上海市七宝中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题

上海市七宝中学【最新】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．方程cosx =sin π6的解集为________.2．设{}n a 为等差数列，若159a a a π++=，则28a a +=_____． 3．求值：2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦_____．4．函数()arccos sin y x =，2,33x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭的值域是_____．5．设数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =-，()*1102n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为_____．6．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．7．若()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）上至少含有30个零点，则b a -的最小值为_____．8．设数列{}n a 的通项公式为 ,1?31,32n n n n a n ≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()12lim n n a a a →∞+++=_____．9．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，12,21,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，则9S =_____.10．对于正项数列{}n a ，定义12323n nnH a a a na =++++为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22n H n =+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 11．ABC 中，222sin A sin B sin C sinBsinC ≤+-，则A 的取值范围为______． 12．关于x 的方程()224 arctan cos 0x x a π-+⋅=只有一个实数根，则实数a =_____．13．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知()()3222014220132sin3a a π-+-=，()()3201320132015220132cos6a a π-+-=，则2014S =_____．14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）二、单选题15．已知{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，且lim 2nn na b →∞=，12n n S a a a =++⋯+，则22lim nn nS nb →∞的值为（ ） A ．2B ．-1C ．1D ．不存在16．设{}n a 是公比为()01q q <<的无穷等比数列，若{}n a 的前四项之和等于第五项起以后所有项之和，则数列21{}n a -是（ ） A ．公比为12的等比数列 B．公比为2的等比数列 C．公比为2或-D或-的等比数列 17．函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 18．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列命题：（1）若数列{}n a 是递增数列，则数列{}n S 也是递增数列； （2）数列{}n S 是递增数列的充要条件是数列{}n a 的各项均为正数；（3）若{}n a 是等差数列(0)d ≠，则120k S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=的充要条件是120k a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=； （4）若{}n a 是等比数列且2k ≥，则120k S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=的充要条件是10k k a a ++=； 其中，正确命题的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三、解答题19．已知函数()()222f x x n x n =+--的图象与x 轴正半轴的交点为0(),n A a ，1,2,3,n =⋯．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令13(1)2n n aan n b λ-=+-⋅⋅（n 为正整数），问是否存在非零整数λ，使得对任意正整数n ，都有1n n b b +>？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由． 20．已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =++-，x ∈R . （1）求函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间；（2）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对边的长分别是,,a b c ，若()2f A =，4Cπ，2c =，求ABC △的面积ABCS的值.21．已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0>ω； （1）令1ω=，判定函数()()()2F x f x f x π=++的奇偶性，并说明理由；（2）令2ω=，将函数()y f x =图像向右平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，对任意a R ∈，求()y g x =在区间],10[a a π+上零点个数的所有可能值；22．已知数列{}n a 满足：11a =，10.52,n n n a n a a n n ++⎧=⎨-⎩为正奇数为正偶数，22n n b a =-.（1）求2a 、3a 、4a ；（2）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项公式； （3）求和242n n T a a a =++⋯+.23．已知{}n a ，{}n b 为两非零有理数列（即对任意的*i ∈N ，i a ，i b 均为有理数），{}n d为一个无理数列（即对任意的*i ∈N ，i d 为无理数）．（1）已知2n n b a =-，并且2210()()n n n n n n a b d a d d +-+=对任意的*n ∈N 恒成立，试求{}n d 的通项公式；（2）若3{}n d 为有理数列，试证明：对任意的*n ∈N ，2211()()n n n n n n a b d a d d +-+=恒成立的充要条件为66111n nn n n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩；（3）已知24sin 20252πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，n d =n b ．参考答案1．{x|x =2kπ±π3,k ∈Z}【分析】由诱导公式可得cosx =sin π6=cos π3=cos(−π3)，由余弦函数的周期性可得：x =2kπ±π3,k ∈Z .【详解】因为方程cosx =sin π6，由诱导公式得sin π6=cos π3=cos(−π3)， 所以x =2kπ±π3,k ∈Z ， 故答案为{x|x =2kπ±π3,k ∈Z}． 【点睛】本题考查解三角函数的方程，余弦函数的周期性和诱导公式的应用，属于基础题． 2．23π 【解析】 【分析】根据等差数列的性质：在等差数列中若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+即可 【详解】15953a a a a π++==53a π∴=285223a a a π∴+==故答案为：23π 【点睛】本题主要考查的等差数列的性质：若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，这一性质是常考的知识点，属于基础题。

3【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系：22sin cos 1a a +=，以及反三角函数即可解决。

【详解】由题意2sin arccos 3⎡⎤⎛⎫-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，同角角三角函数基本关系主要有:22sin cos 1a a +=,sin tan cos aa a=.属于基础题。

4．50,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】首先根据x 的范围求出sin x 的范围，从而求出值域。

【详解】当233x ππ-<<时，sin 1x <≤， 由于反余弦函数是定义域[-1,1]上的减函数，且5arccos ,arccos1026π⎛-== ⎝⎭所以值域为50,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 故答案为：50,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了复合函数值域的求法：首先求出内函数的值域再求外函数的值域。

属于基础题。

5．21,123,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩【解析】 【分析】已知n S 求n a ，通常分11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解即可。

【详解】2n ≥时，111122n n n n n a S S a a -+=-=-，化为：13n n a a +=． 1n =时，12112a a -==，解得22a =-．不满足上式．∴数列{}n a 在2n ≥时成等比数列．∴2n ≥时，223n n a -=-⨯．∴21,123,2n n s n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩． 故答案为： 21,123,2n n n a n --=⎧=⎨-⨯≥⎩．【点睛】本题主要考查了数列通项式的求法:求数列通项式常用的方法有累加法、定义法、配凑法、累乘法等。

6．2k . 【分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果. 【详解】当n k =时，左边11112321k =++++-…， 当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=，故答案是2k . 【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果. 7．863π 【解析】 【分析】首先求出()f x 在[]0,π上的两个零点，再根据周期性算出至少含有30个零点时a b 、的值即可 【详解】根据()2sin 10f x x =-=，即1sin 2x =，故26x k ππ=+，或526x k ππ=+， ∵()2sin 1f x x =-在区间[],a b （,a b R ∈且a b <）上至少含有30个零点， ∴不妨假设6a π=（此时，0k =），则此时b 的最小值为5286ππ+，（此时，14k =）， ∴b a -的最小值为58628663ππππ+-=， 故答案为：863π 【点睛】本题函数零点个数的判断，解决此类问题通常结合周期、函数图形进行解决。