马尔可夫决策
马尔可夫决策过程简介
马尔可夫决策过程简介马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种在人工智能和运筹学领域广泛应用的数学模型。
它可以描述一类随机决策问题，并提供了一种优化决策的框架。
在现实世界中，许多问题都可以被建模为马尔可夫决策过程，比如自动驾驶车辆的路径规划、机器人的行为控制和资源分配等。
1. 马尔可夫决策过程的基本概念在马尔可夫决策过程中，问题被建模为一个五元组（S, A, P, R, γ）：- S 表示状态空间，包括所有可能的状态；- A 表示动作空间，包括所有可能的动作；- P 表示状态转移概率，描述了在某个状态下采取某个动作后转移到下一个状态的概率分布；- R 表示奖励函数，描述了在某个状态下采取某个动作后获得的即时奖励；- γ（gamma）表示折扣因子，用于平衡当前奖励和未来奖励的重要性。
2. 马尔可夫决策过程的模型马尔可夫决策过程的模型可以用有向图表示，其中节点表示状态，边表示从一个状态到另一个状态的动作，边上的权重表示状态转移概率和即时奖励。
通过对模型进行分析和计算，可以找到最优的决策策略，使得在长期累积奖励最大化的情况下，系统能够做出最优的决策。
3. 马尔可夫决策过程的求解方法对于小规模的马尔可夫决策过程，可以直接使用动态规划方法进行求解，比如值迭代和策略迭代。
值迭代是一种迭代算法，通过不断更新状态值函数来找到最优策略；策略迭代则是一种迭代算法，通过不断更新策略函数来找到最优策略。
这些方法可以保证最终收敛到最优解，但是计算复杂度较高。
对于大规模的马尔可夫决策过程，通常采用近似求解的方法，比如蒙特卡洛方法、时序差分学习方法和深度强化学习方法。
蒙特卡洛方法通过对大量样本进行采样和统计来估计状态值函数和策略函数；时序差分学习方法则是一种在线学习算法，通过不断更新估计值函数来逼近真实值函数；深度强化学习方法则是一种基于神经网络的方法，通过端到端的学习来直接从环境中学习最优策略。
马尔可夫决策过程的使用方法详解
马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，简称MDP）是一种用于描述决策过程的数学框架，它基于马尔可夫链和动态规划理论，被广泛应用于人工智能、运筹学、控制论等领域。
在实际问题中，MDP可以帮助我们制定最优决策策略，从而达到最优的效果。
本文将详细介绍MDP的使用方法。
1. MDP的基本概念在介绍MDP的使用方法之前，我们首先来了解一下MDP的基本概念。
MDP描述了一个包含状态、行动、奖励和转移概率的决策过程。
其中，状态表示系统在某一时刻的特定状态，行动表示系统可以采取的行动，奖励表示在特定状态下采取特定行动所获得的奖励，转移概率表示系统在某一状态下采取某一行动后转移到下一状态的概率。
2. MDP的建模过程在使用MDP时，首先需要进行建模，即确定决策过程中的状态、行动、奖励和转移概率。
对于状态和行动，需要根据具体问题进行定义和划分；对于奖励，需要根据系统的目标和效用函数进行设定；对于转移概率，需要根据系统的特性和环境的影响进行建模。
建模完成后，我们就得到了一个完整的MDP模型。
3. MDP的求解方法MDP的求解方法主要包括基于值函数的方法和基于策略函数的方法。
基于值函数的方法通过计算值函数来找到最优策略，其中值函数表示在当前状态下采取最优策略所能获得的累积奖励。
基于策略函数的方法则直接寻找最优策略，其中策略函数表示在每个状态下应该采取的最优行动。
这两种方法各有优缺点，可以根据具体问题的特点选择合适的方法。
4. MDP的应用案例MDP在实际问题中有着广泛的应用，比如在强化学习、机器人控制、自然语言处理等领域都有相关的应用案例。
以智能体在环境中寻找最优路径为例，可以将环境的状态划分为地图上的各个位置，行动定义为移动到相邻位置，奖励定义为到达目的地所获得的奖励，转移概率定义为移动时受到环境的影响。
通过对该问题建模，并选择合适的求解方法，就可以找到最优路径规划策略。
5. MDP的发展前景随着人工智能的发展和应用范围的扩大，MDP的应用前景也变得更加广阔。
马尔可夫决策过程的基本概念
马尔可夫决策过程的基本概念马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种用于描述具有随机性和不确定性的决策问题的数学模型。
在人工智能、运筹学和控制论领域，MDP被广泛应用于解决各种实际问题，例如机器人路径规划、资源分配、金融风险管理等。
本文将介绍MDP的基本概念，包括状态空间、动作空间、奖励函数和转移概率等要素，并探讨MDP在实际应用中的一些关键问题。
状态空间和动作空间在马尔可夫决策过程中，系统的演化是通过一系列的状态和动作来描述的。
状态空间表示系统可能处于的所有状态的集合，通常用S来表示。
动作空间则表示系统可以采取的所有动作的集合，通常用A来表示。
在每个时刻t，系统处于某个状态s∈S，并根据某个策略π选择一个动作a∈A，然后转移到下一个状态s'，这个过程可以用一个三元组(s, a, s')来描述。
奖励函数在MDP中，为每个状态s∈S定义一个奖励函数R(s)，用于表示系统在该状态下的即时收益。
奖励函数可以是确定性的，也可以是随机的，通常用于衡量系统在不同状态下的好坏程度。
在实际应用中，奖励函数的设计对MDP的性能和收敛性有着重要的影响，因此如何设计合适的奖励函数成为了一个关键问题。
转移概率另一个MDP的关键要素是转移概率，用来描述系统从一个状态转移到另一个状态的概率。
具体来说，对于每个状态s∈S和每个动作a∈A，定义一个状态转移概率函数P(s'|s, a)，表示系统在状态s下采取动作a后转移到状态s'的概率。
转移概率函数的设计不仅涉及到系统的随机性和不确定性，还关系到系统的稳定性和可控性，因此需要仔细分析和建模。
价值函数和策略在MDP中，价值函数用来衡量系统在某个状态下的长期收益，通常用V(s)表示。
价值函数的计算可以通过动态规划、蒙特卡洛方法和时序差分学习等技术来实现。
另外，系统的策略π则表示在每个状态下选择动作的概率分布，可以根据系统的奖励函数和转移概率函数来优化。
7.1.1第七章马尔可夫决策
• 如果已知系统在初始阶段的分布，即系统在初始阶段处于各状态
(0)
的概率 , i = 1, 2, ⋯ , 以及转移概率矩阵P，则在步后处于状
()
态j的概率 可以由下式计算得出：
= = = = 0 = (0 = ) =
集。如果状态空间也是离散的，则我们一般用 = 1, 2, 3, … 来
表示状态空间。
• 条件概率P = j −1 = 表示已知马尔可夫过程 X , ∈ T 在
第 − 1步处于状态，则在第步时处于状态j的条件概率，称为
转移概率。由于它表示的是从第 − 1步到第步的转移概率，因
→∞
马尔可夫链的极限分布。
• 注意：平稳分布和极限分布是两个不同的概念，而且确实存在两
者不一致的情况。
• 在本课程中，我们只考虑二者一致的情况。
• 定理： X , ∈ T 是不可约非周期的马尔可夫链，转移概率矩阵，则
该马尔可夫链存在极限分布当且仅当存在平稳分布，并且此时两者相
等。
• 这时，平稳分布可以通过求解稳态方程
此是一步转移概率。
• 如果条件概率P = j −1 = 只与状态和j有关，而与时刻无
关，则称之为平稳转移概率，记为pij = P = j −1 = 。
• 如果马尔可夫过程 X , ∈ T 的时间集T是离散的，状态空间也
是离散的，而且转移概率是平稳的，则称 X , ∈ T 为（齐次）马
− 步处于状态，则在第步时处于状态j的条件概率，称为
()
步转移概率，记为 。相应的步转移概率矩阵为
()
()
p11
… p1n
=
⋮
马尔可夫决策方法
马尔可夫决策方法马尔可夫决策方法是一种基于概率的决策方法，它可以用来解决许多实际问题，如机器人路径规划、股票投资、自然语言处理等。
本文将介绍马尔可夫决策方法的基本概念、应用场景以及解决问题的步骤。
马尔可夫决策方法是基于马尔可夫过程的决策方法。
马尔可夫过程是一种随机过程，它具有马尔可夫性质，即当前状态只与前一状态有关，与之前的状态无关。
在马尔可夫决策方法中，我们将问题抽象成一个马尔可夫决策过程（MDP），它由状态集合、动作集合、状态转移概率、奖励函数等组成。
在MDP中，我们需要根据当前状态和可选的动作，选择一个最优的动作，使得总体奖励最大。
马尔可夫决策方法的应用场景非常广泛。
例如，在机器人路径规划中，我们可以将机器人的位置和可选的动作抽象成一个MDP，然后使用马尔可夫决策方法来选择最优的动作，使得机器人能够快速到达目标位置。
在股票投资中，我们可以将股票价格和可选的交易动作抽象成一个MDP，然后使用马尔可夫决策方法来选择最优的交易策略，使得总体收益最大。
马尔可夫决策方法的解决问题步骤如下：1. 定义状态集合和动作集合。
根据具体问题，我们需要定义状态集合和动作集合，例如在机器人路径规划中，状态集合可以是机器人的位置，动作集合可以是机器人的移动方向。
2. 定义状态转移概率。
根据具体问题，我们需要定义状态转移概率，即在当前状态下，选择某个动作后，转移到下一个状态的概率。
例如在机器人路径规划中，如果机器人选择向上移动，那么它有一定的概率到达上方的位置，有一定的概率到达左边的位置，有一定的概率到达右边的位置。
3. 定义奖励函数。
根据具体问题，我们需要定义奖励函数，即在每个状态下，选择某个动作后，获得的奖励。
例如在机器人路径规划中，如果机器人到达目标位置，那么它会获得一定的奖励，如果机器人碰到障碍物，那么它会获得一个负的奖励。
4. 计算最优策略。
根据定义的MDP，我们可以使用马尔可夫决策方法来计算最优策略，即在每个状态下，选择最优的动作，使得总体奖励最大。
如何使用马尔可夫决策过程进行资源分配
马尔可夫决策过程（Markov decision process，MDP）是一种用来处理随机决策问题的数学框架。
它可以用来描述一个决策问题中的状态、动作和奖励，并且通过学习和优化来实现最优的资源分配。
在实际应用中，MDP经常被用来解决资源分配的问题，比如在自动驾驶车辆、机器人控制、运营管理等方面。
MDP的基本原理是，一个决策问题可以被建模为一个四元组（S, A, P, R），其中S代表状态空间，A代表动作空间，P代表状态转移概率，R代表奖励函数。
在资源分配问题中，状态可以是系统的当前状态，比如机器的工作状态，A可以是可行的决策，比如分配给机器的工作任务，P表示在某一状态下采取某个动作后转移到下一个状态的概率，R表示在某一状态下采取某个动作后获得的奖励。
一般来说，MDP的目标是通过选择一个最优的策略来最大化长期收益，即最大化累积奖励。
在资源分配问题中，我们希望通过动态调整资源的分配来实现系统的最佳性能，比如最大化生产效率、最小化能源消耗等。
因此，MDP可以被用来指导系统在资源分配过程中做出最优的决策。
在实际应用中，使用MDP进行资源分配有一些基本的步骤。
首先，需要建立一个合适的状态空间，这通常涉及到对系统的建模和状态的定义。
其次，需要定义可行的动作空间，即可以采取的决策。
然后，需要建立状态转移概率和奖励函数，并且根据实际情况进行参数估计。
最后，可以使用MDP算法，比如值迭代或者策略迭代，来学习和优化最优的资源分配策略。
除了基本步骤外，还有一些需要注意的问题。
首先，资源分配问题通常是一个多目标优化问题，需要权衡不同的目标，比如生产效率和成本。
因此，在建立MDP模型时需要充分考虑多目标优化的特点。
其次，资源分配问题通常涉及到不确定性，比如市场需求的波动、设备故障等。
因此，需要建立鲁棒的MDP模型来应对不确定性。
最后，资源分配问题通常是一个动态的过程，需要实时地进行决策。
因此，需要考虑如何将MDP算法与实时决策方法相结合。
马尔可夫决策过程的定义
马尔可夫决策过程的定义
马尔可夫决策过程(Markov Decision Process, MDP)是一种表示机器
学习系统可以自主探索环境并学习如何在未来期望获得最大奖励的数学框架，也称为状态动作行为(state–action–reward)。
它是一种将完全可
观察环境和多阶段决策问题结合起来的框架。
马尔可夫决策过程由一组由实数或整数序列组成的状态集S、一组动
作集A、一组从一个状态到另一个状态的转移概率P、一组状态行为价值
函数R组成，其中状态集S代表环境中的所有可能状态，动作集A代表机
器可以控制的所有可能行动，转移概率P表示每一个动作对环境状态的影响，状态行为价值函数R表示每一个状态的价值，并且根据未来的状态作
出决策。
马尔可夫决策过程的目标是要找到最佳的策略，也就是每个状态最优
的行为，以便有最大的收益。
这种策略通常是通过求解一个期望收益最大
化问题来实现的。
值函数(Value Function)是衡量状态对应的价值的函数，用来估算在当前状态执行一些行为可以获得的最大期望收益，而策略函数(Policy Function)则根据值函数来进行行为的选择。
MDP通常用两类方法来求解，一类是蒙特卡洛方法(Monte Carlo Method)，另一类是动态规划方法(Dynamic Programming Method)。
马尔可夫决策过程与最优化问题
马尔可夫决策过程与最优化问题马尔可夫决策过程（Markov Decision Process，MDP）是一种在不确定环境中做出最优决策的数学模型。
它以马尔可夫链为基础，结合决策理论和最优化方法，用于解决如何在不确定性条件下进行决策的问题。
在本文中，我们将介绍马尔可夫决策过程的基本概念和应用，以及与最优化问题的关联。
一、马尔可夫决策过程概述马尔可夫决策过程是一种描述决策过程的数学模型，其基本特征是状态的转移和决策的可持续性。
它通常由五元组(S, A, P, R, γ)来表示，其中：- S：状态集合，表示系统可能处于的状态；- A：决策集合，表示可以选择的动作；- P：状态转移概率矩阵，表示从一个状态转移到另一个状态的概率；- R：奖励函数，表示从一个状态转移到另一个状态所获得的奖励；- γ：折扣因子，表示对未来奖励的重要性。
马尔可夫决策过程通过在不同状态下做出的不同决策，使系统从一个状态转移到另一个状态，并根据奖励函数来评估每个状态转移的价值。
其目标是找到一种最优的策略，使得系统在不确定环境中能够最大化长期奖励。
二、马尔可夫决策过程的解决方法解决马尔可夫决策过程的核心问题是找到一个最优策略，使系统在不确定环境中获得最大化的长期奖励。
常用的解决方法包括：1. 值迭代：通过迭代计算每个状态的价值函数，从而找到最优策略；2. 策略迭代：通过迭代计算每个状态的价值函数和选择每个状态的最优动作，从而找到最优策略；3. Q-learning：一种基于强化学习的方法，通过学习动作值函数来更新策略，从而找到最优策略。
这些方法都是基于最优化理论和数值计算算法，通过迭代计算来逐步逼近最优策略。
三、马尔可夫决策过程在最优化问题中的应用马尔可夫决策过程广泛应用于各种最优化问题的求解中，例如：1. 库存管理：在供应链管理中，利用马尔可夫决策过程模型可以优化库存管理策略，提高库存周转率和资金利用率；2. 机器人路径规划：在机器人控制中，通过马尔可夫决策过程可以制定最优路径规划策略，提高机器人的运动效率；3. 资源调度：在资源调度领域，利用马尔可夫决策过程可以优化资源的分配和调度，提高资源利用效率；4. 能源管理：在能源管理中，通过马尔可夫决策过程可以对能源的分配和消耗进行优化，提高能源利用效率。
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+ +
+ γ2R(S2) + +
...... ...... + γ3R(S3 + 3) + γ3R(S3)+. . .]
目标：E[R(S0) + γR(S1)
γ2R(S2)
2015-7-13
Policy(策略)
已经处于某个状态s时,我们会以一定的策略π来选择下一个动 作a的执行，然后转换到另一个状态。 π：S→A a=π（s） 值函数（value function ）
V(s)→V*(s)
ii)异步迭代法 对于每一个状态s,得到新的 v(s)后，不存储，直接更新。
2015-7-13
知道了V*(s)后，再用（3）求出相应的最优策略
γ=0.99 3 0.86 0.82 0.90 0.93 0.69 +1 -1
2
1
0.78
1
0.75
2
0.71
3
0.71
4
2015-7-13
递推
Vπ（s）= E[R(S0)+γR(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . . ] = R(S0)+γ（E[R(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . .] ） Vπ（s1） = R(S0)+γVπ（s'）(s': 下一个状态) 然而我们需要注意的是：给定π后，在给定状态s下，a是唯一 的，但A→S可能不是多到一的映射
0.37
+1
2
2
-0.09
-0.82
-1
1 1 2 3 4
1
-0.88 -0.83
-0.85
-1.00
1
2
3
4
这是一个策略，但这不是一 个伟大的策略
对于给定的策略，我们可以 写下这一策略的价值函数
2015-7-13
目的：找到一个当前状态s下，最优的行动策略π。 定义最优的V*如下：
Bellman等式： （2）
aij是sij状态时要执行的动作
2015-7-13
最大似然估计来估计状态转移概率
（从s状态执行动作a后到达s'的次数）
（在状态s时，执行a的次数） 如果分母为0，则令Psa(s')=1/|s|
2015-7-13
将参数估计和值迭代结合起来（在不知道状态转移概率的情况下） • 1、随机初始化π • 2、循环直到收敛{ (a)在样本上统计π中每个状态转移次数，更新Psa和R (b)使用估计到的参数来更新V(值迭代) (c)根据跟新的V来重新得出π }
V的初值衔接上次的结果
2015-7-13
总结
• 这里讨论的MDP是非确定的马尔科夫决策过程，也就是说 回报函数和动作转换函数是有概率的。 • 在增强学习里有一个重要的概念是Q学习，本质是将与状 态s有关的V(s)转换为与a有关的Q。 • 里面提到的Bellman等式，在《算法导论》中有BellmanFord动态规划算法，有值得探讨的收敛性的证明。
立即回报
下一个状态值函数的期望值
2015-7-13
给定一个固定的策略π，我们怎么解这个等式 Vπ（s）=？
(3,2)
0.8 0.1
(2,1) (3,1) 0.1 (4,1)
. . . . .
|S|个方程，|S|个未知数
2015-7-13
Байду номын сангаас
一个具体的例子
Vπ（策略的价值函数）
3
+1 -1
3
0.52
0.33
2015-7-13
如何计算最优策略？（MDP是有限状态，有限动作时）
• 值迭代法
1、将每一个s的V(s)初始化为0 2、循环直到收敛 { 对于每一个状态s,对V(s)做更新 }
i）同步迭代法 初始状态所有的v(s)都为0. 对s都计算新的 V(s)=R(s)+0=R(s)。在计算每 一个状态时，得到V(s)后，先 存下来，不立即更新。待所 有s的新值v(s)都计算完后， 再统一更新。
• R: 回报函数（reward function）
2015-7-13
一个较小的MDP模型（机器人导航任务）
（S,A,{Psa},γ，R）
3
+1
• S:11 states • A={N,S,W,E}
PSN(s') P(3,1)N((3,2))=0.8 P(3,1)N((4,1))=0.1 P(3,1)N((2,1))=0.1 R R((4,3))=+1 R((4,2))=-1 R(s)=-0.02
Vπ（s）= E[R(S0)+γR(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . . | s0=s , π] 值函数是回报的加权和期望，给定π也就给定了一条未来 的行动方案，这个行动方案会经过一个个状态，而到达每 个状态都会有一定回报值，距离当前状态越近的其它状态 对方案的影响越大，权重越高。
2015-7-13
2
-1
1
1
2
3
4
2015-7-13
MDP是如何工作的
时间0，从状态S0出发. . .
取出你在哪个地方at state S0 选择一个动作A0决定action 得到一个新状态S1~PS0a0 S0 R(S R(S )) 00 a0 循环
a0
S1 R(S γR(S 1) 1)
a1
S2
a2
S3
... ... γ∈[0,1)
2015-7-13
MDP
五元组（S,A,{Psa},γ，R）
• S:状态集（states） • A:一组动作（actions）
S中一个状态到另一个状态的转变，需要A来 参与。Psa表示在当前s∈S状态下，经过a∈A 作用后，会转移到的其它状态的概率分布情况
• Psa:状态转移概率
• γ：阻尼系数（discount factor）
MDP中的参数估计
• 之前讨论的MDP中，状态转移概率Psa和回报函数R(s)是已 知的。 • 实际中，我们需要从数据中估计出这些参数（S,A,γ已知）
1 2
S10 S20 a10 a20
S11
S21
a11 a21 . . .
S12 S22
a12 a22
S13 S23
... ... ... ...
2015-7-13
马尔可夫决策过程（MDP,Markov decision processes）是基 于马尔可夫过程理论的随机动态系统的最优决策过程。它是 马尔可夫过程与确定性的动态规划相结合的产物，又称马尔 可夫型随机动态规划。
研究一类可周期地或连续地进行观察的随机动态系统的最优 化问题。在各个时刻根据观察到的状态，从它的马尔可夫决 策相关书籍允许决策（控制、行动、措施等） 集合中选用一 个决策而决定了系统下次的转移规律与相应的运行效果。并 假设这两者都不依赖于系统过去的历史。在各个时刻选取决 策的目的，是使系统运行的全过 程达到某种最优运行效果， 即选取控制（影响）系统发展的最优策略。
Markov Decision 马尔可夫决策
第九组： 史文祥 曹海歌
设计一个回报函数，如果learning agent在决定一步后，获得了较好 的结果，那么我们给agent一些回 报（比如回报函数结果为正）， 若得到较差的结果，那么回报函 数为负。比如，四足机器人，如 果他向前走了一步（接近目标） ，那么回报函数为正，后退为负 。如果我们能够对每一步进行评 价，得到相应的回报函数，那么 就好办了，我们只需要找到一条 回报值最大的路径（每步的回报 之和最大），就认为是最佳的路 径。
2015-7-13
Thank you!
• 策略迭代法（π→π*）
1、随机指定一个S到A的映射π。 2、循环直到收敛{ V可以通过之前的bellmand等式求得 π （a）令V:=V 这一步会求出所有状态的Vπ（s） （b）对于每一个状态s,对π（s）做更新
}
根据（a）歩的结果挑选出当前状态 s下最优的a,然后对a做更新。
2015-7-13
第二项是一个π就决定了每个状态s的下一步动 作，执行a后，s'按概率分布的回报概率和的期望
2015-7-13
• 定义了最优的V*，我们再定义最优的策略π*： S→A
（3）
π*：实际上是最佳策略，最大化我们的收益。 选择最优的π*，也就确定了每个状态s的下一步动作a。
注意： 如果我们能够求得每一个s下最优的a，那么从全局来看， S→A的映射即可生成，并且是最优映射π*。π*针对全局的s， 确定了每一个s的下一个行动a,不会因为初始状态s选取的不同 而不同。