江苏省淮安市清江中学2015届高三12月学情调研数学试题(扫描版)
江苏省清江中学2016届高三上学期第一次月考数学试题
江苏省清江中学2015 ~2016学年度高三年级学情调查数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、函数1y x =-的定义域为A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A B = ．2、写出命题“0x ∃>，210x -≤”的否定： ．3、函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是 ．4、设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ= ．5、设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若11a =，34a =，63k S =，则k = ．6、已知角α的终边经过点()1,3-，则sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ．7、函数1ln y x=（x e ≥）的值域是 ． 8、“2πϕ=”是“函数()sin y x ϕ=+的图象关于y 轴对称”的 条件（填“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）．9、设函数()2sin f x a x x =+，若()10f =，则()1f -的值为 ． 10、若函数()()21x f x x e f x '=⋅+⋅，则()1f '= ． 11、如图，函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕπ≤≤）的部分图象，其中A ，B 分别是图中的最高点和最低点，且5AB =，那么ωϕ+的值为 ．12、如图，在C ∆AB 中，C 120∠BA =，C 2AB =A =，D 为C B 边上的点，且D C 0A ⋅B =，C 2E =EB ，则D A ⋅AE = ．13、若关于x 的方程1ln kx x +=有解，则实数k 的取值范围是 ． 14、下列有关命题的说法正确的是 （请填写所有正确的命题序号）． ①命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”； ②命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题； ③条件:p 2x x ≥-，条件:q x x =，则p 是q 的充分不必要条件；④已知0x >时，()()10x f x '-<，若C ∆AB 是锐角三角形，则()()sin cos f f A >B ． 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15、（本小题满分14分）已知函数()22sin cos 2sin 222x x xf x =-．()I 求()f x 的单调递增区间；()II 求()f x 在区间[],0π-上的最小值．16、（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足pab p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n项和n T ．17、（本小题满分14分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量(),3m a b =与()cos ,sin n =A B 平行．()1求A ；()2若7a =，2b =，求C ∆AB 的面积．18、（本小题满分16分）因客流量临时增大，某鞋店拟用一个高为50cm （即F 50E =cm ）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜，根据经验：一般顾客AB 的眼睛B 到地面的距离为x （cm ）在区间[]140,180内，设支架FG 高为h （090h <<）cm ，G 100A =cm ，顾客可视的镜像范围为CD （如图所示），记CD 的长度为y （GD GC y =-）． ()I 当40h =cm 时，试求y 关于x 的函数关系式和y 的最大值；()II 当顾客的鞋A 在镜中的像1A 满足不等关系1GC G GD <A ≤（不计鞋长）时，称顾客可在镜中看到自己的鞋，若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋，试求h 的取值范围．19、（本小题满分16分）数列{}n a 中，18a =，42a =，且满足2120n n n a a a ++-+=（n *∈N ）．()1求数列{}n a 的通项公式； ()2设()112n n b n a =-（n *∈N ），12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，是否存在最大的整数m ，使得任意的n均有32n mS >总成立？若存在，求出m ；若不存在，请说明理由．20、（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x a x ax =--（R a ∈）．()1当0a >时，求函数()f x 的单调区间；()2若函数()y f x =的图象在点()()2,2f 处的切线的倾斜角为45，且函数()()212g x x nx mf x '=++（m ，R n ∈）当且仅当在1x =处取得极值，其中()f x '为()f x 的导函数，求m 的取值范围．。
江苏省清江中学2015年高三数学(理)专项训练：专题十+复数,推理与证明,统计,概率,算法53.推理与证明
推理与证明考纲要求：合情推理与演绎推理（理解）；分析法和综合法，反证法（了解）. 基础训练1．已知数列}{n a 的前n 项和为),2(21,32,1≥=++-=n a S S a S n nn n 依次计算 4321,,,S S S S 后，猜想=n S .2．已知凸n 行边形)3(≥n 的对角线有)(n f 条，由9)6(,5)5(,2)4(,0)3(====f f f f ，可以猜想=)(n f .3．观察),)((),)((223322b ab a b a b a b a b a b a ++-=-+-=-),)((322344b ab b a a b a b a +++-=-…，进而猜想得到=-nnb a . 4．把空间中平行六面体与平面上的平行四边形类比，由“平行四边形的对边相等”得出平行六面体的相类似的性质是 ． 要点回顾：1.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程. 、 是 合情推理常用的思维方法.是从个别事实中推演出一般的结论，简称归纳法.是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其它方面也相似或相同，简称类比法.2.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程. 是演绎推理的主要形式.3. 直接证明是从原命题的条件逐步推得命题成立，主要有 、 .间接证明的常用方法是 ，其证明过程包括三个步骤： . 例题精讲例1：通过观察下列等式，猜想出一个一般性结论，并证明结论的真假．;23150sin 90sin 30sin 222=+︒+ 23180sin 120sin 60sin 222=︒+︒+ ; ;23165sin 105sin 45sin 222=++ ⋅=++23135sin 75sin 15sin 222例2：求证：;5735)1(->- (2)若,0>>b a 则.b a b a -<-例3： 已知平面α内两相交直线b a ,分别与平面β平行，求证⋅βα//例4：已知a 为非零常数，R x ∈时有)(1)(1)(x f x f a x f -+=+(0)(≠x f ).试判断)(x f 是否为周期函数,证明你的结论.巩固练习1．已知数列{n a }中，),(2321*∈=N n n a a a a n 则=+53a a .2．观察+=+-+-=-=1(941),21(41,11 ),4321(16941),32+++-=-+-+ 猜想第n 行个等式是 ．3．函数xx y cos sin 21++=的最大值是 ．4．已知x b a ,,均为正数，且b a >,则a b 与xa xb ++的大小关系是 ．推理与证明1.函数()f x 由下表定义：若11a =，25a =,*2(),n n a f a n N +=∈则2008a 的值________________．2.已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是： ． 3．在计算“1223(1)n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++”时，某同学学到了如下一种方法： 先改写第k 项：1(1)[(1)(2)(1)(1)],3k k k k k k k k +=++--+由此得112(123012),3⨯=⨯⨯-⨯⨯123(234123),3⨯=⨯⨯-⨯⨯…1(1)[(1)(2)(1)(1)].3n n n n n n n n +=++--+相加，得11223(1)(1)(2).3n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++ 类比上述方法，请你计算“123234(1)(2)n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++”，其结果为 . 4.（1过程； （2）试将两个错误的对数值均指出来并加以改正．（不要求证明）5．如图是一个面积为．．．1．的三角形,现进行如下操作.第一次操作:分别连结这个三角形三边的中点,构成4个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示),并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形(如图②中阴影部分所示),同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作: 连结剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；……,如此下去.记第n 次操作后剩余图形的总面积为a n .(Ⅰ)求1a 、2a ；(Ⅱ)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的14,问至少经过多少次操作? (Ⅲ)求第n 次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和S n .①②。
2021届江苏省清江中学高三12月月考数学试卷
2021年江苏省清江中学高三12月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数()()ϕ+=x x f 2sin 2的周期为______________．2．为了调查城市PM2．5的值，按地域把48个城市分为甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18，20．若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为_________________．3．半径为1的半球的表面积为_______________． 4．若函数()()⎩⎨⎧<->=0,log 0,tan 2x x x x x f ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛43πf f =________________． 5．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y 等于_______________．6．若双曲线经过点()2,3，且渐近线方程是x y 31±=，则这条双曲线的方程是_________________． 7．已知734sin =α，其中⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+3cos πα=_________________． 8．在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，且2223tan b c a acB -+=，则角B 的大小是__________．9．一个幼儿园的母亲节联谊会上，有3个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了3个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有一个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为________．10．已知t 为常数，函数t x x y --=22在区间[]3,0上的最大值为2，则t=__________________．11．已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：3622a a a +=，若12a a a n m =⋅，则nm 91+的最小值为______． 12．设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=P px y 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为︒60，则OA 为_________________．13．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的坐标分别对应数列{}()*Nn a n ∈的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201520142013a a a ++=___________________．14．已知正方形ABCD ，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边CD AB ,于点N M 、，则22BN MN 最小值为_________________．二、解答题15．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知412cos -=C ， （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求b 的长及ABC ∆的面积．16．如图α平面⊥AC 于C ，G BG 于平面α⊥，αα平面，平面⊂CD //AB ，N M 、分别为BD AC 、的中点，若6,4,2,4====BD CD AC AB（1）求证：ACD CG 平面⊥； （2）求MN 的长．17．某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB 长要超过4米（不含4米），C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小1米，︒=∠60BCD（1）若y BC x CD ==,，将支架的总长度表示为y 的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB 、BD 和CD 的长度之和） （2）如何设计AB 、CD 的长，可使支架总长度最短．18．如图，在平面直角坐标系中，方程为022=++++F Ey DX y x 的圆M 的内接四边形ABCD 的对角线BD AC 和互相垂直，且BD AC 和分别在x 轴和y 轴上．（1）若四边形ABCD 的面积为40，对角线AC 的长为8，0=⋅AD AB ，且ADC ∠为锐角，求圆的方程，并求出D B ,的坐标；（2）设四边形ABCD 的一条边CD 的中点为G ，AB OH ⊥，且垂足为H ，试用平面解析几何的研究方法判断点H G O 、、是否共线，并说明理由． 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n ,在直线21121+=x y 上，数列{}n b 满足：()*12,02N n b b b n n n ∈=+-++，且113=b ，前9项和为153．（1）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （2）设()()121123--=n n n b a c ，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式27kT n >对一切()*Nn ∈都成立的最大正整数k 的值；（3）设*N n ∈，()⎩⎨⎧=为偶数为奇数n b n a n f n n ,,，问是否存在*N m ∈，使得()()m f m f ,15+是公比为5的等比数列中的两项，且()()m f m f >+15．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20．给出定义在()+∞,0上的三个函数；()()()()x a x x h x af x x g x x f -=-==,,ln 2，已知()x g 在1=x 处取最值． （1）确定函数()x h 的单调性； （2）求证：当21e x <<时，恒有()()x f x f x -+<22成立；（3）把函数()x h 的图象向上平移6个单位得到函数()x h 1，试确定函数()()x h x g y 1-=的零点个数，并说明理由．参考答案1．π【解析】试题分析：由22=||2Tπππω==得函数()()2sin2f x xφ=+的周期为π考点：三角函数周期2．6【解析】试题分析：由题意得乙组中应抽取的城市数为18166 10+18+20⨯=考点：分层抽样【方法点睛】1．对于分层抽样的理解应注意：（1）分层抽样适用于由差异明显的几部分组成的情况；（2）在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样；（3）分层抽样充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性；（4）分层抽样也是等概率抽样，而且在每层抽样时，可以根据具体情况采用不同的抽样方法，因此应用较为广泛．2．在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．3．π3【解析】试题分析：由题意得半球的表面积为221144113 22R Rπππππ⨯+=⨯⨯+⨯=考点：球的表面积4．0【解析】试题分析：()3=104f f fπ⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：分段函数求值【易错点睛】分段函数体现了数学的分类讨论思想，求解分段函数求值问题时应注意以下三点：（1）明确分段函数的分段区间．（2）依据自变量的取值范围，选好讨论的切入点，并建立等量或不等量关系．（3）在通过上述方法求得结果后，应注意检验所求值（范围）是否落在相应分段区间内． 5．63 【解析】试题分析：第一次循环：3,2,y x ==第二次循环：7,3,y x ==第三次循环：15,4,y x ==第四次循环：31,5,y x ==第五次循环：63,65,y x ==>结束循环，输出63.y = 考点：循环结构流程图 【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题 ①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体； ③确定循环的终止条件．6．1922=-x y【解析】试题分析：由题意设双曲线的方程是229x y λ-=，因为过点()2,3，所以9219λ=-=，即1922=-x y考点：双曲线渐近线 【方法点睛】求双曲线的标准方程关注点：（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1（AB ＜0）．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ（λ≠0）．7．1411-【解析】试题分析：由题意得1cos 7α=，所以1111cos .37214πα⎛⎫+=⨯=- ⎪⎝⎭考点：两角和余弦公式8．323ππ或【解析】试题分析：由余弦定理得：tan sin B B ==⇒角B 的大小是323ππ或 考点：余弦定理9．21【解析】试题分析：妈妈们随机任取一个信封，共有6种取法，其中恰好有一个妈妈拿到了自己孩子的画包含1313C ⨯=种取法，因此所求概率为31.62= 考点：古典概型概率 【思路点睛】1．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． 2．（1）用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．（2）注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用． 10．1 【解析】试题分析：因为对称轴为1[0,3]x =∈，所以当3x =时，函数取最大值，即32, 1.t t -== 考点：二次函数最值 11．4 【解析】试题分析：设公比为q ，则由5432a a a =+得222()q q q =+⇒=舍负，因此21121112244m n a a a m n -+-=⇒=⇒+=，从而1919()191()(10)(104444m n n m m n m n m n ++=+=++≥+=，当且仅当时33n m ==取等号，即n m 91+的最小值为4 考点：等比数列性质，基本不等式求最值12．2p 【解析】试题分析：设()2p A m +，则232()()2pm p m m p =+⇒=负舍，因此.OA p考点：直线与抛物线位置关系 【思想点睛】等价转化思想在抛物线中应用广泛，如焦半径问题常利用抛物线的定义转化解决，与线段的长度、角等有关问题可转化为相应向量的模与夹角解决．凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．若P （x 0，y 0）为抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点，由定义易得|PF|＝x 0＋2p；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则弦长为|AB|＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到． 13．1007 【解析】试题分析：由题意得：因此*2,n a n n N =∈，*43410,n n a a n N --+=∈，从而2013201420154504321007450411007.a a a a a a ⨯-⨯⨯-++=++=考点：数列规律14．53- 【解析】试题分析：以正方形中心O 为坐标原点建立如图所示直角坐标系，设正方形边长为2个单位，则(1,1),(,1),(,1),[1,1]B M m N m m --∈-，因此222244(1)4MN m y BN m +==++，由2228(41)0[(1)4]m m y m +-'==++得22()m m ==或舍，因此函数在2,1)单调增，在(2)-单调减，即2m =时，函数取最小值53-考点：利用导数求函数最值 【思路点睛】函数最值存在的两条定论1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．不单调时，利用导数探求极值点，为函数取最值的可疑点．2．开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值．“单峰”利用导数探求．15．（1）410sin =C ；（2）⎩⎨⎧==1562S b【解析】试题分析：（1）由二倍角余弦公式得2215cos212sin sin 48C C C =-=-⇒=再由0C π<<取正得：410sin =C （2）由正弦定理将2sin sin A C =化边得：24c a ==，再由余弦定理得：C ab b a c cos 2222-+=，即01262=--b b ，解得62=b ，最后由面积公式1sin2ABC S ab C∆=得S =试题解析：解：（1）因为π<<-=-=C C C 0,41sin 212cos 2所以410sin =C ．当C A a sin sin 2,2==时，由正弦定理C CA a sin sin =，解得4=c ． 由20,411cos 22cos 2π<<-=-=C C C 及得46cos =C ， 由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，得01262=--b b解得62=b （负舍），15sin 21==∆C ab S ABC∴⎩⎨⎧==1562S b考点：余弦定理，二倍角公式16．（1）详见解析（2）MN =【解析】试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理，即从线线垂直出发进行论证，证明线线垂直，一是利用从线面垂直性质定理：由α⊥AC 得,GC AC ⊥二是从平几条件出发，本题利用勾股定理得到CD GC ⊥（2）求MN 的长，一般构造一个三角形，利用解三角形知识进行求解：本题可取AD 的中点H ，利用两直线垂直同一平面相互平行得四点共面，再利用线面平行得线线平行，最后利用线面垂直得线线垂直，在直角三角形中求未知量． 试题解析：（1）证明：在BDG Rt ∆中，24,2,6=∴==DG BG BD 又4,4===CD CG AB ，故CDG ∆为等腰直角三角形 ∴CD GC ⊥，又α⊥AC ，∴C CD AC AC GC =⊥ ,∴ACD GC 平面⊥取AD 的中点H ，连接NH MH 、，∴AB NH //， 由α平面⊥AC 于C ，G BG 于平面α⊥，得//AC BG 由//AB αα平面，平面平面ABGC=GC ，得//AB GC ，因此//NH GC ，又ACD GC 平面⊥∴ACD NH 平面⊥，∴MH NH ⊥∵112,222MH CD NH AB MN ====∴=， 考点：线面垂直判定定理，线面平行性质定理 【思想点睛】证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．通过线面、面面平行的判定与性质，可实现线线、线面、面面平行的转化．因此立体几何中研究线面关系的思想为等价转化． 17．（1）222212y l y y -=+--，2y >（2）2638,46+=+=CD AB【解析】试题分析：（1）支架的总长度为21AC BC BD CD y x x +++=++-，所以关键找出,x y 之间关系，这可利用余弦定理推导：由()222160cos 2-=︒-+x xy y x 得212--=y y x ，最后再由条件得242>>y y ，即（2）求支架的总长度212212y l y y -=+⨯--最值，可设)0(2>=-t t y 化为对勾函数6411l t t =++，再利用基本不等式求最值试题解析：（1）由x CD =，则()m x BD 1-=，设y CB =，则支架的总长度为CD BD BC AC +++，在BCD ∆中，由余弦定理()222160cos 2-=︒-+x xy y x 化简得 122+-=-x xy y 即0122=-+-x xy y ①记1221-+=+-++=x y x x y y l由0122=-+-x xy y ，则212--=y y x 122221212222---+=---⨯+=y y y y y y l由题中条件得242>>y y ，即 设)0(2>=-t t y则原式()()1164323421221222++=++⎪⎭⎫⎝⎛++=-+--+⋅=tt t t t t tt l∵0>t 由基本不等式 ∴6464≥+t t有且仅当642=t ，即26=t 时成立，又由26=t 满足0>t∴226+=y ，∴2863+=x∴当2638,46+=+=CD AB 时，金属支架总长度最短．考点：余弦定理，基本不等式求最值 【方法点睛】1利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑、代换、平方．2余弦定理中隐含的和与积的关系，常变形后与基本不等式结合使用18．（1）()25322=-+y x ，())2,0(,8,0-D B （2）共线【解析】试题分析：（1）利用四边形ABCD 面积得直径10=BD ，因而半径为5，利用弦AC=8可求得圆心M 到直线AC 距离为3，即圆心()3,0M ，方程为()25322=-+y x ，可得圆在y 轴上的交点())2,0(,8,0-D B （2）判断三点H G O 、、是否共线，一般利用斜率进行判定，即判断OG OH k k =是否成立，而OH AB ⊥，因此只需判断1OG AB k k =-是否成立，设()()()()0,0,,00,d D c C b B a A ，，，．则转化为判断bd ac =是否成立：对于圆M 的一般方程022=++++F Ey DX y x ，a ，c 为02=++F DX x 两根，b ，d 为02=++F Ey y 两根，从而由韦达定理得ac F bd ==，因此三点共线．试题解析：解：（1）不难发现，对角线互相垂直的四边形ABCD 面积2BD AC S ⋅=，因为8,40==AC S 可得10=BD ．又因为0AB AD ⋅=，所以A ∠为直角，而因为四边形是圆M 的内接四边形，故5,102===r r BD ，连接MA ，求得3=MO ，所以()3,0M ，故圆M 的方程为()25322=-+y x ，令28,0-==或y x ，求得())2,0(,8,0-D B证：设四边形四个顶点的坐标分别为()()()()0,0,,00,d D c C b B a A ，，，．则可得点G 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2d c ，即⎪⎭⎫⎝⎛=2,2d c OG 又(),AB a b =-，且OH AB ⊥，故使H O G 、、共线，只需证0AB OG ⋅=即可而2bd ac AB OG -⋅=，且对于圆M 的一般方程022=++++F Ey DX y x ， 当0=y 时，可得02=++F DX x ，其中方程的两根分别为点A 和点C 的横坐标，于是有Fac x x C A ==．同理，当0=x 时，可得02=++F Ey y ，其中方程的两根分别为点B 和点D 的纵坐标， 于是有F bd y y D B ==，所以，02bd acAB OG -⋅==，即OG AB ⊥，故H O G 、、必定三点共线 考点：圆的方程，直线与圆位置关系19．（1）5n a n =+ ，32n b n =+；（2）8；（3）11=m 【解析】试题分析：（1）先将点⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n ,代入直线方程21121+=x y ，得到2111,22n S n n =+再利用n a 与nS 关系求通项：5n a n =+，由()*12,02Nn b b b n n n ∈=+-++得数列{}nb 为等差数列，再由待定系数法得32n b n =+（2）化简()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=--=1211212112121121123n n n n b a c n n n ，因此利用裂项相消法求数列{}n c 的前n 项和为n T 111221n ⎛⎫=-⎪+⎝⎭，而不等式恒成立问题可转化为对应函数最值问题：min 27n kT >（），因为n T 的最小值为311=T ，所以3127<k ，最大正整数k 的值为8．（3）数列通项是分段的，因此分类讨论是解题基本思路：当m 为奇数时，15+m 为偶数，()()()3231525553115k k m m m m m ++=+⇒=+⇒=+为奇数；当m 为偶数时，15+m 为奇数，()()2051555325=5327k k m m m m m m +++=+⇒≥⇒≤+为偶数舍试题解析：解：（1）点⎪⎭⎫ ⎝⎛n S n n ,在直线21121+=x y 上，∴5,21121,211212+=+=+=n a n n S n n S n n n 即．∵()*12,02N n b b b n n n ∈=+-++，∴12112b b b b b bn n n n -==-=-+++∴数列{}n b 是等差数列，∵113=b ，它的前9项和为153，设公差为d ，则1532899,11211=⨯⨯+=+d b d b ，解得233,51+=∴==n b d b n ，由（1）得，()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=--=1211212112121121123n n n n b a c n n n ，∴⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=1211211211212171512151312131121321n n n b b b b T n n∵⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n T n 在*N n ∈上是单调递增的，∴n T 的最小值为311=T ．∵不等式27k T n >对一切*N n ∈都成立，∴3127<k ，∴9<k ，∴最大正整数k 的值为8．*N n ∈，()⎩⎨⎧⎩⎨⎧++==为偶数，为奇数，为偶数，为奇数，n n n n n b n a n f n n 235 当m 为奇数时，15+m 为偶数；当m 为偶数时，15+m 为奇数，又()()m f m f >+15若()()m f m f k 515=+成立，则有()()()1552153≥+=++k m m m k ，为奇数， 或()()Z k k m m m k∈≥+=++，，为偶数1235515 只能1=k 时，解得11=m ，所以当11=m 时，()()m f m f 515=+ 考点：由nS 求n a ，裂项相消法求和【易错点睛】一、已知S n 求a n 的注意点利用a n ＝S n －S n －1求通项时，注意n≥2这一前提条件，易忽略验证n ＝1致误，当n ＝1时，a 1若适合通项，则n ＝1的情况应并入n≥2时的通项；否则a n 应利用分段函数的形式表示． 二、利用裂项相消法求和应注意以下两点（1）抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； （2）将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则20．（1）在()+∞,1上是增函数，在()1,0上是减函数；（2）详见解析；（3）两个零点 【解析】试题分析：（1）()x a x x g ln 2-=，函数在开区间上的最值只能在极值点取得，因此()20201=⇒=-='a a g ，即（2）对所要证明的不等式先进行化简：()()x f x f x -+<22()()211x f x x -⇔>+，再构造函数()()()()112ln 112+--=+--=x x x x x x f x ϕ，最后利用导数求其最值，以算代证；（3）研究函数零点，先利用导数探求其单调性，即先研究其导函数零点：注意因式分解，确定只有一个零点1=x ，再研究区间端点变换趋势：0→x 时，()+∞→x m ，+∞→x 时，()+∞→x m ，最后根据零点存在定理及对应区间增减性确定零点个数试题解析：解：（1）由题设，()x a x x g ln 2-=，则()x ax x g -='2，由已知，()20201=⇒=-='a a g ，即于是()x x x h 2-=，则()x x h 11-='，由()()100111011<⇒<<-='>⇒>-='x x x h x x x h ，所以()x h 在()+∞,1上是增函数，在()1,0上是减函数．当21e x <<时，2ln 0<<x 即()20<<x f ，欲证()()x f x f x -+<22，只需证()[]()x f x f x +<-22，即证()()112+->x x x f ，设()()()()112ln 112+--=+--=x x x x x x f x ϕ，则()()()()()()22211112121+-=+--+-='x x x x x x x x ϕ当21e x <<时()0>'x ϕ，所以()x ϕ在()2,1e 上为增函数．从而当21e x <<时，()()01=>ϕϕx ，即()()112+->x x x f ，故()()x f x f x -+<22 由题设，()621+-=x x x h ，令()()01=-x h x g ，则()062ln 22=+---x x x x ，设()()()x xx x x x x x m x x x x x m +--=+--='+---=22112262ln 222，，()()()()()()()x x x x x x xx xx x x x m 222111112+++-=--++-='，令()0='x m 得1=x ，当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()041max <-==m x m ，而0→x 时，()+∞→x m ，+∞→x 时，()+∞→x m ，故函数()xm的图象与x轴有且仅有两个交点，也就是说函数()()xhxgy1-=有两个零点．考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式，利用导数研究函数零点【思想点睛】1求函数的单调性，转化为解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，考查了转化与化归思想．2研究函数零点，构造了相关函数，并借助导数解决，考查了整体思想及分析问题和解决问题的能力．3求函数的最值，需要考虑f′（x）＝0的根，研究函数在给定区间上的单调性，考查了分类讨论思想的应用．。
江苏省清江中学2019届高三数学上学期12月月考试题(扫描版)
1 . e
1 1 因为 g (0) a 0 ， g (ln ) 0 ，且 ln 0 a a 1 而 g ( x) 在 ( ， ln ) 上单调递减 a 1 所以 g ( x) 在 (0 ， ln ) 上有 1 个零点； a
又因为 g ( x) ae x x ax 2 x x ax 1 （易证 e x x 2 ）
1 ② 当 a 0 时，令 g / ( x) 0 ，解得： x ( ， ln ) a 1 1 g ( x) 在 ( ， ln ) 上单调递减，在 (ln ， + ) 上单调递增 a a 1 1 所以 g ( x) min g (ln ) 1 ln a a
因为 g ( x) 有两个零点，所以 1 ln 解得： 0 a
江苏省清江中学 2019 届高三数学上学期 12 月月考试题（扫描版）
1
2
3
4
2018～2019 学年度高三年级第一学期教学质量调研（三） 数学试卷答案 1. 3 5. 9 2. y 8 x
2
3.
10 11
4. 900
17 7
6.
63 32
7. 1 11 10
8.
11 11 6
3 1 x y 0 2 2 令 x 1, y 3 , z 3 1 x y ( 2 2 ) z 0 2 2
3
因为
3 2 2
2 2 4 ( 3 )
2
33 11
( 2 2 ) 2
16 8 0 1 2 PE 1 所以 PC 2
2 2 1 则 g ( ) 0 且 g (ln ) 0 ， a a a 1 而 g ( x) 在 (ln ， + ) 上单调递增 a 1 1 所以 g ( x) 在 (ln ， ) 上有 1 个零点 a a
江苏省清江中学高二12月月考数学试题(解析版) Word版
江苏省清江中学2017-2018学年高二12月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1. 命题“”的否定是_______.【答案】【解析】由含一个量词的命题的否定可得，所给命题的否定是：。
答案：。
2. 抛物线上一点到焦点的距离是2，则点坐标为_______.【答案】【解析】由题意得抛物线的准线方程为。
设点的坐标为，则由抛物线的定义得，解得。
此时，解得。
所以点坐标为。
答案：3. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则______.【答案】2【解析】试题分析：由图及导数的几何意义知，又f(5)=-5+8=3，故 2考点：本题考查了导数的几何意义点评：函数在的导数值即是过点所作该函数所表示的曲线切线的斜率4. 已知正四棱锥中，底面面积为16，一条侧棱的长为3，则该棱锥的高为______.【答案】1【解析】设正四棱锥的底面边长为，高为。
则有，故。
由题意可得，解得。
所以该棱锥的高为1.答案：15. 若条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是_______.【答案】【解析】由得。
若是的充分不必要条件，则，故。
所以实数的取值范围为.答案：。
6. 以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为________.【答案】【解析】试题分析：双曲线右焦点为，其中一条渐近线为，因为圆与渐近线相切，由点到直线距离公式得半径.考点：圆的方程.7. 已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是_______.①若，，则②若，，则③若，，则④若，，则【答案】④【解析】①中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线平行，故正确。
②中，满足条件的直线垂直，故正确。
③中，由面面垂直的性质可得，交线与垂直，故正确。
④中，直线与可能平行，也可能在内，故不正确。
综上④不正确。
答案：④8. 若椭圆的离心率，则________.【答案】3或【解析】试题分析：当焦点在x轴时，同理可知当焦点在y轴时，所以m的值为或考点：椭圆性质9. 已知，函数在上是单调递增函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】∵，∴，又函数在单调递增，∴在上恒成立，即在上恒成立。
清江中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题及答案
江苏省清江中学2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题时间：120分钟 满分：160分一.填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.)1.集合{}a A ,2,0=，{}2,1a B =，若{}0,1,2,3,9A B =，则a 的值为 ．2.函数()的最小正周期为,则__________.3. 已知α是第二象限角且4sin 5α=，则tan α= ．4.若函数12()log (21)f x x =-的定义域是 ．5. 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ．6.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝3x，则f (sin 6π)的值为7. 已知定义域为的函数是奇函数，则 .8. 44sin 22.5cos 22.5︒-︒= 9.已知(0,)2πα∈，若1sin()33πα-=，sin α的值为 . 10.设向量)3,(k OA =，)2,0(k OB -=，OA ，OB 的夹角为︒120，则实数=k ．11.设函数2sin (0)y x x π=≤≤的图象为曲线C ，动点(,)A x y 在曲线C 上，过A 且平行于x 轴的直线交曲线C 于点(B A B 、可以重合），设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 单调递增区间 ．12.如图, 在等腰三角形中, 底边,,, 若, 则=13. 已知，其中，若，则= 14.已知直线x=a(0<a<π2)与函数f(x)=sinx 和函数g (x )=cos x 的图象分别交于M ,N 两点,若MN= 15 ,则线段MN 的中点纵坐标为_______.()⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin 2πωx x f 0>ωπ=ωR 121()2x x f x a+-+=+a =)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==()0,x π∈a b a b ⋅=⋅tan x二. 解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15.(1)设α为第四象限角,其终边上一个点为()5,-x ,且x 42cos =α,求αsin ; (2)若cos 2sin 5αα+=-,求αtan 的值.16. 函数()sin()4f x A x πω=+（其中0,0A ω>>）的振幅为2，周期为π．（1）求()f x 的解析式并写出()f x 的单调增区间； （2）将()f x 的图像先左移4π个单位，再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图像，求()g x 解析式和对称中心（m ，0），[0,]m π∈。
数学-清江中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题
江苏省清江中学2015-2016学年度第一学期期末考试高二数学试卷参考公式：若样本数据x 1，x 1，…，x n 的平均数为x , 则它的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=，它的标准差为2s s = 一．填空题（本大题满分70分）请把答案直接填写在答题纸相应位置．．．．．．．上. 1.命题“012,2≤+-∈∃x x R x ”的否定形式为 ▲ ．2. 双曲线116922=-y x 的渐近线方程为 ▲ ． 3.课题组进行城市空气质量调查，按地域把城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、8、12. 若采用分层抽样的方法抽取一个容量n 的样本，且每一个城市被抽到的概率都是0.25，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .4.运行如图所示的程序框图，所得的结果是 .5. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的方差为▲ .6. 同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为 .7.2a =-是直线422x ay a +=+与直线1ax y a +=+相互平行的 条件.(选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)8. 在ABC ∆的边BC 上取一个点P ，记ABP ∆和ACP ∆的面积分别为1S 和2S ，则123S S >的概率是 .9.函数()ln 0y x x =>的图象与直线12y x a =+相切， 则a 等于________．10.已知圆22:(3)(4)4C x y ++-=,若直线1l 过点(1,0)A -，且与圆C 相切，则直线1l 的方程为 .11.直线,,a b l 以及平面,M N ，下面命题中真命题的序号是 ▲ ． ⑴若//,//a M b M ，则//a b ； ⑵若,//a M a N ⊥，则M N ⊥；⑶若,a M b M ⊂⊂，且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥；⑷若//,a b b M ⊂，则//a M ．12. 设P是函数1)y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ ．13. 设()21xe f x ax =+，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调函数，则a 的取值范围为▲ .14.知椭圆22221x y a b+= ()0a b >>的右焦点为1(1,0)F ，离心率为e ．设,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，1AF 的中点为M ，1BF 的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k，若0k <≤e 的取值范围为 ▲ .二．解答题（本大题90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (14分) 设命题p ：方程22117x y k k+=--表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：函数1)3()(3+-+=x k x x f 既有极大值点，又有极小值点.若“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求k 的取值范围.16. (14分) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点．（1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17.(15分)在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 与直线210x y ++=切于点()1,1-，且圆心在直线12y x =上. (1)求圆C 的方程； (2)判断直线:20l x y ++=和圆C 的位置关系；(3)已知点()4,2B -- 设P 和Q 分别是直线:20l x y ++=和圆C 上的动点，求PB PQ +的最小值及此时点P 的坐标.PABCDE（第16题图）18.(15分)某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO ，且//AB BC OA BC ⊥，， AB = BC =4 km ，2AO =km ，曲线段OC 是以O 为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB 的抛物线的一段．当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN ，矩形的相邻两边BM ，BN 分别落在AB ，BC 上，顶点P 在曲线段OC 上．问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km 2）．19. （本小题满分16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =C 的上、下顶点分别为12,A A ，左、右顶点分别为12,B B ,左、右焦点分别为12,F F ．原点到直线22A B 的距离为255．（1）求椭圆C 的方程；（2）P 是椭圆上异于12,A A 的任一点,直线!2,PA PA ，分别交x 轴于点,N M ,若直线OT 与以MN 为直径的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值.20．（16分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) ，()322g x x ax x =+-+ . （1）当4-=a 时，求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值； （2）当1a =-时，求函数()y g x =的图像过点P(1，1)的切线方程； （3）当[]e x ,1∈时，讨论方程()0=x f 根的个数．江苏省清江中学2015－2016学年度第一学期期末试卷高二数学试卷答题纸一．填空题1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；二．解答题江苏省清江中学2015－2016学年度第一学期期末试卷高二数学试卷参考答案及评分标准一.填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分.）1. 2,210x R x x ∀∈-+>2. 43y x =±3. 24.45.56. 31367. 充要 8. 14 9. ln 2－1 10. 1x =-或3430x y ++= 11. (2) 12. ,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭13. 01a <≤14. 1,1)- 二、解答题15. (本题满分14分)解：p 真：142k << 分q 真：3k < 4分(1) p 真q 假：14343k k k <<⎧⇒≤<⎨≥⎩7分(2) p 假q 真：4113k k k k ≥≤⎧⇒≤⎨<⎩ 10分综上，341k k ≤<≤ 14分 16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ．………………………………………2分 因为 E 为侧棱P A 的中点，所以OE ∥PC ．………………………………………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ．…………………6分 （2）因为E 为P A 中点，PD ＝AD ，所以P A ⊥DE ．……………………………8分 因为PC ⊥P A ，OE ∥PC ，所以P A ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以P A ⊥平面BDE ．………………………………12分因为P A ⊂平面P AB ，所以平面BDE ⊥平面P AB ． ………………………………14分 17. 解：(1)因为圆心在直线12y x =上，可设圆心坐标为()2,C a a ，又圆C 与直线210x y ++=切于点()1,1-，111,212a a +⎛⎫∴⨯-=- ⎪-⎝⎭1a ∴=，圆心坐标为()2,1C ，r =C 的方程为()()2221 5.x y -+-= …………5分(2)圆心到直线:20l x y ++=的距离是d r ==>，∴直线l 与圆相离. …………9分 (3) 直线:20l x y ++=到原点的距离d r =>，所以直线与圆相离.点()4,2B --，则PB PQ BC r +≥-,B 到圆上点的最短距离为BC r -==∴ PB PQ +最小值为BC 的方程为12y x =，∴直线BC 与直线20x y ++= 的交点P 的坐标为42,.33⎛⎫-- ⎪⎝⎭…………15分 18.解：以O 为原点，直线AO 为x 轴，且以1 km 为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，于是(24)(24)C B -，，，．设曲线段OC 所在抛物线方程为22(0)x py p =>，于是2224p =⨯，得21p =．所以曲线段OC 所在抛物线方程为2x y =．…………4分 从而可设()2(02)P x x x <，≤，于是2(2)(4)M x N x -，，，，224MP x PN x =+=-，， 所以矩形PMBN 的面积232(2)(4)248(02)S MP PN x x x x x x =⋅=+-=--++<≤，…………8分所以()223443(2)3S'x x x x =--+=-+-，令0S'=并考虑到02x <≤得23x =. ….11分当()203x ∈，时，0S'>，函数S 在()203，内是单调增函数； 当()22x ∈，时，0S'<，函数S 在()223，内是单调减函数．所以在()02，内当23x =时，S 取得最大值. ……………………………14分 又当0x =时，S = 8 < 9.5．故选取P 点距AB 距离约为2.7 km 时，能使矩形园区的用地面积最大，最大面积约为9.5 km 2． ……………………………15分 19、（1）因为椭圆C 的离心率e ＝32，故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ．直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0，即mx －2my －2m 2＝0．所以 2m 2m 2＋4m2＝255，解得m ＝1． 所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 5分 （2）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0),直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1； ………………… 6分 直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1； ………………… 7分 解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，0), ………………… 9分 则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2． ………………… 11分 OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2． OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＝x 021－y 02．………………… 13分 而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4， ………………… 15分 所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02, 而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4． 由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分注：解法三：也可设直线1PA 的斜率为k ，则根据122214PA PA b k k a =-=-得直线2PA 的斜率为14k-，再行求,M N 点坐标，请酌情给分. 20.解：（1）)0(42)(2>-='x x x x f ，当)2,1[∈x 时，0)(<'x f ．当(]e x ,2∈时，0)(>'xf ，又014)1()(2>-+-=-e f e f ，故4)()(2max -==e e f x f ，当e x =时，取等号 -------4分（2）1a =-时，()322g x x x x =--+设切点坐标是()00,y x M ()10≠x ，则有1231102000--=--x x x y ，将2020300+--=x x x y 代入上式整理得322000002420,210x x x x x -+=-=即（）， 得10=x 或00=x . …………………………………………………………………7分则函数的图像过点P(1,1)的切线方程为02=-+y x 或1=y .…………………… 9分（3）易知1≠x ，故[]e x ,1∈，方程()0=x f 根的个数等价于(]e x ,1∈时， 方程xx a ln 2=-根的个数。