《分数乘法(三)(分数乘分数)》编写说明及教学建议

《分数乘法（三）（分数乘分数）》编写说明及教学建议
学习目标
1．经历运用面积模型探索分数乘分数计算方法的过程，理解分数乘分数的意义。

2．掌握分数乘分数的计算方法，能正确地进行分数乘分数的乘法运算。

3．会解决有关的实际问题，体会分数乘分数的乘法在生活中的应用。

编写说明
理解分数乘分数的意义，探索分数乘分数的计算方法是本节的主要内容。

同时，它也是分数乘法中的重点和难点。

教科书设计了三个问题和“试一试”。

其中，第一个问题是探究分数单位乘分数单位的乘法的意义及其计算方法；第二个问题是分数乘分数的乘法的意义及其计算方法；第三个问题结合直观的或抽象的计算过程，归纳分数乘分数的乘法的计算方法，能正确地进行运算。

·读一读，想一想，剩下的部分占这张纸条的几分之几？
用分数乘法诠释我国古代的哲学道理，用图形直观帮助学生理解分数单位乘分数单位的意义，即单位量与单位数都是分数单位，表示一个分数单位的几分之一，（以两个分数单位的分母的积为分母）。

·=？用一张长方形的纸折一折，想一想，再算一算。

这个问题着重于探索分数乘分数的计算方法，教科书根据算式的意义，运用直观操作的方式展现了探索过程。

同时，用红色虚线框出了“”（分数乘分数）的关键计算步骤，意在突出分数分的方法。

需要指出的是，关键步骤“”并非自然导出，而是比较算式和结果数值之间的关系后，作为一个合理的解释而得出来的。

其实一般的两个分数相乘，也可以转化为两个分数单位的乘法，计算方法如下：
需要说明的是，这个方法不需要学生掌握，但建议教师了解。

考虑学生的接受能力，教科书只呈现直观的运算，没有呈现上述方法的运算，但教师要明白分数乘法运算的推理过程，打通数学知识的内部联系。

同时，教师还要知道所谓运算法则，其实就是对运算的思维过程进行提炼的结果。

如教科书上启发学生总结归纳的：两个分数相乘，只要分子乘分子、分母乘分母就可以了；能约分的可以先约分。

这就概括了分数乘分数的运算法则。

同时还要引导学生知道：分数乘分数的法则也涵盖了分数乘整数的情况，只要把整数看成分母是1的分数即可。

试一试
在掌握分数乘法的计算方法的基础上，教科书又提出两个问题，探究分数乘法的积的变化规律。

第一个问题是探讨“一个数与分数相乘，积一定小于这个数”的说法是否正确；第二个问题是探究一个数乘分数的积的变化规律。

•乐乐认为：一个数与分数相乘，积一定小于这个数。

你同意吗？举例说明你的想法。

在非零自然数中，乘法有这样的规律：积总是大于乘数。

但在分数范围内，上述整数乘法的规律并不成立。

所以，理解一个数与分数相乘，积不一定小于这个数的问题就成为了本阶段学习中的一个典型困难。

据此，教科书安排了本问题进行专门]的讨论。

例如，2×=，其中积比乘数2小。

但是，如果持乐乐那样的观点也是错误的。

否定乐乐的观点，只要举出一个反例，例如，2×=，＞2。

笑笑不同意乐乐的观点，但也没有全盘否定，所以她说“不一定”，并举出一个正例和一个反例。

这个过程，很好地体现出了联想（联系整数乘法的运算规律）、猜想（猜想分数乘法的运算规律）、质疑的过程。

当然，数学上不允许以偏概全，“不一定”就是对“一定”的全盘否定，即乐乐的观点是错误的，没有折中的余地。

但因为学生认识能力有限，在小学阶段就能知道“不一定”就行了，不必进一步严谨苛求。

•算一算，并观察这些算式，你发现了什么？
在上一个问题的基础上，教科书呈现一组题目，让学生计算同一个分数分别与不同大笑（小于、等于及大于1）的分数相乘的积，探索分数乘分数中，积与因数大小之间的规律。

这样的编排有两个目的：一是进一步熟悉分数乘分数的计算方法；二是使学生了解到“一个数与分数相乘的积不一定小于这个数”的数学现象。

进一步还可以知道乘积小于1，等于1和大于1的条件，以开拓学生的视野。

教学建议
本节课内容适合用探究性学习方式进行教学。

•读一读，想一想，剩下的部分占这张纸条的几分之几？
教学时，建议参考以下教学环节。

第一，建议先引导学生阅读“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这段话，理解这段话的意思，体会其中精深而有趣的数学现象。

第二，提出问题：古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，那么每次取其半之后，剩下的部分占这张纸条的几分之几呢？转入对此问题的思考。

第三，解决问题。

解决这个问题，有两种思路：一是学生独立思考与探索，利用分数直观图解决问题；二是建议请学生看书，在阅读中思考和理解直观图所蕴含的意义及算式所表达的意义，以培养学生的数学
阅读理解能力。

问题中“的”表示为“×”是一个难点，可以启发学生类比求“一个数的几分之几是多少”的计算方法来理解“×”的合理性。

而“×=”，首先并不是根据计算得出结果，而是从直观图中看出结果的，所以，要引导学生把直观图和算式联系起来看。

在此基础上，学生可以用同样的方法得出“×”的结果。

第四，对于学有余力的学生，建议教师尝试引导学生探索并理解分数单位乘法的计算方法：两个分数单位相乘，分母相乘，分子是1（积也是一个分数单位）。

可以举类似的例子说明规律的可行性。

•=？用一张长方形的纸折一折，想一想，再算一算。

这是本节的重点和难点。

教学时，建议先引导学生思考：在探索“”的计算方法时，我们能不能从上一个问题解决的方法中得到一些启示？如果发现学生仍有困难，建议鼓励学生利用分数直观模型去试一试。

从以往的教学实践来看，多数学生会有困难。

因此，建议教师应给予较多的、更具体的启发指导与帮助。

如，引导学生体会两次折叠的方向有什么不同？各次折叠的作用是什么？也可以结合上一个问题，先让学生用一张长方纸折一折“”与“”由此获得一些经验，再来折“”。

最后，在得出乘积后，需引导学生比较算式和结果数值之间的关系，从而得出红色虚线框出的“”这个关键步骤。

•折一折，算一算，说一说。

教学时，有以下两种思路，供教师根据学生的实际情况参考选用。

一是建议放手让学生自己独立完成，然后进行交流，在交流算法的过程中，总结分数乘分数的计算方法。

二是先引导学生回想“”这个关键步骤，并建议学生按照这一方法与格式完成后面各题，然
后由学生总结分数乘分数的计算方法。

需要说明的是，无论是哪种教学思路，对学习有困难的学生，建议鼓励其用画图的方式理解。

试一试
•乐乐认为：一个数与分数相乘，积一定小于这个数。

你同意吗？举例说明你的想法。

首先，建议教师出示乐乐的猜想，鼓励学生思考这个猜想是否成立。

其次，建议学生利用自己的方式说明自己的思考过程。

学生可能通过举例子发现乐乐猜想可能成立，也可能不成立。

在这个过程中，教师不要忙着去评价学生的想法，而是鼓励学生畅所欲言，用尽可能多的方法解释自己的想法，为下一个问题的学习打下基础。

•算一算，并观察这些算式，你发现了什么？
在上一个问题讨论的基础上，建议教师呈现这样一组题目，鼓励学生独立完成，在小组交流的基础上进行全班交流、讨论，取得共识。

如果情况允许，建议教师提出思考问题：什么情形下积小于、等于和大于这个数？（当这个分数值分别小于、等于和大于l时，乘积小于、等于和大于这个数。

）同时，回应上一个问题中乐乐的猜想是否正确，为什么？从而明白，一个反例可以推翻一个结论，体会反例在验证猜想是否正确中的作用。