(完整word版)初三数学圆的经典讲义
初中九年级数学圆的讲义
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初中九年级数学圆的讲义圆一、基本概念与性质在平面内把线段OP绕着端点O旋转一周,端点P所形成的图形叫做圆。
其中,点O叫做圆心,线段OP叫做半径。
以点O为圆心的圆,记作⊙O ,读作圆O 。
点和圆的位置关系:如果⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则d>r时,点P在__________d=r时,点P在__________d<r时,点p在__________< p="">圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
弦与弧连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径,是圆最长的弦。
圆上任意两点间的部分叫圆弧,简称弧,符号:以C、D为端点的弧,记作,读作圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧。
顶点在圆心的角叫做圆心角,顶点在圆上且两边与圆相交的角叫做圆周角。
圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆,能够互相重合的两个圆叫做等圆,能够互相重合的弧叫做等弧。
同圆或等圆的半径相等。
圆心角、弧、弦之间的关系:1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
2.推论:在同圆或等圆中,若两条弧相等,那么它们所对的圆心角和弦都相等。
在同圆或等圆中,若两条弦相等,则它们所对的圆心角和弧都相等。
3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
圆心角与圆周角的关系:1.同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
2.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°圆周角所对的弦是直径。
垂径定理:1.垂直弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
2.推论:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧确定圆的条件:1.经过一点A作圆2.经过A、B两点作圆3.经过A、B、C三点作圆——a)当三点位于一条直线时b)当三点不在一条直线上时4.结论:不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的三个顶点确定一个圆。
(完整版)初三数学圆的经典讲义
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圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理(选学)圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
九年级圆基础知识点圆讲义
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一对一讲课教案一、圆的概念:1. 描述性概念:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径.2 圆的表示方式:通经常使用符号⊙表示圆,概念中以O为圆心,OA为半径的圆记作“O⊙”,读作“圆O”.3 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆.注意:同圆或等圆的半径相等.1. 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.2. 直径:通过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍.3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.4. 弧:圆上任意两点间的部份叫做圆弧,简称弧.以A B、为端点的圆弧记作AB,读作弧AB.5. 等弧:在同圆或等圆中,能够相互重合的弧叫做等弧.6. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆.7. 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧.8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.1. 圆心角:极点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1︒的圆心角,咱们也称如此的弧为1︒的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.2. 圆周角:极点在圆上,而且两边都和圆相交的角叫做圆周角.3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等.推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90︒的圆周角所对的弦是直径.推论3:若是三角形一边上的中线等于这边的一半,那么那个三角形是直角三角形.4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.推论:在同圆或等圆中,若是两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量别离相等.一、圆的对称性1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是通过圆心的任意一条直线.2. 圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.3. 圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,不管绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合.二、垂径定理1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,而且平分弦所对的两条弧.2. 推论1:⑴平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,而且平分弦所对的两条弧;⑵弦的垂直平分线通过圆心,而且平分弦所对的两条弧;⑶平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,而且平分弦所对的另一条弧.3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.练习题;1.判定:(1)直径是弦,是圆中最长的弦。
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
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第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一:圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行:::1:3:2OD BD OB =;2、正四边形 同理,四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行,::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理,六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行,::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形:(1)弧长公式:180n R l π=; (2)扇形面积公式: 213602n R S lR π== n :圆心角 R :扇形多对应的圆的半径 l :扇形弧长 S :扇形面积2、圆柱侧面展开图:3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ,那么它的边心距等于( )A .10cmB .5cmC .cm D .cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21,则此正多边形为( ) A .正三角形 B .正方形 C .正六边形 D .正十二边形例3、如图,在⊙O 内,AB 是内接正六边形的一边,AC 是内接正十边形的一边,BC 是内接正n 边形的一边,那么n= .例4、圆的内接正六边形边长为a,这个圆的周长为.例5、如图,已知边长为2cm的正六边形ABCDEF,点A1,B1,C1,D1,E1,F1分别为所在各边的中点,求图中阴影部分的总面积S.举一反三:1、下列命题中的真命题是()A.三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2:1B.正六边形的边长等于其外接圆的半径C.圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D.各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a,其内切圆的半径为r,外接圆的半径为R,则r:R:a=()A.1:1:B.1::2 C.1::1 D.:2:43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片,则此正六边形的边长为 cm.4、如图,正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中,已知外接圆的半径为2,则阴影部分面积为.5、如图,⊙O半径为4cm,其内接正六边形ABCDEF,点P,Q同时分别从A,D两点出发,以1cm/s速度沿AF,DC向终点F,C运动,连接PB,QE,PE,BQ.设运动时间为t(s).(1)求证:四边形PEQB为平行四边形;(2)填空:①当t= s时,四边形PBQE为菱形;②当t= s时,四边形PBQE为矩形.考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°,半径是R,则这条弧长是()A.B.C.D.例2、一个滑轮起重装置如图所示,滑轮半径是10cm,当重物上升10cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O,绕逆时针方向旋转的角度约为(假设绳索与滑轮之间没有滑动,π取3.14,结果精确到1°)()A.115°B.160°C.57°D.29°例3、已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,若∠BOD=120°,OB=1,则∠BAD= 度,∠BCD= 度,弧BCD的长= .例4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=cm,将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置,且使点A、B、C′三点在一条直线上,则点A经过的最短路线的长度是.例5、如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD=60°,AC为对角线.将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′,连接DC′.(1)求证:△ADC≌△ADC′;(2)求在旋转过程中点C扫过路径的长.(结果保留π)举一反三:1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°,则弧所在的圆的半径为()A.6 B.6C.12D.182、如图,一块边长为10cm的正方形木板ABCD,在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时,顶点B从开始到结束所经过的路径长为()A.20cm B.20cm C.10πcm D.5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形,圆弧的半径是2km.一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道.那么弯道所对的圆心角的度数为度.(π取3.14,结果精确到0.1度).4、已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3,按如图放置在直线AP上,然后不滑动地转动,当它转动一周时(A→A′),顶点A所经过的路线长等于.5、如图,在一个横截面为Rt△ABC的物体中,∠CAB=30°,BC=1米.工人师傅把此物体搬到墙边,先将AB边放在地面(直线l)上,再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置(BC1在l上),最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置,其平移的距离为线段AC的长度(此时A2C2恰好靠在墙边).(1)请直接写出AB、AC的长;(2)画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径,并求出该路径的长度(精确到0.1米).考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示,各圆心的连线构成一个五边形,那么阴影部分的面积是()A.B.2π C.D.3π例2、一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=4cm,以点A 为圆心,AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F,则商标图案的面积是()A.(4π+8)cm2 B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2 D.(3π+16)cm2例3、如图,E是正方形ABCD内一点,连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC,若BA=4,BE=3,在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积.例4、如图,有一直径为1米的圆形铁皮,要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形,则剩下部分的(阴影部分)的面积是.例5、如图,已知P为正方形ABCD内一点,△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置.(1)请说出旋转中心及旋转角度;(2)若连接PQ,试判断△PBQ的形状;(3)若∠BPA=135°,试说明点A,P,Q三点在同一直线上;(4)若∠BPA=135°,AP=3,PB=,求正方形的对角线长;(5)在(4)的条件下,求线段AP在旋转过程中所扫过的面积.举一反三:1、若一个扇形的面积是相应圆的41,则它的圆心角为( ) A .150° B .120° C .90° D .60°2、如图所示的4个的半径均为1,那么图中的阴影部分的面积为( )A .π+1B .2πC .4D .63、如图,O 为圆心,半径OA=OB=r ,∠AOB=90°,点M 在OB 上,OM=2MB ,用r 的式子表示阴影部分的面积是 .4、如图,直角△ABC 的直角顶点为C ,且AC=5,BC=12,AB=13,将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置,在旋转过程中,直角△ABC 扫过的面积是 .(结果中可保留π)5、如图,四边形ABCD 是长方形,AB=a ,BC=b (a >b ),以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ,与AB 交于E ,若∠CAB=30°,请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积.考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ,母线长为5cm ,则圆锥的侧面积是( )A .16πcm 2B .20πcm 2C .28πcm 2D .36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族,喜爱居住毡房,毡房的顶部是圆锥形,如图所示,为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布.已知圆锥的底面直径是5.7m ,母线长是3.2m ,铺满毡房顶部至少需要防雨布(精确到1m 2)( )A .58 m 2B .29 m 2C .26 m 2D .28 m 2例3、扇形的圆心角为150°,半径为4cm ,用它做一个圆锥,那么这个圆锥的表面积为 cm 2.例4、在十年文革期间的“高帽子”.这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板,做成如图②所示的无底圆锥体.已知接缝的重叠部分的圆心角为30°.(1)求重叠部分的面积.(结果保留π)(2)计算这顶“高帽子”有多高?(结果保留根号)例5、已知:一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm,圆心角为120°的扇形,求这圆锥的底面圆的半径和高.举一反三:1、若圆锥的侧面积为12πcm2,它的底面半径为3cm,则此圆锥的母线长为()A.4πcm B.4 cm C.2πcm D.2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形,它的面积是10cm2,底边上的高线是5cm,则圆锥的侧面展开图的弧长等于()A.87πcm B.47πcm C.8 cm D.4 cm3、如图,扇形的半径为6,圆心角θ为120°,用这个扇形围成一个圆锥的侧面,所得圆锥的高为。
2021年初三数学圆的经典讲义
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圆欧阳光明(2021.03.07)目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线, 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d ,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,∠于B ,且AB=OC ,求∠A 例 3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 3cm ,最大为8cm 例4 在半径为5cm 的圆中,弦CD=8cm ,则AB 和CD 例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA ,求CD 的长.例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数. A BDC O · E【考点速练】1.下列命题中,正确的是()A.三点确定一个圆B.任何一个三角形有且仅有一个外接圆C.任何一个四边形都有一个外接圆D.等腰三角形的外心一定在它的外部2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角3.圆的内接三角形的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个4.三角形的外接圆的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个5.下列说法中,正确的个数为()①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆.A.1个B.2个C.3个D.4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界);B.圆的内部(不包括边界);C.圆; D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm;C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)11.如图,已知在ABCA,AB=3cm,AC=4cm,∠90=∆中,︒以点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长.Array 12、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度高CD=4cm,那么拱形的半径是__m13、△ABC中,AB=AC=10,BC=12,则它的外接圆半径是__。
初三数学圆的经典讲义之欧阳治创编
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圆目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线 , 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔ d<r;【典型例题】例1 在⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM 是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD是直径,⊙O于B,且AB=OC,求∠A例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm,最大为8cm例 4 在半径为5cm的圆中AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA ,求CD 的长.例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数. 【考点速练】1.下列命题中,正确的是( )A .三点确定一个圆B .任何一个三角形有且仅有一个外接圆C .任何一个四边形都有一个外接圆D .等腰三角形的外心一定在它的外部2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .钝角三角形3.圆的内接三角形的个数为( )A .1个B .2C .3个D .无数个 4.三角形的外接圆的个数为( )A .1个B .2C .3个D .无数个5.下列说法中,正确的个数为( )①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定A BDC O · E一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界);B.圆的内部(不包括边界);C.圆;D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm;C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)11.如图,已知在ABCA,AB=3cm,∠90∆中,︒=AC=4cm ,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ,求CD 的长.12、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度拱高CD =4cm13、△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则它的外接圆半径是__。
(word完整版)初三数学圆的经典讲义
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(w o r d完整版)初三数学圆的经典讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1圆目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线 , 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试1一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:23考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
初三数学圆的经典讲义之欧阳育创编
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圆目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线, 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM 是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由。
⊙O于B,且AB=OC,求∠A例3 ⊙O平面内一点P和⊙O3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少?例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA ,求CD 的长.例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数. 【考点速练】1.下列命题中,正确的是( )A .三点确定一个圆B .任何一个三角形有且仅有一个外接圆C .任何一个四边形都有一个外接圆D .等腰三角形的外心一定在它的外部2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .钝角三角形3.圆的内接三角形的个数为( )A .1个B .2C .3个D .无数个A BDC O · E4.三角形的外接圆的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个5.下列说法中,正确的个数为()①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆.A.1个B.2个C.3个D.4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界);B.圆的内部(不包括边界);C.圆;D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm;C.小于6cm D.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A 是半径为5的⊙O 内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)11.如图,已知在ABC ∆中,︒=∠90A ,AB=3cm ,AC=4cm ,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交CB的延长线于点D ,求CD 的长.12拱高CD =4cm m 。
初三数学圆的经典讲义之欧阳理创编
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圆目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线, 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD是直径,AE交⊙O于B,且AB=OC,求例3 ⊙O平面内一点P和⊙O最小为3cm,最大为8cm_________cm。
例4 在半径为5cm的圆中,弦AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是多少?例5 如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm, 30=∠CEA,求CD的长.例6.已知:⊙O的半径0A=1,弦AB、AC的长分别为3,2,求BAC∠的度数.【考点速练】1.下列命题中,正确的是()A BDCO·EA.三点确定一个圆B.任何一个三角形有且仅有一个外接圆C.任何一个四边形都有一个外接圆D.等腰三角形的外心一定在它的外部2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形3.圆的内接三角形的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个4.三角形的外接圆的个数为()A.1个B.2 C.3个D.无数个5.下列说法中,正确的个数为()①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆.A.1个B.2个C.3个D.4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界);B.圆的内部(不包括边界);C.圆;D.圆的内部(包括边界) 7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm;C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)11.如图,已知在ABC ∆中,︒=∠90A ,AB=3cm ,AC=4cm ,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ,求CD 的长.12=16cm ,拱高CD =4cm 半径是__m 。
初三数学圆的经典讲义之欧阳育创编
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圆目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线 , 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,且AB=OC ,求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 为8cm ,则这圆的半径是例4 在半径为5cm 的圆中,弦则AB 和CD 的距离是多少?例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA ,求CD 的长.例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数.【考点速练】1.下列命题中,正确的是( )A .三点确定一个圆B .任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C .任何一个四边形都有一个外接圆 D .等腰三角形的外心一定在它的外部2.如果一个三角形的外心在它的一边上,那么这个三角形一定是( )A B D C O · EA.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形3.圆的内接三角形的个数为()A.1个 B.2 C.3个D.无数个4.三角形的外接圆的个数为()A.1个 B.2 C.3个D.无数个5.下列说法中,正确的个数为()①任意一点可以确定一个圆;②任意两点可以确定一个圆;③任意三点可以确定一个圆;④经过任一点可以作圆;⑤经过任意两点一定有圆.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( )A.圆的外部(包括边界);B.圆的内部(不包括边界);C.圆;D.圆的内部(包括边界)7.已知⊙O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在⊙O上,则OA的长( )A.等于6cmB.等于12cm;C.小于6cmD.大于12cm8.如图,⊙O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( )A.2个B.3个C.4个D.5个9.如图,A是半径为5的⊙O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( )A.0条B.1条C.2条D.4条10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片,需要知道它的半径,用圆规和直尺在图中作出它的一条半径.(要求保留作图痕迹)11.如图,已知在ABC∆中,︒=∠90A,AB=3cm,AC=4cm,以点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长.12=4cm,那么拱形的半径是__m。
初三数学圆的经典讲义精编版
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圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理(选学)圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
M A B C DOEBAC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
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文小编收集文档之圆' 目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线, 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔ d<r;【典型例题】例1 在⊿ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由。
MAB C例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
初三数学圆的经典讲义之欧阳德创编
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圆目录一.圆的定义及相关概念二.垂经定理及其推论三.圆周角与圆心角四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五.圆内接四边形六.会用切线, 能证切线七.切线长定理八.三角形的内切圆九.了解弦切角与圆幂定理(选学)十.圆与圆的位置关系十一.圆的有关计算十二.圆的基础综合测试十三.圆的终极综合测试一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d>r;②点在圆上⇔d=r;③点在圆内⇔d<r;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB=90°,AC=2,BC=4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,∠AE 交⊙O 于B ,且AB=OC 数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 距离最小为3cm ,最大为8cm ,半径是_________cm 。
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圆目录圆的定义及相关概念垂经定理及其推论圆周角与圆心角圆心角、弧、弦、弦心距关系定理圆内接四边形会用切线, 能证切线切线长定理三角形的内切圆了解弦切角与圆幂定理(选学)圆与圆的位置关系圆的有关计算一.圆的定义及相关概念【考点速览】考点1:圆的对称性:圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2:确定圆的条件;圆心和半径①圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;②不在同一条直线上的三点确定一个圆;考点3:弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的弦。
弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧:圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆,优弧、劣弧三种。
(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)弓形:弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)固定的已经不能再固定的方法:求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:考点4:三角形的外接圆:锐角三角形的外心在 ,直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。
考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r ,点到圆心的距离为d , 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d >r ;②点在圆上⇔d=r ;③点在圆内⇔ d <r ;【典型例题】例1 在⊿ABC 中,∠ACB =90°,AC =2,BC =4,CM 是AB 边上的中线,以点C 为圆心,以5为半径作圆,试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD 是直径,︒=∠84EOD ,AE 交⊙O 于B ,且AB=OC ,求∠A 的度数。
M A B C DOEBC例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ,最大为8cm ,则这圆的半径是_________cm 。
例4 在半径为5cm 的圆中,弦AB ∥CD ,AB=6cm ,CD=8cm ,则AB 和CD 的距离是多少?例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ,已知AE=6cm ,EB=2cm, 30=∠CEA , 求CD 的长.例6.已知:⊙O 的半径0A=1,弦AB 、AC 的长分别为3,2,求BAC ∠的度数.二.垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条孤. 推论1:①平分弦(不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条孤. ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条孤.③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条孤. 推论2.圆的两条平行弦所夹的孤相等.垂径定理及推论1中的三条可概括为:① 经过圆心;②垂直于弦;③平分弦(不是直径);④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点AB DCO· E【典型例题】例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,且CNM AMN ∠=∠. 求证:AB=CD .例2已知,不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点,AB 是⊙O 的直径,AE ⊥l 于E ,BF ⊥l 于F 。
求证:CE=DF .l•问题一图1OHFE D CBA l•问题一图2O H F E DC BAl•问题一图3OH FE D C BA【考点速练】1.已知⊙O 的半径为2cm ,弦AB 长cm 32,则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为( ).A .1cm B.2cm C.cm 2 D.cm 3cm3.如图1,⊙O 的半径为6cm ,AB 、CD 为两弦,且AB ⊥CD ,垂足为点E ,若CE=3cm ,DE=7cm ,则AB 的长为( )A .10cm B.8cm C.cm 24 D.cm 284.有下列判断:①直径是圆的对称轴;②圆的对称轴是一条直径;③直径平分弦与弦所对的孤;④圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有( ) A .0个 B.1个 C.2个 D.3个5.如图2,同心圆中,大圆的弦交AB 于C 、D 若AB=4,CD=2,圆心O 到AB 的距离等于1,那么两个同心圆的半径之比为( )A BDC O· NMABDCO 800A .3:2 B.5:2 C.5:2 D.5:46.如图,⊙O 的直径为10,弦AB=8,P 是弦AB 上的一个动点,那么OP 长的取值范围是 .7.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ ___m.8.如图,直径为1000mm 的圆柱形水管有积水(阴影部分),水面的宽度AB 为800mm ,求水的最大深度CD .三.圆周角与圆心角【考点速览】 考点1圆心角:顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
圆周角:顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可. Eg: 判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由BPAO D CB A考点2定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.Eg: 如下三图,请证明。
考点34. 推论:①同弧或等弧所对的圆周角相等,同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.90的圆周角所对的弦是直径.②半圆(或直径)所对的圆周角是直角,③如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.经典例题例1:下图中是圆周角的有 .是圆心角的有。
例2:如图,∠A 是⊙O 的圆周角,且∠A =35°,则∠OBC=_____.例3:如图,圆心角∠AOB=100°,则∠ACB= .例4:如图1,AB 是⊙O 的直径,点C D E ,,都在⊙O 上,若C D E ==∠∠∠,则A B +=∠∠ º.例如图2,⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ,40EOD ∠=,则DCF ∠= . 例6:已知:如图,AD•是⊙O•的直径,∠ABC=•30•°,则∠CAD=_______.例7:已知⊙O 中,30C ∠=,2cm AB =,则⊙O 的半径为 cmOABC(例1)B EF CD G O 例2四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等推论:在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.(务必注意前提为:在同圆或等圆中)例1.如图所示,点O 是∠EPF 的平分线上一点,以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ,求证:AB=CD .例2、已知:如图,EF 为⊙O 的直径,过EF 上一点P 作弦AB 、CD ,且∠APF=∠CPF 。
求证:PA=PC 。
ABEF O PC12D例3.如图所示,在ABC ∆中,∠A=︒72,⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.例4.如图,⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ,且例5.如图所示,已知在⊙O 中,弦AB=CB ,∠ABC=︒120,OD ⊥AB 于D ,OE ⊥BC 于E . 求证:ODE ∆是等边三角形.五.圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补,外角等于内对角。
圆内接梯形为等腰梯形,圆内接平行四边形为矩形。
判断四点共圆的方法之一:四边形对角互补即可。
【典型例题】例1 (1)已知圆内接四边形ABCD 中,∠A:∠B:∠C=2:3:4,求∠D 的度数.·OABCO ·CAE B D·O A DE BC(2)已知圆内接四边形ABCD 中,如图所示,AB 、BC 、CD 、AD 的度数之比为1:2:3:4,求∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数.例2 四边形ABCD 内接于⊙O ,点P 在CD 的延长线上,且AP ∥BD .求证:AD AB BC PD ⋅=⋅例3 如图所示,ABC ∆是等边三角形,D 是BC 上任一点.求证:DB+DC=DA .六.会用切线,能证切线考点速览:考点1直线与圆的位置关系·ADCBO PA·BCDO · ABDO考点2切线:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言∵ OA ⊥ l 于A , OA 为半径∴ l 为⊙O 的切线考点3判断直线是圆的切线的方法:①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
③经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(请务必记住证明切线方法:有交点就连半径证垂直;无交点就做垂直证半径) 考点4切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
(请务必记住切线重要用法: 见切线就要连圆心和切点得到垂直)经典例题:例1.如图,△ABC 内接于⊙O , AB 是 ⊙O 的直径,∠CAD = ∠ABC ,判断直线AD 与⊙O 的位置关系,并说明理由。
A BBC例2.如图,OA=OB=13cm ,AB=24cm ,⊙O 的半径为5cm ,AB 与⊙O 相切吗?为什么?例3.如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点为A 、B ,C 是⊙O 上一点,若∠P =40。
, 求∠C 的度数。
例4.如图所示,ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,以AC 为直径作⊙O 交AB 于D ,E 为BC 中点。
求证:DE 是⊙O 的切线.中考链接1.如图,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 经过圆心O ,且与小圆相交于点A ,与大圆相交于点B ,小圆的切线AC 与大圆相交于点D ,且CO 平分∠ACB.试判断BC 所在直线与小圆的位置关系,并说明理由。
2. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90。
,点O 在AB 上,以O 为圆心,OA 长为半径的圆与AC 、AB 分别交于点D 、E ,且∠CBD= ∠A ,判断BD 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论。
BB· ABC EOD七.切线长定理考点速览: 考点1切线长概念:经过圆外一点做圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长. 切线长和切线的区别切线是直线,不可度量;而切线长是切线上一条线段的长,而圆外一已知点到切点之间的距离,可以度量. 考点2 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.要注意:此定理包含两个结论,如图,PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点,①PA=PB ②PO 平分APB ∠. 考点3 两个结论:圆的外切四边形对边和相等;圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长. 经典例题:例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点,若PO=13㎝,PED ∆的周长为24㎝, 求:①⊙O 的半径;②若40APB ∠=︒,EOD ∠的度数.例2 如图,⊙O 分别切ABC ∆的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ,若,,BC a AC b AB c ===. (1)求AD 、BE 、CF 的长;(2)当90C ∠=︒,求内切圆半径r .例3.如图,一圆内切四边形ABCD ,且AB=16,CD=10,则四边形的周长为?考点速练1:1.如图,⊙O 是ABC ∆的内切圆,D 、E 、F 为切点,::4:3:2A B C ∠∠∠=,则DEF ∠= . FEC ∠= .2.直角三角形的两条直角边为5㎝、12㎝,则此直角三角形的外接圆半径为 ㎝,内切圆半径为 ㎝.3.如图,直线AB 、BC 、CD 分别与⊙O 相切于点E 、F 、G ,且AB ∥CD ,若OB=6㎝,OC=8㎝,则BOC ∠= ,⊙O 的半径= ㎝,BE+CG= ㎝.· EFDCOAB· EFDCOAB·A O CDBEF· AO C D B E FG八.三角形内切圆考点速览考点1概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.概念推广:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.考点2三角形外接圆与内切圆比较:名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC ;(2)外心不一定在三角形的内部.内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三边的距离相等;(2)OA 、OB 、OC 分别平分∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ;(3)内心在三角形内部.考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为2cb a r -+=.2、一般三角形①已知三边,求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.cb a S r ++∆=2(海伦公式S △=)c s )(b s )(a s (s --- , 其中s=2cb a ++) BO Dca BO E F D经典例题:例1.阅读材料:如图(1),△ABC的周长为L,内切圆O的半径为r,连结OA,OB,△ABC被划分为三个小三角形,用S△ABC表示△ABC的面积.∵S△ABC =S△OAB +S△OBC +S△OCA又∵S△OAB =12AB·r,S△OBC =12BC·r,S△OCA =12AC·r∴S△ABC =12AB·r+12BC·r+12CA·r=12L·r(可作为三角形内切圆半径公式)(1)理解与应用:利用公式计算边长分为5,12,13的三角形内切圆半径;(2)类比与推理:若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图(2)•且面积为S,各边长分别为a,b,c,d,试推导四边形的内切圆半径公式;(3)拓展与延伸:若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆,且面积为S,各边长分别为a1,a2,a3,…a n,合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由).例2.如图,△ABC中,∠A=m°.(1)如图(1),当O是△ABC的内心时,求∠BOC的度数;(2)如图(2),当O是△ABC的外心时,求∠BOC的度数;(3)如图(3),当O是高线BD与CE的交点时,求∠BOC的度数.例3.如图,Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,⊙I分别切AC,BC,AB于D,E,F,求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离.考点速练1:1.如图1,⊙O内切于△ABC,切点为D,E,F.已知∠B=50°,∠C=60°,•连结OE,OF,DE,DF,那么∠EDF等于()A.40° B.55° C.65° D.70°图1 图2 图32.如图2,⊙O是△ABC的内切圆,D,E,F是切点,∠A=50°,∠C=60°,•则∠DOE=()A.70° B.110° C.120° D.130°3.如图3,△ABC中,∠A=45°,I是内心,则∠BIC=()A.112.5° B.112° C.125° D.55°4.下列命题正确的是()A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等B.三角形的内心不一定在三角形的内部C.等边三角形的内心,外心重合D.一个圆一定有唯一一个外切三角形5.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,则它的内切圆与外接圆半径分别为() A.1.5,2.5 B.2,5 C.1,2.5 D.2,2.56.如图,在△ABC中,AB=AC,内切圆O与边BC,AC,AB分别切于D,E,F.(1)求证:BF=CE;(2)若∠C=30°,CE=23,求AC的长.7.如图,⊙I切△ABC的边分别为D,E,F,∠B=70°,∠C=60°,M是弧DEF上的动点(与D,E不重合),∠DMF的大小一定吗?若一定,求出∠DMF的大小;若不一定,请说明理由.九.了解弦切角与圆幂定理(选学)【考点速览】考点11. 弦切角的概念:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。