高中数学竞赛标准讲义：第四章：几个初等函数的性质

第四章 几个初等函数的性质

一、基础知识

1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。

2．分数指数幂：n m n m

n n

n

m

n

m n

n a

a a a a a a a 1,1,,1

====--。

3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞），

值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ⇔x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ；

3）log a （

N

M

）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1

log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1).

5. 函数y =x +x

a

（a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[)

0,a -和

(]

a ,0。（请读者自己用定义证明）

6．连续函数的性质：若a

例1 已知a , b , c ∈(-1, 1)，求证：ab +bc +ca +1>0.

【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0.

例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=n

i i

a

1

2

）·（

∑=n

i i

b

1

2

）

≥(

∑=n

i i

i b

a 1

)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。

【证明】 令f (x )= （∑=n

i i

a

1

2）x 2-2(

∑=n

i i

i b

a 1

)x +

∑=n i i b 1

2=∑=-n

i i i

b x a

1

2)(,

因为

∑=n

i i

a

1

2>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0，

所以△=4(∑=n

i i

i b

a 1)-4（

∑=n

i i

a

1

2）(

∑=n

i i

b

12)≤0.

展开得（

∑=n

i i a

1

2）(

∑=n

i i

b

1

2)≥(

∑=n

i i

i b

a 1

)2。

等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。

例3 设x , y ∈R +, x +y =c , c 为常数且c ∈(0, 2]，求u=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+y y x x 11的最小值。 【解】u=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+y y x x 11=xy +xy x y y x 1++≥xy +xy 1+2·x y y x ⋅ =xy +

xy

1

+2. 令xy =t ，则0

1

,0

c ≤1，所以f (t )在⎥⎦⎤ ⎝⎛4,02c 上单调递减。 所以f (t )m in =f (42c )=42c +24c ，所以u ≥42c +2

4c +2.

当x =y =2

c

时，等号成立. 所以u 的最小值为42c +24c +2.

2．指数和对数的运算技巧。

例4 设p , q ∈R +且满足log 9p = log 12q = log 16(p +q )，求

p

q

的值。 【解】 令log 9p = log 12q = log 16(p +q )=t ，则p =9 t , q =12 t , p +q =16t ，

所以9 t +12 t =16 t ，即1+.34342t

t ⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛

记x =t

t t p q ⎪⎭

⎫

⎝⎛==34912，则1+x =x 2，解得.251±=x 又p q >0，所以p

q =.25

1± 例5 对于正整数a , b , c (a ≤b ≤c )和实数x , y , z , w ，若a x =b y =c z =70w ，且w

z y x 1111=++，求证：a +b =c .

【证明】 由a x =b y =c z =70w 取常用对数得xlga =ylgb =zlgc =wlg 70.

所以

w 1lga =x 1lg 70, w 1lgb =y 1lg 70, w 1

lgc =z 1lg 70，

相加得w 1

(lga +lgb +lgc )=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++z y x 111lg 70，由题设w z y x 1111=++， 所以lga +lgb +lgc =lg 70，所以lgabc =lg 70.

所以abc =70=2×5×7.

若a =1，则因为xlga =wlg 70，所以w =0与题设矛盾，所以a >1. 又a ≤b ≤c ，且a , b , c 为70的正约数，所以只有a =2, b =5, c =7. 所以a +b =c .

例6 已知x ≠1, ac ≠1, a ≠1, c ≠1. 且log a x +log c x =2log b x ，求证c 2=(ac )logab . 【证明】 由题设log a x +log c x =2log b x ，化为以a 为底的对数，得

b

x

c x x a a a a a log log 2log log log =

+

， 因为ac >0, ac ≠1，所以log a b =log ac c 2，所以c 2=(ac )logab .