二阶系统性能改善及稳定性
实验题目 二阶系统瞬态响应和稳定性
实验题目 二阶系统瞬态响应和稳定性一 实验要求1 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及二阶闭环系统的传递函数标准式；2 研究二阶闭环系统的结构参数――无阻尼振荡频率ωn 、阻尼比ξ对过渡过程的影响；3 观察和分析欠阻尼，临界阻尼和过阻尼二阶闭环系统在阶跃信号输入时的瞬态阶跃响应曲线，并记录欠阻尼二阶闭环系统的动态性能指标Mp 、tp 、ts 值，并与理论计算做对比。
二 实验原理1 二阶闭环系统模拟电路2 实验电路的系统框图3 理论计算开环传递函数：)1()(+=TS TiS K S G 闭环传递函数标准式：2222)(1)()(nn n S S S G S G s ωξωωφ++=+= 自然频率（无阻尼振荡频率）：TiTK=n ω ； 阻尼比：KT Ti 21=ξsT i 1 TsK+1 R(s) C(s)超调量 ：%10021⨯=--eP M ξξπ； 峰值时间： 21ξωπ-=n pt积分环节（A2单元）的积分时间常数 11*1i T R C S == 惯性环节（A3单元）的惯性时间常数 22*0.1T R C S == 可变电阻R=4k 时, K=100/4=25, 81.15=n ω , 316.0=ξ(欠阻尼)%12.35=P M , S n pt 21.012=-=ξωπ;R=40k 时,K=100/25=4, 5=n ω , 1=ξ(临界阻尼) R=100k 时,K=100/100=1, 16.3=n ω , 58.1=ξ(过阻尼)三 实验步骤1 用信号发生器（B1）的‘阶跃信号输出’ 和‘幅度控制电位器’构造输入信号（Ui ）2 构造模拟电路：按实验指导书图3-1-7安置短路套及测孔联线，3 联接虚拟示波器（B3）的：示波器输入端CH1接到A6单元信号输出端OUT ，CH1选×1’。
（4）运行、观察、记录：① 运行LABACT 程序，选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析下的二阶典型系统瞬态响应和稳定性实验项目，再选择开始实验.② 分别将（A7）中的直读式可变电阻调整到4K 、40K 、100K ，按下B1按钮，用示波器观察在三种增益K 下，A6输出端C(t)的系统阶跃响应.。
二阶瞬态响应特性与稳定性分析
二阶瞬态响应特性与稳定性分析二阶系统是指具有两个自由度的动力学系统，广泛应用于控制系统、信号处理等领域。
瞬态响应特性与稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
本文将从瞬态响应特性和稳定性两个方面进行分析，以深入理解二阶系统的行为。
瞬态响应特性是指系统对于输入信号的临时响应过程。
对于一个二阶系统，其瞬态响应特性主要包括过渡过程、超调和振荡频率等。
过渡过程是指系统从初始状态到最终稳态的响应过程。
具体地说，对于一个二阶系统，过渡过程的特性由系统的自然频率和阻尼比决定。
自然频率是指系统在没有任何外部干扰的情况下自由振荡的频率。
阻尼比是指系统阻尼量与临界阻尼量之比，描述了系统的阻尼程度。
超调是指系统响应过程中达到的最大偏离稳态值的幅度。
超调的大小与系统的阻尼比有关，当系统的阻尼比增大时，超调量会减小。
振荡频率是指系统在过渡过程中振荡的频率，与系统的自然频率相关。
稳定性是评估系统的动态性能和可靠性的重要指标。
一个二阶系统是稳定的，当且仅当其系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
稳定性分析可以通过系统的传递函数进行。
传递函数是系统输入转换为输出的比例关系，在频域上可以用于确定系统的稳定性。
当传递函数的所有极点都位于左半平面时，系统是稳定的。
极点是指传递函数分母方程为零的点，也可以看作传递函数的零点。
对于一个二阶系统，其稳定性主要取决于极点的位置。
当极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
当极点的实部大于等于零时，系统是不稳定的。
稳定性分析还可以通过系统的阶跃响应特性进行。
阶跃响应是指系统对于阶跃输入信号的响应。
稳定系统的阶跃响应的幅值会在一些临界值附近趋于稳定。
当系统是不稳定的时，系统的阶跃响应会无限增大或者振荡。
综上所述，瞬态响应特性和稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
瞬态响应特性包括过渡过程、超调和振荡频率等，可以通过自然频率和阻尼比进行调节。
稳定性分析可以通过传递函数的极点位置和阶跃响应特性进行评估。
二阶系统性能改善的Matlab仿真分析
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二阶系统性能改善的Matlab仿真分析
作者：刘洋杨薇张付杰
来源：《现代电子技术》2012年第12期
摘要：掌握系统性能随参数变化的规律性，对于分析和设计系统是十分重要的。
在二阶系统中，一般采用比例-微分控制和测速反馈控制改善其性能。
这里利用Matlab对校正前后的系统进行仿真，分析两种方法对二阶系统性能改善的效果。
同时通过实例计算，得出比例-微分控制和测速反馈控制均可使系统快速性和稳定性提高。
仿真结果表明，两种方法均可显著改善二阶系统的性能。
关键词：二阶系统；比例-微分控制；测速反馈控制；Matlab。
实验2二阶系统的阶跃响应及稳定性分析实验
实验室二二阶系统的阶跃响应及稳定性分析实验一．实验目的1.熟悉二阶模拟系统的组成。
2.研究二阶系统分别工作在等几种状态下的阶跃响应。
3.学习掌握动态性能指标的测试方法，研究典型系统参数对系统动态性能和稳定性的影响。
二，实验内容1.ZY17AutoC12BB自动控制原理实验箱。
2.双踪低频慢扫示波器。
四．实验原理典型二阶系统的方法块结构图如图2.1所示：图2.1其开环传递函数为，为开环增益。
其闭环传递函数为，其中取二阶系统的模拟电路如图2.2所示：该电路中该二阶系统的阶跃响应如图所示：图2.3.1，2.3.2，2.3.3，2.3.4和2.3.5分别对应二阶系统在过阻尼，临界阻尼，欠阻尼，不等幅阻尼振荡（接近于0）和零阻尼（=0）几种状态下的阶跃响应曲线。
改变元件参数Rx大小，可研究不同参数特征下的时域响应。
当Rx为50k时，二阶系统工作在临界阻尼状态;当Rx<50K时，二阶系统工作在过阻尼状态;当Rx>50K时，二阶系统工作在欠阻尼状态;当Rx继续增大时，趋近于零，二阶系统输出表现为不等幅阻尼振荡；当=0时，二阶系统的阻尼为零，输出表现为等幅振荡（因导线均有电阻值，各种损耗总是存在的，实际系统的阻尼比不可能为零）。
五. 实验步骤1.利用实验仪器，按照实验原理设计并连接由一个积分环节和一个惯性环节组成的二阶闭环系统的模拟电路。
此实验可使用运放单元（一），（二），（三），（五）及元器件单元中的可调电阻。
（1）同时按下电源单元中的按键开关S001，S002，再按下S003，调节可调电位器W001,使T006（-12V—+12V）输出电压为+1V，形成单位阶跃信号电路，然后将S001,S002再次按下关闭电源。
（2）按照图2.2连接好电路，按下电路中所用到运放单元的按键开关。
（3）用导线将连接好的模拟电路的输入端于T006相连接，电路的输出端与示波器相连接。
（4）同时按下按键开关S001,S002时，利用示波器观测该二阶系统模拟电路的阶跃特性曲线，并由实验测出响应的超调量和调节时间，将结果记录下来。
第三章(2)性能改善、稳定性详述
C(s)
图3-18 控制系统的方块图
只要令
Kd
2 n
就可以实现系统在稳态时, 无误差地跟踪单位斜坡输入。
eSS
lim
S 0
SE(s)
lim
S 0
S S
2n Kdn2 2 2nS n2
2 n
Kd
例题:设一随动系统如图所示，要求系统的超调量为0.2，峰值
时间 t p ，1S 求①求增益K和速度反馈系数 。
将式（3-47）用部分分式展开，得
C(s)
A0 S
q Aj j1 S Pj
r k 1
Bk
(S
k nk ) Ck nk S 2 2 k nk S
1k2
(3 48)
q
r
r
C(t) A0
Ajepjt
Bk eknkt sinnk 1 k 2 t
C eknkt k
cosnk
1k2t
Amplitude
Step Response 1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
Linear Simulation Results 10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
比例－微分控制 结构简单、成本低 抗干扰能力弱 开环增益不变 较差
测速反馈控制 结构复杂、成本高 抗干扰能力强 开环增益降低 较好
例题 如图所示的系统，单位阶跃响应如图所示的，求K和T。
R(s)
自动控制原理二阶系统动态指标
自动控制原理二阶系统动态指标在自动控制原理中，二阶系统的动态特性对整个控制系统的性能至关重要。
以下是对二阶系统动态指标的详细阐述，主要包含稳定性、快速性、准确性、鲁棒性、抗干扰性、调节时间、超调量、阻尼比和频率响应等方面。
一、系统的稳定性稳定性是评估控制系统性能的重要指标。
对于二阶系统，稳定性通常通过观察系统的极点位置来判断。
如果系统的极点位于复平面的左半部分，则系统是稳定的。
此外，系统的稳定性还与阻尼比有关，阻尼比在0到1之间时，系统是稳定的。
二、系统的快速性快速性表示系统响应速度的快慢。
在二阶系统中，快速性通常通过极点的位置来决定。
极点越接近虚轴，系统的响应速度越快。
但需要注意的是，过快的响应速度可能导致系统超调量增大，因此需要综合考虑快速性和稳定性。
三、系统的准确性准确性表示系统输出与期望输出的接近程度。
对于二阶系统，可以通过调整系统的极点和零点位置来提高准确性。
一般来说，增加阻尼比可以提高准确性。
四、系统的鲁棒性鲁棒性表示系统在参数变化或干扰下保持稳定的能力。
对于二阶系统，鲁棒性可以通过调整系统的极点和零点位置来改善。
一般来说，使极点和零点距离越远，系统的鲁棒性越好。
五、系统的抗干扰性抗干扰性表示系统抵抗外部干扰的能力。
对于二阶系统，可以通过增加阻尼比来提高抗干扰性。
阻尼比增大时，系统对外部干扰的抑制能力增强。
六、系统的调节时间调节时间表示系统从受到干扰到恢复稳态所需的时间。
对于二阶系统，调节时间与阻尼比和系统增益有关。
适当增加阻尼比和系统增益可以缩短调节时间。
七、系统的超调量超调量表示系统响应超过稳态值的最大偏差量。
对于二阶系统，超调量与阻尼比有关。
阻尼比越小，超调量越大。
为了减小超调量，可以适当增加阻尼比。
八、系统的阻尼比阻尼比是衡量系统阻尼程度的参数，其值介于0和1之间。
适当的阻尼比可以保证系统具有良好的稳定性和快速性。
对于二阶系统，阻尼比与调节时间和超调量密切相关。
根据实际需求选择合适的阻尼比是关键。
实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析.
自动控制原理实验报告实验名称：二阶系统的动态特性与稳定性分析班级：姓名：学号：实验二 二阶系统的动态特性与稳定性分析一、实验目的1、 掌握二阶系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术过阻尼、临界阻尼、欠阻尼状态2、 分析二阶系统特征参量（ξω，n ）对系统动态性能的影响；3、 分析系统参数变化对系统稳定性的影响，加深理解“线性系统稳定性至于其结构和参数有关，与外作用无关”的性质；4、 了解掌握典型三阶系统的稳定状态、临界稳定、不稳定状态；5、 学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和simulink 实现方法。
二、实验内容1、 构成各二阶控制系统模拟电路，计算传递函数，明确各参数物理意义。
2、 用Matlab 和simulink 仿真，分析其阶跃响应动态性能，得出性能指标。
3、 搭建典型二阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型二阶系统动态性能和稳定性的影响；4、 搭建典型三阶系统，观测各个参数下的阶跃响应曲线，并记录阶跃响应曲线的超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts ，研究其参数变化对典型三阶系统动态性能和稳定性的影响；5、 将软件仿真结果与模拟电路观测的结果做比较。
三、实验步骤1、 二阶系统的模拟电路实现原理 将二阶系统：ωωξω22)(22nn s G s s n++=可分解为一个比例环节，一个惯性环节和一个积分环节ωωξω)()()()(2C C C C s C C 22262154232154232154215426316320nn s s s s s G s s s C R R R R R R R R R R R R C R R R R R R R R R U U n i ++=++=++== 2、 研究特征参量ξ对二阶系统性能的影响将二阶系统固有频率5.12n =ω保持不变，测试阻尼系数ξ不同时系统的特性，搭建模拟电路，改变电阻R6可改变ξ的值当R6=50K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.8 当R6=100K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.4 当R6=200K 时，二阶系统阻尼系数ξ=0.2（1）用Matlab 软件仿真实现二阶系统的阶跃响应，计算超调量%σ、峰值时间tp 以及调节时间ts 。
二阶系统性能的改善课件
针对某智能车辆控制系统，采用深度学习和强化学习算法，学习驾驶行为和环 境感知信息，优化车辆的路径规划和驾驶决策。通过大量模拟和实际道路测试 ，提高车辆的安全性和行驶效率。
05 二阶系统性能改善的未来展望
CHAPTER
新型控制算法的应用
预测控制算法
利用模型预测和滚动优化原理， 实现系统的动态优化控制，提高 系统的响应速度和稳定性。
控制器设计优化
1 2 3
控制器增ห้องสมุดไป่ตู้调整
通过调整控制器的增益参数，优化系统的动态性 能，提高系统的响应速度和稳定性。
控制器结构优化
根据系统的特性和需求，优化控制器的结构，例 如采用串级控制、解耦控制等，提高系统的控制 精度和抗干扰能力。
智能控制算法应用
采用先进的智能控制算法，如模糊控制、神经网 络控制等，对控制器进行优化，实现更加精准和 灵活的控制。
的性能。
引入非线性环节
在系统中引入适当的非线性环 节，如饱和、死区等，以改善 系统的性能。
优化系统结构
通过改变系统的结构，如增加 或减少环节，来改善系统的性 能。
采用先进控制策略
采用现代控制理论中的先进控 制策略，如PID控制、模糊控制
等，以改善系统的性能。
03 二阶系统性能改善方法
CHAPTER
二阶系统性能的改善课件
目录
CONTENTS
• 二阶系统简介 • 二阶系统性能分析 • 二阶系统性能改善方法 • 二阶系统性能改善实例 • 二阶系统性能改善的未来展望
01 二阶系统简介
CHAPTER
二阶系统的定义
定义
二阶系统是具有两个状态变量的动态 系统，通常由一阶系统通过引入一个 积分环节演化而来。
典型二阶系统比例微分控制的作用
典型二阶系统比例微分控制的作用
典型的二阶系统被广泛应用于自控系统中，其动态特性受系统的阻尼比和自然频率影响，动态响应表现出周期性振荡和衰减的特征。
通过比例微分控制器对该系统进行控制可以起到以下作用：
1. 改善系统的稳定性：比例微分控制器可以通过增大系统稳定裕度来提高系统的稳定性，确保系统不会出现震荡或不稳定的情况。
2. 提高系统的响应速度：比例微分控制器可以通过增强系统的阻尼比来提高系统的响应速度，在响应速度和稳定性之间取得一个平衡。
3. 抑制系统的超调：比例微分控制器可以在动态响应中对控制量进行快速调整，从而抑制系统的超调现象，使系统的响应更加平稳。
4. 降低系统的误差：比例微分控制器可以通过对系统进行在线修正，使系统的控制量更加精确，降低系统的误差。
第8讲二阶系统的性能改善
ξωn
ξωn
∆ = 0.02
3.3.4 二阶系统的动态校正
对于特定的系统，位置控制系统(随动系统)其闭环传递函数
φ (s) =
K ⇒ 2 Tm S + S + K
ωn = ξ=
K Tm
tr =
π −β ωd
ω n 一定
×100% = e
−
1 1 2 Tm K
σ% =
h(t p ) − h(∞) h(∞)
解：
−
ξπ
1−ξ 2
R(s)
σ＝e
ξ=
= 0.2
①
—
K s( s + 1)
C(s)
1 ln( )
σ
π 2 + (ln ) 2 σ
1 + τs
ωn = ωd
1−ξ
2
ω d = π = 3.14rad / s ω d = ω n
=
3.14 1 − 0.456
(3-33)
闭环传递函数为
2
ω n (Td S + 1) G (s) = 2 = φ (s) = 1 + G ( s ) S + 2ξω n S + Td ω n 2 S + ω n 2 S 2 + (2ξω n + Td ω n 2 ) S + ω n 2
Td ω n ( S +
2
1 ) Td
ω n (Td S + 1) G (s) = 2 = 2 φ ( s) = 2 2 2 2 1 + G ( s ) S + 2ξω n S + Td ω n S + ω n S + (2ξω n + Td ω n ) S + ω n
第九次课 二阶系统响应及性能指标
e
nt
(1
e
n
t)
（3）过阻尼单位阶跃响应
t T1 t T2
h (t ) 1
e T2
T1 1
T1
T1 2 1
（4）无阻尼单位阶跃响应
h ( t ) 1 cos
n
t
动态性能指标
1.延迟时间
t
2.上升时间 3.峰值时间 4.超调量
d
二阶系统跟踪单位速度响应其稳态误差为单位速度响应2欠阻尼单位速度响应4过阻尼单位速度响应1无阻尼单位速度响应ss无法跟踪无法跟踪五二阶系统性能的改善不变结论
控制工程基础
主 讲 陈 青 林
内
容
简
要
1. 二阶系统阶跃响应 2. 动态性能指标的求取。 3. 二阶系统斜坡响应与脉 冲响应
二、二阶系统单位阶跃响应
1 0 .7
n
t
r
d
t
%
p
d
2
e
t
1
100 %
5.调节时间
s
3 .5
n
三、二阶系统的单位速度响应
C (s)
n
2 2
s 2 n s n
2
1 s
2
1、欠阻尼情况（ <1）：
c (t ) t 2
n
td 1 . 68
tr
nt
e
nt
4 .4
n
n
ts
4 . 75
二阶系统和稳定性
R(s)
s2
2
n2 n
s
n2
1 s
n2
(s 1)(s 2)s
ST
§5-2 二阶系统的过渡过程
1. 0<ξ<1（欠阻尼）
1,2 n n 2 1 n jd
y(t) 1 ent sin( n 1 2 t arctan
§5-3 稳定性与劳斯判据
当去除输入量后，x(t)及各阶导数均为0，于是：
an
d n y(t) dt n
+an-1
ddnt-1ny-1(t)++a0 y(t)=0
其特征方程为： an sn +an-1 sn-1++a0=0
若特征方程的根为λ1,λ2 ,λ3 ,…,λn，则 微分方程的解为：
y(t)=C1e1t C2e2t C3e3t Cnent
12
)
Y(s)
n2 (s 1)(s 2)s
1 s
s n (s2 n)2 d 2
(s2
n n)2 d 2
ST
§5-2 二阶系统的过渡过程
2. ξ= 0 （无阻尼）
1,2 n n 2 1 jn y(t) 1 sin( n t 90) 1 cosn t
5
e(t) r(t) y(t) 4
Amplitude
t
3
T (1 e T ) 2
1
0 0
Linear Simulation Results
r(t)
T
y(t)
典型二阶系统的时域响应与性能分析
实验二 典型二阶系统的时域响应与性能分析一、实验目的1、研究二阶系统的特征参量（ζ, ωn ）对过渡过程的影响。
2、研究二阶对象的三种阻尼比下的响应曲线及系统的稳定性。
二、实验设备PC 机一台，TD-ACS 教学实验系统一套。
三、实验原理典型二阶系统开环传递函数为：)1()1()(101101+=+=s T s T K s T s T K s G ；其中，开环放大系数01T K K = 。
系统方块图与模拟电路如图2-1与图2-2所示。
图2-1典型二阶系统方块图图2-2模拟电路图先算出临界阻尼、欠阻尼、过阻尼时电电阻R 的理论值，再将理论值应用于模拟电路中，观察二阶系统的动态性能及稳定性。
设R T K K s T T s T 200,2.0,10110=====，系统闭环传递函数为：2222221)()(n n n s s TK s T s T KK s Ts K s R s C ωζωω++=++=++= 其中，自然振荡频率：RT K n 1010==ω 阻尼比：4102521RTKTn===ωζ 典型二阶系统的瞬态性能指标：超调量：21%ζζπδ--=e峰值时间：21ζωπ-=n p t峰值时间的输出值：211)(ζζπ-=+=e t C p调节时间：1）欠阻尼10<<ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈5324，，t n n s ζωζω2）临界阻尼1=ζ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∆=∆≈575.4284.5，，t nns ωω3）过阻尼1>ζ，⎩⎨⎧=∆=∆≈532411，p ，p t s ，1p -与2p -为二阶系统两个互异的负实根122,1-±-=-ζωζωnn p ，21p p ->>-，过阻尼系统可由距离虚轴较近的极点1p -的一阶系统来近似表示。
四、实验内容与要求1、实验前预先计算出典型二阶系统性能指标的理论值并填入实验对照表2-1中。
2、按模拟电路图接线，将信号源单元的“ST”端插针与“S”端插针用“短路块”短接，使每个运放单元均设置锁零场效应管，此时运放具有锁零功能。
二阶系统性能的改善
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
3-4 高阶系统的时域分析
高阶系统的时域分析
高阶系统性能的分析方法
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
一、高阶系统的时域分析
G s s 1 H sG s b s bs a s as
c(t ) t 2
n
1
n 1 2
ent sin n 1 2t 2
响应曲线
稳态误差
ess
2
n
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
3-3 二阶系统的时域分析
教学目的 掌握二阶系统性能改善的方法。 教学内容 二阶系统性能的改善 比例-微分控制 测速反馈控制 非零初始条件下二阶系统的响应过程
t2
t3 t4 t t6 5
t
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
比例—微分控制对系统性能的影响：
• 微分控制可以增大系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降， 调节时间缩短，且不影响常值稳态误差及系统的自然频率。 由于采用微分控制后，允许选取较高的开环增益，因此 在保证一定的动态性能条件下，可以减小稳态误差。 微分器对噪声有放大作用，并且对高频噪声的放大作用， 远大于对缓慢变化输入信号的放大作用，因此在系统输 入端噪声较强的情况下，不宜采用比例－微分控制方式。
线性系统的时域分析法
课程的体系结构
分析
一般 概念
系统 模型
时域法 根轨迹法 性能 指标 频域法
校正
Time Respond Methods
线性系统的时域分析法
二阶系统的动态过程分析
二阶系统的动态过程分析二阶系统是指具有两个自由度的动态系统，常见的有二阶低通滤波器、二阶惯性系统等。
在工程和控制领域中，对二阶系统的动态过程进行分析有助于了解系统的响应特性、设计控制器以及优化系统性能。
一、二阶系统的数学模型一般来说，二阶系统可以用以下微分方程来描述：$M(s)Y(s)=S(s)X(s)$其中，$M(s)$表示系统的传递函数，$X(s)$和$Y(s)$分别表示输入和输出信号的拉普拉斯变换，$s$表示复频域变量。
对于线性、时不变的二阶系统，传递函数$M(s)$可以表示为：$M(s) = \frac{K}{(s+a)(s+b)}$其中，$K$表示系统的增益，$a$和$b$分别表示系统的两个极点。
极点的位置和系统的动态响应有密切关系。
二、二阶系统的零极点分布1.两个实根：当两个极点都为实数时，系统响应会表现出一种振荡的特点。
极点的距离越小，振荡的频率越高，振荡的衰减速度越快。
2.两个共轭复根：当极点为共轭复根时，系统响应不会出现振荡，而是呈现一种渐进衰减的特性。
共轭复根的实部决定了响应的衰减速度，虚部决定了振荡的频率。
3.一个实根和一个共轭复根：这种情况下，系统的响应既会出现振荡，又会呈现渐进衰减的特点。
实根决定了振荡的频率，共轭复根的实部决定了衰减速度，虚部决定了振荡的频率。
三、二阶系统的动态响应1.响应时间：表示系统从0到达稳定状态所需要的时间。
可通过单位阶跃响应来测量。
2.超调量：表示响应曲线最大值与稳定值之间的差值。
对于二阶系统，根据极点位置不同，超调量有不同的计算方式。
3.峰值时间：指的是响应曲线达到超调量的最大值所需要的时间。
四、二阶系统的稳定性分析对于二阶系统而言，稳定性的判断可以通过极点的位置来进行。
当且仅当所有的极点实部都小于零时，系统才是稳定的。
针对具体的二阶系统，可以通过极点的特征方程来进行分析。
如果特征方程有两个负实数根，系统就是稳定的；如果有一个或两个正实数根，系统就是不稳定的。
第六次课 二阶系统性能改善及稳定性分析
2ζ
ωn
结论：二阶系统跟踪单位速度响应， 结论：二阶系统跟踪单位速度响应，其稳 2ζ 态误差为
ess =
ωn
单位速度响应
（1）无阻尼单位速度响应
c (t) = 1 −
ω
ω
1
n
sin
ω
n
t
（2）欠阻尼单位速度响应
c (t) = t − 2ζ
ω
+
1
n
n
1 − ζ
2
e
n
− ζω
n
t
sin(
ω
d
t + 2 β )
3-6 线性系统的稳态误差计算
误差与稳态误差： 误差与稳态误差： 输入端定义： 输入端定义：
E( s) = R( s) − C( s) ⋅ H ( s)
R(s )
E (s )
G (s )
C (s )
H (s )
输出端定义： 输出端定义：
E ( s ) = R′( s ) − C ( s ) = E ( s ) H ( s )
ess = lim[r (t ) − c(t )] =
t →∞
2ζ
ωn
2、临界阻尼情况（ζ =1）： 、临界阻尼情况（ ）：
1 c(t ) = t − + (1 + ωn t ) ωn ωn 2 2ζ ess = lim[r(t ) − c(t )] = t →∞ ωn 2 2e
− ωn t
3、过阻尼情况（ ζ >1）： 、过阻尼情况（ ）：
例： s + s + 3s + 3s + 2 = 0 4 1 3 2 s 3 s 1 3 2 s 0ε 2
二阶系统的性能指标
二阶系统的性能指标1. 超调量（Overshoot）：超调量是指系统实际输出值达到或超过设定值后的最大偏离程度。
超调量大小与系统阻尼比有关，阻尼比越小，超调量越大。
超调量的大小是评价系统抗干扰性的重要指标之一、超调量较小的系统具有更好的稳定性和抗扰性能。
2. 调节时间（Settling Time）：调节时间是指系统从初始状态到稳定状态的时间。
也就是系统输出值从设定值到接近设定值所需要的时间。
系统的调节时间越短，说明系统响应快速，性能越好。
3. 稳态误差（Steady-state Error）：稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差异，它表示系统在稳态下的输出误差大小。
稳态误差大小可以反映系统的静态稳定性能。
稳态误差越小，说明系统的精度越高。
4. 峰值时间（Peak Time）：峰值时间是指从初始状态到系统输出值首次达到超调值的时间。
峰值时间越短，说明系统响应速度越快。
峰值时间较短的系统对输入信号的快速变化能够更快地响应，并快速趋于稳定。
除了上述常见指标外，还有一些常用的性能指标包括上升时间（Rise Time），峰值偏差（Peak Overshoot），调节时间百分比（Percent Overshoot）等，这些指标可根据需要进行评价。
上升时间是指系统响应从0%到100%的时间，或者从10%到90%的时间。
上升时间越短，说明系统的响应速度越快。
峰值偏差是指系统在超调过程中达到的最大偏差值。
系统的峰值偏差越小，说明系统对输入信号的超调响应越小。
调节时间百分比是指系统从初始状态到输出值在一定范围内的时间。
调节时间百分比的指标可以根据具体要求进行设置，一般常见的有2%，5%或10%等。
评价二阶系统性能的指标取决于具体的应用和要求，需要根据实际情况进行选择。
对于不同的应用领域，对于性能指标的要求可能会有所不同。
因此，在实际应用中，需要根据系统的具体要求和特点，选择和优化适合的性能指标，以便更好地评估和改进系统的性能。
实验报告2二阶系统瞬态响应和稳定性
实验报告2--二阶系统瞬态响应和稳定性 (1)实验报告2--二阶系统瞬态响应和稳定性一、实验目的本实验旨在探究二阶系统的瞬态响应和稳定性，通过实验数据分析系统的性能，理解系统的动态特性。
二、实验原理二阶系统是一种常见的线性系统，其动态特性可以用二次方程表示。
通常情况下，二阶系统可以表示为：M * d²x/dt² + C * dx/dt + K * x = 0其中，M、C和K分别是系统的质量、阻尼和刚度系数。
对于二阶系统，其稳定性可以通过系统的特征根来判断。
特征根位于左半平面的系统是稳定的，而位于右半平面的系统是不稳定的。
此外，系统的瞬态响应也与系统的阻尼有关，阻尼越大，响应越快。
三、实验步骤1.准备实验器材：二阶系统模型、激振器、加速度计、数据采集器。
2.将激振器连接到二阶系统模型上，将加速度计固定在系统模型上。
3.将数据采集器连接到加速度计和激振器上，打开数据采集软件开始采集数据。
4.在实验过程中，逐渐增加激振器的频率，观察并记录系统的瞬态响应和稳定性。
5.实验结束后，关闭数据采集器，将数据导出到计算机中进行数据处理和分析。
四、实验数据分析1.数据处理：将采集到的数据导入到MATLAB中进行处理，绘制出系统的瞬态响应曲线和稳定性图。
2.数据分析：根据瞬态响应曲线和稳定性图，分析系统的性能。
观察在不同频率下系统的响应速度和阻尼情况。
同时，根据稳定性图判断系统的稳定性。
五、实验结论通过本次实验，我们发现该二阶系统在低频时具有良好的稳定性，系统响应迅速且无超调。
随着频率的增加，系统的阻尼减小，响应速度变慢，系统的稳定性逐渐降低。
当频率进一步增加时，系统的特征根将进入右半平面，导致系统失稳。
因此，该二阶系统存在一个临界频率，当工作频率超过该临界频率时，系统的稳定性将受到严重影响。
六、实验讨论与改进建议本次实验中，我们发现系统的阻尼对瞬态响应和稳定性具有重要影响。
在实际应用中，可以通过调整系统的阻尼来优化系统的性能。
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例1 系统结构图如图所示。
求开环增益K 分别为10，0.5，0.09时系统的动态性能指标。
计算过程及结果列表K计算 100.50.09开环 传递 函数 )1(10)(1+=s s s G)1(5.0)(2+=s s s G)1(09.0)(3+=s s s G闭环 传递 函数1010)(21++=Φs s s5.05.0)(22++=Φs s s09.009.0)(23++=Φs s s特征参数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===81arccos 158.016.32116.310ξβξωn ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒===⨯===45arccos 707.0707.021707.05.0ξβξωn ⎪⎩⎪⎨⎧=⨯===67.13.0213.009.0ξωn 特征根12.35.02,1j ±-=λ5.05.02,1j ±-=λ⎩⎨⎧-=-=9.01.021λλ⎩⎨⎧==11.11021T T 动态 性能 指标22100001.01160.43.5 3.570.5p ns n t et ξπξπξωσξω--⎧==⎪-⎪⎪==⎨⎪⎪===⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====-=--75.35238.610010022n s np t et ξωσωξπξξπ ()12211100931,0s s pT T t t T T t λλσ⎧==⎪=⋅=⎨⎪=∞=⎩调整参数可以在一定程度上改善系统性能，但改善程度有限§3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施（1） 测速反馈 —— 增加阻尼 （2） 比例+微分 —— 提前控制例 2 在如图所示系统中分别采用测速反馈和比例+微分控制，其中10K =，216.0=t K 。
分别写出各系统的开环传递函数、闭环传递函数，计算动态性能指标（σ％，s t ）并进行对比分析。
原系统、测速反馈和比例+分控制方式下系统性能的计算及比较原系统 测速反馈比例 + 微分系统 结构图开环 传递函数 )1(10)(+=s s s G a)1()1(10)(++=s s s K s G t b)1()1(10)(++=s s s K s G t c闭环 传递函数 210()10a s s s Φ=++ 10)101(10)(2+++=Φs K s s t b 10)101()1(10)(2++++=Φs K s s K s tt c 系统参数ξ0.1581100.216210+⨯=0.51100.216210+⨯=0.5n ω10 3.16= 10 3.16=10 3.16=开环零点 — -4.63 -4.63 极点 0，-１ 0，-１ 0，-１闭环零点 — — 110.216t z K --===-4.63极点 -0.5±j3.12-1.58±j2.74-1.58±j2.74动态 性能p t1.01 1.15 0.9 00σ60.4％ 16.3％ 21.4％ s t72.22.1零点极点法 （ P75 表3-7 ）9.074.273.014.3=-=-=D t p θπ1 1.580.90004.121.44.63p t E e e F σσ--⨯===258.163.41.474.216.3ln 3ln 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=σF E D A t sp t Dπ-θ= ，%100%1p t e F E σσ-= 13ln s A E D F t ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=σ●改善系统性能的机理：测速反馈——增加阻尼比例+微分——提前控制[仿真计算]●附加开环零点对系统性能的影响●附加闭环零/极点对系统性能的影响§3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能§3.4.1 高阶系统单位阶跃响应mn s z s K a s a s a s a b s b s b s b s D s M s nj jm i i n n n n m m m m ≥--=++++++++==Φ∏∏==----1101110111)()()()()(λΛΛ∏∏==--=⋅Φ=n j j mi i s s z s K ss s C 11)()(1)()(λ∑==-'+⋅=n j js s s D s s M s D M j11)()(1)0()0(λλ∑==⋅'+=n j ts k je s D s s M D M t c 1)()()0()0()(λλ()∑∑±-=--=-=++⋅'+=dii i i i i ij i di t i t s t e A e s D s s M D M ωσλσαλααϕωsin )()()0()0(§3.4.2 闭环主导极点主导极点：距离虚轴最近而且附近又没有闭环零点的闭环极点§3.4.3 估算高阶系统动态性能指标的零点极点法（1） ⇒Φ)(s 闭环零极点图；（2） 略去非主导零极点和不非常靠近虚轴的“偶极子”，保留主导极点； （3） 按P75表3-7相应公式估算系统动态性能。
表3-7 动态性能指标估算公式表系统名称闭环零、极点分布图性能指标估算公式振荡二阶系统Dtpπ=，%100%1p teσσ-=1ln3σ⎪⎭⎫⎝⎛+=DAtsDtpθπ-=，%100%1p teFEσσ-=1ln3σ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛+=FEDAts振荡型三阶系统Dtpα=，21⎪⎭⎫⎝⎛-=BAc，DCBAc⋅=2%100%11⎪⎭⎫⎝⎛+=--ppctt eceBCσσ时%ln312≠+=σσcts时%ln31=+=σCctsDtpα=，⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=FCBAc121，FEDCBAc⋅⋅=2% 100%11⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=--ppctt eceFEBCσσ时），0%(ln3112≠>+=σσσCcts时），（0%ln311=<+=σσCCcts非振荡型三阶系统)(1ln1ln332113121σσσσσσσσ≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=st)1.1,(1ln1ln1ln31321131211时σσσσσσσσσσ>≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛--=FFts——————结束——————关于开环传递函数的写法问题1(1)(1)()[1]11(1)1t t t K KK s s s s G s KK s KK s s KK s s s ++===++++++12()(1)t Ks s KK s KΦ=+++2(1)()(1)(1)(1)t t K K s KG s K s s s s s +=+=++2(1)()(1)(1)(1)1(1)t t KK s s s K K s s s K K s s s +Φ==++++++ 2(1)t Ks KK s K =+++问题讨论：1．开环增益会影响系统的动态性能指标吗？2．闭环增益会影响系统的动态性能指标吗？3．系统的动态性能指标与闭环极点有关，与闭环零点也有关吗？——————结束——————4．测速反馈改善系统性能的机理——增加阻尼比例+微分改善系统性能的机理——提前控制两种方法的比较5．附加开环零点的作用6．附加闭环零（极）点的作用2-15 试绘制图2-36所示信号流图对应的系统结构图。
解.§3.5 线性系统的稳定性分析§3.5.1 稳定性的概念§3.5.2稳定的充要条件0)(lim =∞→t k t)()()()()()()()()(2121n n m m s s s a z s z s z s b s D s M s λλλ------==ΦΛΛ∑=-=-++-+-=Φ=ni ii n n s A s A s A s A s s C 12211)()(λλλλΛ∑==++=ni ti tn tti n i e A eA eA eA t k 1212)(λλλλΛ0lim )(lim 1∑=∞→∞→==ni ti t t i eA t k λ0lim =∞→tt i e λ n i ,,2,1Λ= 系统稳定的充要条件：系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部，或所有闭环特征根均位于左半s 平面。
§3.5.3 稳定判据0)(0111=++++=--a s a s a s a s D n n n n Λ 0>n a（1）判定稳定的必要条件0>i a 1,,2,1,0-=n i Λ08964)(245=++++=s s s s s D 010275)(234=-----=s s s s s D（2）劳斯判据例3 系统特征方程，判定系统是否稳定。
010275)(234=++++=s s s s s D ，解 列劳斯表（3）劳斯判据特殊情况的处理例4 系统特征方程023)(3=+-=s s s D ，判定系统稳定性。
解 列劳斯表4s 1 7 10 3s 5 2 02s33/5 101s -184/33 有2个正实部根0s10例5 已知系统特征方程，判定系统是否稳定性。
025*******)(2345=+++++=s s s s s s D ，解 列劳斯表（4）劳斯判据的应用例6 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若可以稳定，确定相应的开环增益围。
解 依题意有()()()223)1(9131)(--=--=s s K s s K s G3s1 -32s0 ←ε 2 第一列元素若出现0，用ε代替1s (-3ε-2)/ε有2个正实部根0s25s 1 12 354s3 20 253s316 1 380 5 02s5 1 25 5 01s0 2 0 0 出现全0行时，构造辅助方程05)(2=+=s s F 02)(=='s s F0s25不存在右半s 平面的极点()()()()01969193)(22=-+-+=-+-=K s K s s K s s D⎩⎨⎧>->-01069K K132<<K 。
系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系 例7 系统结构图如图所示，（1）确定使系统稳定的开环增益K 与阻尼比ξ的取值围，画出相应区域； （2）当2=ξ时，确定使系统极点全部落在直线1-=s 左边的K 值围。
解．（1） )10020()(2++=s s s K s G aξ100a K K =010010020)(23=+++=K s s s s D ξ列劳斯表3s1 1002sξ20K 1000>→ξ1sξξ20)1002000(K -0 K >→ξ20 0sK 1000>→K（2）令 1-=s s )K s s s s D 100)1(100)1(20)1()(23+-+-+-=))))ξ代入2=ξ，整理得)61100(2337)(23-+++=K s s s s D ))))3s 1 232s3761100-K1s 37)100612337(K -+⨯ 0 12.9<→K0s61100-K61.0>→K所以有 12.961.0<<K 。