不等式恒成立 能成立 恰成立
高中数学含参数不等式问题的解题策略(一)
高中数学含参数不等式问题的解题策略 （一）周六晚8：00---10：00 周日下午3：30---5：30与含有参数的不等式有关的数学问题，大致有以下三种类型：第一种类型：解含有参数的不等式；第二种类型：已知含有参数的不等式成立的条件，求参数的范围.第三种类型：已知含有参数的不等式在某个条件下恒成立,能成立,恰成立或部分成立，求参数的范围. 其中的解题常见的策略有：反客为主法，利用函数图像的凹凸性，几何意义法，，分离参数法，以及纯一元二次函数的图像分析法（着重从开口方向、与y 的交点、对称轴、及“△”来分析）数形结合法等方法。
如何解含有参数的不等式，解题时应该注意什么问题，我们将通过例题进行说明。
【问题1】求a ，b 的值，使得关于x 的不等式ax 2+bx+a 2-1≤0的解集分别是：(1)[-1，2]；(2)(-∞，-1]∪[2，+∞)；(3){2}；(4)[-1，+∞)．【问题2】设()()2212log 210,0x x x y a ab b a b ⎡⎤=+-+>>⎣⎦，求使y 为负值的x 德取值范围.【问题3】解关于x 的不等式)10(12≠>->-a a a a a x x 且【问题4】． 解关于x 的不等式322---x x x a ＞0 2. 已知不等式成立的条件，求参数的范围. 【问题5】．(2008广东卷,理)设a ∈R 若函数3ax y e x =+\x ∈R 有大于零的极值点，则a ∈____【问题6】．设{}31<<=x x A ,又设B 是关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤+-≤+-052,0222bx x a x x 的解集, 试确定b a ,的取值范围使B A ⊆【问题8】．(2009·湖北省八校高三第一次联考)设p ：|4x －3|≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤┐p 是┐q 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是___【问题9】(2005江西卷，理，文)已知函数bax x x f +=2)(（a ，b 为常数）且方程 ()120f x x -+=有两个实根为4,321==x x .(1）求函数f (x )的解析式（2）设1>k ，解关于x 的不等式x k x k x f --+<2)1()( 【问题10】己知三个不等式：①x x -<-542 ②12322≥+-+x x x (1)若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；(2)若满足的③x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围。
恒成立恰成立能成立之辨析
（收 稿 日 期 ：２０１１－１０－１６）
围内恰好是成立的，即 这 个 范 围 不 能 扩 大 或 缩 小，
否 则 ，不 等 式 （或 性 质 等 ）不 成 立 ．
练习题组：
１．（１）已知函数ｆ（ｘ）＝ 槡ａｘ ＋１（ａ为常数）
在区间（－ ∞，１］上有意义，求实数ａ 的取值范围．
（２）已知函数ｆ（ｘ）＝ 槡ａｘ ＋１（ａ为常数）的
定义域为（－ ∞，１］，求实数ａ 的取值范围． ２．（１）已知函数ｙ ＝３ｘ２ ＋２（ａ－１）ｘ＋ｂ在
·辅教导学· 数学通讯———２０１２年第１、２期（上半月）
５５
≤－４＋２ 槡３．
练
习５
已
知
函
数ｆ（ｘ）＝ｘ３
－
１ａｘ２ ２
＋３ｘ－
１
在［１ ２
，＋
∞
）是
增函
数
，求
实
数ａ
的
取值
范
围．
答案 ａ ∈ （－ ∞，６］． （收 稿 日 期 ：２０１１－１０－１２）
“恒成立”、“恰成立”“、能成立”之辨析
由已知可得，－１，４是方程４ｙ２ －４ｂｙ －ａ２ ＝ ０的根，由韦达定理得ｂ＝３，ａ ＝±４．
当ｂ＝３，ａ＝±４时，令ｙ ＝０，即ａｘ＋ｂ＝０，
解
得
ｘ
＝－
ｂ ａ
．
综上所述，则ｂ＝３，ａ ＝±４．
例 ２
(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
高考数学培优专题5：函数与方程
高考数学培优---专题5函数与方程一、真题特点分析：1. 方程2223450x xy y x -+-+=的整数解的组数为________．2.已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（ ）A ．e 2B ．eC ．2e 2D ．2e3已知方程2sin 1x x -=，则下列判断： （1）方程没有正数解； （2）方程有数多个解； （3）方程有一个正数解； （4）方程的实根小于1．其中错误的判断有_______________二、知识要点拓展一．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有关公式1.一元二次方程的根：x =2.根与系数的关系：12b x x a +=-，12cx x a=（韦达定理）3.判别式：24b ac ∆=-．二．函数不等式恒成立、能成立、恰成立问题 1.函数不等式的恒成立问题：（1）不等式()f x m ≥在集合D 上恒成立⇔在集合D 上min ()f x m ≥． （2）不等式()f x n ≤在集合D 上恒成立⇔在集合D 上max ()f x n ≤．2.函数不等式的能成立问题：（1）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x m ≥成立⇔在集合D 上max ()f x m ≥． （2）在集合D 上存在实数x 使不等式()f x n ≤成立⇔在集合D 上min ()f x n ≤． 3.函数不等式的恰成立问题：不等式在集合D 上恰成立⇔该不等式的解集为D ． 三．几个常见的函数方程1.正比例函数()f x cx =,具有性质：()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.2.指数函数()x f x a =,具有性质：()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.3.对数函数()log a f x x =,具有性质：()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.方程的根与函数的零点：1.对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数叫做函数()y f x =的零点．2.方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点3.零点存在定理：设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()()0f a f b ⋅<，那么在开区间(,)a b 内至少存在一点c ，使()0f c =。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用问题引入：例1 ：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ．求实数a 的取值范围． 分析：思路1、通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路 2、通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路3、通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方．小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：⑴若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A⑵若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
2、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
3．转换成函数图象问题⑴若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；⑵若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；【变式练习：】 对]2,1[∈x ，0122>+-ax x →0123>+-ax x 012ln >+-→ax x 均恒成立，该如何处理？例2：已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】1）思路、等价转化为函数0)()(>-x g x f 恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决．2）思路、对在不同区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需满足)()(max min x g x f >即可．简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x xx x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x x x x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．例3 设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的取值范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xab x x g x h ++=++=)()(求导，22))((1)(x a x a x x a x h +-=-='，由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴a b a b b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围。
高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题不等式恒成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上A x f >min )]([ 若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上B x f <max )]([当)(x f 的最值取不到时，留意表达要精确，如1)(<x f ，则)(x f m >恒成立⇔1≥m 不等式中能成立．．．问题（有解） 若在区间D 上存在实数X 使不等式A x f >)(成立，则等价于在区间D 上A x f >max )]([ 若在区间D 上存在实数X 使不等式B x f <)(成立，则等价于在区间D 上B x f <min )]([ 不等式中恰成立问题若不等式A x f >)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式A x f >)(的解集为D 若不等式B x f <)(在区间D 上恰成立,则等价于不等式B x f <)(的解集为D 利用一次函数的性质对于一次函数]),[)(0()(n m x a b ax x f ∈≠+=有：①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(n f m f ②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(n f m f 结论：若一个不等式中有两个变量，假如已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数例：已知1log 6log )1()(323++⋅--=x a x a x x f ,当]1,0[∈x 时，)(x f 恒为正数，求a 的取值范围。
[3331<<a ]变式：当]4,2[∈x 时，若不等式042)2(2<-+-a a x 恒成立，求实数a 的范围()1,2-∈a变式：已知定义在R 上的奇函数()f x 在()0,+∞上是增函数且(1)(2)f ax f x +≤+对随意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，则实数a 的取值范围 (]2,∞- 利用二次函数的判别式对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=有①0)(>x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆>⇔0402ac b a②0)(<x f 恒成立⎩⎨⎧<-=∆<⇔0402ac b a 结论：若一个不等式中有两个变量，假如已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分别参数。
恒成立,能成立,恰成立问题
(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时， 若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。
例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。
2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。
合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。
含参不等式的恒成立、恰成立与能成立
一
３ 一
＝
数理化懈题研究
２０１８年第 Ｏ４期总第 ３８９期
解 （１）ｆ（ｘ）Ｉ ＞０恒－成 ＿ａ－，即 Ｐ Ｃ ＋（ｍ＋１） ＋１ Ｉ ＞０在 的取值 范围 ； （２）若 对 ∈［一３，３］， ∈［一３，３］者Ｂ有 ｆ（ 。）≤
ｇ（ ）成立 ，求 ｋ的取值范 围 ； （３）若存在 ∈［一３，３］，使 ）≤ｇ（Ｐ Ｃ）成立 ，求 ｋ的
＋７＞１０，得 ｋ≥ 一７．
② 当 ｍ＝一３时 ）＝ 一２ｘ＋１：（ 一１） ，可 见
一
）≥口的恒成立与恰成 立
侈０ １ 已知 ）＝ ＋（ｍ＋１） ＋１， ∈［０，＋∞）． （１）若 ，（ ）≥Ｏ恒成立 ，求 ｍ 的取值范 围 ； （２）若 ，（ ）＞ １０恰成立 ，求 ｍ的取值范 围．
收 稿 日期 ：２０１７—１１—０１ 作者简介 ：杨奇华（１９８９．１一），本科 ，中学二级教 师 ，从 分层 次教 学和科 学的作业布置研 究。
只要 ｈ（ ）… ／ ＞０．不 难求 得 ｈ（ ）在 ［一３，３］上 的最小 值
ｈ（ ） ｉ ＝ｈ（一３）＝ｋ一４５．由 ～４５≥０，得 ｋ≥４５．
）… ＝，（一 ）＝１一
＝０，解得 ｍ＝１或 ｍ＝
（２）本 小 题 中 的 与 并 无 关 联 ，因 此 ｆ（ ）≤ ｇ（ ：）恒成立甘 当 ∈［一３，３］时 ，ｆ（ ） ≤ｇ（ ） 当
２０１８年第Ｏ４期总第３８９期
数理化 解题研究
＝
个 圆的圆心 ，半径分 别为 ｒ。＝２，ｒ ＝１，Ｉ ＰＭｌ ＝Ｉ ＰＦ Ｉ＋
变式 已知点 Ｐ在抛物线 ｙ ：４ｘ上 ，那 么点 Ｐ到点
２，Ｊ ＰⅣＩ… ＝ Ｉ Ｉ一１，故 Ｉ肼 ｌ— Ｉ ＰⅣＩ的 最 大 值 为 Ｑ（２，一１）的距 离与点 Ｐ到抛 物线焦点距离之和取得最小
5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立
高频考点：恒成立、能成立、恰成立 一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ） （2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法） （分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++， 其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤） 【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题作者：谢道仁来源：《科技创新导报》2011年第22期摘要:“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计,但这些内容是高中内容的重点、难点,同时也是高考和数学竞赛的热点,又因为它们的解法多样,所以这三类问题考生容易混淆不清,笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点,所以在解决“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题是很好的方法。
关键词:恒成立能成立恰成立方法中图分类号:G40 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)08(a)-0189-011 “恒成立”问题[例1](2010天津理数)设函数,对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_______。
【解析】(分离变量法)依据题意并分离变量得：≤在上恒成立。
当时函数取得最小值,所以≤,解得≤或≥。
另解(函数法)接上解得:≥0在上恒成立。
令,则∴令≥在上恒成立。
∴≥且≥ ∴得≤或≥【提示1】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解,即通过分离使其成为≤,然后解这个函数的最小值得≥(或),所以≤,若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为,然后解这个函数的最小值得≥或,所以(或≤),其基本步骤:分离变量,构造函数,求最值。
同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为≥或的结论。
解决恒成立问题的第二种解法是函数法,即通过构造函数,再利用函数的特性分析解决问题,此例充分体现了分离变量的优越性,显然要比函数法简单且不易出错。
变式引深:若函数在上为增函数,求的取值范围。
解:依题意得:≥在上恒成立,即≤在上恒成立令,∴0,∴在[0,2]可能的最小值为、、∴解得≤【提示2】若此类问题分离变量后(见提示1),的最值难以确定,我们只须分析可能的最值就可以了。
[例2]已知函数,若≥对任意,恒成立,求实数的取值范围。
解:利用导数易得的最小值是∴≤在上恒成立即≤在[-1,1]上恒成立令∴解得【提示3】若分离变量不容易时,应选择函数法求解。
高中数学--恒成立能成立问题总结(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方法处理函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这类问题在各类考试以及高考中都屡见不鲜。
感觉题型变化无常，没有一个固定的思想方法去处理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这类问题，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决 对于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立例1 若不等式m mx x ->-212对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g原命题等价于对满足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）对于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的分布来解决。
(不)等式的恒,能,恰成立问题(必修1专用)
（不）等式的恒成立,能成立,恰成立等问题一．知识点：1.恒成立问题不等式(),f x A x D >∈恒成立⇔()min ,f x A x D >∈不等式(),f x B x D <∈恒成立⇔()max ,f x B x D <∈.2. 能成立问题(),x D f x A ∃∈>使⇔()max ,f x A x D >∈．（即()A x f >在区间D 上能成立） (),x D f x B ∃∈<使⇔,()min ,f x B x D <∈．（即()B x f <在区间D 上能成立） (),x D f x m ∃∈=使⇔m N ∈，N 为函数(),y f x x D =∈的值域．（即()f x m =在区间D 上能成立）3. 恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立⇔不等式()A x f >的解集为D . 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立⇔不等式()B x f <的解集为D ,二．题型（一）．不等式恒成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1．(2000年,上海卷)已知()[)220,1,x x a f x x x++=≥∈+∞恒成立,试求实数a 的取值范围;【分析及解】本题是一个恒成立问题。
解法一：分类讨论求函数()f x 的最小值。
当0a >时用对勾函数，当0a <时利用函数的单调性。
解法二：()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立 等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a . 2．主参换位法例2．若对于任意1a ≤，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围解析：()(),13,x ∈-∞+∞ 3．分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g t f x ≥（或()()g t f x ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()()max g t f x ≥ (或()()min g t f x ≤) ，得t 的取值范围．适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出．例3．当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，求m 的取值范围 .解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.4．数形结合例4 ．若对任意x R ∈,不等式x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤．例5．当()1,2x ∈时，不等式()21log a x x -<恒成立，求a 的取值范围． 解：1<a ≤2.二．（不）等式能成立问题的处理方法1．转换求函数的最值：例1 若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，求实数a 的取值范围．解析：是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥2．分离参数法求值域例 若关于x 的二次方程()2110x m x +-+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．解析：解法一：利用根的分布来做．解法二：分离参数法axy x由题意知0x ≠，所以原题等价于()(]2110,0,2x m x x +-+=∈有解，即(]11,0,2m x x x-=+∈有解， 而()(]1,0,2x x x xϕ=+∈的值域是[)2,+∞，所以[)12,m -∈+∞ 解得1m ≤-．三．不等式恰成立问题的处理方法()0f x >在区间[],a b 上恰成立，1. ()21f x ax bx =++恰在区间11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上为正，求,a b解：3,2a b =-=- ．2.已知函数()()()lg ,10x x f x a b a b =->>>，是否存在实数,a b ，使得()f x 恰在()1,+∞上取正值，且()3lg 4?f =若存在，求出,a b 的值，若不存在，说明理由．解：假设存在这样的实数,a b ．∵()f x 恰在()1,+∞上取正值∴()0f x >的解集是()1,+∞又因为()()lg x x f x a b =-在()0,+∞上单调递增，所以()10f =． 由()()103lg 4f f =⎧⎪⎨=⎪⎩可得331410a b a b a b -=⎧⎪-=⎨⎪>>>⎩，解得12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ？※3. (2000年,上海卷) 已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】是一个恰成立问题,？这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数. 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a解析：当0<a 时函数单调才会是恰成立问题． 练一练：1.已知f (x )＝m (x －2m )·(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若∀x ∈R ，f (x )＜0与g (x )＜0二者至少一个成立，则m 的取值范围是__(－4,0)________．解析：易知1x <时()0g x <，故只需1x ≥时()0f x <即可． 显然0m ≥不满足条件；当0m <时，对称轴302m x -=<，故只需(1)0f <，解得40m -<<. 2．(2005年春，北京理) 若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题． 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞ ()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则 关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集 ()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6-≤x 或2≥x .。
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不等式恒成立 能成立 恰成立一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A>，⇔()f x 的下界大于A（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
例2、已知(),22x ax x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022s i n 2c o s 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。
2、主参换位法例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围例6、若对于任意1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x =-+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3） 解不等式()max()g f x λ≥(或()()ming f x λ≤) ，得λ的取值范围。
适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。
例8、当(1,2)x ∈时，不等式240xmx ++<恒成立，则m 的取值范围是 .例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a ,且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值范围. 4、数形结合例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________例11、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；若在区间D 上存在实数x使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()m i n f x B<.例12、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例13、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．例14、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围三、不等式恰好成立问题的处理方法例15、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例16、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例17、已知两函数f(x)=8x2+16x-k ，g(x)=2x3+5x2+4x ，其中k 为实数。
（1）对任意x ∈[-3，3]，都有f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围； （2）存在x ∈[-3，3]，使f （x)≤g(x)成立，求k 的取值范围；（3）对任意x1、x2∈[-3，3]，都有f （x1)≤g(x2)，求k 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习（请做在另外作业纸上）1、若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 2、已知不等式22622kx kx x x ++>++对任意的x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围3、设函数329()62f x x x x a=-+-．对于任意实数x ，()f x m '≥恒成立，求m 的最大值。
4、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。
5、已知不等式[]22023x x a x -+>∈对任意实数，恒成立。
求实数a 的取值范围。
6、对任意的[]2,2a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值总是正数，求x 的取值范围7、 若不等式2log 0m x x -<在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内恒成立，则实数m 的取值范围 。
8、不等式)4(x x ax -≤在]3,0[∈x 内恒成立，求实数a 的取值范围。
9、不等式220kx k +-<有解，求k 的取值范围。
10、对于不等式21x x a-++<，存在实数x，使此不等式成立的实数a的集合是M；对于任意[05]x∈，，使此不等式恒成立的实数a的集合为N，求集合M N，．11、①对一切实数x,不等式32x x a--+>恒成立，求实数a的范围。
②若不等式32x x a--+>有解，求实数a的范围。
③若方程32x x a--+=有解，求实数a的范围。
12、①若x,y满足方程22(1)1x y+-=，不等式0x y c++≥恒成立，求实数c的范围。
②若x,y满足方程22(1)1x y+-=，0x y c++=，求实数c的范围。
13、设函数432()2()f x x ax x b x R=+++∈，其中,a b R∈．若对于任意的[]22a∈-，，不等式()1f x≤在[]11-，上恒成立，求b的取值范围．14、设函数321()(1)4243f x x a x ax a=-+++，其中常数1a>，若当0x≥时，()0f x>恒成立，求a的取值范围。
15、已知向量=(2x，x+1)，= (1-x，t)。
若函数xf⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 参考答案例1、解：a 的取值范围为[-3，1]例2、解：等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数, 则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a例3、解：由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立， 又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ恒成立设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1)②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)2③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (如图3)故由①②③可知：21-≥m .例4、解：（1）（2）略（3）由（2）知，)(x f 在1=x 处取得极小值c f --=3)1(，此极小值也是最小值.要使)0(2)(2>-≥x c x f 恒成立，只需223c c -≥--.即0322≥--c c ，从而0)1)(32(≥+-c c . 解得23≥c 或1-≤c . ∴c 的取值范围为),23[]1,(+∞--∞ .例5、解：12a <例6、解：(,1)(3,)x ∈-∞⋃+∞例7、解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立。
设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数。
220x +> 恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数。
所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤。
例8、解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x +==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5maxf x f ==，则2min 4()5x x +->-∴5m ≤-.例9、解析：（1）2a b >（2）)(x f 在区间(0,1]上单调递增⇔2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立⇔1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立⇔m a x 1()22ax b x ≥--，(0,1]x ∈。
设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=-，令'()0g x =得x =或x =舍去)， 当1>a 时,101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x <，1()22ax g x x =--单调减函数,∴max ()g x=g =。