等腰三角形的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论一、等腰三角形的定义等腰三角形是指具有两条边相等的三角形,也就是说,等腰三角形的两条边边长相等,而另一条边则较短。
等腰三角形可以有不同的形状和性质,下面将对等腰三角形进行分类讨论。
二、等腰三角形的分类1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是一种特殊的等腰三角形,其中的一个内角为直角(即90度)。
在等腰直角三角形中,另外两个内角相等,均为45度。
根据勾股定理,等腰直角三角形的斜边与两条直角边之间的关系为:斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2。
2. 等腰锐角三角形等腰锐角三角形是指两个等腰三角形的顶点角小于90度的三角形。
在等腰锐角三角形中,两个等腰边的边长相等,而顶点角则小于90度。
等腰锐角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为:等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
3. 等腰钝角三角形等腰钝角三角形是指两个等腰三角形的顶点角大于90度的三角形。
在等腰钝角三角形中,两个等腰边的边长相等,而顶点角则大于90度。
等腰钝角三角形的两个等腰边的长度与顶点角之间的关系为:等腰边的长度等于另一条边的长度乘以正弦顶点角的一半。
4. 等腰等边三角形等腰等边三角形是一种特殊的等腰三角形,其中的三个边全都相等。
等腰等边三角形的三个内角均为60度。
等腰等边三角形具有许多特殊性质,例如:它的三条高线、中线、角平分线和垂直平分线都重合于同一个点;它的外接圆和内切圆都与三个顶点相切。
三、等腰三角形是指具有两条边相等的三角形,根据顶点角的大小和不同属性,可以进一步分类为等腰直角三角形、等腰锐角三角形、等腰钝角三角形和等腰等边三角形。
每种分类的等腰三角形都有其特殊的性质和关系,值得我们深入学习和研究。
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等腰三角形的分类讨论
4242课题:等腰三角形的分类讨论一、教学目标1、知识与技能:了解等腰三角形的分类,培养分类讨论的思想,掌握等腰三角形的分类讨论的基本方法,体会从特殊到一般的认识事物的方法。
2、过程与方法:会运用等腰三角形的分类讨论的思想来解决有关动点问题。
3、情感态度与价值观:激发学生的学习兴趣,让学生的思维能力,在解题中得到提高,享受成功的喜悦。
二、教学重点了解等腰三角形的分类,会运用等腰三角形的分类讨论的思想来解决有关动点的简单综合题三、教学难点会用分类讨论的思想解关于等腰三角形的双动点的综合题四、教学模式:小组合作探究五、教学过程:(一)思维点拨,引入:1.已知等腰三角形的两边长分别为5和8,求它的周长。
2. 已知等腰三角形的一个角为80°,求它的三内角度数。
问:从上面的2个题目的解答中,你认为等腰三角形的分类要注意些什么? 归纳:等腰三角形中:图形确定——不需分类图形不确定——分类(边不确定时,以边分类;角不确定时,以角分类)(二)合作探究,形成能力:引:这节课我们就来探究等腰三角形综合题中的分类讨论思想例. 如图,已知AB=BC,∠ABC=90度,1.当AB=BC=1时,求AC 长及∠A 的度数;你发现等腰直角△ABC 的斜边AC=__AB. (生完成工作单,指名回答,师板书)解:∵AC 2=AB 2+BC 2 =12+12=2又∵AC >02. 若AB=BC=4时,动点P 从点A 开始沿AC 边以每秒1个单位的速度运动,设运动时间为t 秒。
(1)点P 运动到点C 即止,请认真观察,在点P 的运动过程中,△ABP 中哪些边、角保持不变,哪些边、角发生变化?师:几何画板演示,生观察后回答。
师:请同学们注意,在动点问题中抓住不变的边或角,是解决问题的突破口 。
①用含t 的代数式表示AP ;并写出t 的取值范围。
分析:AP 就是点P 所经过的距离,如何求? 解:AP=t∵点P 在线段AC 上从点A 运动到C∴0≤t ≤ ∴AC=2∴AC=2AB4242 AQ=2AP4-t=2t t=4 2+142秒,4秒,22秒时AP=2AQt=2(4-t)t=42 2+14 2+1 秒,422+1秒,2秒时②求t为多少时,△ABP成为等腰三角形?师:几何画板演示。
等腰三角形分类讨论初三压轴题
中考热点3——等腰三角形分类讨论等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中,由于这类题目都与图形运动有关,需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力,而这正是学生最缺乏的,理清这类题目的解题思路和解题策略将会等到在中考中获得高分的重要砝码。
等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种,第一种:用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边,后用三条线段依次相等建立方程后求解,第二种:分别作出三种等腰三角形条件下图形,利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。
下面就常见的题型进行分析、归纳 典型例题【例1】如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,54sin =B ,AC =4;D 是BC 的延长线上的一个动点,∠EDA =∠B ,AE ∥BC . (1)找出图中的相似三角形,并加以证明;(2)设CD =x ,AE =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;(3)当△ADE 为等腰三角形时,求AE 的长. 【思路分析】思路一:用含有x 或者y 的代数式来表示等腰三角形的三条边长AD 、DE 、AE 三条线段依次相等建立方程后求解,显然AE 和DE 边都不方便用含含有x 或者y 的代数式表示。
思路二:分别作出三种等腰三角形条件下图形,利用第(1)题中证明的△ABD ∽△EDA 将等腰的条件转化到△ABD 中进行求解,最后带入定义域检验。
解:(1)∵AE ∥BC ∴∠EAD =∠ADB ,∠EDA =∠B ∴△ABD ∽△EDA (2)∵△ABD ∽△EDA ∴AEADAD BD = ∴y x x x 1616322+=++即3162++=x x y 0>x (3)情况一:当AE =AD 时AD =BD 即3162+=+x x67=x 情况二:DE =AE 时AB =AD ,AC ⊥BD BC =CD 即3=x情况三:AD =DE 时AB =BD 即53=+x2=x点评:将等腰三角形的条件进行适当转化,计算过程大大简化,既节约时间又提高正确率【例2】已知直线1l 的解析式63+=x y ,直线1l 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,直线2l 经过B 、C 两点,E点C 的坐标为)0,8(.又知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动,点Q 在直线2l 上从点C 向点B 移动.点P 、Q 同时出发,且移动的速度都为每秒1个单位长度,设移动时间为t 秒(100<<t ) (1)求直线2l 的解析式(2)当t 为何值时,△PCQ 是等腰三角形【思路分析】在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论,依然遵循两大基本思路此题中PC 、QC 两条边长都方便用含有t 的代数式表示,而PQ 不易表示,将等腰三角形PQ =QC 和PC =PQ 两种情况,通过添加底边上的高转化为直角三角形,再用锐角三角比和相似三角形的方法进行求解则较易求得结果。
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一:等腰三角形中的分类讨论(一)角分类:顶角和底角+ 三角形内角和;外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o,求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°,则该等腰三角形的底角的度数是.(二)边分类:底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6,这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3,这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中,AB的长是AC的2倍,三角形的周长是40,则AB的长等于_______________.(三)中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分,求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分,这两部分之差是3cm,求这个等腰三角形的腰长(四)高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,求底角的度数10.在ΔABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________11.(2018·哈尔滨中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数12.(2019·白银中考)定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=80°,则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考)数学课上,张老师举了下面的例题:例1等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°)例2等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
与等腰三角形有关的分类讨论问题
与等腰三角形有关的分类讨论是一种特殊而又十分重要的三角形,就是因为这种特殊性,在具体处理问题时往往又会出现错误,因此,同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论.一:与角有关的分类讨论例1、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为________分析:对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.二:与边有关的分类讨论例2、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________.分析:对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.三:与高有关的分类讨论例3、一等腰三角形的一腰上的高与另一腰成35°,则此等腰三角形的顶角是________度.分析:因不知此等腰三角形的顶角是钝角、直角、锐角,应分情况讨论.解:(1)当顶角为锐角时,(如图1)则顶角为90°-35°=55°.(2)当顶角为直角时,不符合题意(如图2),应舍去.(3)当顶角为钝角时(如图3),顶角为180°-(90°-35°)=125°故此等腰三角形的顶角为55°或125°.小结:此题涉及了顶角有“钝角、直角、锐角”之分的分类讨论,特别是当顶角为钝角时的情况容易漏解,请同学们注意体会.30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地,例4、美化环境,计划在某小区内用2请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.分析:例5、在直角坐标系中,O 为坐标原点,已知A (-2,2), 试在x 轴上确定点P ,使△AOP 为等腰三角形, 求符合条件的点P 的坐标 练习:1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,这个等腰三角形的顶角的度数_____度. 归纳:三角形的高是由三角形的形状决定的,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外.2、如图,在平面直角坐标系xoy 中,分别平行x 、y 轴的两直 线a 、b 相交于点A (3,4).连接OA ,若在直线a 上存在点P , 使△AOP 是等腰三角形.那么所有满足条件的点P 的坐标 是3、练习如图,在网格图中找格点M ,使△MPQ 为等腰三角形.并画出相应的△MPQ 的对称轴.baxAOA (-2,2)yxoPQPQPOCBA4、变式这样的点M 共有_________个5、如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC =90°,点D 是边BC 上一点,△EAD 是等腰直角三角形,∠EAD =90°,ED 与AC 相交于点F , 联结CE . (1)说明∠B =∠ACE 的理由;(2)若△CFE 是等腰三角形,请求出∠BAD 的度数.6、已知如图点O 是等边三角形ABC 内一点,∠AOB =110°, 将点O 绕点A 按顺时针方向旋转60°到点P ,联结OP 、CP (1)求证:△AOP 是等边三角形(2)若△COP 是等腰三角形,求 ∠BOC 的度数。
专题14图形中的等腰三角形分类讨论(解析版)
专题14图形中的等腰三⾓形分类讨论(解析版)专题14 图形中的等腰三⾓形分类讨论教学重难点1.理解等腰三⾓形的性质和判定定理;2.能⽤等腰三⾓形的判定定理进⾏相关计算和证明;3.初步体会等腰三⾓形中的分类讨论思想;4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三⾓形;5.培养学⽣进⾏独⽴思考,提⾼独⽴解决问题的能⼒。
【备注】:1.此部分知识点梳理,根据第1个图先提问引导学⽣回顾学过的等腰三⾓形的性质,可以在⿊板上举例让学⽣画图;2再根据第2个图引导学⽣总结出题⽬中经常出现的⼀些等腰三⾓形的题型;3.和学⽣⼀起分析⼆次函数背景下等腰三⾓形的基本考点,为后⾯的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
等腰三⾓形的性质:等腰三⾓形常见题型分类:函数背景下的等腰三⾓形的考点分析:1.求解相应函数的解析式;2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标;3.根据点的位置进⾏等腰三⾓形的讨论:分“指定腰长”和“不指定腰长”两⼤类;4.根据点的位置和形成的等腰三⾓形⽴等式求解。
【备注】:1.以下每题教法建议,请⽼师根据学⽣实际情况参考;2.在讲解时:不宜采⽤灌输的⽅法,应采⽤启发、诱导的策略,并在读题时引导学⽣发现⼀些题⽬中的条件(相等的量、不变的量、隐藏的量等等),使学⽣在复杂的背景下⾃⼰发现、领悟题⽬的意思;3.可以根据各题的“参考教法”引导学⽣逐步解题,并采⽤讲练结合;注意边讲解边让学⽣计算,加强师⽣之间的互动性,让学⽣参与到例题的分析中来;4.例题讲解,可以根据“教法指导”中的问题引导学⽣分析题⽬,边讲边让学⽣书写,每个问题后⾯有答案提⽰;5.引导的技巧:直接提醒,问题式引导,类⽐式引导等等;6.部分例题可以先让学⽣⾃⼰试⼀试,之后再结合学⽣做的情况讲评;7.每个题⽬的讲解时间根据实际情况处理,建议每题7分钟,选讲例题在时间⾜够的情况下讲解。
1.(2019青浦⼆模)如图1,已知扇形MON的半径为,∠MON=90°,点B在弧MN上移动,联结BM,作OD⊥BM,垂⾜为点D,C为线段OD上⼀点,且OC=BM,联结BC并延长交半径OM于点A,设OA=x,∠COM的正切值为y.(1)如图2,当AB⊥OM时,求证:AM=AC;(2)求y关于x的函数关系式,并写出定义域;(3)当△OAC为等腰三⾓形时,求x的值.整体分析:(1)先判断出∠ABM=∠DOM,进⽽判断出△OAC≌△BAM,即可得出结论;(2)先判断出BD=DM,进⽽得出,进⽽得出AE=,再判断出,即可得出结论;(3)分三种情况利⽤勾股定理或判断出不存在,即可得出结论.详解:(1)∵OD⊥BM,AB⊥OM,∴∠ODM=∠BAM=90°.∵∠ABM+∠M=∠DOM+∠M,∴∠ABM=∠DOM.∵∠OAC=∠BAM,OC=BM,∴△OAC≌△BAM,∴AC=AM.(2)如图2,过点D作DE∥AB,交OM于点E.∵OB=OM,OD⊥BM,∴BD=DM.∵DE∥AB,∴,∴AE=EM.∵OM=,∴AE=.∵DE∥AB,∴,∴.()(3)(i)当OA=OC时.∵.在Rt△ODM中,.∵.解得,或(舍).(ii)当AO=AC时,则∠AOC=∠ACO.∵∠ACO>∠COB,∠COB=∠AOC,∴∠ACO>∠AOC,∴此种情况不存在.(ⅲ)当CO=CA时,则∠COA=∠CAO=α.∵∠CAO>∠M,∠M=90°﹣α,∴α>90°﹣α,∴α>45°,∴∠BOA=2α>90°.∵∠BOA≤90°,∴此种情况不存在.即:当△OAC为等腰三⾓形时,x的值为.点睛:本题是圆的综合题,主要考查了相似三⾓形的判定和性质,圆的有关性质,勾股定理,等腰三⾓形的性质,建⽴y关于x 的函数关系式是解答本题的关键.图形背景下等腰三⾓形分类讨论的解题⽅法和策略:1.先寻找题⽬中的条件:相等的⾓、相等的边、相似的三⾓形等;2.根据题⽬中的条件求解相关线段的长度;3.等腰三⾓形讨论中,分三步⾛:分类、画图、计算;4.等腰讨论中,当不能直接利⽤边长相等求解时,⼀般情况下通过“画底边上的⾼”辅助线结合三⾓⽐计算求解;5.注意点的位置取舍答案;6.根据题⽬条件,注意快速、正确画图,⽤好数形结合思想;7.利⽤⼏何定理和性质或者代数⽅法建⽴⽅程求解都是常⽤⽅法。
等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论关键信息项1、等腰三角形的定义和性质定义:至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
性质:两腰相等;两底角相等;顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
2、等腰三角形的分类依据边的长度:分为等边三角形(三边相等)和一般等腰三角形(只有两边相等)。
角的大小:锐角等腰三角形、直角等腰三角形、钝角等腰三角形。
3、分类讨论的情况已知三角形的两边长度,求第三边长度时,需分情况讨论。
已知三角形的一个角的度数,求其他角的度数时,需分情况讨论。
已知三角形的周长和边的关系,求边长时,需分情况讨论。
11 等腰三角形的定义和性质的详细说明等腰三角形是一种特殊的三角形,其定义为至少有两边相等的三角形。
这一特征使得等腰三角形具有独特的性质。
首先,两腰长度相等,这是等腰三角形的最基本特征。
其次,两底角(即两腰所对的角)相等。
这一性质在解决与角度相关的问题时经常被用到。
再者,顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,这条性质被称为“三线合一”,它为证明线段相等、角相等以及解决相关几何问题提供了重要的依据。
111 等腰三角形性质的应用在实际解题中,等腰三角形的性质经常被用于构建等式、求解未知量。
例如,已知一个等腰三角形的顶角为 80 度,由于两底角相等,根据三角形内角和为 180 度,可以计算出底角的度数为(180 80)÷ 2 =50 度。
12 等腰三角形的分类依据121 边的长度分类从边的长度来看,等腰三角形可以分为等边三角形和一般等腰三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形,其三条边长度均相等。
一般等腰三角形则只有两条边长度相等。
122 角的大小分类根据角的大小,等腰三角形可分为锐角等腰三角形(三个角均为锐角)、直角等腰三角形(其中一个角为直角)和钝角等腰三角形(其中一个角为钝角)。
13 分类讨论的情况131 已知两边长度求第三边当已知等腰三角形的两边长度时,求第三边的长度需要分情况讨论。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论:【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题,优先考虑分类讨论,再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1)无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论;②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论;③遇高线需分高在△内和△外两类讨论;④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2)“两定一动”等腰三角形存在性问题:即:如图:已知A ,B 两点是定点,找一点C 构成等腰ABC △方法:两圆一线具体图解:①当AC AB =时,以点A 为圆心,AB 长为半径作⊙A ,点C 在⊙A 上(B ,C 除外)②当BC AB =时,以点B 为圆心,AB 长为半径作⊙B ,点C 在⊙B 上(A ,E 除外)③当BC AC =时,作AB 的中垂线,点C 在该中垂线上(D 除外)例1.(2023秋·河北张家口·八年级统考期末)ABC 是等腰三角形,5,7AB AC ==,则ABC 的周长为()A .12B .12或17C .14或19D .17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况:当腰为5与腰为7时,即可得到答案.【详解】解:当ABC 的腰为5时,ABC 的周长55717++=;当ABC 的腰为7时,ABC 的周长57719++=.故选:D .【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义,掌握等腰三角形的定义是解题的关键.例2.(2023春·四川巴中·七年级统考期末)等腰三角形的周长为32cm ,一边长为8cm ,则其它两边长是()∴150∠=︒,即顶角为150︒;故答案为:30︒或150︒.BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质,注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键.例5.(2023秋·江苏·八年级专题练习)在如图所示的网格中,在格点上找一点P,使ABP为等腰三角形,则点P有()A.6个B.7个C.8个D.9个【答案】C【分析】分三种情况讨论:以AB为腰,点A为顶角顶点;以AB为腰,点B为顶角顶点;以AB为底.【详解】解:如图:如图,以AB为腰,点A为顶角顶点的等腰三角形有5个;以AB为腰,点B为顶角顶点的等腰三角形有3个;不存在以AB为底的等腰ABP,所以合计8个.故选:C.【点睛】本题考查等腰三角形的定义,网格图中确定线段长度;在等腰三角形腰、底边待定的情况下,分类讨论是解题的关键.例6.(2023·重庆市八年级期中)如图1,一副直角三角板△ABC和△DEF,∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠F=30°,点B、D、C、F在同一直线上,点A在DE上.如图2,△ABC固定不动,将△EDF绕点D逆时针旋转α(0°<α<135°)得△E′DF',当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时,α的大小为___.【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q,根据△CPQ为等腰三角形,分三种情况:①当∠PCQ 为顶角时,∠CPQ=∠CQP,如图1,可求得α=7.5°;如图2,△CPQ为等腰三角形中,∠PCQ为顶角,可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°;②当∠CPQ为顶角时,∠CQP=∠PCQ=45°,可得∠CPQ=90°,如图3,进而求得α=90°-15°=75°;③如图4,当∠CQP为顶角时,∠CPQ=∠PCQ=45°,可得∠CQP=90°,进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°.【详解】解:设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q,∵△CPQ为等腰三角形,∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角,①当∠PCQ为顶角时,∠CPQ=∠CQP,如图1,∵∠BAC=∠EDF=90°,∠B=45°,∠F=30°,∴∠E′DF′=90°,∠ACB=45°,∠E′F′D=30°,∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°,∴∠CQP=22.5°,∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ,∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°,∴α=7.5°;如图2,∵△CPQ为等腰三角形中,∠PCQ为顶角,∴∠CPQ=∠CQP=67.5°,∵∠E′DF′=90°,∠F′=30°,∴∠E′=60°,∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°,∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°;②当∠CPQ为顶角时,∠CQP=∠PCQ=45°,∴∠CPQ=90°,如图3,∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′,∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°,∴α=90°-15°=75°;③如图4,当∠CQP 为顶角时,∠CPQ =∠PCQ =45°,∴∠CQP =90°,∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°,∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°,∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°;综上所述,α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°.故答案为:7.5°或75°或97.5°或120°.【点睛】本题考查了等腰三角形性质,直角三角形性质,旋转的性质,三角形内角和定理等,解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题.例7.(2022秋·江苏徐州·八年级校考期中)如图,70AOB ∠=︒,点C 是边OB 上的一个定点,点P 在角的另一边OA 上运动,当COP 是等腰三角形,OCP ∠=°.【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论:①当OC PC =,②当PO PC =,③当OP OC =,根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论.【详解】解:如图,(1)若点P在BC上,且满足PA PB=,求此时(3)在运动过程中,当t为何值时,ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒,5cmAB=在Rt ACP中,由勾股定理得()22234x x∴+-=,解得BP 平分ABC ∠,C ∠在BCP 与BDP △中,∵A B ∠∠=︒+90,90ACP BCP ∠+∠=︒,B BCP ∴∠=∠,CP BP AP ∴==,P ∴是AB 的中点,即15cm 22AP AB ==,524AP t ∴=.②如图,当P 在AB 上且3cm AP CA ==时,∴322AP t ==.③如图,当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标;(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上(不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ,设PE 的长为()0y y ≠,求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围;(3)在(2)的条件下,在x 轴上是否存在点F ,使PEF !为等腰直角三角形?若存在求出点若不存在,请说明理由.【答案】(1)()450y x D =-+-,,(2)()33242y m m =+-<<,的运用,解答本题时求出函数的解析式是关键.课后专项训练A.120︒B.75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =,CB CA =三种情况画图判断即可.【详解】解:如图所示:当AB AC =时,符合条件的点有2个;当BC BA =时,符合条件的点有1个;当CB CA =,即当点C 在AB 的垂直平分线上时,符合条件的点有一个.故符合条件的点C 共有4个.故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的定义,线段垂直平分线的性质,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.4.(2023·江苏八年级期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A 、B 都是格点(小正方形的顶点叫做格点),若△ABC 为等腰三角形,且△ABC 的面积为1,则满足条件的格点C 有()A .0个B .2个C .4个D .8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可.【详解】解:如图所示:∵△ABC 为等腰三角形,且△ABC 的面积为1,∴满足条件的格点C 有4个,故选C .【点睛】本题考查了等腰三角形的判定;熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A.3【答案】D故选:满足条件的点M 的个数为2.故选A .【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.7.(2022·安徽淮北·九年级阶段练习)如图,在ABC 中,90C ∠=︒,8BC =,6AC =.若点P 为直线BC 上一点,且ABP △为等腰三角形,则符合条件的点P 有().A .1个B .2个C .3个D .4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用,关键要用分类讨论的思想.8.(2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为()1,1,在x 轴上确定点P ,使AOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【分析】先计算OA的长,再以OA为腰或底分别讨论,进而得出答案.【详解】解:如图,22112OA=+=,当AO=OP1,AO=OP3时,P1(﹣2,0),P3(2,0),当AP2=OP2时,P2(1,0),当AO=AP4时,P4(2,0),故符合条件的点有4个.故选:C.【点睛】本题以平面直角坐标系为载体,主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义,属于常考题型,全面分类、掌握解答的方法是关键.9.(2022·四川广元·八年级期末)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,C所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有()A.6个B.7个C.8个D.9个∵BD AC ⊥,∴90ADB ∠=︒,∵∵BD AC ⊥,∴90ADB ∠=︒,∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=,再根据周长列式求解即可得到答案;【详解】解:∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分,∴腰与底的差为:1293-=,①当底边比腰长时,设腰为x ,则底为3x +,由题意可得,32129x x ++=+,解得:6x =,3639x +=+=,②当腰比底边长时,设腰为x ,则底为3x -,由题意可得,32129x x -+=+,解得:8x =,3835x -=-=,故答案为:6,9或8,5.【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算,解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论.14.(2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,2),在y 轴确定点P ,使△AOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 有____个.【答案】4.【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底,可能OA 为腰两种情况,依此即可得出答案.【详解】①以A 为圆心,以OA 为半径作圆,此时交y 轴于1个点(O 除外);②以O 为圆心,以OA 为半径作圆,此时交y 轴于2个点;③作线段AO 的垂直平分线,此时交y 轴于1个点;共1+2+1=4.故答案为:4.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用,有两边相等的三角形是等腰三角形,注意要进行分类讨论.15.(2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习)如图,ABC 中,90ACB ∠=︒,10cm AB =,8cm AC =,若点P 从点A 出发,以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动,设运动时间为t 秒()0t >,当点P 在边AB 上,【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质,依次画图,分类讨论即可.【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时,①②当6cm BC CP ==时,过CD PB ⊥于点D ,如图,∴12BD DP BP ==,∵12ABC S AC BC CD ==V g g ,∴ 4.8AC BC CD AB == ,在Rt CBD △中,由勾股定理得:()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=,∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=,∴(()867.221.2s t =++,【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时,分两种情况:出BP 的长度,继而可求得t 值.【详解】解:在Rt ABC △中,∠②当AB AP =时,28cm 8BP BC t ===,故答案为:5或8.【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识,解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质,以及分情况讨论,注意不要漏解.15.(2022·河南平顶山·八年级期末)如图,ABC 中,90C ∠=︒,6BC =,ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ,且有AD BD =,点E 是线段AB 上的动点(与A 、B 不重合),连接DE ,当BDE 是等腰三角形时,则BE 的长为___________.【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒,再根据BC =6,分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、(2)当BE =DE ,如图:∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°,∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°,∴ ADE 为直角三角形,又∵30A ∠=︒且AD =43,∴DE ,∴BE =4;(3)当BD =DE ,时,点E 与A 重合,不符合题意;综上所述,BE 为4或43.故答案为:4或43.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质和判定,勾股定理的应用,16.(2023·上虞市初二月考)在如图所示的三角形中,∠A =30°,点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点,分别连接BP 和PQ ,把△ABC 分割成三个三角形△ABP ,△BPQ ,△PQC ,若分割成的这三个三角形都是等腰三角形,则∠C 有可能的值有________个.【答案】7【分析】①当AB=AP ,BQ=PQ ,CP=CQ 时;②当AB=AP ,BP=BQ ,PQ=QC 时;③当APB ,PB=BQ ,PQ=CQ 时;④AP=PB,PB=PQ,PQ=QC时;根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.【解析】解:如图所示,共有9种情况,∠C的度数有7个,分别为80°,40°,35°,20°,25°,100°,50°.①当AB=AP,BQ=PQ,CP=CQ时;②当AB=AP,BP=BQ,PQ=QC时,③当AP=AB,PQ=CQ,PB=PQ时.④当AP=AB,PQ=PC,BQ=PQ时,⑤当AP=BP,CP=CQ,QB=PQ时,⑥当AP=PB,PB=BQ,PQ=CQ时;⑦AP=PB,PB=PQ,PQ=QC时.⑧AP=PB,QB=PQ,PQ=CC时.⑨BP=AB,PQ=BQ,PQ=PC时.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.17.(2022·浙江·八年级专题练习)已知:如图,线段AC和射线AB有公共端点A.求作:点P,使点P在射线AB上,且ACP为等腰三角形.(利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P,不写作法,保留作图痕迹)【答案】见解析.【分析】分别作出①AP=CP;②AP=AC;③AC=CP即可.【详解】如图所示,点1P、2P、3P即为所求.△是等腰三角形的三种情况,避免漏答案.【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形.特别注意ACP18.(2022·山东·周村二中八年级期中)在同一平面内,若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形,则称点P是△ABC的巧妙点.(1)如图,求作△ABC的巧妙点P(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).(2)如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=AC,若点P是△ABC的巧妙点,则符合条件的点P一共有几个?请直接写出每种情况下∠BPC的度数.(3)等边三角形的巧妙点的个数有()A.2个B.6个C.10个D.12个【答案】(1)见解析;(2)6个;∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°;(3)C.综上所述:∠BPC的度数40°或80°或140°或160°.(3)如图所示,分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线,再分别以等边三角形的三个顶点为圆心,等边三角形的边长为半径画圆,分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点,共有10个,故选:C.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质,构建等腰三角形的作法:定顶点,定圆心;定腰,定半径;以及等边三角形的性质等.熟练掌握相关性质是解题关键.19.(2022·黑龙江密山·八年级期末)如图,直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点,()2-+-=.(1)求A,B两点的坐标;(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805,求线段AB的长;(3)在(2)的条件下,x轴上是否存在点P,使△ABP是以AB为腰的等腰三角形,若存在请直接写出满足条件的点P的坐标.【答案】(1)A (0,6),B (8,0);(2)AB =10;(3)存在,(-8,0)、(-2,0)、(18,0).【分析】(1)由非负数的性质知OA =6,OB =8,据此可得点A 和点B 的坐标;(2)根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得;(3)先设点P (a ,0),根据A (0,6),B (8,0)得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==,,,再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得.(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A (0,6),B 点的坐标为(8,0)(2)1122OAB S AB d OA OB == △,245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ,使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P (a ,0),根据A (0,6),B (8,0)得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==,,①若PA =AB ,则22PA AB =,即226100a +=,解得a =8(舍)或a =−8,此时点P (−8,0);②若AB =PB ,即22AB PB =,即()21008a =-解得a =18或a =−2,此时点P (18,0)或(−2,0);综上,存在点P ,使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形,其坐标为(−8,0)或(18,0)或(−2,0).【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质,分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20.(2022秋·四川成都·八年级校考期中)如图,四边形OABC 是一张长方形纸片,将其放在平面直角坐标系中,使得点O 与坐标原点重合,点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,点B 的坐标为()3,4,D 的坐标为()2,4,现将纸片沿过D 点的直线折叠,使顶点C 落在线段AB 上的点F 处,折痕与y 轴的交点记为E .。
动点等腰三角形的分类讨论
动点等腰三角形的分类讨论等腰三角形是指两边长度相等的三角形,动点等腰三角形则是指在等腰三角形中,其中一个顶点在动态变化的情况下,讨论不同情况下的动点等腰三角形的特点和分类。
一、动点在底边上的情况:当动点在底边上时,等腰三角形的另外两个顶点分别位于底边的两侧。
此时,根据动点的位置不同,可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的中点上:当动点在底边的中点上时,等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧,且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下,等腰三角形的两个等边边长相等,且底角为直角。
2. 动点在底边的延长线上:当动点在底边的延长线上时,等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上,且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下,等腰三角形的两个等边边长相等,且顶角为直角。
3. 动点在底边的延长线上但不与底边相交:当动点在底边的延长线上但不与底边相交时,等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧的延长线上,且与底边的两个顶点的连线相等。
这种情况下,等腰三角形的两个等边边长相等,且顶角为锐角。
二、动点在底边外的情况:当动点在底边外时,等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
此时,根据动点的位置不同,可以将动点等腰三角形进一步分类。
1. 动点在底边的延长线上但不与底边相交:当动点在底边的延长线上但不与底边相交时,等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下,等腰三角形的两个等边边长不相等,且顶角为锐角。
2. 动点在底边的延长线上且与底边相交:当动点在底边的延长线上且与底边相交时,等腰三角形的另外两个顶点将分别位于底边的两侧。
这种情况下,等腰三角形的两个等边边长不相等,且顶角为钝角。
动点等腰三角形可以根据动点在底边上或底边外以及动点位置的具体情况进行分类。
不同情况下,等腰三角形的两个等边边长和顶角的大小都会有所不同。
通过对动点等腰三角形的分类讨论,可以更加全面地了解等腰三角形的特点和性质。
关于等腰三角形中分类讨论问题的探讨
浅探等腰三角形中分类讨论问题南陵县弋江蒲桥初中张一中摘要:在解答数学问题时,会遇到多解情况,需要我们对各种情况进行分析并加以讨论,就是我们通常说的分类讨论思想。
所谓分类讨论思想,就是在解答数学题时有时无法用同一种形式去解决,而需要选定一个标准,根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题,将这些小问题一一解决,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想。
关键词:等腰三角形分类讨论思想在日常教学练习及中考中经常会出现关于等腰三角形的题,此类题学生得分通常较低,学生没有分类思想,造成漏解情况。
下面就关于等腰三角形的各种分需类题型进行分析和讲解。
一、当已知边不能确定是腰还是底边时,需讨论例1、(1)已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm,求周长。
(2)等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm,求周长。
简析:已知条件中并没有指明5和7谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。
当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是7,则此时等腰三角形的周长等于17;当7是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于19。
故这个等腰三角形的周长等于17cm或19cm。
解(2)当腰长为5时,因为5+5<11,所以此时不能构成三角形;当腰长为11时,因为11+11>5,所以此时能构成三角形,因此三角形周长为:11+11+5=27;故这个三角形的周长为27cm。
说明:对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应分类讨论,但必须运用三角形的三边关系来验证是否能构成三角形。
二、当已知角不能确定是顶角或底角时,需讨论例2. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为()A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°简析:75°角可能是顶角,也可能是底角。
当75°是底角时,则顶角的度数为180°-75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°。
等腰三角形的分类讨论
1100或800
类型三:三角形的形状不明时需分类讨论
例:已知等腰△ABC 腰AB上的高CE 与另一腰AC
的夹角为30°,则其顶角的度数为 _6_0_°_或__1__2_0_°_
A E
B 图1
复习与回顾
1、等腰三角形的性质
①等腰三角形的两个底角相等.(等边对等角) ; ②等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.
2、等腰三角形判定
有两个角相等的三角形是等腰三角形. (等角对等边).
等腰三角形 分类讨论问题
平顶山市实验中学 孙艳霞
类型一:底和腰不明时需分类讨论
例:已知等腰三角形的两边长为3和7,则 其周长为___1_7__.
类型四:一边确定,确定等腰三角形个数时
练习:如图,已知点A的坐标为(2,2),点P在x轴上, △APO为等腰三角形,则满足 条件的点P的坐标为__(_2__2_,_0)___(__-__2__2_,0_)___(_4_,_0)___(__2_,0_)
类型四:一边确定,确定等腰三角形个数时
练习:如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B 是格点,以A,B,C为等腰三角形顶点的所有格点C的
个数为( B ) A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
方法总结 确定的边可能是等腰三角形的腰,也可能是
等腰三角形的底边,解决此类问题通常用圆规 能做到不重不漏.
课堂小结
类型一:底和腰不明时需分类讨论 类型二:顶角与底角不明时需分类讨论 类型三:三角形的形状不明时需分类讨论 类型四:一边确定,确定等腰三角形个数时
C
关于等腰三角形的分类讨论
关于等腰三角形的分类讨论一、形边的分类例如,已知等腰三角形的周长为15,其中一个边长为6,那么它的底边长多少?在解答这个问题的时候,题目当中的关键信息是边长为6的边不确定是腰还是底,这时分类讨论的两种情况分别是:第一种情况是设长为6的边为腰,则另两条边为6,3;第二种情况是设长为6的边为底,则另两条边是4.5,4.5.这时,要验证这样两组边长能不能组成一个三角形,也就是满不满足三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
经验证满足三角形的三边关系定理,所以等腰三角形的底边为6或4.5.例如,当已知等腰三角形的两个边的边长:一边长是6,另一边长是17,求这个三角形的周长时。
很多学生会想到应该分类讨论:第一种情况是设腰为6,底为17时,则三角形的三个边分别是6,6,17,这时要根据三角形的性质进行验证,因为6+6小于17,不符合三角形的性质,这样的三个边组不成三角形,所以这种假设是不成立的。
第二种情况是设腰为17,底为6,则三角形的三个边分别是17,17,6,根据三角形的性质进行验证,经验证符合三角形的性质,所以这个三角形是成立的,则其周长为17+17+6=40.二、形角的分类例如,已知等腰三角形的一个角是另一个角的2倍,求这个等腰三角形的三个内角大小时。
设一个角是x,另一个角就是2x,这时就要分情况进行讨论了。
第一种情况是x为顶角,则另两个角都是2x,根据三角之和为180°,得x+2x+2x=180°,解得x=36°,则这个等腰三角形的三个内角分别是36°,72°,72°。
第二种情况是当x为底角时,则另两个角是x,2x,得x+2x+x=180°,解得x=45°,则这个等腰三角形三个内角分别是45°,45°,90°。
所以这个等腰三角形的三个内角大小是36°,72°,72°或90°,45°,45°。
等腰三角形中的分类讨论
等腰三角形中的分类讨论在等腰三角形中有很多需要分类讨论的问题。
分类讨论最关键的是要做到不重不漏,难点在于如何确定分类标准。
一般地,我们可以有两种思路对等腰三角形进行分类讨论:一种思路是按等腰三角形的顶角的顶点进行分类讨论,一种思路是按照等腰三角形的腰进行分类讨论。
一、求等腰三角形的边长或周长问题例1. 已知等腰三角形的两边长为7和3,则它的周长为.【解析】本题按照腰进行分类讨论即可,7和3都有可能是等腰三角形的腰,但由三角形三边关系可知,排除了3为腰长的可能。
但需注意的是,虽然本题答案只有一个,但过程中得要有分类讨论。
【答案】17二、求等腰三角形的角度例2. 已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的顶角度数. 【解析】由于本题没有给出图形,所以题中腰上的高需要分类讨论,当等腰三角形的顶角为锐角时,腰上的高在三角形内部,此时顶角是30°;当等腰三角形的顶角为钝角时,腰上的高在三角形的外部,此时顶角为150°.【答案】30°或150°三、在平面直角坐标系中求等腰三角形顶点坐标例3. 在平面直角坐标系中,已知A(2,-2),在y轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,求点P的坐标.【解析】由于题目中没有明确等腰三角形的顶角顶点,所以需要对此进行分类讨论。
点A、O、P均有可能为等腰三角形顶角的顶点。
按此分类讨论,若点A为顶点,则点P坐标为(0,-4);若点O为顶点,则点P坐标为(0,2-),或(0,222);若点P为顶点,此时,OA为底边,点P在线段OA的中垂线上,则点P坐标为(0,-2).【答案】(0,-4),(0,2-),(0,222),(0,-2)例4. 如图,在平面直角坐标系中,OABC是矩形,点A、C坐标分别为A(10,0),C(0,4),D是OA的中点,P在BC边上运动,当△ODP多少?【解析】由于题目只是给出△ODP是腰长为5的等腰三角形,所以需要对等腰三角形的腰进行分类讨论。
等腰三角形中的分类讨论思想
3.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个 三角形的各个内角的度数.
解:设在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D. (1)若高与底边的夹角为25°,高一定在△ABC的内部,如 图①所示. ∵∠DBC=25°, ∴∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°. ∴∠ABC=∠C=65°. ∴∠A=180°-2×65°=50°. (2)若高与另一腰的夹角为25°,如图②,当高在△ABC的 内部时,
4.△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在直线 相交所得的锐角为40°.求∠B的度数.
解:此题分两种情况讨论: (1)如图①,AB边的垂直平分线与AC边交于点D, ∠ADE=40°,则∠A=50°. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C=(180°-50°)÷2=65°.
(2)如图②,AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D, ∠ADE=40°,则∠DAE=50°,∴∠BAC=130°. ∵AB=AC, ∴∠B=∠C=(180°-130°)÷2=25°. 故∠B的度数为65°或25°.
5.等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm,一腰上的中线BD 把其周长分为差为3 cm的两部分,求腰长.
解:∵BD为△ABC的AC边上的中线, ∴AD=CD. (1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3 cm时,AB-BC=3 cm. ∵BC=5 cm, ∴AB=5+3=8(cm).
(2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3 cm时,BC-AB=3 cm. ∵BC=5 cm, ∴AB=5-3=2(cm). 但是当AB=2 cm时,三边长分别为 2 cm,2 cm,5 cm.而2+2<5,不合题意,应舍去. 故腰长为8 cm.
又∵∠OBE=180°-60°=120°,∴∠OBE=∠OMF. ∴△OMF≌△OBE(ASA). ∴BE=MF. ∵AF=1,∴FM=1. ∴BE=1. (2)当点F在线段DA的延长线上时,如图②,作OM∥AB交 AD于点M,同(1)可得△OMF≌△OBE,DM=2,AD=4, ∴BE=FM. ∵AF=1,∴FM=3.∴BE=3. 综上所述,BE的长为1或3.
等腰三角形分类讨论专题复习
等腰三角形分类讨论专题复习等腰三角形分类讨论一、等腰三角形的分类等腰三角形可以按照边、角、外角、高、中线等方式进行分类。
具体分类如下:1.边分类:指等腰三角形两边的长度是否相等,分为等腰三角形和非等腰三角形。
2.角分类:指等腰三角形两个底角是否相等,分为等腰三角形和非等腰三角形。
3.外角分类:指等腰三角形外角的大小是否相等,分为等腰三角形和非等腰三角形。
4.高分类:指等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角,分为等腰三角形和非等腰三角形。
5.中线分类:指等腰三角形的一腰上的中线分三角形的周长为两部分,分为等腰三角形和非等腰三角形。
6.中垂线分类:指等腰三角形的一腰上的中垂线与另一腰的夹角,分为等腰三角形和非等腰三角形。
思考题:在ABC三边所在的直线上找一点D,使得ABD 为等腰三角形,画图说明点D所在的位置。
二、练1.若一个等腰三角形的一个外角等于100°,则该等腰三角形的底角的度数是多少?2.已知等腰三角形的一边等于3,一边等于6,那么它的周长等于多少?3.已知等腰三角形的一边等于5,周长为12,则一边等于多少?4.已知△ABC的周长为24,AB=AC,AD⊥BC于D,若△ABD的周长为20,则AD的长为多少?5.等腰三角形的底边长为6cm,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分,这两部分之差是3cm,求这个等腰三角形的腰长。
6.在等腰三角形中,AB的长是BC的2倍,周长为40,则AB的长为多少?7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则顶角的度数为多少?8.等腰三角形中,两条边的长分别为4和9,则它的周长是多少?9.若一个等腰三角形有一个角为100°,则另两个角为多少?10.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分,求这个等腰三角形的底边长。
11.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°,求这个三角形的三个内角的度数。
初中数学重难点突破:等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解:分类讨论求角度例1:等腰三角形有一个内角是50°,则其余两个内角的度数为 .解:当50°角是顶角时,则底角为(180°-50°)÷2=65°,则其余两个角的度数为65°,65°;当50°角是底角时,则顶角为180°-50°×2=80°,则其余两个角的度数度数为50°,80°.所以,本题的答案为:65°,65°或50°,80°.总结:(1)在等腰三角形中求内角的度数时,要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定,则直接利用三角形的内角和定理求解;否则,要分类讨论,分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.(2)若等腰三角形中已知的角是直角或钝角,则此角必为顶角,不用再分类讨论.分类讨论求长度解:当3x-1= x+1时,解得x=1,此时三角形的三条边长分别为2,2,5,因为2+2<5,不符合三角形三边关系,所以x=1舍去;当3x-1= 5时,解得x=2,此时三角形的三条边长分别为5,3,5,因为5+3>5,符合三角形三边关系,所以x=2成立;当x+1=5时,解得x=4,此时三角形的三条边长分别为11,5,5,因为5+5<11,不符合三角形三边关系,所以x=4舍去.所以,本题答案为2.总结:利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时,当不确定哪两条边是腰时,要进行分类讨论,计算出结果后要验证,检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1.已知等腰三角形的两边长a,b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25=0,那么这个等腰三角形的周长为()A.8B.12C.9或12D.92.如果等腰三角形两边长是6cm和12cm,那么它的周长是()A.18cm B.24cm C.30cm D.24或30cm3.等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°,则顶角的度数为()A.60°B.150°C.60°或120°D.60°或150°4.已知等腰△ABC中,∠A=50°,则∠B的度数为()A.50°B.65°C.50°或65°D.50°或80°或65°5.已知等腰三角形的顶角等于50°,则底角的度数为度.6.等腰三角形一个外角是150°,求一腰上的高与另一腰的夹角是.7.在等腰三角形ABC中,∠A=2∠B,则∠C的度数为.8.在△ABC中,AB=AC,∠B=40°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD是直角三角形,则∠DAC的度数是.9.等腰三角形一边长等于4,一边长等于9,它的周长是.10.等腰三角形的一个内角是80°,则它顶角的度数是.11.已知一个等腰三角形的一边长为2cm,另一边长为5cm,则这个等腰三角形的周长是cm.12.一等腰三角形的底边长为15cm,一腰上的中线把三角形的周长分为两部分,其中一部分比另一部分长5cm,那么这个三角形的周长为.13.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个等腰三角形的底角为.14.如图,△ABC中∠ABC=40°,动点D在直线BC上,当△ABD为等腰三角形,∠ADB=.15.等腰三角形的周长为21cm.(1)若已知腰长是底边长的3倍,求各边长;(2)若已知一边长为6cm,求其他两边长.16.如图,在△ABC中,AB=AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分,求△ABC的三边长.17.已知在△ABC中,AB=20,BC=8,AC=2m﹣2.(1)求m的取值范围;(2)若△ABC是等腰三角形,求△ABC的周长.18.已知:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°.(1)如图,点D在AB边上,点E在AC边上,BD=CE,BE与CD交于点F.求证:BF=CF;(2)若点D是AB边上的一个动点,点E是AC边上的一个动点,且BD=CE,BE与CD交于点F.当△BFD是等腰三角形时,求∠FBD的度数.参考答案:1.B . 2.C . 3.C . 4.D .5. 65 . 6. 30°或60° . 7. 45°或72° . 8. 10°或50° .9. 22 . 10. 80°或20° . 11. 12 . 12. 55cm 或35cm .13. 67.5°或22.5° . 14. 40°或100°或70°或20° .15.解:(1)如图,设底边BC =a cm ,则AC =AB =3a cm ,∵等腰三角形的周长是21cm ,∴3a +3a +a =21,∴a =3,∴3a =9,∴等腰三角形的三边长是3cm ,9cm ,9cm ;(2)①当等腰三角形的底边长为6cm 时,腰长=(21﹣6)÷2=7.5(cm );则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ,能构成三角形;②当等腰三角形的腰长为6cm 时,底边长=21﹣2×6=9;则等腰三角形的三边长为6cm ,6cm 、9cm ,能构成三角形.故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ,7.5cm 或6cm 、9cm .16.解:∵BD 是AC 边上的中线,∴AD =CD=21AC , ∵AB =AC ,∴AD =CD=21AB , 设AD =CD =x cm ,BC =y cm ,分两种情况:当时,即,解得:, ∴△ABC 的各边长为10cm ,10cm ,7cm ;当时,即,解得:, ∴△ABC 的各边长为14cm ,14cm ,11cm ;综上所述:△ABC 各边的长为10cm ,10cm ,7cm 或14cm ,14cm ,11cm .17.解:(1)在△ABC中,AB=20,BC=8,AC=2m﹣2.∴20﹣8<2m﹣2<20+8,解得:7<m<15;∴m的取值范围为:7<m<15;(2)∵△ABC是等腰三角形,∴分两种情况:当AB=AC=20时,∴△ABC的周长=20+20+8=48;当BC=AC=8时,∵8+8=16<20,∴不能组成三角形;综上所述,△ABC的周长为48.18.(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,在△BCD与△CBE中,∴△BCD≌△CBE(SAS),∴∠FBC=∠FCB,∴BF=CF;(2)解:∵AB=AC,∠BAC=45°,∴,由(1)知,∠FBC=∠FCB,∴∠DBF=∠ECF,设∠FBD=∠ECF=x,则∠FBC=∠FCB=(67.5°﹣x),∠BDF=∠ECF+∠BAC=x+45°,∠DFB=2∠FBC=2(67.5°﹣x)=135°﹣2x,∵△BFD是等腰三角形,故分三种情况讨论:①.当BD=BF时,此时∠BDF=∠DFB,∴x+45°=135°﹣2x,得x=30°,即∠FBD=30°;②当BD=DF时,此时∠FBD=∠DFB,∴x=135°﹣2x,得x=45°,即∠FBD=45°;③当BF=DF时,此时∠FBD=∠FDB,∴x=x+45°,不符题意,舍去;综上所述,∠FBD=30°或45°.。
等腰三角形中的分类讨论问题归类
等腰三角形中的分类讨论问题归类等腰三角形是高中几何学中的重要概念之一,它具有一些特殊的性质和分类方法。
本文将对等腰三角形进行分类讨论,并归类相关问题。
通过对等腰三角形的深入了解,我们能够更全面地掌握它的性质和应用。
一、定义与性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
根据这个定义,我们可以推导出等腰三角形的一些性质。
首先,等腰三角形的底角(底边所对的角)是两条边所对应的顶角的一半。
其次,等腰三角形的高线(从顶点到底边之间的线段)也是它的中线和中线所在的高线相等。
此外,等腰三角形的角平分线也是高线和中线。
这些性质在解决等腰三角形相关问题时非常有用。
二、基于边长的分类根据等腰三角形底边和两边的长度关系,我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形:当两边的长度小于底边时,所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下,底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形:当两边的长度等于底边时,所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下,底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形:当两边的长度大于底边时,所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下,底边所对应的顶角是一个钝角。
三、基于角度的分类根据等腰三角形底边所对应的顶角的大小,我们可以将等腰三角形分为以下几种情况。
1. 等腰锐角三角形:当底角小于90度时,所形成的等腰三角形是一个锐角三角形。
在这种情况下,底边所对应的顶角是一个锐角。
2. 等腰直角三角形:当底角等于90度时,所形成的等腰三角形是一个直角三角形。
在这种情况下,底边所对应的顶角是一个直角。
3. 等腰钝角三角形:当底角大于90度时,所形成的等腰三角形是一个钝角三角形。
在这种情况下,底边所对应的顶角是一个钝角。
四、应用与推广了解等腰三角形的分类讨论有助于我们在解决相关几何问题时快速准确地判断和运用。
例如,当我们需要证明一个三角形是等腰三角形时,可以根据其边长关系或角度关系进行分类讨论。
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初中数学等腰三角形的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形,就是因为这种特殊性,在具体处理问题时往往又会出现错误,因此,在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。
那么在什么情况下应该分类讨论呢?本文分以下几种情形讲述。
一. 遇角需讨论
例1. 已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为( )
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或75°
简析:75°角可能是顶角,也可能是底角。
当75°是底角时,则顶角的度数为
180°-75°×2=30°;当75°角是顶角时,则顶角的度数就等于75°。
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°。
故应选D 。
说明:对于一个等腰三角形,若条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个已知角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解。
二. 遇边需讨论
例2. 已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________。
简析:已知条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论。
当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,则此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,则此时周长等于17。
故这个等腰三角形的周长等于16或17。
说明:对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪是底哪是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论。
三. 遇中线需讨论
例3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分,求这个等腰三角形的底和腰的长。
简析:已知条件并没有指明哪一部分是9cm ,哪一部分是12cm ,因此,应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是x cm ,底边长为y cm ,可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+,1221,921y x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.92
1,1221y x x x 解
得⎩⎨⎧==,9,6y x 或⎩
⎨⎧==.5,8y x 即当腰长是6cm 时,底边长是9cm ;当腰长是8cm 时,底边长是5cm 。
说明:这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。
四. 遇高需讨论
例4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数。
简析:依题意可画出图1和图2两种情形。
图1中顶角为45°,图2中顶角为135°。
例5. 为美化环境,计划在某小区内用230m 的草皮铺设一块一边长为10m 的等腰三角形绿地,请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
简析:在等腰ΔABC 中,设AB=10m ,作CD ⊥AB 于D ,由3021=⋅⨯=
∆CD AB S ABC ,可得CD=6m 。
如下图,当AB 为底边时,AD=DB=5m ,所以)(6122m AD CD BC AC =+==。
如下图,当AB 为腰且ΔABC 为锐角三角形时,
m AC AB 10==,所以)(822m CD AC AD =-=,
)(102,222m BD CD BC m BD =+==。
如下图,当AB 为腰且ΔABC 为钝角三角形时,
m BC AB 10==,)(822m CD BC BD =-=, 所以)(106,1822m AD CD AC m AD =+==。
说明:三角形的高是由三角形的形状决定的,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外。
五. 遇中垂线需讨论
例6.在ΔABC 中,AB=AC ,AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=____________。
简析:按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图。
如图1,当交点在腰AC 上时,ΔABC 是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以
∠B=∠C=2
1(180°-40°)=70°。
如图2,当交点在腰CA 的延长线上时,ΔABC 为钝角三有形,此时可求得
∠BAC=140°,所以∠B=∠C=2
1(180°-140°)=20° 故这个等腰三角形的底角为70°或20°。
说明:这里的图2最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题。
六. 和方程问题的综合讨论
例7. 已知ΔABC 的两边AB ,AC 的长是关于x 的一元二次方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根,第三边BC 长为5。
(1)k 为何值时,ΔABC 是以BC 为斜边的直角三角形?
(2)k 为何值时,ΔABC 是等腰三角形,并求ΔABC 的周长。
简析:(1)经计算,⊿=1,x 1=k+1,x 2=k+2。
由勾股定理得k=2。
(2)若ΔABC 是等腰三角形,则有AB=AC ,AB=BC ,AC=BC 这三种情形。
方程023)32(22=++++-k k x k x 可化为0)1)(2(=----k x k x ,即21+=k x ,12+=k x ,显然21x x ≠,即AC AB ≠。
当AB=BC 或AC=BC 时,5是方程023)32(22=++++-k k x k x 的根。
当5=x 时,代入原方程可得01272=+-k k ,解得31=k ,42=k 。
当3=k 时,原方程的解为4,521==x x ,等腰ΔABC 的三边长分别为5,5,4,周长为14。
当4=k 时,原方程的解为5,621==x x ,等腰ΔABC 的三边长分别为5,5,6,周长为16。
所以当3=k 或4=k 时,ΔABC 是等腰三角形,周长分别为14或16。
七、找点构造等腰三角形需讨论
例8在直角坐标系中,O 为坐标原点,A (1,1);在坐标轴上确定一点P ,使ΔAOP 为等腰三角形,则符合条件的点P 共有( )
A 、4个
B 、6个
C 、8个
D 、1个
解:(1)、如图一,以OA 为腰,以O 为顶角顶点时,只须以O 为圆心,以OA 为半径作圆,与坐标轴分别交于P 1
0)P 2
(P 3
(0),P 4
(0,P 1A ,P 2A ,P 3A ,P 4A ,可得到四个等腰三角形ΔOAP 1,ΔOAP 2,ΔOAP 3,ΔOAP 4
(2)、如图二,以OA 为腰,以A 为顶角顶点时,只须以A 为圆心,以AO 为半径作圆,与坐标轴分别交于P5(2,0)P6(0,2),分别连接P 5A ,P 6A ,可得到两个等腰三角形ΔOAP 5,ΔOAP 6,
(3)、如图三,当OA 为底时,作OA 的中垂线分别与坐标轴相交于P 7(1,0),P 8(0,1)。
图图一一。