高数1.2 极限的定义与性质

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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ，证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ，当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调数列。调减少）的数列统称为单调数列调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理）定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ，从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

高等数学教材内容目录表

高等数学教材内容目录表1. 函数与极限1.1 函数的基本概念1.2 极限的定义与性质1.3 极限运算法则1.4 无穷小与无穷大1.5 函数的连续性2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算2.2 导数的几何意义与物理意义2.3 高阶导数与导数的简单应用2.4 微分的概念与计算3. 微分中值定理与应用3.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理3.2 函数的单调性与极值3.3 中值定理的应用3.4 泰勒公式与泰勒展开式3.5 参数方程与极坐标系4. 不定积分4.1 不定积分的定义与基本性质 4.2 基本积分公式与通积分法 4.3 分部积分与换元积分法4.4 定积分与定积分的计算5. 定积分与微积分基本定理5.1 定积分的定义与性质5.2 牛顿—莱布尼茨公式5.3 组合中的定积分5.4 广义积分与无穷级数6. 常微分方程6.1 一阶常微分方程6.2 高阶线性常微分方程6.3 非齐次线性微分方程6.4 变量可分离微分方程6.5 齐次线性微分方程6.6 常系数线性微分方程7. 多元函数微分学7.1 二元函数与二元函数的极限 7.2 二元函数偏导数与全微分7.3 隐函数与隐函数的偏导数7.4 多元函数的极值与条件极值8. 重积分8.1 二重积分的概念与性质8.2 三重积分的概念与性质8.3 球坐标与柱坐标下的积分计算8.4 重积分的应用9. 曲线积分与曲面积分9.1 曲线积分的定义与计算9.2 曲线积分的应用9.3 曲面积分的定义与计算9.4 曲面积分的应用10. 傅里叶级数10.1 傅里叶系数与傅里叶级数10.2 傅里叶级数的收敛性与展开性质10.3 定义域上的奇偶延拓与周期延拓11. 选修内容（根据学校及课程安排进行确定）。

高数大一必考知识点归纳

高数大一必考知识点归纳高数是大一必考的一门重要课程，全面掌握其中的知识点对于大家的学习和未来的学习生涯都至关重要。

为了帮助大家更好地备考高数，本文将对大一必考的高数知识点进行归纳总结，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：函数的定义、函数的图像、函数的奇偶性、函数的周期性等。

1.2 极限的概念与性质：函数极限的定义、左极限和右极限、极限的四则运算性质等。

1.3 无穷大与无穷小：无穷小的定义、无穷小的性质、无穷大的定义、无穷大的性质等。

2. 导数与微分2.1 导数的概念与计算方法：导数的定义、导数的基本公式、常见函数的导数、高阶导数等。

2.2 微分的概念与计算方法：微分的定义、微分的运算法则、微分中值定理等。

2.3 高阶导数与泰勒展开：高阶导数的概念、泰勒展开式的定义与应用等。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的概念与计算方法：不定积分的定义、基本积分法、换元积分法等。

3.2 定积分的概念与计算方法：定积分的定义、定积分的性质、定积分的计算方法等。

3.3 微积分基本定理：微积分基本定理的概念、反导数与不定积分、定积分与面积计算等。

4. 微分方程4.1 微分方程的基本概念：微分方程的定义、微分方程的阶、常微分方程与偏微分方程等。

4.2 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。

4.3 高阶线性微分方程：二阶齐次线性微分方程、二阶非齐次线性微分方程等。

5. 多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的图像、多元函数的极限、多元函数的连续性等。

5.2 偏导数的概念与计算方法：偏导数的定义、偏导数的几何意义、偏导数的运算法则等。

5.3 高阶偏导数与全微分：高阶偏导数的概念、全微分的定义与计算方法等。

综上所述，以上列举的知识点是大一必考的高数知识点的主要内容。

大家在备考过程中可以根据这些知识点进行系统性的学习和复习，理解每个知识点的概念、性质和计算方法，并通过大量的练习题加深对知识点的理解和掌握。

大一高数第一二章知识点

大一高数第一二章知识点高等数学是大多数理工科专业的基础课程之一，它为我们提供了解决实际问题的数学方法和工具。

在大一的学习过程中，我们通常会学习高数的第一二章知识点，从简单的函数概念和性质开始，逐渐深入到导数的定义和应用。

下面我们来一起回顾这些重要的知识点。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一种数学关系，它将一个自变量的集合映射到一个因变量的集合。

函数可以用公式、图像或者图表来表示。

我们通常会考虑函数的定义域、值域、奇偶性和周期性等性质。

1.2 极限的概念与性质极限是描述函数变化趋势的概念。

当自变量无限接近某个值时，函数的取值也会无限接近一个确定的值。

我们通常用极限符号“lim”来表示。

重要的极限性质包括极限存在性、极限唯一性和四则运算法则等。

1.3 极限的计算方法在计算极限时，我们可以运用一些基本的极限公式和运算法则。

这包括常用的极限：无穷大与无穷小、有界函数的极限、基本初等函数的极限等。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是描述函数变化速率的概念。

它表示函数在某一点的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。

导数的定义是极限的一种特殊形式，通常用“f'(x)”或者“dy/dx”表示。

2.2 导数的计算方法导数的计算方法主要包括用基本导数公式、四则运算法则、链式法则和隐函数求导法则等。

这里需要掌握一些常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

2.3 导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决实际问题。

应用方面包括函数的最值问题、曲线的凸凹性与拐点、函数图像的草图和导数的物理意义等。

通过对大一高数第一二章的学习，我们能够加深对函数与极限、导数与微分的理解。

掌握这些重要的知识点，不仅能够解决一些实际问题，还能为后续更深入的数学学习奠定坚实的基础。

因此，在学习高数的过程中，我们要多加练习，理解每个概念和定理的思想和逻辑，同时注意思维的拓展和应用的实践。

大一高数笔记全部知识点

大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。

通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。

每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。

希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。

加油！。

大一高数必背知识点总结

大一高数必背知识点总结在大学高等数学（高数）学习中，有一些重要的知识点是学生们必须要掌握和熟练运用的。

这些知识点将为日后的学习和实际运用提供坚实的基础。

下面将对大一高数必背的知识点进行总结。

1. 极限与连续1.1 极限的定义：对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某个值a时，函数f(x)的极限L存在，记作lim(x→a)f(x)=L。

1.2 极限的运算法则：极限具有代数性质，包括四则运算、乘法法则、除法法则等。

1.3 连续的定义：函数f(x)在点a处连续，意味着函数在点a处的极限等于函数在点a处的值，即lim(x→a)f(x)=f(a)。

1.4 连续函数的性质：连续函数具有函数值与极限的运算关系，连续函数在闭区间上有最大值和最小值。

2. 导数与微分2.1 导数的定义：对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数f'(x)表示函数曲线在该点处的切线斜率，定义为f'(x)=lim(h→0)(f(x+h)−f(x))/h。

2.2 常见函数的导数：常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。

2.3 高阶导数：n阶导数表示对函数进行多次求导的结果，常用的高阶导数有二阶导数、三阶导数等。

2.4 微分的概念：微分表示函数在某一点附近的近似线性变化，微分常用于函数的局部线性化近似与最值求解等应用中。

3. 不定积分与定积分3.1 不定积分的定义：不定积分是反导数的概念，表示求函数的原函数（不带上确切的积分上限和下限）。

3.2 常见函数的不定积分：常函数的积分、幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分。

3.3 定积分的定义：定积分是区间上函数的平均值（面积）的概念，表示对函数在给定区间上的积分。

3.4 定积分的计算方法：分段函数的定积分、换元法、分部积分法等。

4. 级数与收敛性4.1 数列的极限：数列的极限表示数列中的元素随着项数的增加而趋向的值，包括极限存在性与收敛性的判断。

4.2 级数的定义：级数是数列求和的结果，表示数列无穷项和的极限值。

高数大一求极限知识点总结

高数大一求极限知识点总结高等数学中的极限是一个重要且基础的概念，它在微积分和数学分析等学科中起到了至关重要的作用。

大一学习高数过程中，掌握极限的相关知识点对于进一步深入学习数学和应用数学是至关重要的。

本文将对大一高数中的极限知识点进行总结，以帮助同学们回顾复习和加深理解。

1. 极限的定义极限是指当自变量趋向于某一特定值时，函数值或数列的趋势。

对于函数而言，当自变量逐渐接近某个特定值时，函数值是否逐渐趋于确定的有限值或无穷大，这个确定的值就是该函数的极限。

2. 极限的性质- 唯一性：如果一个函数存在极限，那么极限是唯一的。

- 有界性：如果一个函数在某个点附近存在极限，那么该函数在该点附近有界。

- 保号性：如果一个函数在某个点附近极限存在，且极限大于（或小于）0，那么在该点附近函数的值也大于（或小于）0。

3. 极限的四则运算在计算函数的极限时，可以利用四则运算的法则来简化问题。

以下是常见的四则运算法则：- 两个函数相加（减）的极限等于两个函数的极限的和（差）。

- 一个函数与一个常数相乘的极限等于函数的极限乘以常数。

- 两个函数相乘的极限等于两个函数的极限的乘积。

- 一个函数除以另一个函数的极限等于函数的极限除以另一个函数的极限。

4. 极限存在的充分条件为了判断一个函数在某点是否存在极限，可以利用以下常见的充分条件：- 函数在该点附近有定义。

- 左极限和右极限存在且相等。

- 函数在该点附近有界。

- 函数在该点附近单调。

- 函数在该点附近保号。

5. 常见的极限计算方法- 代入法：直接将自变量代入函数中，求函数值来确定极限。

- 消去法：通过分子有理化、分母有理化等方法，将复杂的表达式转化为简单的形式，进而计算极限。

- 夹逼定理：当存在两个函数，它们在某点附近夹住待求函数，并且这两个函数的极限相等，那么待求函数的极限也等于这个共同的极限。

6. 无穷小量与无穷大量- 无穷小量：当自变量趋于某一特定值时，函数的极限趋近于0，这个极限称为无穷小量。

高数函数的极限知识点

高数函数的极限知识点一、极限的定义1. 数列极限数列 $\{a_n\}$ 极限为 $L$，记作 $\lim_{n \to \infty} a_n = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，不等式 $|a_n - L| < \epsilon$ 成立。

2. 函数极限函数 $f(x)$ 当 $x \to c$ 时的极限为 $L$，记作 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，如果对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $0 < |x - c| < \delta$ 时，不等式 $|f(x) - L| < \epsilon$ 成立。

二、极限的性质1. 唯一性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} f(x) = M$ 都成立，则 $L = M$。

2. 局部有界性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$，则 $f(x)$ 在 $c$ 的某个邻域内有界。

3. 局部保号性如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 且 $L > 0$，则存在 $c$ 的一个邻域，使得在这个邻域内 $f(x) > 0$。

三、极限的计算1. 极限的四则运算如果 $\lim_{x \to c} f(x) = L$ 和 $\lim_{x \to c} g(x) = M$ 都存在，则：- $\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L + M$- $\lim_{x \to c} [f(x) - g(x)] = L - M$- $\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$- $\lim_{x \to c} [f(x) / g(x)] = L / M$，当 $M \neq 0$。

大一高数极限函数知识点

大一高数极限函数知识点在大一的高数课程中，极限函数是一个重要的概念和知识点。

在学习和掌握这一知识点之前，我们首先需要了解什么是极限函数。

极限函数可以理解为在某一特定点上的函数值，当自变量趋于某个确定的值时，函数值的变化趋势和趋近于的值。

它描述了函数在接近某一点时的行为规律。

在理论上，我们使用符号 lim f(x)= L 或f(x) → L (x→a) 来表示当 x 趋于 a 时，函数 f(x) 的极限为 L。

接下来，我们来介绍一些关于极限函数的重要知识点。

1. 极限的定义极限的定义是我们理解和熟悉极限函数最基本的概念。

对于任意给定的数ε > 0，存在一个数δ > 0，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有|f(x) - L| < ε 成立。

其中 a 是自变量 x 的某一值，L 是函数 f(x) 的极限值。

2. 极限的运算法则在计算极限函数时，我们可以借助一些常用的运算法则来简化问题。

常用的极限运算法则包括函数的四则运算、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。

3. 极限的性质极限函数具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性、保序性和保号性等。

这些性质可以帮助我们更好地理解和分析极限函数。

4. 极限存在准则判断函数是否存在极限的方法有很多，常用的有夹逼准则、单调有界准则、零点夹逼准则等。

这些准则可以帮助我们在不计算极限的情况下得出结论。

5. 高阶极限除了一阶极限外，我们还需要了解高阶极限的概念。

高阶极限包括二阶极限、无穷极限等，它们在某些特殊函数的求解中起到了重要的作用。

6. 极限函数的应用极限函数在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在计算机科学、物理学、经济学等领域中，我们经常需要通过极限函数来描述和分析问题，帮助我们解决实际的数学问题。

总结：大一高数中的极限函数是一个重要的知识点，掌握极限函数的概念、定义、运算法则、性质、存在准则和应用，对于我们理解和应用数学知识都具有重要意义。

1.2数列的极限及运算-同济大学高数(第七版)上册

0 ; 当a
0时，xn
a 2
0.
推论
若数列{xn}从某项起有xn
（ 0 或xn
0），且 lim n
xn
a
,
那么a （ 0 或a 0）. (用反证法证明)
第18页，共24页。
子数列的概念
定义在数列{xn}: x1 , x2 , , xn , 中，任意抽取无限多项,并保持它们在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列成为原数列的子数列 .
n
xn
yn
0
.
第17页，共24页。
定理3 （保号性）
若 lim n
xn
a
, 且a
0(或a
0)，那么存在正
整数N，当n N 时，都有xn （0 或xn 0）.
证
lim n
xn
a
0, N
N ,当n
N时，有 xn
-a
.
取
a 2
，有
xn
a
a ，从而a 2
a 2
xn
a
a 2
,
当a
0时，xn
a 2
数列是整标函数: xn f (n) , n 1,2,,可表示为 {xn}：x1 , x2 , , xn , ；其中，为数列的通项 .
例如： 2,4,8,,2n ,;通项为2n ;
1 2
,
1 4
,
1 8
,,
1 2n
,; 通项为
1 2n
在几何上：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1，x2，x3，… xn，…
x3 o x1 x2 x4 xn x
第4页，共24页。
问题：当n无限增大时，对应的f(n)能否无限接近于某个确定的数值？

高数1.2极限的定义与性质

时，
的值任意地接近常数A,
则称当
时函数
于是在例1.1.8中
定理1.2.2 .
例1.1.9 设
求
解
如图
所以不Leabharlann 在。有一类特别地、重要的极限
定义1 .2.4. 若
时 , 函数
则称函数
为
时的无穷小 .
例1.1.10 因为
故当
时函数
为无穷小 .
例1.1.11 因为
故当
时函数
为无穷小 .
例1.1.12 如图
2.001
1.001
1.999
0.999
2.01
1.01
1.99
0.99
2.1
1.1
1.9
0.9
一般地，我们有
定义1.2.1 设函数
在点
的某去心邻域内有定义 ,
或
反之，
若不存在这样的常数 A，
则称当
时
没有极限或极限不存在。
则例1.2.1可表示为
的值任意地接近常数A,
函数
如果当x充分接近
时，
则称
定义1.2.2 设函数
在点
右（或左）邻域内有定义 ,
（或
函数
如果当x从
的右侧（左侧）充分接近
时，
的值任意地接近常数A,
则称
在
处的右（或左）
函数
记作
极限为A,
有时记为
（或
例1.2.6. 设函数
讨论
时
的左右极限是否存在 .
解:
如图
例1.2.7 设函数
求
解
如图，
和
由这两个例子，得一般地

大一和大二高数知识点

大一和大二高数知识点高等数学是大学阶段数学学科的重要组成部分，对于理工科、经管类及相关专业的学生来说，大一和大二的高数课程是必修课程。

本文将从大一和大二高数的知识点入手，为读者提供一个系统的高数知识概览。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质在大一和大二高数中，函数是一个基本的概念。

函数可以用数学表达式来表示，它描述了自变量和因变量之间的关系。

函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，在学习中需要掌握这些性质，并能够灵活运用。

1.2 极限的定义与性质极限是高等数学中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。

需要学会使用极限的定义来计算极限值，并掌握一些常用的极限性质，如四则运算法则、夹逼准则等。

2. 导数与微分2.1 导数的定义与计算导数是研究函数变化率的工具，它描述了函数在某一点的瞬时变化率。

在学习中需要理解导数的定义，并学会使用导数的基本运算法则进行计算，如常用函数的导数公式、高阶导数等。

2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种几何解释，它描述了函数在某一点附近的变化情况。

在学习中需要理解微分的概念，并掌握一些微分的应用，如切线方程、极值判定等。

3. 积分与应用3.1 不定积分的定义与计算不定积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积变化量。

需要学会使用不定积分的定义进行计算，并熟练运用常见的不定积分公式，如基本积分表、换元积分法等。

3.2 定积分的定义与计算定积分是对函数在一定区间上的积分计算，它给出了函数在该区间上的累积面积。

学习中需要理解定积分的定义，并学会使用定积分的计算方法，如几何意义、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式等。

4. 无穷级数4.1 数列与数项级数数列是由若干元素按某种顺序排列而成的序列，而数项级数是数列的和。

学习中需要了解数列与数项级数的概念，并能够计算常见数列的前 n 项和，如等差数列、等比数列等。

4.2 收敛与发散在学习数项级数时，需要了解数项级数的收敛性与发散性。

大一高数上所有知识点总结

大一高数上所有知识点总结高等数学作为大一学生的必修课程之一，是一门重要的基础学科，对于培养学生的思维逻辑能力和数学分析能力具有重要意义。

在学习高等数学的过程中，我们接触到了许多基本概念、方法和定理。

下面将对大一高数上所有的知识点进行总结和回顾。

1. 函数与极限1.1 函数的概念和性质1.2 极限的定义和性质1.3 极限的四则运算和复合函数的极限1.4 无穷小与无穷大1.5 重要极限：（1）基本初等函数的极限（2）重要极限公式2. 导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 导数的四则运算和复合函数的导数2.3 高阶导数和隐函数求导2.4 微分的概念和性质2.5 函数的单调性与曲线的凹凸性2.6 泰勒公式和极值问题3. 不定积分3.1 不定积分的定义和基本性质3.2 基本初等函数的积分和换元法3.3 分部积分和定积分的计算3.4 定积分的定义和性质3.5 定积分的计算方法：（1）定积分的几何意义（2）牛顿-莱布尼茨公式4. 函数的应用4.1 函数的极值与最值问题4.2 函数的平均值定理和介值定理4.3 弧长与曲率4.4 微分方程基本概念和一阶微分方程的解法5. 重积分5.1 二重积分的定义和性质5.2 二重积分的计算方法：（1）累次积分法（2）极坐标法5.3 三重积分的定义和性质5.4 三重积分的计算方法：（1）累次积分法（2）柱坐标法和球面坐标法6. 数项级数6.1 数列的概念和性质6.2 数列极限和常见数列的性质6.3 无穷级数的概念和性质6.4 正项级数的审敛法：比较判别法、比值判别法和根值判别法6.5 幂级数和泰勒级数7. 常微分方程7.1 一阶微分方程的概念和解法7.2 二阶线性常微分方程的特征方程法和常数变易法7.3 高阶线性常微分方程的解法以上是大一高数上所有的知识点的总结回顾，这些知识点在今后学习数学和应用数学的过程中具有重要的指导意义和实际应用价值。

希望同学们能够对这些知识点进行深入理解和掌握，并能够灵活运用于实际问题的解决中。

高数§1.2 数列的极限

按极限的定义, 对于 e = b a >0, 存在充分大的正整数 N, 2 使当n>N时, 同时有 |xn a|< e = b a 及|xn b|< e = b a , 2 2 a x x xn nb ba 及及 nb ba,a , 因此同时有 x n 2 2 2 2
因此,如果 n 增大到一定程度以后, |xna|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时, xn无限接近于常数a.
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数列极限的精确定义
设{xn}为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正数e , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xna |<e 都成立, 则称常数a是数列{xn}的极限, 或者称数列{xn}收敛于a, 记为 lim xn = a 或 xn a (n).
二、数列的定义如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的实数xn, 则得到一个序列 x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一般项(通项). •数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴
一、概念的引入
1、割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
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正 6 边形的面积 A1 正 12 边形的面积 A2
R

正 6 2 n 1形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
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n
注：
② N与e 的关系:

数二高数考试范围

数二高数考试范围数二高数考试范围在数学领域中，高数（高级数学）是大学本科阶段的数学必修课程，而数二高数（数学二级高等数学）则是针对高数内容进行更深入学习的一门课程。

数二高数考试范围包括以下多个重要的章节和知识点，下面将逐一进行介绍。

1. 函数与极限1.1 函数的概念与性质：包括定义域、值域、图像、奇偶性等概念。

1.2 极限的概念与性质：包括数列极限和函数极限，以及极限的性质和计算方法。

1.3 函数连续性与间断点：连续函数的定义与判定，间断点的分类与性质。

2. 导数与微分2.1 导数的定义与计算：包括基本初等函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数等。

2.2 高阶导数：计算高阶导数和应用。

2.3 微分的概念与计算：微分的定义、微分与导数的关系、高阶微分的计算等。

3. 定积分3.1 定积分的概念：包括黎曼和的定义及性质、定积分的几何意义等。

3.2 定积分的计算：包括定积分的基本性质、变上限积分、变下限积分、分部积分法等。

3.3 定积分的应用：计算图形的面积、弧长、物体的质量、质心等。

4. 微分方程4.1 一阶微分方程：可分离变量、齐次方程、线性方程、可降阶的高阶方程等基本类型。

4.2 高阶线性微分方程：常系数齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程、特征方程、待定系数法等。

4.3 线性微分方程的应用：弹簧振动、电路问题等。

以上是数二高数考试范围的主要内容，每个章节都有相应的理论知识和计算方法需要掌握。

在备考过程中，需要充分理解概念、记忆公式、掌握运算技巧，并且多做习题进行巩固和提高。

同时，也要注重理论联系实际，通过应用题来加深对知识点的理解和应用能力的培养。

数二高数考试范围的掌握对于学习数学和相关学科具有重要意义，不仅为了考试取得好成绩，更是为了培养逻辑思维、分析问题和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。

因此，在备考过程中要刻苦学习，理解概念和原理，灵活运用所学知识，努力提高数学素养。

高数上册目录

高数上册目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的性质1.1.3 反函数与复合函数1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的性质1.2.3 极限的运算法则1.3 无穷小与无穷大1.3.1 无穷小的性质1.3.2 无穷大的性质1.4 极限的运算法则1.4.1 极限的四则运算法则1.4.2 极限的复合运算法则1.5 极限存在准则及两个重要极限1.5.1 极限存在准则1.5.2 两个重要极限公式第二章导数与微分2.1 导数的概念2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.2 函数的求导法则2.2.1 基本初等函数的导数2.2.2 导数的四则运算法则2.2.3 复合函数的导数2.3 高阶导数2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 高阶导数的计算2.4 微分2.4.1 微分的定义2.4.2 微分的计算第三章微分中值定理3.1 微分中值定理3.1.1 罗尔定理3.1.2 拉格朗日中值定理3.1.3 柯西中值定理3.2 洛必达法则3.2.1 洛必达法则的形式3.2.2 洛必达法则的应用第四章不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 不定积分的计算4.2.1 基本积分公式4.2.2 换元积分法4.2.3 分部积分法第五章定积分5.1 定积分的概念与性质5.1.1 定积分的定义5.1.2 定积分的性质5.2 定积分的计算5.2.1 定积分的计算方法5.2.2 定积分的几何意义5.3 定积分的应用5.3.1 定积分在几何学中的应用5.3.2 定积分在物理学中的应用第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.1.1 微分方程的定义6.1.2 微分方程的阶6.2 一阶微分方程6.2.1 可分离变量的微分方程6.2.2 一阶线性微分方程6.3 高阶微分方程6.3.1 高阶微分方程的解法6.3.2 线性微分方程第七章空间解析几何7.1 向量及其运算7.1.1 向量的概念7.1.2 向量的运算7.2 平面与直线7.2.1 平面的方程7.2.2 直线的方程7.3 曲面与空间曲线7.3.1 曲面的方程7.3.2 空间曲线的方程第八章多元函数微分8.1 多元函数的概念8.1.1 多元函数的定义8.1.2 多元函数的性质8.2 偏导数8.2.1 偏导数的定义8.2.2 偏导数的计算8.3 全微分8.3.1 全微分的定义8.3.2 全微分的计算8.4 多元函数的极值8.4.1 极值的定义8.4.2 极值的求法。

高数知识点总结大一电子版

高数知识点总结大一电子版在大一学习高等数学的过程中，我们接触了许多重要的知识点。

下面是对这些知识点的总结和概括，希望对大家的学习和复习有所帮助。

1. 极限与连续1.1 函数极限的定义和性质函数极限是研究函数在某一点附近的变化趋势，包括左极限、右极限和无穷极限等。

函数极限的计算方法包括代换法、夹逼准则、洛必达法则等。

1.2 连续与间断点函数连续的定义和性质，以及连续函数的四则运算和复合函数的连续性。

函数的间断点包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

2. 导数与微分2.1 导数的定义及其性质导数描述了函数在某一点的变化率，导数的计算方法包括基本导数公式、常用函数的导数和导数的四则运算法则。

2.2 微分的定义和应用微分是函数在某一点的局部线性近似，微分的计算方法包括微分的四则运算法则和链式法则。

微分在近似计算和极值问题中有广泛应用。

3. 积分与不定积分3.1 定积分和不定积分的定义及其性质定积分描述了函数在一定区间上的总变化量，定积分的计算方法包括牛顿-莱布尼茨公式、分部积分法和换元积分法。

不定积分是定积分的逆运算，包括基本积分公式和常用函数的积分。

3.2 积分的应用积分在几何中的应用包括曲线长度、曲线面积和旋转体体积的计算。

积分在物理学中的应用包括质量、质心和力矩的计算。

4. 级数与幂级数4.1 级数的定义和性质级数是无穷多项式求和的结果，包括等比级数和调和级数等。

级数的判敛方法包括比较判别法、积分判别法和根值判别法等。

4.2 幂级数的定义和性质幂级数是无穷多项式求和的结果，包括收敛域和和函数等性质。

幂级数的运算方法包括求导、求和和积分等。

5. 偏导数与多元函数5.1 偏导数的定义及其性质偏导数描述了多元函数在某一点上沿坐标轴的变化率，偏导数的计算方法包括偏导数的定义和求导法则。

5.2 多元函数的极值与条件极值多元函数的极值点是函数在定义域内取得最大值或最小值的点，条件极值包括拉格朗日乘子法等。

大学大一高数知识点总结

大学大一高数知识点总结在大学的学习过程中，高等数学是一个必修的重要课程。

通过学习高数，可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

下面是对大一高数的知识点进行总结。

1. 函数与极限1.1 函数的定义与性质函数是一个具有对应关系的映射关系，具有定义域和值域。

函数可以是可微的、连续的等等。

1.2 极限的概念极限是函数在某一点或者无穷远点的值趋近于一个确定的数值。

分为左极限和右极限。

1.3 极限的性质和运算法则极限的性质包括极限的唯一性、四则运算法则、复合函数的极限等。

2. 导数与微分2.1 导数的定义导数表示函数在某一点的变化率，可以用极限的方法求得。

导数的几何解释是函数曲线切线的斜率。

2.2 导数的性质与应用导数的性质包括导函数的求导法则、高阶导数、隐函数求导等。

应用上可以用来求极值、判断函数的增减性等。

2.3 微分的概念与应用微分是导数的一个重要应用，可以用来计算函数的变化量及近似值。

3. 不定积分3.1 不定积分的定义与基本性质不定积分表示函数的反导数，是导数的逆运算。

具有线性性、可积性、换元积分法等基本性质。

3.2 基本积分公式与积分方法基本积分公式包括幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。

积分方法包括换元积分法、分部积分法等。

3.3 定积分的概念与性质定积分表示函数在一个区间上的总体积或总体积分。

具有线性性、区间可加性等性质。

4. 微分方程4.1 微分方程的概念与解的存在唯一性微分方程是含有未知函数及其导数的方程，解的存在唯一性依赖于初始条件。

4.2 常微分方程的分类与求解方法常微分方程包括一阶常微分方程和高阶常微分方程，求解方法包括分离变量法、齐次方程法、常数变易法等。

5. 级数与数项级数5.1 数项级数的概念与性质数项级数是由一列数相加得到的无穷级数，具有和的收敛性、性质等。

5.2 收敛级数与发散级数收敛级数满足柯西收敛准则或者数项级数的充分条件，发散级数则不满足。

5.3 常见级数的求和与性质常见级数包括几何级数、调和级数、正项级数等，可以通过求和公式或者判别法来求和或判断级数的性质。