PI控制器要点

PI 控制原理

1.1 比例（P ）控制

比例控制是一种最简单的控制方式。其控制器实质上是一个具有可调增益的放大器。在信号变换过程中，P 控制器值改变信号的增益而不影响其相位。在串联校正中，加大了控制器增益k ，可以提高系统的开环增益，减小的系统稳态误差，从而提高系统的控制精度。控制器结构如图1：

图1

1.2 比例-微分控制

具有比例-微分控制规律的控制器称PI 控制器，其输出信号m(t)同时成比例的反应出输入信号e(t)及其积分，即：

⎰+=t

i

dt t e T k t ke t m 0)()()( （1）

式（1）中，k 为可调比例系数；i T 为可调积分时间常数。PI 控制器如图2所示。

图2

在串联校正时，PI 控制器相当于在系统中增加了一个位于原点的开环极点，同时也增加了一个位于s 左半平面的开环零点。位于原点的极点可以提高系统的型别，以消除或减小系统的稳态误差，改善系统的稳态性能；而增加的负实零点则用来减小系统的阻尼程度，

缓和PI 控制器极点对系统稳定性及动态性能产生的不利影响。只要积分时间常数i T

足够大，PI 控制器对系统稳定性的不利影响可大为减弱，在控制工程中，PI 控制器主要用来改善控制系统的稳态性能。

2 P 和PI 控制参数设计

2.1 初始条件：

反馈系统方框图如图3所示。K (s)D =1（比例P 控制律），s

K K (s)D I

+

=2（比例积分PI 控制律），)6s )(1s (1s G 1+-+=

s (s)，)

2s )(1s (1

G 2++=(s)

2.2 P 控制器设计

2.2.1 比例系数k 的设定

由题目给出的初始条件知，当G(s)=(s)1G ，未加入D(s ）校正环节时，系统开环传递函数为：

6)1)(s -s(s 1

s (s)H(s)++=

G

s

s s 651

s 23-++= （2）

又系统结构图可知系统为单位负反馈系统所以闭环传递函数为：

)6)(1(11)

6)(1(1

)(+-+++-+=

s s s s s s s s s φ

1

551

23+-++=s s s s （3）

则系统的闭环特征方程为：D(s)=1552

3+-+s s s =0. 按劳斯判据可列出劳斯表如表1：

Y

图3

3s 1 -5 2s 5

1

1s 5

24-

0s

1

表1

由于劳斯表第一列符号不相同，所以系统不稳定，需要校正。

由任务要求得，当D(s)=D 1(s),G(s)=G 1(s)时，即加入P 控制器后，系统开环传递函数为：

6)1)(s -s(s 1)

k(s (s)H(s)++=

G （4）

其闭环传递函数为：

k s k s s k

ks s +-+++=

)6(5)(23φ （5）

则系统的闭环特征方程为：D(s)=0)6(52

3=+-++k s k s s 按劳斯判据可列出劳斯表如表2：

3s

1 K-6 2s

5

k

1s

530

4-k

0s

k 0

表2

要使系统稳定则必须满足劳斯表第一列全为正，即：

{

03040>->k k （6）

所以系统稳定的条件为k>7.5.

当单位阶跃信号输入时，系统稳态误差系数：

)

()(lim 0

p s H s G K s →= （7）

由式（4）得系统为1型系统，所以P K = ∞ 所以稳态误差：

011

1)(=∞+=+=

∞P ss K R e

(8)

2.2.2 加入P 控制器后系统动态性能指标计算

1）k 取不同值时的特征根

由式（5）得系统稳定的条件为k>7.5。下面对k 分别取7.5、15、30来讨论分析系统的动态性能指标。

当k=7.5时系统的闭环特征方程为：

05.75.15)(2

3=+++=s s s s D （9）

通过MATLAB 求得系统特征根，其程序如下： den=[1,5,1.5,7.5] roots(den)%求系统特征根 其运行结果如下： ans =

-5.0000 -0.0000 + 1.2247i -0.0000 - 1.2247i

即求得其特征根分别为：1s =-5，2s =j1.2247，31s =-j1.2247,。其中有两个极点在虚轴上，系统临界稳定。

同理通过调用MATLAB 中的roots 函数即可分别求得k=15，k=20时的特征根。 K=15时，特征根为：1s =-3.6608，2s =-0.6696+j1.9103，31s =-0.6696-j1.9103。 K=30时，特征根为：1s =-1.6194，2s =-1.6903 -j 3.9583，31s =-1.6903 -j 3.9583。 2）k 取不同值时的单位阶跃响应

由式（7）得当k=7.5时其闭环传递函数为：

5.75.155

.75.7)(231++++=

s s s s s φ （10）

当k=15时闭环传递函数为： 159515

15)(232++++=

s s s s s φ （11）

当k=30时闭环传递函数为：

3024530

30)(233++++=

s s s s s φ （12）

用MATLAB 求系统的单位阶跃响应，绘制出不同k 值时的单位阶跃响应曲线图，其程序如下：

num1=[7.5,7.5]; den1=[1,5,1.5,7.5]; t1=0:0.1:15;

y1=step(num1,den1,t1); num2=[15,15]; den2=[1,5,9,15]; y2=step(num2,den2,t1); num3=[30,30]; den3=[1,5,24,30]; y3=step(num3,den3,t1);

plot(t1,y1,'r.',t1,y2,'--g',t1,y3,'b'),grid 程序运行后输出曲线图如图4：