《小波分析基础》
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变换等的基础知识。 从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析
(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所 以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、 滤波器等的基础知识。
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School of Jet Propulsion, BUAA
一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的 函数f(t)。因为信号是能量有限的，即
对于L2(R)上的非周期函数f(t) ，有
fˆ() f(t)eitdt
(1.9)
称 fˆ ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
f(t) fˆ()eitd
(1.10)
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有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频域 上，fˆ (于 )是信号的频率特性一目了然，并且与傅立叶级数一样， 傅立叶变换将一段信号的主要低频能量都集中在频率信号的前 面几项，这种能量集中性有利于进一步的处理。在过去200年 里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但傅立 叶分析也有不足，主要表现在以下两点： 傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性； 傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好。 下面通过两个例子来说明这两点。
0 f(x ,y ) 250 5 x ,y 511
y
x
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2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对f(t)L2(R)，存在L2(R) 的一组标准正交基gi(t)，t R，
i=1,2,…使得
f (t) cigi(t)
(1.2)
小波变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件
的特殊信号：
(1)小波必须时振荡的；
(2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。
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School of Jet Propulsion, BUAA 一些著名的小波[3]：
1、Daubechies小波
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一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表
示，才能得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有：
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经
傅立叶变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和
i1
其中
ci f(t),gi(t)f(t)gi(t)dt
gk(t),gl(t) gk(t)gl(t)d t k， l k,lZ (1.3)
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对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得 f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某
RETURN
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3、傅立叶变换与时频分析[4]
我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振
荡函数表示成如下形式：
f(t)a 2 0i 1 (akco k0 stbksikn 0t)
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，co ks0t和 sikn 0t都是简单的调和
2、Coiflets小波 3、Symlets小波
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4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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SKIP
School of Jet Propulsion, BUAA 不是小波的例
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应，即
f( t ) a 0 ,( a 1 ,b 1 ) ( a 2 , ,b 2 ) , (1.7)
从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t)
在给定能量下的最佳逼近：
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N l im 0 Tf(t) a 2 0k N 1a kck o0 ts b ksikn 0 t 2 d(1 .8x 0 )
f
(t)2dt0
(1.1)
满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R)
图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅 数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。
从数学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
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School of Jet Propulsion, BUAA 如图1所示的图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量化级 是256，即
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小波分析基础
2012.03.20
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数
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例1、歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化
成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在 哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。
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School of Jet Propulsion, BUAA 小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到小 波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低 音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
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ak
2 T
T
f
0
(t)coks0td， t k0,1,2
(1.5)
bk
2 T
T
f
0
(t)sink0td， t k0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对
(处理)工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所 以从信号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、 滤波器等的基础知识。
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一个信号从数学的角度来看，它是一个自变量为时间t的 函数f(t)。因为信号是能量有限的，即
对于L2(R)上的非周期函数f(t) ，有
fˆ() f(t)eitdt
(1.9)
称 fˆ ( ) 为f(t)的傅立叶变换，反变换公式为
f(t) fˆ()eitd
(1.10)
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有了傅立叶变换，我们可以很容易地将时域信号f(t)转换到频域 上，fˆ (于 )是信号的频率特性一目了然，并且与傅立叶级数一样， 傅立叶变换将一段信号的主要低频能量都集中在频率信号的前 面几项，这种能量集中性有利于进一步的处理。在过去200年 里，傅立叶分析在科学与工程领域发挥了巨大的作用，但傅立 叶分析也有不足，主要表现在以下两点： 傅立叶分析不能刻画时域信号的局部特性； 傅立叶分析对非平稳信号的处理效果不好。 下面通过两个例子来说明这两点。
0 f(x ,y ) 250 5 x ,y 511
y
x
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2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对f(t)L2(R)，存在L2(R) 的一组标准正交基gi(t)，t R，
i=1,2,…使得
f (t) cigi(t)
(1.2)
小波变换。目前，可简单地将小波理解为满足以下两个条件
的特殊信号：
(1)小波必须时振荡的；
(2)小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局
部化的。
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School of Jet Propulsion, BUAA 一些著名的小波[3]：
1、Daubechies小波
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一个基不满足要求，可通过变换将函数转换到另一个基下表
示，才能得到我们需要的函数表示。常用的变换[2]有：
(1) K-L变换
(2) Walsh变换
(3) 傅立叶变换
(4) 小波变换
如图所示是信号f(t)的傅立叶变换示意图。信号f(t)经
傅立叶变换由时域变换到频域，基底不同得到大变换也不同。
在信号处理中，有两类非常重要的变换即傅立叶变换和
i1
其中
ci f(t),gi(t)f(t)gi(t)dt
gk(t),gl(t) gk(t)gl(t)d t k， l k,lZ (1.3)
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对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得 f(t)在这组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某
RETURN
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3、傅立叶变换与时频分析[4]
我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振
荡函数表示成如下形式：
f(t)a 2 0i 1 (akco k0 stbksikn 0t)
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，co ks0t和 sikn 0t都是简单的调和
2、Coiflets小波 3、Symlets小波
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4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
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SKIP
School of Jet Propulsion, BUAA 不是小波的例
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应，即
f( t ) a 0 ,( a 1 ,b 1 ) ( a 2 , ,b 2 ) , (1.7)
从数学上已经证明了，傅立叶级数的前N项和是原函数f(t)
在给定能量下的最佳逼近：
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School of Jet Propulsion, BUAA
N l im 0 Tf(t) a 2 0k N 1a kck o0 ts b ksikn 0 t 2 d(1 .8x 0 )
f
(t)2dt0
(1.1)
满足条件(1.1)的所有函数的集合就形成L2(R)
图像是二维信号，同样是能量有限的。实际上任何一幅 数字图像都是从真实的场景中经过采样和量化处理后得到的。
从数学上看，图像是定义在L2(R2)上的函数。
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School of Jet Propulsion, BUAA 如图1所示的图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量化级 是256，即
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小波分析基础
2012.03.20
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一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数
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例1、歌声信号 歌声是一种声音震荡的波函数，其傅立叶变换就是将这个波函数转化
成某种乐谱。但遗憾地是，傅立叶变换无法反映信号在哪一时刻有高音，在 哪一时刻有低音，因此结果是所有的音符都挤在了一起，如图所示。
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School of Jet Propulsion, BUAA 小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到小 波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音与低 音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
可由以下公式计算：
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ak
2 T
T
f
0
(t)coks0td， t k0,1,2
(1.5)
bk
2 T
T
f
0
(t)sink0td， t k0,1,2
(1.6)
于是，周期函数f(t) 就与下面的傅立叶序列产生了一一对