第七章勒让德多项式

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勒让德多项式

勒让德多项式

勒让德多项式[编辑]维基百科,自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。

数学上,勒让德函数指以下勒让德微分方程的解:为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式(Sturm-Liouville form):上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。

勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。

当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程(或相关的其他偏微分方程)时,问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。

当方程满足|x| < 1 时,可得到有界解(即解级数收敛)。

并且当n 为非负整数,即n = 0, 1, 2,... 时,在x = ±1 点亦有有界解。

这种情况下,随n 值变化方程的解相应变化,构成一组由正交多项式组成的多项式序列,这组多项式称为勒让德多项式(Legendre polynomials)。

勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式,可用罗德里格公式表示为:目录 [隐藏]1 正交性2 部分实例3 在物理学中的应用4 其他性质4.1 奇偶性4.2 递推关系5 移位勒让德多项式6 分数阶勒让德多项式7 参见8 外部链接9 参考文献正交性[编辑]勒让德多项式的一个重要性质是其在区间−1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性,即:其中δmn 为克罗内克δ记号,当m = n 时为1,否则为0。

事实上,推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。

之所以具有此正交性是因为如前所述,勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题:其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。

部分实例[编辑]下表列出了头11阶(n 从0到10)勒让德多项式的表达式:n12345678910头6阶(n 从0到5)勒让德多项式的曲线如下图所示:在物理学中的应用[编辑]在求解三维空间中的球对称问题,譬如计算点电荷在空间中激发的电势时,常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开:其中和分别为位置向量和的长度,为两向量的夹角。

勒让德多项式归一化

勒让德多项式归一化

勒让德多项式归一化
勒让德多项式是一类经典的正交多项式,用于描述数学和物理领域中
的各种现象和问题。

为了方便应用,我们需要将这些多项式进行归一
化处理。

勒让德多项式的归一化可以通过如下方式实现。

首先,我们需要确定
多项式中最高次幂的系数,即归一化因子。

通过求解正交条件和归一
化条件,我们可以得到这个系数的具体表达式。

以勒让德多项式P_n(x)为例,其中n代表多项式的阶数,x为自变量。

首先,我们需要确定归一化因子A_n,它的求解需要满足以下两个条件:
1. 正交条件:不同阶数的勒让德多项式在某一区间上的内积为0,即
∫(-1 to 1) P_n(x)P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)。

这个条件保证了不同
阶数的多项式之间不存在互相干扰。

2. 归一化条件:阶数为n的勒让德多项式在区间内的归一化,即∫(-
1 to 1) [P_n(x)]^
2 dx = 1。

这个条件保证了每个多项式都有相同的
总能量。

通过求解这两个条件,我们可以得到归一化因子A_n的具体表达式。

然后,我们可以将原始的勒让德多项式除以归一化因子,即P_n(x) /
A_n,从而得到归一化后的多项式。

归一化后的勒让德多项式具有一些重要的性质和应用。

它们能够描述
电磁场、量子力学以及各种物理过程中的现象和问题。

归一化后的勒
让德多项式在实际计算中更加方便和可靠,能够提供准确的结果,并
被广泛应用于科学和工程领域。

10-1勒让德多项式

10-1勒让德多项式

§10.1 勒让德多项式一、 引入拉普拉斯方程20u ∇=,在球坐标下为2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 它有分离变量形式的解()(),u R r Y θφ=,其中R (r )满足径向方程()210d dR r l l R dr dr ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭其通解解为()1ll B R r Ar r +=+.(),Y θφ为球函数,它满足球函数方程()22211sin 10sin sin Y Yl l Y θθθθθφ∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (),Y θφ可以进一步分离变量为()()(),Y θφθφ=ΘΦ,()φΦ满足方程2"0m Φ+Φ=其解为()()cos sin 0,1,2,C m D m m ϕϕϕΦ=⋅+⋅=()θΘ满足方程:()22sin sin 1sin 0d d l l m d d θθθθθΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ= ⎪⎣⎦⎝⎭ 该方程可以化为连带勒让德方程()()222212101d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦其中cos x θ=,当m=0,方程退化为勒让德方程:()()221210(1)d d x x l l dx dxΘΘ--++Θ= 这正是本节要研究的问题:m=0,意味着Φ=常数,与φ(方位角)无关,这在物理上代表轴对称问题。

其中(1)受边界条件“在x =1处有限”的限制,构成本征值问题,本征值:()1l l +本征函数:()0y x ,当l 为偶数,()0y x 截止到2lnx x =项()1y x ,当l 为奇数,()1y x 截止到21ln x x+=项其中()2020kk k y x ax +∞==∑,()21121k k k y x a x +∞++==∑系数递推公式为:()()()()22121k kk l k l a a k k +-++=++ 二、勒让德多项式约定最高项 ()()22!2!l kl l a a l =利用上述系数递推公式,反推全部系数,可得()()()()222!1!2!2!kl k l l k a k l k l k --=---如此,可将勒让德方程的解可以表示为:()()()()()22022!1!2!2!l kl k l lk l k P x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑ 2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过的最大整数(),2212ll l l l ⎧⎪⎡⎤⎨=⎢⎥⎣⎦-⎪⎩为偶数,为奇数勒让德多项式举例:()()()()()()()()()()()0122234241cos 11313cos 212411535cos33cos 28113530335cos 430cos 29864P x P x x P x x P x x x P x x x θθθθθθ====-=+=-=+=-+=++ , 1. 基本性质(1)()21n P x +为奇,()2n P x 为偶(2)()()()()()21221!!00,012!!nn n n P P n +-==- ()()()()()()()2!!2222464221!!2123531n n n n n n n =--⋅⋅-=--⋅⋅(3) ()()()11,11ll l P P =-=- (4)()()1,11l P x x ≤-≤≤ 2. 微分表示()()2112!l l l l l d P x x l dx=- 这叫罗德里格斯公式(Rodriguez ) 证明:()()()()()22220111!1112!2!2!!!l ll l l kkkkl kll l llllk k d d d l x Cxx l dx l dx l dx k l k --==-=-=--∑∑ 其中使用了二项式定理,经l 次求导,凡是幂次小于lx 的项最后都为0,所以最后结果值保留不小于l 次幂的项,即22l k l -≥,即2l l ≤上式()()()()()2202222121112!2!!l k l kl l k l k l k l k xl k l k ⎡⎤⎣⎦-=----+=--∑()()()()22022!12!!2!l kl k l k l k x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑此即()l P x3. 积分表示利用积分公式()()()1!2nn c f d n f z i z ζζπζ+=-⎰,令()()21l f x x =-,由导数表示的公式可得()()()2111122ll l lcz P x dz i z x π+-=-⎰这里c 为围绕x 点的任一闭合回路,此积分叫做施列夫利积分;将c 取为圆心在z=x ,半径,i i z x dz d ψψψ-==代入积分表示式中,可得()[]011cos sin cos lll P x x d i d ππψψθθψψππ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰当x =1,很容易求得()11l P =;当()()1,11ll x P =-⇒-=-此外,()[]22211cos sin cos cos sin cos lll P x i d i d ππθθψψθθψψππ⎡⎤≤+=+⎣⎦⎰⎰22211cos sin 1ld d ππθθψψππ⎡⎤≤+==⎣⎦⎰⎰即()1l P x ≤(前提是11x -≤≤,但cos x θ=,所以肯定11x -≤≤)4. 正交性()()()110,k l P x P x dx k l -=≠⎰或者:()()()0cos cos sin 0,k l P P d k l πθθθθ=≠⎰模:若k l =,有:()()()11211221k l l P x P x dx P x dx l --=⇒⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ 这个积分结果为勒让德多项式的模方为:2l N ,即l N =5. 完备性()l P x 是定义在[]1,1x ∈-区间上的函数族,任意一个定义于区间[]1,1-上的连续或者分段连续的函数()f x ,(只有第一类间断点,且是有限个第一类间断点,有限个极值点) 都可以以()l P x 为“基矢”展开,即()()0l l l f x C P x ∞==∑()l P x 的这一性质叫做它的完备性,展开系数l C 可以用前述正交性求得:()()()()1102121cos sin 22l l l l l C f x P x dx f P d πθθθθ-++==⎰⎰ 简证:把()()0l ll f x C P x ∞==∑两边同乘以()kP x()()()()0k l l k l f x P x C P x P x ∞==∑再两边同时取积分()()()()()11121110221k l l k k k k l f x P x dx C P x P x dx C P x dx C k ∞---====⎡⎤⎣⎦+∑⎰⎰⎰⇒ ()()11221k k C f x P x dx k -=+⎰评述:勒让德多项式()l P x 的正交、完备性,使之可以作为“基矢”,任意定义在[]1,1-上的分段连续的()f x 都可以用展开,这样的性质类似于傅里叶级数展开,称之为广义傅里叶展开。

勒让德多项式的应用

勒让德多项式的应用

r→∞
lim v = 0
(1) (2)
∆v = 0, −q v , r =a = r12 − 2r1r cosθ + r 2
在轴对称情况下方程的一般解是

lim v = 0
r →∞
(1) (2)
v (r ,θ ) = ∑ ( Al r l + Bl r −( l +1) ) pl (cos θ )
例题 4
轴对称的边界条件
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ, 确定球外空间的电势 u 。
解:
∆u = 0, r > a 定解问题为: ur |r =a = f = A cosθ
定解问题有轴对称性, 相应的一般解为 u = ∑ l = 0 ( Al r l + Bl r − l −1 ) Pl (cos θ ) 球外解要求 u (∞ , θ )有界,一般解化为 u = ∑ l = 0 Bl r − l −1 Pl (cos θ )
由边界条件得: Ax 2 =
根据完备性:

r


∞ l =0
B l a − l −1 Pl ( x )
2 k + 1 k +1 Bk = a 2

+1
−1
Ax 2 Pk ( x ) dx =
例题 3
一空心圆球区域,内半径为a,外半径为b, 内球面上电势为 f = cosθ,外球面上电 势为零,确定区域内电势u 。 ∆u = 0, a < r < b 定解问题为: 解: u |r =a = cosθ , u |r =b = 0
球内解要求 u ( 0, θ )有界,一般解化为 u = ∑ l =1 Al r l Pl1 (cos θ ) sin ϕ

勒让德多项式

勒让德多项式
§3 勒让德多项式的性质
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr

2
r Pl ( x)
l l 0 2

(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0

( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)

2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l

数理方程勒让德多项式

数理方程勒让德多项式

35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
第6页/共30页
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
第7页/共30页
计算 Pl (0) ,这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项.
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)

nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d,x 0
(2.3)
称为正交性. 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
第2页/共30页
(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
(1.4)
若所讨论的问题具有旋转轴对称性,即定解问题的解与
无关,则 m 0 ,即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
(1.5)
称为 l 阶勒让德(legendre)方程.
第3页/共30页
同样若记 arc cos x , y(x) (x)

勒让德多项式及其性质

勒让德多项式及其性质

由达朗贝尔判别法可知,当n 0不为整数时,这两个级数的收敛半径为1,在()式和()式中,a°与a i可以任意取值,它们起着任意常数的作用,显然,在区间(—1,1 )内yi和y都是方程()的解,所以()是()的通解。

上面()和()幕级数当|x| 1时级数收敛,此外级数是发散的。

并且,我们发现,当n取非负整数时,y1和y2中有一个便退化为n次多项式,它就是方程()在闭区间[-1,1]上的有界解。

此时,适当的选定这个多项式的最高次幕系数an,所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第一类勒让德函数,记作P n X,下面我们来推导勒让德多项式R X的表达式。

①当n为正偶数时%退化为n次多项式。

为求得巳X的表达式,在%中我们通过a n来表示其它各项的系数。

为此,将系数递推关系式改写成下列形式:(k 2)(k 1) 一a k O k 2(k n)(k n 1) 2()在()式中取k n 2,得:n(n 1) aa n 2an2(2 n 1) n()勒让德(legendre)多项式及其性质一. 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的,所以我们首先引入勒让德方程,以及勒让德方程的幕级数解,勒让德方程的表达式如下:Q II I (1 x2)y 2xy它的幕级数解如下:y y i y2其中:2ky i a2k Xk 02k 1y2 a2k 1X ak 0n(na o[1(n1)y 02!吨X33!其中n为非负实数()()n(n 2)(n 1)(n 3)X4]4! ()(n 1)(1 3)(n 2)(n 4)X5✓v5!]()2n 2m !an 2m1m2n m!(n m)!(n 2m)!(m 0,1,(\!7nXI2rnn- 2n/1%\IJn/(. rrX.n 2mx()般地,我们有我们将这些系数带入()中,并把此时的 y 记作R (x ),可得:这就是当n 为正偶数时勒让德多项式 ②当n 为正奇数时丫2退化为n 次多项式,我们把丫2记作R (x ),同理可得:n 1了、2,八m(2n 2m)!p n (x)( 1) m02n m!(n m)!(n 2m)! 把()和()写成统一的形式,得习惯上取an 为 a n(2n)2n ( n!)2()于是有: an 2n(n 1)2n(2n 1)(2n 2)! 2(2 n1)2n n(n 1)!n(n 1)(n 2!)(2n 2)! 2)!2n(n 1)!(n()在()式中取k n4,并利用a n 2之值得:(2n 4)!a n(n 2)(n 3)a 4(2 n 3) n 22(n 2)(n 3)| 4(2n 3) I 1)(2n 2)!2n (n 1)!(n 2)!(1)2Y(2!)(n 2)!(n 4)!()由上述讨论可知,当n 为非负整数时,力和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式,而另一个是无穷 级数,记作Q n (x),称为第二类勒让德函数,此时方程()通解为:y Cf n (x) C 2Q n (X )()特别当n 0,1,2,3,4,5时,由()和()式得:1 2P o (x) 1 P(x) xP 2(x) 2(3X 1) 1311 5 3F 3(x)(5x 3x)P 4(x) -(35x 4 30x 2 3)F 5(x)(63x 70x 15x) 288它们的图形如下:P n (X)m 0m —(2n 2m )!—Xn 2m2n m!(n m)!(n 2m)!()其中[2]表示 2的整数部分-05c勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数: 试将函数(x,z)(1 2xz z2) 2() 展开成z的幂级数(x,z)nA n Zn 0()可以证明(x, z)级数展开式中z n的系数恰好是勒让德多项式, 最终得到(x,z)(1 2xz Z2) 12Fn(x)z nn 0()因此称(x, z)为勒让德多项式的母函数。

勒让德多项式的权函数

勒让德多项式的权函数

勒让德多项式的权函数勒让德多项式的权函数可以被用作求解数学问题的工具,并用于给出一个有效的方案来适用于各种情境。

在过去的几十年中,由勒让德多项式的权函数问题引发了许多研究工作。

自古以来,人们就认识到它极具有概化性,能够提供以天然语言和抽象关系表达的普遍性解决方案。

本文将对这个传统的科学工具进行一次全面的介绍,从它的历史沿革和相关的数学理论,到其在机器学习和优化等领域的应用,使人们对它有一个更深入的了解。

2让德多项式的权函数的简单介绍勒让德多项式的权函数是一种求解数学问题的工具,它能够很好地表达多项式函数。

这种方法也可以表示多维函数,并通过勒让德多项式参数进行拟合。

它可以用于多维函数的估计、抽象形式描述多维函数问题以及参数估计,等等。

这种方法通常被称为“勒让德多项式变换”或“勒让德多项式拟合”。

3让德多项式的历史勒让德多项式的权函数可以追溯到古希腊数学家勒让德(Tyrone Lehrand)的时代。

他在六世纪的手稿中,提出了一种求解数学问题的方法,包括在数学方程中求解未知数。

早在十九世纪,多项式的拟合已被广泛应用到数学的各个领域,比如天文学,物理学和测量,以生成更准确的数据。

4让德多项式的数学基础有关勒让德多项式的权函数的数学原理,可以从四个方面来谈:多项式变换、多项式拟合、多项式表达式和多项式估计。

多项式变换是指使用有效解决方案,将多项式从一种表达方式转变到另一种表达方式的过程。

比如,将多项式从未知数表达式转变为固定参数表达式;或者,将多项式从多变量表达式转变为单变量表达式。

多项式拟合是指通过拟合给定的数据点,得到一系列参数和对应的多项式函数,用来表示待估计函数。

这种拟合方法通常采用最小二乘法,来得到参数和系数。

此外,多项式表达式可以提供一种抽象和简洁的表达方式,用于表示函数的行为。

最后,多项式估计可以用来估计参数的值,以及这些参数的改变如何影响到函数的行为。

5让德多项式的应用凭借其易用性和相关性,勒让德多项式的权函数已经被广泛用于机器学习和优化领域。

7勒让德多项式

7勒让德多项式

| 确定常数。由(3) 有 令 =∑ = (
= |
0
0≤ < <∞
≤ ≤ ( , ) = ∑∞ = ( ( ) ) ,因此
(1) (2) (3)
= 0,故 )由(1)得到 = (1 − = 3 2 = )
= (1 − )− ⋯
3 (1 − 4 )
) (4)
=
(1 −
比较左、右两边系数得 = 于是问题的解为 ( , ) = ∑∞ ( ) 其中 = , = 0,1,2, ⋯如(4)所示。 8 在半径为 1 的球内求调和函数 u ,使其在球面上满足 解:在球面坐标系 1 sin sin 由于边界条件不依赖于 ,所以 u 也不依赖于 , 所提问题可化为下列边值问题 = + 1 | = cos + 1 sin sin 1 , = , = ,⋯
−2=4 ( ) )+ ( )+ ( ) + ⋯比较得到 = 0, = 0, = 4, = 0, > 2. ( )= ( ) = 2 (3 − 1)
于是问题的解为 ( , ) = ∑∞
8 在半径为 1 的球内求解 Laplace 方程,已知在球面上 | = 0 0≤ < ≤ ≤
解:建立定解问题为 | 利用球坐标解定解问题 = + =0 0≤ = < 0 ≤ ≤
= ( , , )满足的方程为 + =0 ( < )
由于边界条件与 无关,因此知 与 无关,故可令 = ( , ) = ( ) ( ),代入方程,并由 原点处有界的自然条件得 ( )= 于是问题的一般解为 ( , ) = ∑∞ [ 由边界条件 +
( )
+
(
)
= 0,1,2, ⋯ ( ) ] ( )

勒让德多项式

勒让德多项式

数学物理方法于承斌泰山医学院第十六章勒让德函数球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式,最早研究的是法国数学家勒让德,故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。

§16.1 勒让德多项式的定义及表示16.1.1. 定义及级数表示oϕθr xyz勒让德方程0,21(1)2c n n ⋅+−x+ x+4(23)2(1)!(2)!(24)!,n n n n n −−−−,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑()l P x 221112122112(!)d d 1d (1)d d (1)d d (1)d d l ll l l l llll x l x x x x x x−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫注意到lllx x x )1()1()1(2+−=−以1±=x 为l 级零点,故其(1)l −阶导数121d (1)d l ll x x −−−必然以1±=x 112121222111(1)d (1)d (1)d 2(!)d d l l l ll ll l x x N x l x x−+−+−−−−=∫再进行l 次分部积分,即得221222221(1)d (1)(1)d 2(!)d ll llll l x N x x l x−−−=−∫为一级零点,从而上式已积出部分的值为零lx )1(2−是l 2次多项式,其l 2阶导数也就是最高幂项lx2的l 2阶导数为)!2(l .故12221(2)!(1)(1)(1)d 2(!)ll llll N x x xl −=−−+∫再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1ll l l l ll l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点.至此,分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次,)1(+x 的幂次升高一次,且积分乘上一个相应的常数因子.继续分部积分(计l 次),即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121ll lll l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为122+=l N l ),2,1,0( =l 且有112P ()P ()d 21l lx x x l −=+∫=2m P ++16.2.4. 勒让德多项式的递推公式利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−21(6)(1)'()()()n n n x P x nxP x nP x −−=−1(7)(21)()'()'()nln n l l P x P x P x +=+=+∑例16.2. 1求积分11P ()P ()d l n I x x x x−=∫【解】利用递推公式(2)11(1)P ()(21)P ()P ()k k k k x k x x k x +−+=+−.(1)k ≥故有1111111111111P ()P ()d {[(1)P ()P ()]}P ()d 211 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l lx x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nl n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪−≠±⎩例16.2. 2求积分1P ()d l I x x=∫【解】利用递推公式(5)11110011101111P ()d d[P ()P ()]2111[P ()P ()][P (0)-P (0)]2(120)1=1l l l l l l l l I x x x x l x x l l l P +−−+−+−==−+=−=+++∫∫112x 0(1)(0)(21)0(0)(0)n n n n P n P nP +−+=+−利用递推式:令=代入11(0)(0)1l l lP P l −+−=+(1)(21)!!21(22)k k l k k −−=++!!02l k =111001P ()d d 12x x x x l ===∫∫11000P ()d d 1x x x l ===∫∫⎧⎪=⎨⎪⎩例16.2. 3求积分1P ()d l Ix x x=∫【解】利用递推公式(5)1111001111011021012011P ()d d[P ()P ()]211[P ()P ()]|[P ()P ()]d 2121P (0)P (0)P (0)1[-] = -212(2)(1)1d 021d 13021(1)(23)!!2(22)!!l l l l l l l l l l k I x x x x x x l x x x x x x l l l l ll l x x l x x l l k k l k +−+−+−−+==−+=−−−++=−+++−======+−−=+∫∫∫∫∫k⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1101P ()d P (0)1∵l l x x l −=+∫112(0)(0)1(0)(0)1l l l l lP P l lP P l −+−−=+−=−例16.2. 4利用递推公式(2)可得如下结果;212021P ()P ()P ()33x x x x x ==+3212021P ()[P ()P ()]33x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅+3123P ()P ()55x x =+43142023841[P ()P ()]P ()P ()P ()553575x x x x x x x =+=++1()P x x=221()(31)2P x x =−331()(53)2P x x x =−4241()(35303)8P x x x =−+111()[(21)()()]1l l l P x l xP x lP x l +−=+++特别1()P x x=∵利用递推公式(2)P (cos )n θ,这时有0(cos )P (cos )n n n f C θθ+∞==∑θcos =x ,此时勒让德方程的解为在实际应用中,经常要作代换π21(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=∫其中系数为结论1:设k 为正整数,可以证明:222222200212121232311P ()P ()P ()P ()P ()P ()k k k k k k k k k k x C x C x C x xC x C x C x −−−−−−−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+结论2 :根据勒让德函数的奇偶性,若需展开的函数()f x 为奇函数,则展开式的系数20n C =;若需展开的函数()f x 为偶函数,则展开式的系数.210n C +=0,1,2,3,n =⋅⋅⋅例16.2.6以勒让德多项式为基,在[-1,1]区间上把3()234f x x x =++展开为广义傅里叶级数.【解】本例不必应用一般公式,事实上,()f x 是三次多项式,设它表示为3323012323021323234P ()111(31)(53)221335()()2222n nn x x C x C C x C x C x x C C C C x C x C x=++==⋅+⋅+⋅−+⋅−=−+−++∑比较同次幂即得到3210421, 0, , 455C C C C ====由此得到30132142344P ()P ()P ()55x x x x x ++=++例16.2.7将函数cos 2 (0π)θθ≤≤展开为勒让德多项式P (cos )n θ的形式【解】用直接展开法令cos x θ=,则由22cos 22cos 121x θθ=−=−我们知道:20121P ()1, P (), P ()(31)2x x x x x ===−可设200112221P ()P ()P ()x C x C x C x −=++10C =2202121(31)2x C C x −=+−由20,x x 项的系数,显然得出2041, 33C C ==−02021414cos(2)P ()P ()P (cos )P (cos )3333x x θθθ=−+=−+考虑到勒让德函数的奇偶性,显然。

legendre多项式推导

legendre多项式推导

legendre多项式推导勒让德多项式(Legendre polynomials)是一类重要的正交多项式,其推导过程可以通过递归关系和积分方法得到。

1. 递归关系推导:勒让德多项式可以通过以下递归关系定义:P_0(x) = 1P_1(x) = x(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)其中,P_n(x)表示阶数为n的勒让德多项式。

利用这个递归关系,我们可以依次计算出更高阶的勒让德多项式。

2. 积分方法推导:另一种推导勒让德多项式的方法是使用积分。

设f(x)为一个可积函数,我们想要将它展开成勒让德多项式的级数形式。

首先假设可以将f(x)展开为如下形式:f(x) = ∑_{n=0}^∞ a_n P_n(x)我们的目标是求解每个a_n的值。

为了实现这一点,我们将上述等式两边乘以P_m(x)并在区间[-1,1]上进行积分,可以得到:∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx = ∑_{n=0}^∞ a_n ∫_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx由于勒让德多项式是正交的,即∫_{-1}^1 P_n(x)P_m(x)dx = 0 (n ≠ m),所以上述等式简化为:∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx = a_m ∫_{-1}^1 P_m(x)P_m(x)dx =a_m(c_m),其中c_m是一个常数。

我们可以通过计算∫_{-1}^1 f(x)P_m(x)dx 来求解 a_m 的值,从而得到展开式中每个项的系数。

综上所述,勒让德多项式可以通过递归关系或积分方法推导出来,并且可以用于展开函数。

其在物理学、数学和工程等领域中有广泛的应用。

勒让德多项式

勒让德多项式

课程设计报告n 阶勒让德(Legendre)多项式一、设计任务与目标n 阶勒让德(Legendre)多项式可以递归定义如下:⎪⎩⎪⎨⎧>---===--1/))(*)1()(**)12((101)(21n nx p n x p x n n xn x p n n n(1) 输入n 和x 的数值,输出此时勒让德多项式的数值。

例如输入2,1,应输出1/2。

(2)输入n 的数值, 输出此时的勒让德多项式。

例如输入2,应输出3/2 x 2 - 1/2。

本次上机实践所使用的平台和相关软件。

平台:Windows xp 相关软件:VC6.0二、方案设计与论证对于这个题目,我分析了一下,第一问是要求我要用递归方法去求最终的值,所以我在程序中编写了子函数treat ,并在主函数main 中调用,在子函数中不断调用自己本身。

第二问,由于不能按照常规来做,只能够想一些特别的方法,例如:利用字符串输出,但这种方法不行。

经老师提醒,先做好这个表达式的每一项的情况,然后再将他们整合输出,于是我选择了这个方法并向着这个方向去做,后来在网上找了相关的资料,我发现了这么一条公式:∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-----=202)!2()!(!2)!22()1()(n m mn nmn x m n m n m m n x p ,这一条公式可以求出表达式的每一项,我利用四个数组,第一个数组是记录m)1(-的结果;第二个数组是记录)!2()!22(m n m n --约简后的结果;第三个数组是记录)!(!2m n m n -约简后的结果;第四个数组是记录m n 2-的结果。

最后输出每一项并整合最终的结果。

在计算)!2()!22(m n m n --之前,我采用了没有约简的方法去做,结果数值超出了我设定的int 型数据的范围,导致我只能够输出n=6的情况,n=7输出错误。

后来利用约简的方法,于是结果达到了n=8的情况。

接着我采用了double 型,结果能输出n=10的情况,但是在运行的过程中发现,输出很慢。

勒让德多项式生成函数的推导

勒让德多项式生成函数的推导

勒让德多项式生成函数的推导
,文章题目是“拉德多项式生成函数的推导”
“拉德多项式生成函数”,它是一种强大的代数工具,用于推导多项式的生成、封装、表达式处理等。

关于拉德多项式生成函数的推导,让我们一起来认识一下吧。

首先,我们知道拉德多项式(拉德多项式)是一种多项式形式的表示,它的形
式可以用来描述多项式的性质,从而可以帮助我们推导出多项式的生成算法,形成拉德多项式生成函数。

拉德多项式生成函数是一种有效的形式,它使用一组参数来定义多项式,这允
许我们使用拉德多项式生成函数表达特定的多项式,并利用多项式的特性来封装特定的函数。

对拉德多项式的定义来说,以下两项变量能显著作用:
第一,次数变量n,次数变量用来描述多项式的次数,拉德多项式的精确定义
是在n的不同情况下的,n的取值可以根据实际的需求变化。

第二,系数变量α,系数变量是拉德多项式的核心组成部分,α决定多项式
的具体形式,α下面的变量称为权重,也是多项式的核心参数,它决定着多项式
的多项式,当它发生变化时,多项式也会发生变化。

拉德多项式生成函数广泛应用于计算机科学,数值计算和数学计算领域,它能
有效的封装多项式表达式,并且还能准确的推导出多项式的到特定的数值,从而为科学家们的研究提供了可靠的计算和分析方法。

总之,拉德多项式生成函数是由次数变量和系数变量结合构成的,它的主要功
能是用来推导多项式的生成,封装多项式表达式等,是一种重要的数学工具,它既可以提高计算机科学和数值计算领域的工作效率,又能给科学家们开拓出更加良好的研究方向。

勒让德多项式生成函数

勒让德多项式生成函数

勒让德多项式生成函数
伯努利(Bernoulli)多项式是一种多项式函数,它的参数和系数都是常数,因此可以用来描述数学和物理相关的数据。

伯努利(Bernoulli)多项式由拉斯穆因(Lambert)生成,基本形式为:
(1)B(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n
其中,a_i是常数,n是多项式的阶数。

伯努利(Bernoulli)多项式通过对多项式中的项进行外乘,来求解不同阶多项式,利用易于计算的二项式来完成。

其算法也称为拉斯穆因(Lambert)求多项式的循环解法。

拉斯穆因(Lambert)算法利用二项式的特性,使得每次计算只需要计算两个多项式,并通过把其相乘,获得结果。

它具有较高的计算效率和较低的计算复杂性,因此被广泛应用于支持微型系统中的多项式计算。

此外,由于拉斯穆因(Lambert)算法支持任意阶的伯努利(Bernoulli)多项式的生成,因此它也可以用来表示任意类型的函数,从而被广泛用于科学和工程计算中。

因此,伯努利(Bernoulli)多项式是一种强大的算法,可以支持任意的函数的生成,它的运算效率和计算复杂度也非常高,因此它可以用于科学和工程计算中。

具有这样强大的算法,我们将能够更好地研究各种函数特性,并发现更多用途。

勒让德多项式的实验总结与要求

勒让德多项式的实验总结与要求

勒让德多项式的实验总结与要求在数学领域中,以勒让德多项式是一类特殊的多项式,具有许多重要的性质和特征。

通过实验研究以勒让德多项式,可以更深入地理解其规律和应用。

在进行实验总结和要求时,我们需要遵循一定的方法和原则,以确保研究的准确性和可靠性。

实验总结:通过实验可以验证以勒让德多项式的性质和特征。

例如,通过计算不同阶数的以勒让德多项式在给定点的取值,可以观察其随阶数增加而变化的规律。

同时,可以通过绘制曲线图表的方式直观地展示不同以勒让德多项式的形状和特点。

实验可以用来探索以勒让德多项式在实际问题中的应用。

以勒让德多项式在物理学、工程学和计算机科学等领域具有广泛的应用,通过实验研究可以深入了解其在不同领域中的具体应用场景和效果。

实验还可以帮助我们深入理解以勒让德多项式的推导和性质。

通过实际操作和计算,可以更直观地感受到以勒让德多项式的数学原理和运算规律,从而加深对其理论基础的理解和掌握。

实验总结也可以用来比较不同方法和技术在研究以勒让德多项式时的效果和优劣。

通过对比实验结果,可以找出更有效的研究方法和策略,提高研究的效率和准确性。

要求:在进行以勒让德多项式的实验总结时,需要注意以下几点要求:1.确保实验数据的准确性和可靠性。

在实验过程中,要注意数据采集的精确性和实验操作的规范性,避免因误操作或数据错误导致实验结果的偏差。

2.注意实验的可重复性和可验证性。

为了确保研究结果的科学性,需要详细记录实验过程和方法,使其他研究者能够重复实验并验证结果。

3.注重实验结果的分析和解释。

在实验总结中,除了呈现实验数据和结果外,还应对实验结果进行深入分析和解释,揭示其中的规律和结论。

4.尊重科学研究的原则和规范。

在进行实验研究时,要遵循科学诚实、客观中立的原则,避免数据篡改和结果夸大等不端行为。

通过以上实验总结与要求,可以更全面地了解以勒让德多项式的特性和应用,提高对其的认识和理解,为进一步深入研究和应用奠定基础。

希望本文能为相关研究者提供一定的参考和指导,推动以勒让德多项式领域的发展和进步。

勒让德多项式前几项的值

勒让德多项式前几项的值

勒让德多项式前几项的值勒让德多项式是一种重要的数学概念,它可以用来解决许多数学问题。

它有许多应用,如物理、几何、统计学和金融领域等。

勒让德多项式是由拉丁文字母L(也就是Lagrange)和D(也就是Doppler)组成的。

它是一种描述函数和多项式变化的通用方法。

勒让德多项式的基本原理是,它允许在提供的数据点上拟合一个函数,获得一组多项式参数,从而得到任意x处的函数值。

从最初的原理可以看出,任何多项式都可以拟合到任何一个提供的数据点上,因此可以将任意的多项式定义为一个勒让德多项式。

接下来,我们要讨论的是勒让德多项式前几项的值。

首先,要了解勒让德多项式的形式是怎样的,它是一种拟合函数的方法,它允许在提供的数据点上拟合一个函数,以获得多项式参数,从而可以在任意x处计算函数值。

在勒让德多项式中,我们考虑的是x的多项式,那么可以得到如下勒让德多项式:f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+......其中,a_0、a_1、a_2、a_3等等,是多项式的系数,我们可以根据它们来决定多项式的前几项的值。

首先,我们来看一看多项式的第一项,它代表多项式中x的0次方。

它的值可以由多项式系数来决定,也就是a_0。

由此可以得出,多项式第一项的值为a_0。

接着,我们来看一看多项式的第二项,它代表多项式中x的1次方。

它的值可以由多项式系数来决定,也就是a_1,所以多项式的第二项的值为a_1。

之后,我们来看一看多项式的第三项,它代表多项式中x的2次方。

它的值可以由多项式系数来决定,也就是a_2,所以多项式的第三项的值为a_2。

同样的,第四项、第五项、第六项等,它们也同样可以由多项式系数a_3、a_4、a_5等来决定,所以,多项式前几项的值可以由对应的多项式系数来决定。

勒让德多项式是一种重要的数学概念,它可以用来解决许多数学问题,像物理、几何、统计学和金融领域等,它的多项式前几项的值可以由相应的多项式系数来决定。

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第7章 勒让德多项式在第三章中我们介绍了一类特殊函数—贝塞尔函数,我们利用贝塞尔函数给出了平面圆域上拉普拉斯算子特征值问题的解,从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题。

为求解空间中球形区域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题,需要引入另一类特殊函数—勒让德(Legendre )多项式,用于求解空间中球形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。

需要说明的是勒让德多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题的重要工具,在自然科学的其它领域也有许多的应用。

§7⋅1勒让德多项式本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题,为分离变量法的进一步应用作准备。

7.1.1 勒让德方程及勒让德多项式 考虑如下二阶常微分方程2[(1)]0d dyx y dx dxλ-+=,11x -<< (7.1.1) 其中0λ≥为常数,方程(7.1.1)称为勒让德方程。

设α是非负实数,使得(1),λαα=+则方程(7.1.1)可表示成如下形式2(1)2(1)0x y xy y αα'''--++=,11x -<< (7.1.2) 方程(7.1.2)满足第3章中定理3.1的条件,其中222(1)(), ()11x p x q x x x αα+=-=-- 故(7.1.2)在区间(1,1)-有解析解,设其解为0()k k k y x a x ∞==∑ (7.1.3)其中(0)k a k ≥为待定常数。

将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得22121(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a xx ka xa x αα∞∞∞--===---++=∑∑∑或20(1)(2)(1)2(1)0kkkkk k k kk k k k k k ax k ka x ka x a x αα∞∞∞∞+====++---++=∑∑∑∑ 即20[(1)(2)()(1)]0k k k k k k a k k a x αα∞+=+++-++=∑比较两端k x 的系数,可得2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 由此式可得系数递推关系2()(1), 0(1)(2)k k k k a a k k k αα+-++=-≥++ (7.1.4)当系数k a 指标分别取偶数和奇数时,(7.1.4)可表示为22(1)(22)(21), 1(21)2k k k k a a k k k αα--++-=-≥-212(1)1(21)(2), 12(21)k k k k a a k k k αα+-+-++=-≥+连续使用上述递推关系可知,当1k ≥时20(2)(22)(1)(3)(21)(1)(2)!k k k k a a k αααααα-⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+-=-211(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1)(21)!k k k k a a k αααααα+--⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=-+记220k k a c a =,21211k k a c a ++=, 可得勒让德方程(7.1.2)的如下两个解2,120()kk k y x c x α∞==∑, 21,2210() k k k y x c x α∞++==∑ (7.1.5)其中011c c ==。

显然,,1()y x α与,2()y x α线性无关,它们构成了勒让德方程(7.1.2)的基解组。

因此勒让德方程的通解为0,11,2()()+ ()y x a y x a y x αα= 其中01,a a 为任意常数。

当0α≥不为整数时,由于对0k ∀≥,2k c 和21k c +都不等于零,所以,1()y x α和,2()y x α都是无穷级数, 称为α阶勒让德函数。

根据第3章定理3.1,级数,1()y x α和,2()y x α在区间(1,1)-内均处处收敛。

进一步可证明[8],这两个无穷级数在端点1x =±是发散的, 而且发散到无穷大。

当α为非负整数n 时,由( 0)k c k ≥的表达式易见:若n 为偶数,则当 2k n >时,20 k c =;若n 为奇数,则当21k n +>时,210k c +=。

因此,当α为非负整数n 时,,1()n y x 和,2()n y x 中必有一个退化为n 次多项式,而另一个仍是无穷级数。

如果选择常数a ,使其中的n 次多项式与a 之积的首项系数(即n x 的系数)等于2(2)!2(!)n n n ,那么相乘所得的n 次多项式就称为n 阶勒让德多项式, 记为()n P x 。

这时,,1,2{(), ()}n n y x y x 中的另一个无穷级数称为第二类n 阶勒让德函数, 记为()n Q x 。

()n Q x 在区间(1,1)-内处处收敛, 但在端点1x =±发散,而且发散到无穷大(参看参考文献[8])。

总结上述,我们有如下结论。

定理7.1 对任意非负实数(1)λαα=+,其中0α≥,勒让德方程(7.1.1)在区间(1,1)-上存在由(7.1.5)所示的两个线性无关解。

当α不为整数时,级数,1()y x α和,2()y x α在端点1x =±发散到无穷大。

当且仅当α为非负整数n 时, 勒让德方程(7.1.1)存在有界解。

而且,当α为非负整数n 时,勒让德方程(7.1.1)的有界解由n 阶勒让德多项式()n P x 表示(即由()n P x 线性表示),另一个与()n P x 线性无关的解可由第二类n 阶勒让德函数()n Q x 表示,()n Q x 在区间(1,1)-上是无界的。

定理7.1表明,当α为非负整数n 时,勒让德方程(7.1.1)的通解可表示为12()()()n n y x c P x c Q x =+勒让德多项式不仅可用于求解勒让德方程,还可以用来求解其它相关的微分方程。

考虑如下微分方程222d d [(1)]()0, 11d d 1z m x z x x x xλ-+-=-<<- (7.1.6) 其中m 为正整数,(1)λαα=+,0α≥。

(7.1.6)称为勒让德伴随方程。

对(7.1.6)中方程作变量代换:22(1)()m z x u x =-,直接计算可得()u x 满足如下方程2(1)2(1)[(1)]0x u m xu m m u λ'''--++-+= (7.1.7)对勒让德方程(7.1.2)两边关于x 求m 阶导数得2(2)(1)()(1)()()(1)2(1)220m m m m m m x y mxy m m y xy my y λ+++------+=整理可得2(2)(1)()(1)2(1)[(1)]0m m m x y m xy m m y λ++--++-+= (7.1.8)比较(7.1.7)和(7.1.8)可知,()m u y =是(7.1.7)的解,而y 是勒让德方程(7.1.2)的解。

因此,(7.1.7)的通解为()()1,12,2()()()m m u x c y x c y x αα=+ 其中,1()y x α和,2()y x α由(7.1.5)给出。

由变换22(1)()mz x u x =-可知, 方程(7.1.6)的通解为2()2()221,12,2()(1)()(1)()m mm m z x c x yx c x y x αα=-+- (7.1.9)由定理7.1知, 仅当(1)n n λ=+,勒让德伴随方程(7.1.6)有有界解2()2()(1)()m m n z x x P x =- (7.1.10)需要说明的是,利用(7.1.5)可建立勒让德多项式()n P x 的具体表达式,但我们有更好的技巧来研究()n P x 的性质,请看节7.1.2和7.1.3的讨论。

7.1.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式勒让德多项式和三维拉普拉斯方程基本解有密切的联系。

在第五章中已经知道,三维拉普拉斯方程基本解为001(,)4P P P P r πΓ=其中0(,,)P ξηζ是任意给定的点, 点3(,,)P x y z R ∈, 00||P P r P P =。

0(,,)(,)u x y z P P Γ=表示在0(,,)P ξηζ处放置的单位正电荷在(,,)P x y z 处产生的电位。

可验证当0(,,)(,,)P x y z P ξηζ≠时, (,,)u x y z 满足三维拉普拉斯方程0u ∆=。

若记 00,r OP r OP ==,0OP 和OP 的夹角为ϕ,由余弦定理可得0p p r =故有0001, 1, 1.p pr r r r r ρρ=⎧=<⎪⎪=⎨=< 引入函数(,)x ψρ,其定义如下122(,)(12), 0,1x x x ψρρρρ-==+-≥≤(7.1.10)由于20(2)0x ρρρ=-=,所以(,)x ψρ可在0ρ=的某一邻域展成Taylor 级数。

利取12α=-时二项式Taylor 级数公式可得122222232(12)1351(2)(2)(2)2816(1)(1) +(2)!n x x x x x n x n ψρρρρρρρρραααρρ-=+-=--+---+--+-+(,)(7.1.11)将(7.1.11)中2(2)n x ρρ-展开,注意到对任意正整数n ,含n ρ的项均来自于(7.1.11)中的前n 项,故n ρ的系数至多为变量x 的一个n 次多项式。

可以证明[2]n ρ的系数就是勒让德多项式()n P x ,即对于任意的[1,1]x ∈-,有(,)()n n n x P x ψρρ∞==∑。

(7.1.12)由于勒让德多项式()n P x 可由(7.1.12)确定,就称函数(,)x ψρ为勒让德多项式的生成函数或叫母函数,利用该函数可以得到勒让德多项式的一些性质。

下面利用(7.1.12)式推导勒让德多项式的递推公式。

利用(7.1.10)对(,)x ψρ关于ρ求导,易得下面一阶微分方程2(,)(12)()(,)x x x x ψρρρρψρρ∂+-=-∂ (7.1.13) 将(7.1.12)代入到(7.1.13)中得2100(12)()()()n n n n n n x nP x x P x ρρρρρ∞∞-==+-=-∑∑整理可得110(1)()(21)()()0nnn n n n n n n n Px n xP x nP x ρρρ∞∞∞+-===+-++=∑∑∑令n ρ的系数为零便得11(1)()(21)()()0, 0n n n n P x n xP x nP x n +-+-++=≥ (7.1.14)(7.1.14)称为勒让德多项式的递推公式。

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