结构力学2复习

0 0
-12EI -6EI l3 l2 6EI l2 2EI l
4EI l
2、单元刚度矩阵的性质
（1）单元刚度系数的意义
k ij —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。
例如 k52
e
12 EI 代表单元杆端第2个位移分量 v1 1 时所引起的第5个杆 3 l 端力分量 Y2 的数值。
点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移 。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上 小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越 沿振动方向施加的力。 大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。 Δst 在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 （ 3=Wδ—— ）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。 点沿振动方向所产生的位移 。 反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷 计算时可根据体系的具体情况，视δ、 k、 Δst 三参数中哪一 载作用下的动力性能基本一致。 个最便于计算来选用。 v y (t ) y cos t sin t.......... ......(e) 位移响应：
原荷载
+
{FP}
等效结点荷载{P}
结点结束力——{FP} 显然
结点结束力——{FP}
{P}=–{FP}………解决了计算等效结点荷载的问题
等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力
3、 综合结点荷载
[1] 直接作用于结点的荷载，为结点外力或支座反力。 [2] 对于非结点荷载作等效变换后得到等效结点荷载。 计算步骤如下： [A] 根据单元所受到的非结点荷载情况，计算单元局部坐标系下 e F e 。式中 F 的单元等效结点荷载 {P} 为单元固端约 P P 束力。
e
e
e
有一组力的解答(唯一的)，即正问题。 如果 F

e
不是一组平衡力系则无解；若是一
组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。
三 单元刚度矩阵(整体座标系) e e e 1、单元座标转换矩阵 单元杆端力的转换 X 1 X 1 cos Y1 sin 式、单刚的转换式 Y1 e e Y1 X 1 sin Y1 e cos X1 e e M M 1 1 X1 x M1 M1 e e X e cos Y e sin X 2 2 2 M2 Y1 X2 e e Y2 X 2 sin Y2e cos X2 x e e y M2 M2 y Y2 e e e 0 0 0 X 1 X 1 cos sin 0 sin cos 0 Y 0 0 0 Y 1 1 e e M1 0 0 1 0 0 0 M 1 F T F 0 0 cos sin 0 X 2 X2 0 Y2 0 0 0 sin cos 0 Y2 座标转换矩阵 0 0 0 0 1 M 2 M 2 0
表示结点位移{}和结点力{F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而
不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。
1、位移法基本方程
k11 1+ k12 2+ · · · · · · · · · · + k1n n+F1P=0 k21 1+ k22 2 +· · · · · · · · · · + k2n n+F2P=0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · k + k +· · · · · · · · · · + k +F =0
e
P
=
e
+
[K]{} = {F} {FP}
结束
ch10
结构的动力计算
一、动力计算的特点、自由度和方法
“动力荷载”是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷
载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，
由它所引起的内力和变形都是时间的函数。 确定体系上全部质量位置所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 动力计算方法：动力平衡法（达朗伯尔原理）
F k
e

e
e
这就是局部座标系中的单元刚度方程。 (1) (2) (3) (4) (5) u1 1 v1 1 1 1 u2 1 v2 1 EA l 0 0 -EA l 0 12EI l3 6EI l2 0 0 6EI l2 4EI l 0 EA l 0 0 12EI l3 6EI l2 0 12EI l3 -6EI l2
过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段； 平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）
按荷载频率振动
平稳阶段：
y y st
1 1
2

2
sint
1 1 2 2
最大动位移（振幅）为：
[ y ]max y st
[ y ]max 1 动力系数β为： y st 1 2 2 重要的特性： 当θ/ω→0时,β→1，荷载变化 得很慢，可当作静荷载处理。 3 当0< θ/ω <1时,β>1，并且随 θ/ω的增大而增大。 2 当θ/ω →1时,β→∞。即当荷载 频率接近于自振频率时，振幅会 1 无限增大。称为“共振”。通常 0 1 2 3 把0.75< θ/ω <1.25称为共振区。 当θ/ω >1时,β的绝对值随θ/ω 的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。
e
4 EI 2 EI 6 EI 1 2 2 v1 v2 l l l 2 EI 4 EI 6 EI 1 2 2 v1 v2 l l l 6 EI 12EI 2 1 2 3 v1 v2 l l 6 EI 12EI 2 1 2 3 v1 v2 l l
2
简谐振动的通解可写为： y C1 sint C 2 cost y st 设t=0时的初始位移和初始速度均为零，则：
C1 y st , 2 2 1
C2 0

2
sint
y y st (sint sint ) 2 2 1
1
按自振频率振动

F k T F
e e e p
e
五
计算步骤和算例
开始
原始数据、局部码、总码 单元固 e F P 端力
程序设 计框图
求单元常数

{P} [K]
解方程[K]{}={P} 求出结点位移 {}
求杆端力 e e
单元刚度 矩阵 k e
{}
[T]
F k F

cos sin 0 T 0 0 0
sin cos 0 0 0 0
0 0 1
0 0 0
0 0 0 sin cos 0
0 cos 0 sin 0 0
0 0 0 0 0 1
正交矩阵
[T]-1 =[T]T 或 于是可以有 同理可以有 [T][T]T=[T]T [T] =[I] e e T
单元编号 杆端编号 局部座标 杆端位移编号
(b)
1
v1
u1
2 2
u2
v2
2 M2
(c)
1 M1
X1
X2
杆端力编号
将上面六个方程合并，写成矩阵形式：
EA u1 u2 l EA u1 u2 X2 l X1
M1 M2 Y1 Y2
X 1 EA l Y1 0 M 0 1 EA X l 2 0 Y2 0 M 2

[B] 利用单元坐标转换矩阵T，求整体坐标系下的单元等效结 点荷载 e e T
P T P
[C] 利用单元定位向量依次将单元结点荷载集成到整体结构的 等效结点荷载向量{P}
4、 各杆的杆端力 单元杆端力的计算公式为
F k F
e e e
P
e
而将 e T e 代入上式，得
二、单自由度体系的自由振动
运动微分方程
ky 0 m y
.......... .......... .......... ......(b)
自振周期计算公式： 圆频率计算公式： 一些重要性质：
T 2
m st 2 k g
k 1 g g m m W st
{F} =[k] {}
（a）式可转换为： 两边前乘[T]T
e
(b)
(c) (d) (e)
e e [T] {F} = k [T] {}e
{F}e =[T]T k e [T]{}e [k] e = [T]T k e [T]
e
的性质与
比较式(b)和(d)可得：
[k]
k
e
一样。
四 等效结点荷载 {F}= [K]{} ………………(1) 结构体系刚度方程：
F T F
F T F
e
e
T
e
ⓔ
T
e
ⓔ
T
2、整体座标系中的单元刚度矩阵 e e
（解决 k 与[k] 的关系）
e
e
在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：
F k
e e