阿贝尔定理
阿贝尔定理应用的一类典型题目
这是关于阿贝尔定理应用的一种题型，有很多童鞋都对这种题目感到模棱两可，今天笔者就好好解析下到底是怎么回事，其实没有那么难。
先把阿贝尔定理回顾一下吧，如下：阿贝尔定理：幂级数n n a x ∑在x 0处收敛，则在一切|x|<|x 0|处都绝对收敛，若在x 0处发散，则在一切|x|>|x 0|处都发散。
下面我们就来相关一类典型例题，如下。
题目：若()1nn a x -∑在x=-1处收敛，则此级数在x=2处（B ），在x=-2处（D ）A 条件收敛B 绝对收敛C 发散D 收敛性不确定解析：我把两道题合并成了一道，但解决的思路都是一样的。
以后遇到这种类型的题，尽管按照下面的思路来做就行了。
因为阿贝尔定理是针对幂级数的，因此我们首先做个简单的变换，使原级数变成幂级数：()1(1)n n n n a x a t t x -==-∑∑，那么原级数在x=-1处收敛，则n n a t ∑在t=-2处收敛。
根据阿贝尔定理有n n a t ∑在|t|<|-2|处绝对收敛，即|t|<2处绝对收敛。
将t 回代为x ，就有()1n n a x -∑在|x-1|<2处绝对收敛，解之得-1<x<3。
也就说原级数在[-1,3]内绝对收敛，而x=2落在该区间，因此在x=2时绝对收敛，选B 。
而x=-2落在该区间外，根据题目的条件我们无法判断[-1,3]之外的情况，因此x=-2的敛散性无法判断，选D 。
点睛：此题的关键在于利用n n a t ∑与()1nn a x -∑的等价关系，从而利用n n a t ∑的敛散性得到()1n n a x -∑的敛散性。
而阿贝尔定理的应用是突破口。
阿贝尔公式的应用
一文(见《福建中学数学》2004 年第 7 期)通
过类比,提出下列猜想:
b
a2 + c2
+
c
b2 +a2
+
a
c2 +b2
≥
3 4
;
(1 ' )
a2 + b2 + c2 ≥ 3 ;
(2 ' )
b(1 + b) c(1 + c) a(1 + a) 4
a + b + c ≥9;
(8 ' )
a + bc b + ca c + ab 4
例 2 已知:{an} 是首项是 a1 ,公差是 d 的等 差点数列,{bn} 是首项是 b1 ,公比是 q(q ≠1) 的
等比数列.求{anbn} 的前 n 项和. 解 ∵ an = a1 + ( n −1)d, ai − ai+1 = −d ,
Si
=
b1
1− qi 1− q
(i
= 1,2,3Ln)
> 2
1 2λ
2
2
=
2 8λ
.
即有
(1
xλ + x )λ
+
yλ (1+ y)λ
>
2 8λ
.
同理
yλ (1 + x )λ
+
xλ (1+ y)λ
>
2 4λ
.
将以上两个不等式相加,即可得不等式(5)
的左不等式. 故定理 2 成立.
参考文献
[1] 宋庆,龚浩生.一个不等式的下界估计.中学数学月 刊.2003.2.
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理，是群论中的一个重要定理，它描述了有限生成的阿贝尔群的结构。
本文将详细介绍该定理的内容和证明过程。
在群论中，阿贝尔群是指满足交换律的群。
有限生成阿贝尔群是指可以由有限个元素生成的阿贝尔群。
有限生成阿贝尔群的结构定理告诉我们，任意一个有限生成的阿贝尔群都可以分解为一些循环群的直积。
具体来说，设G是一个有限生成的阿贝尔群，可以写为G = <a1, a2, ..., an>，其中a1, a2, ..., an是G中的元素。
根据有限生成群的定义，G中的每个元素都可以由这n个元素通过群运算得到。
根据结构定理，我们可以将G分解为一些循环群的直积。
循环群是指由一个元素生成的群。
设H1, H2, ..., Hm是G的一些循环子群，它们分别由元素b1, b2, ..., bm生成。
那么根据结构定理，我们有G = H1 × H2 × ... × Hm。
接下来，我们需要证明这个分解是唯一的。
换句话说，我们需要证明如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
为了证明这个定理，我们首先需要了解循环群的性质。
循环群的性质告诉我们，循环群中的元素的阶数是相等的。
所以，如果Hi和Kj是循环群，且Hi = Kj，则它们的阶数必须相等。
假设Hi的阶数为mi，Kj的阶数为nj。
接下来，我们考虑循环群的生成元。
根据循环群的定义，如果Hi由元素bi生成，Kj由元素cj生成，则对于任意的i和j，存在一个整数ki和kj，使得bi^ki = cj^kj。
这意味着bi和cj的阶数也必须相等。
我们可以得出结论：如果G = H1 × H2 × ... × Hm = K1 × K2 × ... × Kn，则m = n，并且存在一个置换σ将H1, H2, ..., Hm重新排列，使得Hi = Ki对于所有的i。
阿贝尔方法及其在数学分析中的应用
阿贝尔方法及其在数学分析中的应用阿贝尔（1802~1829年）是挪威的数学家，他的一生虽然短暂而凄苦，但他的研究成果在数学史上的作用是巨大的。
尽管众说纷纭，阿贝尔方法及其应用不可否认，尤其在数学分析中经常应用到。
阿贝尔是从一个浅显的恒等式开始的，它可以直接导出阿贝尔引理，从而又可以导出一系列有价值的命题。
下面简单阿贝尔方法及其在数学分析中的应用：阿贝尔恒等式：设m引理1：若对一切n=1，2，3…而言b1≥b2…≥bn≥0，m≤ak≤M则有b1m≤akbk≤b1M证明：设Sk=ai（k=1，2，3…n），则akbk=Snbn+Sk（bk-bk+1），由于m≤Sk≤M，bk-bk+1≥0，得akbk≤Mbn+M（bk-bk+1）=Mb1，akbk≥mbn+m（bk-bk+1）=mb1，即有b1m≤akbk≤b1M引理2：设（1）ak为单调数列（2）Bk（Bk=bi，k=1，2，…）为有界数列，即存在M>0，对一切k，Bk≤M成立，则akbk≤M（a1+2ap）。
证明：由引理1得akbk≤apBp+ak+1-akBk≤M（ap+ak+1-ak）由于ak单调，所以ak+1-ak=ap-a1，即akbk≤M（a1+2ap）一、级数的收敛性定理1（阿贝尔定理）：设an=S，则anxn=S证明：容易看出anxn=f（x）在0≤x≤1上为一致收敛，事实上对任给正数ε，有N使当n>N时，akxk那么，应用阿贝尔定理，我们还可以得到级数乘法定理和阿贝尔求和法，下面分别这两方面的内容。
定理2（级数乘法定理）：令cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，又设级数an，bn，cn都收敛，则cn=（an）（bn）证明：因为绝对收敛的级数可以相乘，因此cnxn=（anxn）（bnxn）=S1（x）S2（x）（0≤x≤1），于是由阿贝尔定理可得：cn=cnxn=S1（x）S2（x）=S1（x）S2（x）=（an）（bn）例1．设an和bn二收敛级数中至少有一个绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+…anb0，则cn收敛，且（an）（bn）=cn证明：不妨设an为绝对收敛，且设An=ak→A，Bn=bk→BCn=ck，ak=A′，Bn≤B′则可得AnB-Cn=a0（B-Bn）+a1（B-Bn-1）+…+an（B-B0）从AnB-Cn≤arB-Bn=r+arB-Bn=r≤A′B-Bn=r+2B′ar可见，AnB-C→0即Cn→AB（n→∞）。
幂级数的阿贝尔(Abel)定理(最全)word资料
幂级数的阿贝尔（Abel）定理当幂级数中的变量 x 取定某一个值时，它就成为一个常数项级数。
若收敛，则称为幂级数（1）的收敛点；若发散，则称为幂级数（1）的发散点。
幂级数（1）的收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。
例如：幂级数是一个公比为 x 的等比级数，显然当 | x | < 1 时，该级数收敛，当 |x |≥1 时，该级数发散，当故该级数的收敛域为（－1，1），发散域为，可见它的收敛域是一个关于原点对称的区间，由下面的定理可知，这个结论对于一般的幂级数（1）也是成立的。
定理1 阿贝尔（Abel）定理①若幂级数（1）在（≠0）处收敛，则对于满足不等式 | x | < | | 的一切 x ，幂级数（1）绝对收敛。
②若幂级数（1）在处发散，则对于满足不等式| x | > | | 的一切 x ，幂级数（1）发散。
证：①设是幂级数（1）的收敛点，即级数收敛，根据级数收敛的必要条件知又因收敛数列必有界，故存在常数 M > 0，使于是，对于级数（1）为一般项，有由条件 | x | < | | ，即，可知等比级数，再由比较判别法知收敛，故幂级数绝对收敛。
②用反证法：假设有一点（| | > | |）使幂级 a 数（1）在该点处收敛，那么由本定理1中的①知，幂级数（1）在处绝对收敛，这与条件相矛盾，定理证毕。
例1：设在点= 3 处收敛，问此级数在点=－2.5 与点=3.5自是否收敛？解：因为| |＝|－2.5| =2.5 < | | =3，而在点=3 处收敛，故由阿贝尔定理知，该级数在点＝－2.5 处也收敛，而该级数在点＝3.5处的敛散性不能确定。
第二部分 函数项级数和含参变量广义积分第十九章 函数项级数.幂级数§1.函数项级数的一致收敛1. 讨论下列函数序列在所示区间的一致收敛性2(1)();(2)(),01;(3)()sin(),();(4)()(1),01;(5)(),01;1(6)()ln ,0 1.n n n n n n n n n f x x f x x x x x f x ni l x l ii x f x x x x nxf x x nx x xf x x n n=-∞<<+∞=-≤≤=-<<-∞<<+∞=-≤≤=≤≤+=<<解：（1）显然()||().n f x x n =→→∞因为22()||().111|()|||1n n f x x n n f x x n n =→→∞-=<=对任给的0,ε>取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，恒有01|()|||n f x x n ε-<<故()n f x 在(,)-∞+∞内一致收敛。
2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域
2014考研数学备考重点解析——如何求幂级数的收敛半径和收敛域一、相关定理 阿贝尔定理： (1) 若∑∞=1n nn x a当)0(00≠=x x x 时收敛，则当||||0x x <时，∑∞=1n nnx a 绝对收敛. (2) 若∑∞=1n nnx a当0x x =时发散,则当||||0x x >时，∑∞=1n n n x a 发散.二、具体型问题的收敛半径、收敛域的求法 1.通用求法：根据阿贝尔定理，∑∞=1n n nx a绝对收心理学考研敛，所以把n n a x 加绝对值后，由比值法或根植法可反解出收敛区间.即令11lim 1n n n n n a x a x++→∞<或lim 1n n n a x →∞<解出x 的范围，即可得出收敛区间与收敛半径. 2.便捷求法（针对不缺项的幂级数）：如果ρ=+∞→nn n a a 1lim,则ρ1=R ；或如果ρ=→∞n n n a ||lim ,则ρ1=R .特别0ρ=时，R =+∞；ρ=+∞时，0R =3.再单独讨论收敛区间两个端点处的常数项级数的敛散性,收敛区间与收敛端点结合在一起就是收敛域.三、抽象型问题的收敛半径、收敛域的求法 根据阿贝尔定理，已知01()nnn a x x ∞=-∑在某点1x （10x x ≠）的敛散性，确定该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：（1）若在1x 处收敛，则收敛半径10R x x ≥-； （2）若在1x 处发散，则收敛半径10R x x ≤-；（3）若在1x 处条件收敛，则收敛半径10R x x =-.（你会心理学考研用反证法证明该条么？）【例1】求n n nn x n )1()2(31--+∑∞=的收敛域. 【解析】nn n n n n n n n n nn n n n u u )2(3)2(3lim)2(31)2(3limlim11111-+-+=-+⋅+-+=++∞→++∞→+∞→3)32(1)32(23lim=-+--=∞→nnn . 或3)32(1lim 3)2(3lim||lim =-+=-+=∞→∞→∞→nn n nnnn n n n n nu .则收敛半径31=R . 当311=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=-+=-+1111)32(131)2(3n n n nn n n n n n ， 由于∑∞=11n n发散，∑∞=-11)32(n n n 收敛，则原幂级数在311=-x 处发散.当311-=-x 时，原级数为∑∑∑∞=∞=∞=+-=--+111)32(1)1(3)1()2(3n n n n nn n n n n n n ，则原幂级数在311-=-x 处收敛，故原幂级数收敛域为)34,32[.【例2】求幂级数212(3)n n nn nx +∞=+-∑的收敛半径. 【解析】这是缺项级数，只能用通用求法来求收敛半径，即222111212(3)limlim 132(3)n n n n n n nnn nn xu x n u x++++→∞→∞++-==<+-，得(3,3)x ∈-，收敛半径为3.【例3】例7.22 设幂级数∑∞=-1)1(n n nx a在0=x 收敛,在2=x 发心理学考研散,则该幂级数收敛域为____.【解析】由于幂级数∑∞=-1)1(n nn x a 在0=x 处收敛，可知当|01|R ≥-，即1R ≥； 该级数在2=x 处发散，可知当|21|R ≤-，即1R ≤.所以收敛半径1R =，该幂级数收敛域为).2,0[。
数学定理列表
数学定理列表数学定理列表（按字母顺序排列）A阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔—鲁菲尼定理指出，五次及更高次的代数方程没有一般的代数解法，即这样的方程不能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
阿蒂亚-辛格指标定理阿蒂亚-辛格指标定理断言：对于紧流形上的椭圆偏微分算子，其解析指标（与解空间的维度相关）等于拓扑指标（决定于曲面的拓扑性状）。
它涵摄了微分几何中许多大定理，在理论物理学中亦有应用。
阿贝尔定理设为一幂级数，其收敛半径为R。
若对收敛圆（模长为R 的复数的集合）上的某个复数z0，级数收敛，则有: 。
若收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。
安达尔定理（阿姆达尔定律）是固定负载（计算总量不变时）时的量化标准。
可用公式：来表示。
式中Ws,Wp分别表示问题规模的串行分量（问题中不能并行化的那一部分）和并行分量，p表示处理器数量。
阿贝尔二项式定理。
阿贝尔曲线定理艾森斯坦定理奥尔定理阿基米德中点定理阿基米德中点定理说明：圆上有两点A,B，M为弧AB的中点，随意选圆上的一点C，D为AC上的点使得MD垂直AC。
若M、C在弦AB异侧，则AD=DC+BC；若M、C在弦AB同侧，则AD=DC-CB阿基米德原理指对于任何正实数a、b，如果a < b，则存在自然数n，有。
阿基米德公理亦可表述为如下的现代记法：对于任何实数x，存在自然数n有n > x。
在体论中，这叙述称为阿基米德公理。
在现代实分析中，这不是一个公理。
它退却为实数具完备性的结果。
基于这理由，常以实数的阿基米德性质的叫法取而代之。
埃尔布朗定理在谓词演算中，一个公式是前束范式的，如果它可以被写为量词在前，随后是被称为矩阵的非量化部分的字符串。
所有一阶公式都逻辑等价于某个前束范式公式。
可以用公式在如下重写规则下的逻辑等价来证实：它们的存在对偶：这里的x 在Q 中是自由的，并注意通过这些规则的持续应用所有量词都可以移动到公式的前面。
阿达马三圆定理在复分析中，阿达马三圆定理是一个关于全纯函数性质的结论。
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解
阿贝尔-鲁菲尼定理-详解阿贝尔-鲁菲尼定理(Abel - Ruffini theorem)目录• 1 什么是阿贝尔-鲁菲尼定理• 2 阿贝尔-鲁菲尼定理的内容• 3 阿贝尔-鲁菲尼定理的历史• 4 阿贝尔-鲁菲尼定理的现代证明什么是阿贝尔-鲁菲尼定理阿贝尔-鲁菲尼定理是代数学中的重要定理。
它指出，五次及更高次的多项式方程没有一般的求根公式，即不是所有这样的方程都能由方程的系数经有限次四则运算和开方运算求根。
这个定理以保罗•鲁菲尼和尼尔斯•阿贝尔命名。
前者在1799年给出了一个不完整的证明，后者则在1824年给出了完整的证明。
埃瓦里斯特•伽罗瓦创造了群论，独立地给出了更广泛地判定多项式方程是否拥有根式解的方法，并给出了定理的证明，但直到他死後的1846年才得以发表阿贝尔-鲁菲尼定理的内容阿贝尔-鲁菲尼定理并不是说明五次或更高次的多项式方程没有解。
事实上代数基本定理说明任意非常数的多项式在复数域中都有根。
然而代数基本定理并没有说明根的具体形式。
通过数值方法可以计算多项式的根的近似值，但数学家也关心根的精确值，以及它们能否通过简单的方式用多项式的系数来表示。
例如，任意给定二次方程，它的两个解可以用方程的系数来表示：这是一个仅用有理数和方程的系数，通过有限次四则运算和开平方得到的解的表达式，称为其代数解。
三次方程、四次方程的根也可以使用类似的方式来表示。
阿贝尔-鲁菲尼定理的结论是：任意给定一个五次或以上的多项式方程：，那么不存在一个通用的公式（求根公式），使用和有理数通过有限次四则运算和开根号得到它的解。
或者说，当n大于等于5时，存在n次多项式，它的根无法用自己的系数和有理数通过有限次四则运算和开根号得到。
换一个角度说，存在这样的实数或复数，它满足某个五次或更高次的多项式方程，但不能写成任何由方程系数和有理数构成的代数式。
这并不是说每一个五次或以上的多项式方程，都无法求得代数解。
比如X5− 2 = 0的解就是。
三大收敛定理
三大收敛定理
三大收敛定理是数学分析中的重要概念，包括单调有界定理、柯西收
敛定理和阿贝尔定理。
这些定理在实际应用中具有广泛的应用，尤其
是在数值计算和微积分学中。
单调有界定理是指一个单调递增或递减的数列如果有界，则必然收敛。
这个定理可以用来证明某些函数的极限存在，并且可以帮助我们判断
序列是否收敛。
例如，对于序列an = 1/n，我们可以发现它是单调递
减的，并且有下界0，因此根据单调有界定理，该序列必然收敛于0。
柯西收敛定理则是指一个数列收敛的充要条件是它满足柯西条件。
柯
西条件是指对于任意正实数ε，存在一个正整数N，使得当n,m>N时，|an - am|<ε。
换句话说，当序列中的元素越来越接近时，则该序列必然收敛。
这个定理在证明极限存在性时非常有用。
最后一个重要的定理是阿贝尔定理，它主要应用于级数求和问题中。
阿贝尔定理指出，在一些特殊情况下，级数的收敛性可以通过对其部
分和序列进行研究来确定。
具体来说，如果级数∑an和∑bn都是收敛的，且bn单调有界，则级数∑anbn也必然收敛。
这个定理为我们解
决一些复杂的级数求和问题提供了便利。
总之，三大收敛定理是数学分析中非常重要的概念，在实际应用中有广泛的应用。
它们可以帮助我们判断序列和级数是否收敛，并且可以用来证明函数极限存在性等问题。
掌握这些定理对于学习数学分析以及相关领域的研究都是非常重要的。
论证阿贝尔定理错误 (1)
论证阿贝尔定理的错误作者：江西临川江国泉阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数根式求解公式。
这是一个错误的结论。
首先，他论证的方法是错误的。
是片面的。
阿贝尔，伽罗瓦都是通过预解式的这种方法来论证的，这个出发点就是一个重大错误。
这种方法只对研究低于五次方程有效。
这是因为，较低次的方程，中间项次少，不需要利用方程组形式，就可将方程换元配方成可开根式的方程，达到开方降次的目的，而五次或更高的方程，由于中间项次多，只能用方程组办法，将其化成能开根式的方程，仅用预解式的办法，没有办法将如何将那么多中间项化成可开根式的形式。
也就是说，他所设想的不断添加的根式，是用预解方程组变换而成，决不再是预解式所能产生的。
利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法1、二个数学新定理介绍定理A、同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，则相同解方程式必可求出。
利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。
定理B、同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。
这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。
利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。
因此，我们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式等于零，这个方程必与原方程有同解。
2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。
这个应用在此不作详细介绍。
2、同解方程式必可求定理论证过程同解方程式必可求出定理定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。
论证过程由于论证过程具有明显的规律性，为了简便说明，在此以方程x3＋ax2＋bx＋c =0与方程x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0若有公共相等根存在来推导它们的公解方程：由于x4＋mx3＋nx2＋px＋q=0的左边x4＋mx3＋nx2＋px＋q总可可化成二部分,即一部分可以整除另一方程左边x3＋ax2＋bx＋c的一部分和不能整除x3＋ax2＋bx＋c的另一部分,因此方程又化成：（x3＋ax2＋bx＋c ）（x＋m－a）＋（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac －cm=0 ；的形式.由于它们存在同解，它们的公共根必须代入二个方程都成立，当：x2的系数（n＋a2－am－b）≠0时因为这个公共根代入（x3＋ax2＋bx＋c ）（x＋m－a）等于零，所以代入（n＋a2－am－b）x2＋（p＋ab－bm－c）x＋q＋ac－cm必等于零。
有限生成阿贝尔群的结构定理
有限生成阿贝尔群的结构定理有限生成阿贝尔群的结构定理是群论中的一个重要定理，它给出了有限生成阿贝尔群的一般形式。
在本文中，我们将介绍这一定理的内容，并对其证明进行简要说明。
我们需要了解什么是阿贝尔群。
一个群被称为阿贝尔群，如果其满足交换律。
也就是说，对于群中的任意两个元素a和b，ab=ba。
阿贝尔群在数学中有着广泛的应用，特别是在代数学和几何学中。
定理的内容是：任意一个有限生成的阿贝尔群G，都可以表示为有限个循环群的直积。
换句话说，G是一些循环群C1，C2，...，Cn 的直积，其中每个Ci都是形如Z/miZ的循环群。
接下来，我们来看一下这个定理的证明思路。
首先，我们知道有限生成的阿贝尔群G可以通过一些元素a1，a2，...，an生成，也就是说，G是由这些元素生成的。
那么我们可以考虑将G中的元素表示为这些生成元的次幂的乘积。
假设G中的一个元素g可以表示为g=a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn，其中ki是整数。
我们可以发现，对于G中的任意两个元素g1和g2，它们的表示形式为g1=a1^k1 * a2^k2 * ... * an^kn，g2=a1^m1 * a2^m2 * ... * an^mn。
那么我们可以将g1和g2相乘，得到g1 * g2=a1^(k1+m1) * a2^(k2+m2) * ... * an^(kn+mn)。
由于G是阿贝尔群，所以g1 * g2=g2 * g1，即a1^(k1+m1) *a2^(k2+m2) * ... * an^(kn+mn)=a1^(m1+k1) * a2^(m2+k2) * ... * an^(mn+kn)。
根据指数运算的唯一性，我们可以得出ki+mi=mi+ki，即ki=mi。
也就是说，对于G中的任意两个元素g1和g2，它们的表示形式中，生成元ai的指数是相同的。
根据上述推理，我们可以将G中的元素表示为a1^k * a2^k * ... * an^k，其中k是一个整数。
ho定理内容
ho定理内容
尼古拉斯·奥古斯都·阿贝尔于1820年提出的奥贝尔（Abel）定理是一个有关于将拒绝原则应用于无穷级数收敛性问题的定理。
该定理说明了在一些情况下，一个收敛的无穷级数依然可以被分解为两个无穷级数之和，而这两个级数中至少有一个是发散的。
具体来说，如果级数\sum_{{n=1}}^{\infty} a_n 收敛，并且分解成两个级数\sum_{{n=1}}^{\infty} b_n 和\sum_{{n=1}}^{\infty} c_n ，则必定满足以下关系：
\sum_{{n=1}}^{\infty} a_n = \sum_{{n=1}}^{\infty} b_n +
\sum_{{n=1}}^{\infty} c_n
并且至少其中一个级数\sum_{{n=1}}^{\infty} b_n 或\sum_{{n=1}}^{\infty} c_n 是发散的。
奥贝尔定理的证明使用了奥贝尔函数（Abel functions）的理论和拒绝原则（Riemann's rearrangement theorem）。
这个定理在数学的分析学和级数理论中具有重要意义，它揭示了级数分解的一些非直观的性质和可能的结果。
阿贝尔定理
阿贝尔定理阿贝尔定理16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。
这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。
当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。
然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。
”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。
阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理定理（阿贝尔（Abel）定理）：1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x/</x0/的一切x使这幂级数绝对收敛。
2.反之，如果幂级数在点x0发散，则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
”它的否定是什么？定理1 （阿贝尔第一定理）1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。
2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。
定理2：有幂级数①，即，若则幂级数①的收敛半径为定理3（阿贝尔第二定理）若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。
定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。
定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分参考资料：阿贝尔与椭圆函数椭圆函数是从椭圆积分来的。
D11_3幂级数-阿贝尔定理
2 (n 1) ] ! (n 1) ! ]2
x
2 (n1)
[2n]! [ n ! ]2
x2n
lim
n
(
2
n
1)(2 n (n 1)2
2)
x2
4 x2
当4x2 1 当4x2 1
时级数收敛 故收敛半径为 R 1 .
时级数发散
2
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例4.
的收敛域.
解: 令
级数变为
R lim
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发散
收o敛
发散x
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定理2. 若
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时,
R
1
;
2) 当 ＝0 时, R ;
3) 当 ＝∞时, R 0 .
备用题 求极限
其中
解: 令
作幂级数
易知其收敛半径为 1, 设其和为
则
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收敛 ,
S(x)
xn
1
x n 1
n0n 1 x n0 n 1
1 x xn
x 0 n0
dx
1 x
x1
0
1
x
dx
(0 x 1 及
)
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S(x)
(0 x 1 及
)
而
lim
x0
ln
(1 x
x)
1
,
因此由和函数的连续性得:
根据阿贝尔定理知识点总结
根据阿贝尔定理知识点总结
什么是阿贝尔定理？
阿贝尔定理，也称为阿贝尔公式，是数学中一个重要的恒等式，用于计算幂级数的和。
它是数学分析中的基本工具之一，被广泛应
用于数论、代数和物理等领域。
阿贝尔定理的表达式
阿贝尔定理的一般表达式如下：
如果幂级数∑(c_n * x^n) 在区间(-R, R) 内一致收敛于 f(x)，则有：
f(x) = ∑(c_n * x^n)
其中，c_n 是系数，x 是变量，n 是非负整数。
阿贝尔定理的条件
阿贝尔定理成立的条件主要是幂级数在区间(-R, R) 内一致收敛。
一致收敛的条件是:
1. 幂级数的部分和序列在 (-R, R) 内一致有界；
2. 幂级数的部分和序列在 (-R, R) 内一致收敛。
阿贝尔定理的应用
阿贝尔定理在数学的许多领域中都有广泛应用。
以下是一些常见的应用场景：
1. 计算幂级数的和，特别是一些特殊的幂级数；
2. 证明数值级数的收敛性；
3. 在复数域中进行解析函数的研究；
4. 在微分方程中解决一些特殊问题。
总结
阿贝尔定理是数学中的重要工具之一，用于计算幂级数的和。
它的应用范围广泛，可以在数学、物理和工程等领域中发挥重要作用。
了解和掌握阿贝尔定理可以帮助我们更好地理解和应用相关的数学知识。
abel第二定理
abel第二定理Abel第二定理是数学中一个重要的定理，在代数域论中有很重要的应用。
该定理是由挪威数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel）在19世纪提出的。
Abel第二定理是代数基本定理的推广，它是通过使用Galois理论中的一些基本思想证明的。
在代数基本定理中，我们知道每个非常数多项式在复数域上都有一个根。
然而，在代数基本定理中，我们仅仅是考虑了复数域上的多项式。
而在Abel第二定理中，我们考虑了更广泛的域。
具体来说，我们考虑了一个特定的域，即代数闭域。
Abel第二定理的内容是：设F是一个代数闭域，f(x)是F[x]中的一个不可约多项式，g(x)是F[x]中的一个多项式。
如果g(x)不是f(x)的倍式，那么f(x)和g(x)在F[x]中有一个非常数的最大公因式。
换句话说，如果f(x)和g(x)在F[x]中没有公共因子，那么它们的最大公因式不是1。
这个结果非常重要，因为它为我们提供了一种方法来刻画在代数闭域上的多项式环的结构。
Abel第二定理的证明基于一些基本的Galois理论的思想。
具体来说，这个证明涉及到一些关于Galois群和Galois扩张的性质。
这个证明是相当技术性的，因此在这里不能完全展开。
然而，我们可以简单介绍一下证明的大致思路。
首先，我们需要使用代数闭域的性质来保证某些多项式的因子分解存在。
然后，我们需要利用Galois扩张的性质来将问题转化为更简单的形式。
最后，我们使用一些代数基本定理的推广来得到Abel第二定理。
Abel第二定理是一个非常重要的定理，它在代数基本定理的推广中发挥着重要的作用。
该定理的证明基于一些基本的Galois理论的思想，证明过程非常技术性。
该定理为我们提供了一种刻画在代数闭域上的多项式环的结构的方法。
幂级数的阿贝尔第二定理
幂级数的阿贝尔第二定理
幂级数的阿贝尔第二定理指出，如果一个幂级数在某个点收敛，那么它在以该点为圆心的任何圆内都一定收敛。
换句话说，如果一个幂级数在某个点收敛，那么它在该点的收敛半径内都收敛，而在该点收敛半径外则发散。
此定理的证明可以通过使用幂级数的收敛定义，并利用柯西-阿达玛公式来完成。
同时，阿贝尔第二定理也为我们提供了一种判定幂级数收敛的方法，即通过计算幂级数的收敛半径，如果该半径存在，则幂级数在该点处收敛，否则则发散。
幂级数的阿贝尔第二定理在微积分、数学分析等领域均有重要应用，例如在证明某些函数解析性质、计算一些特殊函数的收敛半径等方面都发挥着重要作用。
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阿贝尔定理
16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。
这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。
当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。
然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。
这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。
”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。
阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理
定理（阿贝尔（Abel）定理）：
1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x/</x0/的一切x使这幂级数绝对收敛。
2.反之，如果幂级数在点x0发散，则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？
问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。
”它的否定是什么？
定理1 （阿贝尔第一定理）
1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。
2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。
定理2：有幂级数①，即，若
则幂级数①的收敛半径为
定理3（阿贝尔第二定理）
若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。
定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2
定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。
定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即
定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分
参考资料：
阿贝尔与椭圆函数
椭圆函数是从椭圆积分来的。
早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。
19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。
他研究这个题材长达40年之久，他从前辈工作中引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，但他并没有增进任何基本思想，他把这项研究引到了“山重水复疑无路”的境地。
也正是阿贝尔，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色，开拓了“柳暗花明”的前途。
关键来自一个简单的类比。
微积分中有一条众所周知的公式上式左边那个不定积分的反函数就是三角函数。
不难看出，椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。
既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？
“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。
但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它。
科学史上并不乏这样的例证“优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的天才吧。
“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。
他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。
他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。
至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则是不久后由黎曼（B.Riemann，1826－1866）首先提出并加以深入研究的。
事实上，阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。
阿贝尔把这些丰富的成果整理成一长篇论文《论一类极广泛的超越函数的一般性质》。
此时他已经把高斯置诸脑后，放弃了访问哥延根的打算，而把希望寄托在法国的数学家身上。
他婉辞了克雷勒劝其定居柏林的建议后，便启程前往巴黎。
在这世界最繁华的大都会里，荟萃着像柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、勒让得、拉普拉斯pLace，1749－1827）、傅立叶（I.Fourier，1768－1830）、泊松（S.D.Poisson，
1781－1840）这样一些久负盛名的数字巨擘，阿贝尔相信他将在那里找到
知音。
设f(z)= \sum_{n \geq 0} a_n z^n为一幂级数，其收敛半径为R。
若对收敛圆（模长为R的复数的集合）上的某个复数z_0，级数\sum_{n\geq 0} a_n z_0^n收敛，则有: \lim_{t\to 1^-} f(t z_0) = \sum_{n \geq 0} a_n z_0^n。
若\sum_{n \geq 0} a_n R^n收敛，则结果显然成立，无须引用这定理。
编辑本段例子和应用
阿贝尔定理的一个有用应用是计算已知收敛级数。
方法是通过在级数
每项后加上x^n项，将问题转换为幂级数求和，最后再计算x趋于 1 时幂级数的极限。
由阿贝尔定理可知，这个极限就是原级数的和。
1. 为计算收敛级数 \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} ，设
f(x)= \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = \log (1+x)。
于是有\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \log 2
2. 为计算收敛级数\sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}，设g(x)= \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan (x)。
因此
有\lim_{x \to 1^-} g(x) = \arctan (1) = \frac{\pi}{4} = \sum_{n \geq 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}
ar:لبآةنهربمda:Abels sætningen:Abel's theoremfr:Théorème d'Abel (analyse)nl:Stelling van Abel
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