内生性工具变量与GMM估计

(1/n)(Yt –b0,IV – Xtb1,IV) =0 (1/n)Zt(Yt –b0,IV – Xtb1,IV) =0
（对应E(t)=0) (对应E(Ztt)=0)
解得：
.
对于矩阵形式： Y=X+ 如果E(X’)0,（假设Xk与随机项相关)，用工具变量Z替代 X(如用Zk替代Xk)：
得到总体矩条件E(Z’)=0
假设模型为 Yt=0+1Xt1+2Yt-1+t=Xt*’+t 但 t中包含了一个与Xt1同期相关另一变量X2t： t=Xt2+ut 这时，X1的严格外生性不满足，它与t的同期不相关性也 不满足。
如，当设定如下工资方程时： lnWaget=0+1educt+ut
一个重要的影响因素“能力”被遗漏了，而“能力”与“受教 育程度”往往有较强的相关性。
对模型 Yt=0+1Xt1+…+kXtk+t
或 Y中一个重要的假设是“严格外生性”：
E(|X)=0 严格外生性（strictly exogeneity)的含义是：各期的解释 变量Xt独立于所有期的随机扰动项t 。
在严格外生性与球型假设下，OLS估计量是BLUE。这两 大假设也称为Yt或t是独立同分布的（iid）。
采用工具变量Z得到：
而OLS估计量
因此，尽管Corr(Z, ) 较小，而Corr(Z,X) 更小时，可能出现 Corr(Z, ) /Corr(Z,X)>Corr(X, )
从而有： bIV比bOLS偏差更大（. 更不具有一致性）。
例（内生性问题，Monte Carlo 实验）对Keynsians模型
.
总体矩M可以简单地定义为一随机变量X的某个连 续函数g 的数学期望：
M=E[g(X)] 例：对于总体均值，=E(X)，这时g(X)=X
对于总体方差，2=E(X-)2，这时g(X)=(X-)2 总体均值称为总体的1阶原点矩，总体方差称为总体 的2阶中心矩。
根据类比法的原理，可以用样本矩(或样本矩函数) 来估计总体矩(或总体矩函数），而且，样本矩在大 样本下往往具有一致性。这一类比法也称为矩法。
则相应的样本矩条件为：(1/n)Z’(Y-Xb)=0
或
Z’Xb=Z’Y
由于Z与X的列相同L=K，Z’X满秩，解为：
bIV=(Z’X)-1Z’Y
注意：工具变量矩阵中所含的模型已有的外生解释变量可
看成自己的工具变量。
.
• 工具的选择
理论上，Z中保留了X中所有被认为是外生的且与随机扰动项 无关的变量，而那些内生的与随机扰动项相关的变量被工具 (变量)所取代。
.
2、出现同期相关OLS估计的后果 Question: What will happen if E(t|Xt)=0 fails?
假设有一元模型 Yt=0+1Xt+t 出现Xt与t的同期相关性：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0
将原模型Yt代入上式得:
于是：Plim(b1)= 1+ Cov(Xt,t)/Var(Xt)1 后果：OLS估计量不一致，（当然也是有偏的）。
根据矩法（类比法），相应的样本矩为：
m()= (1/n)X’(Y-Xb)
问题归结为，寻找适当的b，使得 m(b)=0
或：
(1/n)X’(Y-Xb)=0
解为：
b=(X’X)-1X’Y
.
二、矩估计中的工具变量(IV)法 假设有如下模型： Yt=Xt1’1 +Xt22+t 其中：X2为单一变量，X1为包括截距项的k维行向量
E(Xt*ut)=E(Xt+vt)ut]=E(Xtut)+E(vtut) =E(Xtt)- 1E(Xtvt)+E(tvt) -1E(vt2) =-1v20
问题：如果X可观测，而Y不可. 观测，情况如何？
• 情形4. 联立方程偏误
设有如下简单的Keynsian模型 Ct=0+1Yt+t Yt=Ct+It
但在应用研究中，这样的工具变量Z很难找到：一般 找到的工具变量往往是： （1）与随机扰动项有轻度相关，（2）与解释变量X也 是轻度相关
当工具变量Z与解释变量有轻度相关性时，称之为弱工具 变量(weak IV)。
在弱工具变量情形下，IV估计可能会带来比OLS估计 量更严重的不一致性
.
对一元模型 Yt=0+1Xt+t 出现Xt与t的同期相关性时：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0
（**）
下面证明 2 (XX)-1 =2plim(n-1X’X)-1是最小的渐近方差。
只需证明，对任意n>N，X’X与其他估计的方差之差为半 正定矩阵。
对任意可行的Z，相应的bIV的渐近方差为 (1/n)2plim [n-1X’Z(Z’Z)-1Z’X]-1=(1/n)2plim [n-1X’PZX)]-1
另一方面，由于 E[Ztt]=0，由中心极限定理： 而 Var(Ztt)=E(t2ZtZt’)=E[E(t2ZtZt’|Zt)]=E[ZtZt’E(t2 |Zt)]
= 2E(ZtZt’) = 2ZZ
.
3、IV估计量不具有渐近有效性
Z的不同取法，都可得到参数的一致估计，但渐近方差不 同。
当取Z=X时，bIV具有最小的渐近方差。
.
• 情形3：存在测量误差
假设模型 Yt=0+1Xt+t
假设收集不到Xt的精确观测值，收集到的Xt*包含了测量误
差vt：
Xt*= Xt+vt
由于实际估计的是如下可观测变量的回归模型： Yt=0+1Xt*+ut
于是: ut=Yt- 0-1Xt*= [0+1Xt+t]-0-1(Xt+vt) = t - 1vt
第8章 内生性、工具变量与 GMM估计
•外生性与常见的内生性问题 •矩估计(MM)与工具变量法(IV) •线性模型的两阶段最小二乘估计(2SLS) •线性模型的广义矩估计(GMM)
.
§8.1 外生性与常见的内生性问题
一、外生性假设与内生性问题 二、常见的内生性
.
一、外生性假设与内生性问题
1、外生性与OLS估计量的统计性质
bIV=(ZtXt’)-1ZtYt=(Z’X)-1(Z’Y)
.
例：一元回归例
假设有一元模型 Yt=0+1Xt+t 出现Xt与t的同期相关性：Cov(Xt,t)=E(Xtt)0
这时，寻找一工具变量Z，满足Cov(Zt, t)=E(Ztt)=0， Cov(Zt,Xt)0。使得原模型的矩条件变为
E(Ztt)=0 相应的样本矩方程组为
于是： X’X-X’PZX=X’MZX =(MZX)’(MZX)=半正定矩阵
这也简接证明了第4章中曾指出的如下一类估计量的渐近有效性
gj(X)=Zj时，即为 IV估计
gj(X)=Xj时， 即为OLS估
计
.
4、弱工具变量带来的估计偏误
工具变量Z要求：（1）与随机扰动项不相关，（2） 与解释变量X高度相关
.
如果X的严格外生性不满足，则需假设Xt与t的同期无关 性(contemporaneously uncorrelated)：
E(t|Xt)=0 且 t~iid(0, 2)
XX= Plim(X’X/n) =E(XtXt’)
E(t|Xt)=0称为解释变量与随机扰动项同期无关。或称Xt为外 生的(exogenous)，否则，称为同期相关或内生的(endogenous)
如果缺少矩条件，如E(Xt2t)0，则上述正规 方程组最后一个方程不存在，则无法求解。
.
这时，如果能寻找一工具变量Z2，满足Cov(Zt2, t) =E(Zt2t)=0，Cov(Zt2,Xt2)0。使得原模型的矩条件变为
E(Xt1t)=0, E(Zt2t)=0 相应的样本矩方程组为
(1/n)Xt1(Yt –Xt1’b1,IV –Xt2b2,IV) =0 (1/n)Zt2(Yt –Xt1’b1,IV –Xt2b2,IV) =0
2、1为对应的参数变量与参数向量。 如果模型设定正确，则有如下总体矩条件
E(Xt1t )=0, E(Xt2t)=0
(1/n)Xt1(Yt-Xt1’b1-Xt2b2) =0 (1/n)Xt2(Yt-Xt1’b1-Xt2b2) =0
.
正规方程组 (1/n)Xt1(Yt-Xt1’b1-Xt2b2) =0 (1/n)Xt2(Yt-Xt1’b1-Xt2b2) =0
EX*tt
E(t) E(Xtt)
0 0
E(Yt1t) E(Yt1t1)
E(Yt-1t-1) 0
注意： （1）如果t不存在自相关，则E(Xt*t)=0，但有 E(Xt+1*t) 0，即不存在同期相关，只存在异期相关。
问题：如果t只存在2阶自相关. ，情形会如何？
• 情形2：存在遗漏变量，且遗漏变量与解释变量相关
.
§8.2 矩估计与工具变量法
一、矩估计 二、矩估计中的工具变量法 三、工具变量法的统计性质 四、弱工具变量带来的估计偏误
.
一、矩估计
内生性的核心问题是 E(t|Xt) 0，而工具变量法 则是寻找一组工具变量Z，满足 E(t|Zt) = 0，并按矩 估计的思想来进行参数估计的。
1、矩估计(Method of Moment, MM) 矩估计是一种类比方法，该方法从总体具有的某 些固有的特征(总体矩)出发，认为如果样本是从某 总体中抽出的，则样本也应具有类似的特征（样本 矩），从而通过计算样本的相关特征，寻找总体参 数的估计。
其中，Yt、Ct、It分别表示国民收入、消费与投资。Ct、Yt也 称为模型的内生变量(endogenous variables)，It称为外生变量 (exogenous variable)。