分数拆项与裂项

分数的速算与巧算

1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌

握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小

数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨

一、裂项综合

（一）、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1

a b

⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有

1111

()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1

(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)

n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有：

1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++

1111

[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)

n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11

a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）

2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1

(1)(1)3

n n n =

-⨯⨯+ (2) 1

123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4

n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+

二、换元

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．

三、循环小数化分数

0.9a =

； 0.99ab =； 0.09910990

ab =⨯=

； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：

例：

110=11

2020+

=()()11+=()()11+=()()11+=()()

11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：

从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：

11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==+

+++=11

A B

+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。 例如：选1和2，有：

11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015+==+=++++ 本题具体的解有：

111111111

1011110126014351530

=+=+=+=+

例题精讲

模块一、分数裂项

【例 1】

11111

123423453456678978910

+++⋅⋅⋅++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式111111131232342343457898910⎛⎫

=⨯-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭

11131238910⎛⎫=⨯- ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭119

2160=

【巩固】 333

(1234234517181920)

+++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【解析】 原式1111111

3[(...)]3123234234345171819181920=⨯⨯-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯

113192011139

1231819201819206840

⨯⨯-=-==

⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 2】 计算：5719

1232348910

+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ．

【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不

相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等

差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算． 原式3234316

1232348910

+++=

+++

⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111

283212323489101232348910⎛⎫⎛⎫

=⨯++++⨯+++

⎪

⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝

⎭

111111111132212232334899102334910⎛⎫⎛⎫

=⨯⨯-+-++-+⨯+++

⎪

⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭

31111111122129102334

910⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+-++- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭