Chapter4-工具变量法

第1章 两阶段最小二乘法

在模型的基本假定中，解释变量与误差项正交保证了参数估计量的无偏性和一致性。当这一假定被违背时，称解释变量是内生的。常见的几种情况会导致内生问题：忽略重要的解释变量、变量的测量误差、变量的联立性。工具变量估计是解决解释变量内生问题的基本方法。本章介绍工具变量法和两阶段最小二乘法，以及模型内生性检验和过度识别约束检验等问题。

1.1 变量的内生性

如果模型中的解释变量与误差项出现相关，即(')E =X u 0，称解释变量是内生的。导致

解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。

模型中出现内生解释变量时，OLS 估计量是不一致的。根据OLS 估计量：

11111ˆ(')(')(')(')(')(')N N -----==+=+βX X X y βX X X u βX X X u (1.1) 由假定Rank(X)=K 和大数定律，样本均值的概率极限等于总体均值，可得：

1Plim(')E(')N -=≡X X X X A ， 1Plim(')E(')N -=≠X u X u 0。 (1.2)

又由Slustky 定理，

111Plim(')N ---=X X A

1ˆPlim E(')-=+≠β

βA X u β (1.3) 1.2

工具变量估计

1.2.1 工具变量

在如下模型中，

y = X β+ u

第i 个解释变量x i 为内生解释变量。如果存在变量z ，z 满足如下两个条件： 正交条件：与u 不相关，即cor(z, u) = 0

相关条件：与x 相关，即cor(z, x i ) ≠ 0，也称为识别约束条件。 那么，z 被称作x i 的工具变量。

1.2.2 工具变量估计

设回归模型为：

y =X β+u (1.4)

其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×K ）。Z 作为工具变量满足正交条件和识

别约束条件。在正规方程组ˆ'()-=X y X β

0中，用Z 替换X ， ˆ'()-=Z y X β

0 (1.5) 解此方程组，可得IV 估计量为：

1ˆ(')'-=βZ X Z y (1.6) 将y =X β+u 带入估计量中，可得

11ˆ(')'()(')'--=+=+βZ X Z X βu βZ X Z u 可以证明，

1ˆE()(')'E()-=+=β

βZ X Z u β 1121121

ˆVar()E[(')''(')](')'(')(')

σσ-----==≠β

Z X Z uu Z X Z Z X Z Z X Z X X

即IV 估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由

111111ˆPlim()Plim[(')(')]Plim(')Plim(')E()n n n i i n N N N N ---→∞

→∞

--→∞-→∞

=+===β

βZ X Z u Z X A

Z u Z u 0

可知，IV 估计量是一致的。

1.3 两阶段最小二乘法

设模型中存在K 个内生解释变量，存在L=K 个工具变量。每个工具变量都必须满足正

交条件和相关条件。如果L=K ，称为恰好识别；如果L>K ，称为过度识别。即利用其中不同的K 个工具变量，都可以得到不同的估计量。当然，用任何一组工具变量得到的估计量都是一致的。因此，现在的问题是如何在这L 个工具变量中找到K 个工具变量使其估计量最有效。这即是两阶段最小二乘法。

1.3.1 TSLS 估计

设模型为：

=+y X βu (1.7)

其中，解释变量为X （1×K ）工具变量为Z （1×L ）。用Z 作为工具变量，Z 满足正交条

件和识别约束条件。首先回归模型

=+X Z Πv (1.8)

可得1ˆ(')-=Π

Z Z ZX ，并提取拟合值1ˆˆ(')-==X Z ΠZ Z Z ZX 。令1(')'-=Z

P Z Z Z Z ，P Z 为对称幂等矩阵，则ˆ=Z

X P X 。然后，利用ˆX 做为工具变量回归模型，可得IV 估计量为： 11ˆˆˆ(')'(')(')--==Z

Z

β

X X X y X P X X P y (1.9) 而

ˆˆˆ''''()''====Z Z Z Z Z

X X X P X X P P X P X P X X X 。 由此可得： 11ˆˆˆˆˆˆ(')'(')'--==β

X X X y X X X y (1.10) 而1ˆˆˆ(')'-X X X y 是y 对ˆX 的OLS 回归估计量。因此，利用ˆX

作为工具变量作IV 回归与利用ˆX 替换X 作LS 回归是等价的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如下。

Step1：利用X 对Z 作OLS 回归：=+X Z Πv ；提取拟合值ˆX

。 Step2：用ˆX

替换X ，直接作OLS 回归。 1.3.2

2SLS 的渐进特征

假定1：令X 表示解释变量（包括常数变量1）。假定存在L 个工具变量构成的（1×L ）向量Z ，满足E(Z 'u )=0。Z 包含模型中的外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则Z 必须包含模型以外的外生变量。

假定2：（A ）Rank(Z 'Z )=L ；（B ）Rank(Z 'X )=K 。（A ）条件是指L 个向量Z 不存在完全的线性关系；条件（B ）是指Z 与X 充分线性相关，即所有工具变量都必须满足识别约束条件。条件（B ）称为秩条件。秩条件成立的必要条件是L ≥K 。即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数，称之为阶条件。

由X =Z ∏+v （其中，∏为L ×K 矩阵），两侧同时乘Z 并求期望可得：

1'''E(')E(')[E(')]E(')

-=+⇒=⇒=Z X Z Z ΠZ v Z X Z Z ΠΠZ Z Z X (1.11)

令X *=Z ∏ = Z[E(Z 'Z )]-1 E(Z 'X )。在X β+u =y 两边同时乘以X *可得，

X *'X β + X *'u = X *'y (1.12)

求期望可得：

E(X *'X )β= E(X *'y ) (1.13)

而

X *'X = X *'Z ∏ + X *'v ， E(X *'X ) = E(X *'Z )∏ + E(X *'v ) = E(X *'Z )∏ E(X *'Z )= E[(X -v ) 'Z ] = E[X 'Z - v 'Z ] = E(X 'Z )