梁横截面上的剪应力及其强度计算
工程力学梁横截面上的切应力及梁的切应力强度条件
三、T字型截面梁的切应力
T字型截面可以看成是由两个矩形组成,下面的 狭长矩形与工字形截面的腹板相似,该部分上的切 应力仍用下式计算:
τ
FS
S
* z
I zb1
最大切应力仍然发生在截面的中性轴上。
四、圆形及环形截面梁的切应力 圆形及薄壁环形截面其最大竖向切应力也都发生在
中性轴上,并沿中性轴均匀分布,计算公式分别为
M+dM
FS dx
σ
现假设用一水平截面将微段梁截 开,并保留下部脱离体,由于脱离 体侧面上存在竖向切应力τ ,根据 切应力互等定理可知,在脱离体的
顶面上一定存在切应力τ ',且 τ '=τ ,如图所示。
dx τ
z y τ' τ
y dx
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、右侧 面上法向内力的总和,dFS代表水平截面上切应力的 总和,如图所示。
翼缘上的水平切应力可认为沿翼缘厚度是均匀 分布的,其计算公式仍与矩形截面的切应力的形式 相同,即
τ
FS
S
* z
Izδ
式中FS为横截面上的剪力;Sz*为欲求应力点到翼 缘边缘间的面积对中性轴的静矩;Iz横截面对中性轴的 惯性矩;δ为翼缘的厚度。
水平切应力的大小沿水平方向的分布如图所示。实 践和理论推导已经证明,在整个工字型截面上切应力 的方向可用图c表示。从图中表示切应力方向的许多小 箭头来看,它们好象是两股沿截面流动的水流,从上 (或下)翼缘的两端开始,共同朝向中间流动,到腹 板处汇合成一股,沿着腹板向下(或上)到下(或上) 翼缘处再分为两股向两侧流动。对所有的薄壁杆,其 横截面上切应力的方向,都有这个特点。这种现象称 为切应力流。掌握了切应力流的特性,则不难由剪力 的方向确定薄壁杆横截面上切应力的方向。
第36节 梁的应力计算与强度校核(一)
梁的应力计算及强度校核
纯弯梁截面上的应力分布规律: 梁横截面上的正应力沿截面高度成线性分布,在中性轴处 正应力等于零,在截面的上、下边缘应力值最大。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
梁横截面上任意点正应力的计算公式为
公式表明:纯弯曲梁横截面上任意点的正应力与截面上的 弯矩和该点到中性轴的距离成正比,与截面对中性轴的惯 性矩成反比。
王晓平
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
王晓平
梁的应力计算及强度校核
能力目标:
1.纯弯曲与横力弯曲的区别,中性轴的确定。 2.应力分布图的绘制,横截面上任意点弯曲正应力的 计算。 3.应用强度条件解决梁的强度计算问题。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一般情况下在梁的横截面上会同时存在由剪力FQ引起的剪 应力τ及由弯矩M引起的正应力σ。
在发生平面弯曲的梁中,将只有弯矩没有剪力的弯曲称为 纯弯曲,将既有剪力又弯矩的弯曲称为横力弯曲。
王晓平
梁的应力计算及强度校核
一、纯弯曲梁横截面上的正应力 纯弯曲梁的变形现象:
当梁体下弯时 (1)原来相互平行的纵向直线均成 为仍相互平行的曲线,且梁轴线 以上部分曲线缩短,梁轴线以下 部分曲线伸长。
(2)所有原来与纵向直线垂直的 横向线仍保持与纵向线垂直的直 线,即横截面不变形。
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如:AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如:CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上,且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关,单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ,高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式,得纯弯曲时正应力的计算公式:
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入,所得到的正应力若为 正,即为拉应力,若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力,也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界,梁在凸出的一侧受拉,凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d),得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴,必然有Iyz=0。
第九章第六节梁弯曲时的应力及强度计算(上课用)
m
V
( Stresses in Beams)
m
m
M
V
m m
只有与剪应力有关的切向内力元素 d V = dA 才能合成剪力
只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩
剪力V 内力 弯矩M 正应力 剪应力
所以,在梁的横截面上一般
既有 正应力, 又有 剪应力
先观察下列各组图
所以,可作出如下 假设和推断:
1、平面假设:
2.单向受力假设: 各纵向纤维之间互不挤压,纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。 因此梁横截面上只有正应力σ而无剪应力τ
各横向线代表横截面,实验表 明梁的横截面变形后仍为平面。
梁在弯曲变形时,上面部分纵向纤维缩短,下面部分纵向纤维伸长,必 有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度,这一纵向纤维层称为 中性层. 中性层与横截面的交线称为中性轴,中性轴通过截面形心,是一条形心轴。 且与截面纵向对称轴y垂直,将截面分为受拉区及受压区。梁弯曲变形时, 各横截面绕中性轴转动。
(3)横截面上任一点处的剪应力计算公式(推导略)为
V S I zb
Z
V——横截面上的剪力
Iz——整个横截面对中性轴的惯性矩
b——需求剪应力处的横截面宽度 S*Z——横截面上需求剪应力处的水平线 以外(以下或以上)部分面积A*(如图 )对 中性轴的静矩
V
3V 4 y2 (1 2 ) 2bh h
应力状态按主应力分类:
(1)单向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中只有一个主应力不等于零。 (2)双向应力状态。在三个相对面上三个 主应力中有两个主应力不等于零。
(3)三向应力状态。其三个主应力都不等于零。例 如列车车轮与钢轨接触处附近的材料就是处在三向应 力状态下.
梁的横截面剪应力计算公式
梁的横截面剪应力计算公式梁是工程结构中常见的构件,承受着各种荷载的作用。
在设计和分析梁的承载能力时,剪应力是一个重要的参数。
剪应力是指横截面上的剪切力对横截面积的比值,是描述材料在受到剪切力作用下的抗剪性能的重要参数。
在工程实践中,为了保证梁的安全性能,需要对梁的横截面剪应力进行计算和分析。
梁的横截面剪应力计算公式是基于梁的几何形状和受力情况推导出来的。
一般来说,梁的横截面剪应力可以通过以下公式进行计算:τ = V / A。
其中,τ表示梁的横截面剪应力,单位为N/m²或Pa;V表示横截面上的剪切力,单位为N;A表示横截面的面积,单位为m²。
在实际工程中,梁的横截面剪应力计算公式可以根据不同的受力情况和梁的几何形状进行调整和修正。
下面将分别介绍几种常见的梁的受力情况和对应的剪应力计算公式。
1. 简支梁的横截面剪应力计算公式。
简支梁是指两端支承的梁,在受到均布载荷作用时,横截面上的最大剪切力出现在支座处。
在这种情况下,横截面剪应力可以通过以下公式进行计算:τ = 3V / (2bt)。
其中,b表示梁的宽度,t表示梁的厚度。
2. 连续梁的横截面剪应力计算公式。
连续梁是指多个支座处受力的梁,在受到均布载荷作用时,横截面上的剪切力分布较为复杂。
在这种情况下,横截面剪应力可以通过以下公式进行计算:τ = V / (bt)。
3. T形梁的横截面剪应力计算公式。
T形梁是指梁的横截面呈T形的梁,在受到均布载荷作用时,横截面上的剪切力分布较为特殊。
在这种情况下,横截面剪应力可以通过以下公式进行计算:τ = V / (2bt)。
4. 不等截面梁的横截面剪应力计算公式。
不等截面梁是指梁的横截面宽度或厚度不均匀的梁,在受到均布载荷作用时,横截面上的剪切力分布较为复杂。
在这种情况下,横截面剪应力可以通过以下公式进行计算:τ = V / (A1+A2)。
其中,A1和A2分别表示梁的两个不等截面的面积。
除了上述情况外,梁的横截面剪应力计算还需要考虑横截面形状的影响、剪切力的分布规律等因素。
梁的应力和强度计算
z dA dM z y dA
dM y
( Stresses in Beams) 将应力表达式代入(1)式,得
FN
A
E
y
dA 0
E
A
ydA 0
待解决问题:
中性轴的位置
中性层的曲率半径ρ
S z ydA 0 A
y M y zE dA 0 A
中性轴通过横截面形心
伽利略(G.Galiieo, 1564-1642)的研究中认为: 弯曲应力是均匀分布的 (《两门新科学的对话》1638 年出版 ) , 因而得不到正确的公式,大科学家有时 也弄错。
( Stresses in Beams)
C C
Z 中性轴
Z
y
压
C M M
y 拉
C
Z
Z 两部分。
?
( Stresses in Beams)
横截面的 对称轴
横截面
y σ Eε E ρ
M
中性层
中性轴
1、中性轴的位置(Location of the neutral axis) 2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface)
?
中性轴
( Stresses in Beams)
强度条件(strength condition):
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力
1、数学表达式(mathematical formula)
max
M max [ ] W
2、强度条件的应用(application of strength condition)
M max (1) 强度校核 [ ] W M max (2)设计截面 W [ ] (3)确定许可核载 M max W [ ]
梁的切应力及其强度条件
I z
t 1
FS
S
* z
I z
t1
FS
I z
h 2
2
FS 2Iz
h
t1max
tmax
t
max
FS 2Izd
b
h
d
h 2
2
y2
tmax O
t1
FS 2I z
h
y tmin 切应力流
最大剪应力一般发生在中性轴上
z
三、薄壁环形截面梁
tmax
r0
tmax
O
t
y
最大切应力tmax 仍
发生在中性轴z上。
FA 66kN D截面的剪力
FB 44kN FS 66kN
t max
FSS z,max dIz
140 10 103 47
220
2)求最大切应力
a
C
10 y 10
S
* z,max
10310
103 2
2
1061102 mm3
t max
FSS z,max dIz
66103 1061102 10 2 1152104
tmax
h
y
O
t' t A* s
y dA
d
Ot
y b
t
FS
S
* z
Izd
tmin
S
* z
b
h 2
2
d
h 2
y
h/
2
2
y
b
h
d
h
2
y2
2
2 2
2、翼缘上的切应力
FN*2
h
梁的弯曲应力和强度计算
88
7.5 106 7.6 106
88 86.8MPa
弯曲正应力计算
三、计算题
27.一矩形截面简支梁,梁上荷载如图所示.已知P=6kN、 l=4m、b=0.1m、h=0.2m,试画出梁的剪力图和弯矩图并求 梁中的最大正应力. 解:(1) 作剪力图、弯矩图
(2)求最大正应力
Mmax 6kN m
横向线:仍为直线,仍与纵向线正交,相对转动了一个角度 纵向线:曲线,下部伸长,上部缩短
(2)假设 平面假设:横截面在变形前为平面,变形后仍为平面,且仍
垂直于变形后梁的轴线,只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。 单向受力假设:梁由无数根纵向纤维组成,之间无横向挤压,
只受轴向拉伸与压缩。
中性层
3、正应力计算公式 〖1〗几何变形关系
内容回顾
弯曲正应力 1. 基本假设:
(1)平面假设:变形前为平面的横截面,变形后仍为平面,但转动了一角度。 (2)单向受力假设:杆件的纵截面(与杆轴平行的截面)上无正应力。
2.中性轴Z:
中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。
3.正应力计算公式:
中性层
4.正应力分布规律:沿截面高度呈线性分布。
4、正负号确定 1)M、y 符号代入公式
2)直接观察变形
5、适用范围及推广
〖1〗适用范围: 平面弯曲(平面假设、单向受力假设基础上)、 线弹性材料
〖2〗推广: ① 至少有一个对称轴的截面; ② 细长梁 (l/h>5);
6、最大正应力
工程上关心的是极值应力:
只与截面形状、尺寸有关
抗弯截面模量
对剪切(横力)弯曲: 矩形:
解:(1)作弯矩图,
求最大弯矩
工程力学25 梁的剪应力及强度计算
4Q
3R 2
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
4、圆环形截面梁
最大剪应力仍发生在中性轴
max
2Q A
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
二、弯曲梁的剪应力强度计算
1、 剪应力强度条件
max
Q剪应力强度条件:
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
2 、弯曲梁的强度计算
梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题,一般按正应力强度设计, 再用切应力强度校核。
梁需满足
max (设计) max (校核)
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
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(3)剪应力分布规律
QS
* Z
bI Z
Q、b、IZ为常数
6Q bh3
h2 4
y2
二次抛物线
max
3Q 2bh
3Q 2A
Q
max
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
2、工字型截面梁
(1)分工:
翼缘主要承担弯矩,腹板主要承
担剪力 (2)公式:
QSZ*
bI Z
(3)规律: 剪应力沿腹板高度仍按抛物线变化。
(4)最大剪应力:
( y 0), max
QS
* Z
max
bI Z
若b <<B时,则即按平均剪应力计算。 Q
bh
工 程力 学
ENGINEERING MECHANICS
3、圆形截面梁
截面边缘上各点剪应力与圆周相切,矩形截面上各点剪应力与Q平行的 假设已不适用。
梁应力强度计算
第五章 平面弯曲梁的强度
内容: 梁的应力、强度计算
τ→FS
z
dA
FS y
σ→M
M
z
dA
dA
y
M =∫yσσd
A
§5.1 梁的正应力
一、纯弯曲梁横截面上的正应力
F
F
a
l
a
FS F
M
x
F Fa
x
FS M
纯弯曲梁
Me
l
x
Me
450×0.03 2×45×10-9
=150
MPa
(-)
习题5-13 当20号槽钢受纯弯曲变形时,测出A、B两点间长度
Δl=27×10-3mm,材料的E=200GPa。试求梁截面上的弯矩M。
解:
50
5
M
AB
M
●
●
ε=
Δl l
=
27×10-3 50
=5.4×10-4
σ=Eε=200×109×5.4×10-4=108MPa
BC段: d2 ≥ 3
32×455×103 π140×106
= 321 mm
取: d1=250mm d2=322mm
例11. 已知:[σ]=160MPa,[τ]=100MPa,
试选工字钢梁的型号。
解: Fsmax=6kN
1.σ计算:
σmax =
M max Wz
≤ [σ]
M max = 8 kN • m
=
1 2
qab+
1 8
qb2
=
0.02375q
N
•
m
工程力学弯曲强度2(应力分析与强度计算
max
y
2
当中性轴是横截面的对称轴时:
IZ
max
IZ
y
y1 y2 y max
1
即对称截 面梁
max max max
y
Iz 简单截面的抗弯截面系数 Wz= ymax y
h z
y z
bh Iz bh 2 Wz= 12 h h 6 2 2
3
max - max -
i max
M z max max i = Wz i
一般非等直梁
M z x y x max = max x = I z x max
可利用函数求导的方法得到最大正应力数值
固定端处梁截面上的弯矩: M=Me 。 且这一梁的所有横截面上的弯矩都 等于外加力偶的力偶矩Me
中性轴通过 截面形心,因此z 轴就是中性轴。 据弯矩方向可知中性 轴以上均受压应力,以下 均受拉应力。 根据正应力公式,横截面上正应力沿截面高度(y) 按直线分布,在上、下边缘正应力最大。可画出固定 端截面上的正应力分布图。
M max y 2 0.253N m 10 3 15 10 3 m 2 0.842 10 3 Pa 84.2MPa Iz 4.5 10 -8 m 4
例题
C
FRA FRB
T形截面简支梁在中点承受集中力 FP =32kN, l=2m。 T形截面的形心坐标yC=96.4mm,横截面对于z 轴的惯性矩Iz =1.02108 mm4。求:弯矩最大截面上的 最大拉应力和最大压应力。 解: 根据静力学平衡可求得支座A和B处的约束力分别 为FRA=FRB=16 kN。据内力分析,知梁中点截面 上弯矩最大
梁的应力及强度计算
Q图
-
2KN
y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉,下部受压
最大拉应力在上边缘
1KNm
s l max
M maxy1 IZ
1106 15.2 25.6 104
59.4MPa 拉
M图
最大压应力在下边缘
s ymax
M maxy2 IZ
1106 32.8 25.6 104
128.1MPa压
23
9 104
:3
144 104
:
4
3
642
2
104
3 72 : 3 144 : 3 64
结论:矩形截面最省料;圆形截面用料最多。
Z
Z
习题8-44
2、横截面上:在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相 等。
3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。
横截面上正应力的画法:
M 0
M 0
M
M
smax
smax
第九章 梁的应力及强度计算
公式适用范围: ①弹性范围—正应力小于比例极限; ②精确适用于纯弯曲梁; ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5),上述公 式的误差不大。
20kNm
20kNm
-
-
50 2003 50 200 94.6 1502
12 102106 mm4
+
20kNm
10kN/m
CA 2m
40kN
D 2m 2m
10kN/m
BE 2m
Q图
20kN
20kN
+
+
-
20kN
(完整版)梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下,剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的前提下,剪应力一般都满足要求。
一、矩形截面梁的剪应力 利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为:*z Z QS I b τ=; 公式中:Q ——为横截面上的剪力;*z S ——为横截面上所求剪应力处的水平线以下(或以上)部分面积A*对中性轴的静矩;I Z ——为横截面对中性轴的惯性矩;b ——矩形截面宽度。
计算时Q 、*z S 均为绝对值代入公式。
当横截面给定时,Q 、I Z 、b 均为确定值,只有静矩*z S 随剪应力计算点在横截面上的位置而变化。
222**2214()[()]()(1)222248z h h h h bh y S A y b y y y y h =⨯=-⨯+-=-=- 把上式及312z bh I =代入*z Z QS I bτ=中得到:2234(1)2Q y bh h τ=- 可见,剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘处(y=±0.5h ),剪应力为零;在中性轴处(y=0)处,剪应力最大,其值为:33 1.522Q Q Q bh A A τ=⨯=⨯= 由此可见,矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍,发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K 处剪应力为:*1z Z QS I b τ=; 公式中:b 1——腹板的宽度(材料表中工字钢腹板厚度使用字母d 标注的);*z S ——为横截面上阴影部分面积A*对中性轴的静矩;工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处,其值为:*max max1z Z QS I b τ=; 公式中:*max z S ——为半个截面(包括翼缘部分)对中性轴的静矩。
三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为:*max max max max *[](/)z Z Z Z Q S Q I b b I S ττ==≤。
第七章 梁的应力和强度计算
q=3.6kN/m
A Q B
例7-4.1 矩形(bh=0.12m0.18m)
截面木梁如图,[s]=7MPa,[t]=0. 9 M Pa,试求最大正应力和最大切 应力之比,并校核梁的强度。 – 解:画内力图求危面内力
qL 2
L=3m
qL 2
+
x
FS max
M max
qL 3600 3 5400 N 2 2
-4kNm x
例7-2.2 T 字形截面的铸铁梁受力 如图,铸铁的[sL]=30MPa,
1m
[sy]=60 MPa,其截面形心位于G
点,y1=52mm, y2=88mm, Iz=763cm4 ,试校核此梁的强度。 并说明T字梁怎样放置更合理? 解:画弯矩图并求危面内力
2.5kNm A1 G y1
A3
2、强度条件应用:依此强度准则可进行三种强度计算:
M max s 校核强度: s max 、校核强度: Wz M max 设计截面尺寸: Wz [s ]
确定许可载荷:M max
Wz [s ]
14
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
③横向线与纵向线变形后
仍正交。
5 ④横截面高度不变。
2. 根据上述的表面变形现象,由表及里地推断梁内部的 变形,作出如下的两点假设:
平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转
动,距中性轴等高处,变形相等。
纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 (横截面上只有正应力)
纵向对称面
中性层
中性轴
x 1
15 60kNm
1 A 1m 1
Q=60kN/m B 2m 180 30 1 2
工程力学 第九章 梁的强度刚度计算
由结果知,梁的强度不满足要求。
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y2
z
例9-6 试为图示钢轨枕木选择矩形截面。已知矩形截面尺寸的比 例为b:h=3:4,枕木的弯曲许用正应力[]=15.6MPa,许用剪应力 P P 0 0 .2 m 1 .6 m []=1.7MPa,钢轨传给枕木的压力P=49KN。 .2 m
a
M D ya Iz
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10.7
第二节 梁横截面上的剪应力
一、矩形截面梁:
矩形截面剪应力计算公式: τ沿截面高度按抛物线规律变化:
2Iz 4
3
QS
* z
I zb
bh
4
τ m ax
2 3
y
h 2
, 0 ; y 0 , max
6 Qh 4 bh
校核梁的正应力强度。
解:(1) 内力及抗弯截面模量计算: MC=3.0KN.m; MD=-4.8KN.m
W1 W2
P1
A
a C a
P2
D
a B
y1
z
763 5 .2
146 . 7 cm
3
y1
z
763 8 .8
86 . 7 cm
3
4 .8 k N m
y2
(2)C截面的正应力强度校核:
4 Q 3 A1
max 2
Q A2
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例9-3 矩形截面简支梁如图,已知:l=2m,h=15cm,b=10cm, h1=3cm,q=3kN/m。试求A支座截面上K点的剪应力及该截面的最 b q 大剪应力。 解:1.求剪力:QA=3kN
(完整版)梁横截面上的剪应力及其强度计算
梁横截面上的剪应力及其强度计算在一般情况下,剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的 前提下,剪应力一般都满足要求一、矩形截面梁的剪应力利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为:公式中:Q ――为横截面上的剪力;S ;――为横截面上所求剪应力处的水平线以下(或以上)部分面积A*对中性轴的静矩;I Z ――为横截面对中性轴的惯性矩;b ――矩形截面宽度。
计算时Q S ;均为绝对值代入公式。
当横截面给定时,Q l z 、b 均为确定值,只有静矩S ;随剪应力计算点在横截面上的位置而变化* *h1 h h h2 2bh 2 4y 2S ; A yb(- y) [y (- y)]-(-y )(1 2 )2 2 22 48h 把上式及I ;bh 3 代入虫 中得到:3Q(1 4^)12I Z b2bhh 2可见,剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘 处(y=± 0.5h ),剪应力为零;在中性轴处(y=0)处,剪应力最大,其值为:由此可见,矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍,发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力在腹板上距离中性轴任一点K处剪应力为:公式中:b i――腹板的宽度(材料表中工字钢腹板厚度使用字母S z ――为横截面上阴影部分面积A对中性轴的静矩;公式中:S zmax ――为半个截面(包括翼缘部分)对中性轴的静矩。
Cb)图皐工字卑梁横苗面的应力计算图三、梁的剪应力强度计算梁的剪应力强度条件为:*QmaxSzmax Zmaxmax I z b b(l z/S;)[]d标注的);工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处,其值为:max* QS z max .;I Z b1。
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梁横截面上的剪应力及其强度计算
在一般情况下,剪应力是影响梁的次要因素。
在弯曲应力满足的前提下,剪应力一般都满足要求。
一、矩形截面梁的剪应力
利用静力平衡条件可得到剪应力的大小为:;
*
z Z QS I b
τ=公式中:Q ——为横截面上的剪力;
——为横截面上所求剪应力处的水平线以下(或以上)部分面积A*对中性
*z S 轴的静矩;
I Z ——为横截面对中性轴的惯性矩;
b——矩形截面宽度。
计算时Q 、均为绝对值代入公式。
*z S 当横截面给定时,Q 、I Z 、b 均为确定值,只有静矩随剪应力计*z S
算点在横截面上的位置而变化。
222*
*
2
214()[()]()(1)
222248z h h h h bh y S A y b y y y y h
=⨯=-⨯+-=-=-把上式及代入中得到:312z bh I =*z Z QS I b
τ=2
234(1)
2Q y bh h τ=-可见,剪应力的大小沿着横截面的高度按二次抛物线规律分布的。
在截面上、下边缘
处(y=±0.5h ),剪应力为零;在中性轴处(y=0)处,剪应力最大,其值为:
33 1.522Q Q Q
bh A A
τ=⨯
=⨯=由此可见,矩形截面梁横截面上的最大剪应力值为平均剪应力值的1.5倍,发生在中性轴上。
二、工字形截面梁的剪应力
在腹板上距离中性轴任一点K
处剪应力为:;
*
1
z Z QS I b τ=公式中:b 1——腹板的宽度(材料表中工字钢腹板厚度使用字母d 标注的);
——为横截面上阴影部分面积A*对中性轴的静矩;
*
z S 工字形截面梁的最大剪应力发生在截面的中性轴处,其值为:;*max
max
1
z Z QS I b τ=
公式中:——为半个截面(包括翼缘部分)对中性轴的静矩。
*
max z S 三、梁的剪应力强度计算
梁的剪应力强度条件为:*max max max max
*
[](/)
z Z Z Z Q S Q I b b I S ττ==≤。