2014全国新课标卷Ⅰ(理科数学)精准解析

2014高考真题·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)

1．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( )

A ．[－2，－1]

B ．[－1，2) B ．[－1，1] D ．[1，2)

1．A [解析] 集合A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2，－1]． 2．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] （1＋i ）3

（1－i ）2＝( )

A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

2．D [解析] （1＋i ）3（1－i ）2＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）2＝2i （1＋i ）

－2i

＝－1－i.

3．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则

下列结论中正确的是( )

A ．f (x )g (x )是偶函数

B ．|f (x )|g (x )是奇函数

C ．f (x )|g (x )|是奇函数

D ．|f (x )g (x )|是奇函数

3．C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. 4．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )

A. 3 B ．3 C.3m D ．3m

4．A [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x ＋my ＝0.根据双曲线方程得a 2＝3m ，b 2＝3，所以c ＝3m ＋3，双曲线的右焦点坐标为(3m ＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m ＋3|1＋m

＝ 3.

5．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A.18

B.38

C.58

D.78

5．D [解析] 每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－216＝78

.

图11

6．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]上的图像大致为( )

A B

C D

6．C [解析] 根据三角函数的定义，点M (cos x ，0)，△OPM 的面积为1

2|sin x cos x |，在直角三角形OPM 中，

根据等积关系得点M 到直线OP 的距离，即f (x )＝|sin x cos x |＝1

2|sin 2x |，且当x ＝π2时上述关系也成立， 故函数

f (x )的图像为选项C 中的图像．

7．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )

图12

A.203

B.165

C.72

D.158

7．D [解析] 逐次计算，依次可得：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；M ＝158，a ＝83，

b ＝158，n ＝4.此时输出M ，故输出的是15

8

.

8．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )

A ．3α－β＝π2

B ．3α＋β＝π

2

C ．2α－β＝π2

D ．2α＋β＝π

2

8．C [解析] tan α＝

1＋sin βcos β

＝⎝

⎛⎭⎫

cos β2＋sin β2cos

2

β2

－sin

2

β2

＝

cos β2＋sin β2cos β2－sin β2＝1＋tan

β

21－tan

β

2

＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋β2，因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4＋β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π

2且tan α＝tan ⎝⎛⎭

⎫π4＋β2，所以α＝

π4＋β

2，即2α－β＝π2.

9．、[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，

x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：

p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，

p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 1，p 4 D ．p 1，p 3

9．B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示，设目标函数z ＝x ＋2y ，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A (2，－1)处取得最小值，且z min ＝2－2＝0，即x ＋2y 的取值范围是[0，＋∞)，故命题p 1，p 2为真，命题p 3，p 4为假．

10．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若＝4，则|QF |＝( )

A.7

2 B ．

3 C.5

2

D ．2 10．B [解析] 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ＝(－4，t )，＝(x 0－2，y 0)，由FP ＝4FQ ，得－4＝4(x 0－2)，解得x 0＝1，根据抛物线定义得|QF |＝x 0＋2＝3.

11．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )

A ．(2，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－1)

11．C [解析] 当a ＝0时，f (x )＝－3x 2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.

由f ′(x )＝3ax 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2

a

.

若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且f (x )极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a ，且f (x )极小值＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝a 2－4a 2，

此时只需a 2－4

a

2>0，即可解得a <－2；

若a >0，则f (x )极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2)． 12．[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图13，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )