河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(四)理数答案
2020-2021学年河南省名校联盟高二上学期12月阶段性测试(四)数学(理)试题 PDF版
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河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（四）——英语
河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（四）——英语河南省十所名校2020—2021学年高中毕业班阶段性测试（四）英语考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有2分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.答案是C。
1. Where is the man going?A. The bookstore.B. The post office.C. The supermarket.2. What is the weather like?A. It’ s fine.B. It’ s rainy.C. It is too cold.3. Where are the speakers?A. In a car.B. On the street.C. At Grandma’ s.4. What is wrong with the man?A. He is seriously sick.B. He is out of work.C. He has lost touch.5. Which seat will the man take?A.21A.B. 22A.C.311.第二节（共15小题；每小题1．5分，满分22．5分）听下面5段对话或独白。
2020年9月河南省名校联盟2021届高三毕业班质量检测数学(理)试题
6 绝密★启用前
河南省名校联盟
2021届高三毕业班上学期9月联考质量检测
数学(理)试题
2020年9月
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0},N ＝{－1,0,1,2},则M ∩N ＝
A ．{－1,0,1}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{1,2}
2．设11i z i
＝－＋（i 为虚数单位）,则｜z ｜＝ A ．1 B
．
2 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次
为2：a ：3,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a ＝
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中,含x 4的项的系数是
A ．220
B ．－220
C ．100
D ．－100。
2021届河南省部分重点高中高三阶段性考试(四)数学(理)试题(解析版)
2021届河南省部分重点高中高三阶段性考试（四）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =-++≥，{B x y ==，则A B =（ ）A ．[]2,3B ．[]1,3C ．[]1,2-D ．[]3,2-【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ；根据函数的定义域化简集合B .再利用交集的定义求解即可.【详解】化简{}[]22301,3A x x x =-++≥=-，{(]2,B x y ===-∞，所以[]1,2AB =-.故选：C.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60 B ．120C ．160D ．240【答案】B【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =， 故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=.故选：B.3．“31x -<”是“311x >-”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】分别求得两不等式的解，根据充分、必要条件的定义，即可求得答案. 【详解】因为31x -<，解得24x <<， 因为311x >-，所以3101x ->-，即401x x ->- 解得14x <<．因为()()2,41,4，所以“31x -<”是“311x >-”的充分不必要条件． 故选：C4．已知实数x ，y 满足不等式组3,20,4,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩则21y x ++的最小值是（ ）A ．18B ．15C ．45D ．1【答案】B【分析】画出可行域，利用21y x ++表示的几何意义，数形结合即可求解. 【详解】画出3,20,4,x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如下：21y x ++可看作是过可行域内的点(),x y 与点()1,2--的直线的斜率， 则21y x ++的最小值是15. 故选：B5．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 【答案】C【分析】根据导数的概念可得()21f '=-，再利用导数的几何意义即可求解.【详解】因为()()()022lim222x f x f x f x∆→+∆--∆'==-∆，所以()21f '=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为1-， 故所求切线的倾斜角为34π. 故选：C6．已知命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(],2-∞D ．(),2-∞【答案】A【分析】根据命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，由()242a x x x≥>-恒成立求解【详解】因为命题“02x ∃>，20040ax ax --<”是假命题，所以240ax ax --≥对2x >恒成立， 所以()242a x x x≥>-恒成立． 因为2x >， 所以22x x ->，则242x x<-， 故2a ≥． 故选：A7．在ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC =+，则14m n+的最小值是（ ） A ．4B ．9C ．8D ．13【答案】B【分析】由B ，D ，C 三点共线得到1m n +=，再利用基本不等式中“1”的替换求得最小值.【详解】因为点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），所以()01BD tBC t =<<， 则AD AB BD AB =+=+()()1tBC AB t AC AB t AB t AC =+-=-+， 因为AD mAB nAC =+，所以1m t =-，n t =，所以1m n +=．因为01t <<， 所以0m >，0n >，则()141445459m nm n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当13m =，23n =时，等号成立．故选：B【点睛】关键点睛：注意当A ，B ，C 三点共线时，若OA OB OC λμ=+，则必有1λμ+=成立.8．已知函数()()23xf x x e =-的导函数为()f x '，若(){}0A x f x =>，(){}0B x f x ='>，则A B =（ ）A ．((),3,-∞+∞ B ．()(),31,-∞-⋃+∞C ．()),3-∞-⋃+∞D ．((),1,-∞⋃+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，B ，再根据并集的定义即可求出.【详解】因为()()23x f x x e =-，所以()()223xf x x x e '=+-，令()()203xf x x e =->，解得x <x >{A x x =<x >，令()()2230xf x x x e '+->=，解得3x <-或1x >，则{3B x x =<-或}1x >，∴((),1,A B ⋃=-∞⋃+∞．故选：D.9．在数列{}n a 中，12a =，121n n a a +=-，若513n a >，则n 的最小值是（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C【分析】根据递推关系可得数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得121n n a -=+，即求.【详解】因为121n n a a +=-，所以()1121n n a a +-=-，即1121n n a a +-=-， 所以数列{}1n a -是以1为首项，2为公比的等比数列.则112n n a --=，即121n n a -=+.因为513n a >，所以121513n -+>，所以12512n ->，所以10n >. 故选：C10．已知3π2πcos 263m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π2πcos 263m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中m ∈R ，则()cos αβ+=（ ）A． BC ．12-D ．12【答案】D【分析】将已知等式变形为3ππsin 266m αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3ππsin 266m ββ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()3sin f x x x =+，通过研究函数的单调性与奇偶性即可得到解决.【详解】设()3sin f x x x =+，则()'23cos fx x x =+，易知()f x '是偶函数．当01x ≤<时，230x ≥，cos 0x >，所以()'0f x >；当1≥x 时，233x ≥，cos 1x ≥-，所以()'0f x >．所以()'0f x >恒成立，即()f x 在定义域内单调递增．因为()()3sin f x x x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数，从而()f x 的图象关于点()0,0对称，因为2ππππcos cos sin 3266ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以3π6α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭32πππcos sin 2366m ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，同理可得33πππππcos sin2 62666m ββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--=-+-=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则ππ66f fαβ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而ππ66αβ-+-=，即π3αβ+=，故()π1cos cos32αβ+==．故选：D【点睛】关键点睛：本题解题关键是构造函数()3sinf x x x=+，将已知条件转化为ππ66f fαβ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用函数()f x的单调性及奇偶性解决.11．已知函数()2ln,0,43,0,x xf xx x x⎧>=⎨++≤⎩若函数()()()241g x f x f x m=-++⎡⎤⎣⎦恰有8个零点，则m的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】设()f x t=，因为()g x有8个零点，所以方程()f x t=有4个不同的实根，结合()f x的图像可得2410t t m-++=在(]0,3内有4个不同的实根，即214m t t+=-+在(]0,3内有2个不同的实根，可知314m≤+<，即可求得结果．【详解】画出函数()2ln,043,0x xf xx x x⎧>=⎨++≤⎩，，的图像如图所示，设()f x t=，由()()()2410g x f x f x m=-++=⎡⎤⎣⎦，得2410t t m-++=.因为()g x有8个零点，所以方程()f x t=有4个不同的实根，结合()f x的图像可得在(]03t∈,内有4个不同的实根.所以方程2410t t m-++=必有两个不等的实数根，即214m t t +=-+在(]03t ∈,内有2个不同的实根，结合图像由图可知，314m ≤+<，故23m ≤<，即m 的最小值是2. 故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.12．已知函数()22ln 2f x x e x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为（ ） A ．22ln 22,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．22ln 22,42e e ⎛⎤-⎥⎝⎦C ．22ln 2ln 34,623e e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭D ．22ln 2ln 34,623e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦【答案】A【分析】由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2x e x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-x g x x和22y e x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-x g x x和22y e x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22y e x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围.【详解】解：由题可知，()22ln 2f x x e x mx =-+，0x >，由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 20x e x mx -+≥，即222ln e x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2xe x m x-+≥-的解集中恰有一个整数， 令()ln =-x g x x ，则()21ln xg x x-'=-， 当1x e <<时，()0g x '<；当x e >时，()0g x '>， 所以()g x 在()1,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增，画出()ln x y x g x ==-和22y e x =-的大致图象，如图所示： 要使得2ln 2x e x m x -+≥-，可知0m >，设0x 为()ln =-x g x x 和22y e x m =-+的交点的横坐标，而2ln 2x e x m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<，当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-，即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭， 当直线22y e x m =-+过点1,0A 时，得22m e =，当直线22y e x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭时，得2ln 242m e =-， 所以m 的取值范围为22ln 22,42e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式的解集求参数的取值范围，考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数以及转化成两个函数的交点是解题的关键，考查数形结合思想和转化能力.二、填空题13．已知向量()2,5a =-，()2,b m =，若a b ⊥，则m =______． 【答案】45【分析】直接利用向量垂直的坐标运算公式运算即可. 【详解】由题意可得2250m -⨯+=，则45m =． 故答案为：4514．已知3cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 【答案】33-【分析】根据6πα-与43πα+的关系，结合诱导公式求解出4sin 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】设π6βα=-，则π6αβ=+， 故4π4ππ3π3sin sin sin cos 33623αβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：-15．已知函数()()2log 25a f x ax x =-+（0a >，且1a ≠）在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则a 的取值范围为______. 【答案】[)11,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【分析】分01a <<、1a >两种情况讨论即可.【详解】由题意可得01,13,9650a aa <<⎧⎪⎪≥⎨⎪-+≥⎪⎩或111,211504a a a ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-+≥⎪⎩解得1193a ≤≤或2a ≥.故答案为： [)11,2,93⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦【点睛】易错点睛：解答本题时容易忽略真数大于0这一隐含要求.16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其外接圆的半径为1.若cos cos cos a A b B c C ++13=，则ABC 的面积为______. 【答案】16【分析】设ABC 的外接圆的半径为R ，根据题中条件，由正弦定理，得到12sin cos 2sin cos 2sin cos 3A AB BC C ++=，根据二倍角公式，以及两角和与差的正弦公式，得到()()12sin cos 2sin cos 3A B A B C C +-+=，求出1sin sin sin 12A B C =，再由三角形面积公式，即可求出结果.【详解】设ABC 的外接圆的半径为R ，因为cos cos cos 3Ra Ab Bc C ++=，所以2cos 2cos 2cos 123a Ab Bc C R ++=，所以12sin cos 2sin cos 2sin cos 3A AB BC C ++=，即1sin 2sin 2sin 23A B C ++=，所以()()()()1sin sin sin 23A B A B A B A B C ++-++--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()12sin cos 2sin cos 3A B A B C C +-+=. 因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C +=，()cos cos A B C +=-， 所以()()12sin cos 2sin cos 3C A B C A B --+=， 所以()()12sin cos cos 3C A B A B --+=⎡⎤⎣⎦， 所以14sin sin sin 3A B C =，即1sin sin sin 12A B C =. 设ABC 的面积为S ，则111sin 2sin sin sin 22126S ab C A B C ===⨯=. 故答案为：16.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据正弦定理先得到12sin cos 2sin cos 2sin cos 3A AB BC C ++=，利用三角恒等变换的相关公式，得出1sin sin sin 12A B C =，再由正弦定理和三角形面积公式，即可求得结果.三、解答题17．已知:p 1<，:q 2221x x a -<-(0a >) （1）当2a =时，若p 和q 均为真命题，求x 的取值范围： （2）若p 和q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 【答案】（1）[2,3)；（2）[2,)+∞．【分析】（1）由对数函数的性质求出命题p 为真时的x 取值范围，再解出一元二次不等式得出命题q 为真时的x 取值范围，即可得出结果； （2）由题可得[2,3) (1,1)a a -+，则列出式子即可求出.【详解】对于命题:p 1<，所以20log (1)1x ≤-<，解得23x ≤<， 对于命题:q 因为2221x x a -<-，所以22210x x a -+-<解得11a x a -<<+， （1）当2a =时，:13q x -<< 因为p 和q 均为真命题，所以2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩，解得23x ≤<，故x 的取值范围为[2,3)； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[2,3) (1,1)a a -+，即1213a a -<⎧⎨+≥⎩，解得2a ≥，故a 的取值范围为[2,)+∞.【点睛】结论点睛：本题考查根据充分不必要条件求参数，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）若p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）若p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）若p 是q 的既不充分又不必要条件，则q 对应的集合与p 对应集合互不包含． 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()sin cos 0b a C C +-=． （1）求A ；（2）若D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，()2BC AD =，求sin 2B ．【答案】（1）3π4A =；（2）2. 【分析】（1）由()sin cos 0b a C C +-=可得()sin sin sin cos 0B A C C +-=，然后结合()sin =sin B A C +化简可得tan 1A =-；（2）由条件结合三角形的面积公式可得(22a bc =+，然后结合2222cos a b c bc A =+-推出b c =即可.【详解】（1）因为()sin cos 0b a C C +-=，所以()sin sin sin cos 0B A C C +-=， 所以sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即cos sin sin sin 0A C A C +=．因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以sin cos 0A A +=，则tan 1A =-． 因为0πC <<，所以3π4A =．（2）因为AD BC ⊥，所以11sin 22BC S bc A a AD ∆==⋅△，即2bc a AD =⋅，因为()2BC AD =，所以AD =，所以(22a bc =．由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，则(222bc b c =++， 整理得()20b c -=，即b c =，故B C =．因为3π4A =，所以π8B =，所以πsin 2sin 42B ==19．已知函数()()2π8cos sin cos 06f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫=+-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，且()f x 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,m 上的最值. 【答案】（1）()4sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；（2）()max4sin 22,0632,3m m f x m πππ⎧⎛⎫--<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，()min24,03254sin 22,63656,6m f x m m m πππππ⎧-<<⎪⎪⎪⎛⎫=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎪⎩.【分析】（1）由两条相邻的对称轴之间的距离求出函数周期，根据三角恒等变换，把()()2π8cos sin cos 06f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫=+-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化成一个角的一个函数，则ω易求.（2）先求出πππ22666x m -≤-≤-，再根据正弦函数的性质，分πππ2662m -<-<，ππ7π2266m ≤-<，7ππ3π2662m ≤-<，π3π262m -≥四种情况讨论即可. 【详解】解：（1）()2π8cos sin cos 6f x x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦218cos cos cos 2x x x x ωωωω⎡⎤⎫=+-⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π22cos 224sin 226x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭.因为()f x 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，则1ω=.故()π4sin 226f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.（2）因为0x m ≤≤，所以πππ22666x m -≤-≤-， ①当πππ2662m -<-<，即π03m <<时，()()max π4sin 226f x f m m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，()()min π04sin 246f x f ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭；②当ππ7π2266m ≤-<，即π2π33m ≤<时，()max πππ4sin 222336f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()min π04sin 246f x f ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭；③当7ππ3π2662m ≤-<，即2π5π36m ≤<时，()max πππ4sin 222336f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()min π4sin 226f x f m m ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭；④当π3π262m -≥，即5π6m ≥时， ()max πππ4sin 222336f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()min 5π5ππ4sin 226666f x f ⎛⎫⎛⎫==⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.综上，()maxππ4sin 22,063π2,3m m f x m ⎧⎛⎫--<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩， ()min2π4,03π2π5π4sin 22,6365π6,6m f x m m m ⎧-<<⎪⎪⎪⎛⎫=--≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥⎪⎩.【点睛】思路点睛：对于这类三角函数的题一般是先三角恒等变换化成一个角的一个函数，再根据正弦函数或余弦函数的性质按要求求解即可.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()3n n S n m a =+，m R ∈. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设22n n n n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()1n a n n =+；（2）()1112nn -+⋅.【分析】（1）先求出m ，得到递推式()32n n S n a =+，利用n S 和n a 的关系求出n a （2）利用裂项求和法进行求解即可【详解】解：（1）当1n =时，()1131a m a =+，则2m =，故()32n n S n a =+，① 当2n ≥时，()1131n n S n a --=+，② ①-②得()()1321n n n a n a n a -=+-+，则111n n a n a n -+=-. 故()()122112311132121231n n n n n n n a a a a n n n a a n n n a a a a n n n -----+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⨯=+≥---. 当1n =时，12a =满足上式，故()1n a n n =+. （2）()()1211212212n nn n n b n n n n +⎛⎫+==- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⎝⎭， ()223111111122222232212n n n T n n +⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⎝⎭()1112nn =-+⋅.【点睛】关键点睛：解题的关键在于求出m 后，利用n S 和n a 的关系，求出n a ，然后，利用裂项求和法进行求解，考查数列的通项和求和的内容，主要考查学生的运算能力，难度属于中档题21．已知函数()()2222log 2log f x x x a =-+．（1）若对任意()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立，求a 的取值范围； （2）设1m ，若对任意[)2,x ∈+∞，不等式()()()22441xxxx f m f ---<+-恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）()(),11,-∞-+∞；（2）2411,60⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）令2log t x =，则222y t t a =-+，将问题转化为2202t t a ->+在R 上恒成立，利用判别式小于0即可得到答案；（2）利用符合函数的单调性易得()f x 在[)2,x ∈+∞上单调递增，利用单调性将问题转化为44122x x x xm --+-<-恒成立，求出44122x x x x --+--的最小值即可. 【详解】解：令2log t x =，则222y t t a =-+．（1）因为()0,x ∈+∞，所以t ∈R ，则对任意()0,x ∈+∞，()0f x >恒成立等价于对任意t ∈R ，0y >恒成立. 故2440a ∆=-<，解得1a <-或1a >，即a 的取值范围为()(),11,-∞-+∞，（2）因为[)2,x ∈+∞，所以[)1,t ∈+∞，因为222y t t a =-+图象的对称轴为1t =，所以222y t t a =-+在[)1,+∞上单调递增，即()f x 在[)2,+∞上单调递增． 因为2x ≥，所以152224xx--≥>，4412x x -+->． 因为1m ，所以()222xxm -->．因为()()()22441x xxx f m f ---<+-，所以()22441x x x x m ---<+-，即44122x x xxm --+-<-． 因为()2441221x xxx --+-=-+，所以12222x x x xm --<-+-．因为15224xx--≥，所以1154241222241560x xx x---+≥+=-，故24160m <． 因为1m ，所以m 的取值范围是2411,60⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min max f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．22．已知函数()()ln af x x a R x=-∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1x ，2x 是方程()2f x =的两个不同实根，证明：1232x x e +>. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先求解出()f x '，然后根据a 与0的关系作分类讨论，由此分析出()f x 的单调性；（2）根据()()122f x f x ==，构造函数()ln 2g x x x x a =+-分析出12,x x 满足的不等式，将待证明的问题转化为证明()1132e g x g x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，再通过构造新函数()333224ln ln 4e e e h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭证明()1132e g x g x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立，从而完成证明.【详解】（1）解：因为()ln a f x x x =-，所以()221a a xf x x x x+'=--=-. ①当0a ≥时，()0f x '<在()0,∞+上恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递减. ②当0a <时，由()0f x '>得0x a <<-；由()0f x '<得x a >-. 即()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减， 综上，当0a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0a <时，()f x 在()0,a -上单调递增，在(),a -+∞上单调递减. （2）证明：因为()()122f x f x ==，所以11ln 20a x x --=，22ln 20ax x --=， 即111222ln 2ln 20x x x a x x x a +-=+-=. 设()ln 2g x x x x a =+-，则()ln 3g x x '=+，故()g x 在310,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 由题意不妨设12310e x x <<<，欲证1232e x x +>，只需证2132ex x >-. 又2x ，13321,e e x ⎛⎫-∈+∞ ⎪⎝⎭，()g x 在31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 故只需证()2132e g x g x ⎛⎫>-⎪⎝⎭. 因为()()12g x g x =，所以只需证()1132e g x g x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭对任意的1310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立即可，即111111333222ln 2ln 2e e e x x x a x x x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+->--+--⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 整理得111111333224ln 2ln 2e e ex x x x x x ⎛⎫⎛⎫+>--+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即11111333224ln ln 40e e e x x x x x ⎛⎫⎛⎫---+->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 设()333224ln ln 4e e e h x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，310,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()23322ln ln 6ln 6e e x h x x x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为310e x <<，所以236210e e x x <-<，所以()232ln 60e x h x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，所以()h x 在310,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 则()310e h x h ⎛⎫>=⎪⎝⎭. 所以1232e x x +>成立. 【点睛】思路点睛：构造函数并利用导数证明不等式的一般思路： （1）将待证明的不等式进行变形，使其一边含有未知数，另一边为0；（2）构造关于未知数的函数（函数尽量容易求导），分析函数的单调性以及最值； （3）通过研究所构造函数的单调性和最值，确定出函数与0的关系，从而达到证明不等式的目的.。
河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(四)——理科综合
河南省十所名校2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（四）理科综合考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Cl 35．5 Fe 56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列关于元素和化合物的叙述，正确的是A．C元素是构成细胞的最基本元素，是因为它在细胞中含量最多B．双缩脲试剂只能用于检测蛋白质，不能与其他化合物发生颜色反应C．氨基酸是蛋白质的单体，根据侧链基团不同，氨基酸分为必需氨基酸和非必需氨基酸D．催化烟草和烟草花叶病毒遗传物质水解的酶不同，水解产物的数量和种类也不同2．真核生物转录起始过程十分复杂，往往需要多种蛋白因子的协助。
某研究团队发现，诱导小鼠干细胞中与卵母细胞生长有关的基因，使其表达产生8个转录因子，即可将干细胞转变为“类卵细胞”。
这些细胞没有进行减数分裂，却可以受精，并分裂到胚胎的8个细胞阶段。
下列有关叙述错误的是A．题中所述的8个转录因子的合成场所是核糖体B．小鼠干细胞与“类卵细胞”中含有的核DNA不同C．小鼠体内基因的表达既受基因的控制也受环境的影响D．小鼠干细胞与“类卵细胞”中都存在基因的选择性表达过程3．制备疫苗的方法有多种，如“鸡生蛋，蛋生疫苗”，利用鸡胚为主要原材料生产疫苗，以及利用基因工程生产mRNA疫苗等。
下列相关叙述正确的是A．将新冠病毒接种到消毒后的鸡胚中，经恒温孵化培养后，可从鸡胚胎内提取病毒以制备新冠疫苗B．接种新冠病毒mRNA疫苗很可能使被接种者终身具有抗该病毒的能力，这是因为mRNA可以遗传给子细胞C．接种新冠病毒mRNA疫苗后，该疫苗可直接作为抗原刺激B细胞和T细胞，使其增殖分化产生记忆细胞和效应细胞D．接种新冠病毒mRNA疫苗有助于预防新冠病毒的感染，使被接种者减少患病机会，且不会出现任何副作用4．有人说“21世纪是生物科学的世纪”。
2021届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学(理)试题(解析版)
2021届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学（理）试题一、单选题1．己知复数z 满足：21zi i =+，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求解． 【详解】 由zi 2＝1+i ，得z 211ii i +==--， ∴1z i =-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A ＝{x ∈R |22122x x-＜＜8}，B ＝{y |y =，则A ∩B ＝（ ）A ．()()1,11,3-B ．()1,3-C ．[)0,3D ．03)1[)(1⋃，， 【答案】D【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 由221282x x -<<，得2123222x x --<<，即2123x x -<-<. 由212x x -<-，得1x ≠； 由223x x -<，得13x -<<.A ＝{x |﹣1＜x 2﹣2x ＜3}＝{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝[0，1）∪（1，3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m ⊥n ，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m ⊥α，n ∥β，α⊥β B ．q ：m ⊥α，n ⊥β，α∥β C ．q ：m ⊂α、n ⊥β，α∥β D ．q ：m ⊂α，n ∥β，α⊥β【答案】C【解析】由题意知，若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；分别判断四个选项中是否满足q 能推出p ，即可得出结论． 【详解】若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；对于选项A ，m 、n 的位置关系是平行或异面，q 不能推出p ，所以A 错误； 对于选项B ，结论为m ∥n ，则q 不能推出p ，所以B 错误； 对于选项C ，若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α； 又m ⊂α，所以m ⊥n ，即q ⇒p ，所以C 正确；对于D ，m 、n 的位置关系是平行或异面或相交，则q 不能推出p ，所以D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．4．设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f '（x ），若()1x f lnx x+=，则()()0'0f f =（ ） A ．2 B ．﹣2C ．1D ．1e +【答案】B【解析】可令lnx ＝t ，从而得出x ＝e t ，代入原函数即可求出()11tf t e =+，求导函数，即可求出f （0），f ′（0）的值，从而得出()()0'0f f 的值．【详解】令lnx ＝t ，则x ＝e t，代入()1x f lnx x +=得，()111t t te f t e e +==+， ∴()1't f t e=-， ∴()()0112'01f f +==--．故选：B ． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，24()4x x ef x e =+，则当x <0时，()f x 的最小值为A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】A【解析】根据函数奇偶性的性质，要求函数当x ＜0时，f （x ）的最小值，可以转化为求函数在x ＞0的最大值，结合最值关系进行求解即可． 【详解】当x ＞0时，()2444444x x x x e f x e e e ==≤==++1， 当且仅当e x 4x e=，即e x ＝2，x ＝ln 2时取等号， 即当x ＞0时，函数f （x ）的最大值为1， ∵函数f （x ）为奇函数， ∴函数关于原点对称，则当x ＜0时，f （x ）的最小值﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合函数奇偶性的性质和对应关系是解决本题的关键．难度不大．6．己知{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 2﹣2n +b ﹣1，{b n }是等比数列，其前n 项和T n 32na =-，则数列{ b n +a n }的前5项和为（ ） A ．37 B ．-27C ．77D ．46【答案】C【解析】由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b ＝1，a ＝2，求得数列{a n }，{b n }的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】{a n }是等差数列，其前n 项和221n S n n b =-+-，由等差数列的求和公式可得b ﹣1＝0，即b ＝1， 即S n ＝n 2﹣2n ，a 1＝S 1＝﹣1，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣2n ﹣（n ﹣1）2+2（n ﹣1）＝2n ﹣3， 则a n ＝2n ﹣3，n ∈N ；{b n }是等比数列，其前n 项和32nn a T =-， 则2a-3＝﹣2，即a ＝2， 则b n +a n ＝n +2n ，数列{ b n +a n }的前5项和为（1+2+...+5）+（2+4+ (32)12=⨯5×6()521212-+=-77． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和，以及化简运算能力，属于中档题．7．已知实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z ＝y +x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结果． 【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝y +x 经过可行域的C 时，取得最大值，此时10240x y x y --=⎧⎨--=⎩解得C （3，2），所以目标函数z ＝y +x 的最大值为：5， 故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．设函数()cos()1(3f x x πωω=+->0);将()f x 图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长 度，纵坐标不变，所得函数图象的一个对称中心为(,1)4π--，则ω的最小值为（ ） A ．27B ．107C ．127D ．227【答案】B【解析】由题意利用函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值． 【详解】∵函数f （x ）＝cos （ωx 3π+）﹣1（ω＞0），将f （x ）图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长度，纵坐标不变， 可得函数y ＝cos （ωx 33ωππ-+）﹣1的图象， 所得函数图象的一个对称中心为14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 则cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+）]﹣1＝﹣1，∴cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+]＝0，即ω⋅（4π-）33ωππ-+=kπ2π+， 即ω12277k =-，k ∈Z ，∴ω的最小值为107， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．己知函数y ＝f （x ）在R 上单调递增，函数y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称，f （﹣1）＝﹣2，则满足﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2的x 的取值范围是（ ） A ．1[,10]10B ．1[,100]100C ．[1,100]D ．1[,1000]10【答案】C【解析】根据y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称,即可得出f （x ）是奇函数，从而根据f （﹣1）＝﹣2得出f （1）＝2，从而根据﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得出f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），再根据f （x ）在R 上单调递增即可得出﹣1≤lgx ﹣1≤1，解出x 的范围即可． 【详解】∵y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称， ∴y ＝f （x ）的图象关于原点对称，∴函数f （x ）为奇函数，且f （﹣1）＝﹣2， ∴f （1）＝2，∴由﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得，f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），且f （x ）在R 上单调递增， ∴﹣1≤lgx ﹣1≤1，即0≤lgx ≤2，解得1≤x ≤100， ∴x 的取值范围是[1，100]． 故选：C ． 【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数图象的对称性，图象的平移，增函数的定义，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．10．己知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +a n +1，若将a n +2＝a n +a n +1变形为a n +2﹣a n +1＝a n ，可得a 1+a 2+…+a n ＝（a 3﹣a 2）+（a 4﹣a 3）+（a 5﹣a 4）+…+（a n +2﹣a n +1）＝a n +2﹣a 2＝a n +2﹣2，类似地，可得a 12+a 22+a 32+…+a 20192＝（ ） A ．202020191a a - B ．202020191a a + C ．201920181a a - D ．202020191a a +【答案】A【解析】将a n +2＝a n +a n +1，变形为a n +2﹣a n ＝a n +1，所以两边同时乘以a n +1得：a n +2a n +1﹣a n +1a n ＝a n +12，从而求和． 【详解】由21n n n a a a ++=+得21n n n a a a ++-=，所以22111n n n n n a a a a a ++++-=.所以()()()222222123132214332202020192019201820202019121202020191n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++-=+-=-.故选：A ． 【点睛】本题主要考查类比推理，运用类比推理数列求和，是基础题．11．己知f （x ）＝|lnx |，k ∈（0，e ﹣1），则函数y ＝f （x ）﹣kx 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】问题转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，根据图象，求出k 的范围，得出结论． 【详解】y ＝0，转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，图象如下：当y ＝kx 与f （x ）＝|lnx |相切时，设切点为（m ，n ），m ＞1， f '（x ）1x =，得k 1m=， 又n ＝km ，n ＝lnm ，得lnm ＝1，m ＝e ， 所以k 1e =，故0＜k 1e＜时，有三个交点， 故选：D ． 【点睛】考查函数零点与函数交点的关系，求函数的切线方程，中档题．12．在三棱锥A -BCD 中，平面ABC 丄平面ADC , AD 丄AC ,AD =AC , 3ABC π∠=，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．7 B ．12 C ．6 D ．533【答案】C【解析】设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ，三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ，取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ，则OO 1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E12=b，由S＝4πR2＝28π，解得R7=，由正弦正理求出b3r=，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，由此能求出三棱锥A﹣BCD的体积的最大值．【详解】根据题意，设三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，三棱锥的外接球球心为O，△ABC的外心为O1，△ABC的外接圆半径为r，取DC的中点为O2，过O2作O2E⊥AC，则OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ADC，如图，连结OA，O1A，则O1A＝r，设AD＝AC＝b，则OO1＝O2E12=b，由S＝4πR2＝28π，解得R7=，在△ABC中，由正弦正理得2rACsin ABC=∠，∴2r3bsinπ=，解得b3r=，在Rt△OAO1中，7＝r2+（12b）2，解得r＝2，b＝23，∴AC＝23，若三棱锥A﹣BCD的体积最大，则只需△ABC的面积最大，∴1131222ABCS AB BC sin ABC=⋅⋅⋅∠≤⨯⨯=33，∴三棱锥A﹣BCD的体积的最大值：11332333D ABC ABCV S AD-=⋅⋅=⨯⨯=6．故选：C．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1），若a b ⋅=5，则t ＝_________. 【答案】2±【解析】结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ． 【详解】∵a =（4，﹣1），b =（2，t 2﹣1）， t 2＝4， 则t ＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题． 14．若sinα＝2cos （π+α），则2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】25-【解析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】由sinα＝2cos （π+α）＝﹣2cosα，得tanα＝﹣2．∴2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sinαcosα2221sin cos tan sin cos tan αααααα==++ 222(2)15-==--+．故答案为：25-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BC 1的垂线l ，则直线l 与直线CC 1所成角的余弦值为_________.【答案】3 【解析】连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1，从而l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为∠D 1DB ，由此能求出结果． 【详解】如图，连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1， ∴l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为11D DB ∠，连结B 1D 1，在Rt △D 1DB 1中，设DD 1＝a ，则DB 13a =， ∴cos ∠D 1DB 1333a==． 故答案为：3．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．己知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,e]-∞-【解析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnxg x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①， ∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②， ∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2． ∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnxx+≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnxx +≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=，令g '（x ）＝0，则x 1e =，∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e ，+∞）上单调递增，∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ，∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]． 故答案为：（﹣∞，﹣e ]． 【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若b =2270a ac c -+-=.（1）求B ;（2）若ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π（2 【解析】（1）由已知可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值．（2）由已知可求a +c ＝5，两边平方后可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）∵a 2﹣ac +c 2﹣7＝0，b 7=，∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴由余弦定理可得cosB 2221222a cb ac ac ac +-===，∵B ∈（0，π）， ∴B 3π=．（2）∵△ABC 的周长为57+，b 7=，∴a +b +c ＝57+，即a +c ＝5， ∴（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25， 又∵a 2+c 2＝7+ac ， ∴ac ＝6， ∴S △ABC 12=acsinB 12=⨯6333⨯=， 所以ABC 的面积为33. 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120ADC ∠=,平面SAD ⊥平面 ABCD ，32==丄，SA SD SA SD .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点,12SE AF EC FB ==.（1）求证：EF 平面SAD ;（2）求平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）40【解析】（1）先证明平行四边形AGEF ，得到AG ∥EF ，再证明EF ∥平面SAD ； （2）以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF 的法向量和平面SBC 的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值． 【详解】（1）过点E 作EG ∥DC ，如图，连接AG ，因为12SE EC =，所以13EG SE DC SC ==， 故EG ∥CD ，EG 13CD =，由12AF FB =，AF 13AB =， 因为菱形ABCD ，所以EG ∥AF ，EG ＝AF ， 故平行四边形AGEF ，所以AG ∥EF ，又EF ⊄平面SAD ，AG ⊂平面SAD ，所以//EF 平面SAD . （2）取AD 中点O ，等腰三角形SAD ，故SO ⊥AD ，连接OB ， 菱形ABCD ，∠ADC ＝120°，所以OB ⊥OA ， 又平面SAD ⊥平面ABCD 所以SO ⊥平面ABCD ，以OA ，OB ，OS 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图， 因为SA ＝SD ＝，所以AD ＝AB ＝CD ＝6，SO ＝3， ∠ADC ＝120°，所以AF ＝2，OB =，AO ＝OD ＝3， 所以A （3，0，0），D （﹣3，0，0），S （0，0，3）， F （20），B （0，，0），C （﹣6，0）， 又13SE SC ==（﹣2，﹣1），得E （﹣22），所以()03SB =-，()600BC =-，，，()5DF =，，()1DE =，， 设平面DEF 的一个法向量为()m x y z =，，，由00m DF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得5020x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故512m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面SBC 的一个法向量为()n a b c =，，，由00n SB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得300c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故(013n =，，，所以25323102405321()43cos m n -+⋅==+-+＜，＞， 平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值为1590．【点睛】考查线线平行，线面平行的判定，利用向量法求二面角余弦值，考查运算能力和空间想象能力，中档题．19．已知函数f （x ）的定义域I ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上为增函数，且∀x 1，x 2∈I ，恒有f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）． （1）求证：f （x ）是偶函数：（2）若f （m ）﹣f （2m +1）＜3m 2+4m +1，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）1(,1),0(0,)3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用偶函数的定义直接证明；（2）通过对函数的自变量的取值的任意性，利用赋值法借助于奇偶性，单调性得到关于m 的不等式． 【详解】（1）因为12,x x I ∀∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，所以令121x x ==，得()()121f f =，所以10f =（）. 令121x x ==-，得()()121f f =-，所以()10f -=. 令12,1x x x ==-，得()()()()1f x f x f f x -=+-=，所以f x （）是偶函数.（2）设()()2g x f x x =+，则g x （）是偶函数，且在()0,+∞上为增函数.()()221341f m f m m m -+<++，即()()()222121f m m f m m +<+++，即()()21g m g m <+.由g x （）是偶函数，得()()21g m g m <+，由g x （）在()0,+∞上为增函数，得|m |＜|2m +1|，即()2221m m <+.解得13m >-或1m <-.又0m ≠， 所以实数m 的取值范围是()()1,1,00,3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决抽象函数的单调性的关键，综合考查函数性质的应用．20．己知数列{n a }的前n 项和为n S ,12,2(2)n n a S S n n ==-≥. （1）试判定{1n a -}是否是等比数列，并说明理由； （2）求数列{n na }的前n 项和n T ；【答案】（1）数列{}1n a -不是等比数列,理由见解析（2）2122(1)2n n n n T n -++=--【解析】（1）运用数列的递推式，以及等比数列的定义，即可得证； 【详解】（1）因为()122n n S S n n -=-≥， 所以当3n ≥时，()1221n n S S n --=--， 所以121n n a a -=-，，即()1121n n a a --=-.所以()11231n n a n a --=≥-. 当2n =时，12122a a a +=-，得20a =，所以21111211a a --==-≠-， 因此数列{}1n a -不是等比数列.（2）由（1），得{}1n a -从第二项起，是以2为公比的等比数列. 所以()222*1122,212,n n n n n a a n n N ----=-⋅=-=-+≥∈.因此，222,12,1,21,22,2n n n n n n a na n n n n --⎧==⎧==⎨⎨-+≥-⋅+≥⎩⎩. ()01222232223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++①()1212422322223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅+⨯+++.②①-②得()()23211222222222n n n n n T n ---+-=-------+⋅-()()()()()2111212222422121222n n n n n n n n n ----+-+-⨯=--+⋅-=----. 所以()212212n n n n T n -++=--.【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21．已知函数1()x e f x a x-=+.（1）判断()f x 极值点的个数；（2）若x >0时，xe >()f x 恒成立，求实数a 的取值范围【答案】（1）0 （2）(,0]-∞【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f （x ）极值点的个数；（2）e x ＞f （x ），（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．设h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0．，根据函数h （x ）的性质，分类讨论，即可求得实数a 的取值范围． 【详解】（1）由f （x ）1x e x -=+a ，得f '（x ）()211x x e x-+=．x ≠0； 设g （x ）＝（x ﹣1）e x +1，则g '（x ）＝xe x ，当x ∈（﹣∞，0）时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（﹣∞，0）上是减函数， 当x ∈（0，+∞）时，g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0，+∞）上是增函数， 所以g （x ）≥g （0）＝0，所以()0f x '≥，所以f （x ）在定义域上是增函数，f （x ）极值点个数为0． （2）e x ＞f （x ）（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．令h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0． ∴h '（x ）＝﹣xe x +a ，令m （x ）＝﹣xe x +a ，则m （x ）在（0，+∞）上是减函数． 当a ≤0时，m （x ）<m （0）＝a ≤0．所以h '（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上是减函数． 所以h （x ）＜h （0）＝0． ②当a ＞0时，m （0）＝a ＞0， m （a ）＝﹣ae a +a ＝a （1﹣e a ）＜0， 所以存在x 0∈（0，a ），使m （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＞0，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，x 0）上是增函数． 因为h （0）＝0，所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＞0，不满足题意． 综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，0]． 【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查利用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题． 22．已知函数()()2142alnx f x x a R =-∈． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＝4，且06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求证：11224cos x tanx e e -＜＜．【答案】（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减 （2）证明见解析【解析】（1）求导，判断单调性即可；（2）x ₁＜x ₂∈（0，1），则f （x 1）＜f （x 2），即2211221122lnx x lnx x --＜，得到22121()122x x x e x -＜，即得()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，再利用三角函数12-cos 2x ∈（1124--，），所以11224cos x e e --＜，代入即可证明． 【详解】 （1）易知()2ln 142a x f x x =-的定义域为()0,∞+， ()2444a a x f x x x x-='=-， 当0a ≤时，0f x <（）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. 当0a >时， 由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得02x <<； 由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得x >所以f x （）在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. （2）当4a =时，()212f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2f x x x =-在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-， 所以()2211221ln2x x x x <-，所以()22121122x x x e x -<. 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x cosx <<<. 所以()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1111cos2,1,cos2,2224x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以11224cos x e e --<.综上可得，11224e e cos x tanx --<<. 【点睛】题考查了导数的综合应用，利用函数进行不等式比较大小，属于难题．。
河南省高三数学毕业班阶段性测试试题(四)理(扫描版)(2021年整理)
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11。
河南省2020届高三上学期阶段性考试(四) 数学(理)答案
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2020届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学(理)试题(解析版)
2020届河南省中原名校高三上学期第四次质量考评数学（理）试题一、单选题。
1．己知复数z 满足：21zi i =+，其中i 是虚数单位，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+C ．1i -D ．1i +【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念求解． 【详解】 由zi 2＝1+i ，得z 211ii i+==--， ∴1z i =-+． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．已知集合A ＝{x ∈R |22122x x-＜＜8}，B ＝{y |y =，则A ∩B ＝（ ）A ．()()1,11,3-UB ．()1,3-C ．[)0,3D ．03)1[)(1⋃，， 【答案】D【解析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】由221282x x-<<，得2123222x x --<<，即2123x x -<-<. 由212x x -<-，得1x ≠； 由223x x -<，得13x -<<.A ＝{x |﹣1＜x 2﹣2x ＜3}＝{x |﹣1＜x ＜3且x ≠1}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝[0，1）∪（1，3）． 故选：D ． 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，p ：m ⊥n ，若p 是q 的必要条件，则q 可能是（ ） A ．q ：m ⊥α，n ∥β，α⊥β B ．q ：m ⊥α，n ⊥β，α∥β C ．q ：m ⊂α、n ⊥β，α∥β D ．q ：m ⊂α，n ∥β，α⊥β【答案】C【解析】由题意知，若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；分别判断四个选项中是否满足q 能推出p ，即可得出结论． 【详解】若p 是q 的必要条件，则只需q ⇒p 即可；对于选项A ，m 、n 的位置关系是平行或异面，q 不能推出p ，所以A 错误； 对于选项B ，结论为m ∥n ，则q 不能推出p ，所以B 错误； 对于选项C ，若n ⊥β，α∥β，则n ⊥α； 又m ⊂α，所以m ⊥n ，即q ⇒p ，所以C 正确；对于D ，m 、n 的位置关系是平行或异面或相交，则q 不能推出p ，所以D 错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．4．设函数f （x ）在（﹣∞，+∞）内的导函数为f '（x ），若()1x f lnx x +=，则()()0'0f f =（ ） A ．2 B ．﹣2C ．1D ．1e +【答案】B【解析】可令lnx ＝t ，从而得出x ＝e t ，代入原函数即可求出()11t f t e=+，求导函数，即可求出f （0），f ′（0）的值，从而得出()()0'0f f 的值．【详解】令lnx ＝t ，则x ＝e t，代入()1x f lnx x +=得，()111t t te f t e e+==+， ∴()1'tf t e =-，∴()()0112'01f f +==--． 故选：B ． 【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，对数式和指数式的互化，基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．5．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0时，24()4x x ef x e =+，则当x <0时，()f x 的最小值为A ．-1B ．-2C ．2D ．1【答案】A【解析】根据函数奇偶性的性质，要求函数当x ＜0时，f （x ）的最小值，可以转化为求函数在x ＞0的最大值，结合最值关系进行求解即可． 【详解】当x ＞0时，()2444444x x x x e f x e e e ==≤==++1， 当且仅当e x 4x e=，即e x ＝2，x ＝ln 2时取等号， 即当x ＞0时，函数f （x ）的最大值为1， ∵函数f （x ）为奇函数， ∴函数关于原点对称，则当x ＜0时，f （x ）的最小值﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，结合函数奇偶性的性质和对应关系是解决本题的关键．难度不大．6．己知{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 2﹣2n +b ﹣1，{b n }是等比数列，其前n 项和T n 32na =-，则数列{ b n +a n }的前5项和为（ ） A ．37 B ．-27C ．77D ．46【答案】C【解析】由等差数列的求和公式、等比数列的求和公式，结合数列的递推式，可得b ＝1，a ＝2，求得数列{a n }，{b n }的通项公式，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】{a n }是等差数列，其前n 项和221n S n n b =-+-，由等差数列的求和公式可得b ﹣1＝0，即b ＝1， 即S n ＝n 2﹣2n ，a 1＝S 1＝﹣1，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝n 2﹣2n ﹣（n ﹣1）2+2（n ﹣1）＝2n ﹣3， 则a n ＝2n ﹣3，n ∈N ；{b n }是等比数列，其前n 项和32nn a T =-， 则b 12a =-3，b n ＝T n ﹣T n ﹣12a =-3n aa -+3n ﹣1＝﹣2•3n ﹣1，则2a-3＝﹣2，即a ＝2， 则b n +a n ＝n +2n ，数列{ b n +a n }的前5项和为（1+2+...+5）+（2+4+ (32)12=⨯5×6()521212-+=-77． 故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和，以及化简运算能力，属于中档题．7．已知实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则目标函数z ＝y +x 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解即可得到结果． 【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件010240y y x y x ≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩的可行域如图：目标函数z ＝y +x 经过可行域的C 时，取得最大值，此时10240x y x y --=⎧⎨--=⎩解得C （3，2），所以目标函数z ＝y +x 的最大值为：5，【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键． 8．设函数()cos()1(3f x x πωω=+->0);将()f x 图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长 度，纵坐标不变，所得函数图象的一个对称中心为(,1)4π--，则ω的最小值为（ ） A ．27B ．107C ．127D ．227【答案】B【解析】由题意利用函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求得ω的最小值． 【详解】∵函数f （x ）＝cos （ωx 3π+）﹣1（ω＞0），将f （x ）图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长度，纵坐标不变， 可得函数y ＝cos （ωx 33ωππ-+）﹣1的图象， 所得函数图象的一个对称中心为14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 则cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+）]﹣1＝﹣1，∴cos [ω⋅（4π-）33ωππ-+]＝0，即ω⋅（4π-）33ωππ-+=kπ2π+， 即ω12277k =-，k ∈Z ，∴ω的最小值为107， 故选：B ．本题主要考查函数y ＝Acos （ωx +φ）+b 的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．己知函数y ＝f （x ）在R 上单调递增，函数y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称，f （﹣1）＝﹣2，则满足﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2的x 的取值范围是（ ） A ．1[,10]10B ．1[,100]100C ．[1,100]D ．1[,1000]10【答案】C【解析】根据y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称,即可得出f （x ）是奇函数，从而根据f （﹣1）＝﹣2得出f （1）＝2，从而根据﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得出f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），再根据f （x ）在R 上单调递增即可得出﹣1≤lgx ﹣1≤1，解出x 的范围即可． 【详解】∵y ＝f （x +1）的图象关于点（﹣1，0）对称， ∴y ＝f （x ）的图象关于原点对称，∴函数f （x ）为奇函数，且f （﹣1）＝﹣2， ∴f （1）＝2，∴由﹣2≤f （lgx ﹣1）≤2得，f （﹣1）≤f （lgx ﹣1）≤f （1），且f （x ）在R 上单调递增， ∴﹣1≤lgx ﹣1≤1，即0≤lgx ≤2，解得1≤x ≤100， ∴x 的取值范围是[1，100]． 故选：C ． 【点睛】本题考查了奇函数的定义，奇函数图象的对称性，图象的平移，增函数的定义，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．10．己知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n +2＝a n +a n +1，若将a n +2＝a n +a n +1变形为a n +2﹣a n +1＝a n ，可得a 1+a 2+…+a n ＝（a 3﹣a 2）+（a 4﹣a 3）+（a 5﹣a 4）+…+（a n +2﹣a n +1）＝a n +2﹣a 2＝a n +2﹣2，类似地，可得a 12+a 22+a 32+…+a 20192＝（ ） A ．202020191a a - B ．202020191a a + C ．201920181a a - D ．202020191a a +【答案】A【解析】将a n +2＝a n +a n +1，变形为a n +2﹣a n ＝a n +1，所以两边同时乘以a n +1得：a n +2a n +1﹣a n +1a n ＝a n +12，从而求和． 【详解】由21n n n a a a ++=+得21n n n a a a ++-=，所以22111n n n n n a a a a a ++++-=.所以()()()222222123132214332202020192019201820202019121202020191n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++-=+-=-L L .故选：A ． 【点睛】本题主要考查类比推理，运用类比推理数列求和，是基础题．11．己知f （x ）＝|lnx |，k ∈（0，e ﹣1），则函数y ＝f （x ）﹣kx 的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】问题转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，根据图象，求出k 的范围，得出结论． 【详解】y ＝0，转化为f （x ）与y ＝kx 的交点个数，图象如下：当y ＝kx 与f （x ）＝|lnx |相切时，设切点为（m ，n ），m ＞1， f '（x ）1x =，得k 1m=， 又n ＝km ，n ＝lnm ，得lnm ＝1，m ＝e ， 所以k 1e =，故0＜k 1e＜时，有三个交点， 故选：D ． 【点睛】考查函数零点与函数交点的关系，求函数的切线方程，中档题．12．在三棱锥A -BCD 中，平面ABC 丄平面ADC , AD 丄AC ,AD =AC , 3ABC π∠=，若此三棱锥的外接球表面积为28π，则三棱锥A -BCD 体积的最大值为（ ） A ．7 B ．12C ．6D ．533【答案】C【解析】设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ，三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ，取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ，则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ADC ，连结OA ，O 1A ，则O 1A ＝r ，设AD ＝AC ＝b ，则OO 1＝O 2E 12=b ，由S ＝4πR 2＝28π，解得R =b =，若三棱锥A ﹣BCD 的体积最大，则只需△ABC 的面积最大，由此能求出三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值． 【详解】根据题意，设三棱锥A ﹣BCD 外接球的半径为R ， 三棱锥的外接球球心为O ，△ABC 的外心为O 1，△ABC 的外接圆半径为r ， 取DC 的中点为O 2，过O 2作O 2E ⊥AC ， 则OO 1⊥平面ABC ，OO 2⊥平面ADC ， 如图，连结OA ，O 1A ，则O 1A ＝r ， 设AD ＝AC ＝b ，则OO 1＝O 2E 12=b ， 由S ＝4πR 2＝28π，解得R =在△ABC 中，由正弦正理得2r ACsin ABC=∠，∴2r3b sinπ=，解得b =，在Rt △OAO 1中，7＝r 2+（12b ）2，解得r ＝2，b ＝，∴AC ＝， 若三棱锥A ﹣BCD 的体积最大，则只需△ABC 的面积最大， 在△ABC 中，AC 2＝AB 2+BC 2﹣2•AB •BC •cos ∠ABC ， ∴12＝AB 2+BC 2﹣AB •BC ≥2AB •BC ﹣AB •BC ， 解得AB •BC ≤12，∴1112222ABC S AB BC sin ABC =⋅⋅⋅∠≤⨯⨯=V∴三棱锥A ﹣BCD 的体积的最大值：1133D ABC ABC V S AD -=⋅⋅=⨯=V 6．故选：C ．【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、填空题13．已知a =r （4，﹣1），b =r （2，t 2﹣1），若a b r r ⋅=5，则t ＝_________.【答案】2±【解析】结合已知，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ． 【详解】∵a =r（4，﹣1），b =r （2，t 2﹣1），∴a r •b =r4×2﹣（t 2﹣1）＝5， t 2＝4， 则t ＝±2． 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于基础试题． 14．若sinα＝2cos （π+α），则2122sin sin αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________. 【答案】25-【解析】由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】由sinα＝2cos （π+α）＝﹣2cosα，得tanα＝﹣2． ∴2122sin sinαα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sinαcosα 2221sin cos tan sin cos tan αααααα==++ 222(2)15-==--+．故答案为：25-． 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BC 1的垂线l ，则直线l 与直线CC 1所成角的余弦值为_________.【答案】33【解析】连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1，从而l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为∠D 1DB ，由此能求出结果． 【详解】如图，连结DB 1，则DB 1⊥平面A 1BC 1， ∴l ∥DB 1，直线l 与直线CC 1所成角为11D DB ∠，连结B 1D 1，在Rt △D 1DB 1中，设DD 1＝a ，则DB 13a =， ∴cos ∠D 1DB 1333a==． 故答案为：3．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．己知函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6，若f （x ）≥lnx 恒成立，则实数m 的取值范围是_________.【答案】(,e]-∞-【解析】根据条件利用解方程组法求出f （x ）的解析式，然后由f （x ）≥lnx 恒成立，可得m 2lnx x +≤-恒成立，构造函数()2lnx g x x+=，求出g （x ）的最小值，可进一步求出m 的范围．【详解】∵函数f （x ）对x ∈R 均有f （x ）+2f （﹣x ）＝mx ﹣6①，∴将﹣x 换为x ，得f （﹣x ）+2f （x ）＝﹣mx ﹣6②，∴由①②，解得f （x ）＝﹣mx ﹣2．∵f （x ）≥lnx 恒成立，∴m 2lnx x +≤-恒成立， ∴只需m 2()min lnx x+≤-． 令()2lnx g x x +=-，则g '（x ）21lnx x +=， 令g '（x ）＝0，则x 1e=， ∴g （x ）在（0，1e ）上单调递减，在（1e，+∞）上单调递增， ∴1()min g x g e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴m ≤﹣e ，∴m 的取值范围为（﹣∞，﹣e ]．故答案为：（﹣∞，﹣e ]．【点睛】本题考查了利用解方程组法求函数的解析式和不等式恒成立问题，考查了函数思想和方程思想，属中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角的对边分别为,,a b c ，若b =2270a ac c -+-=. （1）求B ;（2）若ABC ∆的周长为5,求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π（2）2【解析】（1）由已知可得a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cosB 12=，结合范围B ∈（0，π），可求B 的值． （2）由已知可求a +c ＝5，两边平方后可求ac 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）∵a 2﹣ac +c 2﹣7＝0，b =∴a 2+c 2﹣b 2＝ac ， ∴由余弦定理可得cosB 2221222a cb ac ac ac +-===， ∵B ∈（0，π），∴B 3π=．（2）∵△ABC 的周长为5，b =∴a +b +c ＝5，即a +c ＝5，∴（a +c ）2＝a 2+c 2+2ac ＝25，又∵a 2+c 2＝7+ac ，∴ac ＝6，∴S △ABC 12=acsinB 12=⨯6=，所以ABC V . 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．如图，在四棱锥S -ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120ADC ∠=,平面SAD ⊥平面 ABCD ，==丄，SA SD SA SD .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点, 12SE AF EC FB ==.（1）求证：EF P平面SAD;（2）求平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1590 40【解析】（1）先证明平行四边形AGEF，得到AG∥EF，再证明EF∥平面SAD；（2）以OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，求出平面DEF 的法向量和平面SBC的一个法向量，利用向量的夹角公式求出二面角的余弦值，从而求出平面DEF与平面SBC所成锐二面角的正弦值．【详解】（1）过点E作EG∥DC，如图，连接AG，因为12SEEC=，所以13EG SEDC SC==，故EG∥CD，EG13CD=，由12AFFB=，AF13AB=，因为菱形ABCD，所以EG∥AF，EG＝AF，故平行四边形AGEF，所以AG∥EF，又EF⊄平面SAD，AG⊂平面SAD，所以//EF平面SAD. （2）取AD中点O，等腰三角形SAD，故SO⊥AD，连接OB，菱形ABCD，∠ADC＝120°，所以OB⊥OA，又平面SAD⊥平面ABCD所以SO⊥平面ABCD，以OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图，因为SA＝SD＝2，所以AD＝AB＝CD＝6，SO＝3，∠ADC＝120°，所以AF＝2，OB33=，AO＝OD＝3，所以A（3，0，0），D（﹣3，0，0），S（0，0，3），F（230），B（0，3，0），C（﹣6，30），又13SE SC==u u r u u u r（﹣23，﹣1），得E（﹣232），所以()0333SB =-u u r ，，，()600BC =-u u u r ，，，()530DF =u u u r ，，，()132DE =u u u r ，，， 设平面DEF 的一个法向量为()m x y z =r，，， 由00m DF m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，得530320x y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，故53123m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，， 设平面SBC 的一个法向量为()n a b c =r ，，，由00n SB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r r u u u r r ，得33300b c a ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，故()013n =r ，，， 所以253231025321()43cos m n -+⋅==+-+r r ＜，＞， 平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值为159040．【点睛】考查线线平行，线面平行的判定，利用向量法求二面角余弦值，考查运算能力和空间想象能力，中档题．19．已知函数f （x ）的定义域I ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上为增函数，且∀x 1，x 2∈I ，恒有f （x 1x 2）＝f （x 1）+f （x 2）．（1）求证：f （x ）是偶函数：（2）若f （m ）﹣f （2m +1）＜3m 2+4m +1，求实数m 的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）1(,1),0(0,)3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）利用偶函数的定义直接证明；（2）通过对函数的自变量的取值的任意性，利用赋值法借助于奇偶性，单调性得到关于m 的不等式．【详解】（1）因为12,x x I ∀∈，恒有()()()1212f x x f x f x =+，所以令121x x ==，得()()121f f =，所以10f =（）. 令121x x ==-，得()()121f f =-，所以()10f -=.令12,1x x x ==-，得()()()()1f x f x f f x -=+-=，所以f x （）是偶函数.（2）设()()2g x f x x =+，则g x （）是偶函数，且在()0,+∞上为增函数. ()()221341f m f m m m -+<++，即()()()222121f m m f m m +<+++， 即()()21g m g m <+.由g x （）是偶函数，得()()21g m g m <+，由g x （）在()0,+∞上为增函数，得|m |＜|2m +1|，即()2221m m <+. 解得13m >-或1m <-.又0m ≠， 所以实数m 的取值范围是()()1,1,00,3⎛⎫-∞-⋃-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决抽象函数的单调性的关键，综合考查函数性质的应用．20．己知数列{n a }的前n 项和为n S ,12,2(2)n n a S S n n ==-≥.（1）试判定{1n a -}是否是等比数列，并说明理由；（2）求数列{n na }的前n 项和n T ；【答案】（1）数列{}1n a -不是等比数列,理由见解析（2）2122(1)2n n n n T n -++=-- 【解析】（1）运用数列的递推式，以及等比数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式可得a n ＝1﹣2n ﹣2，n ≥2，求得n ＝1时，na n ＝2；当n ≥2时，na n ＝n ﹣n •2n ﹣2，由数列的分组求和、错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．【详解】（1）因为()122n n S S n n -=-≥，所以当3n ≥时，()1221n n S S n --=--，所以121n n a a -=-，，即()1121n n a a --=-. 所以()11231n n a n a --=≥-. 当2n =时，12122a a a +=-，得20a =， 所以21111211a a --==-≠-， 因此数列{}1n a -不是等比数列.（2）由（1），得{}1n a -从第二项起，是以2为公比的等比数列.所以()222*1122,212,n n n n n a a n n N ----=-⋅=-=-+≥∈. 因此，222,12,1,21,22,2n n n n n n a na n n n n --⎧==⎧==⎨⎨-+≥-⋅+≥⎩⎩. ()01222232223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅++++L L ①()1212422322223n n T n n -=-⨯-⨯--⋅+⨯+++L L .②①-②得()()23211222222222n n n n n T n ---+-=-------+⋅-L ()()()()()2111212222422121222n n n n n n n n n ----+-+-⨯=--+⋅-=----. 所以()212212n n n n T n -++=--. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式，以及求和公式的运用，考查数列的分组求和、错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．21．已知函数1()x e f x a x-=+. （1）判断()f x 极值点的个数；（2）若x >0时，xe >()f x 恒成立，求实数a 的取值范围 【答案】（1）0（2）(,0]-∞【解析】（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f （x ）极值点的个数；（2）e x ＞f （x ），（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．设h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0．，根据函数h （x ）的性质，分类讨论，即可求得实数a 的取值范围．【详解】（1）由f （x ）1x e x -=+a ，得f '（x ）()211x x e x-+=．x ≠0； 设g （x ）＝（x ﹣1）e x +1，则g '（x ）＝xe x ，当x ∈（﹣∞，0）时，g '（x ）＜0，所以g （x ）在（﹣∞，0）上是减函数， 当x ∈（0，+∞）时，g '（x ）＞0，所以g （x ）在（0，+∞）上是增函数，所以g （x ）≥g （0）＝0，所以()0f x '≥，所以f （x ）在定义域上是增函数，f （x ）极值点个数为0．（2）e x ＞f （x ）（x ＞0），可化为（1﹣x ）e x +ax ﹣1＜0．令h （x ）＝（1﹣x ）e x +ax ﹣1，（x ＞0），则问题等价于当x ＞0时，h （x ）＜0． ∴h '（x ）＝﹣xe x +a ，令m （x ）＝﹣xe x +a ，则m （x ）在（0，+∞）上是减函数．当a ≤0时，m （x ）<m （0）＝a ≤0．所以h '（x ）＜0，h （x ）在（0，+∞）上是减函数．所以h （x ）＜h （0）＝0．②当a ＞0时，m （0）＝a ＞0，m （a ）＝﹣ae a +a ＝a （1﹣e a ）＜0，所以存在x 0∈（0，a ），使m （x 0）＝0．当x ∈（0，x 0）时，m （x ）＞0，h '（x ）＞0，h （x ）在（0，x 0）上是增函数． 因为h （0）＝0，所以当x ∈（0，x 0）时，h （x ）＞0，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是（﹣∞，0]．【点睛】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查利用导数研究函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．22．已知函数()()2142alnx f x x a R =-∈． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ＝4，且06x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求证：11224cos x tanx e e -＜＜． 【答案】（1）当0a ≤时，f x （）在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减（2）证明见解析【解析】（1）求导，判断单调性即可；（2）x ₁＜x ₂∈（0，1），则f （x 1）＜f （x 2），即2211221122lnx x lnx x --＜，得到22121()122x x x e x -＜，即得()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，再利用三角函数12-cos 2x ∈（1124--，），所以11224cos x e e --＜，代入即可证明． 【详解】（1）易知()2ln 142a x f x x =-的定义域为()0,∞+， ()2444a a x f x x x x-='=-， 当0a ≤时，0f x <（）恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递减. 当0a >时，由()00f x x '⎧>⎨>⎩，解得02x <<； 由()00f x x '⎧<⎨>⎩，解得2x >. 所以f x （）在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减， 综上所述，当0a ≤时，f x （）在()0,∞+上单调递减；当0a >时，()f x在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减. （2）当4a =时，()212f x lnx x =-， 由（1）可知()21ln 2f x x x =-在01（，）上单调递增. 设()12,0,1x x ∈，且12x x <，则()()12f x f x <，即22112211ln ln 22x x x x -<-，所以()2211221ln 2x x x x <-，所以()22121122x x x e x -<. 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0sin 1x cosx <<<. 所以()221sin 2sin e x cos x x cosx-<，即1cos22e x tanx -<， 因为0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1111cos2,1,cos2,2224x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以11224cos x e e --<. 综上可得，11224e e cos x tanx --<<.【点睛】题考查了导数的综合应用，利用函数进行不等式比较大小，属于难题．。