非线性有限元及弹塑性力学讲解
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弹塑性本构关系简介
松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历 史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下 图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载 包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由 材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广 泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等 向 强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强 化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此 点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl
弹塑性力学的非线性有限元
有较高的二次收敛速率， 切向刚度矩阵m+1[K](i-1)在每个迭代步中都要重新计算和分解 对于理想弹塑性材料或应变软化材料，切向刚度矩阵病态，s困难
P u
改进的Newton-Raphson法
使用第n个(n<m+1)加载步时计算所得的切向刚度矩阵n[K]替代切向刚度 矩阵m+1[K](i-1)。
准Newton法
（1）是N-R法和改进的N-R法之间的一个折衷方法。 （2）使用低秩矩阵去更新刚度矩阵m+1[K](i-1)的逆矩阵。Broyden–Fletcher-
Goldfarb-Shanno(BFGS)方法就是其中的一种。 （3）准Newton法的收敛速率介于线性收敛和二次收敛之间。 （4）可适用于应变强化、应变软化或理想塑性等分析。可以考虑卸载。
p u
改进N-R法的特点 （1）比 N-R法减少了刚度矩阵的计算和分解。 （2）是线性收敛，通常比N-R法收敛得慢，如在分析应变软化材料时， 收敛将会特别地慢。 （3）刚度矩阵可能变成奇异矩阵或病态矩阵的问题仍然存在。 （4）如果出现卸载，应力状态从塑性状态卸载到弹性状态，这个算法 可能得不到一个收敛结果，除非一旦卸载出现，刚度矩阵重新计算。
本构方程
（1）增量本构关系，是无穷小应力增量与应变增量的关系。
（2）加载步中的荷载增量是有限值，应力和应变增量也为有限值。
（3）必须对增量本构关系在加载步内积分，确定有限应变增量ij 与有限应力增量ij的关系
m1
m1
ij
dij
C ep ijkl
d
kl
m
m
其中
C ep ijkl
切线模量为
C ep ijkl
力边界S上的面力是 m1 X i mX i X i
P u
改进的Newton-Raphson法
使用第n个(n<m+1)加载步时计算所得的切向刚度矩阵n[K]替代切向刚度 矩阵m+1[K](i-1)。
准Newton法
（1）是N-R法和改进的N-R法之间的一个折衷方法。 （2）使用低秩矩阵去更新刚度矩阵m+1[K](i-1)的逆矩阵。Broyden–Fletcher-
Goldfarb-Shanno(BFGS)方法就是其中的一种。 （3）准Newton法的收敛速率介于线性收敛和二次收敛之间。 （4）可适用于应变强化、应变软化或理想塑性等分析。可以考虑卸载。
p u
改进N-R法的特点 （1）比 N-R法减少了刚度矩阵的计算和分解。 （2）是线性收敛，通常比N-R法收敛得慢，如在分析应变软化材料时， 收敛将会特别地慢。 （3）刚度矩阵可能变成奇异矩阵或病态矩阵的问题仍然存在。 （4）如果出现卸载，应力状态从塑性状态卸载到弹性状态，这个算法 可能得不到一个收敛结果，除非一旦卸载出现，刚度矩阵重新计算。
本构方程
（1）增量本构关系，是无穷小应力增量与应变增量的关系。
（2）加载步中的荷载增量是有限值，应力和应变增量也为有限值。
（3）必须对增量本构关系在加载步内积分，确定有限应变增量ij 与有限应力增量ij的关系
m1
m1
ij
dij
C ep ijkl
d
kl
m
m
其中
C ep ijkl
切线模量为
C ep ijkl
力边界S上的面力是 m1 X i mX i X i
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件
A
A0
l0 l
l 0 未变形的长度 A 0 未变形的平面面积
FF l
A A0 l0
nom(ll0)
nominal
n o m 名义应力
真实应力
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 名义应变，每单位未变形长度的伸长。
noml0l
ll0 l0
l l0
1
l l0
1 nom
塑性性能的材料实验数据，提供的应变包括塑性应变和弹性应 变，是材料的总体应变。所以总体应变分解为弹性和塑性应变两 项。
弹性应变等于真实应力与弹性模量的比值。
t pl el
el / E
p lte lt/E
p l 真实塑性应变
t 总体真实应变
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变） 真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
ln1nom
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
弹塑性力学的发展
早期 精确算法 线性问题
如今 数字分析法 非线性问题
实际的需要，软件应用计算 ANSYS、ABAQUS
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
PART.02
名义应力（变）与真实应力（变）
弹塑性力学土木工程应用 有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
在ABAQUS中必须 用真实应力和真实应 变定义塑性。
弹塑性问题的有限单元法
1
(3-9) Q
r
线
1 2 3 3
式中 ρ
σ
—偏平面与原点的距离
而π 平面的方程为
偏平面（ ）
1 2 3 0
为了确定偏剪应力的方向 引入罗德角θ σ 的概念。
Q’
O
2
平面
M
' 2
3
1'
3'
偏剪应力与O′M线的夹角就定 义为罗德角，规定顺时针（-）， 逆时针（+）。这样θ σ 就代表 偏剪应力在偏平面上的作用方 向。
或写成：
xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
资源与地球科学学院
x xy xz yx y yz ij zx zy z
（3-1）
O’
资源与地球科学学院
与等压线相正交的平面称为偏平面，通过坐标原点与等压
线相正交的平面称为π平面。可见π平面是一个特殊的偏平面。
由偏平面的定义可知，在一个偏平面内平均应力为常量，故偏 平面的方程为：
1 2 3 3
式中
（3-9）
偏平面与原点的距离
资源与地球科ห้องสมุดไป่ตู้学院
1
Q
r
线
原点O与Q的连线OQ称为 该点的应力矢量，它代 表着岩土体中相应点的 应力大小与方向。
Q’
偏平面（ ）
O
3
2
平面
•在主应力空间中，与三个坐标轴成相等倾角的线称为λ 线(等 压线）。λ 线的方程可以表示为 • σ 1=σ 2=σ 3 (3-8)
材料非线性有限元2
1. 增量切线刚度法 将荷载分成若干增量段
dσ DT dε
材料非线性有限元解法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于材料和结构的弹塑性行为与应力、 应变的历史有关，因此弹塑性问题的本构方程必 须用增量形式表示。同时这类问题与非线性弹性 问题数值求解的差别还在于塑性问题应力－应变 关系不再具有单调连续的显式。尽管在任意应变 下，应力都必须在当时的屈服面上或屈服面内， 但要具体地确定每一个应力分量的精确值是不可 能的，需用以下两点来确定： 1. 对于规定的应力值及加载方向，弹塑性切 线矩阵 DT Dep 已知； 2. 应力通过 dσ DT dε 积分求得。至于每一增量步的计算， 可以采用N－R法或初应力法等。
非线性有限元——lesson6 2018-10-24
《弹塑性力学与有限元》
屈服总则和弹塑性应力-应变关系
q 屈服总则定义
物体内某一点开始产生塑性应变时，应力或应变所必需满足的条件， 叫做屈服条件。屈服条件是判断材料处于弹性还是塑性的准则。
Ø
单向拉压应力状态的屈服条件 s ：屈服应力
s
Ø
f () - s 0
(6.1)
复杂应力状态的屈服函数
a E b
n
其中，a，b，n为材料常数，有三个参数，能较好地代表真实材料， 数学表达式简单。
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
q 单轴状态下的全量和增量应力-应变模型 n Ø Ramberg-Osgood模型 (三参数模型) a
q 单轴应力-应变
(MPa)
C(s上) (e) B 200 D(s下) A(p) E=tg O Ey= tg O1 O2 0.1
低碳钢压缩 应力应变曲线
特性
Ø 单调加载
400
E ( b ) f1(f)
低碳钢拉伸 应力应变曲线
g
0.2
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
q 单轴状态下的增量应力-应变模型
3）物理条件 Ø 对于Ramberg-Osgood模型 ，荷载位移关系为： 物理条件为：
n a E b
《弹塑性力学与有限元》
单轴状态下材料的特征和模型
q
作业：
1）请完成教材第163页的习题：4.2；4.3. 2）对自己可能的研究方向中存在哪些弹塑性力学的问题和应用进 行调研，并对该问题和应用从问题的提出、解决问题的理论、求 解方法和结果进行简要论述，写成Word文件提交（4周内完成）。 3）仔细复算第177-179页的算例.
清华大学研究生弹塑性力学讲义 8弹塑性_塑性力学基本方程和解法
弹塑性力学第七章塑性力学的基本方程与解法一、非弹性本构关系的实验基础拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。
图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。
C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。
由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。
由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。
对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。
如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。
即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。
在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。
如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。
图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。
这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。
记为0.2图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线第七章 塑性力学的基本方程与解法如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。
在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。
这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。
图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。
弧长法——弹塑性力学及有限元
1 1
Pm1
m 1
c ( )[( ) 2um ]
2 T 2 1
tg 1(K1 ) Tm
m
1 a um m
1
2 1
2 2
1 (K1 ) R Tm
1 1 (K1 ) Pm Tm
m m a m
am
a
5 增量弧长法
4)由 R 和 Pm 求
i 2 m
i 1
i m
i i m m
5 增量弧长法
1 1 ( ) 21
i i i 2 m i i i 21i u m m 2
i i i 2 m
i
2
i m
i
2
i
2
i
2
i i i i 2 u m 2m m (m ) 0
i i
2
(1 1 1 )( ) 2 (1
非线性代数方程组的数值解法
5 增量弧长法
用迭代法或增量法进行极限分析时，在极值点附近往往可能 不收敛。这时可用增量弧长法来解决。
5 增量弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵 (KT < 0)问题的数值稳定解的方法。
ri 弧长半径
F
ri
收敛子步
ri ri
ri 平衡路径 u
5 增量弧长法
i 2 i a(m ) 2b m c 0
式中系数为
T a 1 (1i )( 1i )
i T i i b m (1i )[( 2 ) um ]
c (2 )[(2 ) 2u ]
i T i i m
上述式子是从简单情况推出的，如果除 外 均理解为矩阵，即为一般情况的弧长法方程。
Pm1
m 1
c ( )[( ) 2um ]
2 T 2 1
tg 1(K1 ) Tm
m
1 a um m
1
2 1
2 2
1 (K1 ) R Tm
1 1 (K1 ) Pm Tm
m m a m
am
a
5 增量弧长法
4)由 R 和 Pm 求
i 2 m
i 1
i m
i i m m
5 增量弧长法
1 1 ( ) 21
i i i 2 m i i i 21i u m m 2
i i i 2 m
i
2
i m
i
2
i
2
i
2
i i i i 2 u m 2m m (m ) 0
i i
2
(1 1 1 )( ) 2 (1
非线性代数方程组的数值解法
5 增量弧长法
用迭代法或增量法进行极限分析时，在极值点附近往往可能 不收敛。这时可用增量弧长法来解决。
5 增量弧长法
• 弧长法是一种用于得到不稳定(KT 0)或负刚度矩阵 (KT < 0)问题的数值稳定解的方法。
ri 弧长半径
F
ri
收敛子步
ri ri
ri 平衡路径 u
5 增量弧长法
i 2 i a(m ) 2b m c 0
式中系数为
T a 1 (1i )( 1i )
i T i i b m (1i )[( 2 ) um ]
c (2 )[(2 ) 2u ]
i T i i m
上述式子是从简单情况推出的，如果除 外 均理解为矩阵，即为一般情况的弧长法方程。
非线性有限元及弹塑性力学讲解(哈工大 )
第一章非线性代数方程组的数值解法1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法1.3 拟牛顿法1.4 增量方法1.5 增量弧长法非线性问题可分为三类：材料非线性不管那类非线性问题，最终都归结为一组非线性方程Ψ(a )=0，a 为待求的未知量。
对许多问题，用某些方法可将Ψ(a )=0改造成Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0的形式。
对非线性问题的方程Ψ(a )=0，一般只能用数值方法求近似解答。
、几何非线性和边界非线性。
我们只讨论前两类问题。
其实质是，用一系列线性方程组的解去逼近所讨论非线性方程组的解。
本章将简单介绍有限元分析中常见的各种求解非线性方程组的数值方法。
1.1 直接迭代法当用某些方法将Ψ(a )=0改造成迭代格式Ψ(a ) =P (a )-R =K (a ) a -R =0后a 1= K (a 0)-1R如果问题是收敛的，a 1将比a 0有所改善。
a n +1= K (a n )-1R Δa n =a n +1-an 当设范数为i n a a ∆∆max =或设范数为2/1T ])[(n n n a a a ∆∆∆=收敛条件则为10 <<≤αα∆n n a a ，设一初始未知量a 0，则由它可得如此反复迭代可得4如果考虑到每步迭代Ψ(a n ) =P (a n )-R =K (a n ) a n -R ≠0将Ψ(a n )视为不平衡力（或失衡力）并作为衡量收敛的标准应指出的是，对单变量情况，如讲义图示，直接迭代实质是“割线”法10 )( <<≤ββR a Ψn 1.1 直接迭代法1.2 牛顿法和修正牛顿法如果将非线性方程如果将非线性方程ΨΨ((a a ) =0) =0在在a an 附近展开，则又如果[Ψ’(a )]n 的逆存在，则Δa n 近似等于记K (a n )=[Ψ’(a )]n ，P n =Ψ(a n )Δa n ≈-[Ψ’(a )]n -1Ψ(a n )则Δa n ≈-K T (a n )-1 P n ，a n +1=a n +Δa n 切线矩阵不平衡力如此逐步计算，即可得到非线性方程的解答，这就是牛顿-拉夫森法。
第四章__弹塑性有限元法基本理论与模拟方法讲解
Pi( k ) P(k 1) Pi(k )
q
(k ) 1
k) (k ) qi( k ) qi( q 1 i
q(k )
q( k 1)
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
(3) 所有载荷段循环，并将结果进行累加
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.2 材料非线性问题及分类
为了与初始屈服应力相区别，我们称之为后继屈服应力。 与初始屈服应力不同，它不是一个材料常数，而是依赖 于塑性变形的大小和历史。 后继屈服应力是在简单拉伸下，材料在经历一定塑性变形 后再次加载时，变形是按弹性还是塑性规律变化的界限。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
F
ห้องสมุดไป่ตู้ nom
s0
F nom A0 L nom L0
L
nom
s0
nom (1 nom ) p e ln(1 nom ) E
x1 x x 2 , xn
F(x)=0
f1 (x) f ( x) F ( x) 2 , f n ( x)
0 0 0 0
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
和简单应力状态相似，材料在复杂应力状态下同样 存在初始屈服和后继屈服的问题。
材料在复杂应力状态下，在经历初始屈服和发生塑性 变形后，此时卸载，将再次进入弹性状态（称为后继弹 性状态）。
第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法 第四章 弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
第五章非线性有限元法
5.5 动力学问题有限元法
1
Non-linear behaviour of solids: ◆ material non-linearity ◆ Geometric non-linearity ■Material non-linearity: ●the loading and unloading response of the material is different. ● Typical here is the case of classical elastic–plastic and viscoelastic behavior, nonlinear ■ Finite deformation: Geometric non-linearity 大变形
(λ ) n +1 = (∆λ ) n +1 + (λ ) n
Softening range
u
土，混凝土，岩石等材 料，表现出软化现象。 混凝土开裂后的分析
12Biblioteka n (∆u ) = [k (u n )]{u n } − λ{ f E }n = R n [ k ]T n
写成矢量形式 F(u , λ ) = [k (u )] u − λ ⋅ f E
n n n n n
n
0
把u和λ作为未知量，一阶Taylor展开
n
F(u
n +1
n
,λ
n +1
∂F ∂k ( u ) n = → [ k ] T ∂ u ∂ u
n n n n
∂F ∂F n ) ≈ F(u , λ ) + ∆u + ∆λn ∂u ∂λ n n n
弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例
06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹 塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在 接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效 地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时 具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂 接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行 为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模 型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元 方程的求解，得到各节点 的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元 模型的建立和网格划分，为 求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进 行可视化、分析和评估，为工 程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态
非线性有限元及弹塑性力学讲解Chap2
式中应力和应变偏张量分别为 式中应力和应变偏张量分别为
sij = 2Geij
1 1 ε ij = eij + ε kk δ ij = eij + ε v δ ij 3 3
如果用拉梅 Lame）常数表示 如果用拉梅（Lame）常数表示，则有 拉梅（ 表示， σ kk σ ij = 2Gε ij + λε kk δ ij ε kk = 3λ + 2G σ ij λ ε ij = ε kk δ ij 2G 2G 弹性常数间有如下关系
屈服条件曾经有最大主应力（伽）、最大主 屈服条件曾经有最大主应力（ ）、最大主 应变（ 假设，但后来都被实验所否定。 应变（圣）假设，但后来都被实验所否定。 后来法国的H.Tresca提出， H.Tresca提出 后来法国的H.Tresca提出，最大切应力达某 一极限值时，材料即进入塑性状态。德国的R. 一极限值时，材料即进入塑性状态。德国的R. Von.Mises及H.Hencky又进一步指出 又进一步指出， Von.Mises及H.Hencky又进一步指出，弹性形 变比能（也称歪形能） 变比能（也称歪形能）达一定值时材料进入塑 对韧性金属，这一假设比较接近实际。 性。对韧性金属，这一假设比较接近实际。 原苏联学者伊留申提出应力强度的概念， 原苏联学者伊留申提出应力强度的概念，并 以应力强度作为表征物体受力程度的参数。 以应力强度作为表征物体受力程度的参数。认 为应力强度达到单向拉伸的屈服极限时， 为应力强度达到单向拉伸的屈服极限时，材料 进入塑性。这不仅概念清楚，而且便于使用， 进入塑性。这不仅概念清楚，而且便于使用， 因此是塑性力学常用假设之一。 因此是塑性力学常用假设之一。 2000.3 12 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 6
非线性有限元
Ki-1
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
弹塑性力学PPT课件精选全文
◆ 体力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之负。
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
.
*
⑾.静力边界条件
◆ 一个客观的弹塑性力学问题，在物体边界上 任意一点的应力分量和面力分量必定满足这 组方程。
◆ 面力分量指向同坐标轴正向一致取正，反之 取负。
.
*
◆ 当边界面与某一坐标轴相垂直时，应力分量 与相应的面力分量直接对应相等。
.
*
2、几何假设——小变形条件
（1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时，可以 不考虑因变形而引起的力作用线方向的改变；
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
（2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次及二 次以上的高阶微量；
假定物体在受力以后，体内的位移和变形是微小 的，即体内各点位移都远远小于物体的原始尺寸，而 且应变( 包括线应变与角应变 )均远远小于1。根据 这一假定：
.
*
五、 弹塑性力学的基本假设
（1）连续性假设：假定物质充满了物体所占有的 全部空间，不留下任何空隙。
（2）均匀性与各向同性的假设：假定物体内部各点 处，以及每一点处各个方向上的物理性质相同。
1、物理假设:
（3）力学模型的简化假设： （A）完全弹性假设 ；（B）弹塑性假设。
可归纳为以下几点： 1．建立求解固体的应力、应变和位移分布规律的 基本方程和理论； 2．给出初等理论无法求解的问题的理论和方法， 以及对初等理论可靠性与精确度的度量； 3．确定和充分发挥一般工程结构物的承载能力， 提高经济效益； 4．为进一步研究工程结构物的强度、振动、稳定 性、断裂等力学问题，奠定必要的理论基础。
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
.
材料非线性
重复上述步骤
n (K n1)1 f
当误差小于规定的范围即可。
假设的初始的试探解可以由线性问题得到。 每次迭代需要计算和形成新的系数矩阵并进行求逆 计算，这表明K可以表示成 的函数，因此迭代法只 适用于与变形历史无关的非线性问题。
5
直接迭代法的收敛性分析 单自由度问题
P( ) K( )
0 1 2
硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函 数（加载函数或加载曲面）。
F
(
ij
,
p ij
,
k)
0
其中：k --硬化参数，依赖于变形历史。
理想弹塑性材料，因无硬化效应，后继屈服函 数和初始屈服函数一致
F
(
ij
,
p ij
,
k)
F
0
(
ij
)
0
对于硬化材料，根据不同的硬化特征，采用不
同的硬化法则：各向同性硬化法则、运动硬化法则、
曲线是凸的，收敛
n2 n n1 n3
曲线是凹的，不收敛
其他的迭代方法： Newton-Raphson方法（N-R方法） 修正的Newton-Raphson方法（mN-R方法）
6
二、增量法
增量法
K( ) f 0
载荷分为若干步： f0 , f1, f2 , f3 位移分成若干步： 0,1,2,3
21
流动法则
流动法则规定塑性应变增量的分量和应力分量 以及应力分量增量之间的关系。
V.Mises流动法则假设塑性应变增量可由塑性势导出
其中：
d
p ij
d
Q
ij
d
p ij
--塑性应变增量分量；
d --待定的有限量，与材料的硬化法则有关；
非线性有限元-9-弹塑性本构关系
屈服面：
对于单向应力状态，其屈服条件可以写成 s
可以看出，描述一维问题的屈服条件需要应力－应变曲线上的一个临界点
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f 1,2,3 C
F J2, J3 C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
最大剪应力屈服条件。 1870年：圣维南（Saint-Venant）提出在平面情
况下理想刚塑性的应力-应变关系。假设最大剪应 力方向和最大剪应变率方向一致，求解了柱体中发 生部分塑性变形的扭转和弯曲问题、以及厚壁筒受 内压问题。 1871年：莱维（Levy）将塑性应力-应变关系推广 到三维情况。
3) 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
单轴试验下材料的弹塑性性态 （3/3）
强度限 b
A
弹性限 s
其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外， 普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实 验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法 等能测量大变形的手段。等等。
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： 1) 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; 2) 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
25
二、塑性力学的基本法则
将上述单轴应力状态的基本概念推广到一般的应力 状态，需要利用塑性力学的增量理论。
初始屈服条件
材料非线性有限元分析
1 ijkl
e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , ij d
A f , p Dijkl f , kl M
ij
dij ( D
dij ( D
1 ijkl
H (l ) f , ij f , kl )d kl Dep1,ijkl d kl A
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 2 2
随动强化的米塞斯屈服准则
这种材料的屈服面方程为
p ij 1 1 p p f ( sij , , k ) [ ( sij ij )( sij ij )] 2 0 0 2
kk pp
纯剪
单向拉伸
Gp是塑性剪切 模量
Ep是塑性拉伸 模量
A f , p Dijkl f , kl M
ij
f , kl Dijkl f , kl
s ij G 2J 2G s ij G 2 2 2
由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因 1 1G G p Dijkl Dijkl f , kl Dklij f , kl sij skl A A 1 G G G 2 s ij s ij s kl s 2 kl G Gp G Gp p p d ij Dijkl d kl 由此可得弹塑性矩阵为
J 2 sij sij / 2
，因此
由于偏张量第一不变量＝0
J1 sii 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
e p 1 d ij d ij d ij Dijkl d kl f , ij d
A f , p Dijkl f , kl M
ij
dij ( D
dij ( D
1 ijkl
H (l ) f , ij f , kl )d kl Dep1,ijkl d kl A
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] 6 2 2
随动强化的米塞斯屈服准则
这种材料的屈服面方程为
p ij 1 1 p p f ( sij , , k ) [ ( sij ij )( sij ij )] 2 0 0 2
kk pp
纯剪
单向拉伸
Gp是塑性剪切 模量
Ep是塑性拉伸 模量
A f , p Dijkl f , kl M
ij
f , kl Dijkl f , kl
s ij G 2J 2G s ij G 2 2 2
由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因 1 1G G p Dijkl Dijkl f , kl Dklij f , kl sij skl A A 1 G G G 2 s ij s ij s kl s 2 kl G Gp G Gp p p d ij Dijkl d kl 由此可得弹塑性矩阵为
J 2 sij sij / 2
，因此
由于偏张量第一不变量＝0
J1 sii 0
1 2 2 2 J 2 [( s11 s22 ) 2 ( s22 s33 ) 2 ( s33 s11 ) 2 ] s12 s23 s31 6
弹塑性力学与有限元
x yx zx X 0 x y z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析
平衡微分方程
x xy xz 2u X 0( 2 ) x y z t yx y yz 2v Y 0( 2 ) x y z t zx zy z 2w Z 0( 2 ) x y z t
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
根据泰勒级数展开式，可得：
f 1 ( x , y , z ) 1 2 f 1 ( x, y , z ) 2 u1 f 1 ( x , y , z ) dx dx 2 x 2! x
略去高阶项后得到：
u u1 u dx x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
xy
yz
zx
u v y x
v w z y u w z x
说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变小 ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变大
应变分析
应变—位移关系
位移—由于外部因素如载荷或温度
变化,物体内部各点空间位置发生的
变化 ；
如果各点的位移完全相同，物体发
生刚体平移；如果各点的位移不同， 但各点间的相对距离保持不变，物 体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系
连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化， 则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体 被称为有变形或有应变。