高考理科数学试题及答案1492

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2024年全国甲卷数学(理)高考真题(含解析)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷（理科数学）（使用范围：陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．5．考试结束后，只将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设5i z =+，则()i z z +=（）A .10iB.2iC.10D.2-2.集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（）A.{}1,4,9 B.{}3,4,9 C.{}1,2,3 D.{}2,3,53.若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（）A.5B.12C.2- D.72-4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（）A.2- B.73C.1D.25.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A.4B.3C.2D.6.设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A.16B.13C.12D.237.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（）A.B.C. D.8.已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.1+ B.1- C.32D.19.已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（）A.“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B.“3x =-”是“//a b”的必要条件C.“0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D.“1x =-+”是“//a b”的充分条件10.设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（）A.①③B.②④C.①②③D.①③④11.在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A.32B.C.72D.212.已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（）A.2B.3C.4D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．14.已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．15.已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．16.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818.记n S为数列{}n a的前n项和，且434n nS a=+．（1）求{}n a的通项公式；（2）设1(1)nn nb na-=-，求数列{}n b的前n项和为n T．19.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD，4,2AD AB BC EF====，ED FB==M为AD的中点．（1）证明：//BM平面CDE；（2）求二面角F BM E --的正弦值．20.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21.已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．参考答案（含解析）一、选择题题号123456789101112答案ADDBCABBCACC1.【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=，故选：A2.【答案】D【解析】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð，故选：D3.【答案】D【解析】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4.【答案】B【解析】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5.【答案】C【解析】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6.【答案】A 【解析】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7.【答案】B【解析】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8.【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 13⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==α+⎪-α⎝⎭，故选：B .9.【答案】C【解析】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b == ，故0a b ⋅=，所以a b ⊥ ，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10.【答案】A【解析】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11.【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则7sin sin 2A C +=.故选：C.12.【答案】C【解析】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB 最小，1,PC AC r ===24AB AP ====.故选：C二、填空题13.【答案】5【解析】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14.【答案】64【解析】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以((2121163143S S h V h V h S S h ++-===++甲甲甲乙乙乙.故答案为：64.15.【答案】64【解析】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16.【答案】715【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715.三、解答题（一）必考题17.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；【解析】（1）根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64150=，用频率估计概率可得0.64p =，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18.【答案】（1）14(3)n n a -=⋅-；（2）(21)31nn T n =-⋅+【解析】（1）当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.（2）111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ ，故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ ，所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅ ()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19.【答案】（1）证明见解析；（2）4313【解析】（1）因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 为平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；（2）如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF =，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则43sin ,13m n =，故二面角F BM E --的正弦值为13.20.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析【解析】（1）设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =，故椭圆方程为22143x y +=.（2）直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k kk=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k k x x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.21.【答案】（1）极小值为0，无极大值；（2）12a ≤-.【解析】（1）当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.（2）()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 101a xs x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a a ax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上为增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立；同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】（1）221y x =+；（2）34a =.【解析】（1）由cos 1ρρθ=+，将ρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.（2）对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为222x s y a s⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =.[选修4-5：不等式选讲]23.实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;（2）222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=.。

高考全国卷数学理科试题及答案详解

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第一卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．(2021课标全国Ⅱ，理1)集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，那么M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．(2021课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，那么z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2021课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项与为S n .S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，那么a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2021课标全国Ⅱ，理4)m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，那么( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2021课标全国Ⅱ，理5)(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，那么a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2021课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++ D ．1111+2!3!11!+++7．(2021课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，那么得到的正视图可以为( )．8．(2021课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，那么( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 9．(2021课标全国Ⅱ，理9)a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩假设z ＝2x＋y 的最小值为1，那么a ＝( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．(2021课标全国Ⅱ，理10)函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，以下结论中错误的选项是( )．A ．∃x0∈R ，f(x0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．假设x0是f(x)的极小值点，那么f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D ．假设x0是f(x)的极值点，那么f′(x0)＝011．(2021课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，假设以MF 为直径的圆过点(0,2)，那么C 的方程为( )．A ．y2＝4x 或y2＝8xB ．y2＝2x 或y2＝8xC ．y2＝4x 或y2＝16xD ．y2＝2x 或y2＝16x12．(2021课标全国Ⅱ，理12)点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两局部，那么b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．112⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ C．113⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 第二卷本卷包括必考题与选考题两局部，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2024全国卷理科数学高考真题

2024年一般高等学校招生全国统一考试理科数学留意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设z=：—+2i,则|z|=1+1A.0B.—C.1D.、/22.已知集合A=(x|x2-x-2>0},贝=A.(x|-l<x<2}B.(x|-l<x<2}C.(x|x<-l}.(x|x>2}D.(x|x<-l}_(x|x>2}3.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入改变状况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是A.新农村建设后，种植收入削减B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍D.新农村建设后，养殖收入及第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记&为等差数列｛%｝的前〃项和.若3S.=S2+S4,%=2,贝胞=A.—12B.-10C・10D.125.设函数了⑴=r+(o_1K+"若/*3)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A.y=-2x B・y= C.y=2xD."x6.在AABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则E8=311331 A.—AB—AC B.—AB—AC C.—AB h—AC44444413一D.-AB+-AC447.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从肱到N的路径中，最短路径的长度为A.2面「B.2^5C.3D.28.设抛物线Q jMx的焦点为R过点(-2,0)且斜率为甘的直线及。

新课标Ⅰ高考数学理科真题试卷(含答案)

绝密(juémì)★启封(qǐ fēnɡ)并使用完毕前试题(shìtí)类型：A 2021年普通高等学校招生全国(quán ɡuó)统一考试理科(lǐkē)数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一.选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〔1〕设集合，，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕设，其中x，y是实数，那么〔A〕1〔B〕〔C〕〔D〕2〔3〕等差数列前9项的和为27，，那么〔A〕100〔B〕99〔C〕98〔D〕97〔4〕某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，那么n的取值范围是〔A〕(–1,3) 〔B〕(–1,3) 〔C〕(0,3) 〔D〕(0,3)〔6〕如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.假设该几何体的体积是，那么它的外表积是〔A〕17π〔B〕18π〔C〕20π〔D〕28π〔7〕函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔8〕假设(jiǎshè)，那么(nà me)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔9〕执行右面(yòumiàn)的程序图，如果输入的，那么(nà me)输出x，y的值满足(mǎnzú)〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕(10)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点.|AB|=，|DE|=，那么C的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，平面ABCD=m，a 平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值为(A)(B) (C) (D)12.函数(hánshù)为的零点(línɡ diǎn)，为图像(tú xiànɡ)的对称轴，且()f x在单调(dāndiào)，那么的最大值为〔A〕11 〔B〕9 〔C〕7 〔D〕5第II卷本卷包括必考题(kǎo tí)和选考题两局部.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每题5分(13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，那么m=.(14)的展开式中，x3的系数是.〔用数字填写答案〕〔15〕设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，那么a1a2…a n的最大值为。

全国统一高考数学试卷理科参考答案与试题解析

全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，110每小题4分,1115每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（）A ．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交集及其运算．分析：解出集合N中二次不等式，再求交集．解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（）A ．﹣6B．﹣3C．D．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：计算题．分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．故选A．点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan （）在一个周期内的图象是（）A ．B．C．D．考点：正切函数的图象．专题：综合题．分析：先令tan （）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan （）的最小正周期为2π，排除B．解答：解：令tan （）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan （）与x 轴的一个交点不是，排除C，D∵y=tan （）的周期T==2π，故排除B故选A点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC﹣A的大小为（）A ．B．C．D．考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的其它边与角的关系，解三角形进行求解．解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，得PB=PC=，PA=BC=2，取BC的中点E，连接AE，PE，则∠AEP即为所求二面角的平面角．且AE=EP=，∵AP2=AE2+PE2，∴∠AEP=，故选C．点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin （）+cos2x的最小正周期是（）A ．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案．解答：解：∵f（x）=sin （）+cos2x=cos2x ﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x ﹣sin2x=sin（2x+θ）∴T==π故选B．点评：本题主要考查三角函数的最小正周期的求法．属基础题．6．（4分）满足arccos（1﹣x）≥arccosx的x的取值范围是（）A ．[﹣1，﹣]B．[﹣，0]C．[0，]D．[，1]考点：反三角函数的运用．专题：计算题．分析：应用反函数的运算法则，反函数的定义及性质，求解即可．解答：解：arccos（1﹣x）≥arccosx 化为cos[arccos（1﹣x）]≤cos[arccosx]所以1﹣x≤x，即：x，又x∈[﹣1，1]，所以x的取值范围是[，1]故选D．点评：本题考查反余弦函数的运算法则，反函数的定义域，考查学生计算能力，是中档题．7．（4分）将y=2x的图象____________再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2（x+1）的图象（）A ．先向左平行移动1个单位B．先向右平行移动1个单位C ．先向上平行移动1个单位D．先向下平行移动1个单位考点：反函数；函数的图象与图象变化．分析：本题考查函数图象的平移和互为反函数的函数图象之间的关系两个知识点，作为本题，可以用逐一验证的方法排除不合题意的选项，验证的个数在1到3个，对于本题，这不是最佳选择，建议逆推得到平移后的解析式，这样就可以方便的观察到平移的方向及单位数．解答：解：利用指数式和对数式的互化，由函数y=log2（x+1）解得：x=2y﹣1则函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的反函数为y=2x﹣1（x∈R）即函数y=2x平移后的函数为y=2x﹣1，易见，只需将其向下平移1个单位即可．故选D点评：本题采用先逆推获取平移后的解析式的方法，得到解析式后平移的方向和单位便一目了然，简便易行，值得尝试．8．（4分）长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（）A ．20πB．25πC．50πD．200π考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：设出球的半径，由于直径即是长方体的体对角线，由此关系求出球的半径，即可求出球的表面积．解答：解：设球的半径为R，由题意，球的直径即为长方体的体对角线，则（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故选C点评：本题考查球的表面积，球的内接体，考查计算能力，是基础题．9．（4分）曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A ．（x﹣1）2（y﹣1）=1B．y=C．D．考点：参数方程的概念．专题：计算题．分析：由题意知x=1﹣，可得x﹣1=﹣，将方程两边平方，然后与y﹣1=﹣t2，相乘消去t即可求解．解答：解：∵曲线的参数方程是（t是参数，t≠0），∴，∴将两个方程相乘可得，（x﹣1）2（1﹣y）=1，∴y=，故选B．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系，两者要会互相转化，根据实际情况选择不同的方程进行求解，这也是每年高考必考的热点问题．10．（4分）函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值为（）A ．2B．0C．D．6考点：函数的值域；余弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：先进行配方找出对称轴，而﹣1≤cosx≤1，利用对称轴与区间的位置关系求出最小值．解答：解：y=cos2x﹣3cosx+2=（cosx﹣）2﹣∵﹣1≤cosx≤1∴当cosx=1时ymin=0，故选B点评：本题以三角函数为载体考查二次函数的值域，属于求二次函数的最值问题，属于基本题．11．（5分）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A ．B．C．D．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．根据原椭圆方程可求得其中心坐标，进而求得其关于直线x+y=0对称点，则椭圆方程可得．解答：解：依题意可知椭圆C关于直线x+y=0对称，长轴和短轴不变，主要椭圆的中心即可．∵椭圆的中心为（3，2）关于直线x+y=0对称的点为（﹣2，﹣3）故椭圆C的方程为故选A．点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系及点关于直线对称的问题．属基础题．12．（5分）圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是（）A ．πB．2πC．πD．π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过圆台的底面面积，求出上下底面半径，利用侧面积公式求出母线长，然后求出圆台的高，即可求得圆台的体积．解答：解：S1=π，S2=4π，∴r=1，R=2，S=6π=π（r+R）l，∴l=2，∴h=．∴V=π（1+4+2）×=π．故选D点评：本题是基础题，通过底面面积求出半径，转化为求圆台的高，是本题的难点，考查计算能力，常考题．13．（5分）（•碑林区一模）定义在区间（﹣∞，+∞）的奇函数f（x）为增函数；偶函数g（x）在区间[0，+∞）的图象与f（x）的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式：①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）；②f（b）﹣f（﹣a）＜g（a）﹣g（﹣b）；③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）；④f（a）﹣f（﹣b）＜g（b）﹣g（﹣a），其中成立的是（）A ．①与④B．②与③C．①与③D．②与④考点：函数奇偶性的性质．分析：根据f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f （b），对①②③④进行逐一验证即可得答案．解答：解：由题意知，f（a）＞f（b）＞0又∵f（﹣a）=﹣f（a），f（﹣b）=﹣f（b），g（﹣a）=g（a）=f（a），g（﹣b）=g（b）=f（b）；∴①f（b）﹣f（﹣a）＞g（a）﹣g（﹣b）⇔f（b）+f（a）＞f（a）﹣f（b）⇔f（b）＞﹣f（b），故①对②不对．③f（a）﹣f（﹣b）＞g（b）﹣g（﹣a）⇔f（b）+f（a）＞f（b）﹣f（a）⇔f（a）＞﹣f（a），故③对④不对．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用．14．（5分）不等式组的解集是（）A ．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜2.5}C．D．{x|0＜x＜3}考点：其他不等式的解法．专题：压轴题．分析：可以直接去绝对值解不等式，比较复杂；可结合答案用特值法解决．解答：解：取x=2满足不等式，排除A；再取x=2.5，不满足，排除B、D故选C点评：本题考查解绝对值不等式和分式不等式问题，要注意选择题的特点，选择特殊做法解决．15．（5分）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有（）A ．150种B．147种C．144种D．141种考点：排列、组合的实际应用；计数原理的应用．专题：计算题；压轴题．分析：由题意知从10个点中任取4个点有C104种取法，减去不合题意的结果，4点共面的情况有三类，取出的4个点位于四面体的同一个面上；取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点；由中位线构成的平行四边形，用所有的结果减去不合题意的结果即可得答案．解答：解：从10个点中任取4个点有C104种取法，其中4点共面的情况有三类．第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有4C64种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4顶点共面，有3种．以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有C104﹣4C64﹣6﹣3=141种．故选D．点评：本题考查分类计数原理，考查排列组合的实际应用，是一个排列组合同立体几何结合的题目，解题时注意做到不重不漏．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）16．（4分）已知的展开式中x3的系数为，常数a的值为4．考点：二项式定理；二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数，列出方程解得．解答：解：的展开式的通项为=令解得r=8∴展开式中x3的系数为∵展开式中x3的系数为∴解得a=4故答案为4点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．17．（4分）（•陕西模拟）已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是．考点：简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段；不等式的基本性质．专题：计算题；压轴题．分析：先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．解答：解：将原极坐标方程，化为：ρsinθ+ρcosθ=1，化成直角坐标方程为：x+y﹣1=0，则极点到该直线的距离是=．故填；．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．18．（4分）的值为．考点：角的变换、收缩变换．专题：计算题；压轴题．分析：先将分式中的15°化为7°+8°，利用两角和的余弦、正弦展开，分子、分母分组提取sin7°，cos7°，再用同角三角函数的基本关系式，化简，然后，就会求出tan15°，利用两角差的正切，求解即可．解答：解：=======tan15°=tan（45°﹣30°）===，故答案为：点评：本题考查角的变换，两角和的正弦、余弦，同角三角函数的基本关系式，考查学生运算能力，是中档题．19．（4分）已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α；②若l平行于α，则l平行于α内所有的直线；③若m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α⊥β；④若l⊊β且l⊥α，则α⊥β；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m．其中正确命题的序号是①④．考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：压轴题．分析：对于①，考虑直线与平面垂直的判定定理，符合定理的条件故正确；对于②，考虑直线与平面平行的性质定理以及直线与平面的位置关系，故错误；对于③考虑α⊥β的判定方法，而条件不满足，故错误；对于④符合面面垂直的判定定理，故正确；对于⑤不符合线线平行的判定，故错误．正确命题的序号是①④解答：解：①，符合定理的条件故正确；②，若l平行于α，则l与α内的直线有两种：平行或异面，故错误；③m⊊α，l⊊β且l⊥m，则α与β可以相交但不垂直；④符合面面垂直的判定定理，故正确；⑤若m⊊α，l⊊β且α∥β，则l∥m或者异面，错误，故正确命题的序号是①④．点评：本题考查立体几何中线线关系中的平行、线面关系中的垂直、面面关系中的垂直的判定方法，要注意对比判定定理的条件和结论，同时要注意性质定理、空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的应用．三、解答题（共6小题，满分69分）20．（10分）已知复数，．复数，z2ω3在复数平面上所对应的点分别为P，Q．证明△OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）．考点：复数代数形式的混合运算．分析：利用复数三角形式，化简复数，．然后计算复数，z2ω3，计算二者的夹角和模，即可证得结论．解答：解法一：，于是，，=因为OP与OQ的夹角为，所以OP⊥OQ．因为，所以|OP|=|OQ|由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．解法二：因为，所以z3=﹣i．因为，所以ω4=﹣1于是由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角，故△OPQ为等腰直角三角形．点评：本小题主要考查复数的基本概念、复数的运算以及复数的几何意义等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力，是中档题．21．（11分）已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设cn=an+bn，Sn为数列{cn}的前n项和．求．考点：等比数列的通项公式；极限及其运算；数列的求和．专题：计算题．分析：先根据等比数列的通项公式分别求出an和bn，再根据等比数列的求和公式，分别求得Sn和Sn﹣1的表达式，进而可得的表达式，分p＞1和p＜1对其进行求极限．解答：解：，．分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．∵，====p．（Ⅱ）p＜1．∵0＜q＜p＜1，==点评：本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识，考查逻辑推理能力和运算能力．22．（12分）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（1）全程运输成本有两部分组成，将其分别分别表示出来依题意建立起程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，由题设条件速度不得超过c千米/时．故定义域为v∈（0，c]．（2）由（1）知，全程运输成本关于速度的函数表达式中出现了积为定值的情形，由于等号成立的条件有可能不成立，故求最值的方法不确定，对对速度的范围进行分类讨论，如等号成立时速度值不超过c，则可以用基本不等式求求出全程运输成本的最小值，若等号成立时速度值大于最高限速v，可以判断出函数在（0，c]上的单调性，用单调性求出全程运输成本的最小值．解答：解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为故所求函数及其定义域为（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有当且仅当，．即时上式中等号成立若，则当时，全程运输成本y最小，若，即a＞bc2，则当v∈（0，c]时，有==因为c﹣v≥0，且a＞bc2，故有a﹣bcv≥a﹣bc2＞0，所以，且仅当v=c时等号成立，也即当v=c时，全程运输成本y最小．综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为；当时行驶速度应为v=c．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．23．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）求AE与D1F所成的角．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线线垂直可先证线面垂直，欲证AD⊥D1F，可先证AD⊥面DC1，即可证得；（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，取AB的中点G，将D1F平移到A1G，AB与A1G构成的锐角或直角就是异面直线所成的角，利用三角形全等求出此角即可．解答：解：（Ⅰ）∵AC1是正方体，∴AD⊥面DC1．又D1F⊂面DC1，∴AD⊥D1F．（Ⅱ）取AB中点G，连接A1G，FG．因为F是CD的中点，所以GF、AD平行且相等，又A1D1、AD平行且相等，所以GF、A1D1平行且相等，故GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F．设A1G与AE相交于点H，则∠AHA1是AE与D1F所成的角，因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌Rt△ABE，∠GA1A=∠GAH，从而∠AHA1=90°，即直线AE与D1F所成角为直角．点评：本小题主要考查异面直线及其所成的角，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题．25．（12分）（•北京模拟）设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小的圆的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：圆被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1，劣弧所对的圆心角为90°，设圆的圆心为P（a，b），圆P截X轴所得的弦长为，截y轴所得弦长为2；可得圆心轨迹方程，圆心到直线l：x﹣2y=0的距离最小，利用基本不等式，求得圆的方程．解答：解法一：设圆的圆心为P（a，b），半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|．由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°，知圆P截X轴所得的弦长为，故r2=2b2，又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1．从而得2b2﹣a2=1．又点P（a，b）到直线x﹣2y=0的距离为，所以5d2=|a﹣2b|2=a2+4b2﹣4ab≥a2+4b2﹣2（a2+b2）=2b2﹣a2=1，当且仅当a=b时上式等号成立，此时5d2=1，从而d取得最小值．由此有解此方程组得或由于r2=2b2知．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．解法二：同解法一，得∴得①将a2=2b2﹣1代入①式，整理得②把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8（5d2﹣1）≥0，得5d2≥1．∴5d2有最小值1，从而d有最小值．将其代入②式得2b2±4b+2=0．解得b=±1．将b=±1代入r2=2b2，得r2=2．由r2=a2+1得a=±1．综上a=±1，b=±1，r2=2．由|a﹣2b|=1知a，b同号．于是，所求圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，或（x+1）2+（y+1）2=2．点评：本小题主要考查轨迹的思想，求最小值的方法，考查综合运用知识建立曲线方程的能力．易错的地方，P到x轴，y轴的距离，不能正确利用基本不等式．24．（12分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜．（1）当x∈（0，x1）时，证明x＜f （x）＜x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0＜．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；不等式的证明．专题：证明题；压轴题；函数思想；方程思想；作差法．分析：（1）方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，所以构造函数，当x∈（0，x1）时，利用函数的性质推出x＜f （x），然后作差x1﹣f（x），化简分析出f（x）＜x1，即可．（2）．方程f（x）﹣x=0的两个根x1，x2，函数f（x）的图象，关于直线x=x0对称，利用放缩法推出x0＜；解答：证明：（1）令F（x）=f（x）﹣x．因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，所以F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）．当x∈（0，x1）时，由于x1＜x2，得（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，又a＞0，得F（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0，即x＜f（x）．x1﹣f（x）=x1﹣[x+F（x）]=x1﹣x+a（x1﹣x）（x﹣x2）=（x1﹣x）[1+a（x﹣x2）]因为所以x1﹣x＞0，1+a（x﹣x2）=1+ax﹣ax2＞1﹣ax2＞0．得x1﹣f（x）＞0．由此得f（x）＜x1．（2）依题意知因为x1，x2是方程f（x）﹣x=0的根，即x1，x2是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的根．∴，因为ax2＜1，所以．点评：本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

2024年高考新课标I卷数学真题及答案解析

2024高考数学新课标Ⅰ卷一、选择题1.已知集合=−<<=−−A x x B |55,3,1,0,2,33}{}{，则⋂=A B （） A.−1,0}{ B.2,3}{ C.−−3,1,0}{ D.-1,0,2}{2.若−=+z i z11，则=z （） A.−−i 1 B.−+i 1 C.−i 1 D.+i 13.已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若()4b b a ⊥−，则=x （） A.-2 B.-1 C.1 D.24.已知+==αβαβm cos(),tan tan 2，则−=αβcos()（） A.−m 3 B.−m 3 C.m3D.m 35.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，则圆锥的体积为（）A.B. C. D.6.已知函数为⎩++≥⎨=−−−<⎧e x x f x x ax a x x ln(1),0()2,02在R 上单调递增，则a 的取值范围是（）A.−∞,0](B.−1,0][C.−1,1][D.+∞0,)[7.当∈πx 0,2][时，曲线=y x sin 与⎝⎭⎪=−⎛⎫πy x 62sin 3的交点个数为（）A.3B.4C.6D.88.已知函数f x ()的定义域为R ，>−+−f x f x f x ()(1)(2)，且当<x 3时，=f x x ()，则下列结论中一定正确的是（）A.>f (10)100B.>f (20)1000C.<f (10)1000D.<f (20)10000二、多选题9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值=x 2.1，样本方差=S 0.012，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12)(，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N x S ,2)(，则（）（若随机变量Z 服从正态分布μσN ,2)(，则<+≈μσP Z 0.8413)(）A.>>P X 20.2)(B.><P X 20.5)(C.>>P Y 20.5)(D.><P Y 20.8)(10.设函数=−−f x x x ()(1)(4)2，则 A.=x 3是f x ()的极小值点 B.当<<x 01时，<f x f x ()2)( C.当<<x 12时，−<−<f x 4(21)0 D.当−<<x 110时，−>f x f x (2)()11.造型可以看作图中曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足：横坐标大于-2；到点F (2,0)的距离与到定直线=<x a a (0)的距离之积为4，则（） A.=−a 2B.点)(在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x y ,00)(在C 上时，+≤x y 2400三、填空题12.设双曲线−=>>a bC a b x y :1(0,0)2222的左右焦点分别为F F ,12，过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A B ,两点，若==F A AB 13,101，则C 的离心率为_________13.若曲线=+y e x x 在点0,1)(处的切线也是曲线=++y x a ln(1)的切线，则=a ________14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）。

高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试附答案2022

高考理科数学普通高等学校招生全国统一考试（附答案）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()(1)18.下图是某地区2000年至环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折现图。

高考数学模拟试卷复习试题三角函数和解三角形第02节三角函数的图象与性质一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1．已知函数cos sin(2)(0),y x y x ϕϕπ==+≤<与它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ= （） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】A【解析】两图象交点的横坐标为3π，有等式cos sin(2)33ππϕ=⨯+成立，由ϕ的条件可知6πϕ= 2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上单调递减函数的是（）A ．sin 2y x =B ．2cos y x =C ．cos 2xy = D ．tan()y x =- 【答案】D3．在32cos sin 3-=+a x x 中，a 的取值范围是（）A ．2521≤≤aB ．21≤a C ．25>a D ．2125-≤≤-a【答案】A【解析】[]2,26sin 2cos sin 3-∈⎪⎭⎫⎝⎛+=+πx x x ，所以2322-≤-≤a ，解得：2521≤≤a ． 4．设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增【答案】A【解析】()sin()cos()2sin()4f x x x x πωϕωϕωϕ=+++=++，所以2T ππω==，2ω=；又()()f x f x -=，即函数为偶函数，所以,,,42424k k πππππϕπϕπϕϕ+=+=+<∴=，所以函数()2sin(2)2cos 22f x x x π=+=，由图象可知选A ．5．定义一种运算()(),,a a b a b b a b ≤⎧⎪⊗=⎨>⎪⎩，令()()23cos sin 2f x x x =+⊗，且,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数2f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值是（A ）12 （B ）32 （C ）54（D ）1 【答案】C6．函数2()2sin ()1()4f x x x R π=--∈是（）A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为π2的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【答案】B【解析】根据二倍角公式，()x x x x f 2sin 22cos 42cos -=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛--=ππ，ππ==22T ，所以函数是周期为π的奇函数．7．【余姚市三模】已知()sin()()f x A x x R ωϕ=+∈的图象的一部分如图所示，若对任意,x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值为（）A.2πB.πC.2πD.4π 【答案】C8．【二模】函数 f (x)= sin(2x + ϕ）( |ϕ| < 2π)的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数 f (x)在[0,2π]上的最小值为（A ）－32（B ）－12（C ）12（D ）32 【答案】A9．【上饶市联考】函数()2cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是（）A ．(),36k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭B ．()2,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．()2,236k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭D ．()22,263k k k Z ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭【答案】A【解析】1cos(2)3()2x f x π+-=，222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．故选A ．10．【东阳市模拟】设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最小正周期为π，则（） A ．()f x 的图象过点1(0)2,B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C ．11．【一模】()sin 3cos 6f x a x x π=-已知函数的一条对称轴为x=-，且()()124,f x f x ⋅=-则12x x +的最小值为（）A ．3π B ．2π C ．23π D ．43π 【答案】C12．【二模】已知函数()()ϕ+=x sin x f 2，其中ϕ为实数，若()⎪⎭⎫⎝⎛≤6πf x f 对x R ∈恒成立，且()ππf f >⎪⎭⎫⎝⎛2，则()f x 的单调递增区间是（） A ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-63ππππB ．()Z k k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，2πππ C ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++326ππππD ．()Z k ,k ,k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ2【答案】C二、填空题13．函数()f x =22sin 2cos 2x x -的最小正周期是．【答案】2π 【解析】()22sin 2cos 2cos4f x x x x =-=-，所以最小正周期242T ππ==． 14．已知x 为三角形中的最小角，则函数sin()sin()3cos 133y x x x ππ=++-++的值域为___________．【答案】31,3⎡⎤+⎣⎦15．【浙江宁波二模】已知函数()2sin f x x ω=（其中常数0ω>），若存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为．【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】因为()()()2sin 2sin f x x x f x ωω-=-=-=-，所以()f x 是奇函数，因为存在12,03x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，20,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()()12f x f x =，所以函数()f x 的最小正周期243ππωT =<，解得：32ω>，所以ω的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以答案应填：3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 16．【西安】若对于函数sin ||()x f x b x=+，现给出四个命题： ①b=0时，()f x 为奇函数；②y=()f x 的图像关于（o ，b ）对称； ③b=－1时，方程()f x =0有且只有一个实数根； ④b=－1时，不等式()f x >0的解集为空集．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的编号）【答案】①②④三、解答题17．【北京市西城区一模】已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-．（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的单调增区间．18．【哈尔滨四模】已知函数()223sin cos 2cos f x x x x =+()x ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）将函数()f x 图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 图像，求()g x 的对称轴方程和对称中心坐标．19．已知向量：)1,cos 2(x a =，()cos ,3sin 2b x x =，函数b a x f ⋅=)(.（Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求()y f x =的对称轴并作出()y f x =在,6ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象． 4224ππ6π6π3π22π35π6π7π64π33π25π3O yx20．【高考冲刺关门卷新课标全国卷】已知向量(cos 2,),(,23sin 2)m x a n a x →→==+，函数(Ⅰ) 当函数]20[)(π，在x f 上的最大值为3时，求a 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若对任意的R t ∈，函数],(),(b t t x x f y +∈=的图像与直线1-=y 有且仅有两个不同的交点，试确定b 的值，并求函数],0()(b x f y 在=上的单调递减区间. 【解析】(Ⅰ)()5f x m n =⋅-522sin 32cos -++=a x a x a52)62sin(2-++=a x a π]1,21[)62sin(],67,6[62]2,0[-∈+∈+∈πππππx x x 时，当0a >时， ()f x 的最大值为453a -=，所以2a =；当0a <时，()f x 的最大值为53a -= ，故8a =（舍去）综上：函数]20[)(π，在x f 上的最大值为3时，2a =。

2022年全国甲卷数学(理科)高考真题+答案解析

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若，则（）A ． B ．C ．D ．2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A ．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于C ．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D ．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3．设全集，集合，则（）1z =-+1zzz =-1-+1-13-+13-70%85%{2,1,0,1,2,3}U =--{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣()U A B = ðA ．B ．C ．D ．4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）A ．8B ．12C ．16D ．205．函数在区间的图像大致为（）A ． B ．C ．D ．6．当时，函数取得最大值，则（）A ．B ． C． D ．17．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（）A ．B ．AB 与平面所成的角为C ．D ．与平面所成的角为8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s 的计算公式：．当时，（）{1,3}{0,3}{2,1}-{2,0}-()33cos x xy x -=-ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1x =()ln bf x a x x=+2-(2)f '=1-12-121111ABCD A B C D -1B D ABCD 11AA B B 30︒2AB AD =11AB C D 30︒1AC CB =1B D 11BB C C 45︒»AB »AB CD AB ⊥»AB 2CD s AB OA=+2,60OA AOB =∠=︒s =ABCD9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（）AB ．CD10．椭圆的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线的斜率之积为，则C 的离心率为（）ABC ．D ．11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A ． B ． C ． D ． 12．已知，则（）A ． B ． C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

全国普通高等学校招生统一考试理科数学带解析

全国普通高等学校招生统一考试理科数学（带解析）一、选择题1．已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 【难度】1【考点】集合的运算【答案】B【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0AB =-.2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限【难度】1【考点】复数综合运算【答案】D【解析】因为2(2i)44134i i =--=-－，在复平面内对应的点的坐标是()3,4-,在第四象限.3．“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” （） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【难度】1【考点】充分条件与必要条件【答案】A【解析】当φ=π时，y=sin(2x ＋φ)= sin(2x ＋π)= sin2x ，过原点，当φ=2π也满足题意，故答案为充分不必要条件. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B.23 C.1321D.610987 【难度】1【考点】算法和程序框图【答案】C【解析】第一次执行循环：1122113S+==⨯+,1i =；第二次执行循环：221133221213S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⨯+,2i =，满足i ≥2，结束循环，输出1321S=. 5．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=ex 关于y 轴对称，则f(x)=（） A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --【难度】2 【考点】函数图象【答案】D【解析】把变换过程逆过去即可.与函数y=ex 的图象关于y 轴对称的函数的解析式为x y e -=，该函数图象向左平移一个单位长度，得f(x)的图象，即f(x) =1e x --.6．若双曲线22221x y a b-=的离心率为3A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.y x =【难度】2 【考点】双曲线【答案】B【解析】双曲线的离心率为a=，渐进性方程为b y x a =±，计算得ba=，故渐进性方程为y =.7．直线l 过抛物线C: x2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A.43 B.2 C.83D.3【难度】2 【考点】抛物线【答案】C【解析】直线l 的方程为1y =，由24,1x y y ⎧=⎨=⎩得交点坐标()2,1-，()2,1，故l 与C 所围成的图形的面积为2322228881|2241212123x x dx x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 8．设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【难度】2 【考点】线性规划【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，即该平面区域和直线22x y -=有交点，而直线,x m y m =-⎧⎨=⎩的交点(),m m -在直线y x =-上移动，由,22,y x x y =-⎧⎨-=⎩得交点坐标为22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23m ->即23m <-时，才会交点.二、填空题9．在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于【难度】1【考点】柱坐标系与球坐标系【答案】1【解析】极坐标中的点(2，6π)对应直角坐标系中的点)3,1，直线ρsinθ=2的普通方程为2y =，因为()3,1到直线2y =的距离是1，所以点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于1. 10．若等比数列{an}满足a2＋a4=20，a3＋a5=40，则公比q=；前n 项和Sn=. 【难度】1 【考点】等比数列【答案】2，122n +-【解析】公比352440220a a q a a +===+，()()3324112220a a a q q a +=+=+=，解得12a =，故该等比数列的前n 项和为()12122212n n n S +-==--.11．如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD=，AB=.【难度】1 【考点】圆【答案】95，4 【解析】因为916PD DB =，故可设9,16PD a DP a ==，由切割线定理，得22PA PD PB =⋅,即()239916a a a =+，解得15a=，故95PD =，1252555PB a ==⨯=，又PA=3，由勾股定理，得4AB =.12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是. 【难度】2【考点】排列和排列数【答案】96【解析】连号的情况有1,2，2,3,3,4,4,5，共四种，比如把连号1,2，3,4,5全部分给4人，每人至少一张，则有44A 种，故不同的分法种数是44496A =种.13．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ=.【难度】2【考点】平面向量坐标运算【答案】4【解析】以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系，则a=(1,1)， b=(6,2)， c= (1,3)，由c=λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,23,λμλμ-+=-⎧⎨+=-⎩解得12,2λμ=-=-，4λμ=.14．如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上，点P 到直线CC1的距离的最小值为.【难度】2 【考点】距离25【解析】过E 作1EE ⊥11B C 于1E ，连接11D E ，过P 作PQ ⊥11D E 于Q ，在同一个平面EE1D1内，1EE ⊥E1D1，PQ ⊥11D E ，则1//PQ EE ，又11//EE CC ，故1//PQ CC ，点P 到直线CC1的距离就等于点Q 到直线CC1的距离，当11C Q C C ⊥，距离最小，此时，11111115C D C E C Q E D ⨯===. 三、解答题15．在△ABC 中，a=3，，∠B=2∠A.(I)求cosA 的值， (II)求c 的值【难度】3【考点】三角函数综合【答案】(I) cos 3A = (II) sin 5sin a C c A== 【解析】 ⑴由正弦定理，sin sin a b A B=,因为a=3，，∠B=2∠A,所以3sin sin 22sin cos A A A A ==，解得cos 3A =. ⑵由⑴知，cos A =，所以sin A ==. 又因为∠B=2∠A ，所以21cos 2cos13B A =-=.所以sin 3B ==. 在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，所以sin 5sin a Cc A==. 16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望. （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【难度】3 【考点】概率综合【答案】（Ⅰ）()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”，()1,2,3,,13i =⋅⋅⋅，根据题意，()113i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A5∪A8，所以()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=. （Ⅱ）由题意知，X 的所有可能取的值为0,1,2，且()()367111PX P A A A A ==()()()()36711413P A P A P A P A =+++=; ()()()()()()1212131212134213P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=;()()()5011213P X P X P X ==-=-==,所以X 的分布列为X 01 2P413 413 513X 的期望为5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA1C1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角A1BC1B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1存在点D ，使得AD ⊥A1B ，并求1BDBC 的值. 【难度】3【考点】立体几何综合【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1625（Ⅲ）1925BD BC λ==【解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面AA1C1C ，且平面ABC平面AA1C1C AC =，所以1AA ⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB. 由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥.如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -, 则()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4BA B C .设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即340,40,y z x -=⎧⎨=⎩令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n =. 同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =.所以16cos ,25||||m n m n m n ⋅<>==⋅.由题知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为1625. zy（Ⅲ）设(),,D x y z 是直线1BC 上的一点，且1BD BC λ=.所以()(),3,4,3,4x y z λ-=-，解得4,33,4x y z λλλ==-=，所以()4,33,4AD λλλ=-.由10AD A B ⋅=，即9250λ-=，解得925λ=. 因为[]90,125∈，所以在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，此时1925BD BC λ==. 18．设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方【难度】4【考点】导数的综合应用【答案】(I) 1y x =- (II)见解析【解析】 (I)设()ln x f x x =，则()21ln 'xf x x -=，所以()'11f =，所以l 的方程为1y x =-.(II)令()()1gx x f x =--，除切点外，曲线C 在直线l 的下方等价于0x ∀>且1x ≠，()0gx >.()g x 满足()10g =，且()()221ln '1'x xg x f x x -+=-=. 当01x <<时，210,ln 0x x -<<，所以()'0g x <，故()g x 单调递减.当1x >时，210,ln 0xx ->>，所以()'0g x >，故()g x 单调递增.所以，对0x ∀>且1x ≠，()()10gx g >=.所以除切点外，曲线C 在直线l 的下方.19．已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积. (II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. 【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】(I) 11||||22||22OB AC m ⨯=⨯⨯⨯=不可能是菱形【解析】(I) 椭圆W ：2214x y +=的右顶点()2,0B ，因为四边形OABC 为菱形，所以AC 和OB 互相垂直平分. 所以可设()1,Am ，代入椭圆方程得2114m +=，解得2m =.所以菱形OABC的面积为11||||22||22OB AC m ⨯=⨯⨯⨯= (II)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()222148440k x kmx m +++-=.设()()1122,,,Ax y C x y ,则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⨯+=+，所以AC 的中点224(,)1414km mM k k -++. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为1()14k k⨯-≠-，所以AC 和OB 不垂直. 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当B 不是W 的顶点，四边形OABC 不可能是菱形.20．已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为An ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为Bn ，dn=An －Bn.(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N*，4n n a a +=)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d 为非负整数，证明：dn=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{an}为公差为d 的等差数列； (3)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3…)，则{an}的项只能是1或2，且有无穷多项为1. 【难度】5 【考点】数列综合【答案】(1)121d d ==，343d d ==. (2)见解析 (3)见解析【解析】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件，需要充分性和必要性两个方面叙述. (1)121d d ==，343d d ==. (2)充分性：因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d≥，所以12n a a a ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅，因此1,n n n n A a B a +==，1(1,2,3)n n n d a a d n +=-=-=⋅⋅⋅. 必要性：因为0(1,2,3)n d d n =-≤=⋅⋅⋅，所以n n n n A B d B =+≤. 又因为1,n n n n a A a B +≤≥，所以1n n a a +≤. 于是1,n n n n A a B a +==.因此，1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列.(3)因为a1=2，dn=1，所以11=2A a =，111=-1B A d =，故对任意1n ≥，11n a B ≥=. 假设{}n a (2)n ≥，中存在大于2的项，设m 为满足2m a >的的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1,2k k m a ≤<≤，又因为a1=2，所以12m A -=，且2m m A a =>. 于是{}1211,min ,2mm m m m m B A d B a B -=->-==≥.故111220m m m d A B ---=-≤-=，与11m d -=矛盾. 所以对于任意1n ≥，都有2n a ≤，即非负整数数列{}n a 的各项只能为1或2,.因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =.故21 1.n n n B A d =-=-=因此，对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{an}有无穷多项为1.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系1．(·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与圆x2＋y2＝m的位置关系为( )A．相切B．相交C．相切或相离D．相交或相切2．(·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于( )A．25B．23C.3D．13．(·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A.2B.3C．2D．35．(·兰州模拟)若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(2＋1，＋∞) B．(2－1, 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0, 2＋1)6．(·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.2B.21 2C．22D．27．(·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则实数m的值是________．8．(·东北三校联考)若a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x2＋y2＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．9．(·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．10．(·福州调研)已知⊙M ：x2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程． 12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x2＋y2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P(0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B.(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ ―→共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．1．已知两圆x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，则它们的公共弦所在直线的方程为________________；公共弦长为________．2．(·上海模拟)已知圆的方程为x2＋y2－6x －8y ＝0，a1，a2，…，a11是该圆过点(3,5)的11条弦的长，若数列a1，a2，…，a11成等差数列，则该等差数列公差的最大值是________．3.(·江西六校联考)已知抛物线C ：y2＝2px(p ＞0)的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，圆M 与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为π3的直线n ，交直线l 于点A ，交圆M 于不同的两点O 、B ，且|AO|＝|BO|＝2.(1)求圆M 和抛物线C 的方程；(2)若P 为抛物线C 上的动点，求PM ―→,·PF ―→,的最小值；(3)过直线l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点分别为S 、T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．[答题栏] A 级1._________2._________3._________4._________5B 级1.______2.______.__________6._________7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十八)A 级1．C2.B3.C4.C5．选A 计算得圆心到直线l 的距离为22＝ 2＞1，如图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l1，l2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.6．选D 圆心C(0,1)到l 的距离 d ＝5k2＋1，所以四边形面积的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×d2－1＝2，解得k2＝4，即k ＝±2. 又k ＞0，即k ＝2.7．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33.答案：±338．解析：由题意可知圆C ：x2＋y2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为24－⎝⎛⎭⎪⎫c a2＋b22，由于a2＋b2＝c2，所以所求弦长为2 3.答案：239．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°， ∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝ 2.故点P 的坐标是( 2，2)．答案：( 2， 2)10．解：(1)设直线MQ 交AB 于点P ，则|AP|＝223，又|AM|＝1，AP ⊥MQ ，AM ⊥AQ ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x ＝±5，则Q 点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.(2)证明：设点Q(q,0)，由几何性质，可知A ，B 两点在以Q M 为直径的圆上，此圆的方程为x(x －q)＋y(y －2)＝0，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB 的方程为qx －2y ＋3＝0，所以直线AB 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 11．解：(1)证明：由题设知，圆C 的方程为 (x －t)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t2＋4t2，化简得x2－2tx ＋y2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，所以S △AOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ， ∴C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率 k ＝2t t ＝2t2＝12，∴t ＝2或t ＝－2. ∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.12．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0)．过P(0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k2)x2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，解得－34<k<0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A(x1，y1)、B(x2，y2) 则OA ＋OB ＝(x1＋x2，y1＋y2)，由方程①得x1＋x2＝－4k －31＋k2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③因P(0,2)、Q(6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k. B 级1．解析：由两圆的方程x2＋y2－10x －10y ＝0，x2＋y2＋6x －2y －40＝0，相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x ＋y －5＝0.圆心(5,5)到直线2x ＋y －5＝0的距离为105＝25，弦长的一半为50－20＝30，得公共弦长为230.答案：2x ＋y －5＝02302．解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的弦是直径，过该点与直径垂直的弦最短，因此，过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为10－4610＝5－265. 答案：5－2653．解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M 的方程为(x －a)2＋y2＝a2(a ＞0)，将点B(1，3)代入圆M 的方程得a ＝2，所以圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，因为点A(－1，－3)在准线l 上，所以p2＝1，p ＝2，所以抛物线C 的方程为y2＝4x.(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x ，y)，则PM ,＝(2－x ，－y)，PF ,＝(1－x ，－y)，又点P 在抛物线y2＝4x 上，所以PM ,·PF ,＝(2－x)(1－x)＋y2＝x2－3x ＋2＋4x ＝x2＋x ＋2，因为x ≥0，所以PM ,·PF ,≥2，即PM ,·PF ,的最小值为2.(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m2＋5，以Q 为圆心，m2＋5为半径的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －m)2＝m2＋5，即x2＋y2＋2x －2my －4＝0，①又圆M 的方程为(x －2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x ＝0，② 由①②两式相减即得直线ST 的方程3x －my －2＝0，显然直线ST 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0.高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。

高考理科数学试题(带答案解析)

高考理科数学试题(带答案解析)一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的（1）在等差数列{}n a 中,241,5a a ==,则{}n a 的前5项和5S =（A）7（B）15（C）20（D）25【答案】：B【解析】：422514,d a a =-=-=2d =,1252121,3167a a d a a d =-=-=-=+=+=155()5651522a a S +⨯⨯===【考点定位】本题考查等差数列的通项公式及前n 项和公式,解题时要认真审题,仔细解答．（2）不等式1021x x -≤+的解集为（A）1,12⎛⎤-⎥⎝⎦（B）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭（D）[)1,1,2⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦（3）对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222x y +=的位置关系一定是（A）相离（B）相切（C）相交但直线不过圆心（D）相交且直线过圆心（4）8+的展开式中常数项为（A）3516（B）358（C）354（D）105【答案】B【解析】：8821881()2rrr r r r r T C C --+==令820r -=解得4r =展开式中常数项为4458135()28T C ==【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开式的常数项（5）设tan ,tan αβ是方程2320x x -+=的两根,则tan()αβ+的值（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】：A【解析】：tan tan 3,tan tan 2αβαβ+==,则tan tan 3tan()31tan tan 12αβαβαβ++===---【考点定位】本此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值．（6）设,,x y R ∈向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===- ,且,//a c b c ⊥ ,则||a b +=（C）（D）10（7）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为[3,4]上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件（B）充分而不必要的条件（C）必要而不充分的条件（D）充要条件【答案】：D【解析】：由()f x 是定义在R 上的偶函数及[0,1]上的增函数可知在[-1,0]减函数,又2为周期,所以[3,4]上的减函数【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函数的周期性．根据图象分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键．（8）设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题（8）图所示,则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f （B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f （C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f（9）设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（A ）(0,2)（B ）(0,3)（C ）(1,2)（D ）(1,3)【答案】：A【解析】：2221()22BE =-=,BF BE <,22AB BF =<,【考点定位】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题．（10）设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭,则A B 所表示的平面图形的面积为（A ）34π（B ）35π（C ）47π（D ）2π[【答案】：D【解析】：由对称性：221,,(1)(1)1y x y x y x≥≥-+-≤围成的面积与221,,(1)(1)1y x y x y x≤≥-+-≤围成的面积相等得：A B 所表示的平面图形的面积为22,(1)(1)1y x x y ≤-+-≤围成的面积即2122R ππ⨯=25115112lim lim 555n n n n nn n→∞→∞++++===【考点定位】本题考查极限的求法和应用,n 都没有极限,可先分母有理化再求极限；（13）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =【答案】：c =145【解析】：由35cos ,cos 513A B ==得412sin ,sin ,513A B ==由正弦定理sin sin a bA B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===由余弦定理22a c =2+b -2cbcosA 得22590c -c+56=0则c =145【考点定位】利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值本题的突破点,然后利用正弦定理建立已知和未知之间的关系．同时要求学生牢记特殊角的三角函数值．（14）过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点,若25,,12AB AF BF =<则AF =。

高考理科数学试题及答案(高清版)

普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(福建卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．理科：第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：(理科)本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(文科)本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足z i ＝1－i ，则z 等于()A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋i D ．1＋i A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中，真命题是()A ．x 0∈R ，0ex ≤B ．x ∈R ，2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是1ab=-D ．a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是()A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱5．下列不等式一定成立的是()A ．lg(x 2＋14)＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．2111x >+(x ∈R )6．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为()A ．14B ．15C ．16D ．177．设函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数，为无理数，则下列结论错误的是()A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数8．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()AB．C ．3D ．59．若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为()A ．12B ．1C ．32D ．210．函数f (x )在［a ，b ］上有定义，若对任意x 1，x 2∈［a ，b ］，有()()12121()22x x f f x f x +≤［＋］，则称f (x )在［a ，b ］上具有性质P ．设f (x )在［1,3］上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在［1,3］上的图象是连续不断的；②f (x 2)在［1］上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈［1,3］；④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈［1,3］，有12341()44x x x x f +++≤［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］．其中真命题的序号是()A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④第Ⅱ卷二、填空题：(理科)本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．(文科)本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(a ＋x )4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．12s 值等于________．13．已知△ABC 的等比数列，则其最大角的余弦值为________．14．数列{a n }的通项公式πcos12n a n =+，前n 项和为S n ，则S 2012＝________．15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：22*.a ab a b a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是__________．三、解答题：(理科)本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(文科)本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x (年)0＜x ≤11＜x ≤2x ＞20＜x ≤2x ＞2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．17．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°．(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．18．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1．(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(3)若二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，求AB 的长．19．如图，椭圆E ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率12e =．过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆E 的方程；(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f(x)＝e x＋ax2－e x，a∈R．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间；(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P．21．(1)选修4－2：矩阵与变换设曲线2x2＋2xy＋y2＝1在矩阵1ab⎛⎫= ⎪⎝⎭A(a＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x2＋y2＝1．①求实数a，b的值；②求A2的逆矩阵．(2)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，π32⎛⎫⎪⎪⎝⎭，圆C的参数方程为22cos,2sinxyθθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．(3)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为［－1,1］．①求m的值；②若a，b，c∈R＋，且11123ma b c++=，求证：a＋2b＋3c≥9．22．(文)已知函数f(x)＝ax sin x－32(a∈R)，且在［0，π2］上的最大值为π32-．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明．1．A由z i＝1－i，得221i(1i)i i i i+11ii i11z---=====----．2．B∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5．故d＝a4－a3＝7－5＝2．3．D∵a＞1＞0，b＞1＞0，∴由不等式的性质得ab＞1，即a＞1，b＞1⇒ab＞1．4．D∵圆柱的三视图中有两个矩形和一个圆，∴这个几何体不可以是圆柱．5．C∵x2＋1≥2|x|⇔x2－2|x|＋1≥0，∴当x≥0时，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；当x＜0时，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．6．C∵由图象知阴影部分的面积是3122121211)d()32326x x x x=⋅-=-=⎰，∴所求概率为11616=．7．C ∵D (x )是最小正周期不确定的周期函数，∴D (x )不是周期函数是错误的．8．A由双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，知32pc ==，c 2＝9＝4＋b 2，于是b 2＝5，b =．因此该双曲线的渐近线的方程为2y x =±，即20y ±=．故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为d ==．9．B由约束条件作出其可行域如图所示：由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x 的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值，即得2x ＝3－x ，即x ＝1＝m ．10．D ①如图1，图1在区间［1,3］上f (x )具有性质P ，但是是间断的，故①错．②可设f (x )＝|x －2|(如图2)，当x ∈［1,3］时易知其具有性质P ，但是f (x 2)＝|x 2－2|＝222,1x x x x ⎧-≤≤⎪⎨-<≤⎪⎩P (如图3)．故②错．图2图3③任取x 0∈［1,3］，则4－x 0∈［1,3］，1＝f (2)＝004()2x x f +-≤12［f (x 0)＋f (4－x 0)］．又∵f (x 0)＝1，f (4－x 0)≤1，∴12［f (x 0)＋f (4－x 0)］≤1．∴f (x 0)＝f (4－x 0)＝1．故③正确．④3412123422()(42x x x x x x x x f f ++++++=≤34121()+()222x x x x f f ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤14［f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)］，故④正确．11．答案：2解析：∵T r ＋1＝4C r a r x 4－r ，∴当4－r ＝3，即r ＝1时，T 2＝14C ·a ·x 3＝4ax 3＝8x 3．故a ＝2．12．答案：－3解析：(1)k ＝1,1＜4，s ＝2×1－1＝1；(2)k ＝2,2＜4，s ＝2×1－2＝0；(3)k ＝3,3＜4，s ＝2×0－3＝－3；(4)k ＝4，直接输出s ＝－3．13．答案：24-解析：设△ABC 的最小边长为a (m ＞0)，则其余两边长为，2a ，故最大角的余弦值是22222cos 4θ==-．14．解析：∵函数πcos2n y =的周期2π4π2T ==，∴可用分组求和法：a 1＋a 5＋…＋a 2009＝50311+1=503++个...；a 2＋a 6＋...＋a 2010＝(－2＋1)＋(－6＋1)＋...＋(－2010＋1)＝－1－5－ (2009)503(12009)2--＝－503×1005；a 3＋a 7＋…＋a 2011＝50311+1=503++个…；a 4＋a 8＋…＋a 2012＝(4＋1)＋(8＋1)＋…＋(2012＋1)＝503(52013)2⨯+＝503×1009；故S 2012＝503－503×1005＋503＋503×1009＝503×(1－1005＋1＋1009)＝3018．15．答案：(1316，0)解析：由已知，得()22200x x x f x x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩－，，＝－＋，＞，作出其图象如图，结合图象可知m 的取值范围为0＜m ＜14，当x ＞0时，有－x 2＋x ＝m ，即x 2－x ＋m ＝0，于是x 1x 2＝m ．当x ＜0时，有2x 2－x －m ＝0，于是314x -=．故123(118)4m x x x =．设h (m )＝m (1，∵h ′(m)＝(1－＋［m()］＝10，∴函数h (m )单调递减．故x 1x 2x 3的取值范围为(1316，0)．16．解：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则231()5010P A +==．(2)依题意得，X 1的分布列为X 1123P125350910X 2的分布列为X 2 1.82.9P110910(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车．17．解：方法一：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝13144-=．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α·(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋2sin αcos α＋14sin 2α－2sin α·cos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34．方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34．证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1cos21cos(602)22αα-+︒-+－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°·cos2α＋sin60°sin2α)－32sin αcos α－12sin 2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝11131cos2cos24444αα--+=．18．解：(1)以A 为原点，AB ，AD ，1AA的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1，0)，D 1(0,1,1)，E (2a，1,0)，B 1(a,0,1)，故1AD ＝(0,1,1)，1B E ＝(2a -，1，－1)，1AB ＝(a,0,1)，AE ＝(2a，1,0)．∵1AD ·1B E ＝2a-×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B 1E ⊥AD 1．(2)假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ．此时DP＝(0，－1，z 0)．又设平面B 1AE 的法向量n ＝(x ，y ，z )．∵n ⊥平面B 1AE ，∴n ⊥1AB ，n ⊥AE ，得00.2ax z axy +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝(1，2a-，－a )．要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP ，有2a －az 0＝0，解得012z =．又DP平面B 1AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时12AP =．(3)连接A 1D ，B 1C ，由长方体ABCD A 1B 1C 1D 1及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ．又由(Ⅰ)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量，此时1AD＝(0,1,1)．设1AD 与n 所成的角为θ，则11·2cos ||||a a AD AD θ--== n n ．∵二面角A －B 1E －A 1的大小为30°，∴|cos θ|＝cos30°3322a =，解得a ＝2，即AB 的长为2．19．解：方法一：(1)因为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8，又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以4a ＝8，a ＝2．又因为12e =，即12c a =，所以c ＝1．所以b ==故椭圆E 的方程是22143x y +=．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．设M (x 1,0)，则0MP MQ ⋅=对满足(*)式的m ，k 恒成立．因为MP ＝(14k x m--，3m )，MQ ＝(4－x 1,4k ＋m )，由0MP MQ ⋅= ，得211141612430kx k kx x m m m-+-+++=，整理，得(4x 1－4)km＋x 12－4x 1＋3＝0．(**)由于(**)式对满足(*)式的m ，k 恒成立，所以1211440,430,x x x -=⎧⎨-+=⎩解得x 1＝1．故存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．方法二：(1)同方法一．(2)由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0．因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)，所以m ≠0且∆＝0，即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0，化简得4k 2－m 2＋3＝0．(*)此时024443km k x k m =-=-+，y 0＝kx 0＋m ＝3m ，所以P (4k m -，3m )．由4x y kx m =⎧⎨=+⎩，，得Q (4,4k ＋m )．假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上．取k ＝0，m =，此时P (0，Q (4，以PQ 为直径的圆为(x －2)2＋(y)2＝4，交x 轴于点M 1(1,0)，M 2(3,0)；取12k =-，m ＝2，此时P (1，32)，Q (4,0)，以PQ 为直径的圆为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点M 3(1,0)，M 4(4,0)．所以若符合条件的点M 存在，则M 的坐标必为(1,0)．以下证明M (1,0)就是满足条件的点：因为M 的坐标为(1,0)，所以MP ＝(41k m --，3m)，MQ ＝(3,4k ＋m )，从而1212330k kMP MQ mm ⋅=--++= ，故恒有MP MQ ⊥ ，即存在定点M (1,0)，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ．20．解：(1)由于f ′(x )＝e x ＋2ax －e ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线斜率k ＝2a ＝0，所以a ＝0，即f (x )＝e x －e x ．此时f ′(x )＝e x －e ，由f ′(x )＝0得x ＝1．当x ∈(－∞，1)时，有f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，有f ′(x )＞0．所以f (x )的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．(2)设点P (x 0，f (x 0))，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程为y ＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)，令g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)，故曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数g (x )有唯一零点．因为g (x 0)＝0，且g ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)．(1)若a ≥0，当x ＞x 0时，g ′(x )＞0，则x ＞x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0；当x ＜x 0时，g ′(x )＜0，则x ＜x 0时，g (x )＞g (x 0)＝0．故g (x )只有唯一零点x ＝x 0．由P 的任意性，a ≥0不合题意．(2)若a ＜0，令h (x )＝e x －e x 0＋2a (x －x 0)，则h (x 0)＝0，h ′(x )＝e x ＋2a ．令h ′(x )＝0，得x ＝ln(－2a )，记x ′＝ln(－2a )，则当x ∈(－∞，x *)时，h ′(x )＜0，从而h (x )在(－∞，x *)内单调递减；当x ∈(x *，＋∞)时，h ′(x )＞0，从而h (x )在(x *，＋∞)内单调递增．①若x 0＝x *，由x ∈(－∞，x *)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0；x ∈(x *，＋∞)时，g ′(x )＝h (x )＞h (x *)＝0，知g (x )在R 上单调递增．所以函数g (x )在R 上有且只有一个零点x ＝x *．②若x 0＞x *，由于h (x )在(x *，＋∞)内单调递增，且h (x 0)＝0，则当x ∈(x *，x 0)时有g ′(x )＝h (x )＜h (x 0)＝0，g (x )＞g (x 0)＝0；任取x 1∈(x *，x 0)有g (x 1)＞0．又当x ∈(－∞，x 1)时，易知g (x )＝e x ＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＜e x 1＋ax 2－［e ＋f ′(x 0)］x －f (x 0)＋x 0f ′(x 0)＝ax 2＋bx ＋c ，其中b ＝－［e ＋f ′(x 0)］，c ＝e x 1－f (x 0)＋x 0f ′(x 0)．由于a ＜0，则必存在x 2＜x 1，使得ax 22＋bx 2＋c ＜0．所以g (x 2)＜0．故g (x )在(x 2，x 1)内存在零点，即g (x )在R 上至少有两个零点．③若x 0＜x *，仿②并利用3e 6xx >，可证函数g (x )在R 上至少有两个零点．综上所述，当a ＜0时，曲线y ＝f (x )上存在唯一点P (ln(－2a )，f (ln(－2a )))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P ．21．(1)选修4－2：矩阵与变换解：①设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由 0 1x a y b '⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭x ax y bx y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，得,.x ax y bx y '=⎧⎨'=+⎩又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1．依题意得222,22,a b b ⎧+=⎨=⎩解得1,1,a b =⎧⎨=⎩或1,1,a b =-⎧⎨=⎩因为a ＞0，所以1,1.a b =⎧⎨=⎩②由①知， 1 01 1⎛⎫=⎪⎝⎭A ，2 1 0 1 0 1 01 1 1 1 2 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝ 1 02 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．(2)选修4－4：坐标系与参数方程解：①由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，3②因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，3)，所以直线l 30y +-=．又圆C 的圆心坐标为(2，)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离32d r ==<，故直线l 与圆C 相交．(3)选修4－5解：①因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为［－1,1］，故m ＝1．②由①知111123a b c ++=，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )(11123a b c ++)≥29＝．。

高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

5
1
(A)
2
1
(B)
2
(C) 2
1 tan
则
2
1 tan 2
(D) 2
(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 a ，顶点都在一个球面上，
则该球的表
面积为
(A) a 2
(B) 7 a2 3
(C) 11 a2 (D) 5 a2 3
(11) 已知函数 f ( x)
| lg x |,0 x 1 x 6, x 2
k=1, S=0
1 S=S+ k(k+1)
k=k+ 1
是 k<N
否输出 S
结束
则 { x | f ( x 2) 0}
(A) { x | x 2或 x 4}
(B) { x | x 0或 x 4}
(C) { x | x 0或 x 6}
(D) { x | x 2或 x 2}
(9) 若 cos
4
，是第三象限的角，
则在命题 q1 ： p1 p2 ， q2 ： p1 p2 ， q3 ： p1
命题是
p2 和 q4 ： p1
p2 中，真
（ A ） q1 ， q3
（ B ） q2 ， q3
（ C） q1 ， q4
（D） q2 ， q4
(6) 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需
(19)( 本小题 12 分 ) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，
用简单随机抽样方法从该地区调查了
500 位老年人，结果如下：
是否需要志愿
性别
男
女
需要
40
30

高考理科数学真题及答案

理科高考数学真题及答案一、选择题（共18小题,每小题3分,满分54分）1．（3分）的值是（）A．B．1C．D．22．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π,那么常数ω为（）A．4B．2C．D．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）A．2B．C．1D．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5B．5：4C．4：3D．3：26．（3分）图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象．已知n取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为（）A．﹣2,﹣,,2B．2,,﹣,﹣2C．﹣,﹣2,2,D．2,,﹣2,﹣7．（3分）若log a 2＜logb2＜0,则（）A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞18．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（）A．20°B．70°C．45°D．135°9．（3分）在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x 2+y 2﹣x﹣2y﹣=0B．x 2+y 2+x﹣2y+1=0C．x 2+y 2﹣x﹣2y+1=0D．x 2+y 2﹣x ﹣2y+=011．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（）A．160B．240C．360D．80012．（3分）若0＜a＜1,在[0,2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（）A．[0,arcsina]B．[arcsina,π﹣arcsina]C．[π﹣arcsina,π]D．[arcsina,+arcsina]13．（3分）已知直线l 1和l2的夹角平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0,那么直线l2的方程为（）A．bx+ay+c=0B．ax﹣by+c=0C．bx+ay﹣c=0D．bx﹣ay+c=014．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A 1B1C1D1中,M 和N 分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．15．（3分）已知复数z 的模为2,则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．316．（3分）函数y=的反函数（）A．是奇函数,它在（0,+∞）上是减函数B．是偶函数,它在（0,+∞）上是减函数C．是奇函数,它在（0,+∞）上是增函数D．是偶函数,它在（0,+∞）上是增函数17．（3分）如果函数f（x）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f（2+t）=f（2﹣t）,那么（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）18．（3分）长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6二、填空题（共5小题,每小题3分,满分15分）19．（3分）方程的解是．20．（3分）sin15°sin75°的值是．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则的值为_________．22．（3分）焦点为F（﹣2,0）和F2（6,0）,离心率为2的双曲线的方程是．1}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值23．（3分）已知等差数列{an是．三、解答题（共5小题,满分51分）24．（10分）已知z∈C,解方程z﹣3i=1+3i．25．（10分）已知,cos（α﹣β）=,sin（α+β）=．求sin2α的值．的长度为d．在26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n．求证：EF=．}的前n项和为Sn．已知a3=12,S12＞0,S13＜0．27．（10分）设等差数列{an（1）求公差d的取值范围．（2）指出S,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由．128．（11分）已知椭圆（a＞b＞0）,A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0,0）．证明．参考答案一、选择题（共18小题,每小题3分,满分54分）1．（3分）的值是（）A．B．1C．D．2考点：对数的运算性质．分析：根据,从而得到答案．解答：解：．故选A．点评：本题考查对数的运算性质．2．（3分）如果函数y=sin（ωx）cos（ωx）的最小正周期是4π,那么常数ω为（）A．4B．2C．D．考点：二倍角的正弦．分析：逆用二倍角正弦公式,得到y=Asin（ωx+φ）+b的形式,再利用正弦周期公式和周期是求出ω的解答：解：∵y=sin（ωx）cos（ωx）=sin（2ωx）,∴T=2π÷2ω=4π∴ω=,故选D点评：二倍角公式是高考中常考到的知识点,特别是余弦角的二倍角公式,对它们正用、逆用、变形用都题还考的周期的公式求法,记住公式,是解题的关键,注意ω的正负,要加绝对值．3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（）A．2B．C．1D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,将极坐标方程为ρ=sinθ化成直角坐标方程,最后利用直角坐标方程的形式,结合两点间的距离公式求解即得．解答：解：由ρ=cosθ,化为直角坐标方程为x2+y2﹣x=0,其圆心是A（,0）,由ρ=sinθ,化为直角坐标方程为x2+y2﹣y=0,其圆心是B（0,）,由两点间的距离公式,得AB=,故选D．点评：本小题主要考查圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及利用圆的几何性质计算圆心距等基们要给予重视．4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x的一个解是（）A．10°B．20°C．50°D．70°考点：两角和与差的正弦函数．分析：把原式移项整理,逆用两角和的正弦公式,解一个正弦值为零的三角函数方程对应的解,写出所有一个合适的,因为是选择题,也可以代入选项验证．解答：解：∵sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x,∴sin4xcos5x+cos4xsin5x=0,∴sin（4x+5x）=0,∴sin9x=0,∴9x=kπ,k∈Z,∴x=20°故选B．点评：抓住公式的结构特征,有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结想到相应的公式,从而找到解题的切入点,对公式的逆用公式,变形式也要熟悉．5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A．6：5B．5：4C．4：3D．3：2考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：设圆柱的底面半径,求出圆柱的全面积以及球的表面积,即可推出结果．解答：解：设圆柱的底面半径为r,则圆柱的全面积是：2πr2+2rπ×2r=6πr2球的全面积是：4πr2,所以圆柱的全面积与球的表面积的比：3：2故选D．点评：本题考查旋转体的表面积,是基础题．6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n在第一象限的图象．已知n 取±2,±四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n 依次为（）A．﹣2,﹣,,2B．2,,﹣,﹣2C．﹣,﹣2,2,D．2,,﹣2,﹣考点：幂函数的图像．专题：阅读型．分析：由题中条件：“n 取±2,±四个值”,依据幂函数y=x n的性质,在第一象限内的图象特征可得．解答：解：根据幂函数y=x n的性质,在第一象限内的图象,n 越大,递增速度越快,故曲线c 1的n=﹣2,曲线c2的n=,c3的n=,曲线c 4的n=2,故依次填﹣2,﹣,,2．故选A．点评：幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征,即图象语言数的图象、性质,把握幂函数的关键点（1,1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在第一象限的凸7．（3分）若log a 2＜logb2＜0,则（）A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：计算题．分析：利用对数的换底公式,将题中条件：“log a 2＜logb2＜0,”转化成同底数对数进行比较即可．解答：解：∵log2＜logb2＜0,a由对数换底公式得：∴a＞log2b∴0＞log2∴根据对数的性质得：∴0＜b＜a＜1．故选B．点评：本题主要考查对数函数的性质,对数函数是许多知识的交汇点,是历年高考的必考内容,在高考中定义域、值域、图象、对数方程、对数不等式、对数函数的主要性质（单调性等）及这些知识的8．（3分）直线（t为参数）的倾斜角是（）A．20°B．70°C．45°D．135°考点：直线的参数方程．专题：计算题．分析：已知直线（t为参数）再将直线先化为一般方程坐标,然后再计算直线l的倾解答：解：∵直线（t为参数）∴x﹣3=tsin20°,y=﹣tsin20°,∴x+y﹣3=0,∴直线倾斜角是135°,故选D．点评：此题考查参数方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根据实际情况选择不同的方程这也是每年高考必考的热点问题．9．（3分）在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：棱锥的结构特征．专题：作图题．分析：借助长方体的一个顶点画出图形,不难解答本题．解答：解：如图底面是矩形,一条侧棱垂直底面,那么它的四个侧面都是直角三角形．故选D．点评：本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,要求学生心中有图,是基础题．10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x 2+y 2﹣x﹣2y﹣=0B．x 2+y 2+x﹣2y+1=0C．x 2+y 2﹣x﹣2y+1=0D．x 2+y 2﹣x ﹣2y+=0考点：圆的一般方程．分析：所求圆圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切,不难由抛物线的定义知道,圆得结果．解答：解：圆心在抛物线y 2=2x 上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程,以及抛物线的定所求圆的圆心的横坐标x=,即圆心（,1）,半径是1,所以排除A、B、C．故选D．点评：本题考查圆的方程,抛物线的定义,考查数形结合、转化的数学思想,是中档题．11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（）A．160B．240C．360D．800考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：利用分步乘法原理：展开式中的项是由5个多项式各出一个乘起来的积,展开式中x 的系数是5一个多项式出3x,其它4个都出2组成．解答：解：（x 2+3x+2）5展开式的含x 的项是由5个多项式在按多项式乘法展开时仅一个多项式出3x,出2∴展开式中x 的系数为C 51•3•24=240故选项为B点评：本题考查二项式定理的推导依据：分步乘法计数原理,也是求展开式有关问题的方法．12．（3分）若0＜a＜1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是（）A．[0,arcsina]B．[arcsina,π﹣arcsina]C．[π﹣arcsina,π]D．[arcsina,+arcsina]考点：正弦函数的图象；反三角函数的运用．分析：在同一坐标系中画出y=sinx、y=a,根据sinx≥a即可得到答案．解答：解：由题可知,如图示,当sinx≥a时,arcsina≤x≤π﹣arcsina故选B．点评：本题主要考查三角函数的图象问题．三角函数的图象和性质是高考热点问题,要给予重视．13．（3分）已知直线l1和l2的夹角平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0,那么直线l2的方程为（）A．bx+ay+c=0B．ax﹣by+c=0C．bx+ay﹣c=0D．bx﹣ay+c=0考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．专题：计算题．分析：因为由题意知,直线l1和l2关于直线y=x对称,故把l1的方程中的x和y交换位置即得直线l解答：解：因为夹角平分线为y=x,所以直线l1和l2关于直线y=x对称,故l2的方程为bx+ay+c=0．故选A．点评：本题考查求对称直线的方程的方法,当两直线关于直线y=x对称时,把其中一个方程中的x和即得另一条直线的方程．14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B 1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在利用余弦定理求出此角即可．解答：解：如图,将AM 平移到B 1E,NC 平移到B1F,则∠EB1F 为直线AM 与CN 所成角设边长为2,则B 1E=B1F=,EF=,∴cos∠EB 1F=,故选D．点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角,以及余弦定理的应用,属于基础题．15．（3分）已知复数z 的模为2,则|z﹣i|的最大值为（）A．1B．2C．D．3考点：复数的代数表示法及其几何意义．分析：根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点半径为2的圆,|z﹣i|表示的是圆上一点的距离,其最大值为圆上点（0,﹣2）到点（0,1）的距离．解答：解：∵|z|=2,则复数z 对应的轨迹是以圆心在原点,半径为2的圆,而|z﹣i|表示的是圆上一点到点（0,1）的距离,∴其最大值为圆上点（0,﹣2）到点（0,1）的距离,最大的距离为3．故选D．点评：本题考查了复数及复数模的几何意义,数形结合可简化解答．16．（3分）函数y=的反函数（）A．是奇函数,它在（0,+∞）上是减函数B．是偶函数,它在（0,+∞）上是减函数C．是奇函数,它在（0,+∞）上是增函数D．是偶函数,它在（0,+∞）上是增函数考点：反函数；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：计算题；综合题．分析：先求函数的反函数,注意函数的定义域,然后判定反函数的奇偶性,单调性,即可得到选项．解答：解：设e x=t（t＞0）,则2y=t﹣,t 2﹣2yt﹣1=0,解方程得t=y+负跟已舍去,e x=y+,对换X,Y 同取对数得函数y=的反函数：g（x）=由于g（﹣x）===﹣g（x）,所以它是奇函数,并且它在（0,+∞）上是增函数．故选C．点评：本题考查反函数的求法,函数的奇偶性,单调性的判定,是基础题．17．（3分）如果函数f（x）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f（2+t）=f（2﹣t）,那么（）A．f（2）＜f（1）＜f（4）B．f（1）＜f（2）＜f（4）C．f（2）＜f（4）＜f（1）D．f（4）＜f（2）＜f（1）考点：二次函数的图象；二次函数的性质．专题：压轴题；数形结合．分析：先从条件“对任意实数t 都有f （2+t）=f （2﹣t）”得到对称轴,然后结合图象判定函数值的可．解答：解：∵对任意实数t都有f（2+t）=f（2﹣t）∴f（x）的对称轴为x=2,而f（x）是开口向上的二次函数故可画图观察可得f（2）＜f（1）＜f（4）,故选A．点评：本题考查了二次函数的图象,通过图象比较函数值的大小,数形结合有助于我们的解题,形象直观18．（3分）长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为（）A．B．C．5D．6考点：棱柱的结构特征．专题：计算题；压轴题．分析：设出长方体的长、宽、高,表示出长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,然后整理可得度．解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,由题意可知,4（a+b+c）=24…①,2ab+2bc+2ac=11…②,由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25,这个长方体的一条对角线长为：5,故选C．点评：本题考查长方体的有关知识,是基础题．二、填空题（共5小题,每小题3分,满分15分）19．（3分）方程的解是x=﹣1．考点：有理数指数幂的化简求值．分析：将方程两边乘以1+3x,令t=3x,然后移项、合并同类项,从而解出x．解答：解：∵,∴1+3﹣x=3（1+3x）,令t=3x,则1+=3+3t,解得t=,∴x=﹣1,故答案为：x=﹣1．点评：此题考查有理数指数幂的化简,利用换元法求解方程的根,是一道不错的题．20．（3分）sin15°sin75°的值是．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：注意角之间的关系,先将原式化成sin15°cos15°,再反用二倍角求解即得．解答：解：∵sin15°sin75°=sin15°cos15°=sin30°=．∴sin15°sin75°的值是．故填：．点评：本题主要考查三角函数中二倍角公式,求三角函数的值,通常借助于三角恒等变换,有时须逆向公式．21．（3分）设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则的值为．考点：子集与真子集．专题：计算题；压轴题．分析：先根据子集的定义,求集合的子集及其个数,子集即是指属于集合的部分或所有元素组成的集合,解答：解：∵含有10个元素的集合的全部子集数为210=1024,3=120．又∵其中由3个元素组成的子集数为C10∴则的值为=．故填：．点评：本题考查集合的子集个数问题,对于集合M的子集问题一般来说,若M中有n个元素,则集合M的个．22．（3分）焦点为F（﹣2,0）和F2（6,0）,离心率为2的双曲线的方程是1．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先由已知条件求出a,b,c的值,然后根据函数的平移求出双曲线的方程．（﹣2,0）和F2（6,0）,离心率为2,解答：解：∵双曲线的焦点为F1∴2c=6﹣（﹣2）=8,c=4,,b2=16﹣4=12,∴双曲线的方程是．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法,解题时要注意函数的平移变换,合理地选取公式．}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值23．（3分）已知等差数列{an是．考点：等差数列的性质．专题：压轴题．分析：,a3,a9成等比数列求得a1与d的关系,再代入即可．由a1解答：解：∵a,a3,a9成等比数列,1∴（a+2d）2=a1•（a1+8d）,1∴a=d,1∴=,故答案是：．点评：本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质．三、解答题（共5小题,满分51分）24．（10分）已知z∈C,解方程z﹣3i=1+3i．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设出复数z将其和它的共轭复数代入复数方程,利用复数相等,求出复数z即可．解答：解：设z=x+yi（x,y∈R）．将z=x+yi代入原方程,得（x+yi）（x﹣yi）﹣3i（x﹣yi）=1+3i,整理得x2+y2﹣3y﹣3xi=1+3i．根据复数相等的定义,得由①得x=﹣1．将x=﹣1代入②式解得y=0,y=3．=﹣1,z2=﹣1+3i．∴z1点评：本小题考查复数相等的条件及解方程的知识,考查计算能力,是基础题．25．（10分）已知,cos（α﹣β）=,sin（α+β）=．求sin2α的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：本题主要知识是角的变换,要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β）,利用两个角的范围,得到范围,用两角和的正弦公式,代入数据,得到结果．解答：解：由题设知α﹣β为第一象限的角,∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角,∴cos（α+β）==,∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）],=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．点评：本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力．已知一个角的某一个三角函数值,便关系式求出其它三角函数值．角的变换是解题的关键．的长度为d．在26．（10分）已知：两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n．求证：EF=．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．专题：证明题．分析：由题意作辅助面,作出两条异面直线a、b所成的角,再由垂直关系通过作辅助线把EF放在直角解．的平面为β,α∩β=c,则c∥a．答：解：设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1因而b,c所成的角等于θ,且AA⊥c．1⊥b,∴AA1⊥α．∵AA1根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α．．在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α．连接FG,则EG⊥FG．在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2．∵AG=m,∴在△AFG中,FG2=m2+n2﹣2mncosθ．∵EG2=d2,∴EF2=d2+m2+n2﹣2mncosθ．）的另一侧,则如果点F（或E）在点A（或A1EF2=d2+m2+n2+2mncosθ．因此,EF=．点评：本题利用条件作出辅助面和辅助线,结合线面、面面垂直的定理,在直角三角形中求公垂线的长图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力．}的前n项和为Sn．已知a3=12,S12＞0,S13＜0．27．（10分）设等差数列{an（1）求公差d的取值范围．（2）指出S,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由．1考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由S＞0,S13＜0,利用等差数列的前n项和的公式化简分别得到①和②,然后利用等差数列12化简a3得到首项与公差的关系式,解出首项分别代入到①和②中得到关于d的不等式组,求出不集即可得到d的范围；（2）根据（1）中d的范围可知d小于0,所以此数列为递减数列,在n取1到12中的正整数中一项大于0,它的后一项小于0,则这项与之前的各项相加就最大,根据S＞0,S13＜0,利用等差12及前n项和的公式化简可得S1,S2,…,S12中最大的项．解答：解：（1）依题意,有,即=12,得a1=12﹣2d③,由a3将③式分别代①、②式,得∴＜d＜﹣3．＞a2＞a3＞…＞a12＞a13．（2）由d＜0可知a1因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得a＞0,an+1＜0,n就是S1,S2,…,S12中的最大值．则Sn⇒,∴a＞0,a7＜0,6,S2,…,S12中S6的值最大．故在S1点评：本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力,是一道中档题．28．（11分）已知椭圆（a＞b＞0）,A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0,0）．证明．考点：椭圆的简单性质．专题：证明题；压轴题．,y1）和（x2,y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行分析：设A、B的坐标分别为（x1x1≠x2．又交点为P（x0,0）,故|PA|=|PB|．把点P坐标代入,同时把A、B代入椭圆方程,最后可得到x0关于x1和x2的关系式,最后根据x1和x2的范围确定x0的范围．,y1）和（x2,y2）．因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB 解答：证明：设A、B的坐标分别为（x1轴,即x1≠x2．又交点为P（x0,0）,故|PA|=|PB|,即﹣x0）2+y12=（x2﹣x0）2+y22①（x1∵A、B在椭圆上,∴,．将上式代入①,得﹣x1）x0=②2（x2≠x2,可得．③∵x1≤a,﹣a≤x2≤a,且x1≠x2,∵﹣a≤x1+x2＜2a,∴﹣2a＜x1∴．点评：本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力．。

高考理科数学试卷及答案解析(文字版)

普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（福建卷及详解）一.选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数()sin cos f x x x =最小值是A ．-1 B.12-C.12D.12.已知全集U=R ，集合2{|20}A x x x =->，则C U A 等于A ．{x ∣0≤x ≤2}B {x ∣0<x<2}C ．{x ∣x<0或x>2}D {x ∣x ≤0或x ≤2}3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于A ．1B53C.-2D 34.22(1cos )x dx ππ-+⎰等于A ．π B.2C.π-2D.π+25.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB.()f x =2(1)x -C .()f x =xe D()ln(1)f x x =+6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A ．2B .4C.8D .167.设m ，n 是平面α内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β内的两条相交直线，则α//β的一个充分而不必要条件是A.m //β且l //α B.m //l 且n //l 2C.m//β且n //βD.m//β且n //l 28.已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%。

现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。

经随机模拟产生了20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A ．0.35B 0.25C 0.20D 0.159.设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，若a ⊥c 且∣a∣=∣c∣,则∣b •c∣的值一定等于A ．以a ，b 为两边的三角形面积B 以b ，c 为两边的三角形面积C ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积D 以b ，c 为邻边的平行四边形的面积10.函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试1491

高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则AB =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，，（2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m= （A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为（A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12 (k ∈Z)（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，nx ，1y ，2y ，…，ny ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n（11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

高考理科数学试题及答案1424

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32B ．155C ．105D ．3312. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考理科数学试题及答案1492

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.31ii+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1AB =，则B =（）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,53. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（）A ．15-B ．9-C ．1D ．96. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．59. 若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．2310. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e --C.35e -D.111. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB与1C B 所成角的余弦值为（）A ．32 B ．155 C ．105D ．33 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是（）A.2-B.32-C. 43- D.1- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

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