=1的条件，以及上面的差分方程，就可以计算出y(k/n) 的近似值了。
§1 基本理论差分方程1. 差分2. 任意数列{xn },定义差分算子Δ如下：Δxn=xn+1-xn 对新数列再应用差分算子，有Δ2xn=Δ（Δkxn).性质性质1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn性质2 Δk(cxn)=cΔkxn性质3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j性质4 数列的通项为n的无限次可导函数，对任意k>=1，存在η，有Δkxn=f(k）（η）差分方程定义8。
1 方程关于数列的k阶差分方程：xn-a1xn-1-a2xn-2-……aBxn-k=b(n=k,k+1，……）其中a1,a2,------ak 为常数，ak≠0. 若b=0，则该方程是齐次方程关于λ的代数方程λk-a1λk-1-------ak-1λ-ak=0 为对应的特征方程，根为特征值。
例题1．实验内容与练习2．1 插分例1 Xn={n3},求各阶差分数列：xn△xn △2xn △3xn △4xn 1 7 12 6 0 8 19 18 6 0 27 37 24 6 0 64 61 30 6 125 91 36 216 127 343 可见，{n3},三阶差分数列为常数数列，四阶为0。
差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法
二阶常系数线性差分方程的解法
（3）二阶常系数非齐次线性方程及其特解形式
设 y * 是方程 y" py'qy f ( x).
的一个特解，Y 是其对应齐次方程的通解，则 y y* Y . 是它的通解，下面给出上述非齐次线性方程的特解 形式.
(1) f ( x) e x Pm ( x)型.
特征方程 r 2 pr q 0 的两个根为 r1 , r2 ,
对于高阶线性方程也有与上述定理相对应 的定理.
5. 可分离变量的方程
M1 ( x)M 2 ( y)dx N1 ( x) N2 ( y)dy 0,
M 1 ( x) N 2 ( y) N1 ( x) dx M 2 ( y) dy C
其中 N1 ( x), M 2 ( y) 0.
ex (C1 cosx C2 sin x).
ex [(C1 C2 x Ck x k 1 ) cos x ( D1 D2 x Dk x k 1 ) sin x].
k重实根 r
一对虚根 r1,2= i
一对 k 重虚根
r1,2= i
6
齐次方程
dy y ( )的通解为 dx x
y du (u) u ln x C, 其中 u x .
7.
一阶非齐次线性微分方程
y' P( x) y Q( x)
的通解为 8
ye
P ( x ) dx
P ( x ) dx [ Q( x)e dx C ]
xt p B p xt , p 1
延迟算子
延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘
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定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方程,称为 (常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为 差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0, （*） 其中 F 为 t,yt,yt+1,… ， yt+n 的已知函数 , 且 yt 和 yt+n 一定要在差 分方程中出现.
这里a0,a1,a2,…，an-1均为已知常数．
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特别值得注意的是： 只要保持差分方程中的时间滞后结构不变 ,无论对 t 提前或 推后一个相同的等间隔值,所得新方程与原方程是等价的,即二者 有相同的解.例如,方程 ayt+1-byt=0
与方程
都是相互等价的．
ayt+2-byt+1=0
基于差分方程的这一特征，在研究差分方程中，为了方便和 需要，我们经常随意地移动差分方程中的时间下标，只要保证方 程中所有时间下标均移动一个相同的整数值即可 由此可见，在差分以及差分方程的解的定义中，对t=0,1,2,… 恒成立时，对t=-1,-2,…也是成立的．为此，今后也就只需讨 论t=0,1,2,…的情形．
例如
yt +1 - yt = a(a为常数)就是一阶差分方程 .
由于在经济模型中，通常遇到的是后一种定义下的差分方程． 因此，今后我们将只讨论形如（*）式的差分方程．
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三、 差分方程的解
定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,使 其对t=…,-2,-1,0,1,2,…成为恒等式,则称yt=j(t)为方程的解.含有 n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解 yt=j(t,C1,C2,…,Cn) 称为 n 阶差分方程的通解 . 在通解中给任意常数 C1,C2,…,Cn 以确 定的值所得的解,称为n阶差分方程的特解.
依此定义类推,有
Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1), Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2), ………………
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由定义1，我们很容易验证一阶差分具有如下性质： (1) 若yt=C(C为常数),则Dyt=0; (2) 对于任意常数k,D(kyt)=kDyt; (3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt．
在第十章中我们讨论了微分方程，在那里，自变量x是在 给定区间内连续取值的，所求函数是自变量x的连续函数． 然而，在经济与管理的实际问题中，经济数据绝大多数是 以等间隔时间周期地统计的． 基于这一原因，在研究分析实际经济与管理问题时，各有关 的经济变量的取值是离散(非连续)化的，描述各经济变量之间的 变化规律的数学模型也是离散(非连续)型的．而最常见的一类离 散型经济数学模型就是差分方程模型．
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例如 , 函数 yt=at+C(a 为已知常数 ,C 为任意常数 ) 是差分方程 yt+1-yt=a的通解.而函数yt=at,yt=at-1,…均是这个差分方程的特解. 由差分方程的通解来确定它的特解 , 需要给出确定特解的 定解条件 .n 阶差分方程 F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0常见的定解条件为 初始条件. y0=a0, y1=a1，…,yn-1=an-1，
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一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
D yt = D ( D
k
k -1
yt )
k -1
=D
k -1
yt +1 - D
yt ( k = 1,2,3,)
i = ( -1) i C k yt + k - i i =0
k
这里
k! C = i! ( k - i )!
i k
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二、 差分方程
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第一节
差分方程的基本概念
一、 差分的概念 给定函数 yt = f (t ) ,其自变量t(通常表示时间)的取值为离散 等间隔的整数值：t=…,-2,-1,0,1,2,…．因t是离散地取等间隔 值，那么函数 yt 只能在相应的点有定义．
定义1 设函数yt=f(t)在t=…,-2,-1,0,1,2,…处有定义,对应的函 数值为…,y-2,y-1,y0,y1,y2,…,则函数yt=f(t)在时间 t的一阶差分定 义为 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)．
定义3 含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt, D2yt,…的函数方程, 称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最 高阶数,称为差分方程的阶. n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt, Dyt,…, Dnyt)=0, 其中F是t,yt, Dyt,…, Dnyt的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出 现．
(4)D( yt - zt ) = Dyt - Dzt .
因为函数 yt 的一阶差分 Dyt 通常还是t的函数，故可以考虑求 Dyt 的差分，进而还可继续考虑 Dyt 的差分的差分，如此等等， 这样的差分统称为高阶差分．
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定义2 函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分,即 D2yt= D (D yt)= D( yt +1 - yt ) = D yt+1- D yt =(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt． 依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ……………… 类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt, D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1, ………………
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四、 线性差分方程及其基本定理
形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt＋1+an(t)yt=f(t)
的差分方程 , 称为 n 阶非齐次线性差分方程 . 其中 a1(t),a2(t),…,an1(t),an(t)和f(t)都是t的已知函数,且an(t)≠0,f(t)≠0 而形如 yt+n+a1(t)yt+n-1+…＋an-1(t)yt+1+an(t)yt=0