平行四边形及特殊的平行四边形证明习题
平行四边形练习题及答案
平行四边形练习题及答案1. 判断题:平行四边形的对角线是否一定相等?- 答案:错误。
只有矩形和正方形的对角线相等。
2. 选择题:下列哪个选项不是平行四边形的性质?- A. 对边相等- B. 对角相等- C. 对角线互相平分- D. 邻角互补- 答案:B。
平行四边形的对角不一定相等,这是矩形和正方形的特殊性质。
3. 计算题:如果一个平行四边形的一边长为10厘米,且相邻的两边夹角为60度,求对边的长度。
- 答案:由于平行四边形的邻角互补,所以另一个角也是60度。
这意味着平行四边形是一个菱形。
在菱形中,所有边长相等,所以对边的长度也是10厘米。
4. 证明题:证明平行四边形的对角线互相平分。
- 答案:设平行四边形为ABCD,对角线AC和BD相交于点E。
由于AB平行于CD,根据平行线的性质,∠BAC=∠DCA,同理∠ABC=∠BCD。
因此,△ABC和△CDA是相似三角形。
根据相似三角形的性质,我们可以得出AE/EC = BE/ED。
同理,我们可以证明AE/EC = BD/DC。
因此,AE = EC且BE = ED,证明了对角线互相平分。
5. 应用题:一个平行四边形的面积是64平方厘米,已知一边长为8厘米,求另一边的长度。
- 答案:平行四边形的面积公式是底乘以高。
设另一边的长度为x厘米,高为h厘米。
根据面积公式,8h = 64,解得h = 8厘米。
由于平行四边形的对边相等,另一边的长度也是8厘米。
练习题答案解析通过这些练习题,学生可以检验自己对平行四边形性质的理解,并通过计算和证明题来加深对平行四边形几何特性的认识。
这些题目覆盖了平行四边形的基本性质、面积计算以及证明题,有助于培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
希望这些练习题和答案能够帮助学生更好地掌握平行四边形的相关知识。
在解决实际问题时,学生应该灵活运用所学知识,结合图形的特点进行分析和计算。
【3套】特殊平行四边形习题(含答案)
特殊平行四边形习题(含答案)特殊平行四边形习题一、选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于( )A.20B.15C.10D.5答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,∴△ABC是等边三角形,故△ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC答案 C 可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE∥DC证得点E是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为( )A.6.5B.6C.5.5D.5答案 C 设AE=x,则EB=8-x,∵四边形ABCD是菱形,AE=AF,EG∥AD,FH∥AB,∴四边形AEOF和四边形OHCG都是菱形.∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,∴4x-4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm2答案 A 由题意可得AC=5cm, BD=4cm,故小菱形的面积为×4×5=10(cm2).故选A.6.如图,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C 连接BD,交AC于点O,在正方形ABCD中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC⊥BD,OB=OD,①在△ABE与△CBF中,∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF⊥BD,BO=OD,∴四边形BEDF是菱形,故②正确.③由AB=AF不能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∵BE=BF,EF⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故④正确.故选C.7.如图所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足,AE=ED,则∠EBF等于( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案 B 连接BD.因为BE⊥AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以△ABD是等边三角形,所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF 中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm, BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为( )A .cm B.cm C.cm D.8cm答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt△AFD'中,(8-x)2+62=x2,解得x=.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°答案 D 画出所剪的图形示意图如图.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.10.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)S△AOB=S四边形DEOF,其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案 B ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°,∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.由△DEA≌△AFB得S△DEA=S△AFB,∴S△DEA-S△AOF=S△AFB-S△AOF,∴S△AOB=S四边形DEOF,所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B.二、填空题11.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).答案AC=BD(答案不唯一)12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为.答案20解析在Rt△ABC中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=AC=,而OM是△ACD 的中位线,所以OM=CD=,所以四边形ABOM的周长为AB+BO+OM+AM=5+++6=20.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .答案2解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案3解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD===3.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.答案(2+,1)解析过点D作DF⊥x轴,垂足为F,在正方形ABCO中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以△BCD是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt△DCF中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=CD=1,由勾股定理得CF=,所以OF=OC+CF=2+,所以点D的坐标为(2+,1).17.如图,菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.答案13解析连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,∵S正方形AECF=AC·EF=AC2=50cm2,∴AC=10cm,∵S菱形ABCD=AC·BD=120cm2,∴BD=24cm.设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12 cm,∴AB===13cm.18.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为.答案3解析设AC与EG相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC.∴△ABC是等边三角形.又∵AB=6,∴△ABC的面积为18.∴菱形ABCD的面积为36,∵EG⊥AC,∴∠AOE=∠AOG=90°.∴∠AGE=90°-60°=30°.∵△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°.∴FG⊥AD,∴FG===3.三、解答题19.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=CD==5.又∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8.∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEB中,∴△AEF≌△DEB(ASA),∴AF=BD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=BC,∴AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,∴BD垂直平分EF,∴OE=OF,又∵OG=OD,∴四边形DEGF为平行四边形,∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴四边形DEGF是菱形.22.如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H 作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案(1)证明:∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵FH平分∠DFE,∴∠EFH=∠DFE.∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可证,∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF,∴∠FEG=∠AEF.∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵点A、E、B在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.23.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.试探究下列问题:(1)如图①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.答案(1)成立.(2)仍然成立.证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.在△ADF和△DCE中,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.(3)四边形MNPQ是正方形.证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF⊥DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元检测卷一、选择题1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCDC.AB=CDD.AC=BC2.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )A.10B.14C.20D.223.四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A.3种B.4种C.5种D.6种4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为( )A.8B.10C.12D.165.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至F,使CF=BC,若AB=10,则EF的长是( )A.5B.4C.3D.26.下列命题中正确的是( )A.两条对角线相等的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的多边形是矩形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.有一个角是直角的四边形是矩形7.如图,菱形ABCD的周长为20,一条对角线AC的长为8,另一条对角线BD的长为( )A.16B.12C.6D.48.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长为( )A.4B.6C.8D.109.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=( )A.30°B.45°C.22.5°D.135°10.如图,直线EF经过矩形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于点E、F,那么图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A. B. C. D.二、填空题11.如图,平行四边形ABCD的周长为20,对角线AC的长为5,则△ABC的周长为.12.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线EF是OA的中垂线,分别交AD、OA 于点E、F.若AB=6 cm,BC=8 cm,则△DEO的周长= cm.14.如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于.15.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=5,EC=7,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是.16.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为.三、解答题17.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:△AEF≌△DFC.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)19.在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F,求证:DF=DC.20.如图,在▱ABCD中,E、F为BC上的两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.21.已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.22.如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF.连接EF并展开纸片.求证:四边形ADEF是正方形.23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.参考答案1-10 DBBDA ACCCB11.1512.答案不唯一,如AF=CE13.1314.415.1316.617.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD且AB∥CD,∴∠EAF=∠ADC,又∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AE=DF,在△AEF和△DFC中,∴△AEF≌△DFC.18.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD,同理,CF=CB,又AD=CB,AB=CD,∴AE=CF,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.19.证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB,∴DF=DC.20.证明(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(SSS).(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.21.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,∵∠AOD=90°,∴▱AODE是矩形.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC,BO=OD,AB=BC,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BCD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=6,∴OA=3.在Rt△ABO中,由勾股定理得BO=3,∴DO=3,∴S矩形AODE=AO·DO=3×3=9.22.证明∵△DEF由△DAF折叠得到,∴∠DEF=∠A=90°,DA=DE,∵AB∥CD,∴∠ADE=180°-∠A=90°.∵∠DEF=∠A=∠ADE=90°,∴四边形ADEF是矩形.又∵DA=DE,∴四边形ADEF是正方形.23.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,∵在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AE=CF,∴EB=DF,又∵DF∥EB,∴四边形DEBF是平行四边形,又∵DF=BF,∴四边形DEBF为菱形.人教版八年级下册第十八章平行四边形单元测试含答案一、选择题1、下列说法错误的是()A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B.每组邻边都相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.四个角都相等的四边形是矩形2、如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,点E是BC边的中点,OE=1,则AB的长是A.1 B. 2 C.3 D.43、如图,将长方形ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F,若∠BAF = 60°,则∠DAE = ()(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°4、在□ABCD中,AB=3,BC=4,当□ABCD的面积最大时,下列结论正确的有()①AC=5;②∠A+∠C=180°;③AC⊥BD;④AC=BD.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④5、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.下列条件中,能判断四边形ABCD是平行四边形的是()A.AD=BC,AB∥CD B.AO=CO,AD=BCC.AD∥BC,∠ADC=∠ABC D.AD=BC,∠ABD=∠CDB6、如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E是AD的中点,过点E作垂线交BC于点F,已知BC=10,△ABD的面积为12,则EF的长为( )A.4.8 B.3.6 C.2.4 D.1.27、如图,在矩形COED中,点D的坐标是(1,2),则CE的长是()A. B.2 C. D.8、如图,正方形ABCD的边长为1,则正方形ACEF的面积为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9、已知直角坐标系内有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1),若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则x= .10、如图,▱ABCD的周长为36,对角线AC,BD相交于点O.点E是CD的中点,BD=12,则△DOE 的周长为 ______ .11、如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点,且AB=6cm,AC=8cm,则四边形ADEF的周长等于cm.12、如图,矩形中,、交于点,,平分交于点,连接,则。
特殊平行四边形练习题
特殊平行四边形练习题1.已知▱ABCD,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使▱ABCD成为一个菱形,你添加的条件是.2.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.3.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,并且DE=DF.求证:(1)△ADE≌△CDF;(2)四边形ABCD是菱形.4.如图,在平行四边形ABCD中,AD>AB.(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E,AF⊥BE,垂足为点O,交BC于点F,连接EF.求证:四边形ABFE为菱形.5.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AG∥CD交BC于点G,点E、F分别为AG、CD的中点,连接DE、FG.(1)求证:四边形DEGF是平行四边形;(2)当点G是BC的中点时,求证:四边形DEGF是菱形.6.如图,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE,(1)求证:四边形BECF是菱形;(2)若四边形BECF为正方形,求∠A的度数.7.如图,在矩形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,连结AF,DF,BE,CE,AF与BE交于G,DF与CE交于H.求证:四边形EGFH为菱形.8.如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点,延长BP到点C,使PC=PB,D是AC的中点,连接PD、PO.(1)求证:△CDP≌△POB;(2)填空:①若AB=4,则四边形AOPD的最大面积为;②连接OD,当∠PBA的度数为时,四边形BPDO是菱形.9.边长为3cm的菱形的周长是()A.6cm B.9cm C.12cm D.15cm10.如图,已知菱形ABCD的边长为2,∠DAB=60°,则对角线BD的长是()A.1 B.C.2 D.2 11.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于()A.50°B.60°C.70°D.80°12.如图,四边形ABCD是平行四边形,AC与BD相交于点O,添加一个条件:,可使它成为菱形.13.如图,菱形ABCD的周长为8,对角线AC和BD相交于点O,AC:BD=1:2,则AO:BO= ,菱形ABCD的面积S= .14.正方形的一条对角线长为4,则这个正方形的面积是()A.8 B.4C.8D.1615.下列说法不正确的是()A.一组邻边相等的矩形是正方形B.对角线相等的菱形是正方形C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.有一个角是直角的平行四边形是正方形16.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=20°,则∠AED 等于度.17.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直18.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直19.如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,则菱形的边长AB等于()A.10 B.C.6 D.520.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,AC⊥BD.若AD=4,BC=6,则梯形ABCD 的面积是.21.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB的大小为()A.30°B.60°C.90°D.120°22.若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm,则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是()A.5cm B.8cm C.12cm D.16cm23.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是()A.12 B.24 C.12D.1624.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,BD.若四边形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,则边BC的长为()A.2B.3C.6D.25.如图,将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N.(1)求证:CM=CN;(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3:1,求的值.。
(完整版)平行四边形的性质判定练习题
第一部分 平行四边形的性质练习题 例题1、平行四边形得周长为50cm ,两邻边之差为5cm,求各边长。
变题1.平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2:3,则AB=_______,BC=________. 变题2.四边形ABCD 是平行四边形,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,求AD 的长。
例题2.平行四边形ABCD 中,∠A-∠B=20°,求平行四边形各内角的度数。
变题3.平行四边形ABCD 中,AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=_________,∠B_________. 变题4.如图,在平行四边形ABCD 中,∠BAC=34°, ∠ACB=26°,求∠DAC 与∠D 的度数。
例题3.如图,在平行四边形ABCD 中,CE ⊥AD,CF ⊥BA 交BA 的延长线于F ,∠FBC=30°,CE=3cm,CF=5cm,求平行四边形ABCD 的周长。
变题5.如图,平行四边形ABCD 的周长为50,其中AB=15,∠ABC=60°,求平行四边形面积。
1、如图,四边形ABCD 是平行四边形,AB=6cm,BC=8cm ,∠B=70°,则AD=________,CD=______,∠D=_______,∠A=______,∠C=_______.2、平行四边形ABCD 的周长为40cm,两邻边AB 、AC 之比为2:3,则AB=_______,BC=________.3、平行四边形得周长为50cm ,两邻边之差为5cm,则长边是________ ,短边是__________.4、平行四边形ABCD 中,∠A-∠B=20°, 则∠A=_______ ∠B=________5、.平行四边形ABCD 中,AE 平分∠DAB, ∠DEA=20°,则∠C=____,∠B_____.6、平行四边形 ABCD 中,∠A+∠C=200°.则:∠A= _______,∠B= _________ .7、如图,平行四边形ABCD 的周长为50,其中AB=15,∠ABC=60°,求平行四边形面积。
平行四边形的判定练习题(含答案)
平行四边形的判定练习题(含答案)(1)因为AD∥BC,AB=CD,所以ABCD是平行四边形.()(2)因为AB∥CD,AD=BC,所以ABCD是平行四边形.()(3)因为AD∥BC,AD=BC,所以ABCD是平行四边形.()(4)因为AB∥CD,AD∥BC,所以ABCD是平行四边形.()(5)因为AB=CD,AD=BC,所以ABCD是平行四边形.()(6)因为AD=CD,AB=AC,所以ABCD是平行四边形.()5.已知AD∥BC,要使四边形ABCD为平行四边形,需要增加条件________.6.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,问四边形ABCD是不是平行四边形.7.如图所示,在四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,E,F 为对角线AC上的点,且AE=CF,求证:BE=DF.8.如图所示,D为△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,且AE=CE,FC∥AB.求证:CD=AF.9.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,在AB 的延长线上截取BE=•AB,BF=BD,连接CE,DF,相交于点M.求证:CD=CM.10.如图所示,在四边形ABCD中,DC∥AB,以AD,AC为边作□ACED,延长DC•交EB于F,求证:EF=FB.知能点2 三角形的中位□线11.如图所示,已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于点O,连接OF,求证:AB=2OF.12.如图所示,在ABCD中,EF∥AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE,BF•交于点M,连接CF,DE交AD.于点N,求证:MN∥AD且MN=1213.如图所示,DE是△ABC的中位线,BC=8,则DE=_______.14.如图所示,在□ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OE∥BC交CD•于E,•若OE=3cm,则AD的长为(). A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 15.如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,•则四边形EFGH是平行四边形吗?为什么?16.如图所示,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求△DEF的面积.规律方法应用17.如图所示,A,B两点被池塘隔开,在A,B外选一点C,连接AC和BC,•并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离是多少?18.如图所示,在□ABCD中,AB=2AD,∠A=60°,E,F 分别为AB,CD的中点,EF=1cm,那么对角线BD的长度是多少?你是怎样得到的?19.如图所示,在△ABC中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.•(BC-AC).试说明:(1)DE∥BC.(2)DE=12开放探索创新20.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AD•于E,EF∥BC交AC于F,那么AE与CF相等吗?请验证你的结论.中考真题实战21.(长沙)如下左图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,要使四边形ABCD•为平行四边形,则应添加的条件是________.(添加一个即可)22.(呼和浩特)如上右图所示,已知E,F,G,H是四边形ABCD各边的中点,•则S四边形EFGH :S四边形ABCD的值是_________.23.(南京)已知如图19-1-55所示,在Y ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点.求证:(1) △AFD≌△CEB.(2)四边形AECF是平行四边形.答案:1.C 2.C 3.D4.(1)× (2)× (3)∨ (4)∨ (5)∨ (6)×5.AD=BC或AB∥CD6.解:∵∠1=∠2,∴AD∥BC.又∵∠3=∠4,∴AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.7.证明:∵AB=CD,BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形.∴AB∥CD,∴∠BAE=∠DCF.又∵AE=CE,∴△ABE≌△CDF(SAS),∴BE=EF.8.证明:∵FC∥AB,∴∠DAC=∠ACF,∠ADF=∠DFC.又∵AE=CE,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴DE=EF.∵AE=CE,∴四边形ADCF为平行四边形.∴CD=AF.9.证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AB//DC.又∵BE=AB,∴BE//DC,∴四边形BDCE是平行四边形.∵DC∥BF,∴∠CDF=∠F.同理,∠BDM=∠DMC.∵BD=BF,∴∠BDF=∠F.∴∠CDF=∠CMD,∴CD=CM.10.证明:过点B作BG∥AD,交DC的延长线于G,连接EG.∵DC∥AB,∴ABGD是平行四边形,∴BG// AD.在□ACED中,AD//CE,∴CE//BG.∴四边形BCEG为平行四边形,∴EF=FB.11.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD,AD=BC.∵CE=CD,∴AB//CE,∴四边形ABEC为平行四边形.∴BF=FC,∴OF//1AB,即AB=2OF.212.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD∥BC.又∵EF∥AB,∴EF∥CD.∴四边形ABEF,ECDF均为平行四边形.又∵M,N分别为Y ABEF和Y ECDF对角线的交点.∴M为AE的中点,N为DE的中点,即MN为△AED的中位线.∴MN∥AD且MN=12AD.13.4 14.B15.解:EFGH是平行四边形,连接AC,在△ABC中,∵EF是中位线,∴EF//12AC.同理,GH//12AC.∴EF//GH,∴四边形EFGH为平行四边形.16.解:∵EF,DE,DF是△ABC的中位线,∴EF=12AB,DE=12AC,DF=12BC.又∵AB=10cm,BC=8cm,AC=6cm,∴EF=5cm,DE=3cm,DF=4cm,而32+42=25=52,即DE2+DF2=EF2.∴△EDF为直角三角形.∴S△EDF =12DE·DF=12×3×4=6(cm2).17.解:∵M,N分别是AC,BC的中点.∴MN是△ABC的中位线,∴MN=12AB.∴AB=2MN=2×20=40(m).故A,B两点间的距离是40m.18.解:连接DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB//CD.∵DF=12CD,AE=12AB,∴DF//AE.∴四边形ADFE是平行四边形.∴EF=AD=1cm.∵AB=2AD,∴AB=2cm.∵AB=2AD,∴AB=2AE,∴AD=AE.∴∠1=∠4.∵∠A=60°,∠1+∠4+∠A=180°,∴∠1=∠A=∠4=60°.∴△ADE是等边三角形,∴DE=AE.∵AE=BE,∴DE=BE,∴∠2=∠3.∵∠1=∠2+∠3,∠1=60°,∴∠2=∠3=30°.∴∠ADB=∠3+∠4=90°.=cm).19.解:延长AD交BC于F.(1)∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠FDC=90°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCD.在△ACD与△FCD中,∠ADC=∠FDC,DC=DC,∠ACD=∠FCD.∴△ACD≌△FCD,∴AC=FC,AD=DF.又∵E为AB的中点,∴DE∥BF,即DE∥BC.(2)由(1)知AC=FC,DE=12BF.∴DE=12(BC-FC)=12(BC-AC).20.解:AE=CF.理由:过E作EG∥CF交BC于G,∴∠3=∠C.∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠ABC+∠C=90°,∠ABD+∠BAD=90°.∴∠C=∠BAD,∴∠3=∠BAD.又∵∠1=∠2,BE=BE,∴△ABE≌△GBE(AAS),∴AE=GE.∵EF∥BC,EG∥CF,∴四边形EGCF是平行四边形,∴GE=CF,∴AE=CF.21.答案不唯一,如AB=CD或AD∥BC.22.1223.解:(1)在□ABCD中,AD=CB,AB=CD,∠D=∠B.∵E,F分别为AB,CD的中点,∴DF=12CD,BE=12AB,∴DF=BE,∴△AFD≌△CEB.(2)在□ABCD中,AB=CD,AB∥CD.由(1)得BE=DF,∴AE=CE,∴四边形AECF是平行四边形.。
初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)
特殊的平行四边形练习题(50题)菱形、矩形、正方形一、单选题(共18题;共36分)1.下列条件中,能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解:A、对角线互相平分的四边形是平行四边形,故A不符合题意;B、对角线相等且平分的四边形是矩形,故B符合题意;C、对角线相等的四边形不是矩形,故C不符合题意;D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形,故D不符合题意.故答案为:B.【分析】根据矩形的判定方法,逐项进行判断,即可求解2.如图,点A、D、G、M在半圆上,四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形,设BC=a ,EF=b ,NH= c ,则下列各式中正确的是()A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解:连接OA、OD、OM,如图所示:则OA=OD=OM,∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形,∴OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c,∴a=b=c;故答案为:B.【分析】连接OA、OD、OM,则OA=OD=OM,由矩形的对角线相等得出OA=BC=a,OD=EF=b,OM=NH=c,再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图,菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解:连接DE交AC于P,连接BD,BP,由菱形的对角线互相垂直平分,可得B、D关于AC对称,则PD=PB,∴PE+PB=PE+PD=DE,即DE就是PE+PB的最小值,∵∠BAD=60°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴AD=BD,∵AE=BE=AB=1,∴DE⊥AB,在Rt△ADE中,DE=,∴ PE+PB的最小值是.故答案为:D.【分析】连接DE交AC于P,连接BD,BP,根据菱形的性质得出B、D关于AC对称,得出DE就是PE+PB 的最小值,根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB,再根据勾股定理求出DE的长,即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm,则这个正方形的面积为()A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解:设正方形的边长为xcm,根据题意得:x2+x2=22,∴x2=2,∴正方形的面积=x2=2(cm2).故答案为:B.【分析】设正方形的边长为xcm,利用勾股定理列出方程,求出x2=2,即可求出正方形的面积为2.5.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,若OA=6,OH=4,则菱形ABCD的面积为()A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD,∵DH⊥AB,∴∠BHD=90°,∴BD=2OH,∵OH=4,∴BD=8,∵OA=6,∴AC=12,∴菱形ABCD的面积= AC•BD=×12×8=48.故答案为:C.【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得BD的长度,最后由菱形的面积公式求得面积.6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图,∵∠CBD=34°,∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°,由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为:A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE,从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE,可得出∠ABC的度数.7.如图,已知矩形AOBC的顶点O(0,0),A(0,3),B(4,0),按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OC,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧在∠BOC内交于点F;③作射线OF,交边BC于点G,则点G的坐标为()A. (4,1)B. (4,)C. (4,)D. (4,)【答案】B【解析】【解答】解:∵四边形AOBC是矩形,A(0,3),B(4,0),∴OB=4,OA=BC=3,∠OBC=90°,∴OC==5,作GH⊥OC于H,如图,由题意可知:OG平分∠BOC,∵GB⊥OB,GH⊥OC,∴GB=GH,设GB=GH=x,由S△OBC=×3×4=×5×x+ ×4×x,解得:x=,∴G(4,).故答案为:B.【分析】根据勾股定理可得OC的长,作GH⊥OC于H,根据角平分线的性质可得GB=GH,然后利用面积法求出GB即可.8.如图1,在矩形ABCD中,点E在CD上,∠AEB=90°,点P从点A出发,沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止,作PQ⊥CD于点Q,设点P运动的路程为x,PQ长为y,若y与x之间的函数关系图象如图2所示,当x=6时,PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解:由图象可知:AE=3,BE=4,在Rt ABE中,∠AEB=90°AB= =5当x=6时,点P在BE上,如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB=90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中,AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为:B.【分析】由图象可知:AE=3,BE=4,根据勾股定理可得AB=5,当x=6时,点P在BE上,先求出PE的长,再根据△ PQE ∽△ BAE,求出PQ的长.9.如图,在平面直角坐标系中,已知点,.若平移点到点,使以点,,,为顶点的四边形是菱形,则正确的平移方法是()A. 向左平移1个单位,再向下平移1个单位B. 向左平移个单位,再向上平移1个单位C. 向右平移个单位,再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位,再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解:因为B(1,1)由勾股定理可得OB=,所以OA=OB,而AB<OA.故以AB为对角线,OB//AC,由O(0,0)移到点B(1,1)需要向右平移1个单位,再向上平移1个单位,由平移的性质可得由A(,0)移到点C需要向右平移1个单位,再向上平移1个单位,故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC,平移A到C,有两种平移的方法可使O,A,B,C四点构成的四边形是平行四边形;而OA=OB>AB,故当OA,OB为边时O,A,B,C四点构成的四边形是菱形,故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图,把长方形ABCD沿EF对折,若∠1=500,则∠AEF的度数等于()A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折,∴AD∥BC,∠BFE=∠2,∵∠1=50°,∠1+∠2+∠BFE=180°,∴∠BFE==65°,∵∠AEF+∠BFE=180°,∴∠AEF=115°.故选D11.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,AF平分∠DAB,过C点作CE⊥BD于E,延长AF.EC交于点H,下列结论中:①AF=FH;②BO=BF;③CA=CH;④BE=3ED.正确的是()A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB=1,AD=,∴BD=AC=2,OB=OA=OD=OC=1.∴△OAB,△OCD为正三角形.AF平分∠DAB,∴∠FAB=45°,即△ABF是一个等腰直角三角形.∴BF=AB=1,BF=BO=1.∵AF平分∠DAB,∴∠FAB=45°,∴∠CAH=45°﹣30°=15°.∵∠ACE=30°(正三角形上的高的性质)∴∠AHC=15°,∴CA=CH由正三角形上的高的性质可知:DE=OD÷2,OD=OB,∴BE=3ED.所以正确的是②③④.故选D.【分析】这是一个特殊的矩形:对角线相交成60°的角.利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答.本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质.12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB 上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为()A. (3,1)B. (3,)C. (3,)D. (3,2)【答案】B【解析】【解答】解:如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),∴H(,0),∴直线CH解析式为y=﹣x+4,∴x=3时,y= ,∴点E坐标(3,)故选:B.【分析】如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小,先求出直线CH解析式,再求出直线CH与AB的交点即可解决问题.本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识,解题的关键是利用轴对称找到点E位置,学会利用一次函数解决交点问题,属于中考常考题型.13.如图,正方形ABCD的边长为4,M在DC上,且DM=1,N是AC上一动点,则DN+MN的最小值为().A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称,连接BM交AC于N′点,N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可.【解答】∵四边形ABCD是正方形,∴点B与D关于直线AC对称,连接BD,BM交AC于N′,连接DN′,N′即为所求的点,则BM的长即为DN+MN的最小值,∴AC是线段BD的垂直平分线,又CM=CD-DM=4-1=3,在Rt△BCM中,BM==5,故DN+MN的最小值是5.故选C.【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质,先作出M关于直线AC的对称点M′,由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键.14.将矩形OABC如图放置,O为原点.若点A(﹣1,2),点B的纵坐标是,则点C的坐标是()A. (4,2)B. (2,4)C. (,3)D. (3,)【答案】 D【解析】【解答】解:过点A作AE⊥x轴于点E,过点B作BF⊥x轴于点F,过点A作AN⊥BF于点N,过点C作CM⊥x轴于点M,∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°,∴∠EAO=∠COM,又∵∠AEO=∠CMO,∴∠AEO∽△COM,∴=,∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°,∴∠BAN=∠EAO=∠COM,在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS),∴BN=CM,∵点A(−1,2),点B的纵坐标是,∴BN= ,∴CM= ,∴MO==2CM=3,∴点C的坐标是:(3, ).故选:D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形,正确得出CM的长是解题的关键.15.如图,CB=CA,∠ACB=90°,点D在边BC上(与B、C不重合),四边形ADEF为正方形,过点F作FG⊥CA,交CA的延长线于点G,连接FB,交DE于点Q,给出以下结论:①AC=FG;②S△FAB:S四边形CBFG=1:2;③∠ABC=∠ABF;④AD2=FQ•AC,其中正确的结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解:∵四边形ADEF为正方形,∴∠FAD=90°,AD=AF=EF,∴∠CAD+∠FAG=90°,∵FG⊥CA,∴∠C=90°=∠ACB,∴∠CAD=∠AFG,在△FGA和△ACD中,,∴△FGA≌△ACD(AAS),∴AC=FG,①正确;∵BC=AC,∴FG=BC,∵∠ACB=90°,FG⊥CA,∴FG∥BC,∴四边形CBFG是矩形,∴∠CBF=90°,S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG,②正确;∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°,∴∠ABC=∠ABF=45°,③正确;∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°,∴△ACD∽△FEQ,∴AC:AD=FE:FQ,∴AD•FE=AD2=FQ•AC,④正确;故选:D.【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF,证出∠CAD=∠AFG,由AAS证明△FGA≌△ACD,得出AC=FG,①正确;证明四边形CBFG是矩形,得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG,②正确;由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°,③正确;证出△ACD∽△FEQ,得出对应边成比例,得出D•FE=AD2=FQ•AC,④正确.16.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点F是AB的中点,E为BC边上一点,且EF⊥ED,连结DF,M 为DF的中点,连结MA,ME.若AM⊥ME,则AE的长为()A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x,则CE=6-x,∵四边形ABCD矩形,AB=4,∴AB=CD=4,∠C=∠B=90°,∴∠DEC+∠CDE=90°,又∵F是AB的中点,∴BF=2,又∵EF⊥ED,∴∠FED=90°,∴∠FEB+∠DEC=90°,∴∠FEB=∠CDE,∴△BFE∽△CED,∴=,∴=,∴(x-2)(x-4)=0,∴x=2,或x=4,①当x=2时,∴EF=2,DE=4,DF=2,∴AM=ME=,∴AE===2,②当x=4时,∴EF=2,DE=2,DF=2,∴AM=ME=,∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意,舍去故答案为:B.【分析】设BE=x,则CE=6-x,由矩形性质得出AB=CD=4,∠C=∠B=90°,又由EF⊥ED,根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE;由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED,再根据相似三角形的性质得出=,由此列出方程从而求出x=2或x=4,分情况讨论:①当x=2时,由勾股定理算出AE===2,②当x=4时,由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意,舍去.17.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB,BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论:①BE=GE;②△AGE≌△ECF;③∠FCD=45°;④△GBE∽△ECH,其中,正确的结论有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠DCB=90°,AB=BC,∵AG=CE,∴BG=BE,由勾股定理得:BE=GE,∴①错误;∵BG=BE,∠B=90°,∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°,∴∠GAE+∠AEG=45°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF,∴②正确;∴∠AGE=∠ECF=135°,∴∠FCD=135°﹣90°=45°,∴③正确;∵∠BGE=∠BEG=45°,∠AEG+∠FEC=45°,∴∠FEC<45°,∴△GBE和△ECH不相似,∴④错误;即正确的有2个.故选B.【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°,AB=BC,求出BG=BE,根据勾股定理得出BE=GE,即可判断①;求出∠GAE+∠AEG=45°,推出∠GAE=∠FEC,根据SAS推出△GAE≌△CEF,即可判断②;求出∠AGE=∠ECF=135°,即可判断③;求出∠FEC<45°,根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似,即可判断④.18.如图,P是正方形ABCD内一点,∠APB=135,BP=1,AP=,求PC的值()A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形,由勾股定理求解.如图,把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′,点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC,BP′=BP,△PBP′是等腰直角三角形,利用勾股定理求出,然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°,再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题(共15题;共16分)19.如图所示,△ABC为边长为4的等边三角形,AD为BC边上的高,以AD为边的正方形ADEF的面积为________。
特殊平行四边形(习题及答案)
12. 如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,重叠的部分 ABCD 是菱形吗?为什么? 【思路分析】 ①读题标注: ②梳理思路: 要证四边形 ABCD 是菱形,根据题目中已有的条件选择判定 定理:_____________________________________________. 【过程书写】
7. 已知四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 相交于点 O, 则下列结论不正确的是( ) A.当 AB=BC 时,四边形 ABCD 是菱形 B.当 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是菱形 C.当 OA=OB 时,四边形 ABCD 是矩形 D.当∠ABD=∠CBD 时,四边形 ABCD 是矩形
如图在正方形abcd中对角线acbd相交于点o则图中的等腰三角形共有a4个b6个c8个d10个aadbdbcc第5题图第7题图6
特殊平行四边形(习题)
例题示范
例 1:如图,在矩形 ABCD 中,BE 平分∠ABC,CE 平分∠DCB, BF∥CE,CF∥BE. 求证:四边形 BECF 是正方形.
【思路分析】 ①读题标注:
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.每条对角线平分一组对角
5. 符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是( ) A.四条边都相等 B.两组邻边分别相等 C.对角线互相垂直平分 D.两条对角线分别平分一组对角
6. 下列命题错误的是( ) A.矩形的对角线相等 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.平行四边形的对边相等 D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
13. 如图,在四边形 ABCD 中,AB=BC,对角线 BD 平分∠ABC. P 是 BD 上一点,过点 P 作 PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别为 点 M,N. (1)求证:∠ADB=∠CDB; (2)若∠ADC=90°,求证:四边形 MPND 是正方形.
平行四边形性质及判定练习题及答案
平行四边形性质及判定练习题及答案1、如下图,在中,分别是边的中点,已知,则的长为()A.3 B.4 C.5 D.62、如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F,若AE:AF=2 :3,平行四边形ABCD的周长为40,则AB的长为( )A.12 B.9 C.8 D.6 3、如图,在△ABC中,E,D,F分别是AB,BC,CA的中点,AB=6,AC=4,则四边形AEDF•的周长是()A.10 B.20 C.30 D.404、下列四个命题:(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.其中正确的命题个数有()A. 4个 B.3个 C.2个 D. 1个5、如图,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是()A.1cm<OA<4cm B.2cm<OA<8cm C.2cm<OA<5cm D.3cm<OA<8cm6、如图,在▱ABCD中,BD为对角线,E、F分别是AD、BD的中点,连接EF.若EF=3,则CD的长为()A.3 B.6 C.8 D.127、如图,在平行四边形ABCD中,AD=2AB,CE平分∠BCD交AD边于点E,且AE=3,则AB的长为()A.4 B.3 C.2.5 D.28、如图,□ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC的中点.若OE=3 cm,则AB的长为( )A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm9、如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列结论不正确的是()10、A.DC∥AB B.OA=OC C.AD=BC D.DB平分∠ADC10、如图,将ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°,则∠B为( )A. 124° B.114° C. 104° D.6611、在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,给出下列四组条件:①AB∥CD,A D∥BC;②AB=CD,AD=BC;③AO=CO,BO=DO;④AB∥CD,AD=BC.其中,一定能判定四边形ABCD是平行四边形的条件共有。
平行四边形知识点总结及分类练习题
平行四边形知识点总结及分类练习题一、知识点总结平行四边形是几何学中一个重要的概念,其性质和判定方法对于理解几何学中的其他问题有着至关重要的作用。
以下是对平行四边形知识点的总结:1、定义:平行四边形是一个四边形,其中相对的两边平行且相等。
可以用符号“▭”表示。
2、性质:1)对边平行:平行四边形的对边平行且相等。
2)对角相等:平行四边形的对角相等,邻角互补。
3)平行四边形的面积等于其底乘高。
3.判定方法:1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
5)邻角互补的四边形是平行四边形。
4.特殊平行四边形:矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形,它们分别具有以下性质:1)矩形:对角线相等,四个角都是直角。
2)菱形:对角线垂直且平分,四边相等。
3)正方形:对角线垂直且相等,四个角都是直角。
二、分类练习题1、选择题:1)下列哪个条件可以判定一个四边形为平行四边形?A.一组对边相等,一组对角相等B.一组对边平行,另一组对边相等C.一组对角相等,另一组对边平行D.一组对角相等,一组邻角互补答案:(C)一组对角相等,另一组对边平行。
因为一组对角相等,另一组对边平行的四边形可以由一组对边平行,另一组对边相等的四边形经过平移得到,因此选项C正确。
其他选项都不满足平行四边形的定义或判定方法。
2)下列哪个条件可以判定一个四边形为矩形?A.三个内角都是直角B.对角线相等且互相平分C.对角线互相垂直且平分D.一组对边平行且相等,一组邻角互补答案:(B)对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
因为矩形的定义是对角线相等的平行四边形,而对角线相等且互相平分的四边形是平行四边形,因此选项B正确。
其他选项分别是矩形的定义或判定方法的一部分,但不足以单独判定一个四边形为矩形。
特殊平行四边形知识点总结及题型一、平行四边形的性质:1、平行四边形的对边平行且相等;2、平行四边形的对角相等;3、平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形性质及判定练习题
平行四边形性质及判定练习题在几何学中,平行四边形是一种特殊类型的四边形,具有许多独特的性质。
本文将介绍平行四边形的性质,并提供一些判定平行四边形的练习题供读者练习。
一、平行四边形的定义和性质平行四边形定义:如果一组四边形的对边是平行的,那么这个四边形就是平行四边形。
平行四边形的性质如下:1. 对边性质:平行四边形的对边相等。
2. 对角线性质:平行四边形的对角线互相平分。
3. 内角和性质:平行四边形的内角和为180度。
4. 对顶角性质:平行四边形的对顶角相等。
二、判定平行四边形的方法1. 判定对边相等:如果一个四边形的对边相等,那么它是一个平行四边形。
2. 判定对角线平分:如果一个四边形的对角线互相平分,那么它是一个平行四边形。
3. 判定内角和:如果一个四边形的内角和为180度,那么它是一个平行四边形。
4. 判断对顶角相等:如果一个四边形的对顶角相等,那么它是一个平行四边形。
三、判定练习题1. 判断以下四边形是否是平行四边形:题目一:ABCD是一个四边形,AB = CD,AD = BC,AC = BD。
证明:ABCD是一个平行四边形。
解答一:由题意知,AB = CD,AD = BC,根据判定对边相等的方法可得,ABCD是一个平行四边形。
题目二:ABCD是一个四边形,AC是对角线,且AC平分∠BAD。
证明:ABCD是一个平行四边形。
解答二:由题意知,AC平分∠BAD,根据判定对角线平分的方法可得,ABCD是一个平行四边形。
题目三:ABCD是一个四边形,∠A + ∠C = 180°,∠B + ∠D = 180°。
证明:ABCD是一个平行四边形。
解答三:由题意知,∠A + ∠C = 180°,∠B + ∠D = 180°,根据判定内角和的方法可得,ABCD是一个平行四边形。
题目四:ABCD是一个四边形,∠A = ∠C,∠B = ∠D。
证明:ABCD是一个平行四边形。
平行四边形性质练习题
平行四边形性质练习题平行四边形性质练习题平行四边形是初中数学中一个重要的几何概念,它具有一些独特的性质和特点。
在本文中,我们将通过一些练习题来加深对平行四边形性质的理解和应用。
练习题1:已知ABCD是一个平行四边形,AC的延长线与BD的延长线交于点E,证明AE与BC平行。
解析:我们可以通过证明三角形ABE与三角形CDE相似来证明AE与BC平行。
首先,由于ABCD是一个平行四边形,所以AB与CD平行,即∠ABE与∠CDE是对应角,且∠AEB与∠CED是共顶角,因此∠ABE≌∠CDE。
又因为∠AEB与∠CED互为对应角,所以∠AEB≌∠CED。
根据相似三角形的性质,我们可以得出三角形ABE与三角形CDE相似。
因此,我们可以得出AE与BC平行的结论。
练习题2:已知ABCD是一个平行四边形,E是AD的中点,F是BC的中点,连接EF并延长交于点G,证明AG与BC平行。
解析:我们可以通过证明三角形AGE与三角形BFC相似来证明AG与BC平行。
首先,由于ABCD是一个平行四边形,所以AB与CD平行,即∠AGE与∠BFC是对应角,且∠AEG与∠BFC是共顶角,因此∠AGE≌∠BFC。
又因为∠AEG与∠BFC互为对应角,所以∠AEG≌∠BFC。
根据相似三角形的性质,我们可以得出三角形AGE与三角形BFC相似。
因此,我们可以得出AG与BC平行的结论。
练习题3:已知ABCD是一个平行四边形,E是AD的中点,F是BC的中点,连接EF并延长交于点G,证明AG=2GF。
解析:根据题意,我们可以得出AE=ED,BF=FC。
由于E是AD的中点,所以AE=ED=1/2AD;同理,由于F是BC的中点,所以BF=FC=1/2BC。
根据平行四边形的性质,我们可以得出AD=BC。
因此,AE=1/2AD=1/2BC=BF。
根据三角形的等边性质,我们可以得出三角形AGE与三角形BFC是等边三角形。
因此,AG=AE+EG=BF+FC=2BF=2GF。
平行四边形性质和判定习题(答案详细)
平行四边形性质和判定习题(答案详细)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(平行四边形性质和判定习题(答案详细))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平行四边形性质和判定习题1.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.(1)求证:BE=DF;(2)若 M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).2.如图所示,▱AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,分别与AE,CF交于B,D.求证:四边形ABCD是平行四边形.3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.4.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:EF=AD.5.如图,已知D是△ABC的边AB上一点,CE∥AB,DE交AC于点O,且OA=OC,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系,并加以证明.6.如图,已知,▱ABCD中,AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证:四边形MFNE是平行四边形.7.如图,平行四边形ABCD,E、F两点在对角线BD上,且BE=DF,连接AE,EC,CF,FA.求证:四边形AECF是平行四边形.8.在▱ABCD中,分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE、DF.求证:四边形BEDF是平行四边形.9.如图所示,DB∥AC,且DB=AC,E是AC的中点,求证:BC=DE.10.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1cm/s的速度运动,到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动,到B点即停止,直线PQ截梯形为两个四边形.问当P,Q同时出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?11.如图:已知D、E、F分别是△ABC各边的中点,求证:AE与DF互相平分.12.已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平行四边形.求证:四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形.13.如图,已知四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD的中点,并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证:EF和GH互相平分.14.如图:▱ABCD中,MN∥AC,试说明MQ=NP.15.已知:如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF经过点O并且分别和AB,CD相交于点E,F,点G,H分别为OA,OC的中点.求证:四边形EHFG是平行四边形.16.如图,已知在▱ABCD中,E、F是对角线BD上的两点,BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上,且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.(1)求证:四边形GEHF是平行四边形;(2)若点G、H分别在线段BA和DC上,其余条件不变,则(1)中的结论是否成立?(不用说明理由)17.如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.(1)求证:AF=CE;(2)如果AC=EF,且∠ACB=135°,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.18.如图平行四边形ABCD中,∠ABC=60°,点E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,垂足为点F,DF=2(1)求证:D是EC中点;(2)求FC的长.19.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.(1)求证:四边形EFCD是平行四边形;(2)若BF=EF,求证:AE=AD.20.如图,四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.(1)请判断四边形EFGH的形状?并说明为什么;(2)若使四边形EFGH为正方形,那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质?21.如图,△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1)当AB≠AC时,证明:四边形ADFE为平行四边形;(2)当AB=AC时,顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.22.如图,以△ABC的三边为边,在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF,那么,四边形AFED是否为平行四边形?如果是,请证明之,如果不是,请说明理由.23.在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论:PD+PE+PF=AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.24.如图1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点(不在直线AC上),∠ACB=90°,M为AB边中点.操作:以PA、PC为邻边作平行四边形PADC,连续PM并延长到点E,使ME=PM,连接DE.探究:(1)请猜想与线段DE有关的三个结论;(2)请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作;(3)经历(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;如果你认为你写的结论是错误的,请用图2或图3加以说明;(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)(4)若将“Rt△ABC"改为“任意△ABC”,其他条件不变,利用图4操作,并写出与线段DE有关的结论(直接写答案).25.在一次数学实践探究活动中,小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;(1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_________组;(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线;(3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?26.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=Rt∠,AB=AD=10cm,BC=8cm.点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC 方向向点C运动.已知动点P、Q同时发,当点Q运动到点C时,P、Q运动停止,设运动时间为t.(1)求CD的长;(2)当四边形PBQD为平行四边形时,求四边形PBQD的周长;(3)在点P、点Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.27.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O(0,0)、A(2,0)、B(1,1),则第四个顶点C的坐标是多少?28.已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE、DF,且cm,,求平行四边形ABCD的面积.29.如图,在平面直角坐标系中,已知O为原点,四边形ABCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是A(﹣3,),B(﹣2,3),C(2,3),点D在第一象限.(1)求D点的坐标;(2)将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度,再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少?(3)求平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积?30.如图所示.▱ABCD中,AF平分∠BAD交BC于F,DE⊥AF交CB于E.求证:BE=CF.答案与评分标准1.如图,已知四边形ABCD为平行四边形,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F.(1)求证:BE=DF;(2)若 M、N分别为边AD、BC上的点,且DM=BN,试判断四边形MENF的形状(不必说明理由).考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质。
平行四边形判定专项练习30题
平行四边形的判定专项练习题1.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,ED∥BF,AF=CE,求证:ABCD是平行四边形.证明:∵AD∥BC,∴∠DAE=∠BCF,∵ED∥BF,∴∠DEF=∠BFE,∴∠AED=∠CFB,又∵AF=CE,∴AE=CF,在△ADE和△CBF中:∵∠DAE=∠BCF,∠AED=∠CFB,AE=CF,∴△ADE≌△CBF(AAS),∴AD=CB,即:AD∥CB,AD=CB,∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)3.已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,OA=OC,AD∥BC.求证:四边形ABCD为平行四边形.证明:∵AD∥BC,∴∠DAO=∠BCO.∴在△AOD与△COB中,,∴△AOD≌△COB(ASA),∴AD=BC,∴在四边形ABCD中,AD BC,∴四边形ABCD为平行四边形.4.如图,已知:点B、E、F、D在一条直线上,DF=BE,AE=CF,AB=DC,求证:四边形ABCD为平行四边形.证明:∵DF=BE,AE=CF,AB=CD,∴△ABE≌△CDF(sss),∴∠ABE=∠CDF,∴AB∥CD,又∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.10.如图,已知AB∥DC,E是BC的中点,AE,DC 的延长线交于点F;求证:四边形ABFC是平行四边形证明:∵AB∥DC,∴∠1=∠2,∠FCE=∠EBA,∵E为BC中点,∴CE=BE,∵在△ABE和△FCE中,∴△ABE≌△FCE;∴EF=AE,∵CE=BE,∴四边形ABFC是平行四边形(两条对角线互相平分的四边形是平行四边形)12.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.若∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.求证:(1)△ABC≌△EAF;(2)四边形ADFE是平行四边形.12.(1)∵△ABE为等边三角形,EF⊥AB,∴EF为∠BEA的平分线,∠AEB=60°,AE=AB,∴∠FEA=30°,又∠BAC=30°,∴∠FEA=∠BAC,在△ABC和△EAF中,,∴△ABC≌△EAF(AAS);(2)∵∠BAC=30°,∠DAC=60°,∴∠DAB=90°,即DA⊥AB,∵EF⊥AB,∴AD∥EF,∵△ABC≌△EAF,∴EF=AC=AD,∴四边形ADFE是平行四边形16.△ABC中,中线BE、CF相交于O,M是BO的中点,N是CO的中点,求证:四边形MNEF是平行四边形.16.∵BE,CF是△ABC的中线,∴EF∥BC且EF=BC,∵M是BO的中点,N是CO的中点,∴MN∥BC且MN=BC,∴EF∥MN且EF=MN,∴四边形MNEF是平行四边形.20.如图,在△ABC中,AD是中线,点E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF.求证:四边形AFBD是平行四边形.20.∵E为AD中点,∴AE=DE,∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,在△AEF和△CED中∵,∴△AEF≌△CED(AAS),∴AF=DC,∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC,∴AF=BD,即AF∥BD,AF=BD,故四边形AFBD是平行四边形22.已知:四边形ABCD,∠A=∠C,∠B=∠D,求证:四边形ABCD是平行四边形,证明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∴2∠A+2∠B=360°,∴∠A+∠B=180°,∴AD∥BC,同理AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.23.已知:如图,A、B、C、D在同一条直线上,且AB=CD,AE∥DF,AE=DF.求证:四边形EBFC是平行四边形.23.∵AE∥DF,∴∠A=∠D,在△ABE和△DCF中∴△ABE≌△DCF(SAS),∴EB=FC,∠ABE=∠DCF,∵∠ABE+∠EBC=180°,∠DCF+∠FCB=180°,∴∠EBC=∠FCB,∴BE∥FC,∵BE=FC,∴四边形EBFC是平行四边形25.已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点,试问四边形EFGH的形状并说明理由.25.四边形EFGH是平行四边形证明:连接AC、BD∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四边的中点∴EH=BD,FG=BD,HG=AC,EF=AC∴EH=FG,EF=HG∴四边形EFGH是平行四边形.27.如图,AD∥BC,ED∥BF,且AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.27.∵AD∥BC,∴∠EAD=∠FCB,又ED∥BF,∴∠FED=∠EFB,∠AED=180°﹣∠FED,∠CFB=180°﹣∠EFB,∴∠AED=∠CFB,又已知AE=CF,∴△AED≌△CFB,∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.30.已知:在四边形ABCD中,AD∥BC,且AB=DC=5,AC=4,BC=3.求证:四边形ABCD为平行四边形.30.∵AB=5,AC=4,BC=3∴AB2=AC2+BC2∴∠BCA=90°∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA=90°∵DC=5,AC=4,∴AD2=DC2﹣AC2=9∴AD=BC=3∴四边形ABCD为平行四边形.8.如图,矩形ABCD的两条对角线AC和BD相交于点O,E、F是BD上的两点,且∠AEB=∠CFD.求证:四边形AECF是平行四边形.8.∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABE=∠CDF,又∵∠AEB=∠CFD,∴△ABE≌△CDF,∴BE=DF,又∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,∴OB﹣BE=OD﹣DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形。
初中数学青岛版八年级下册第6章 平行四边形6.3特殊的平行四边形-章节测试习题(8)
章节测试题1.【题文】如图,在平行四边形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗?为什么?【答案】见解答.【分析】首先根据定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上,可得到∠DAC=∠CAE,然后证明∠DAC=∠DCA,可得到DA=DC,再根据菱形的判定定理:邻边相等的平行四边形是菱形,进而可得到结论.【解答】是菱形.理由如下:∵PE⊥AB,PF⊥AD,且PE=PF,∴AC是∠DAB的角平分线,∴∠DAC=∠CAE,∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形.【点评】此题主要考查了菱形的判定,证明∠DAC=∠DCA是解此题的关键.2.【题文】如图,四边形ABCD中,对角线相交于点O,E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点.(1)求证:四边形EFGH是平行四边形;(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时,四边形EFGH是菱形?并证明你的结论.【答案】见解答.【分析】(1)根据中位线的判定GH=EF= AB,EH=FG= CD,所以四边形EFGH是平行四边形.(2)根据菱形的判定,四边都相等的四边形是菱形,只要证明EF=FG=GH=HE就可以了,这就需要AB=CD这个条件.【解答】(1)证明:∵E、F分别是AD,BD的中点,G、H分别中BC,AC的中点,∴EF∥AB,EF= AB;GH∥AB,GH= AB.(2分)∴EF∥GH,EF=GH.∴四边形EFGH是平行四边形.(2分)(2)当AB=CD时,四边形EFGH是菱形.(1分)理由:∵E、F分别是AD,BD的中点,H,G分别是AC,BC的中点,G、F分别是BC,BD的中点,E,H分别是AD,AC的中点,∴EF= AB,HG= AB,FG= CD,EH= CD,又∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH是菱形.(3分)【点评】此题考查了三个判定:平行四边形的判定、菱形的判定、中位线的判定,牢记这几个判定,解此类问题就轻而易举了.3.【题文】如图,在平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=2AD,点 E、F分别是AB、CD的中点,过点A作A G∥BD,交CB的延长线于点G.(1)求证:四边形DEBF是菱形;(2)请判断四边形AGBD是什么特殊四边形?并加以证明.【答案】见解答.【分析】(1)利用平行四边形的性质证得△AED是等边三角形,从而证得DE=BE,问题得证;(2)利用平行四边形的性质证得∠ADB=90°,利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定矩形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB=CD,AD∥BC且AD=BCE,F分别为AB,CD的中点,∴BE= AB,DF= CD,∴BE=BF,∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中,E是AB的中点,∴AE=BE= AB=AD,而∠DAB=60°∴△AED是等边三角形,即DE=AE=AD,故DE=BE∴平行四边形DEBF是菱形.(2)解:四边形AGBD是矩形,理由如下:∵AD∥BC且AG∥DB∴四边形AGBD是平行四边形由(1)的证明知AD=DE=AE=BE,∴∠ADE=∠DEA=60°,∠EDB=∠DBE=30°故∠ADB=90°∴平行四边形AGBD是矩形.【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理等知识,解题的关键是弄清菱形及矩形的判定方法.4.【题文】如图,△ABC中,AB=AC,AD、CD分別是△ABC两个外角的平分线.(1)求证:AC=AD;(2)若∠B=60°,求证:四边形ABCD是菱形.【答案】见解答.【分析】(1)根据角平分线的性质得出∠FAD=∠B,以及AD∥BC,再利用∠D=∠ACD,证明AC=AD;(2)根据平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形,再利用菱形的判定得出.【解答】证明:(1)∵AB=AC,∴∠B=∠BCA,∵AD平分∠FAC,∴∠FAD=∠DAC= ∠FAC,∵∠B+∠BCA=∠FAC,∴∠B= ∠FAC,∴∠B=∠FAD,∴AD∥BC,∴∠D=∠DCE,∵CD平分∠ACE,∴∠ACD=∠DCE,∴∠D=∠ACD,∴AC=AD;(2)∵∠B=60°,AB=AC,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC,∴∠ACB=60°,∠FAC=∠ACE=120°,∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠B=∠D=60°,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是菱形.【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和角平分线的性质等内容,注意菱形与平行四边形的区别,得出AB=BC是解决问题的关键.5.【题文】已知:如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在BC和CD上,AE=AF.(1)求证:BE=DF;(2)连接AC交EF于点O,延长OC至点M,使OM=OA,连接EM,FM,判断四边形AEMF是什么特殊四边形?并证明你的结论.【答案】见解答.【分析】(1)求简单的线段相等,可证线段所在的三角形全等,即证△ABE≌△ADF;(2)由于四边形ABCD是正方形,易得∠ECO=∠FCO=45°,BC=CD;联立(1)的结论,可证得EC=CF,根据等腰三角形三线合一的性质可证得OC(即AM)垂直平分EF;已知OA=OM,则EF、AM互相垂直平分,根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形,即可判定四边形AEMF 是菱形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠B=∠D=90°,在Rt△ABE和Rt△ADF中,∵,∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)∴BE=DF;(2)解:四边形AEMF是菱形,理由为:证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BCA=∠DCA=45°(正方形的对角线平分一组对角),BC=DC(正方形四条边相等),∵BE=DF(已证),∴BC-BE=DC-DF(等式的性质),即CE=CF,在△COE和△COF中,,∴△COE≌△COF(SAS),∴OE=OF,又OM=OA,∴四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形),∵AE=AF,∴平行四边形AEMF是菱形.【点评】本题主要考查对正方形的性质,平行四边形的判定,菱形的判定,平行线分线段成比例定理,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.6.【题文】如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AC平分∠BAD,CE∥AD交AB于点E.求证:四边形AECD是菱形.【答案】见解答.【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形,再由AB∥CD,得∠EAC=∠DCA,AC平分∠BAD,得∠DAC=∠CAE,从而得到∠ACD=∠DAC,即AD=DC,有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【解答】证明:∵AB∥CD,CE∥AD,∴四边形AECD是平行四边形.(3分)∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,(4分)又∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC=∠DAC,(5分)∴AD=DC,(6分)∴四边形AECD是菱形.(8分)【点评】考查了平行四边形和菱形的判定,比较简单.7.【题文】两块完全相同的三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A 1 B 1 C 1)如图①放置在同一平面上(∠C=∠C 1 =90°,∠ABC=∠A 1 B 1 C 1 =60°),斜边重合.若三角板Ⅱ不动,三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动,图②是滑动过程中的一个位置.(1)在图②中,连接BC 1、B 1 C,求证:△A 1 BC 1≌△AB 1 C;(2)三角板Ⅰ滑到什么位置(点B 1落在AB边的什么位置)时,四边形BCB 1 C 1是菱形?说明理由.【答案】见解答.【分析】利用全等三角形的性质得出一些条件,然后再进行证明.【解答】(1)证明:∵三角板Ⅰ(△ABC)和Ⅱ(△A 1 B 1 C 1)是两块完全相同的三角板,∴AC=A 1 C 1 AB=A 1 B 1∠A=∠A 1∴在图②中A 1 B=AB 1∴△A 1 BC 1≌△AB 1 C.(2)解:点B 1落在AB边的中点.理由如下:如图②所示,由已知条件知BC=B 1 C 1,BC∥B 1 C 1∴四边形BCB 1 C 1是平行四边形.要使四边形BCB 1 C 1是菱形,则BC=CB 1∵∠ABC=∠A 1 B 1 C 1 =60°,∴△BCB 1为等边三角形.∴BB 1 =B 1 C=BC,又∵∠A=30°,在直角三角形ABC中,BC= AB,∴BB 1 = AB,∴点B 1落在AB边的中点.【点评】(1)灵活把握题中隐含的条件是解题的关键.(2)菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.8.【题文】将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠,使得AC落在AB边上,折痕为AD,展平纸片,如图(1);再次折叠该三角形纸片,使得点A与点D重合,折痕为EF,再次展平后连接DE、DF,如图2,证明:四边形AEDF是菱形.【答案】见解答.【分析】第一次折叠,AC落在AB边上,则折痕AD平分∠BAC,∠EAD=∠FAD;第二次折叠,A、D重合,则∠EAF=∠EDF、∠EDA=∠FDA;AE=ED、AF=FD;易证得△AED≌△AFD,得AE=AF、DE=DF,再根据第二次折叠所得到的AE=DE、AF=FD,可证得四边形AEDF的四边相等,由此可判定四边形AEDF是菱形.【解答】证明:由第一次折叠可知:AD为∠CAB的平分线,∴∠1=∠2(2分)由第二次折叠可知:∠CAB=∠EDF,∵AE=ED,AF=FD,∴∠1=∠3,∠2=∠4,∵∠1=∠2,∴∠3=∠4(4分),在△AED与△AFD中1=∠2,AD=AD,∠3=∠4∴△AED≌△AFD(ASA)(6分)∴AE=AF,DE=DF,∴EO=FO,AO=DO,AD⊥EF,故四边形AEDF是菱形.(9分)【点评】此题考查了折叠的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法.9.【题文】如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.【答案】见解答.【分析】(1)首先可根据DE∥AC、CE∥BD判定四边形ODEC是平行四边形,然后根据矩形的性质:矩形的对角线相等且互相平分,可得OC=OD,由此可判定四边形OCED是菱形.(2)连接OE,通过证四边形BOEC是平行四边形,得OE=BC;根据菱形的面积是对角线乘积的一半,可求得四边形ODEC的面积.【解答】解:(1)四边形OCED是菱形.(2分)∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,(3分)又在矩形ABCD中,OC=OD,∴四边形OCED是菱形.(4分)(2)连接OE.由菱形OCED得:CD⊥OE,(5分)又∵BC⊥CD,∴OE∥BC(在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行),又∵CE∥BD,∴四边形BCEO是平行四边形;∴OE=BC=8(7分)∴S 四边形OCED = OE•CD=×8×6=24.(8分)【点评】本题主要考查矩形的性质,平行四边形、菱形的判定,菱形面积的求法;菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.10.【题文】如图,在▱ABCD中,EF∥BD,分别交BC,CD于点P,Q,交AB,AD的延长线于点E、F.已知BE=BP.求证:(1)∠E=∠F;(2)▱ABCD是菱形.【答案】见解答.【分析】(1)四边形ABCD是平行四边形,则BC∥AF,可得同位角∠BPE=∠F;在等腰△BEP中,∠E=∠BPE,等量代换后即可证得所求的结论;(2)由EF∥BD,可得同位角∠ABD=∠E,∠ADB=∠F;由(1)知∠E=∠F,等量代换后可证得∠ABD=∠ADB,即AB=AD,根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ABCD是菱形.【解答】证明:(1)在▱ABCD中,BC∥AF,∴∠1=∠F,∵BE=BP,∴∠E=∠1,∴∠E=∠F;(2)∵BD∥EF,∴∠2=∠E,∠3=∠F,∵∠E=∠F,∴∠2=∠3,∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质及菱形的判定:一组邻边相等的平行四边形是菱形.11.【题文】如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为边AB,AD的中点,连接EF,OE,OF,求证:四边形AEOF是菱形.【答案】见解答.【分析】要证明四边形AEOF是菱形,可根据“四条边相等的四边形是菱形”或“一组邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明.【解答】证明:∵点E,F分别为AB,AD的中点∴AE= AB,AF= AD (2分),又∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∴AE=AF (4分),又∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O∴O为BD的中点,∴OE,OF是△ABD的中位线.(6分)∴OE∥AD,OF∥AB,∴四边形AEOF是平行四边形(8分),∵AE=AF,∴四边形AEOF是菱形.【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定.12.【题文】某同学用两个完全相同有一个角为60°的直角三角尺重叠在一起(如图)固定△ABC不动,将△DEF沿线段AB向右平移,当D移至AB中点时(如图②).(1)求证:△ACD≌△DFB;(2)猜想四边形CDBF的形状,并说明理由.【答案】见解答.【分析】(1)根据已知可以得出∠CAB=∠FDE,AC=DF,BD=AD,即可得出△ACD≌△DFB;(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质,即可得到该四边形的四条边都相等,则它是一个菱形;【解答】(1)证明:∵两个完全相同有一个角为60°的直角三角尺重叠在一起(如图②)固定△ABC不动,将△DEF沿线段AB向右平移,∴∠CAB=∠FDE=60°,AC=DF,∵D移至AB中点时,∴BD=AD,∴在△ACD与△DFB中,,∴△ACD≌△DFB;(2)菱形.理由:∵在直角三角形ABC中,AD=BD,∴CD=AD=BD,根据平移的性质,图形平移前后对应线段相等,对应点平移距离相等,得到CF=BD,BF=CD,∴CF=BD=BF=CD,∴四边形CDBF是菱形;【点评】此题主要考查了菱形的判定,综合运用直角三角形的性质和平移的性质进行分析计算,考查学生综合运用数学知识的能力.13.【题文】如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E、F分别在AD及其延长线上,CE∥BF,连接BE、CF.(1)求证:△BDF≌△CDE;(2)若AB=AC,求证:四边形BFCE是菱形.【答案】见解答.【分析】(1)由CE、BF的内错角相等,可得出△CED和△BFD的两组对应角相等;已知D是BC的中点,即BD=DC,由AAS即可证得两三角形全等;(2)若AB=AC,则△ABC是等腰三角形,而D是底边BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质可证得AD⊥BC;由(1)的全等三角形,易证得四边形BFCE的对角线互相平分;根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可判定四边形BFCE是菱形.【解答】证明:(1)∵CE∥BF,∴∠ECD=∠FBD,∠DEC=∠DFB;又∵D是BC的中点,即BD=DC,∴△BDF≌△CDE;(AAS)(2)∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形;又∵BD=DC,∴AD⊥BC(三线合一),由(1)知:△BDF≌△CDE,则DE=DF,DB=DC;∴四边形BFCE是菱形(对角线互相平分且互相垂直的四边形为菱形).【点评】此题主要考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质及菱形的判定方法.14.【题文】如图,在梯形ABCD中,AC平分∠BAD,在底边AB上截AE=CD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若点E是AB的中点,试判断△ABC的形状,并说明理由.【答案】见解答.【分析】(1)根据四边形ABCD是梯形得到AB∥DC,从而得到∠DCA=∠EAC,利用EC平分∠BAD,得到∠BAC=∠DAC,从而∠DAC=∠DCA,所以AD=CD,利用邻边相等的平行四边形是菱形判定四边形AECD是菱形;(2)利用若点E是AB的中点,得到AE=BE,根据CE=AE,得到CE=BE,从而得到△ABC为直角三角形.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是梯形,∴AB∥DC,又∵AE=CD,∴四边形AECD是平行四边形.∴∠DCA=∠EAC,∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴四边形AECD是菱形;(2)解:∵若点E是AB的中点,∴AE=BE,∵CE=AE,∴CE=BE,∴∠EBC=∠ECB,∠EAC=∠ECA∴∠ECB+∠ECA=90°∴△ABC为直角三角形.【点评】本题考查了梯形的性质及菱形的判定,解题的关键是熟知梯形的性质,并理解其基本辅助线的作法.15.【题文】如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,D为AC的中点,以BD为折痕,将△BCD折叠,使得C点到达C 1点的位置,连接AC 1.求证:四边形ABDC 1是菱形.【答案】见解答.【分析】要证四边形ABDC 1为菱形,则要通过题中的条件证出四边相等即可得出答案.【解答】证明:∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴∠C=30°∴BA= AC.又∵BD是斜边AC的中线,∴BD=AD= AC=CD.∴BD=AB=CD,∴∠C=∠DBC=30°,∵将△BCD沿BD折叠得△BC 1 D,∴△CBD≌△C 1 BD,∴CD=DC 1,∴AB=BD=DC 1,∴∠C 1 BA=∠BC 1 D=30°,∴BA∥DC 1,DC 1 =AB,∴四边形ABDC 1为平行四边形,又∵AB=BD,∴平行四边形ABDC 1为菱形.【点评】此题考查的是图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变.16.【题文】如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E.DF平分∠ADC交BC于F.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若BD⊥EF,则判断四边形EBFD是什么特殊四边形,请证明你的结论.【答案】见解答.【分析】(1)由平行四边形ABCD可得出的条件有:①AB=CD,②∠A=∠C,③∠ABC=∠CDA;已知BE、CD分别是等角∠ABD、∠CDA的平分线,易证得∠ABE=∠CDF④;联立①②④,即可由ASA判定所求的三角形全等;(2)由(1)的全等三角形,易证得DE=BF,那么DE和BF平行且相等,由此可判定四边形BEDF 是平行四边形,根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可得出EBFD的形状.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD,∠ABC=∠ADC,∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠ABE=∠CDF,∴△ABE≌△CDF(ASA);(2)解:若BD⊥EF,则四边形EBFD是菱形.证明:由△ABE≌△CDF,得AE=CF,在平行四边形ABCD中,AD平行BC,AD=BC,∴DE∥BF,DE=BF,∴四边形EBFD是平行四边形,∴若BD⊥EF,则四边形EBFD是菱形.【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质及菱形的判定方法.17.【题文】如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点.(1)求证:四边形DECF是平行四边形;(2)若AC=BC,则四边形DECF是什么特殊四边形?请说明理由.【答案】见解答.【分析】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边进行证明;(2)根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.【解答】(1)证明:方法一:∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,∴DE∥AC,DE= AC,CF= AC.(3)分∴DE∥CF,DE=CF.∴四边形DECF是平行四边形,5分)方法二:∵D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,∴DE∥AC,DF∥BC,(3分)∴四边形DECF是平行四边形.(5分)(2)解:四边形DECF是菱形(6分)理由:∵E、F分别是边BC、CA的中点,∴CE= BC,CF= AC,又∵AC=BC,∴CE=CF.(8分)由(1)知,四边形DECF是平行四边形,∴四边形DECF是菱形.(10分)【点评】考查了平行四边形和菱形的判定.形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义;②四边相等;③对角线互相垂直平分.18.【题文】如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,且∠BAE=∠DCF.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)若AC⊥EF,试判断四边形AECF是什么特殊四边形,并证明你的结论.【答案】见解答.【分析】(1)平行四边形的对边相等,对角相等,即∠B=∠D,AB=CD,根据已知给出的∠BAE=∠DCF,可证明两个三角形全等.(2)可先证明四边形AECF中对角线的关系,根据AC⊥EF,从而判断出到底是什么特殊的四边形.【解答】解:(1)∵在平行四边形ABCD中,∴∠B=∠D,AB=CD,又∵∠BAE=∠DCF.∴△ABE≌△CDF;(2)∵△ABE≌△CDF,∴BE=DF,∴BC-BE=AD-FD,∴EC=AF,∵AD∥BC,∴∠FAC=∠ECA,∠CEF=∠AFE,∴△AOF≌△COE,∴AO=CO,EO=FO,又∵AC⊥EF,∴四边形AECF是菱形.【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质,平行四边形的对边平行且相等,对角相等,全等三角形的判定和性质,菱形的判定.19.【题文】△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE 是以AD为边的等边三角形,过点E作BC的平行线,分别交射线AB、AC于点F、G,连接BE.(1)如图(a)所示,当点D在线段BC上时.①求证:△AEB≌△ADC;②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形?并说明理由;(2)如图(b)所示,当点D在BC的延长线上时,直接写出(1)中的两个结论是否成立;(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCGE是菱形?并说明理由.【答案】见解答.【分析】(1)根据等边三角形的性质可得AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°,然后求出∠BAE=∠CAD,再利用“边角边”证明△AEB和△ADC全等;②四边形BCGE是平行四边形,因为△AEB≌△ADC,所以可得∠ABE=∠C=60°,进而证明∠ABE=∠BAC,则可得到EB∥GC又EG∥BC,所以四边形BCGE是平行四边形;(2)根据(1)的思路解答即可.(3)当CD=CB时,四边形BCGE是菱形,由(1)可知△AEB≌△ADC,可得BE=CD,再证明BE=CB,即邻边相等的平行四边形是菱形.【解答】证明:(1)①∵△ABC和△ADE都是等边三角形,∴AE=AD,AB=AC,∠EAD=∠BAC=60°.又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD,∴∠EAB=∠DAC,∴△AEB≌△ADC(SAS).②方法一:由①得△AEB≌△ADC,∴∠ABE=∠C=60°.又∵∠BAC=∠C=60°,∴∠ABE=∠BAC,∴EB∥GC.又∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.方法二:证出△AEG≌△ADB,得EG=AB=BC.∵EG∥BC,∴四边形BCGE是平行四边形.(2)①②都成立.(3)当CD=CB (∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°)时,四边形BCGE是菱形.理由:方法一:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD又∵CD=CB,∴BE=CB.由②得四边形BCGE是平行四边形,∴四边形BCGE是菱形.方法二:由①得△AEB≌△ADC,∴BE=CD.又∵四边形BCGE是菱形,∴BE=CB∴CD=CB.方法三:∵四边形BCGE是平行四边形,∴BE∥CG,EG∥BC,∴∠FBE=∠BAC=60°,∠F=∠ABC=60°∴∠F=∠FBE=60°,∴△BEF是等边三角形.又∵AB=BC,四边形BCGE是菱形,∴AB=BE=BF,∴AE⊥FG∴∠EAG=30°,∵∠EAD=60°,∴∠CAD=30°.【点评】本题主要考了平行线四边形的判定和性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定,解题关键在于根据题意画出图形,通过求证三角形全等,推出等量关系,即可推出结论.20.【题文】如图,在△ABC中,AB=2BC,点D、点E分别为AB、AC的中点,连接DE,将△ADE 绕点E旋转180°,得到△CFE.试判断四边形BCFD的形状,并说明理由.【答案】见解答.【分析】四边形BCFD应该是菱形,要证四边形AFCE是菱形,只需通过定义证明它是一组邻边相等的平行四边形即可,此题实际是对判定菱形的方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”的证明.【解答】解:四边形BCFD是菱形,理由如下:∵点D、点E分别是AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE= BC,又∵△CFE是由△ADE旋转而得,∴DE=EF,∴DF∥BC,DF=BC,∴四边形BCFD是平行四边形,又∵AB=2BC,且点D为AB的中点,∴BD=BC,∴BCFD是菱形.【点评】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据,常用三种方法:①定义,②四边相等,③对角线互相垂直平分.还有就是本题中一组邻边相等的平行四边形是菱形.。
初中数学人教版八年级下册第十八章 平行四边形18.2 特殊的平行四边形-章节测试习题
章节测试题1.【题文】如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AD=CD,点E在AD上,DE=BD,M、N分别是AB、CE的中点.(1)求证:△ADB≌△CDE;(2)求∠MDN的度数.【答案】见解析【分析】(1)由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°,根据已知条件即可得到结论;(2)根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE,根据直角三角形的性质得到AM=DM,DN=CN,由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA,∠NCD=∠NDC,等量代换得到∠ADM=∠CDN,即可得到结论.【解答】(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°,在△ABD与△CDE中,∵AD=CD,∠ADB=∠ADC,DB=DE,∴△ABD≌△CDE;(2)解:∵△ABD≌△CDE,∴∠BAD=∠DCE,∵M、N分别是AB、CE的中点,∴AM=DM,DN=CN,∴∠MAD=∠MDA,∠NCD=∠NDC,∴∠ADM=∠CDN,∵∠CDN+∠ADN=90°,∴∠ADM+∠ADN=90°,∴∠MDN=90°.2.【题文】已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.(1)求证:EG=CG且EG⊥CG;(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?【答案】(1)证明见解析;(2)成立,证明见解析;(3)成立,即EG=CG且EG⊥CG.【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可证出CG=EG.(2)结论仍然成立,连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点;再证明△DAG≌△DCG,得出AG=CG;再证出△DMG≌△FNG,得到MG=NG;再证明△AMG≌△ENG,得出AG=EG;最后证出CG=EG.(3)结论依然成立.还知道EG⊥CG;【解答】解:(1)证明:在Rt△FCD中,∵G为DF的中点,∴,同理,在Rt△DEF中,,∴CG=EG;(2)(1)中结论仍然成立,即EG=CG;连接AG,过G点作MN⊥AD于M,与EF的延长线交于N点,如图所示:在△D AG与△DCG中,∵AD=CD,∠ADG=∠CDG,DC=DC,∴△DAG≌△DCG,∴AG=CG,在△DMG与△FNG中,∵∠DGM=∠FGN,DG=FG,∠MDG=∠NFG,∴△DMG≌△FNG,∴MG=NG,在矩形AENM中,AM=EN.,在Rt△AMG与Rt△ENG中,∵AM=EN,MG=NG,∴△AMG≌△ENG,∴AG=EG,∴EG=CG,(3)(1)中的结论仍然成立,即EG=CG且EG⊥CG。
平行四边形判定练习题
平行四边形判定练习题在几何学中,平行四边形是指具有两对相互平行的对边的四边形。
要判定一个四边形是否为平行四边形,我们需要检查四边形的特性和属性。
下面是一些平行四边形判定的练习题,通过解答这些题目,你可以巩固对平行四边形的理解并提升你的几何技巧。
练习题一:已知四边形ABCD,其中AB ∥ CD,AC ⊥ CD,AD ⊥ AB。
判断四边形ABCD是否为平行四边形。
解答:根据题干已知条件,我们可以得到以下推理:1. AB ∥ CD:对于平行四边形,对边是相互平行的,所以该条件满足。
2. AC ⊥ CD:平行四边形的两条对边不仅平行,还相互垂直,所以该条件不满足。
因此,根据已知条件,四边形ABCD不是平行四边形。
练习题二:在四边形EFGH中,EF ∥ GH,FG ⊥ GH,EG ⊥ EF。
已知EF = 5 cm,FG = 8 cm,EG = 4 cm。
求EH的长度。
解答:根据题干已知条件,我们可以得到以下推理:1. EF ∥ GH:对于平行四边形,对边是相互平行的,所以该条件满足。
2. FG ⊥ GH:平行四边形的两条对边不仅平行,还相互垂直,所以该条件不满足。
3. EG ⊥ EF:平行四边形的两条对边不仅平行,还相互垂直,所以该条件满足。
根据已知条件,我们可以将四边形EFGH划分成两个直角三角形EFG和EGH。
根据直角三角形的性质,我们可以使用勾股定理求解:EG² + GH² = EH²代入已知值,得到:4² + 8² = EH²16 + 64 = EH²80 = EH²通过开方运算,得到:EH = √80 ≈ 8.94 cm所以,四边形EFGH中EH的长度约为8.94 cm。
练习题三:在平行四边形IJKL中,已知IJ = 6 cm,JK = 8 cm,KL = 6 cm,IL = 8 cm。
判断平行四边形IJKL的类型。
平行四边形的性质练习题
平行四边形的性质练习题平行四边形是几何中常见的一种图形,它有着许多独特的性质和特点。
在本文中,我们将通过一些练习题来深入探讨平行四边形的性质。
1. 练习题一:已知ABCD是一个平行四边形,AC的延长线与BD的延长线交于点E。
证明AE=EC。
解析:由于ABCD是一个平行四边形,所以AD || BC,我们可以得到三角形AEB与三角形CED是全等三角形,因此AE=EC。
2. 练习题二:已知ABCD是一个平行四边形,E是AD的中点,F是BC的中点。
连接EF并延长交于点G,证明G是平行四边形ABCD的中点。
解析:由于E是AD的中点,所以AE=ED;同理,由于F是BC的中点,所以BF=FC。
根据平行四边形的性质,我们知道AE || BF,ED || FC。
因此,根据平行线的性质,我们可以得知EF || CD。
又因为EF与CD的延长线交于点G,所以G是平行四边形ABCD的中点。
3. 练习题三:已知ABCD是一个平行四边形,E是AD的中点,F是BC的中点。
连接EF并延长交于点G,证明G是平行四边形ABCD的对角线的中点。
解析:根据练习题二的证明过程,我们已经知道G是平行四边形ABCD的中点。
现在我们来证明G也是对角线AC和BD的中点。
连接AG和BG,我们可以得到三角形AEB和三角形AFB是全等三角形,因为AE=EB,AF=FB,且∠EAF=∠EBF=90°。
根据全等三角形的性质,我们可以得知∠EAB=∠FBA。
同理,我们可以连接CG和DG,得到三角形CED和三角形CFD是全等三角形,因为CE=ED,CF=FD,且∠ECD=∠FCB=90°。
根据全等三角形的性质,我们可以得知∠CED=∠CFD。
由于平行四边形ABCD的对角线AC和BD互相平分,所以∠EAB=∠ECD,∠FBA=∠CFD。
结合前面得出的结论∠EAB=∠FBA,我们可以得知∠ECD=∠CFD。
综上所述,我们可以得出结论,G是平行四边形ABCD的对角线的中点。
平行四边形证明练习题#精选.
平行四边形证明练习题一.解答题1.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证:∠DAE=∠BCF.2.在▱ABCD中,E,F分别是BC、AD上的点,且BE=DF.求证:AE=CF.3.如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC.AD上的点,∠1=∠2求证:△ABE≌△CDF.4.如图,已知:平行四边形ABCD中,E是CD边的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于F点.求证:BC=DF.5.如图,在▱ABCD中,AC交BD于点O,点E、点F分别是OA、OC的中点,请判断线段BE、DF的关系,并证明你的结论.6.已知:如图,▱ABCD中,E、F是对角线AC上的点,且AE=CF.求证:△ABE≌△CDF.7.如图,已知在▱ABCD中,过AC中点的直线交CD,AB于点E,F.求证:DE=BF.8.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AE.四边形AECD是平行四边形吗?为什么?9.如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证:DE=BF.10.如图,四边形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F,AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.11.如图,在△ABC中,AD是中线,点E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF.求证:四边形AFBD是平行四边形.12.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,DE∥AB,AD+DC=BC.求证:(1)DE=DC;(2)△DEC是等边三角形.13.已知:如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证:(1)△ADF≌△CBE;(2)连接DE、BF,试判断四边形DEBF的形状,并说明理由.14.如图,平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG,AH=CF.求证:四边形EFGH是平行四边形.15.如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的点,且AE=CF.(1)猜想探究:BE与DF之间的关系:_________(2)请证明你的猜想.16.如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF.求证:∠1=∠2.17.如图,已知E,F分别是▱ABCD的边AB,CD的中点.求证:ED=BF.18.如图,BD是▱ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:四边形DEBF为平行四边形.19.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,证明:四边形BFDE 是平行四边形.20.如图所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,为什么?说明理由.21.如图,△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:EF=DG且EF∥DG.22.已知如图所示,▱ABCD的对角线AC、BD交于O,GH过点O,分别交AD、BC于G、H,E、F在AC上且AE=CF,求证:四边形EHFG是平行四边形.平行四边形证明练习题参考答案与试题解析一.解答题(共22小题)1.如图所示,已知在平行四边形ABCD中,BE=DF.求证:∠DAE=∠BCF.考点:平行四边形的性质;平行线的性质;全等三角形的判定与性质.分析:根据平行四边形性质求出AD∥BC,且AD=BC,推出∠ADE=∠CBF,求出DE=BF,证△ADE≌△CBF,推出∠DAE=∠BCF即可.解答:证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,且AD=BC,∴∠ADE=∠CBF又∵BE=DF,∴BF=DE,∵在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF,∴∠DAE=∠BCF.点评:本题考查了平行四边形性质,平行线性质,全等三角形的性质和判定的应用,关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件,主要考查学生的推理能力.2.在▱ABCD中,E,F分别是BC、AD上的点,且BE=DF.求证:AE=CF.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.分析:根据平行四边形的性质得出AB=CD,∠B=∠D,根据SAS证出△ABE≌△CDF即可推出答案.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠B=∠D,∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.点评:本题主要考查对平行四边形的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能根据性质证出△ABE≌△CDF是证此题的关键.3.如图,四边形ABCD是平行四边形,E、F分别是BC.AD上的点,∠1=∠2求证:△ABE≌△CDF.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定.分析:利用平行四边形的性质和题目提供的相等的角可以为证明三角形全等提供足够的条件.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D,AB=CD,∴在:△ABE与△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA)点评:本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定,根据平行四边形找到证明全等三角形足够的条件是解决本题的关键.4.如图,已知:平行四边形ABCD中,E是CD边的中点,连接BE并延长与AD的延长线相交于F点.求证:BC=DF.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.分析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,根据平行线的性质即可求得∠EBC=∠F,∠C=∠EDF,又由E是CD边的中点,根据AAS即可求得△EBC≌△EFD,则问题得证.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EBC=∠F,∠C=∠EDF,又∵EC=ED,∴△EBC≌△EFD(AAS),∴BC=DF.点评:此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是要注意数形结合思想的应用.5.(2013•莒南县二模)如图,在▱ABCD中,AC交BD于点O,点E、点F分别是OA、OC的中点,请判断线段BE、DF的关系,并证明你的结论.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质.分析:根据平行四边形的性质对角线互相平分得出OA=OC,OB=OD,利用中点的意义得出OE=OF,从而利用平行四边形的判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定BFDE是平行四边形,从而得出BE=DF,BE∥DF.解答:解:由题意得:BE=DF,BE∥DF.理由如下:连接DE、BF.∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵E,F分别是OA,OC的中点,∴OE=OF,∴BFDE是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF.点评:本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用.性质:①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.判定:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形;②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③两组对角分别相等的四边形是平行四边形;④对角线互相平分的四边形是平行四边形;⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.6.已知:如图,▱ABCD中,E、F是对角线AC上的点,且AE=CF.求证:△ABE≌△CDF.考点:平行四边形的性质;平行线的性质;全等三角形的判定.分析:根据平行四边形的性质得出AB∥DC,AB=CD,根据平行线的性质推出∠BAC=∠DCF,根据SAS证出即可.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DC,AB=CD,∴∠BAC=∠DCF,∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF.点评:本题主要考查对平行四边形的性质,全等三角形的判定,平行线的性质等知识点的理解和掌握,能推出证△ABE≌△CDF的三个条件是解此题的关键.7.如图,已知在▱ABCD中,过AC中点的直线交CD,AB于点E,F.求证:DE=BF.考点:平行四边形的性质;平行线的性质;全等三角形的判定与性质.分析:根据平行四边形的性质得到DC=AB,DC∥AB,根据平行线的性质得到∠ECA=∠BAC,∠CEO=∠AFO,能推出△AOF≌△COE,得到CE=AF,即可证出答案.解答:证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC=AB,DC∥AB,∴∠ECA=∠BAC,∠CEO=∠AFO,∵OA=OC,∴△AOF≌△COE,∴CE=AF,∵DC=AB,∴DE=BF.点评:本题主要考查对平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握,解此题的关键是根据平行四边形的性质证出△AOF和△COE全等.8.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=AE.四边形AECD是平行四边形吗?为什么?考点:等腰梯形的性质;平行线的判定与性质;等腰三角形的性质;平行四边形的判定.分析:根据等腰三角形性质求出∠B=∠C,根据等腰三角形性质推出∠AEC=∠B=∠C,推出AE∥CD,根据平行四边形的判定推出即可.解答:解:是平行四边形,理由:∵四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,∴AB=DC,∠B=∠C,∵AB=AE,∴∠AEB=∠B,∴∠AEB=∠C,∴AE∥DC,又∵AD∥BC,∴四边形AECD是平行四边形.点评:本题考查了等腰三角形的性质,等腰梯形的性质,平行线的性质和判定,平行四边形的判定等知识点的应用,关键是根据题意推出AE∥CD,培养了学生分析问题和解决问题的能力,题目较好,综合性比较强.9.如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证:DE=BF.考点:平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定.分析:连接BE,DF,BD,BD交AC于O,根据平行四边形性质求出OA=OC,OD=OB,推出OE=OF,根据平行四边形的判定推出四边形BEDF是平行四边形即可.解答:证明:连接BE,DF,BD,BD交AC于O,∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OD=OB,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF是平行四边形,∴DE=BF.点评:本题考查了平行四边形的性质和判定等应用,关键是能熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理,此题的证明方法二是证△AED≌△CFB,推出DE=BF.10.如图,四边形ABCD中,AD=BC,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足为E、F,AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.考点:平行四边形的判定;平行线的性质;全等三角形的判定与性质.分析:求出∠AED=∠CFB=90°,根据HL证Rt△AED≌Rt△CFB,推出∠ADE=∠CBD,得到AD∥BC,根据平行四边形的判定判断即可.解答:证明:∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°,在Rt△AED和Rt△CFB中,∴Rt△AED≌Rt△CFB(HL),∴∠ADE=∠CBD,∴AD∥BC,∵AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.点评:本题考查了平行四边形的判定,平行线的性质,全等三角形的性质和判定等知识点的应用,关键是推出AD∥BC,主要考查学生运用性质进行推理的能力.11.如图,在△ABC中,AD是中线,点E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,连接BF.求证:四边形AFBD是平行四边形.考点:平行四边形的判定;全等三角形的判定与性质.专题:证明题.分析:求出AE=DE,∠AFE=∠DCE,证△AEF≌△CED,推出AF=DC,得出AF∥BD,AF=BD,根据平行四边形的判定推出即可.解答:证明:∵E为AD中点,∴AE=DE,∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,在△AEF和△CED中∵,∴△AEF≌△CED(AAS),∴AF=DC,∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC,∴AF=BD,即AF∥BD,AF=BD,故四边形AFBD是平行四边形.点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,全等三角形的性质和判定,关键是推出AF=DC=BD.12.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,DE∥AB,AD+DC=BC.求证:(1)DE=DC;(2)△DEC是等边三角形.考点:等腰梯形的性质;等边三角形的判定;平行四边形的判定与性质.分析:(1)证出平行四边形ABED,推出DE=AB,即可推出答案;(2)根据BE=AD,AD+DC=BC,BE+EC=BC,推出DC=EC即可证出答案.解答:证明:(1)∵AD∥BC,DE∥AB,∴四边形ABED是平行四边形,∴DE=AB,∵AB=DC,∴DE=DC.(2)证明:∵BE=AD,AD+DC=BC,BE+EC=BC,∴DC=EC,由(1)知:DE=DC,∴DE=DC=EC,∴△DEC是等边三角形.点评:本题主要考查对等腰梯形的性质,平行四边形的性质和判定,等边三角形的判定等知识点的理解和掌握,证出平行四边形ABED和DC=EC是解此题的关键.13.已知:如图,E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点,AE=CF.求证:(1)△ADF≌△CBE;(2)连接DE、BF,试判断四边形DEBF的形状,并说明理由.考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.分析:(1)根据平行四边形的性质对边平行且相等得到AD与BC平行且相等,由AD与BC平行得到内错角∠DAF 与∠BCA相等,再由已知的AE=CF,根据“SAS”得到△ADF与△CBE全等;(2)由(1)证出的全等,根据全等三角形的性质得到DF与EB相等且∠DFA与∠BEC相等,由内错角相等两直线平行得到DF与BE平行,根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可得到四边形DEBF 的形状.解答:证明:(1)∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC(1分)∴∠DAF=∠BCA(2分),∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE(3分)∴△ADF≌△CBE(4分)(2)四边形DEBF是平行四边形(5分)∵△ADF≌△CBE,∴∠DFA=∠BEC,DF=BE,∴DF∥BE,∴四边形DEBF是平行四边形(6分)点评:本题综合考查了全等三角形的判断与性质,以及平行四边形的判断与性质.其中第2问是一道先试验猜想,再探索证明的新型题,其目的是考查学生提出问题,解决问题的能力,这类几何试题将成为今后中考的热点试题.14.如图,平行四边形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG,AH=CF.求证:四边形EFGH是平行四边形.考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.分析:易证得△AEH≌△CGF,从而证得对应边BE=DG、DH=BF.故有△BEF≌△DGH,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证.解答:证明:在平行四边形ABCD中,∠A=∠C(平行四边形的对边相等);又∵AE=CG,AH=CF(已知),∴△AEH≌△CGF(SAS),∴EH=GF(全等三角形的对应边相等);在平行四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC(平行四边形的对边相等),∴AB﹣AE=CD﹣CG,AD﹣AH=BC﹣CF,即BE=DG,DH=BF.又∵在平行四边形ABCD中,∠B=∠D,∴△BEF≌△DGH;∴GH=EF(全等三角形的对应边相等);∴四边形EFGH是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).点评:本题考查了平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.15.如图,在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的点,且AE=CF.(1)猜想探究:BE与DF之间的关系:平行且相等(2)请证明你的猜想.考点:平行四边形的判定与性质.分析:(1)BE平行且等于DF;(2)连接BD交AC于O,根据平行四边形的性质得出OA=OC,OD=OB,推出OE=OF,得出平行四边形BEDF即可.解答:(1)解:BE和DF的关系是:BE=DF,BE∥DF,故答案为:平行且相等.(2)证明:连接BD交AC于O,∵ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,∴BFDE是平行四边形,∴BE=DF,BE∥DF.点评:本题考查了平行四边形的性质和判定的应用,主要检查学生能否熟练地运用平行四边形的性质和判定进行推理,题型较好,通过此题培养了学生分析问题和解决问题的能力,同时培养了学生的观察能力和猜想能力.16.如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF.求证:∠1=∠2.考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.分析:由三角形全等(△ABE≌△CDF)得到BE=DF,所以四边形BFDE是平行四边形,根据对角相等即可得证.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形(已知),∴AB=CD,AB∥CD(平行四边形的对边平行且相等),∴∠BAE=∠DCF(两直线平行,内错角相等);∵BE∥DF(已知),∴∠BEF=∠DFE(两直线平行,内错角相等),∴∠AEB=∠CFD(等量代换),∴△ABE≌△CDF(AAS);∴BE=DF(全等三角形的对应边相等),∵BE∥DF,∴四边形BEDF是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形),∴∠1=∠2(平行四边形的对角相等).点评:本题主要考查平行四边形的性质和三角形全等的判定,需要熟练掌握并灵活运用.平行四边形的判定定理:对边平行且相等的四边形是平行四边形.17.如图,已知E,F分别是▱ABCD的边AB,CD的中点.求证:ED=BF.考点:平行四边形的判定与性质.分析:根据平行四边形的性质得到AB∥CD,AB=CD,根据线段的中点的定义得到EB=AB,DF=CD,即BE=DF,BE∥DF,得到平行四边形EBFD,根据平行四边形的性质即可得到答案.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵E,F分别是▱ABCD的边AB,CD的中点,∴EB=AB,DF=CD,∴BE=DF,∵BE∥DF,∴四边形EBFD是平行四边形,∴ED=BF.点评:本题主要考查对平行四边形的性质和判定的理解和掌握,能灵活运用平行四边形的性质和判定进行证明是解此题的关键.18.如图,BD是▱ABCD的对角线,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证:四边形DEBF为平行四边形.考点:平行四边形的判定与性质;角平分线的定义.分析:根据平行四边形性质和角平分线定义求出∠FDB=∠EBD,推出DF∥BE,根据平行四边形的判定判断即可.解答:解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD,∵DF平分∠CDB,BE平分∠ABD,∴∠FDB=∠CDB,∠EBD=∠ABD,∴∠FDB=∠EBD,∴DF∥BE,∵AD∥BC,即ED∥BF,∴四边形DEBF是平行四边形.点评:本题考查了角平分线定义,平行四边形的性质和判定等的应用,关键是推出DF∥BE,主要检查学生能否运用定理进行推理,题型较好,难度适中.19.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,证明:四边形BFDE 是平行四边形.考点:平行四边形的判定与性质;全等三角形的判定与性质.分析:利用“平行四边形的对角线互相平分”的性质推知OA=OC,OB=OD;然后由已知条件“点E、F分别为AO、OC的中点”可以证得OE=OF;最后根据平行四边形的判定定理“对角线相互平分的四边形为平行四边形”即可证得结论.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).又∵点E、F分别为AO、OC的中点,∴OE=OF.∴四边形BFDE是平行四边形(对角线相互平分的四边形为平行四边形).点评:本题考查了平行四边形的判定与性质.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.20.如图所示,A,E,F,C在一条直线上,AE=CF,过E,F分别作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,可以得到BD平分EF,为什么?说明理由.考点:全等三角形的判定与性质;垂线;直角三角形全等的判定;平行四边形的判定与性质.分析:求出∠AFB=∠CED=90°,DE∥BF,推出AF=CE,连接BE、DF,根据HL证Rt△ABF≌Rt△CDE,推出DE=BF,得出平行四边形DEBF,根据平行四边形的性质推出即可.解答:解:BD平分EF,理由是:证法一、连接BE、DF.∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,DE∥BF,∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴DE=BF,∵DE∥BF,∴四边形DEBF是平行四边形,∴BD平分EF;证法二、∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠AFB=∠CED=90°,DE∥BF,∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在Rt△ABF和Rt△CDE中,∴Rt△ABF≌Rt△CDE,∴DE=BF,∵在△BFG和△DEG中,∴△BFG≌△DEG(AAS),∴EG=FG,即BD平分EF.点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,垂线,全等三角形的性质和判定等知识点的运用,关键是得出平行四边形DEBF,题目比较好,难度适中.21.如图,△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:EF=DG且EF∥DG.考点:三角形中位线定理;三角形的角平分线、中线和高;平行四边形的判定与性质.分析:根据三角形的中位线推出DE∥BC,DE=BC,GF∥BC,GF=BC,推出GF=DE,GF∥DE,得出平行四边形DEFG,根据平行四边形的性推出即可.解答:证明:∵BD、CE是△ABC的中线,∴DE∥BC,DE=BC,同理:GF∥BC,GF=BC,∴GF=DE,GF∥DE,∴四边形DEFG是平行四边形,∴EF=DG,EF∥DG.点评:本题考查了平行四边形的性质和判定,三角形的中位线,三角形的中线等知识点,主要检查学生能否熟练的运用性质进行推理,题目比较典型,难度适中,通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力.22.已知如图所示,▱ABCD的对角线AC、BD交于O,GH过点O,分别交AD、BC于G、H,E、F在AC上且AE=CF,求证:四边形EHFG是平行四边形.考点:平行四边形的判定与性质.分析:根据平行四边形性质得出OA=OC,AD∥BC,推出OE=OF,∠GAO=∠HCO,∠AGO=∠CHO,根据AAS 证△AGO≌△CHO,推出OG=OH,根据平行四边形的判定推出即可.解答:证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∵AE=CF,∴OE=OF,∵AD∥BC,∴∠GAO=∠HCO,∠AGO=∠CHO,在△AGO和△CHO中,∴△AGO≌△CHO(AAS),∴OG=OH,∵OE=OF,∴四边形EHFG是平行四边形.点评:本题考查了全等三角形的性质和判定,平行线的性质,平行四边形的性质和判定等知识点,注意:平行四边形的对角线互相平分,对角线互相平分的四边形是平行四边形.最新文件仅供参考已改成word文本。
判断平行四边形练习题
判断平行四边形练习题平行四边形是一种特殊的四边形,它的特点是四条边两两平行。
在几何学中,判断平行四边形的练习题是常见的考察学生对平行四边形性质的理解和运用能力的方式之一。
本文将通过几个练习题来帮助读者掌握判断平行四边形的方法。
练习题一:已知四边形ABCD,AB∥CD,AC⊥BD,AD=BC。
判断四边形ABCD是否为平行四边形。
解析:根据题目给出的条件,我们知道AB∥CD,所以ABCD的对边是平行的。
又因为AC⊥BD,所以ABCD的一对对边是垂直的。
综合这两个条件,我们可以得出结论:四边形ABCD是一个平行四边形。
练习题二:在平行四边形ABCD中,已知AB=CD,AC⊥BD,BD=8cm,求AC的长度。
解析:根据已知条件可知AB=CD,而ABCD是一个平行四边形,所以AD∥BC。
根据三角形的性质,我们知道AC垂直于BD,所以三角形ACD和三角形ABC是相似的。
那么根据相似三角形的性质,我们可以得到一个比例关系:AC/AB=CD/BC。
由于AB=CD,化简上式可得:AC/AB=1。
所以AC=AB。
又因为AB=CD,所以AC的长度就等于CD的长度。
故AC的长度为8cm。
练习题三:已知平行四边形ABCD中,AB=5cm,BC=8cm,CD=10cm,求AD的长度。
解析:根据平行四边形的性质,我们知道AB∥CD,所以AD∥BC。
根据相似三角形的性质,我们可以得到一个比例关系:AD/AB=CD/BC。
将已知值代入上式,可得:AD/5=10/8。
通过交叉相乘得到AD=6.25cm。
练习题四:已知平行四边形ABCD中,AB=5cm,AD=7cm,∠BAD=60°,求BD的长度。
解析:根据平行四边形的性质,我们知道AB∥CD,所以AD∥BC。
根据三角形的内角和为180°的性质,我们可以得到∠ADC=180°-60°=120°。
在三角形ADC中,已知AD=7cm,AC⊥BD,所以角ADC为直角。
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平行四边形及特殊的平行四边形
1.已知:如图,四边形ABCD 是菱形,过AB 的中点E 作AC 的垂线EF ,交AD 于点M ,交CD 的延长线于点F . (1)求证:AM =DM ;
(2)若DF =2,求菱形ABCD 的周长.
2. 如图所示,在Rt ABC △中,90ABC =︒∠.将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △,点E 在AC 上,再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △.连接
AD .
(1)求证:四边形AFCD 是菱形; (2)连接BE 并延长交AD 于G ,连接CG , 请问:四边形ABCG 是什么特殊平行四边形?为什么?
3.(本题满分13分)如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B 点)上
任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ,连接EN 、AM 、CM. ⑴ 求证:△AMB ≌△ENB ;
⑵ ①当M 点在何处时,AM +CM 的值最小;
B
A
C
D F
M 第1题图
E
第2题图
A
D
F
C
E
G
B
A D
②当M 点在何处时,AM +BM +CM 的值最小,并说明理由; ⑶ 当AM +BM +CM 的最小值为13+时,求正方形的边长.
4. 如图,ABM ∠为直角,点C 为线段BA 的中点,点D 是射线BM 上的一个动点(不与点B 重合),
连结
AD ,作BE AD ⊥,垂足为E ,连结CE ,过点E 作EF CE ⊥,交BD
于F . (1)求证:BF
FD =;
(2)A ∠在什么围变化时,四边形
ACFE 是梯形,并说明理由;
(3)A ∠在什么围变化时,线段DE 上存在点G ,满足条件1
4
DG DA =,并说明
理由
5. 如图15,平行四边形ABCD 中,AB AC ⊥,1AB =
,BC =对角线AC BD ,相
交于点O ,将直线AC 绕点O 顺时针旋转,分别交BC AD ,于点E F ,.
A
B
C D F
E
M
(1)证明:当旋转角为90时,四边形ABEF 是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.
6. 如图,已知平行四边形ABCD 中,对角线AC BD ,交于点O ,E 是BD 延长线上的点,且ACE △是等边三角形.
(1)求证:四边形ABCD 是菱形;
(2)若2AED EAD ∠=∠,求证:四边形ABCD 是正方形.
7. 如图,P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点(P 与A 、C 不重合),点E 在射
线BC 上,且PE=PB .
(1)求证:① PE=PD ; ② PE ⊥PD ; (2)设AP =x , △PBE 的面积为y .
① 求出y 关于x 的函数关系式,并写出x 的取值围; ② 当x 取何值时,y 取得最大值,并求出这个最大值.
E
B A
A B
C
O F E
8. 数学课上,老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.90AEF ∠=,
且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF .
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证
AME ECF △≌△,所以AE EF =.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由
9. 在矩形ABCD 中,点E 是AD 边上一点,连接BE ,且∠ABE =30°,BE =DE ,连接BD .点P
A
B
C
P
D
E
A D F
B 图1 A D F B 图2 A
D F
C E B 图3
从点E 出发沿射线ED 运动,过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q .
(1) 当点P 在线段ED 上时(如图1),求证:BE =PD +
3
3
PQ ; (2)若 BC =6,设PQ 长为x ,以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ,求y 与 x
的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值围);
(3)在②的条件下,当点P 运动到线段ED 的中点时,连接QC ,过点P 作PF ⊥QC ,垂足为F ,PF 交对角线BD 于点G (如图2),求线段PG 的长。