2010-2020安徽中考数学最后一题汇编

安徽中考数学2010—2020年最后一题汇编1.（2010年安徽）如图，已知△ABC△△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c＝a1，求证：a＝kc；(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．第1题图【解析】1. (1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，∴aa1＝k，∴a＝ka1，又∵c＝a1，∴a＝kc. .............(3分)(2)解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.此时aa1＝bb1＝cc1＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1. .............(10分)注：本题也是开放型试题，只要给出的△ABC和△A1B1C1符合要求就相应给分．(3)解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.又∵b＝a1，c＝b1，∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，∴b＝2c.(12分)∴b＋c＝2c＋c＜4c＝a，与b＋c>a矛盾，故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2. .............(14分)2.（2011年安徽）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1，h2，h3(h1>0，h2>0，h3>0)．(1)求证：h1＝h3；(2)设正方形ABCD的面积为S，求证：S＝(h1＋h2)2＋h21；(3)若32h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1的变化情况．第2题图【解析】(1)证明：如解图①，设AD 与l 2交于点E ，BC 与l 3交于点F ，由已知BF ∥ED ，BE ∥FD ， ∴四边形BEDF 是平行四边形， ∴BE ＝DF .又AB ＝CD ，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF ， ∴h 1＝h 3. .............(4分)第2题解图①(2)证明：如解图②，作BG ⊥l 4，DH ⊥l 4，垂足分别为G 、H . 在Rt △BGC 和Rt △CHD 中，∵∠BCG ＋∠DCH ＝180°－∠BCD ＝90°，∠CDH ＋∠DCH ＝90°， ∴∠BCG ＝∠CDH .第2题解图②又∠BGC ＝∠CHD ＝90°，BC ＝CD ， ∴Rt △BGC ≌Rt △CHD ，∴CG ＝DH ＝h 3.又BG ＝h 2＋h 3，∴BC 2＝BG 2＋CG 2＝(h 2＋h 3)2＋h 23＝(h 1＋h 2)2＋h 21， ∴S ＝BC 2＝(h 1＋h 2)2＋h 21. .............(7分) (3)解：∵32h 1＋h 2＝1，∴h 2＝1－32h 1，∴S ＝(h 1＋1－32h 1)2＋21h ＝5421h －h 1＋1＝54(h 1－25)2＋45. ∵h 1＞0，h 2＞0，∴1－32h 1＞0，∴0＜h 1＜23. .................................................................(12分)∴当0＜h 1＜25时，S 随h 1的增大而减小；当25＜h 1＜23时，S 随h 1的增大而增大．..................................................................................................................................(14分)3.（2012安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x －6)2+h.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m 。

（1）当h=2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） （2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。

【解析】考点解剖：这是一道二次函数的综合性压轴题，主要考查了用待定系数法确定二次函数的解析式、函数值的求法、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图像及应用。

解答过程：(1)当h =2.6时，y =a (x －6)2+2.6，∵点（0,2）在该抛物线上，∴2=a （0－6）2+2.6，解得a =－601，所以y 与x 的关系式是y =－601(x －6)2+2.6； （2）球能越过球网，求会出界。

理由：当x =9时，y =－601×（9－6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网； 当y =0时，－601(x －6)2+2.6=0，解得：x 1=6+239＞18，x 2=6－239（舍去），故球会出界。

或当x =18时，y =－601×（18－6）2+2.6=0.2＞0，所以球会出界。

（3）∵点（0,2）在y =a (x －6)2+h 的图像上，∴2=a (0－6)2+h ，a =36-2h ，函数可写成y =36-2h (x －6)2+h 。

由球能越过球网，得x =9时，y =h h+4-2＞2.43，① 由球不出边界，得x =18时，y =8－3h ≤0，② 解得h ≥38，所以h 的取值范围是h ≥38。

4.（2013年安徽）我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯形”．如图△，四边形ABCD 即为“准等腰梯形”，其中△B ＝△C .第2题图 A x y 边界球网18962(1)在图△所示的“准等腰梯形”ABCD 中，选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一种示意图即可)；(2)如图△，在“准等腰梯形”ABCD 中，△B ＝△C ，E 为边BC 上一点，若AB △DE ，AE △DC .求证：AB DC ＝BE EC； (3)在由不平行于BC 的直线AD 截△PBC 所得的四边形ABCD 中，△BAD 与△ADC 的平分线交于点E ，若EB ＝EC ，请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图△所示情形)，四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”，为什么？若点E 不在四边形ABCD 内部时，情况又将如何？写出你的结论．(不必说明理由)【解析】(1)解：过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ，或过点D 作DF ∥BC 交AB 于点F ，或过点D 作DG ∥AB 交BC 于点G ，如解图①所示；....................(4分)(2)解：∵AB ∥DE ，AE ∥DC ， ∴∠AEB ＝∠C ，∠DEC ＝∠B ， ∴△ABE ∽△DEC ，∴AB DE ＝BEEC ，∵∠B ＝∠C ，∴∠DEC ＝∠C ，∴DE ＝DC ，∴AB DC ＝BEEC ； ..................(8分)(3)解：四边形ABCD 是“准等腰梯形”．理由：过点E 分别作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥CD 于G ，EH ⊥AD 于H ， 如解图②，∵AE 平分∠BAD ，∴EF ＝EH ， 同理EH ＝EG ，∴EF ＝EG ，∵EB ＝EC ，∠BFE ＝∠CGE ＝90°， ∴△EBF ≌△ECG ，∴∠EBF ＝∠ECG ， ∵EB ＝EC ，∴∠EBC ＝∠ECB ，∴∠EBF ＋∠EBC ＝∠ECG ＋∠ECB ，∴∠ABC ＝∠DCB ，∴四边形ABCD 是“准等腰梯形”． ..............................(11分)第23题解图当点E不在四边形ABCD内部时，分两种情况，如解图③，(a)点E在四边形ABCD的边BC上时，四边形ABCD是“准等腰梯形”；(b)点E在四边形ABCD的外部时，四边形ABCD不一定是“准等腰梯形”．............................................................(14分)【解法提示】(a)证明：过点E作EF1⊥AB于F1，EH1⊥AD于H1，EG1⊥CD于点G1，∵AE为∠BAD的平分线，∴EF1＝H1E(角平分线上的点到角两边的距离相等)，同理可证EG1＝EH1，∴EF1＝EG1(等量代换)．又∵BE＝EC，∠BF1E＝∠CG1E＝90°，∴△BEF1≌△CEG1，∴∠B＝∠C，∴四边形ABCD为“准等腰梯形”；(b)当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线重合时，四边形ABCD是“准等腰梯形”，当∠BED的角平分线与线段BC的垂直平分线相交时四边形ABCD不是“准等腰梯形”．5.（2014年安徽）如图△，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM△AB交AF于M，作PN△CD交DE于N.(1)△△MPN＝________°；△求证：PM＋PN＝3a；第5题图△(2)如图△，点O是AD的中点，连接OM，ON.求证：OM＝ON；第5题图△(3)如图△，点O是AD的中点，OG平分△MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由．第5题图△【解析】5. (1)解：① 60；..........(2分)【解法提示】∠A为正六边形的内角，则∠A＝120°，MP∥AB，则∠A＝∠FMP＝120°，AF∥PN，则∠MPN ＝180°－∠FMP ＝180°－120°＝60°.②证明：如解图①，连接BE 交MP 于H 点．在正六边形ABCDEF 中，PN ∥CD ，又BE ∥CD ∥AF ， 所以BE ∥PN ∥AF . ..............(3分) 又PM ∥AB ，所以四边形AMHB 、四边形HENP 为平行四边形，△BPH 为等边三角形. 所以PM ＋PN ＝MH ＋HP ＋PN ＝AB ＋BH ＋HE ＝AB ＋BE ＝3a .第5题解图①(2)证明：如解图②，由(1)得AM ＝BH ＝HP ＝EN ， 所以AM ＝EN ， ∵O 是AD 的中点，∴△AOB ，△DOE 均为等边三角形， ..........................(7分) ∴OA ＝OE ，∠OAM ＝∠OEN ＝60°. 在△OAM 和△OEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OE ∠OAM ＝∠OEN ，AM ＝EN∴△OAM ≌△OEN (SAS)， 第5题解图②∴OM ＝ON . .....................(9分)(3)解：四边形OMGN 是菱形，理由如下：如解图③，连接OE 、OF ，由(2)可知∠MOA ＝∠NOE ，又∵∠AOE ＝120°，∴∠MON ＝∠AOE －∠MOA ＋∠NOE ＝120°， ....................(11分) ∵OG 平分∠MON ，∴∠MOG ＝60°， 又∵∠FOA ＝60°，∴∠MOA ＝∠GOF ， 又∵AO ＝FO ，∠MAO ＝∠GFO ＝60°， ∴△AOM ≌△FOG (ASA)，∴MO ＝GO ， 又∵∠MOG ＝60°，∴△MGO 是等边三角形， 同理可证△NGO 为等边三角形，∴OM ＝MG ＝GN ＝NO ， 第5题解图③∴四边形OMGN 为菱形． ...............................(14分)6.（2015年安徽） 如图△，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连接GA 、GB 、GC 、GD 、EF ，若△AGD ＝△BGC .(1)求证：AD ＝BC ；(2)求证：△AGD △△EGF ；(3)如图△，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求ADEF的值．图△ 图△【解析】6.(1)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且GE ⊥AB ，GF ⊥CD ， .......(2分) ∴GE 、GF 分别是线段AB 、CD 的垂直平分线， ∴GA ＝GB ，GC ＝GD ，在△AGD 和△BGC 中，⎩⎪⎨⎪⎧GA ＝GB ∠AGD ＝∠BGC GD ＝GC ，∴△AGD ≌△BGC (SAS)，∴AD ＝BC . ...........(5分)(2)证明：∵∠AGD ＝∠BGC ，∴∠AGB ＝∠DGC . 在△AGB 和△DGC 中，GA GD ＝GBGC ，∠AGB ＝∠DGC ，∴△ABG ∽△DCG ， ........(8分) ∴AG DG ＝EGFG，∠GAE ＝∠GDF ， 又∵∠GEA ＝∠GFD ＝90°，∴∠AGE ＝∠GEA －∠GAE ，∠DGF ＝∠GFD －∠GDF ， 即∠AGE ＝∠DGF ，∴∠AGD ＝∠EGF ，∴△AGD ∽△EGF . .................(10分)(3)解：如解图①，延长AD 交GB 于点M ，交BC 的延长线于点H ，则AH ⊥BH . 由△AGD ≌△BGC ，知∠GAD ＝∠GBC .在△GAM 和△HBM 中，∠GAD ＝∠GBC ，∠GMA ＝∠HMB ， ∴△GMA ∽△HMB ，∴∠AGB ＝∠AHB ＝90°， ...............(12分) ∴∠AGE ＝12∠AGB ＝45°，∴AGEG＝ 2.又∵△AGD ∽△EGF ，∴AD EF ＝AGEG＝ 2. ..............(14分)第6题解图7.（2016年安徽）如图1，A ，B 分别在射线OM ，ON 上，且△MON 为钝角．现以线段OA ，OB 为斜边向△MON 的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP ，△OBQ ，点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点．(1)求证：△PCE △△EDQ ； (2)延长PC ，QD 交于点R .△如图2，若△MON ＝150°，求证：△ABR 为等边三角形； △如图3，若△ARB △△PEQ ，求△MON 大小和ABPQ 的值．【解析】7. (1)证明：∵点C ，D ，E 分别是OA ，OB ，AB 的中点， ∴DE ∥OC ，且CE ∥OD ，∴四边形CEDO 是平行四边形，∴∠ECO ＝∠EDO ，又∵△OAP ，△OBQ 都是等腰直角三角形，∴∠PCO ＝∠QDO ＝90°，∴∠PCE ＝∠PCO ＋∠ECO ＝∠QDO ＋∠EDO ＝∠EDQ ， 又∵PC ＝12AO ＝OC ＝DE ，CE ＝12BO ＝OD ＝DQ ，∴△PCE ≌△EDQ ； .................(5分)(2)①证明：如解图①，连接OR ，∵PR 与QR 分别为线段OA 与OB 的中垂线， ∴AR ＝OR ＝BR ，∠ARC ＝∠ORC ，∠ORD ＝∠BRD ， 在四边形OCRD 中，∠OCR ＝∠ODR ＝90°，∠MON ＝150°， ∴∠CRD ＝30°，∴∠ARB ＝∠ARO ＋∠BRO ＝2∠CRO ＋2∠ORD ＝2∠CRD ＝60°. ............(9分) ∴∠ABR 为等边三角形；第7题解图①②解：如解图②，由(1)知EQ ＝PE ，∠DEQ ＝∠CPE ，∴∠PEQ ＝∠CED -∠CEP -∠DEQ ＝∠ACE -∠CEP -∠CPE ＝∠ACE -∠RCE ＝∠ACR ＝90°， 即△PEQ 为等腰直角三角形， ∵△ARB ∽△PEQ ， ∴∠ARB ＝90°，∴在四边形OCRD 中，∠OCR ＝∠ODR ＝90°，∠CRD ＝12∠ARB ＝45°，∴∠MON ＝360°－90°－90°－45°＝135°， 又∵∠AOP ＝45°， ∴∠POD ＝180°，即P 、O 、B 三点共线，在△APB 中，∠APB ＝90°，E 为AB 中点， ∴AB ＝2PE ，又∵在等腰直角△PEQ 中，PQ ＝2PE ， ∴AB PQ ＝2PE 2PE＝ 2. ..........................(14分)第7题解图②8.（2017年安徽）已知正方形ABCD ，点M 为边AB 的中点．(1)如图1，点G 为线段CM 上的一点，且△AGB ＝90°，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F .△求证：BE ＝CF ；△求证：BE2＝BC·CE.(2)如图2，在边BC上取一点E，满足BE2＝BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长交CD于点F，求tan△CBF的值．【解析】(1)①证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°，又∠AGB＝90°，∴∠BAE＋∠ABG＝90°，又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)，∴BE＝CF； ...................(4分)②证明：(方法一)∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点，∴MG＝MA＝MB，∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM，∴∠CGE＝∠CBG，又∵∠ECG＝∠GCB，∴△CGE∽△CBG.∴CECG＝CGCB，即CG2＝BC·CE，∵∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF，得CF＝CG.由①知，BE＝CF，∴BE＝CG，∴BE2＝BC·CE. .........................................(9分)(方法二)∵∠AGB＝90°，M是AB的中点，∴∠MG＝BM，∴∠MGB＝∠MBG＝∠CFG＝∠CGF，∴CF＝CG，又由①知，CF＝BE，∴CG＝BE，∵∠CGF＋∠CGE＝90°，∴∠MBG＋∠GBE＝90°，∴∠CGE＝∠EBG，∴△CEG≌△CGB，∴CG2＝BC·CE，即BE2＝BC·CE. ....................(9分)(2)解：(方法一)延长AE，DC交于点N(如解图①)，∵正方形ABCD是正方形，∴AB∥CD.∴∠N＝∠EAB，又∵∠CEN＝∠BEA，∴△CEN ∽△BEA .∴CE BE ＝CN BA，即BE ·CN ＝AB ·CE ， ∵AB ＝BC ，BE 2＝BC ·CE ，∴CN ＝BE ，∵AB ∥DN ，∴CN AM ＝CG GM ＝CF MB. 又∵AM ＝MB ，∴FC ＝CN ＝BE ，不妨假设正方形边长为1.设BE ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ，得x 2＝1·(1－x )．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)， ∴BE BC ＝5－12. ∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. ...................(14分) (方法二)不妨假设正方形边长为1，设BE ＝x ，则由BE 2＝BC ·CE ，得x 2＝1·(1－x )．解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)， 即BE ＝5－12. 作GN ∥BC 交AB 于点N (如解图②)，则△MNG ∽△MBC ，∴MN NG ＝MB BC ＝12. 设MN ＝y ，则GN ＝2y ，GM ＝5y ， ∵GN BE ＝AN AB ，即2y 5－12＝y ＋121， 解得y ＝125，∴GM ＝12， ∴GM ＝MA ＝MB ，此时点G 在AB 为径的圆上．∴△AGB 是直角三角形，且∠AGB ＝90°.由(1)知BE ＝CF∴tan ∠CBF ＝FC BC ＝BE BC ＝5－12. ..................................(14分) (方法三)过点M 作BC 的平行线交AE 于点N (如解图③)，设BM ＝x ，则AM ＝x ，AB ＝BC ＝2x ，由BE 2＝BC ·CE 得，AE 2＝2x ·(2x －BE )，解得BE ＝(5－1)x ，∴CE ＝2x ·(2x －BE )，解得BE ＝(5－1)x ，∴CE ＝2x －BE ＝(3－5)x ，MN ＝12BE ＝5－12x ， ∵MN ∥BC ，∴△MNG ∽△CEG ，∴MN CE ＝MG GC ，∵CM ＝BC 2＋BM 2＝5x ， ∴MG CG ＝5－16－25，MG CM ＝MG CG ＋MG ＝5－16－25＋5－1＝5－16－25＋5－1＝5－15－5＝55， ∴MG ＝55·5x ＝x ，CG ＝5x －x ＝(5－1)x ， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，CF ＝CG ，∴tan ∠CBF ＝CF BC ＝5－12. .....................................(14分)图① 图② 图③第8题解图9.（2018年安徽）如图△，Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，点D 为边AC 上一点，DE △AB 于点E ，点M 为BD 中点，CM 的延长线交AB 于点F .(1)求证：CM ＝EM ；(2)若△BAC ＝50°，求△EMF 的大小；(3)如图△，若△DAE △△CEM ，点N 为CM 的中点，求证：AN △EM .图△ 图△【解析】解：(1)已知：∵在Rt △BCD 中，∠BCD ＝90°，M 为斜边BD 的中点，∴CM ＝12BD ， 又∵DE ⊥AB ，同理可得：EM ＝12BD ， ∴CM ＝EM ，(2)已知∠CBA ＝90°－50°＝40°，又由(1)知CM ＝DM ＝BM ＝EM ，∴∠CME ＝∠CMD ＋∠DME ＝2(∠CBM ＋∠ABM )＝2∠CBA ＝80°， ∴∠EMF ＝180°－∠CME ＝100°.(3)根据题意得：△DAE ≌△CEM ，∴∠CME ＝∠DEA ＝90°，DE ＝CM ，AE ＝EM ，又∵CM ＝DM ＝EM ，∴DM ＝DE ＝EM ，∴△DEM 是等边三角形，∠DEM ＝60°∴∠MEF ＝∠DEF －∠DEM ＝30°.（解法一)如解图，在Rt △EMF 中，∠EMF ＝90°，∠MEF ＝30°，∴MF EF ＝12， 又∵NM ＝12CM ＝12EM ＝12AE ， ∴FN ＝FM ＋NM ＝12EF ＋12AE ＝12(AE ＋EF )＝12AF ， ∴MF EF ＝NF AF ＝12， ∵∠AFN ＝∠EFM ，∴△AFN ∽△EFM ，∴∠NAF ＝∠MEF ，∴AN ∥EM .（解法二）如解图，连接AM ，则∠EAM ＝∠EMA ＝12∠MEF ＝15°， ∴∠AMC ＝∠EMC －∠EMA ＝75°①，又∠CMD ＝∠EMC －∠EMD ＝30°，且MC ＝MD ，∴∠ACM ＝12(180°－30°)＝75°②， 由①②可知AC ＝AM ，又N 为CM 中点，∴AN ⊥CM ，而EM ⊥CM ，∴AN ∥EM .第9题解图10. （2019年安徽）如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝BC ，P 为△ABC 内部一点，且△APB ＝△BPC ＝135°.(1)求证：△P AB △△PBC ;(2)求证：P A ＝2PC ；(3)若点P 到三角形的边AB ，BC ，CA 的距离分别为h 1，h 2，h 3，求证：h 21＝h 2·h 3.【解析】证明：(1)△在△ABP 中，△APB ＝135°，△△ABP ＋△BAP ＝45°.又△△ABC 为等腰直角三角形，△△ABC ＝45°，即△ABP ＋△CBP ＝45°，△△BAP ＝△CBP .△△APB ＝△BPC ＝135°，△△P AB △△PBC ；(4分)(2)由(1)知△P AB △△PBC ，△P A PB ＝PB PC ＝AB BC ＝ 2. △P A PC ＝P A PB ·PB PC＝2， △P A ＝2PC .(9分)【一题多解】△△APB ＝△BPC ＝135°，△△APC ＝90°.△△CAP <45°，△AP >CP .如解图△，在线段AP 上取点D ，使AD ＝CP .又△△PBA ＝△BCP ，△△CAD ＝△BCP .△AC ＝CB ，△△ADC △△CPB .△△ADC ＝△CPB ＝135°.△CAD ＋△P AB ＝45°，且△PBA ＋△P AB ＝45°.△△CAD ＝△PBA ，又△△CDP ＝45°，△△PDC 为等腰直角三角形，△CP ＝PD .△AD ＝CP ，P A ＝2PC .(9分)(3)如解图△，过点P 作边AB ，BC ，CA 的垂线，垂足分别为Q ，R ，S ，则PQ ＝h 1，PR ＝h 2，PS ＝h 3.在Rt △CPR 中，PR CR ＝tan △PCB ＝tan △CAP ＝12，△h 2h 3＝12，即h 3＝2h 2. △由△P AB △△PBC ，且AB BC ＝2， △h 1h 2＝2，即h 1＝2h 2，△h 21＝h 2·h 3.(14分)11.（2020年安徽）如图1，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，AE =AD .EC 与BD 相交于点G ，与AD 相交于点F ，AF =AB .(1)求证：BD ⊥EC ;(2)若AB =1，求AE 的长；(3)如图2，连接AG ，求证：EG -DG =2AG .第23题图1 第23题图2【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，点E 在BA 的延长线上，∴∠EAF ＝∠DAB ＝90°，又∵AE ＝AD ，AF ＝AB ，∴△AEF ≌△ADB （SAS ），∴∠AEF ＝∠ADB ，∴∠GEB +∠GBE ＝∠ADB +∠ABD ＝90°，即∠EGB ＝90°，故BD ⊥EC ，（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CD ，∴∠AEF ＝∠DCF ，∠EAF ＝∠CDF ，∴△AEF ∽△DCF ，∴AEDC =AF DF，即AE•DF＝AF•DC，设AE＝AD＝a（a＞0），则有a•（a﹣1）＝1，化简得a2﹣a﹣1＝0，解得a=1+√52或1−√52（舍去），∴AE=1+√5 2．（3）如图，在线段EG上取点P，使得EP＝DG，在△AEP与△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，∴△AEP≌△ADG（SAS），∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，∴∠P AG＝∠P AD+∠DAG＝∠P AD+∠EAP＝∠DAE＝90°，∴△P AG为等腰直角三角形，∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG=√2AG．。