微分几何陈维桓习题答案3

习题答案3

p. 148 习题4.1

1. 求下列曲面的第二基本形式：

(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；

(2) 旋转椭圆抛物面：()2212

,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；

(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，

()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈-

)21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=

.

又 ()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，

()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.

所以

222cos ab L b ϕ-=+，0M =

，N =， )222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++.

(3) (),,2u r a a v =，(),,2v r a a u =-，()2,,u v r r a u v v u a ⨯=+--. 不妨设0a >. 则

)2,,22n u v v u a a v =+--++，0uu vv r r ==，()0,0,2uv r =，

4II adudv

-=.

(4) (),,0u r f g ''=，()0,0,1v r =，(),,0u v r r g f ''⨯=-

，)21,,0n g f f ''=

-'+， (),,0uu r f g ''''=，0uv vv r r ==，2II =.

(5) ()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v f '=-，()sin ,cos ,u v r r f v f v u ''⨯=-，

)2sin ,cos ,n f v f v u f ''=-'+， 0uu r =，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,vv r u v u v f ''=--，

)222

II 2f dudv uf dv f u ='''-+'+. □ 2. 求下列曲面的第二基本形式：(3) 3xyz k =，0k ≠是常数.

解. 由条件知在曲面上30xyz k =≠，并且

0yzdx xzdy xydz ++=，即 1110x dx y dy z dz ---++=. (1)

因此3111(,,)(,,)yz zx xy k x y z ---=是曲面的法向量. 不妨设0k >. 则单位法向量

()2221/2111(),,n x y z x y z -------=++.

于是

()()2221/22221/2111222[()]().,,,,dn d x y z x y z x y z x dx y dy z dz --------------=++-++ 由于()111(,,),,dr x y z dx dy dz ---=⊥，故曲面的第二基本形式为

()2221/2222222II ()dr dn x y z x dx y dy z dz ------

-=-⋅=++++.

如果由(1)解出111()z dz x dx y dy ---=-+，再代入上式可得

2222112

22222II x dx x y

----+==++ 22222222||xy x = □

3. 求曲线()r r s =的切线曲面的第二基本形式，其中s 是该曲线的弧长参数. 解. 设正则曲线()r r s =的曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ，它的切线曲面的参数方程为 (,)()()R s t r s t s α=+.

则

()dR ds dt t αακβ=++，s R t ακβ=+，t R α=，s t R R t κγ⨯=-，0t >.

n γ=-，dn ds τβ=，2II dR dn t ds κτ=-⋅=-. □

6. 证明：如果在可展曲面S 上存在两个不同的单参数直线族，则S 是平面.

证明. 设可展曲面S 的参数方程为()()r a u vl u =+. 则沿着直母线S 的单位法向量n 是常向量，即()n n u =. 所以第二类基本量中

0,0u v v v M r n N r n =-⋅≡=-⋅≡.

剩下的只要证明0L ≡，从而由定理1.1，S 是平面.

为此，设在S 上任一固定点00(,)u v ，异于直母线的另一族直线中过该点的直线L 的弧长参数方程为(),()u u s v v s ==，并且00(0),(0)u u v v ==. 则L 在0s =处的单位切向量是

00000000(0)(,)(0)(,)(0)[()()](0)()(0)u v r r u v u r u v v a u v l u u l u v '''''''=+=++， 它不能与S 在00(,)u v 的直母线的切向量0()l u 平行，故(0)0u '≠.