高数1.2 极限的定义与性质

注3:
注4:
例1.1.14 求
解 如图
所以
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例1.1.14 求 解 如图
所以
不存在。
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最后无穷大与无穷小有如下的关系
定理1.2.3 在自变量的同一极限变化过程中, 如果函数 f ( x)
1 为无穷大， 则 为无穷小； 反之如果 f ( x) 为无穷小， f ( x) 1 则 为无穷大。 f ( x)
lim f ( x) A
x
x
lim f ( x) lim f ( x) A
x
例1.1.9 设 求
解
如图
所以
不存在。
有一类特别地、重要的极限
定义1 .2.4. 若
为 时的无穷小 .
(或x )
时 , 函数
则称函数
(或x )
例1.1.10 因为 为无穷小 . 例1.1.11 因为 故当
时函数
lim f ( x) A 或
时
反之， 若不存在这样的常数 A， 则称当
x 1 则例1.2.1可表示为 lim 2. x 1 x 1
2
没有极限或极限不存在。
例1.2.2 设函数
求
解 如图， 观察其函数图象，得
○
.
结论：函数在某点的极限的存在与否与函数在该点是否 有定义或等于什么并无关系.
0.999999 1.999999 1.000001 2.000001
结论：当x充分接近1（但不等于1）, y的值接近于常数2. 一般地，我们有
定义1.2.1 设函数 如果当x充分接近 则称当
x x0
在点
的某去心邻域内有定义 ,
时，函数 f ( x) 的值任意地接近常数A, 的极限为A, 记作
当x趋近 x0 时函数 f ( x) 趋向于无穷大，记作
x x0
lim f ( x)
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注1:
上述中的极限称为无穷极限. 无穷极限并不代表
极限存在。 注2: 无穷大是与x的变化过程有关。 和无穷小类似，不要把无穷大与很大的数(如一 亿)混淆. 无穷大一定无界, 反之不然 .
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定义Βιβλιοθήκη Baidu.2.5 设函数
如果当x充分接近 则称当 记作
在点
的某去心邻域内有定义 ,
时，函数 f ( x) (或-f ( x)） 变得任意大，
时函数
趋向于正无穷大（或负无穷大）
x x0
lim f ( x) + 或 lim f ( x) -
x x0
如果上述定义中将 f ( x) (或 f ( x)) 叙述成 f ( x) , 则称
x x0 x x0
a x , x 1 2. 设函数 f (x) 2 x 1, x 1且 lim f ( x) 存在, 则 a 3 . x1
2
作业
P46： 5
例1.2.3 求 解 如图， 观察其函数图象，得
例1.2.4 求 解 如图， 观察其函数图象，得
x0
例1.2.5 求
解 如图， 观察其函数图象，得
不存在 .
1.2.2. 单侧极限
定义1.2.2 设函数 如果当x从
在点
右（或左）邻域内有定义
时，函数 f ( x) 在
的右侧（左侧）充分接近
的值任意地接近常数A, 则称函数 极限为A, 记作
解:
如图
x 0 x 0
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
例1.2.7 设函数 解 如图，
求
和
○
由这两个例子，得一般地
定理1.2.1 .
x x0
lim f ( x) A
故当
时函数
时函数
为无穷小 .
例1.1.12 如图
当 所以
故当 但当 注1: 注2:
时函数
接近于0 ，
时函数 时函数
为无穷小 . 不是无穷小 .
无穷小与很小的数。 无穷小是与x的变化过程有关。
1.2.4、无穷极限
例1.1.13 y值不断增大， 且有一种趋势，趋向正无穷大。 此时极限并不存在， 记为 y值不断减小，且有一种趋势， 趋向负无穷大。此时极限并不存在， 记为
§1.2 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限 1.2.2、单侧极限 1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限 1.2.4、无穷极限 1.2.5 极限的性质
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1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限
例1.2.1 考察函数
的变化。 解 如图，该函数定义域为 考察x从x=1的左侧及右侧接近1时， 其函数值的变化情况 。 列表如下
○
在当x趋向于1时函数值
x 1
0.9 0.99
x2 1 y x 1 1.9
x 1
1.1 1.01
x2 1 y x 1 2.1
○
1.99
2.01
0.999
1.999
1.001
2.001
1.2.5 极限的性质
定理1.2.4(局部有界性）若 则存在 的一个
邻域， 使得函数 f ( x) 在该邻域里有界。
定理1.2.5(唯一性） 若 存在， 则极限唯一。
在自变量的其他极限变化过程中,也成立。
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
x x0
1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限
例1.1.8
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一般地， 定义1.2.3 设函数
对大于（或小于）某个数X的x都
（或 （或 时，函数 f ( x) 时函数
有定义， 如果当x无限地趋向 的值任意地接近常数A, 则称当 的极限为A,记作
x x0
处的右（或左）
lim f ( x) A （或 lim f ( x ) A),
x x0
有时记为
f ( x ) A （或 f ( x ) A)
0
0
例1.2.6. 设函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 x 1 , x 0 y x 1 讨论 x 0 时 f (x) 的左右极限是否存在 .
lim f ( x) A （或 lim f ( x) A). x
x
又设函数
对绝对值大于某个正数X的x都有定义，
如果当|x|无限地趋向 则称当 时函数
x
时， 函数 f ( x) 的值任意地接近常数A 的极限为A,记作
lim f ( x) A
于是在例1.1.8中
定理1.2.2 .