离散数学 第一章：命题逻辑

1.1 命题符号化及联结词
一. 命题
判断真假的陈述句为命题. 2．命题的真值 称判断为正确的命题的真值为真， 称判断为错误的命题的真值为假.
1.命题的定义
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
3．判断一个句子是否为命题 1）陈述句 2)真值是否唯一
例1. 判断下列句子中哪些是命题。 ① 2是素数。 真 ② 雪是黑色的。 假 命题 ③ 2+3=5. 真 ④ 明年10月1日是晴天。 ⑤ 3能被2整除。 假 ⑥ 这朵花多好看呀！ 感叹句 ⑦ 明天下午有会吗？ 疑问句 不是命题 ⑧ 请关上门！祈使句 ⑨ x+y>5. 没有确定的真值 ⑩ 地球外的星球上也有人. 命题 注: ④的真值虽然现在还不知道，但到明年10月1日就知道了, 因而是命题，真值唯一； ⑩的真值也是唯一的,只是我们还不知道而已，随着科学技术 的发展，真值会知道的，因而也是命题。

例4. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解:
将下列命题符号化. 只要不下雨,我就骑自行车。 p q q 只有不下雨,我才骑自行车。 p 若2+2=4,则太阳从东方升起。p q 若2+2 4,则太阳从东方升起。 p q 若2+2=4,则太阳从西方升起。 p r 若2+2 4,则太阳从西方升起。 p r 先分析(1)(2). 设 p : 天下雨, q : 我骑自行车. 再分析(3)-(6). 设 p : 2+2=4 q : 太阳从东方升起 r : 太阳从西方升起
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
pq
1 1 0 1
例2 中(4)
如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B. p q
p : 角A和角B是对顶角
q : 角A等于角B.
其它联结词:
“只要p就q”, “只有q才p”, “除非q才p”,
“p仅当q”, “没有q就没有p”, “除非q否则非p”.
pq
其它的合取联结词: “既…又…”,“不仅…而且…”,
“虽然…但是…”

例3. (1) (2) (3) (4) 解:
将下列命题符号化. 李平既聪明又用功。 p q 李平虽然聪明但不用功。p q 李平不但聪明而且用功。 p q 李平不是不聪明而是不用功. p q 设 p :李平聪明, q : 李平用功. 联结.
二、命题符号化
1．简单命题或原子命题：不能再分解成更简单的句子的命题。 表示方法： 小写字母p,q,r,… 命题的符号化：将表示命题的符号放在该命题的前面, 称为命题的符号化。 P是真命题； 例： p: 2是素数. q: 雪是黑色的。 q是假命题. 注：对于简单命题而言，真值是确定的，因而又称为命题常 项或命题常元。上面的都是命题常项。 2. 在例1.1中（9）不是命题，但当给定与确定的值后，它 的真值就确定下来，这种真值可以变化的简单陈述句称为命 题变项或命题变元。也用p,q,r,…表示。 注: (1) 符号p, 可能是命题常项,也可能是命题变项，一般 由上下文确定。 (2) 命题变项不是命题.
(5)等价联结词
定义:
“
设 p, q 为任两命题，复合命题 p 当且仅当 q ”称为
p 与 q的等价式, 记作 p q , 称为等价联结词。
真值: p q为真当且仅当 p , q
p
0 0 1 1
真值相同.
q
0 1 0 1
pq
1 0 0 1
例2 中 (4)2+2=4当且仅当3是奇数。p q
3. 自学要求：
通过课前、课后反复看书，及做课后 习题，来加深对该课程中的一些基本概念 的理解，逐步提高自己的抽象思维和逻辑 推理能力。
目 录
第一章 命题逻辑
第二章
第三章
一阶逻辑
集合的基本概念和运算
第四章
第五章
二元运算和函数
代数系统的一般系统
第六章
几个典型的代数系统
第一章
命题逻辑
数理逻辑是用数学方法研究思维规律的一门学科。所谓数 学方法是指:用一套数学的符号系统来描述和处理思维的形式与 规律。因此, 数理逻辑又称为符号逻辑。它与数学的其他分支 计算机科学，人工智能、语言学等学科均有密切的联系，并且 日益显示出它的重要作用和更加广泛的应用前景. 本章介绍数理逻辑中最基本的内容命题逻辑。首先引入命 题、命题公式等概念。然后,在此基础上研究命题公式间的等值 关系和蕴含关系,并给出推理规则,进行命题演绎。 主要内容如下： 1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类 1.3 等值演算 1.4 联结词全功能集 1.5 范式 1.6 推理理论
p
0
q
0
p q
0 1 1 1
0
1 1
1
0 1
例2 中(2)
林芳学过英语或日语 p q p : 林芳学过英语 q : 林芳学过日语
注:
p (1) 析取式 p q : “相容性或”,即允许 与 q 同时为真.
(2) “排斥或” 例. 派小王或小李中的一人去开会.
p : 派小王去开会 q : 派小李去开会
r
(4) r p q
(5) p q r s
1.2
命题公式及分类
知识要点 1. 命题公式 2. 命题公式的层次 3. 公式的赋值或解释 4. 真值表 5. 命题公式的分类
1.
命题公式
定义1. 合式公式 (1)单个命题常项或变项 p, q , r , , pi , qi , , 0, 1 是合式公式; (2)如果 A 是合式公式,则( A ) 也是合式公式; (3)如果 A, B 是合式公式, 则 ( A B ), ( A B ), ( A B ), ( A B ) 也是合式公式; (4)只有有限次的应用 (1) ( 3) 组成的符号串才是合式公式. 注1.合式公式也称为命题公式,简称为公式. 注2.规定 ( A),( A B ), ( A B ), ( A B ), ( A B )等的 外层括号可以去掉. 例如: ( p q ), p (q r ), ( p q ) r 等都是命题公式, 但 pq r , p q r 等都不是命题公式.
游戏3：哥尼斯堡七桥游戏
一条河中有一个小岛，连接岛与岸之间有7座 桥（如下图），问是否可一次走遍，不许重复也不 许遗漏．
游戏4：国王的遗嘱
从前有个国王，因担心自己死后五个儿子会因 争夺土地而互相残杀，临终立下一条遗嘱并留下一 个锦盒。遗嘱说：他死后请孩子们将国土划分为五 个区域，每人一块，形状任意，但任一块区域必须 与其它四块都相邻。如果在划分疆土时遇到困难， 可以打开锦盒寻找答案。 国王死后，孩子们开始设法按照遗嘱划分国土， 但绞尽脑汁，仍没能如愿划分。
3. 命题的真值符号化: 一般用1表示真，用0表示假. 有时也用1表示真命题，用0表示假命题.
三. 复合命题及联结词
复合命题 :用连接词把简单命题联结而成的命题称为复合命题. 例2. 将下列命题符号化. 否定联结词 (1) 3不是偶数。 （并非） （并且） 合取联结词 (2) 2是素数和偶数。 (3) 林芳学过英语或日语。 析取联结词 (4) 如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B. 蕴涵联结词 (5) 2+2=4当且仅当3是奇数。 等价联结词
游戏2：逻辑学家的困境
一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱，酋长欲 意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由， 一为死亡，你可任意开启一门。现从两个战士中选 择一人负责解答你所提的任何一个问题（Y/N）， 其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你 选择。”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然 后开门从容离去。逻辑学家应如何发问？
山东经济学院统计与数学学院
离 散 数 学
Discrete Mathematics
制作人: Email : 杨 素 香 ysx_0_79@
教材与参考文献
教材: 耿素云、屈婉玲、张立昂编.离散数学(第三版). 清华大学出版社, 2004. 参考文献 1)左孝凌、李为鑑、刘永才编. 离散数学. 上 海科学技术文献出版社,2001. 2)Kenneth H.Rosen(美)，离散数学4; 有些命题带“和”及“与”,但不能用
李平文与李斌是兄弟. 王芳和陈兰是好朋友.
例. (1) (2)
简单 命题
(3)析取联结词
定义:
p q 设 p, q 为任两命题，复合命题“p 或 ”称为
q 与
的析取式, 记作 p q ,
称为析取联结词。
同时为假.
真值: p q为假当且仅当 p, q
与
q p 设 p, q 为任两命题，复合命题“p 并且 ”称为
pq
q

的合取式, 记作 , 称为合取联结词。 真值: p q为真当且仅当 p, q 同时为真.
p
0 0 1 1
q
0 1 0 1
pq
0 0 0 1
例2 中(3)
2是素数和偶数。 p : 2是素数 q : 2是偶数 p q : 2是素数和偶数
5种联结词
(1) 否定联结词
定义:
式,
p 设 p 为任一命题，复合命题“非p ”称为
的否定
p
p
0

真值:
记作 , p 为真当且仅当称为否定联结词。 p 为假.
p
1 0 真值 0 1
1
例2 中(1) 3不是偶数。
p : 3是偶数。 p : 3不是偶数。
(2) 合取联结词
定义:
真值 1 0 0 1 1 0
p : 2+2=4, q : 3是奇数.
再分析(5). 设 p : 两圆面积相同 q : 两圆半径相等 分析(6). 设 p : 两角相同 q : 两角是对顶角