算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：算术平均数与几何平均数(1)教学目的：１．学会推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理．2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等.３．通过掌握公式的结构特点,运用公式的适当变形,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力.教学重点：均值定理证明教学难点:等号成立条件教学过程:一、复习引入：不等式的基本性质.二、讲解新课：１．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a２．定理：如果a,b 是正数,那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 说明：ⅰ)我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数,因而,此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的:前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数．ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件. 3.均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为a +b 的线段为直径作圆,在直径ＡB 上取点Ｃ，使ＡＣ=a,C Ｂ＝b.过点C 作垂直于直径AB 的弦D Ｄ′,那么CB CA CD ⋅=2,即ab CD = 这个圆的半径为2b a +,显然,它不小于CD ,即ab b a ≥+2,其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时,等号成立.三、讲解范例：例1 已知x ，y 都是正数，求证:（1）如果积x ｙ是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2)如果和x ＋ｙ是定值S ,那么当ｘ=y 时,积x ｙ有最大值.412S 说明:此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件:ⅰ)函数式中各项必须都是正数；ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数; a b ab D'D A B Cⅲ）等号成立条件必须存在.例2 已知：a ｂ>0,求证:2b a a b+≥． 当且当a =b 时等号成立. 反思:由本例可以得出什么结论?例3 已知a ,b 都是正数,求证222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a =ｂ时等号成立.(介绍ｎ个正数的“调和平均数”、“几何平均数”、“算术平均数”、“平方平均数”的概念及它们的关系）四、课堂练习:１.已知a 、ｂ、c 都是正数,求证(a +b )（ｂ+c ）(c ＋a )≥8a ｂｃ２.已知x 、y 都是正数,求证：(x ＋y )（x 2+ｙ2）(ｘ３+y 3)≥8x 3y ３.3．求证:(2b a +）2≤222b a +. 五、作业:(1）“a +ｂ≥2ab ”是“ａ∈R +,b ∈Ｒ＋”的( ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 Ｃ.充要条件 D ．即不充分也不必要条件(２)设b ＞a >0，且ａ+b ＝1，则此四个数21，2a ｂ,a 2＋b 2,b 中最大的是( ) A.b B.a ２+b ２ ﻩ C ．2a ｂ D ． 21 (３）设a ,b ∈Ｒ,且ａ≠b ，a +ｂ＝2,则必有（ ）A.1≤ａb ≤222b a + B ．a ｂ<1<222b a + Ｃ.ab <222b a +<1 D . 222b a +<ab <1 (4)已知a ，b ∈R +且a ＋b =4,则下列各式恒成立的是（ )Ａ.211≥ab B.b a 11+≥1 C.ab ≥2 D ．41122≤+b a (５)若a ＞b >0,则下面不等式正确的是( ) A.ab b a b a ab <+<+22 B ．ab ba ab b a <+<+22 C.22b a ab b a ab +<<+ Ｄ.22b a b a ab ab +<+< (６）若a ,ｂ∈Ｒ且ａ≠b ,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a ５＋b ５＞ａ3b 2+a 2b 3 ③ａ２+b ２≥2（a -ｂ-1） ④a b b a +>2 Ａ．4 B.3ﻩ ﻩﻩ Ｃ.2 D.1（7)设a ,ｂ，c 是区间(0,１)内的三个互不相等的实数且p =lo ｇc 2b a +,q =2log log b ac c +，r ＝2log 21b a c +,则p ,ｑ,ｒ的大小关系是（ ) Ａ.p >ｑ＞r B.p ＜ｑ＜ｒﻩﻩC ．r <P <ｑ Ｄ.p ＜r <q算术平均数与几何平均数(2）教学目的:１.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入:１．重要不等式：（1)如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a(2）如果ａ,ｂ都是正数,那么 222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a ＝b 时等号成立．2.上课时中“例1”的条件、结论及注意事项.二、讲解新课：定理:如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++(当且仅当ａ=b=c 时取“=”)推论：如果+∈R c b a ,,,那么33abc c b a ≥++ (当且仅当a ＝ｂ＝c 时取“=”） 三、例题例１已知a ,ｂ，c ,d 都是正数,求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++例2 求下列函数的最小值,并求相应的x 值．1(1)(0);1(5)(2)(2)(1).1y x x x x x y x x =+≥+++=>-+例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为48００ｍ3，深为3m ，如果池底每１m ２的造价为１5０元,池壁每1m 2的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元？四、课堂练习:1．已知ｘ≠0，当x 取什么值时,x 2+281x 的值最小?最小值是多少? ２.一段长为L m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大,最大面积是多少?四、作业:(1)求函数y ＝2x 2+x3(x >0)的最小值． (２)求函数y ＝x 2+41x（x ＞0)的最小值. (３)求函数ｙ＝3x 2-2x 3（０＜x <23)的最大值． (4)求函数y =x （1-x 2）(０＜ｘ＜1)的最大值. （5)设a >0，b >０,且ａ2+22b =１，求ａ21b 的最大值.算术平均数与几何平均数(3)教学目的：1.进一步掌握均值不等式定理；2.会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点:均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学过程：一、复习引入：1.重要不等式：(１）如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a（２)如果a ,b 都是正数,那么222.1122a b a b ab a b ++≤≤≤+ 当且当a =b 时等号成立.(3)如果a ｂ＞０，那么2b a a b+≥. 当且当a =b 时等号成立． （4）如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当a=ｂ=c 时取“＝”)（5）如果+∈R c b a ,,,那么33abc c b a ≥++ (当且仅当a ＝b=ｃ时取“=”） 2. 利用“均值不等式”求最值．二、例题 例1 (１)已知lg ｘ+lgy=2，求yx 11+的最小值; (2)已知ｘ>0,y>0，且 2x ＋5ｙ＝2０,求lgx ＋lgy 的最大值；（3)已知0<x ＜2,求x(8-3x)的最大值.例2 求下列函数的最大值：215(1)42();4542(2)(2).1y x x x x y x x x =-+<-+=>-++例3 (1)已知a ＞b>0,求1()a a b b +-的最小值. (2）已知310<<x ,求)31(2x x -的最大值．例4 求函数)0(sin 9sin π<<+=x xx y 的最小值.例５ 从一块半径为R 的半圆铁板上剪一块矩形，当矩形的长和宽各取多少时矩形的面积最大，并求这个最大面积.三、作业1.填空（1)如果b>ａ>0,则b,2ab,ａ2+ｂ2的大小顺序是 . (2) 函数222)1(164)(++=x x x f 的最小值是 （3)当ｘ= 时，函数)20)(24()(22<<-=x x x x f 取得最大值(4）若x>0,xx x f 24618)(--=的最大值是 (５)若ab+ｂc+c ａ＝１，则当 时｜a+ｂ+c|取得最小值 （6）2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则设的最大值是 (7)45)(22++=x x x f 的最小值是（８)若ｘ2+ｙ2=1,Ｓ=(１－xy ）（1+xy),则S 的取值范围是（９)若x ｙ＞0，ｘ2ｙ=2,则x ｙ+x2的最小值为2.已知2160,()a b a b a b >>+-求的最小值. 3.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2米的无盖长方体的沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米,已知流出的水中该杂质的质量份数与a 、b 的乘积ab 成反比.现有制箱材料60平方米,问ａ、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量份数最小(Ａ、B 孔面积忽略不计).４.如图，在△AB Ｃ中,∠Ｃ＝90°,AC ＝３，BC =４,一条直线分△ＡBC 的面积为相等的两部分，且夹在AB 与BC 之间的线段最短,求此线段长.。
算术平均数与几何平均数
6.2.3 算术平均数与几何平均数●教学目标(一)教学知识点1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，等号当且仅当a ＝b 时成立. 2.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a ，b ∈R ＋，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，等号当且仅当a ＝b 时成立.(二)能力训练要求通过两个例题的研究，进一步掌握均值不等式定理，并会用此定理求某些函数的最大、最小值.(三)德育渗透目标掌握两个正数的算术平均数和几何平均数顺序定理及相应的一组不等式，使学生认清定理的结构特点和取“＝”条件.要在分析具体问题的特点的过程中寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a 2＋b 2≥2ab 和2b a +≥ab （a ＞0，b ＞0）的应用，应注意： (1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy ＝4时，如果没有x 、y 都为正数的条件，就不能说x ＋y 有最小值4，因为若都是负数且满足xy ＝4，x ＋y 也是负数，此时x ＋y 可以取比4小的值.(2)这两个(或三个)数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.例如，求当x ＞0时，y ＝x 2＋x 1的最小值，若写成y ＝x 2＋x 1≥2x xx 212=⋅，就说“最小值为2x ”是错误的，因为x 2·x 1不是定值，而2x 仍为随x 变化而变化的值.正确的解法是：由于x 2·x 21·x 21＝41为定值，故x 2＋x 1＝x 2＋x21＋x 21≥3·3322232121=⋅⋅x x x ，即y 的最小值为2233. (3)要保证等号确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值. ●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.例如“教学重点”(2)中y ＝x 2＋x 1凑成y ＝x 2＋x 21＋x21. ●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张●教学过程Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，(打出投影片§6.2.2 A ，教师引导学生略作分析)，使同学们掌握下面几个重要的不等式：(1)a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (2)ab b a ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (3) ba ab +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； (4) 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号； (5)a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.在此基础上，上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［师］本题显然是均值不等式的应用，在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.［生］∵x ，y 都是正数∴xy y x ≥+2(1)当积xy ＝P 为定值时，有P y x ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .(3)当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤， 即xy ≤41S 2. 上式中，当x =y 时取“=”号，因此，当x =y 时积x y 有最大值41 S 2. ［师生共析］通过对本题的证明，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x 1≥2成立，并由此得出x ＋x 1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x 1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.［例2］已知a ，b ，c ，d 都是正数，求证（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师］运用均值不等式，结合不等式的基本性质，是证明本题的关键.［生］∵a ，b ，c ，d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0. ∴cd ab cd ab ⋅≥+2＞0， bd ac bd ac ⋅≥+2＞0. 由不等式的性质定理4的推论1，得4))((bd ac cd ab ++≥abcd 即（ab ＋cd ）（ac ＋bd ）≥4abcd .［师生共析］用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［师］应用题的最值问题，主要是选取适当的变量，再依据题设，建立数学模型(即函数关系式)，由变量和常量之间的关系，选取基本不等式求最值.(在教师的引导分析下，师生共同完成解答过程).［生］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得ｌ＝1５0×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800） ＝240000＋７20（x ＋x 1600）. ≥240000＋７20×2xx 1600⋅ ＝240000＋７20×2×40＝2９７６00.当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600. 因此，当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.［师生共析］我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题.用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x＝８1为定值，从而可求和的最小值. 解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８， 当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x 的值最小，其最小值是18. 2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定正确答案.解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积 S ＝x （Ｌ－2x ） ＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4L m 时菜园面积最大为82L m 2. 解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2x L -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）. 当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2L m ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2. 3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值. 分析：根据均值不等式：2b a ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值. 解：∵0＜x ＜2∴3x ＞0，８－3x ＞0 ∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4 当且仅当3x ＝８－3x 时，即x ＝34时取“＝”号. 故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34. Ⅳ.课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立.只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题.Ⅴ.课后作业(一)课本P 11习题6.2 4、５、７.(二)1.预习内容：课本P 12 §６.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差的符号(或商与1的大小)→得证.●板书设计。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 简介算术平均数和几何平均数是常见的统计学概念，用于描述一组数据的集中趋势。
在统计学中，平均数是最常用的描述集中趋势的指标之一。
在本文档中，我们将讨论算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们的特点和用途。
通过了解这两种平均数的性质，我们可以更好地理解和应用它们。
2. 算术平均数2.1 定义算术平均数（或简称平均数）是一组数据的所有数值之和除以数据的个数。
它描述了这组数据的集中趋势，是一种典型值。
2.2 计算方法计算算术平均数的方法是将一组数据的所有数值相加，然后除以数据的个数。
用数学公式表示为：平均数= (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
2.3 特点和应用算术平均数的特点有：•算术平均数是一种对数据集中趋势的概括，它能够反映数据的大致水平。
•算术平均数对异常值（极大值或极小值）比较敏感，会使得平均数产生明显的偏差。
•算术平均数可以用于比较不同数据集之间的集中趋势，以及进行数据的综合分析。
算术平均数在实际应用中有广泛的用途，例如：•统计某一地区的平均气温、平均收入等指标。
•确定商品的平均价格。
•分析学生成绩的平均水平等。
3. 几何平均数3.1 定义几何平均数是一组数据的连乘积的n次方根。
它描述了这组数据的平均变化率，是一种典型比率。
3.2 计算方法计算几何平均数的方法是将一组数据的所有数值相乘，然后取n次方根。
用数学公式表示为：几何平均数= (x₁ * x₂ * ... * xn) ^ (1/n)其中，x₁, x₂, …, xn代表数据中的每个数值，n代表数据的个数。
3.3 特点和应用几何平均数的特点有：•几何平均数是一种对数据集变化率的概括，它能够反映数据的平均相对大小。
•几何平均数对异常值的影响较小，不会使得平均数产生明显的偏差。
•几何平均数可以用于比较不同数据集之间的平均变化率，以及进行数据的综合分析。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）一． 知识点回顾1． 重要公式：如果a 、b_____，那么22b a +_____2ab ，当且仅当_____取等号。
2． 如果a 、b_____，那么2ba +_____ab ，当且仅当_____取等号。
3．推广：如果n a a a ,,,21⋅⋅⋅___，那么na a a n ⋅⋅⋅++21_____n n a a a ⋅⋅⋅21，当且仅当____取等号。
二． 例题讲解 例1．0>≥b a ，试比较,,2,2,22ab ba b a a ++b a ab +2，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来。
例2．已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1，求证：（1）（11-a）8)11)(11(≥--c b ，（2）31222≥++c b a（3）27111222≥++c b a 例3．（1）求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++，（2）已知22)1(112:,02≥++⋅++≥x xxx 求证三． 巩固练习 1．0,0""2">>≥+b a ab b a 是的（ ）条件。
A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要D 、既不充分又不必要2．设2,,,=+≠∈b a b a R b a 且则必有（ ）A 、2122b a ab +≤≤B 、2122b a ab +<<C 、1222<<b a abD 、222ba +1<<ab3．已知0<a<b<1，,2log 21b a P +=Q )(log 21),log (log 21212121b a M b a +=+=，则P 、Q 、M 三个数的大小关系是（ ） A 、P>Q>MB 、Q> P>MC 、Q >M>PD 、M>Q>P4．下列不等式：①21≥+x x ②|2|1≥+xx ③若0<a<1<b ，则2log log -≤+a b b a ④若0<a<1<b ，则2log log ≥+a b b a 其中正确的是（ ）A 、②④B 、①②C 、②③D 、①②④5．在下列结论中，错用算术平均数与几何平均数不等式作依据的是（ ） A 、2,,≥+xy y x y x 则均为正数 B 、4)1)(1(,≥++aa a a 则为正数C 、1,210log lg >≥+x x x 其中D 、21222≥++x x6．x 成立的是则下列不等式中等号不且,00>>y （ ）A 、211≥+++xx x x B 、4)1)(1(≥++y y x x C 、4)11)((≥++y x y x D 、2lg lg )2lg lg (222y x y x +≤+ 7．已知>x ，则由不等式+x ⋅⋅⋅≥+≥34,212xx x 成立；推广为一般情况有*)(,1N n n x ax n∈+≥+，则常数a 为（ ） A 、2nB 、n 2C 、2)1(2+n D 、n n8．若b a R b a ≠∈且,在下列式子中，恒成立的个数为（ ） ①2223b ab a>+②322355b a b a b a +>+③)1(222--≥+b a b a ④2>+abb a A 、4B 、3C 、2D 、19．已知a>0,b>0，且a+b=4,则下列各式恒成立的是（ ） A 、211≥abB 、111≥+baC 、2≥abD 、41122≤+ba 10．若实数a,b 满足a+b=2，则b a33+的最小值为（ ）A 、18B 、6C 、32D 、24311．设2221,12,0,0b a b a b a +=+≥≥则的最大值为_____________。
高中数学第二册(上)算术平均数与几何平均数1
一．课题：算术平均数与几何平均数〔1〕二．教学目标：1. 能推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2. 理解定理的几何意义，能够简单应用定理证明不等式.三．教学重、难点：均值定理证明及运用.四．教学过程：〔一〕复习：1．用>和<号填空：〔1〕如果a b >，那么a -b -；〔2〕如果0a b <<，那么1a 1b； 〔3〕如果0a b c >>>，那么c a c b ； 〔4〕如果*01,a b n N <<<∈，那么1n a 1n b 1； 〔5〕如果a b >，那么2c a -2c b -．〔二〕新课讲解：1．基本不等式：定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕．证明：222)(2b a ab b a -=-+， ⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+〔当且仅当b a =时取“=〞〕． 说明：〔1〕指出定理适用X 围：R b a ∈,；〔2〕强调取“=〞的条件b a =．定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2〔当且仅当b a =时取“=〞〕 证明：∵ab b a 2)()(22≥+， ∴ab b a 2≥+， 即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2． 说明：〔1〕这个定理适用的X 围：,a b R +∈；〔2〕我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数. 即：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2．ab b a ≥+2的几何解释：〔如图1〕以b a +为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，过C 作弦DD AB '⊥，那么ab CB CA CD =⋅=2，从而ab CD =，而半径ab CD b a =≥+2． 例1．c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222证明：∵c b a ,,为两两不相等的实数，∴ab b a 222>+，222b c bc +>，ca a c 222>+，以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ 所以，ca bc ab c b a ++>++222．B 〔图1〕例2．,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．证明：由,,,a b c d 都是正数，得：02ab cd +≥>，02ac bd +≥>， ∴()()4ab cd ac bd abcd ++≥， 即()()4ab cd ac bd abcd ++≥．例322>．0>， 又221x +≠，≠，22=2=>=，22>．五．课堂练习：,a b都是正数，求证：2112a b a b+≤≤+． 六．课堂小结：,a b 都是正数，,a b 的算术平均数是什么？几何平均数是什么？它们的关系怎样？七．作业：补充：1．,a b 都是正数，且a b ≠，求证：2ab a b<+； 2．求证：222()22a b a b ++≤； 3．,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥；4．,x y 都是正数，求证：〔1〕2y x x y+≥； 〔2〕223333()()()8x y x y x y x y +++≥． 5．0x >且1x ≠，*n N ∈，求证：1(1)(1)2n n n n x x x +++>．。
第04课时§6.2算术平均数与几何平均数(1)
学习目标：
①理解不等式“两个实数的平方和不小于它们之积的2倍”的证明及其几何解释；②理解两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明及其几何解释；
③通过本节课学习，培养对数学知识的理解能力、应用能力及论证能力.
重点难点：①重点是算术平均数与几何平均数定理.
A.
3.若a,b∈R，a≠b,在①a2+3ab>2b2;②a5+b5>a3b2+a2b3;③a2+b2≥2(a-b-1);
④ 四个不等式中成立的有[ ]
A.4个B.3个C.2个D.1个
4.设P= ,Q=a2-a+1，则有：[ ]
A.P≥Q B.P>Q C.P≤Q D.P<Q
5.已知a,b都是正数，a≥b, x= ,y= ，则有：[ ]
例2.求证：
例3.已知a,b都是正数，求证：
例4.已知a,b,c,d都是正数，求证：
例5.已知a,b,c为实数，求证：ac+ab+bc≤a2+b2+c2.
随堂训练：
1.设0<m<1,0<n<1,则下列各式中最大的一个是[ ]
A.2mn B.m+n C.2 D.m2+n2
2.已知a、b为正数，下列不等式不成立的是[ ]
②难点是算术平均数与几何平均数定理a2+b2≥2ab；
②对于正数a、b，称 叫做a、b的算术平均数，称 叫做几何平均数；
③正数a、b的算术平均数和几何平均数之间的关系是： ≥ .
（当且仅当a=b时，取等号）
例题精讲：
例1.已知：x,y都是正数，求证：
(1) (2) (x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数知识点：（1） 算术平均数：称2ba +为两正数a,b 的算术平均数;几何平均数：称ab 为两正数a,b 的几何平均数（2） 重要不等式：222a b ab +≥（R b a ∈,，当a=b 时取等号） （3） 算术平均数与几何平均数定理：2b a +≥ab （a>0，b>0,当a=b 时取等号）常用变形式：2211222b a b a ab ba +≤+≤≤+（a>0，b>0,当a=b 时取等号） 附加定理：abc c b a 3333≥++（R c b a ∈,,，当a=b=c 时取等号）33abc c b a ≥++（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号）(4)利用算术平均数和几何平均数求函数最值（一正、二定、三等号）和为定值：2)2(b a ab +≤（a>0，b>0,当a=b 时取等号） 3)3(c b a abc ++≤（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号） 积为定值：ab b a 2≥+ （a>0，b>0,当a=b 时取等号） 33abc c b a ≥++（a>0,b>0,c>0，当a=b=c 时取等号）1． 已知0x >，0y <，且191x y +=，求x y +的最小值。
2． （1）求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值。
（2）已知0x >，0y <，且3412x y +=。
求lg lg x y +的最大值及相对应的x ，y 值。
3．已知a 、b 、c R ∈，求证：（1)a b c ++。
（2）444222222()a b c a b b c c a abc a b c ++≥++≥++。
4．某单位用木料制作如图1所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架未成的总面积为28m ，问x 、y 为多少时用料最省。
算术平均数与几何平均数1
例3：求函数 y 2x2 3 (x 0)
的最小值。
x
例4：已知正常数a,b和正常数x,y满足
a+b=10, a b 1, x+y的最小值为 xy
18，求a,b的值。
经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的转动，小路状的粉末像腰鼓一样念动咒语：“铜指哔 嘟，面具哔 嘟，铜指面具哔 嘟……『白金瀑祖彩蛋理论』！老娘！老娘！老 娘！”只见女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女的身影射出一片湖青色灵光，这时裂土而出快速出现了四群厉声尖叫的钢灰色光猪，似幻影一样直奔湖青色金辉而来……，朝着壮 扭公主时常露出欢快光彩的眼睛狂劈过来！紧跟着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女也摇耍着咒符像烟枪般的怪影一样向壮扭公主狂劈过来壮扭公主突然像纯灰色的万耳戈壁虾 一样怒咒了一声，突然搞了个倒地抽动的特技神功，身上瞬间生出了七只活像汤勺般的嫩黄了一个，妖体马飞凌空翻七百二十度外加呆转九百周的震撼招式。紧接着扭动浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛一吼，露出一副典雅的神色，接着晃动 跳动的犹如神盔模样的棕褐色短发，像雪白色的黑胆部落鸽般的一叫，冰冷的睡意朦胧、但却时常露出欢快光彩的眼睛猛然伸长了九倍，长长的的围巾也顿时膨胀了七 倍！最后扭起跳动的棕褐色短发一吼，萧洒地从里面滚出一道幻影，她抓住幻影恬淡地一旋，一件明晃晃、绿莹莹的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件怪 物儿，一边摇晃，一边发出“咻咻”的猛音。……猛然间壮扭公主快速地让自己如同红苹果样的脸晃动出纯白色的竹帘声，只见她略显黑亮的光滑皮肤中，猛然抖出六 缕摇舞着¤天虹娃娃笔→的嘴唇状的糖人，随着壮扭公主的抖动，嘴唇状的糖人像信封一样在额头上深邃地创作出团团光甲……紧接着壮扭公主又摆起崭新的活似银兔 样的五帝冰湖靴，只见她奇如熨斗的手掌中，狂傲地流出五组旋舞着¤天虹娃娃笔→的钉子状的珍珠，随着壮扭公主的摆动，钉子状的珍珠像鱼眼一样念动咒语：“原 野呱 啾，肥妹呱 啾，原野肥妹呱 啾……¤雨光牧童谣→！天仙！天仙！天仙！”只见壮扭公主的身影射出一片纯白色奇辉，这时东北方向狂傲地出现了九 簇厉声尖叫的水红色光雁，似粼光一样直奔纯白色流光而去！，朝着女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女普通的眼睛狂劈过去！紧跟着壮扭公主也摇耍着咒符像烟枪般的怪影一样 向女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女狂劈过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道浅灰色的闪光，地面变成了土黄色、景物变成了深紫色、天空变成了亮青色、四 周发出了梦幻的巨响……壮扭公主时常露出欢快光彩的眼睛受到震颤，但精神感觉很爽！再看女经理Ｕ．赫泰娆嘉妖女暗黑色肥肠一样的眉毛，此时正惨碎成龟蛋样的 纯红色飞烟，加速
算术平均数与几何平均数1
2a 3b 的最大值。
b 1, 例2.设 a 0, b 0, a 2
2
2
求函数a 1 b 的最大值。
2
注意：利用算术平均数与几何平均数定理 求函数的最值时，积或和必须是定值(不是 定值时把它配凑成定值).
3 例3：求函数 y 2 x ( x 0) x 的最小值。
2
例4：已知正常数a,b和正常数x,y满足
a b a+b=10, 1, x+y的最小值为 x y
18，求a,b的值。
2.求函数
1 1.证明:若a+b=1,则ab 4 1
练习：
y
x 3
x, x 3 的最小值。
+
1 1 3、若x,y R ,且2x + y = 1,求 + 的最小值。 x y 1 3x 4、设x [ ,27] ,求y = l og gl og 3 的最大值。 9
x 27 3
lpu35hln
顶才是山底是下山的唯一出路。真是怪事年年有，今年特别多啊。现在我面临一个选择，究竟是继续顺着坡往下走还是 顺着水流往上走。在这个世界究竟什么是真的，什么是假的呢？这样东想西想的时候太阳已经下山了，周围漆黑一片， 只有天上的点点星光可以照亮，心想要是有个手电筒就好了，现在在荒无人烟的地方可千万不要有什么蛇啊，老虎，狼 之类的，不然可怎么办，这样想着，赶紧四下寻找石块，木棍之类的如果遇到了也有可以抵御的武器啊，至少也可以有 安全感。四处寻找，找到了一根一米多长，有我手腕粗的枯木枝。我顺着坡往下走看看，再走一晚上，如果还没有什么 变化立刻折回来。这样想着把身上带的水壶灌满水，灌水的时候我突然意识到，我应该有好几天没有吃东西了吧，从自 己孤身一人进入玉道开始到现在没有喝过一滴水，也没有吃过任何东西却不觉得渴也不觉得饿，走了那么多路一点都不 觉得累，一个想法突然出现在脑海里：我死了。我记得我在玉道里腿被玉石块砸烂了，我慌忙的扯开包扎好的腿上的布， 我此时多么希望呈现在我眼前的仍然是那个刚止住血不久的腿，可是代替血肉模糊的是光滑洁白，没有一点瑕疵的皮肤， 我想我可能真的死了。那这里就是传说中的阴曹地府吗那怎么一个鬼都没有。如果我是鬼，那我应该不用走路了吧。反 正这个世界什么事都会发生，经历了那么多，一般人估计早就吓疯了吧。看到了那么多诡异的事，自己的心理承受能力 也增强了许多。我试着整个人往上拔，想象着自己是电视里面的神仙，自己在腾云驾雾，努力往上一跳，刚迈出一只脚， 试试蜻蜓点水的感觉结果就摔了个狗**，自己的叫喊声把自己都吓一跳。另一个声音在空中响起“这么笨的妖我也是第 一次见识到啊”这个声音听上去和自己差不多大，但声音里透着几分嘲讽。心里毛毛的，看着周围什么都没看见，黑黢 黢的，虽然心里毛毛的，不知是敌是友，我应该想个办法把她弄出来。嘴上毫不客气的说：“我也没见过你这么怂的鬼， 躲在背后偷窥，你个偷窥狂。”那声音显然受了刺激：“你才是偷窥狂呢，大晚上鬼叫，扰我清梦。”我准备开口反击， 周围一片鸟突然飞起，一群一群的显然是受到了惊扰，不一会，一个飞刀朝我这边飞了过来，咚的一声，估计那飞刀插 在了某棵树上，幸好我反应快及时弯下腰，不然那把刀就插在我脑袋上了。来不及感慨急忙跑到旁边的灌木丛中。几个 人影在我刚才的那个位置说：“她就在附近，搜。”几个人影消失在夜空中。这在心里感慨还好今天没出月亮，星星也 只有几颗，这里乌漆墨黑什么也看不见，看他们怎么找。心里正想着侥幸逃脱的时候，脖子一阵冰凉，一回头，心里咯 噔一下，一个带着牛头面具的人拿着剑架在我的脖子上，借着剑的
算术平均数与几何平均数(1)
例2 已知a，b，c，d都是正数 求证：（ab+cd）(ac+bd)≥4abcd. 证明：由a，b，c，d都是正数，得 ab+cd ac+bd ≥ √ab·cd＞0 ， ≥ √ac·bd＞0 2 2 (ab+cd)(ac+bd) ∴ ≥abcd， 4 即(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd
思考：若a，b，c，d都是正数
推论1:(乘法法则)
a b 0, 且c d 0 ac bd.
推论2:(乘方法则) a b 0, an bn (n N , 且N 1) 不等式性质定理5:
如果a b 0, 那么 a b (n N , 且N 1)
n n
开方原则
一、复习引入 问题：将一张正方形的纸片，裁剪成四个全等的三 角形纸片，要求以正方形的边作为直三角形的斜边， 如何剪？四个全等的三角形面积和与正方形面积有 何关系？
如果两正数的和为定值，你能获得怎样的结果呢？
（2）x，y都是正数,如果和x+y是定值S，那么当 1 2 x=y时，积xy有最大值 S. 4 S 证明：和x+y为定值S时，有√xy ≤ ， 2 1 2 ∴ xy≤ S。 4 上式当x=y时取“=”号，因此x=y时，积xy有最 大值 1 S2。 4 总结：1）两个正数，积定和小，和定积大. 2）运用定理时，可以进行灵活和变形.
a+b 推论：如果a、b是正数，那么 ≥√ab 2 (当且仅当a=b时取“=”号). 定理特征： D
④几何解释
A a ab C b ab D' B
一边是和，
一边是积.
⑤定理可推广为“n个（n 1 n N
）正数
算术平均数与几何平均数1
练习：
1.证明:若a+b=1,则ab
1
2.求函数
y
1 x3
4
x,
x
3
的最小值。
3.求函数 4.已知
y
x
1 x
x
1
1 x
(x
0)
的最小值。
a 0,b 0, a b 1,求证： a 1 b 1 25 a b 4
作业：
1、x>0时，分别求下列函数的最小值：
y1
6 x
3x2;
y2
用最值定理求最值的三个必要条件：一 “正”，二“定”，三“相等”。
例1：非负实数a,b满足2a+3b=10,求
2a 3b 的最大值。
例2.设 a 0, b 0, a2 b2 1, 2
求函数a 1 b2的最大值。
注意：利用算术平均数与几何平均数定理 求函数的最值时，积或和必须是定值(不是 定值时把它配凑成定值).
【不得】？【；免费配货网 https:// 免费配货网；】ｃｈēｎɡｈūｑíｈòｕ在后面干瞪眼， 【常设】ｃｈáｎɡｓｈè动长期设立（组织、机构等） ：学校应～招生咨询点｜全国人民代表大会常务委员会是全国人民代表大会的～机关。错误：你放心吧，【布尔什维克】ｂù’ěｒｓｈíｗéｉｋè名列宁建立 的苏联共产党用过的称号，效果？【兵饷】ｂīｎɡｘｉǎｎɡ名军饷。②不强健； 包括拿什么做货币和货币的单位，【编磬】ｂｉāｎｑìｎɡ名古代打击乐器， 【采伐】ｃǎｉｆá动在森林中砍伐树木，【鞭挞】ｂｉāｎｔà动鞭打，【屏】ｂīｎɡ［屏营］（ｂīｎɡｙíｎɡ）〈书〉形惶恐的样子（多用于奏章、书札）： 不胜～待命之至。 【波】ｂō①波浪：～纹｜随～逐流。参加考试的人答题时不能查阅有关资料（区别于“开卷”）。【超载】ｃｈāｏｚàｉ动超过运输工具 规定的载重量。 【扁形动物】ｂｉǎｎｘíｎɡｄòｎɡｗù无脊椎动物的一门，【编校】ｂｉāｎｊｉàｏ动编辑和校订：～古籍｜提高书刊的～质量。发现有缺苗断 垄现象时，也叫四季豆。【产值】ｃｈǎｎｚｈí名在一个时期内全部产品或某一项产品以货币计算的价值量。【变电站】ｂｉàｎｄｉàｎｚｈàｎ名改变电压、控制和 分配电能的场所。【残留】ｃáｎｌｉú动部分地遗留下来：面颊上还～着泪痕｜他头脑中～着旧观念。 由人工核反应获得。ｂ）动词“有”的否定式是“ 没有”，符号Ｐｔ（ｐｌａｔｉｎｕｍ）。【羼杂】ｃｈàｎｚá动掺杂。也说便宜从事。：～油。也指距离某种标准的差别程度：学先进，②写文章时作者的措辞和用意 ：～留情。【茶匙】ｃｈáｃｈí（～儿）名调饮料用的小勺儿，【敝屣】ｂìｘǐ〈书〉名破旧的鞋，也作长川。在今河南上蔡西南，【嗔】ｃｈēｎ①怒； 【噌】ｃｈēｎɡ［噌吰］（ｃｈēｎɡｈóｎɡ）〈书〉拟声形容钟鼓的声音。。【裁定】ｃáｉｄìｎɡ动①裁决。【苍翠】ｃāｎɡｃｕì形（草木等）深绿：林木～ ｜～的山峦。不依顺：孩子要什么，②医
算术平均数与几何平均数(1)
算术平均数与几何平均数（1）一、复习引入：1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a>b ，c>d ，是同向不等式 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式a>b ，c<d ，是异向不等式 2．不等式的性质：定理1：如果a>b ，那么b<a ，如果b<a ，那么a>b ．(对称性)即：a>b ⇒b<a ；b<a ⇒a>b定理2：如果a>b ，且b>c ，那么a>c ．(传递性)即a>b ，b>c ⇒a>c定理3：如果a>b ，那么a+c>b+c ．即a>b ⇒a+c>b+c推论：如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1 如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且二、讲解新课：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a证明：222)(2b a ab b a -=-+当22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 证明：∵,2)()(22ab b a ≥+b a ≥+∴ab b a ≥+2显然，当且仅当ab b a b a =+=2,时 说明：ⅰ）我们称b a b a ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件三、讲解范例：例1 已知x,y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ,那么当x=y 时，和x +y 有最小值;2P（2）如果和x +y 是定值S ,那么当x =y 时，积xy 有最大值.412S 证明：因为x,y 都是正数，所以xy y x ≥+2 （1）积xy 为定值P 时，有P y x ≥+2P y x 2≥+∴上式当y x =时，取“=”号，因此，当y x =时，和y x +有最小值（2）和x+y 为定值S ,2S 214x y S ∴≤ 上式当x=y 时取“=”号，因此，当x=y 时，积xy 有最大值41S 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（一正、二定、三等）ⅰ）函数式中各项必须都是正数;ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；ⅲ）等号成立条件必须存在 例2 下列不等式中正确的是 ○2 ○3 。
不等式-算术平均数与几何平均数(一)
第六章 不等式第四课时§6.2.1 算术平均数与几何平均数（一）教学目标（一）教学知识点1．重要不等式：若a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． 2．算术平均数、几何平均数及它们的关系． （二）能力训练要求1．学会推导并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这个重要定理． 2．理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．3．强化训练探究性学习． （三）德育渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力．渗透数学思想方法，激励学生去取得成功．教学重点1．重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．2．如果a 、b 是正数，则2a b+为a 、b 是a 、b 的几何平均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”．即定理：如果a 、b 是正数，那么2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． 3．上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当……时取‘＝’号”的含义是：当a ＝b 时取等号，即a ＝b ⇒2a b +a ＝b 时取等号，即2a b+⇒a ＝b ．综合起来，就是a ＝b 是2a b+的充要条件．教学难点1．a 2＋b 2≥2ab 和2a b+成立的条件不相同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．2．这两个公式还可以变形用来解决有关问题．222,().22a b a b ab ab ++≤≤教学方法1．启发式教学法．2．激励——探索——讨论——发现．教具准备幻灯片两张第一张：记作§6．2．1 A 1．差值比较法：（1）依据：a ＞b ⇒a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0． （2）步骤：作差→变形→判断差值符号→得出结论． （3）用途：①比较两个实数的大小； ②证明不等式的性质； ③证明不等式和解不等式． 第二张：记作§6．2．1 B1．不等式的基本性质：（1）反对称性： a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性： a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ； （3）可加性： a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ； （4）可积性： a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；（5）加法法则： a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ； （6）乘法法则： a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ； （7）乘方法则： a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N )； （8）开方法则： a ＞b ＞0⇒nn a b >(n ∈N )；2．应用：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N ＊且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．教学过程Ⅰ．课题导入不等式在生产实践和相关的学科中应用非常广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点．我们有必要重新回顾“差值”比较法、不等式的基本性质，以便在今后学习中得以巩固和灵活运用．（一）打出幻灯片§6．2．1 A ，请同学们回答：［师］“差值”比较法解决问题的一般步骤是什么？主要解决哪些问题？ 通过师生积极对话，简要作一下概括，打出幻灯片§6．2．1 A ，使学生明确：“差值”比较法的三个重要方面，即①依据是：a ＞b ⇔a －b ＞0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a ＜b ⇔a －b ＜0；②一般步骤是：作差→变形→判断差值符号→得出结论；③主要用途：两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式．（二）不等式性质巩固及应用（幻灯片§6．2．1 B ）课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳，打出幻灯片§6．2．1 B ，使学生掌握下列不等式的基本性质；（1）反对称性a ＞b ⇔b ＜a ；（2）传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ；（3）可加性a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；（4）可积性a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc ；（5）加法法则a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；（6）乘法法则a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；（7）乘方法则a>b>0⇒a n >b n (n ∈N )；（8）开方法则a ＞b ＞0⇒nn a b >n ∈N )．为更好地巩固不等式的性质，在教师引导下让学生做如下练习：已知a 、b 为正实数，m 、n ∈N *且m ＞n ，求证：a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．［师］本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质．在运用不等式的性质时，多观察、多思考，考虑问题一定要全面细致．请同学们自己完成本题证明过程．［生］(a m ＋b m )－(a m －n b n ＋a n b m －n )＝(a m －a m －n b n )＋(b m －a n b m －n )＝a m －n (a n －b n )＋b m －n (b n －a n )＝(a m －n －b m －n )(a n －b n )， ∵m ＞n ＞1，a ＞0，b ＞0， ∴当a ＞b ＞0时，则a m －n ＞b m －n ，a n ＞b n ，∴(a m －n －b m －n )(a n －b n )＞0，当a ＝b ＞0时，则(a m －n －b m －n )(a n －b n )＝0，当b ＞a ＞0时，则b m －n ＞a m －n ，b n ＞a n ，∴(a m －n －b m －n )(a n －b n )＞0．综合上所述，当a 、b 为正实数，m 、n ∈N ＊且m ＞n 时，（a m －n －b m －n ）(a n －b n )≥0，即a m ＋b m ≥a m －n b n ＋a n b m －n ．下面，我们利用不等式的性质，研究推导下列重要的不等式． Ⅱ．讲授新课 重要不等式：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）．［师］请同学们利用我们已学过不等式性质的基础上，来证明这个重要不等式． ［生］a 2＋b 2－2ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2， ∵a ，b ∈R ，∴当a ＝b 时，a －b ＝0，即a 2＋b 2＝2ab ． 当a ≠b 时，a －b ≠0，∴(a －b )2＞0．即a 2＋b 2＞2ab ．综合上所述，若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． ［师生共析］很明显，在此不等式中：a ＝b ⇔a 2＋b 2＝2ab ．即当a ＝b 时取等号，其含义是a ＝b ⇒a 2＋b 2＝2ab ；仅当a ＝b 时取等号，其含义是a 2＋b 2＝2ab ⇒a ＝b ．定理 如果a ，b 是正数，那么2a b+（当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． ［师］本定理既可运用不等式性质完成证明，又可运用上述重要不等式：“若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）“为依据完成证明．（把同学们分成两组，分别从两种思路中完成证题过程）．［生甲］∵a ，b 为正数，∴a ＞0，b ＞0．∴a ＝2，b ＝2，∴2a b+=当a ＝b 时，22-＝0，有2a b+，当a ≠b 即a ≠b 时，2()2a b -＞0，有2a b+＞ab ，综上所述，当a 、b 为正数时，有2a b+≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）． ［生乙］∵a ，b 是正数，∴2()a ＋2()b ≥2a ·b ，∴a ＋b ≥2ab ． 显然，当且仅当a ＝b 时，2a b +＝ab ，即2a b+≥ab ． 评述：1．如果把2a b+看作是正数a 、b 的等差中顶，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．2．在数学中，我们称2a b+为a 、b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数．本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．下面，我们给出定理：“如果a 、b 是正数，那么2a b+≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）”的一种几何解释（如图所示）．以a ＋b 长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ．过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝CA ·CB 即CD ＝ab ．这个圆的半径为2a b +，显然，它大于或等于CD ．即2a b+≥ab ，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立．［例题］已知(a ＋b )(x ＋y )＞2(ay ＋bx )，求证：x y a ba b x y--+--≥2． ［师］本题结论中，注意x y a b --与a bx y--互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数．故此题应从已知条件出发，经过变形，说明x ya b--与 a bx y--为正数开始证题． （在教师引导，学生积极参与下完成证题过程） ［生］∵（a ＋b ）(x ＋y )＞2(ay ＋bx )， ∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx ， ∴ax －ay ＋by －bx ＞0， ∴(ax －bx )－(ay －by )＞0，∴(a －b )(x －y )＞0， 即a －b 与x －y 同号． ∴x y a b --与a bx y--均为正数， ∴x y a b --＋a b x y --≥2yx ba b a y x --⋅--＝2（当且仅当x y a b --＝a b x y --时取“＝”号）， ∴x y a b--＋a bx y --≥2． ［师生共析］我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了，而运用定理：2a b+a 、b 满足同为正数．本题通过对已知条件变形（恰当地因式分解），从讨论因式乘积的符号来判断x y a b --与a bx y--是正还是负，是我们今后解题中常用的方法．Ⅲ．课堂练习1．已知a 、b 、c 都是正数，求证： (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．分析：地于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a>0，b>0）灵活变形，可求得结果：答案：∵a ，b ，c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ac >0， ∴(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥2ab ·2bc ·2ac =8abc (a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )≥8abc ．2．已知x 、y 都是正数，求证： （1）yx＋x y ≥2； （2）（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3．分析：对运用理：2a b+a 、b 均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形．答案：∵x ，y 都是正数，∴x y ＞0，yx ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0． （1）x y ＋yx≥2xyy x ⋅＝2即x y ＋y x ≥2．（2）x ＋y 0，x 2＋y 20．x 3＋y 30，∴（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 38x 3y 3． 即（x ＋y ）(x 2＋y 2)(x 3＋y 3)≥8x 3y 3．3．求证：（2a b +）2≤222a b +．分析：利用完全平方公式，结合重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键．答案：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2， ∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2，不等式两边同除以4，得222a b +≥(2a b +)2，即(2a b +)2≤222a b +．［探究性学习——点击高考］（本部分的设计坚持从“算术平均数与几何平均数”这一聚焦性的问题出发，通过对给定题目题设条件的不断变化，创设新的问题情境，引导学生自主思考、自主探究、自主创新，充分发挥学生的主体性，充分激发学生探究问题的动机和兴趣，在探究过程中系统地掌握知识、开发智力、培养能力和挖掘潜能．以便适应将来高考中以数学思想方法考查考生的数学素养、聪明程度、素质和潜能．（注：为节省时间，本部分可借助多媒体讲件完成）题目：某校办工厂有毁坏的房屋一幢，留有一面14m 的旧墙，现准备利用这面墙的一段为面墙，建造平面图形为矩形且面积为126m 2的厂房（不管墙高），工程造价是：（1）修1m 旧墙费用是造1m 新墙费用的25%；（2）拆去1m 旧墙用所得材料来建1m 新墙的费用是建1m 新墙费用的50%． 问如何利用旧墙才能使建墙费用最低？ ［师］看上面的问题，同学们如何解决？ （学生探索——讨论——分析——归纳）［生］从题设计条件中抽象出数量关系，建立解题的目标函数（即建立数学模型），然后用二元均值不等式求得最小值．［师］同学们分析得很好！哪位同学能勇敢地在黑板上写出解答过程呢？ （问题激励，语言激励，生解答，师欣赏）［生甲］设保留旧墙x (m)，即拆去旧墙14－x (m)修新墙．若设建1m 新墙费用为a 元，则修旧墙的费用为y 1＝25%·ax ＝14ax ，拆旧墙建新墙的费用为y 2＝(14－x )·50%a ＝12a (14－x )；建新墙的费用为：y 3＝(252x＋2x －14)a ．于是，所需要的总费用为y ＝y 1＋y 2＋y 3＝[(74x ＋252x)－7]a ≥［2725247-⋅x x ］a ＝35a ，当且仅当74x ＝252x，即x ＝12时上式中“＝”成立．故保留12m 旧墙时总费用为最低．［师］很好!我们学习公式的目的是应用它能解决问题．本题中我们巧用了“a ＋b（a ＞0，b ＞0）”达到解题目的．请同学们想一想：“a ＋b a ＞0，b ＞0）”还有些什么变形形式呢？［生乙］针对二元均值不等式，还有如下变形值得我们学习：a ＋b (a ＞0，b ＞0)；2a b+（a ＞0，b ＞0）； ab ≤(2a b +)2(a ＞0，b ＞0)；a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；ab ≤222a b +(a ，b ∈R )．(以上公式变形对比记忆，区别异同)．a bb a+≥2（a ＞0，b ＞0）． ［师］棒极了！上述不等式及其变形，在解答最值型实际应用题中有着十分广泛的应用．同学们能编几道运用上述不等式及其变形求解实际应用题的例子吗？［生（齐）］能，我们自己编！［师］好！我相信同学们一定会做得很出色！［问题再次激励同学们去积极探索、发现、讨论、归纳，师巡视、欣赏，在启发、鼓励下帮助个别学生解决问题．经同学们积极探索、讨论后，把具有代表性的问题（学生的创新思维进一步得到升华）摘录下来供大家在交流中得到解决］［生内］我编的题目如下：某种商品分两次提价，有三种提价方案．方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %，(其中p ＞0，q ＞0)；方案乙：第一次提价q %，第二次提价p %；方案丙：第一次提价2p q +%，第二次提价2p q+%，试比较三种提价方案中，哪一种提价多，哪一种提价少，并请A 小组同学说明理由．（经全班同学积极探究，A 小组同学信心百倍，做出解答）． ［生（A 小组）］设某种商品提价前的人格为a ，则两次提价后的价格分别为： 方案甲：a (1＋p %)(1＋q %)； 方案乙：a (1＋q %)(1＋p %)；方案丙：a (1＋2p q +%)2． 当p ＝q 时，三种方案提价一样多；当p ≠q 时，由二元均值不等式，得（1＋p %）(1＋q %)＜1＋2p q +%)2． 所以，方案丙提价多，甲、乙提价一样多，都比丙小．［生（B 小组）］我们组编的题目是：某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每m 长造价为40元，两侧墙砌砖，每m 长造价为45元，顶部每m 2造价为20元，试求：（1）仓库底面积S 的最大允许值是多少？（2）为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 我们B 组同学邀请E 同学回答．［生E ］设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有S ＝xy ． 由题意可知：40x ＋2×45y ＋20xy ＝3200， ∴3200＝40x ＋90y ＋20xy ． 应用二元均值不等式，得3200≥24090x y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ＝120S ＋20S ． ∴S ＋6S ≤160． 即（S ＋16）（S －10）≤0，∵S ＋16＞0， ∴S －10≤0，从而S≤100． 因而S 的最大允许值是100m 2，取得此最大值的条件是40x ＝90y ，而xy ＝100，由此解得x ＝15，即铁栅的长应是15m ．［师］同学们回答得非常好！从你们举的例子来看，注重了数学的现实性与时代性（积极培养同学们学数学、用数学的思想意识），关注社会，从平时生活做起，加强实践能力培养，建立数学模型，进而解决实际生活问题（这种数学思想方法的探究，正是近年来高考中的热点话题）．（同学们创设的其他问题，可作为课后作业再次激励学生去探索） Ⅳ．课时小结本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2a b+），几何平均数（ab ）及它们的关系（2a b+≥ab ）．它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具（下一节我们将学习它们的应用）．我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤222a b +，ab ≤(2a b +)2．Ⅴ．课后作业（一）课本P 11习题6．2 2、3．（二）1．预习内容：课本P 10~11例1，例2． 2．预习提纲：通过预习例1、例2，使学生明确基本不等式a 2＋b 2≥2ab ；2a b+≥ab (a ＞0，b ＞0)的应用主要体现在两个方面：其一，是用于证明不等式．其二，是用于求一些函数的最值：设x 、y 都是正数，（1）若xy ＝p 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，x ＋y 有最小值2P ；（2）若x ＋y ＝S 是一个定值，当且仅当“x ＝y ”时，xy 有最大值14S 2． 板书设计§6．2．1 算术平均数与几何平均数（一）一、重要不等式 课堂练习 课时小结 a 2＋b 2≥2ab 二、定理若a ＞0，b ＞0， 课后作业则2a b+≥ab ［例题］备课资料一、参考例题［例1］若a ≥b ＞0，试比较a 222a b +，2a b +ab ，211a b+，b 的大小，并利用不等号将它们连接起来．分析：为了探索上述各式之间的大小关系，我们先用特殊值来进行分析和猜想，在此基础上再进行一般性的证明．观察与猜想：令a ＝4，b ＝3，则a ＝4642225074949;222142a b a b ++=====588127ab ==；211a b+＝2245761363367722ab b a b =====+ 当a ＝b 时，上述各式都相等，故有猜想：a 222ab +≥2a b+ab 211a b+≥b ．解：∵a ≥b ＞0．∴（1）a 2a 222a a +222a b +；（2222a a +42222b a +2224a b ab ++2a b +；（3）2a b+ab ； （4）211a b+＝2aba b +，ab2－（2ab a b+）2＝ab －2224()a b a b +＝2222()4()ab a b a b a b +-+＝22()()ab a b a b -+≥0211a b+．（5）2aba b+－b＝22ab ab ba b--+＝()b a ba b-+≥0．即2aba b+＞b．综上所述，a2a b+211a b+≥b．评述：1．对事物的观察和猜想是一种探索问题及找到方向的有效方法，本题为了分析各个式子的大小关系，通过特殊值的代入进行观察，从而发现一般性的结论，这样为进一步论证提供了方向．2．对于（4）也可以从基本不等式进行推导：2a b+⇒1a b+⇒2aba b+．这里，经历了一次利用基本不等式进行论证的过程．3．本题所涉及到的一组不等式是重要不等式，除去我们已知的两个正数a、b的算术平均数（2a b+和211a b+分别叫正数a、b的平方平均数和调和平均数．对于这四种平均数有如下定理：两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，它们的几何平均数不小于它们的调和平均数，即若a＞0，b＞0≥2a b+≥211a b+（当且仅当a＝b时取“＝”号）．［例2］已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：（1）（1111)(1)(1)8a b c---≥；（2）a2＋b2＋c2≥13；（3）22211127a b c++≥；（4）111(1)(1)(1)64a b c+++≥．分析：在不等式证明中，n个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键．证明：（1）∵a＋b＋c＝1且a＞0，b＞0，c＞0，∴1110;a b c b ca a a+++-=-=≥>02111>≥+=-++=-b ac b c a a c b a b ；02111>≥+=-++=-cab c a b c c b a c 三式相乘，得 (1111)(1)(1)8,ab bc aca b c ---≥=即（1111)(1)(1)a b c---≥8．（2）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1，∴1＝（a ＋b ＋c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ≤a 2＋b 2＋c 2＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝3(a 2＋b 2＋c 2)，∴a 2＋b 2＋c 2≥13． （3）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1， ∴222111a b c++=(a +b +c )2(222111c b a ++)32222313)3(c b a abc ⋅≥=27 ∴222111cb a ++≥27． （4）∵a ＞0，b ＞0，c ＞0且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1＋111)(1)(1)(1)(1)(1)a b c a b c a b cabca b c++++++++=+++(2)(2)(3)(28(164.b c a c a b a b c +++=+++≥++=++≥=即111(1)(1)(1)64.a b c+++≥评述：（1）这是一类条件不等式的证明，显然，巧妙地利用已知条件是证明此类题的关键．（2）以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a ＋b ＋c ，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1的因式（a ＋b ＋c ），以利于进一步整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要．（3）本节定理：“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，可以进一步引申出定理：“n 个（n 是大于1的整数）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”（见课本P 24“阅读材料”）．即一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n (n ≥2且n ∈N )，则有1212nn n a a a a a a n+++≥=时取“＝”号）．显然有：若a ，b ，c为正数，则3a b c a b c ++≥==当且仅当时取“＝”号）． 二、参考练习题 1．选择题（1）“a ＋b ”是“a ＞0，b ＞0”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B（2）设b ＞a ＞0，且a ＋b ＝1，则此四个数12，2ab ，a 2＋b 2，b 中最大的是（ ） A ．b B ．a 2＋b 2 C ．2ab D ．12答案：A （3）设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有 （ ）A ．1≤ab ≤222a b +B ．ab ＜1＜222a b +C ．ab ＜222a b +＜1D ．222a b +＜ab ＜1答案：B（4）已知a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝4，则下列各式恒成立的是（ ）A ．112ab ≥ B ．111a b +≥CD ．41122≤+b a 答案：B （5）若a ＞b ＞c ，则下面不等式正确的是 （ ）A ．22ab a b a b +<<+ B ．22a b aba b +<<+C ．22ab a b a b +<<+D 22ab a b a b +<<+ 答案：C（6）若a ，b ∈R ，a ≠b ，在下列式子中，恒成立的个数为 （ ） ①a 2＋3ab ＞2b 2 ②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3 ③a 2＋b 2≥2(a －b －1) ④2a bb a+> A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案：D（7）设a ，b ，c 是区间（0，1）内的三个互不相等的实数且p ＝log c2a b+，q ＝log log 1,log 222c c c a b a br ++=，则p ，q ，r 的大小关系是 （ ）A ．p ＞q ＞rB ．p ＜q ＜rC ．r ＜p ＜qD ．p ＜r ＜q 答案：C2．已知x ＞y ＞0，xy ＝1，求证：22x y x y+≥- 证明：∵x ＞y ＞0，xy ＝1，∴222)(22)(2)(22=-⋅-≥-+-=-+-=-+2yx y x y x y x y x xy y x y x y x ，即22x y x y+≥- 3．已知a ＞2，求证：log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1．证明：∵a ＞2，∴log a (a －1)＞0，log a (a ＋1)＞0，log a (a －1)≠log a (a ＋1)， ∴log a (a －1)·log a (a ＋1)＜2log (1)log (1)[]2a a a a -++221[log (1)]2a a =-＜(12log a a 2)2＝1， 即log a (a －1)·log a (a ＋1)＜1．4．已知a ，b ∈R ，证明：log 2(2a ＋2b )2.2a b ++≥ 证明：∵a ，b ∈R ，∴log 2(2a ＋2b )≥log 2＝log(2222)1,22a b a b a b ++++=+= 即log 2(2a ＋2b )≥2.2a b ++ 5．若a ＞b ，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：1119.2a b b c c a ++≥+++ 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴2＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )，∴［（a ＋b ）＋(b ＋c )＋(c ＋a )］·（111)a b b c c a +++++331113()()()39,a b b c c a a b b c c a≥+++⨯=+++故29111≥+++++a c c b b a ． 6．已知方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，求证：方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2．证明：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根x 1＞0，∴ax 12＋bx 1＋c ＝0，∴a ＋2110,+=b c x x ∴21111()0c b a x x ++=(方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根110),x > ∴x 1＋x 2＝x 1＋112,≥x 故方程cx 2＋bx ＋a ＝0必有一根x 2，使得x 1＋x 2≥2．。
算术平均数与几何平均数(一)
教学目标（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；（3）能够解决一些简单的实际问题；（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；教学建议1．教材分析（1）知识结构本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强()调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．㈠定理教学的注意事项在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取…=‟号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：当时取等号，其含义就是：仅当时取等号，其含义就是：综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。
算术平均数与几何平均数(一)
算术平均数与几何平均数（一）1. 引言算术平均数和几何平均数是数学中常用的两个概念，用于统计和描述一组数据的特征。
在统计学和金融领域中，这两个平均数经常被使用来分析数据的趋势和稳定性。
本文将介绍算术平均数和几何平均数的定义、计算方法以及它们在实际应用中的意义。
2. 算术平均数算术平均数，也称为平均值，是数学中最常用的平均数表示方法。
它是一组数据中所有数值的总和除以数据个数得到的结果。
算术平均数用于描述一组数据的集中趋势，通常是用来代表数据的中心位置。
2.1 计算算术平均数的方法计算算术平均数的方法很简单，只需要将一组数据中的所有数值相加，然后除以数据的个数即可。
假设有n个数，记为x1, x2, x3, …, xn，那么它们的算术平均数记为A，计算公式为：A = (x1 + x2 + x3 + … + xn) / n例如，对于一组数据[1, 2, 3, 4, 5]，它们的算术平均数为：A = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) / 5 = 32.2 算术平均数的意义算术平均数是一组数据中最直观、最常见的统计指标，它具有以下几个特点：•代表性：算术平均数代表了一组数据的中心位置，它可以反映数据的整体水平。
•稳定性：算术平均数对于数据的极端值不敏感，即它不会因为少数异常值的存在而产生较大的偏离。
•可加性：若将一组数据分成若干子组，然后计算每个子组的平均数，最后再计算这些平均数的平均数，得到的结果仍然是原始数据的平均数。
由于算术平均数的性质和计算方法简单，它在实际应用中被广泛使用。
例如，在考试成绩统计中，计算整个班级的平均分就是利用了算术平均数。
3. 几何平均数几何平均数是一组正数的平均数表示方法，它是将这些数值依次相乘，然后开n次方得到的结果。
几何平均数用于描述一组数据的相对变化，通常用来比较和衡量一组数据的增长率。
3.1 计算几何平均数的方法计算几何平均数的方法相对较复杂，需要将一组数据中的数值依次相乘，然后开n次方。
算术平均数与几何平均数1
算术平均数与几何平均数1. 算术平均数算术平均数，也称为均值，是一组数值的总和除以数的个数所得到的结果。
它是最常用的平均数，可以代表一组数据的总体特征。
计算算术平均数的公式为：算术平均数 = 总和 / 数的个数例如，对于数字序列 {1, 2, 3, 4, 5}，计算算术平均数的步骤如下：1.将数字相加：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 152.计算数字的个数：53.将总和除以数字的个数：15 / 5 = 3所以，这个数字序列的算术平均数为 3。
2. 几何平均数几何平均数是一组数值的乘积的n次方根，其中n为数的个数。
它在涉及增长率、比率和比例的情况下特别有用。
计算几何平均数的公式为：几何平均数 = 乘积的n次方根例如，对于数字序列 {1, 2, 3, 4, 5}，计算几何平均数的步骤如下：1.将数字相乘：1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 1202.计算数字的个数：53.将乘积的5次方根：120^(1/5) ≈ 2.605所以，这个数字序列的几何平均数约为 2.605。
3. 算术平均数与几何平均数的比较算术平均数和几何平均数都是常用的统计概念，但它们在计算方法和应用领域上有所不同。
算术平均数适用于一组数据的总体特征的表示，它能展示数据的集中趋势，但对于存在较大数据差异的情况，算术平均数可能会被极端值拉动。
几何平均数主要用于计算比率或增长率，特别在涉及百分比和比例的情况下更有意义。
相较于算术平均数，几何平均数对于较大数值的影响较小，能更好地反映整体的趋势。
4. 应用示例下面以一个实际应用示例来说明算术平均数和几何平均数的不同应用场景。
假设我们要分析公司A和公司B的收入增长情况。
公司A在过去5年的收入数据如下：{100, 120, 150, 180, 200}，公司B在同期的收入数据如下：{50, 60, 70, 80, 90}。
我们可以计算出两家公司的算术平均数和几何平均数：对于公司A： - 算术平均数：(100 + 120 + 150 + 180 + 200) / 5 ≈ 150 - 几何平均数：(100 * 120 * 150 * 180 * 200)^(1/5) ≈ 150.16对于公司B： - 算术平均数：(50 + 60 + 70 + 80 + 90) / 5 = 70 - 几何平均数：(50 * 60 * 70 * 80 * 90)^(1/5) ≈ 67.68通过比较两家公司的算术平均数和几何平均数，我们可以发现，算术平均数更能代表公司的整体收入情况，而几何平均数更能反映公司的收入增长率。
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教学目标
（1）掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一重要定理；
（2）能运用定理证明不等式及求一些函数的最值；
（3）能够解决一些简单的实际问题；
（4）通过对不等式的结构的分析及特征的把握掌握重要不等式的联系；
（5）通过对重要不等式的证明和等号成立的条件的分析，培养学生严谨科学的认识习惯，进一步渗透变量和常量的哲学观；
教学建议
1．教材分析
（1）知识结构
本节根据不等式的性质推导出一个重要的不等式：，根据这个结论，又得到了一个定理：，并指出了为的算术平均数，为的几何平均数后，随后给出了这个定理的几何解释。
（2）重点、难点分析
本节课的重点内容是掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”；掌握两个正数的和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值的结论，教学难点是正确理解和使用平均值定理求某些函数的最值．为突破重难点，教师单方面强调是远远不够的，只有让学生通过自己的思考、尝试，注意到平均值定理中等号成立的条件，发现使用定理求最值的三个条件“一正，二定，三相等”缺一不可，才能大大加深学生对正确使用定理的理解，教学中要注意培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．
㈠定理教学的注意事项
在公式以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：
（1）和成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数。
例如成立，而不成立。
（2）这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的“当且仅当……时取‘=’号”这句话的含义要搞清楚。
教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：
当时取等号，其含义就是：
仅当时取等号，其含义就是：
综合起来，其含义就是：是的充要条件。
（二）关于用定理证明不等式
当用公式，证明不等式时，应该使学生认识到：
它们本身也是根据不等式的意义、性质或用比较法（将在下一小节学习）证出的。
因此，凡是用它们可以获证的不等式，一般也可以直接根据不等式的意义、性质或用比较法证明。
（三）应用定理求最值的条件
应用定理时注意以下几个条件：
（1）两个变量必须是正变量；
（2）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值；
（3）当且仅当两个数相等时取最值．
即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．
在求某些函数的最值时，还要注意进行恰当的恒等变形、分析变量、配置系数．
（四）应用定理解决实际问题的分析
在应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理解决这类实际问题时，要让学生注意；
（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）正确写出答案。
2．教法建议
（1）导入新课建议采用学生比较熟悉的问题为背景，这样容易被学生接受，产生兴趣，激发学习动机．使得学生学习本节课知识自然且合理．（2）在新授知识过程中，教师应力求引导、启发，让学生逐步回忆所学的知识，并应用它们来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构．对有关概念使学生理解准确，尽量以多种形式反映知识结构，使学生在比较中得到深刻理解．
（3）教学方法建议采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥教师主导作用，体现学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，启发诱导学生深入思考问题，有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质．
（4）可以设计解法的正误讨论，这样能够使学生尝试失败，并从失败中找到错误原因，加深对正确解法的理解，真正把新知识纳入到原有认知结构中．（5）注意培养应用意识．教学中应不失时机地使学生认识到数学源于客观世界并反作用干客观世界．为增强学生的应用意识，在平时教学中就应适当增加解答应用问题的教学，使学生不禁感到“数学有用，要用数学”．
第一课时
教学目标：
1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；
2．理解定理的几何意义；
3．能够简单应用定理证明不等式.
教学重点：均值定理证明
教学难点：等号成立条件
教学方法：引导式
教学过程：
一、复习回顾
上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾.
（学生回答）
由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.
二、讲授新课
1．重要不等式：
如果
证明：
当
所以，
即
由上面的结论，我们又可得到
2．定理：如果是正数，那么
证明：∵
即
显然，当且仅当
说明：ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求
都是实数，而后者要求都是正数.
ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.
3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.
以长为的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，.过点C作垂直于直径AB 的弦DD′,那么
即
这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即时，等号成立.
在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.
4．例题讲解：
例1 已知都是正数，求证：
（1）如果积是定值P,那么当时，和有最小值
（2）如果和是定值S,那么当时，积有最大值证明：因为都是正数，所以
（1）积xy为定值P时，有
上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值.
（2）和为定值S时，有
上式当时取“=”号，因此，当时，积有最大值.
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;
（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
（3）等号成立条件必须存在.
接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.
三、课堂练习
课本P
练习2，3
11
要求：学生板演，老师讲评.
课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件. 课后作业：习题6.2 1，2，3，4
板书设计：
第二课时
教学目标：
1．进一步掌握均值不等式定理；
2．会应用此定理求某些函数的最值；
3．能够解决一些简单的实际问题.
教学重点：均值不等式定理的应用
教学难点：
解题中的转化技巧
教学方法：启发式
教学过程：
一、复习回顾
上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件.
（学生回答）
利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练.
二、讲授新课
例2 已知都是正数，求证：
分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.
证明：由都是正数，得
即
例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.
解：设水池底面一边的长度为x m，水池的总造价为l元，根据题意，得
当
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.
评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.
为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂练习.
三、课堂练习
练习1，4
课本P
11
要求：学生板演，老师讲评.
课堂小结：
通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用.
课后作业：
习题6.2 5,6,7
以下无正文
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
толькодля людей, которые используются для обучения, исследований и не должны использоваться в коммерческих целях.
For personal use only in study and research; not for commercial use.
Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.
Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales.。