《复变函数》第四版习题解答第3章

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πi

0 i
z sin zdz = (sin z − z cos z ) |1 0 = sin1 − cos1
−z
∫ ( z − i)e
0
dz = (i − 1 − z )e − z |i0 = 1 − cos1 + i(sin1 − 1)

1 + tan z 1 1 i dz = (tan z + tan 2 z / 2) |1 = −(tan1 + tan 2 1 + th 2 1) + i th1 2 1 cos z 2 2
0
z 2 dz =

3+ i
0
z 2 dz +

C1
z 2 dz +

C2
z 2 dz 。 C1 之参数方程为 ⎨
⎧ x = 3t , (0 ≤ t ≤ 1) ; C2 之参数方程为 y = t , ⎩
⎧ x = 3, (0 ≤ t ≤ 1) ⎨ ⎩ y = t,
故 (3) ∫
3+ i

0
3+ i
0 i
2
(6)
z 3 cos zdz , C为包围z=0的闭曲线
(7)
v ∫ (z
C
dz , C :| z |= 3 / 2 + 1)( z 2 + 4)
2
(8)
v ∫
C
sin zdz , C :| z |= 1 z
(9) ∫
sin z ⎛ π⎞ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz , C :| z |= 2
(10)
∫ (x
1+i 0
2
+ i y dz =
)
∫ (t
1 0 2
2
1 1 5 ⎛1 i ⎞ + i t (1 + i )dt = (1 + i ) t 2 + i t dt = (1 + i )⎜ + ⎟ = − + i 。 0 6 6 ⎝3 2⎠
)
∫( ∫
)
(2)沿 y = x ,此时 z = t + i t 2 (0 ≤ t ≤ 1) 。 dz = (1 + i 2t )dt ,故
iη θ ie θ 1 1 1 π 2i cosη d dx d dη . (分子分母同乘以 1 + e −2iη ) ζ = + η = + , 关。则 ∫ ∫0 1 + x 2 ∫0 1 + e2iη ∫ 0 1+ ζ 2 0 4 2 + 2 cos 2η
3.设 f ( z ) 在单连域 D 内解析,C 为 D 内任何一条正向简单闭曲线,问


C
Re[ f (z )]dz =

C
Im[ f (z )]dz = 0
是否成立,如果成立,给出证明;如果不成立,举例说明。 未必成立。令 f ( z ) = z , C : z = 1 ,则 f ( z ) 在全平面上解析,但是
16 ,故有 z 4 dz = 8π i z

z dz = C| z|

wk.baidu.com16 Z
| z| = 4
4
dz =

| z| = 4
6.利用观察法得出下列积分的值。 解 利用柯西-古萨基本定理和柯西积分公式。 7.沿指定曲线的正向计算下列各积分。 (1) ∫ (3)
C
ez dz , C :| z − 2 |= 1 z−2
z 不是一个解析函数。 z 12.设区域 D 为右半平面, z 为 D 内圆周 | z |= 1 上的任意一点,用在 D 内的任意一条曲线 C 连结原 ⎡
点与 z ,证明 Re ⎢ 证明
z
∫ ⎣
z
0
⎤ π 1 dζ ⎥ = . 2 1+ ζ ⎦ 4
函数
1 在右半平面解析,故在计算从 0 到 z 沿任意一条曲线 C 的积分时与积分路径无 1+ ζ 2
z dz ; z | z|= 2
v ∫
2)
z dz z | z|= 4
v ∫

z dz = v ∫ z | z|= 2

− iθ ∫ 2ie dθ = 0 ; 0
z dz = v ∫ z | z|= 4

∫ 4ie
0
− iθ
dθ = 0 ,故两个积分的值相等。但不能利用闭路
变形原理从 1)的值得到,因
e z dz v ∫C z 5 , C :| z |= 1
= 2πe 2 i

(1)由 Cauchy 积分公式, ∫ 解 1: ∫ 解 2: ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
(2)
C
1 dz 1 = ∫ z + a dz = 2π i 2 2 C z−a z+a z −a
2
=
z =a
[ ]


0
4.利用单位圆上 z =
1 的性质,及柯西积分公式说明 v ∫ zdz = 2π i ,其中 C 为正向单位圆周 | z |= 1 。 z C

(利用柯西积分公式) v ∫ zdz = v ∫ z dz =2π i ,
C C
1
5.计算积分 ∫ C 解
z dz 的值,其中 C 为正向圆周: (1) z = 2 ; (2) z = 4 z 4 ,故有 z
-1-
∫ ∫
C
Re[ f (z )]dz = Im[ f (z )]dz =
∫ ∫

0 2π
Re e iθ de iθ = cos θ (− sin θ + i cos θ )dθ = π i ≠ 0
[ ]


0
C
0
Im e iθ deiθ = sin θ (− sin θ + i cos θ )dθ = −π ≠ 0
3π i 2z
=0
−π i
2)
∫π ch 3zdz = 3 sh 3z |π
6 i
0
1
0 i/6
= −i/3
3) 4) 5) 6)
∫ π sin
- i
1
πi
2
zdz = ∫
1 − cos 2 z z sin 2 z π i 1 dz = ( − ) |-π i = (π − sh 2π )i -π i 2 2 4 2
(0 ≤ t ≤ 1) ,
2


3+ i
0
z 2 dz = ∫ − t 2 ⋅ i dt + ∫ (3t + i ) ⋅ 3dt = 6 +
1 0 0
26 i 3
2.分别沿 y = x 与 y = x 算出、积分 ∫
2
1+i
0
(x
2
+ i y dz 的值。
)
解(1)沿 y = x 。此时 z = t + i t (0 ≤ t ≤ 1) 。 dz = (1 + i )dt ,于是
=0
(8)由 Cauchy 积分公式, (9)由高阶求导公式, ∫
v ∫
C
sin zdz = 2π i sin z |z =0 = 0 z
2
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
dz = 2π i(sin z )'
z=
π
2
=0
(10)由高阶求导公式, 8.计算下列各题: 1)
e z dz 2π i z (4) πi v ∫C z 5 = 4! (e ) |z =0 = 12
0
∫π e
− i
3π i
2z
dz ; 2) ∫π ch 3 zdz ; 3) ∫ sin 2 zdz ; 4) ∫ z sin zdz ;
6 i -π i 0
−z
πi
1
5)
∫ ( z − i)e
0
i
dz ; 6) ∫
3π i
1 + tan z dz (沿1到i的直线段)。 1 cos 2 z
i
e2 z 解 1) ∫ e dz= −π i 2
-2-
=π /e
z =i
(4) (5) (6)由柯西基本定理知:其结果均为 0 (7)因被积函数的奇点 z = ± i 在 C 的内部, z = ±2 i 在 C 的外部,故由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式有:
dz dz dz =∫ 1 2 +∫ 1 2 2 2 2 | i | | i | z − = z + = ( z + 1)( z + 4) 3 ( z + 1)( z + 4) 3 ( z + 1)( z + 4)
习题三解答
1.沿下列路线计算积分 ∫
3+ i 0
z 2 dz 。
(1)自原点到 3 + i 的直线段 (2)自原点沿实轴至 3,再由 3 沿垂直向上至 3 + i ; (3)自原点沿虚轴至 i,再由 i 沿水平方向右至 3 + i 。
⎧ x = 3t , 解(1) ⎨ ⎩ y = t,
0 ≤ t ≤ 1 ,故 z = 3t + i t , 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = (3 + i )dt
i
9.计算下列积分: 1)
v ∫ ( z + 1 + z + 2i )dz, 其中C :| z |= 4为正向
C
4
3
2)
v ∫z
C
2
2i dz , 其中C :| z-1|= 6为正向 +1
3)
cos z dz, 其中C1 :| z |= 2为正向,C2 :| z |= 3为负向 z3 C = C1 + C2
于是
y

3+1
0
z 2 dz =
∫ (3t + i t ) (3 + i)dt
1 0
2
i C3 O
C4
(z) 3+i C2
= (3 + i )
3 1 2 0
∫ t dt
C1
3
1 1 1 26 3 = (3 + i) 3 t 3 | = (3 + i ) = 6 + i 0 3 3 3
x
(2) ∫
3+ i
2

C
=∫
| z −i| =
1 3
(z + i )(z 2 + 4) dz +
z −i
1

| z +i| =
1 3
(z + i )(z 2 + 4) dz
z+i =
z =− i
1
= 2π i
1 ( z + i)( z 2 + 4)
+ 2π i
z =i
1 ( z − i)( z 2 + 4)
π
3

π
3
(2)
v ∫
C
C
dz , C :| z − a |= a z − a2
2
v ∫
C
eiz dz , C :| z − 2i |= 3 / 2 z2 +1
2
(4)
v ∫ z − 3 , C :| z |= 2
v ∫
C
zdz
(5)
v ∫
C
dz , C :| z |= r < 1 C ( z − 1)( z 3 − 1)
v ∫
2
4)
v ∫ z-i = 2π i
C
dz
5) 当 | a |> 1 时, 1/( z − a ) 在 | z |≤ 1上解析,故
3
ez v ∫ ( z − a)3 dz=0 ; C
当 | a |< 1 时,
ez 2π i z dz= (e ) '' |z = a = π ie a 3 v ∫ ( z a ) 2! − C
10.证明:当 C 为任何不通过原点的简单闭曲线时,
v ∫z
C
1
2
dz = 0 。
证明
当原点在曲线 C 内部时,
v ∫z
C
1
2
dz = 2π i(1) ' |z =0 = 0 ;当原点在曲线 C 外部时, 1/ z 2 在 C 内
解析,故
v ∫z
C
1
2
dz = 0 。
11.下列两个积分的值是否相等?积分 2)的值能否利用闭路变形原理从 1)的值得到?为什么? 1)
C
4
3
2)
v ∫z
C
2
2i 2i /( z + i) 2i /( z − i) dz = v dz + v dz = 0 ∫ ∫ +1 z -i z +i | z − i| =1 | z + i| =1
3)
cos z cos z cos z 2π i 2π i dz = v dz − v dz = (cos z ) '' |z =0 − (cos z ) '' |z =0 = 0 3 3 3 ∫ ∫ z z z 2! 2! − C = C1 + C2 C1 C
π
a
i,
C
1 dz 1 ⎡ 1 1 ⎤ [2π i− 0] = π i dz − ∫ dz ⎥ = = 2 ⎢ ∫ C C 2 a z a z a − + 2 a a z −a ⎣ ⎦
(3)由 Cauchy 积分公式,
v ∫
C
eiz dz eiz dz /( z + i) eiz = = 2 i π ∫ z -i z2 +1 v z+i C
(1)因在 | z |= 2 上有 | z |= 2 , z ⋅ z =| z | 2 = 4 ,从而有 z =

4 z 2 dz = ∫ Z dz = ∫ dz = 4π i C| z| | z| = 2 2 | z| = 2 z
(2)因在 C 上有 | z |= 4 , z ⋅ z =| z | 2 = 16 ,从而有 z =
v ∫
-3-
4)
± i为顶点的正向菱形 v ∫ z-i , 其中C为以 ± 2 , 5
C
dz
1
6
ez 5) v ∫ ( z − a)3 dz, 其中a为 | a |≠ 1的任何复数,C :| z |= 1为正向 C
解 1)
v ∫ ( z + 1 + z + 2i )dz=2π i(4 + 3) = 14π i
z 2 dz = ∫ 9t 2 ⋅ 3dt + ∫ (3 + i t ) ⋅ i dt = 6 +
1 1 2 0 0 2 3+ i i
26 i。 3
z 2 dz =
∫ z dt + ∫
0 1
z 2 dz =

C3
z 2 dz +

C4
z 2 dz 。
C3 : z = i t (0 ≤ t ≤ 1) ; C 4 : z = 3t + i
2
∫ (x
1+i 0
2
+ i y dz =
)
∫ (t
1 0
+ i t 2 (1 + i 2t )dt = (1 + i ) t 2 (1 + i 2t )dt = (1 + i ) t 2 + i 2t 3 dt
1 1 0 0
)
∫(
)
1 5 ⎛1 i ⎞ = (1 + i )⎜ + ⎟ = − + i 。 6 6 ⎝3 2⎠
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