【教师版】第三讲-一元二次方程的整数根问题

第三讲 一元二次的整数根问题

形如02=++c bx ax 的一元二次方程的整数根是一元二次方程的性质中较为复杂

的问题，它不仅涉及到二次方程的相关知识，而且还经常用到因式分解、整除和不定

方程的解法等有着知识，具有较强的综合性和技巧性。因此成为近年来各种自招考试

的热点。下面就以试题为例，谈谈这类题的几种解题常用方法。

【例题解析】

一、利用因式分解

例1、已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根都是整数，

那么符合条件的整数a 有___________个.

解: 当a=1时,x=1

当a ≠1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0 即得1221,11x x a ==-+

- ∵ x 是整数

∴ 1-a=±1,±2, ∴a=-1,0,2,3

由上可知符合条件的整数有5个.

由此128x x ⋅=或0，分别代入②，得7m =或1m =-

例2、已知关于x 的方程()

()221251240a x a x --++=有两个不等的负整数根，数a 的值。

解：()()()2222101145025142410a a a a a a ⎧-≠≠±⎧⎪⎪⇒⇒≠±⎨⎨∆=+>∆=+-⨯->⎡⎤⎪⎪⎩⎣⎦⎩、5a ≠-， 方程的两根为141x a =+，261

x a =-，12x x <，即 ()()112212112

24146223032661a x x x x x x x x x a x ⎧+=⎪⎪⇒=-⇒-+=⇒+-=-⎨⎪-=⎪⎩

2211

31,2,3,62,1,0,326,3,2,14,1,0,1x x x x +==--⎧⎧⇒⇒⎨⎨-=----=--⎩⎩，因为1x 、2x 为两个不等的负整数根，所以2124

x x =-⎧⎨=-⎩，则4124a a +=⇒=--。

例3、设关于x 的二次方程2222(68)(264)4k k x k k x k -++--+=

的两根都是整数，求满足条件的所有实数k 的值。

解：22222(264)4(4)(68)4(6)k k k k k k =-----+=-

由求根公式得222642(6)2(68)

k k k x k k -++±-=-+ 即 12241,142

x x k k =--=---- 由于x ≠-1，则有12244,211k k x x -=-

-=-++ 两式相减，得1224211

x x -=++ 即 12(3)2x x +=-

由于x 1，x 2是整数，故可求得122,4x x ==-或122,2x x =-=-或121,5x x ==- 分别代入，易得k=

3

10，6，3。

二、利用判别式是完全平方式

求形如02=++c bx ax 的方程只有一个整数根，或至少有一个整数根时，可以根据判别式一定是完全平方式解题。

例4、 已知关于x 的方程x 2＋（k ＋1）x ＋（k －1）＝0有两个整数根，求整数k 的值。 解法一（判别式之完全平方数）：

由题意得，△＝k 2＋2k ＋1－4k ＋4＝k 2－2k ＋5＝（k －1）2＋4＝n 2（n ∈N ）。

∴n 2－（k －1）2＝4，（n －k ＋1）（n ＋k －1）＝4.

∵n －k ＋1与n ＋k －1同奇偶性，∴12,212,2

n k n k -+=-⎧⎨+-=-⎩，k ＝1。

原方程为x 2＋2x ＝0，x 1＝－2，x 2＝0。∴k ＝1。

例5、当m 是什么整数时，关于x 的一元二次方程2440mx x -+= 与2244450x mx m m -+--=的根都是整数。

解：∵方程2440mx x -+=有整数根，

∴⊿=16-16m ≥0，得m ≤1

又∵方程2244450x mx m m -+--=有整数根

∴22164(445)0m m m =---≥ 得5

4

m ≥- 综上所述，－4

5≤m ≤1 ∴x 可取的整数值是-1，0，1

当m=-1时，方程为－x 2-4x+4=0 没有整数解，舍去。

而m ≠0 ∴ m=1

例6、已知方程210x mx m +-+= 有两个不相等的正整数根，求m 的值。

解：设原方程的两个正整数根为x 1，x 2，则m=－(x 1+x 2)为负整数.

∴244m m =+-一定是完全平方数

设2244m m k +-=（k 为正整数）

∴22(2)8m k +-=

即：(2)(2)8m k m k +++-=

∵m+2+k ≥m+2-k,且奇偶性相同

∴2422m k m k ++=⎧⎨+-=⎩或2224m k m k ++=-⎧⎨+-=-⎩

解得m=1＞0（舍去）或m=－5。

当m=－5时 ，原方程为x 2-5x+6=0，两根分别为x 1=2，x 2=3。

三、利用韦达定理（数的整除性，消参）

例7、 已知关于x 的方程kx 2＋（k ＋1）x ＋（k －1）＝0有两个整数根，求整数k 的值。

解法六（根与系数关系，整除）：

由题意得，k ≠0，x 1＋x 2＝－1－1k ，x 1x 2＝1－1k

。∵x 1、x 2、k ∈Z ，∴k ＝±1。 k ＝1时，x 2＋2x ＝0，x 1=0，x 2=－2；k ＝－1时，－x 2－2＝0，无整数根，舍去。∴k ＝1.

例8、当m 是什么整数时,关于x 的方程2(1)10x m x m --++=

的两根都是整数?

解：设方程的两整数根分别是x 1，x 2，由韦达定理得

121x x m +=-① 121x x m ⋅=+②

由②-①消去m ，可得12212x x x x --=

12(1)(1)3131(3)x x --==⨯=-⨯-

则有121113x x -=⎧⎨-=⎩ 或121113

x x -=-⎧⎨-=-⎩

解得：1224x x =⎧⎨

=⎩ 或1202x x =⎧⎨=-⎩

例9、已知关于x 的方程()2

1210x m x m --+-=的两根都是正整数，求m 的值。