穷举及其优化

1 3 5
9 8 7
2 4 6
分析：本题目有9个格子，要求填数，如果不考虑 问题给出的条件，共有9！=362880种方案，在 这些方案中符合问题条件的即为解。因此可以采用 穷举法。 但仔细分析问题，显然第一行的数不会超过400， 实际上只要确定第一行的数就可以根据条件算出其 他两行的数了。这样仅需穷举400次。
例3、除法运算（NOIP1995初中组复赛第一题） 设有下列的除法算式：
请根据上述算式中的信息求出被除数和除数。
分析：设除数为x，被除数为y，由算式信息可知： 10<=x<=99，1000<=y<=9999，且8*x<=99， 9*x>=100。因此，我们可选择枚举除数，而被除数 则可按公式y=809*x+1计算得出。
例2、选数：已知n（1<=n<=20）个整数x1,x2,…,xn （1<=xi<=5000000），以及一个整数k（k<n）。从n 个整数中任选k个整数相加，可分别得到一系列的和。 例如当n=4，k=3，4个整数分别为3，7，12，19时， 可得到的全部组合及它们的和为 3+7+12=22,3+7+19=29,7+12+19=38,3+12+19=34。 现在，要求你计算出和为素数的组合共有多少种。 如上例中，只有一种组合的和为素数：3+7+19=29。 输入： 样例 n , k 输入： x1，x2，…，xn 43 输出： 一个整数(满足条件的组合个数) 3 7 12 19 输出： 1
var x,y:integer; begin for x:=10 to 99 do ｛枚举除数x，范围是 10～99｝ begin y:=809*x+1; ｛计算出被除数y｝ if y>9999 then break; if (y>=1000) and (8*x<=99) and (9*x>=100) then writeln(y,' ',x);｛验证，如果 满足要求，则输出｝ end; end.
B8
优化思路：分解约束条件，将拆分的约束条 件嵌套在相应的循环体间，尽可能减少可行解 的数目，也称为“剪枝”，即把明显不符合条 件的可行解尽可能地剪去，减少穷举的计算量。
六、实例分析：
例7、巧妙填数。 问题描述：将1～9这九个数字填入九个空格中。 每一横行的三个数字组成一个三位数。如果要使第 二行的三位数是第一行的两倍，第三行的三位数是 第一行的三倍，应怎样填数。如图所示。
如何优化穷举算法
提高穷举效率的方法：
1、根据问题的实际需要，将反复操 作部分预处理掉； 2、根据问题的实际的条件实施剪枝 处理。
例4、阿姆斯特朗数。 问题描述：编一个程序找出所有的三位数到七位数 中的阿姆斯特朗数。 阿姆斯特朗数也叫水仙花数, 它的定义如下:若一个n位自然数的各位数字的n次 方之和等于它本身,则称这个自然数为阿姆斯特朗数。
生成法求组合
for i:=0 to k do a[i]:=i; {产生第一种组合} while a[0]=0 do begin sum:=0; { sum是累加器，求当前组合的k个整 数之和} for i:=1 to k do sum:=sum+x[a[i]]; if fit(sum) then total:=total+1; {验证当前组合的 k个整数之和是否为素数} j:=k; while a[j]=n-k+j do j:=j-1; a[j]:=a[j]+1; {产生一种新的组合} for i:=j+1 to k do a[i]:=a[i-1]+1; end;
如何来优化算法呢?
如果注意到b3和b6两个格子，与它们“相邻”的格子 有6个，也就是说，放入这两个格子中的数，必须和6个 数不连续，仅可以和一个数是连续的，这样的数只有2个， 即1和8。这样，b1，b3，b6，b8；4个格子中数的放 法仅有两种可能：2、8、1、7和7、1、8、2。而b2、 b4、b5、b7四个格子中的数仅需在3、4、5、6四个 数中选择。经过上述优化，可行解仅有：2×4！＝48个， 大大减少了计算量。并且检验是否符合要求， 也只需检查(b1，b2)， B1 (b1，b4)，(b2，b5)， B2 B3 B4 (b4，b7)，(b5，b8)， B5 B6 B7 (b7，b8)这6对数之差就可以了。
a[0] 0
0 0 0
a[1], 1
1 1 2
a[2] 2
2 3 3
a[3] 3
4 4 4
生成的组 合 3
3 3
7
7
12
19
1
2
3
4
12 19 7 12 19 循环结束
② 判断一个整数是否为素数 判断一个整数P(P>1)是否为素数最简单的方法就是 看是否存在一个素数a(a<=sqrt(P))是P的约数，如果 不存在，该数就为素数。由于在此题中 1<=xi<=5000000，n<=20，所以要判断的数P不会超 过100000000，sqrt(p)<=10000，因此，为了加快速 度，我们可以用筛选法先将2…10000之间的素数保 存到一个数组里（共1229个），这样速度估计将提 高许多。
sum:=sum+power[digit[i],highest]; if sum=currentnumber
then begin total:=total+1;
write(currentnumber:maxlen+5); if total mod 6=0 then writeln end;
digit[1]:=digit[1]+1;
程序： const maxlen=7; var i,j,currentnumber,highest,sum,total:longint; digit:array [0..maxlen+1] of integer; power:array [0..9,0..maxlen] of longint; begin for i:=0 to 9 do begin power[i,0]:=1; for j:=1 to maxlen do power[i,j]:=power[i,j-1]*i end;
LINK 1 1 2 1 3 1 4 2 5 2 6 2 7 3 …… 13 6 14 7
2 3 4 3 5 6 4 7 8
表中表示哪两个格子是相邻的，link[i,1]和 link[i,2]是相邻的格子的编号。全排列的产生，可 以用八重循环，也可以用构造的算法，程序留给同学 们自己去完成。利用穷举策略编制的程序，其运算量 一般是很大的，因此如何提高算法效率是穷举算法一 个很重要的问题。一般应尽量减少可行解的个数，使 得第二步的检验运算量尽可能地少。
begin
i:=1;
while digit[i]=10 do digit[i+1]:=digit[i+1]+1; digit[i]:=0; i:=i+1 end;
进位
if i>highest then highest:=i;
currentnumber:=currentnumber+1 end;
writeln
分析：本题可分解成以下两部分： 从n个数中任取k个数的组合 因为n<=20，所以可以用穷举实现。用数组 a[1],a[2],…,a[k]记录每种组合中各数的下 标，a[0]是循环开关，初始时a[0]=0，当 a[0]=1时穷举结束。当选用前面的输入样 例，n=4，k=3时，a[0]～a[3]的变化如下表 所示：
穷举及其优化
泰州二附中 谢志锋
例1、一个火星人用一个人类的手演示了如何用 手指计数。如果把五根手指——拇指、食指、中指、 无名指和小指分别编号为1，2，3，4和5，当它们按 正常顺序排列时，形成了5位数12345，当你交换无 名指和小指的位置时，会形成5位数12354，当你把 五个手指的顺序完全颠倒时，会形成54321，在所有 能够形成的120个5位数中，12345最小，它表示1； 12354第二小，它表示2；54321最大，它表示120。 下表展示了只有3根手指时能够形成的6个3位数和它 们代表的数字： 三进制数 123 132 213 231 312 321 代表的数字 1 2 3 4 5 6
for i:=1 to maxlen do digit[i]:=0; digit[3]:=1; highest:=3; currentnumber:=100; total:=0;
while digit[maxlen+1]=0 do
begin sum:=0;
for i:=1 to highest do
分析：枚举对象为x和y，范围如何？ 仔细观察1/12=1/156+1/13 可以看 出来，x可以比y大很多。Y是有一定范围的。
通过不等式变形：
1 1 1 1 1 x y，有 ，因此 ，即y 2k x y k y y
显然，Hale Waihona Puke Baidu需在2k范围内枚举y，然后 根据y尝试计算出x即可。
例6、方格填数。 问题描述：如图所示的8个格子中放入1～ 8八个数字，使得相邻的和对角线的数字之 差不为1。编程找出所有放法。
B1 B2 B5 B3 B6 B8 B4 B7
分析：我们先不考虑后一条件， 只考虑第一个条件，即把1～8八 个数字放入8个格子中。这是容易 做到的，就是8个数字的全排列， 共有8!=40320种放法。然后对 这8!个可行解用后一个条件加以 检验，输出符合条件的解。对于 后一个条件中“相邻”的判断， 可以建立一个邻接表来解决：
end.
例5：分数拆分 输入正整数k，找到所有的正整数x≥y， 使得 1 1 1
k x y
样例输入： 2 12 样例输出 2 1/2=1/6+1/3 1/2=1/4+1/4
12 1/12=1/156+1/13 1/12=1/84+1/14 1/12=1/60+1/15 1/12=1/48+1/16 1/12=1/36+1/18 1/12=1/30+1/20 1/12=1/28+1/21 1/12=1/24+1/24
min:=a[i];mini:=i; end; temp:=a[mini]; a[mini]:=a[j-1]; a[j-1]:=temp; for x:=j to n-1 do for y:=j+1 to n do if a[x]>a[y] then begin temp:=a[x]; a[x]:=a[y]; a[y]:=temp; end; t:=t+1; if t=m then break; end;
现在你有幸成为了第一个和火星人交流的地球人。 一个火星人会让你看他的手指，科学家会告诉你要 加上去的很小的数。你的任务是，把火星人用手指 表示的数与科学家告诉你的数相加，并根据相加的 结果改变火星人手指的排列顺序。输入数据保证这 个结果不会超出火星人手指能表示的范围。 【样例输入】 5 3 12345 【样例输出】 12453 【数据规模】 对于30%的数据，N<=15； 对于60%的数据，N<=50； 对于全部的数据，N<=10000；
问题分析
直接穷举，因为数据较大显然不能达到 目的，由于本题本质上是求全排列，这里用 生成法求全排列比较合适。
read(n); read(m); for i:=1 to n do read(a[i]); t:=0; a[0]:=0; while a[0]=0 do begin j:=n; while a[j]<a[j-1] do j:=j-1; mini:=j;min:=a[j]; for i:=j to n do if (a[i]>a[j-1]) and (a[i]<min) the begin
例 如 153(153=1*1*1+3*3*3+5*5*5) 是一个三位数的阿姆斯特朗数,8208则是一个四位 数的阿姆斯特朗数。
算法分析：
为了使得程序尽快运行出正确结果,程序中使 用了一个数组power存放所有数字的各次幂之值, power[i,j] 等 于 i 的 j 次 方 。 变 量 currentnumber存放当前要被验证的数,数组 digit 存 放 当 前 数 的 各 位 数 字 , 开 始 时 digit[3]=1,其它元素均为0,此时表示当前数为 100。 highest为当前数的位数。