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浙江省高考数学模拟试卷

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浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题天干地支纪年法(简称干支纪年法)是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲､乙，丙､丁､戊､己､庚，辛，壬､癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子…天干地支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2058年是（）年.A．己巳B．甲申C．戊寅D．丙戌第(2)题已知复数z的共轭复数，则（）A．B．C．D．第(3)题已知是双曲线的两个焦点，为上除顶点外的一点，，且，则的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题如图，复数在复平面内对应的点为（）A．E B．F C．G D．H第(5)题对任意两个非零的平面向量α和β，定义.若两个非零的平面向量和，满足与的夹角，且和都在集合中，则=A．B．C．1D．第(6)题命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知集合，若 ，则实数（）A．或1B．0或1C．1D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数（）的最小正周期为，则（）A．B．函数在上为增函数C ．是的一个对称中心D．函数的图像关于轴对称第(2)题下列结论正确的是（）A．在中，若，则B．在锐角三角形中，不等式恒成立C．若，则三角形为等腰三角形D．在锐角三角形中，第(3)题如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的点，，则下列结论正确的是（）A．圆锥SO的侧面积为B．三棱锥S-ABC体积的最大值为C．的取值范围是D．若AB=BC，E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题对任意，不等式恒成立，则的最大值是______.第(2)题古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从点走向点，先走完总路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，会产生无限个“剩下的路程”，因此他有无限个“剩下路程的二分之一”要走，这个人永远走不到终点，因古代人们对无限认识的局限性，所以芝诺得到了错误的结论．设，这个人走的第段距离为，则满足这个人走的前段距离的总和的的一个值可以为__________．第(3)题已知复数满足，则它的虚部是______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在读书活动中，一个学生从2本不同的科技书，3本不同的政治书，8本不同的文艺书中任选2本不同学科的书，共有多少种不同的选法？第(2)题党的十九大提出实施乡村振兴战略以来，农民收入大幅提升，2022年9月23日某市举办中国农民丰收节庆祝活动，粮食总产量有望连续十年全省第一.据统计该市2017年至2021年农村居民人均可支配收入的数据如下表：年份20172018201920202021年份代码12345人均可支配收入（单位：万元）(1)根据上表统计数据，计算与的相关系数，并判断与是否具有较高的线性相关程度（若，则线性相关程度一般，若则线性相关程度较高，精确到）；(2)市五届人大二次会议政府工作报告提出，2022年农村居民人均可支配收入力争不低于万元，求该市2022年农村居民人均可支配收入相对2021年增长率最小值（用百分比表示）.参考公式和数据：相关系数，.第(3)题平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.第(4)题在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若与C交于M，N两点，点，求的值.第(5)题在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求.。

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A．27πB．C．D．16π第(2)题贵州六马盛产“蜂糖李”，其以果大味甜闻名当地．网红“李子哥”以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，大力推进绿色发展，现需订购一批苗木，苗木长度与售价如下表．由表可知苗木长度与售价元之间存在线性相关关系，回归方程为．当苗木长度为时，估计价格为（）元．102030405060元2610141618A．36.5B．35C．37D．35.5第(3)题已知函数（其中）在区间上恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，线段的上一点满足，在上的投影为，则的最大值是（）A．B．C．1D．2第(5)题若全集，集合或，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知正方体的外接球的球心为，则（）A．B．C．D．第(7)题设、、满足，，，则（）A．，B．，C．，D．，第(8)题已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，，则的面积为（）A．3B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．第(2)题在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则以下四个命题中正确的是（）A．B．面积的取值范围为C．已知M是边BC的中点，则的取值范围为D．当时，的周长为第(3)题已知函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，．若在区间上单调递增，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平面向量，若，则______________.第(2)题已知集合，集合，则_____．第(3)题某地建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅，收集了近5年的借阅数据如下表：年份20192020202120222023年份代码12345年借阅量万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8根据上表，可得关于的线性回归方程为.则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知向量，，，设函数.（1）求函数的解析式及单调递增区间；（2）设，，别为内角，，的对边，若，，的面积为，求的值.第(2)题平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为，将射线l绕点逆时针旋转后，得到射线，若射线l，分别与曲线C相交于点A，点B．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)求的最小值．第(3)题今年年初，中共中央、国务院发布《关于开展扫黑除恶专项斗争的通知》，在全国范围部署开展扫黑除恶专项斗争.那么这次的“扫黑除恶”专项斗争与2000年、2006年两次在全国范围内持续开展了十多年的“打黑除恶”专项斗争是否相同呢？某高校一个社团在年后开学后随机调查了位该校在读大学生，就“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同进行了一次调查，得到具体数据如表：不相同相同合计男女合计（1）根据如上的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”是否相同与性别有关"？（2）计算这位大学生认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的频率，并据此估算该校名在读大学生中认为“扫黑除恶”与“打黑除恶”不相同的人数；（3）为了解该校大学生对“扫黑除恶”与“打黑除恶”不同之处的知道情况，该校学生会组织部选取位男生和位女生逐个进行采访，最后再随机选取次采访记录放到该大学的官方网站上，求最后被选取的次采访对象中至少有一位男生的概率.参考公式：.附表：第(4)题如图所示，四棱锥中，底面，，为的中点，底面四边形满足，，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．第(5)题杭州2022年亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举办．为迎接这一体育盛会，浙江某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，当好东道主”的亚运知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了200人，统计他们的竞赛成绩m（满分100分，已知每名参赛大学生至少得60分），制成了如下所示的频数分布表：成绩/分[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数60705020(1)规定成绩不低于85分为“优秀”，成绩低于85分为“非优秀”，这200名参赛大学生的成绩的情况统计如下表：分类优秀非优秀总计男生3070100女生2080100判断是否有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关；(2)经统计，用于学习亚运知识的时间（单位：时）与成绩（单位：分）之间的关系近似为线性相关关系，对部分参赛大学生用于学习亚运知识时间x与知识竞赛成绩y进行数据收集，如下表：x/时89111215y/分6763808085求变量y关于x的线性回归方程；(3)A市某企业赞助了这次知识竞赛，给予每位参赛大学生一定的奖励，奖励方案有以下两种：方案一：按竞赛成绩m进行分类奖励，当时，奖励100元；当时，奖励200元；当时，奖励300元．方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有1次抽奖机会，竞赛成绩不低于样本中位数的则有2次抽奖机会，其中每次抽奖抽中100元现金红包的概率均为，抽中200元现金红包的概率均为，且两次抽奖结果相互独立．若每名参赛大学生只能选择一种奖励方案，试用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择哪种奖励方案更有利．附：（其中；0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841 5.024 6.6357.87910.828线性回归方程中，，；第（2）问中，，，，．。

【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)

【高三上数学】浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题(解析版)

浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知12i,1i z a z b =−=+（,R a b ∈，i 为虚数单位），若12z z ⋅是实数，则（ ） A ．10ab −= B ．10ab += C ．0a b −= D ．0a b +=【答案】A 【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.【详解】因为12(i)(1i)=()(1)i z z a b a b ab =−++−⋅+是实数， 所以10ab −=， 故选：A2．设集合R U =，集合()22{|20},{|log 1}M x x x N x y x =−≥==−，则{|2}x x <=（ ）A ．M N ⋃B ．()UN MC ．U ()M ND ．()UMN【答案】B【分析】化简集合,M N ，根据集合的交集、并集、补集求解.【详解】因为()22{|20}(,0][2,),{|log 1}(,1)M x x x N x y x =−≥=−∞+∞==−=−∞，所以(,1)[2,)M N ⋃=−∞+∞，()U(,1)(0,2)(,2){|2}Nx x M −∞==−∞=<，U 1(,0)][2,)(()[,)[]10,,MN −∞+∞=+∞=+∞∞−，因为(,0]M N =−∞，所以()U(0,)M N =+∞，故选：B3．若,a b 是夹角为60︒的两个单位向量，a b λ+与32a b −+垂直，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．78D ．74【答案】B【分析】由题意先分别算出22,,a b a b ⋅的值，然后将a b λ+与32a b −+垂直”等价转换为)()032a b a b λ−⋅=++，从而即可求解.【详解】由题意有22221,1,cos 60a a b b a b a b ︒====⋅=⋅=又因为a b λ+与32a b −+垂直，所以()()()22132323322a ab a a b b b λλλλ+⋅=−+−⋅+=−+⨯−+1202λ−+=，解得14λ=.B.4．已知数列{}n a 为等比数列，且55a =，则（ ） A ．19a a +的最小值为50 B ．19a a +的最大值为50 C ．19a a +的最小值为10 D ．19a a +的最大值为105．已知函数32221()2log ,()log ,()log 2xxf x xg x xh x x x ⎛⎫=+=−=+ ⎪⎝⎭的零点分别为,,a b c ，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．b c a >>由图象可知，a c <，所以a 故选：D6．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:142x y C +=的焦点，点P 在C 上，OP =，则12cos F PF ∠=（ ）A ．13−B ．0C ．13D ．3122PF PF PO +=，即可得【详解】如下图所示：不妨设12,PF m PF n ==，根据椭圆定义可得由余弦定理可知1cos 2F PF mn ∠又因为122PF PF PO +=，所以()()22122PF PF PO +=，又22122cos 1m n mn F PF ∠+=+，解得2210m n +=；()22216210n m n mn mn =+−=−=，即3mn =； 所以可得21281081cos 263m n F PF mn ∠+−===；7．已知二面角P AB C −−的大小为3π4，球O 与直线AB 相切，且平面PAB 、平面ABC 截球O 的两个截面圆的半径分别为1O 半径的最大可能值为（ ）AB ．C ．3 D的最大值即为MNE 外接圆的OMOE O =，同理可知，AB ⊥平面为MNE外接圆的一条弦，半径OE的最大值即为MNE外接圆的直径，即为π=时，4为MNE外接圆的一条弦，的最大值即为MNE 外接圆的直径，即为的半径的最大可能值为108．已知函数()2f x x ax b =++，若不等式()2f x ≤在[]1,5x ∈上恒成立，则满足要求的有序数对(,)a b 有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到()()()212232252f f f ⎧−≤≤⎪−≤≤⎨⎪−≤≤⎩，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.二、多选题9．已知5250125(12)x a a x a x a x −=++++，则下列说法正确的是（ ）A ．01a =B ．380a =−C ．123451a a a a a ++++=−D ．024121a a a ++=【答案】ABD【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案. 【详解】对于 A ， 取 0x =, 则 01a = ，则A 正确；对B ，根据二项式展开通式得5(12)x −的展开式通项为()55C 12r r rx −−，即()5C 2rr r x ⋅−⋅，其中05,N r r ≤≤∈所以3335C (2)80a =−=−，故B 正确；对C ，取1x =，则0123451a a a a a a +++++=−， 则12345012a a a a a a ++++=−−=−，故C 错误；对D ，取=1x −，则50123453243a a a a a a −+−+−==，将其与0123451a a a a a a +++++=−作和得()0242242a a a ++=， 所以024121a a a ++=，故D 正确； 故选：ABD.10．设O 为坐标原点，直线20x my m +−−=过圆22:860M x y x y +−+=的圆心且交圆于,P Q 两点，则（ ）A ．5PQ =B ．12m =C ．OPQ △的面积为D ．OM PQ ⊥【答案】BCOPQS=)0,0与由直线方程11．函数()sin (0)f x x ωω=>在区间22⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，上为单调函数，且图象关于直线2π3x =对称，则（ ）A ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位长度，所得图象关于y 轴对称 B ．函数()f x 在[]π2π，上单调递减 C ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上没有最小值，则实数a 的取值范围是2π14π(,)99− D ．若函数()f x 在区间14π(,)9a 上有且仅有2个零点，则实数a 的取值范围是4π(,0)3−【答案】AB 【分析】12．已知函数：R R →，对任意满足0x y z ++=的实数,,x y z ，均有()()()3333f x f y f z xyz ++=，则（ ）A ．(0)0f =B ．(2023)2024f =C ．()f x 是奇函数D ．()f x 是周期函数三、填空题13．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()1,3P ，则()sin πα+= .14．已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为14π3，则该圆台的侧面积为 .15．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为12，200米比赛未能站上领奖台的概率为310，两项比赛都未能站上领奖台的概率为110，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 . )()()()710A B P A P B P A B =+−=，进而求)()3110A B P A B =−=，再利用条件概率公式求出答案【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件)310=，()12P B =，()110P A B =，)()()()31171021010A B P A P B P A B =+−=+−=)()3110A B P A B =−=， )()()3310152P AB B P B ===. 故答案为：3516．已知抛物线Γ：22y x =与直线:4l y x =−+围成的封闭区域中有矩形ABCD ，点A ，B 在抛物线上，点C ，D 在直线l 上，则矩形对角线BD 长度的最大值是 .【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出目标函数表达式只需仔细计算即可.四、解答题17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知12cos cA b =+.(1)证明：2A B =； (2)若3sin 5B =，13c =，求ABC 的面积. 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积sin A B =，， ABCS=18．已知数列{}n a 满足11a =，且对任意正整数m ，n 都有2.m n n m a a a mn +=++(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求数列{(1)}n n a −的前n 项和n S .()(112135212n n n n a a n −+−++−=++++−=，符合上式，所以2n a n =.)()2222221234(1)n n ⎡⎤−++−+++−−+⎣⎦(()()321121n n n n +−+++−=， 为奇数时，若n =，则21n n n n S S n −−=+−=时，满足1S 19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为4，点E 满足3DE EA =，点F 是1CC 的中点，点G 满足135DG GD =(1)求证：,,,B E G F 四点共面；(2)求平面EFG 与平面1A EF 夹角的余弦值.，即可得出结论；，证明//EG BF 即可；,AH FH ，因为F 由3DE EA =知DE EA ，由135DG GD =知DG GH =所以DE DGEA GH=，所以/AH ， 所以EG //BF ，所以,G F 四点共面；法2：如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系⎭因为()4,0,2,3,0,BF EG ⎛=−=− ⎝，所以34EG BF =，所以//EG BF ，,,,B E G F 四点共面；）由（1）知，()()()11,4,0,1,0,4,3,4,2BE A E EF =−−=−−=−， 设平面EFG 的法向量为(),,m x y z =，m BE m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40420x y x z −−=⎧⎨−+=⎩，可取()4,1,8m =−，平面1A EF 的法向量(),,n a b c =，则有1403420n A E a c n EF a b c ⎧⋅=−−=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，可取()8,7,2n =−设平面EFG 与平面1A EF 夹角为993m n m nθ⋅==⨯EFG 与平面 20．已知函数()()2e 4e 2x xf x a a x =+−−（e 为自然对数的底数，e 2.71828=）.(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：当1a >时，()7ln 4.f x a a >−− 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析21．某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？(2)现有n ()*N n ∈根绳子，共有2n 个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i ）当3n =，记随机变量X 为绳子围成的圈的个数，求X 的分布列与数学期望； （ii ）求证：这n 根绳子恰好能围成一个圈的概率为()()212!1!.2!n n n n −⋅−附：()()()()22(),.n ad bc K n a b c d a b c d a c b d −==+++++++)(2422212C 2n n ⋅==))21!2!!n n −=本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数列的累乘法求得结果点(),0()t t a >的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 上与端点不重合的任意一点，过点M 且与1l 平行的直线分别交另一条渐近线2l 和C 于点,T N (1)求C 的方程； (2)求MP MQ OT MN的取值范围.试卷第21页，共21页。

2023-2024学年浙江省杭州市高级中学高考数学五模试卷含解析

2023-2024学年浙江省杭州市高级中学高考数学五模试卷含解析

2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．1322．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b3．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1544．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞5．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．10．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷附答案解析

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷附答案解析

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合(){}3log 21A x x =+>，(){}20B x x x =-<，则()R A B ð等于（）A ．∅B ．()0,1C ．()1,2D ．[)2,+∞2．已知复数z 满足()()112i 5i z --=，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量(),1a m = ，(),1b m =- ，若3a b - 与b垂直，则a r 等于（）ABC ．3D ．64．已知数列{}n a 满足12a =，则“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的（）A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件5．在对某校高三学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差不可．．能．为（）A ．11B ．13C ．15D ．176．若()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，则（）A ．()tan 1αβ-=-B ．()tan 1αβ-=C ．()tan 1αβ+=-D ．()tan 1αβ+=7．如图，假定两点P ，Q 以相同的初速度运动．点Q 沿直线CD 做匀速运动，CQ x =；点P 沿线段AB （长度为710单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离()PB y =．令P 与Q 同时分别从A ，C 出发，定义x 为y 的纳皮尔对数，用现代数学符号表示x 与y 的对应关系就是()7107110 2.71828xy e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭L ，当点P 从线段AB 靠近A 的三等分点移动到中点时，经过的时间为（）．A ．ln 2B ．ln 3C ．3ln2D ．4ln38．设双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过坐标原点的直线与C 交于A ，B 两点，AB =，120AFB ∠=︒，则C 的离心率为（）ABC D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数()11sin cos f x x x=+，则（）A ．()f x 的最小正周期为πT =B ．()f x 的图象关于()π,0对称C ．()f x 在π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x ≥10．已知A ，B ，C 是一个随机试验中的三个事件，且()01P A <<，()01P B <<，下列说法正确的是（）A ．若A 与B 互斥，则A 与B 不相互独立B ．若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥C ．若()()()P A B P B A P AB ⋅=，且()0P AB ≠，则A 与B 相互独立D ．若()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，则A ，B ，C 两两独立11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 满足1AP AD AA λμ=+，其中R λ∈，μ∈R ，则（）A ．当λμ=时，则1C P PD +B ．过点P 在平面11ADD A 内一定可以作无数条直线与CP 垂直C ．若1C P 与AD 所成的角为π4，则点P 的轨迹为双曲线D ．当1λ=，[]0,1μ∈时，正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为62⎣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若2nx⎛⎝展开式的二项式系数之和为128，则展开式中x 的系数为.13．已知圆1C ：222x y +=和圆2C ：()()223416x y -+-=，过圆2C 上一动点P 作圆2C 的切线，交圆1C 于A ，B 两点，当AOB （点O 为坐标原点）面积最大时，满足条件的切线方程为.（写出一条即可）14．已知函数()()2e ln xf x x x =-+，()g x ax b =+，对任意(],1a ∈-∞，存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，则满足条件的b 的最大整数为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在直角坐标平面内有线段12A A ，已知点3A 是线段12A A 上靠近2A 的三等分点，点4A 是线段23A A 上靠近3A 的三等分点，……，点1n A +是线段1-n n A A （2n ≥，*n ∈N ）上靠近n A 的三等分点，设点n A 的横坐标为n a .(1)求证：数列{}1n n a a +-为等比数列；(2)若11a =，25a =，求{}n a 的通项公式.16．在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AB DC ，122AD DC AB ===，=PC E 、F 分别为直线DC ，DP 上的动点.(1)若异面直线AD 与PC 所成的角为45︒，判断PB 与AD 是否具有垂直关系并说明理由；(2)若PB PA ==//EF PC ，求直线AC 与平面BEF 所成角的最大值.17．将除颜色外完全相同的红球2个、白球3个放入一盲盒（一种具有随机属性的玩具盒子），现从中不放回．．．取球.(1)若每次取一个球，求：（ⅰ）前两次均取到红球的概率；（ⅱ）第2次取到红球的概率；(2)若从中取出两个球，已知其中一个球为红球，求：（ⅰ）另一个也为红球的概率；（ⅱ）若你现在可以选择从剩下的球中随机取一个球来替换另一个球，如果从提高取到红球的可能性出发，你是选择换还是不换？试说明理由.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0A ，()1F ，)2F ，P 为动点，满足122PF PF -=.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知过点()3,1T -的直线l 与曲线C 交于两点M ，N ，连接AM ，AN .（ⅰ）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12122k k k k ++为定值；（ⅱ）直线AM ，AN 与直线12y x =-分别交于B ，C 两点，求BC 的最小值.19．莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用()n μ作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数n 都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅），例如：260235=⨯⨯，对应3k =，12p =，23p =，35p =，12r =，21r =，31r =.现对任意*n ∈N ，定义莫比乌斯函数()()121,11,10, 1kk in n r r r r μ=⎧⎪=-==⋅⋅⋅==⎨⎪>⎩存在.(1)求()68μ，()985μ；(2)已知1n >，记1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅（k 为n 的质因数个数，i p 为质数，1i r ≥，1,2,,i k =⋅⋅⋅）的所有因数从小到大依次为1a ，2a ，…，m a .（ⅰ）证明：()()()122km a a a μμμ++⋅⋅⋅+=；（ⅱ）求()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+的值（用i P （1,2,,i k =⋅⋅⋅）表示）.1．D【分析】首先解对数不等式求出集合A ，解一元二次不等式求出集合B ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由()3log 21x +>，即()33log 2log 3x +>，即23x +>，解得1x >，所以(){}{}3log 211A x x x x =+>=>，由()20x x -<，解得02x <<，所以(){}{}2002B x x x x x =-<=<<，所以(][)R ,02,B =-∞⋃+∞ð，则()[)R 2,A B =+∞ ð.故选：D 2．C【分析】由复数的除法运算可得1i z =-+，再由共轭复数可知问题的结果.【详解】由()()112i 5i z --=得：()()()5i 12i 5i 5i 1012i 12i 12i 12i 5z +--====-+--+，即1i z =-+，所以1i z =--，故复数z 在复平面内对应的点()1,1--位于第三象限.故选：C.3．B【分析】根据3a b - 与b垂直，可得()30a b b -⋅= ，即可求出m ，再根据模的坐标公式即可得解.【详解】()32,4a b m -= ，因为3a b - 与b垂直，所以()23240a b b m -⋅=-= ，解得22m =，所以a ==r .故选：B.4．B【分析】根据等比数列的定义、通项公式及充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若{}n a 为等比数列，则12n n a q -=，所以112224m n m m n n a q q q a --+-=⋅=⨯，12m n m n a q +-+=，当2q ¹时m n m n a a a +⋅≠，故充分性不成立；若m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ），不妨令1m =，则11n n a a a +⋅=，又12a =，所以12n n a a +=，即12n na a +=，所以{}n a 为公比为2的等比数列，故必要性成立；故“{}n a 为等比数列”是“m n m n a a a +⋅=（m ∀，*n ∈N ）”的必要不充分条件.故选：B 5．A【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，结合方差的公式，分析选项，即可求解.【详解】设男生体质健康状况的平均数为x ，女生的平均数为y ，总体的平均数为w ，方差为2s ，则8012023801208012055w x y x y =+=+++，22280120[15(][10()]8012080120s x w y w =+-++-++22229346[15()][10()]12(1252552525x y x y x y =+-++-=+-≥，结合选项，可得A 项不符合.故选：A.6．C【分析】利用和差角公式展开，即可得到sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，再两边同除cos cos αβ，最后结合两角和的正切公式计算可得.【详解】因为()()πsin cos sin 4αβαβαβ⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，所以sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ-++ππsin cos cos sinsin 44ααβ⎫=-⎪⎭，即sin cos cos sin cos cos sin sin 2sin sin 2cos sin αβαβαβαβαβαβ-++=-，即sin cos cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβ+=-，两边同除cos cos αβ可得tan 1tan tan tan ααββ+=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==--.故选：C 7．D【分析】易知，它们的初速度相等，故Q 点的速度为710，然后可以根据7710110()xy e=，求出P 在中点、三等分点时的x ，则Q 点移动的距离可求，结合速度、时间可求．【详解】解：由题意，P 点初始速度710即为Q 点的速度．当P 在靠近A 点的三等分点时：77710211010()3xe⨯=，解得：7310ln 2x =，当P 在中点时：77710111010()2xe⨯=，解得：7n 102l x =，所以经过的时间为：7734[10(ln 2ln )]10ln 23-÷=．故选：D ．8．B【分析】设AF x =，结合已知条件和双曲线的定义求得BF ，利用余弦定理列方程，解方程求得,a c ，由此求得离心率.【详解】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，连接1AF ，1BF .由双曲线的对称性可得：1AF BF =，1//AF BF ，则四边形1AFBF 是平行四边形，又因为120AFB ∠=︒，则160FAF ∠=︒，设AF x =，由双曲线的定义可得：12BF AF a x ==+，在AFB △中，由余弦定理可得：2222cos AB AF BF AF BF AFB=+-⋅⋅∠所以()()()22212222x a x x a x ⎛⎫=++-+⋅- ⎪⎝⎭，整理可得：2236240x ax a +-=，解得：2x a =或4x a =-（舍去），则12AF BF a ==，14BF AF a ==，在1AFF 中，由余弦定理可得：22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-⋅⋅∠所以()()()()()22212242242c a a a a =+-⋅⋅⋅，整理可得：223c a =，所以==ce a.故选：B.9．BCD【分析】由()()πf x f x +≠，可判定A 不正确；由()()πf x f x +=-，可判定B 正确；设sin cos t x x =+，得到()221tf x t =-，利用导数求得函数()f x 的单调性和最值，可判定C 正确、D 正确.【详解】对于A 中，由()()1111πsin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=--≠++，所以A 不正确；对于B 中，由()()1111π()sin(π)cos(π)sin cos f x f x x x x x+=+=-+=-++，可得函数()f x 关于()π,0对称，所以B 正确；对于C 中，设sin cos t x x =+，可得21sin cos 2t x x -=，则()()211sin cos 2sin cos sin cos 1x x t f x g t x x x x t +=+===-，当π(,0)2x ∈-时，可得πππ(,444x +∈-，则πsin cos (1,1)4t x x x =+=+∈-，又由()()()()()()222222222212222220111t t tt t g t ttt --⋅-+--===<---'，所以函数()g t 在()1,1-上单调递减，又π4t x =+在π(,0)2x ∈-上为单调递增函数，所以由复合函数单调性，可得函数()f x 在π(,0)2x ∈-上为单调递减函数，所以C 正确；对于D 中，当π(0,)2x ∈时，可得ππ3π(,444x +∈，则(π1,4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又由()0g t '<，()g t在(为递减函数，当πππ(,)442x +∈时，即π(0,)4x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增；当ππ3π(,424x +∈时，即ππ(,)42x ∈时，函数π4t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，由复合函数的单调性，可得函数()f x 在π(0,4x ∈单调递减，在ππ(,)42x ∈上单调递增，所以()π()4f x f ≥=，所以D 正确.故选：BCD.10．ABC【分析】由互斥事件和相互独立事件的概念对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，若A 与B 互斥，则A 与B 不能同时发生，即()0P AB =，因为A B ⋂表示A 与B 都不发生，则A B ⋂的对立事件为A 与B 至少有一个发生，所以()()1P A B P A B ⋂=-⋂，而()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B ⋃=+-=+，所以()()()1P A B P A P B ⋂=--，因为()()()()11P A P B P A P B ⎡⎤⎡⎤⋅=--⎣⎦⎣⎦()()()()1P A P B P A P B =---⋅所以()()()P A B P A P B ⋂≠⋅，由此可知，A 与B 不相互独立，故A 正确；对于B ，若A 与B 相互独立，则()()()P AB P A P B =⋅，因为()01P A <<，()01P B <<，所以()()01P A P B <⋅<，则()0P AB ≠，所以A 与B 不互斥，故B 正确；对于C ，若()()()P A B P B A P AB ⋅=，因为()()()()()()()P AB P AB P A B P B A P AB P B P A ⋅=⋅=，因为()0P AB ≠，则有()()()P AB P A P B =⋅，所以A 与B 相互独立，故C 正确；对于D ，抛掷一枚质地均均的骰子，事件A 表示出现点数为1,3,4，事件B 表示出现点数1,5,6，事件C 表示出现点数1,2,3,5，事件ABC 表示出现点数为1,()16P ABC =，()()()33416666P A P B P C ⋅⋅=⨯⨯=，满足()()()()P ABC P A P B P C =⋅⋅，事件AB 表示出现点数为1,()16P AB =，但()()()13316664P AB P A P B =≠⋅=⨯=则A ，B 不相互独立，故D 错误.故选：ABC.11．ACD【分析】对A ，将平面1AD D 展开到与11D ABC 同一平面，由两点间线段最短得解；对B ，当P 在1D 时，过P 点只能作一条直线与CP 垂直，可判断；对CD ，以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设出点P 坐标，利用向量的坐标运算即可判断.【详解】对于A ，当λμ=时，()11AP AD AA AD λλ=+= ，所以点P 在线段1AD 上，如图，将三角形1AD D 与矩形11D ABC 沿1CD 展成平面图形如下所示，则线段1DC 即为1C P PD +的最小值，利用余弦定理可知22211111113π2cos24C D C D DD C D DD =+-⋅⋅=+所以1C D =，即1C P PD +，故A正确；对于B ，当P 在1D 时，过点P 在平面11ADD A 内只可以作一条直线与CP 垂直，故B 错误；对于C ，以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0),(,0,)D C A B P x z ，得1(,1,1),(1,0,0)C P x z AD =--=-，11πcos 4C P AD C P AD⋅∴==⋅整理得22(1)1x z --=，为双曲线方程，故C 正确．对于D ，当1λ=时，11AP AD AA DP AA μμ=+⇒=，故点P 在线段1DD 上运动,正方体经过点A 、P 、1C 的截面为平行四边形1A P C H ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A ，()10,1,1C ，()11,0,1A ，()0,0,P μ，所以()10,1,1PC μ=- ，()11,1,1AC =- ，112PC AC μ⋅=-，1PC =，1A C = ，所以点P 到直线1AC的距离为d =，于是当12μ=时min22d =，1PAC的面积取最小值，此时截面面积为2=；当0μ=或1时max 63d =1PAC3=所以正方体经过点A 、P 、1C 的截面面积的取值范围为2⎣，故D 正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.12．280【分析】先由二项式系数和为128，求出n ，再求出72x ⎛⎝展开式的通项，令3712r -=，即可得出答案.【详解】2nx ⎛ ⎝展开式的二项式系数之和为2128n=，解得：7n =，所以72x ⎛⎝展开式的通项为：()()37772177C 2C 21rr r r r r r r T x x---+⎛==⋅- ⎝，令3712r -=，解得：4r =，所以展开式中x 的系数为：()4437C 21358280⋅-=⨯=.故答案为：280.13．=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-（写出一条即可）【分析】由圆的弦长公式求出AB =1d =，然后由圆心到直线AB 的距离分别等于半径列方程组，解出即可.【详解】设圆1C 的圆心()10,0C，半径1r 2C 的圆心()23,4C ，半径24r =；设O 到直线AB 的距离为d，则AB =0d <，则12AOB S AB d =⋅=== 所以当1d =时，AOB 的面积最大，当直线AB 的斜率不存在时，=1x -满足题意，当直线AB 的斜率存在时，设AB ：y kx m =+，则由题意可得14⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，①化简可得344k m m +-=，即334k m -=或354k m +=，代入①可解得3454k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或7242524k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以满足条件的切线方程为=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-，故答案为：=1x -或3544y x =-+或7252424y x =-.（写出一条即可）14．4-【分析】依题意存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，参变分离可得()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln x F x x x x =-+-，()0,1x ∈，利用导数说明函数的单调性，求出()max F x ，则()max b F x ≤，即可求出b 的最大整数.【详解】依题意对任意(],1a ∈-∞，且0x >有()g x ax b x b =+≤+，因为存在()0,1x ∈使得不等式()()f x g x ≥成立，所以存在()0,1x ∈使得()2e ln x x x x b -+≥+，即()2e ln xx x x b -+-≥，令()()2e ln xF x x x x =-+-，()0,1x ∈，则()()()111e 11e xx F x x x x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭，令()1e xm x x=-，()0,1x ∈，则()m x 在()0,1上单调递增，且()1e 10m =->，121e 202m ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得()0001e 0x m x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时()0F x '>，当01x x <<时()0F x '<，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以()()()0000000m 0ax 00212e ln 212xF x x x x x x x x x F x ⎛⎫-=-+-=-=-=+ ⎪⎝⎭，因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0012,3x x +∈，所以()()()0max 001124,3F x x F x x ⎛⎫=-+∈-⎪⎭=- ⎝，依题意()max b F x ≤，又b 为整数，所以4b ≤-，所以b 的最大值为4-.故答案为：4-【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为存在()0,1x ∈使得()2e ln xx x x b -+≥+，即()2e ln x x x x b -+-≥.15．(1)证明见解析(2)2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意得2122n n n n a a a a +++-=-进而证得21113n n n n a a a a +++-=--，即可证得数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）根据题意，求得214a a -=，求得21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合累加法，得到2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而求得数列的通项公式.【详解】（1）解：由题意得2122n nn n a a a a +++-=-所以2132n n n a a a ++=+，可得21133n n n n a a a a +++-=-，又由210a a -≠，所以21113n n n n a a a a +++-=--所以数列{}1n n a a +-是首项为21a a -，公比为13-的等比数列.（2）解：因为11a =，25a =，所以214a a -=，因为数列{}1n n a a +-是公比为13-的等比数列，所以2n ≥时，21143n n n a a --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.由累加法可得2n ≥时，21114133n n a a -⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111113433·1313n n --⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭==-- ⎪⎝⎭+，即当2n ≥时，2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，经检验，11a =满足上式，所以数列{}n a 的通项公式2143n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.16．(1)答案见解析，理由见解析(2)60︒【分析】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG ，即可说明//CG AD ，则PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，分45PCG ∠=︒和135PCG ∠=︒两种情况讨论，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）以G 为坐标原点建立空间直角坐标系，设(),2,0E t ，求出平面BEF 的法向量，利用空间向量法求出线面角的正弦值，即可求出线面角的最大值.【详解】（1）取AB 的中点G ，连接CG ，PG，因为//AB DC ，122AD DC AB ===，所以AG DC =且//AG DC ，所以四边形AGCD 为平行四边形，所以//CG AD ，所以PCG ∠（或其补角）为异面直线AD 与PC 所成的角，①当45PCG ∠=︒时，在PCG中，=PC 2CG =，由余弦定理可知2PG ==，所以222CG PG PC +=，所以CG PG ⊥，所以AD PG ⊥，又AD AB ⊥，AB PG G = ，AB ，PG ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥.②当135PCG ∠=︒，假设AD PB ⊥，则由①有AD ⊥平面PAB ，因为PG ⊂平面PAB ，所以AD PG ⊥，CG PG ⊥，这与135PCG ∠=︒相矛盾，故此时AD 与PB 不垂直.综上所述，当45PCG ∠=︒时，AD PB ⊥；当135PCG ∠=︒时，AD 与PB 不垂直.（2）由PB PA ==G 是AB 中点，可得PG AB ⊥，从而由122GB AB ==可得2PG =，又2,GC AD PC ===所以2228GC GP PC +==，即PG GC ⊥，因为AD AB ⊥，由（1）有//GC AD ，所以GB GC ⊥，所以,,GB GC GP 两两互相垂直，故可以G 为坐标原点，GB ，GC ，GP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.故()2,0,0A -，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2P ，()2,2,0AC =.因为//EF PC ，设平面BEF 的法向量为(),,n x y z = ，则有0,0,n BE n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 设(),2,0E t ，则()2,2,0BE t =- ，又()0,2,2PC =- ，所以有()220220t x y y z ⎧-+=⎨-=⎩令2x =，则2y z t ==-，故平面BEF 的一个法向量为()2,2,2n t t =--，设直线AC 与平面BEF 所成的角为θ，则sin cos ,AC n AC n AC nθ⋅==⋅===令4t s -=，则sin θ=当0s =时，sin 0θ=；当0s ≠时，sin θ（当且仅当3s =-，1t =时取“＝”）.又090θ︒≤≤︒，所以060θ︒≤≤︒.综上所述，直线AC 与平面BEF 所成角的最大值为60︒.17．(1)（ⅰ）110；（ⅱ）25(2)（ⅰ）17；（ⅱ）选择交换，理由见解析【分析】（1）不放回取球可以用条件概率公式的变式公式来计算，即：()()()|P AB P A P B A =，第2次取到红球可由两互斥事件计算得到，即()()()21212P A P A A P B A =+；（2）条件概率公式：()()|()P AB P B A P A =，其中有一个球为红球，又等价转化到对立事件来求概率，即可求出结果，对于是否交换，只需要比较两种情形的概率就可以得到判断.【详解】（1）记事件i A （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到红球，事件i B （1,2,3,4,5i =）为第i 次取到白球.（ⅰ）前两次均取到红球即为事件12A A ，()()()121212115410P A A P A P A A ==⨯=.（ⅱ）()()()()212121212P A P A A B A P A A P B A =+=+()()()12211132210545P A A P A B P B =+=+⨯=.（2）（ⅰ）事件：其中有一个球为红球的“对立事件”为：两个球均为白球，即为事件12B B ，()()()121213235410P B B P B P B B ==⨯=，所以在一个球为红球的前提下另一个球也为红球的概率()()1212111071710P A A P P B B ===-.（ⅱ）若不换：在取到的一个球为红球的前提下取到的另一个球也为红球的概率记为117P =；若换：换后取到红球的概率记为2161207737P =⨯+⨯=；由于12P P <，所以交换后摸到红球的概率更大，选择交换.18．(1)2214y x -=(2)【分析】（1）由双曲线的定义求解即可；（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=，2214y x -=变形可得()()2241810x x y -+--=，两式联立，设1y k x =-，可知1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，由根与系数的关系即可得出答案.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.【详解】（1）因为12122PF PF F F -=<，所以根据双曲线的定义可知点P 的轨迹为以1F ，2F 为焦点，实轴长为2的双曲线，由22a =，c =，得1a =，2224b c a =-=，所以C 的方程为2214y x -=.（2）（ⅰ）设直线MN ：()11m x ny -+=（220m n +≠）因为直线过定点()3,1-，所以21m n -=.2214y x -=变形可得()224114x y ⎡⎤-+-=⎣⎦，即()()2241810x x y -+--=所以()()()22418110x x m x ny y ⎡⎤-+--+-=⎣⎦整理得()()()22841810m x n x y y +-+--=（*）设1y k x =-，则（*）式除以()21x -得28480m nk k ++-=此时1k ，2k 是方程()28840k nk m --+=的两根，所以1212884k k n k k m +=⎧⎨=--⎩，所以12122168816k k k k m n ++=--+=-，得证.（ⅱ）设直线AM ：()11y k x =-，由()1112y k x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，可得1112B kx k =+；设直线AN ：()21y k x =-，同理可得2212c k x k =+；2212111122111112222B C k BC x k k k k =-==--+=++++.由1212216k k k k ++=-得121131224k k ⎛⎫⎛⎫++=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以214231k BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+⋅，当且仅当2213124k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即212k -±=时取等号，故BC的最小值为31.【点睛】关键点点睛：设直线AM ：()11y k x =-与12y x =-联立求出B x ，同理求出C x ，由此表示出BC ，由基本不等式求解即可.19．(1)()680μ=，()9851μ=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】（1）由268217=⨯，9851975=⨯，根据所给定义计算可得；（2）（ⅰ）依题意只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，再由组合数公式计算可得；（ⅱ）由（ⅰ）分析可知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，即可推导出111k k kx x p -=-，最后利用累乘法计算可得.【详解】（1）因为268217=⨯，因为2的指数21>，所以()680μ=；又9851975=⨯，易知2k =，1197p =，25p =，11r =，21r =，所以()()298511μ=-=；（2）（ⅰ）i a ()1,2,,i m =⋅⋅⋅的因数中如有平方数，根据莫比乌斯函数的定义，()0i a μ=，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，从k 个质数中任选i ()1,2,,i k =⋅⋅⋅个数的乘积一共有C ik 种结果，所以()()()()121m a a a μμμμ+++⋅⋅⋅+()()()()()()()12122311k k k p p p p p p p p p μμμμμμμ-⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦()12k p p p μ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅01211211C C C C C C C C C 2k k k k kk k k k k k k k k --=+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++=.（ⅱ）方法一：由（ⅰ）知，因此1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数，所以()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()222121212122311211111111kk kk k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.令()()()()22212122311211111111kk k k k k x p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()()()()2221112112232112111111111k k k k k k x p p p p p p p p p p p p ------⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （2k ≥，*N k ∈），所以()()()()()()22233311211223211211111111(1)kk k k k k k k k k k k k kx p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ----⎡⎤⎡⎤---------⋅=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⎢⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.所以111k k k k x x x p ---⋅+=，111k k kx x p -=-.因为1111x p =-，所以12112112111111111k k k k k k k x x x x x x x x p p p p ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--⋅⋅⋅-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二：()()()1212m ma a a a a a μμμ++⋅⋅⋅+()()()()()()()1212231121223111k k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμμμμμμ--⎡⎤⎡⎤=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()()2221212121223112111111111kk k k k k k p p p p p p p p p p p p p p p p p p μμ-⎡⎤⋅⋅⋅----⎡⎤---+⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()22212122311211111111kk k k k p p p p p p p p p p p p -⎡⎤----⎡⎤---=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由展开式原理可知，12111111k p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的展开式即为上式所求.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解题干所给定义，得到1212k r r rk n p p p =⋅⋅⋅的所有因数除1之外，只考虑1p ，2p ，…，k p 中的若干个数的乘积构成的因数.。

浙江省各地2025届高考冲刺数学模拟试题含解析

浙江省各地2025届高考冲刺数学模拟试题含解析

浙江省各地2025届高考冲刺数学模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ） A ．16B ．17C ．18D ．192．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=3．某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为（ ）A ．7?k >B ．6?k >C ．5?k >D ．4?k >4．费马素数是法国大数学家费马命名的,形如()221nn N +∈的素数(如：02213+=)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是( ) A ．215B ．15C ．415D ．135．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( ) A ．25B ．5-C 5D ．25-6．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸7．给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作，每项工作至少一人，每人做且仅做一项工作，甲不能安排木工工作，则不同的安排方法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．24种D ．64种8．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 9．设函数()(1)x g x e e x a =+--（a R ∈，e 为自然对数的底数）,定义在R 上的函数()f x 满足2()()f x f x x -+=，且当0x ≤时，'()f x x <．若存在01|()(1)2x x f x f x x ⎧⎫∈+≥-+⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()y g x x =-的一个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．,2e⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭B ．(,)e +∞C ．[,)e +∞D ．,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，O 是该正四面体外接球球心，且AO x AB y AC z AD =++，,,x y z ∈R ，则x y z ++=（ ）A ．34B ．13 C ．12D ．1411．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．012．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省绍兴市(新版)2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷

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浙江省绍兴市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数在区间上是增函数，且，，则函数在区间上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取到最大值A D．可以取到最小值第(2)题函数的反函数是（）A．B．C．D．第(3)题已知，则（）A．B．C．D．第(4)题若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．第(5)题设，则的展开式中的系数不可能是（）A．10B．40C．50D．80第(6)题随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大国，快递业已成为人民群众生活的“必需品”.下图是2015年—2019年，我国对快递行业发展的统计图.下面描述错误的是（）A．从2015到2019年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势B．2016年，快递业务量增长速度最快C．从2016到2019年，快递业务量增长速度连续上升D．从2016到2019年，快递业务量增长速度逐年放缓第(7)题函数的反函数是（）A．B．C．D．第(8)题若命题p：函数（且）的图象过定点（2，1），命题q：函数在定义域内为增函数，则下列命题是真命题的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A ．若函数（）的最小正周期为，则的值为2B ．函数（）是偶函数C．点是函数图象的一个对称中心D．函数在上的单调递增区间是第(2)题已知复数，则（）A．B．C．D．第(3)题现有一组数据为1，2，4，8，16，32，则（）A．这组数据的极差为31B．这组数据的中位数为6C．这组数据的平均数为6D．去掉数据中的最大值后，方差较原来变小三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设，，则的最小值为__________．第(2)题在直三棱柱中，.若该直三棱柱的外接球表面积为，则此三棱柱的高为__________.第(3)题如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的体积为___________，其外接球的表面积为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，点在曲线上，点在曲线上.（1）求曲线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）求的最大值.第(2)题为了验证甲、乙两种药物对治疗某种疾病的效果，某科研单位用两种药物对患有该疾病的患者进行临床药物实验.随机抽取患有该疾病的患者200人，其中100人注射甲药物，另外100人注射乙药物，实验结果完成后，得到如下统计表：药物效果明显效果不明显合计甲药物7624100乙药物8416100合计16040200(1)分别估计注射甲、乙两种药物的患者效果明显的概率；(2)是否有90%的把握认为甲、乙两种药物对治疗该种疾病的效果有差异？(3)从样本中对甲、乙两种药物治疗效果不明显的患者按分层抽样的方法抽出5人，然后从5人中随机抽取2人做进一步药物实验，求这两人中至少有一人是注射甲药物的概率.参考公式：，其中临界值表：第(3)题某制药厂研制了一种新药，为了解这种新药治疗某种病毒感染的效果，对一批病人进行试验，在一个治疗周期之后，从使用新药和未使用新药的病人中各随机抽取100人，把他们的治愈记录进行比较，结果如下表所示：治愈未治愈合计使用新药60未使用新药50合计(1)请完成列联表，是否有90%的把握认为该种新药对该病毒感染有治愈效果？(2)把表中使用新药治愈该病毒感染的频率视作概率，从这一批使用新药的病人中随机抽取3人，其中被治愈的人数为X，求随机变量X的分布列和期望.(3)该药厂宣称使用这种新药对治愈该病毒感染的有效率为90%，随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑该药厂的宣传？请说明理由.（参考数据：，，，，，，）附：，0.100.0100.001k 2.706 6.63510.828第(4)题设，已知，求的最小值.第(5)题在中，，.(1)当时，求和；(2)求面积的最大值.。

浙江省五校联考2024届高考数学模拟卷含答案

浙江省五校联考2024届高考数学模拟卷含答案

2024年浙江省高考数学模拟卷（答案在最后）命题：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足1i3i z=+-，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算性质求出z ，再利用共轭复数的性质求出z ，最后利用复数和对应点的关系求解即可.【详解】由题意得1i 3iz=+-，故2(1i)(3i)33i i i 2i 4z =+-=+--=+，故2i 4z =-+，显然z 在复平面上对应的点是(4,2)-，在第四象限，故D 正确.故选：D2.设集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂=（）A.{}21,Z x x k k =+∈B.{}31,Z x x k k =-∈C.{}61,Z x x k k =+∈ D.{}61,Z x x k k =-∈【答案】D 【解析】【分析】利用最小公倍数排除A ，B ，利用奇数和偶数排除C ，求解即可.【详解】易知集合{}21,Z M x x k k ==+∈，{}31,Z N x x k k ==-∈，则M N ⋂中k 前面的系数应为2,3的最小公倍数，故排除A ，B ，对于C ，当1k =时，集合{}61,Z x x k k =+∈为{}7x x =，而令317k -=，可得k 不为整数，故{}31,Z N x x k k ==-∈不含有7，可得M N ⋂中不含有7，故C 错误，故选：D3.已知不共线的平面向量a ，b满足()()2a b a b λλ++∥ ，则正数λ=（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】思路一：根据向量共线的判定条件即可解出λ.思路二：由共线向量基本定理即可得解.【详解】方法一：由已知有12λλ⋅=⋅，0λ>，解得λ=方法二：设()()2,R a b a b λμλμ+=+∈ ，由题意120μλλμ=⎧⎨=>⎩，解得λ=故选：B.4.传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法.设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1i i m Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（）倍A.B.mC.32mD.2m 【答案】B 【解析】【分析】利用正态分布性质，根据信噪比的定义列式计算即可求解.【详解】由Y 服从正态分布()2,N ms m σ，则Y的信噪比为22s m σ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又接收一次信号1X 的信噪比为2s σ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22s m m s σσ⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的m 倍.故选：B5.已知函数()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断.【详解】一方面，当，()ππ8k k θ=+∈Z 时，()ππcos 22πsin 244f x x k x θ⎛⎫+=+++=- ⎪⎝⎭是奇函数，()ππcos 22πcos 244f x x k x θ⎛⎫-=+--= ⎪⎝⎭是偶函数，故充分性成立，另一方面，当5π8θ=时，有()π5πcos 2sin 244f x x x θ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭是奇函数，()π5πcos 2cos 244f x x x θ⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭是偶函数，但此时关于k 的方程()π5ππ88k k +=∈Z 没有解，故必要性不成立，综上所述，在已知()πcos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的情况下，“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ-为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +-+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（）A.12-或112-B.－1或－6C.32-或132- D.－2或－7【答案】C 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据2π3ACB ∠=，得到圆心C 到直线l 的距离，再利用点到直线的距离公式求得t 的值即可.【详解】由题意可知，圆C ：22240x y x y +-+=，标准化后可得圆C ：()()22125x y -++=因为，2π3ACB ∠=，过点C 作AB 的垂线CD ，AB CD ⊥.如图所示，AC BC ==，在Rt ACD 中，π5cos 32CD ==.所以，圆心C 到直线l 的距离:52d ==因此，542t +=，解得，12313,22t t =-=-故选：C .7.已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（）A.12 B.14C.16D.18【答案】B 【解析】【分析】将排法分为两种情况讨论，再利用分类加法计数原理相加即可.【详解】依据题意，分两种情况讨论，情况一：高低高低高依次对应1-5号位置，规定甲在2号位，则乙在1号位或4号位，而甲，丁不相邻，当乙在1号位时，此时为乙甲戊丙丁，共1种，当乙在4号位时，此时有丙甲戊乙丁，戊甲丙乙丁，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共6种，情况二：低高低高低依次对应1-5号位置，假设戊在2号位，若丁在1号位，此时有丁戊甲丙乙，丁戊乙丙甲，共2种，若丁在4号位，此时有甲戊丙丁乙，甲戊乙丁丙，共2种，易得倒序排列和正序排列种数相同，故本情况共8种，故符合题意的情况有8614+=种，故B 正确.故选：B.8.已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC 为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A.)+∞B.)+∞C.()2,+∞ D.,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】设点(),A x y，则可取),C ，代入双曲线方程整理可得22222233y a b x a b+=+，结合渐近线列式求解即可.【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为b y x a=±，设点(),A x y，则可取),C，则222222221331x y a b y x a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得2222222233y a b b x a b a +=<+，解得22b a >，即222c a a ->，可得222c a>，则c e a ==所以该双曲线离心率的取值范围是)∞+．故选：A.【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点(),A x y，根据垂直和长度关系可取),C；2.根据渐近线的几何意义可得：2222y b x a<.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（）A.()f x 在区间()2,-+∞上单调递增B.()f x 的最小值为21e -C.方程()2f x =的解有2个D.导函数()f x '的极值点为3-【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A ，B ，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C ，对()f x '构造函数再次求导，判断极值点即可.【详解】易知()()1e x f x x =+，可得()()2e x f x x +'=，令()0f x '<，(),2x ∞∈--，令()0f x '>，()2,x ∞∈-+，故()f x 在(),2∞--上单调递减，在()2,∞-+上单调递增，故()f x 的最小值为()212e f -=-，故A ，B 正确，若讨论方程()2f x =的解，即讨论()()1e 2xg x x =+-的零点，易知()2122eg -=--，()10g >，故()()120g g ⋅-<，故由零点存在性定理得到存在()02,1x ∈-作为()g x 的一个零点，而当x →-∞时，()g x →-2，显然()g x 在(),2∞--内无零点，故()()1e 2xg x x =+-只有一个零点，即()2f x =只有一个解，故C 错误，令()()()2e xh x f x x =+'=，故()()3e xh x x =+'，令()0h x '=，解得3x =-，而(0)0h '>，(4)0h '-<，故3x =-是()h x '的变号零点，即3x =-是()h x 的极值点，故得导函数()f x '的极值点为3-，故D 正确.故选：ABD10.南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（）A.由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B.1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C.1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D.此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡【答案】BCD【解析】【分析】根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，分析相应的面积大小或面积变化，就能判断出选项A、B、C的正确与否，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，是由于志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而降低了不必要的死亡，所以D选项是正确的.【详解】对于A选项，1854年4月至1855年3月,因为每个扇形白色部分面积远大于灰色部分的面积，根据每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例，可以得出由于疾病或其他原因而死的士兵远大于战场上因伤死亡的士兵；错误；对于B选项，从右侧图像可以看出，冬季（12月至来年2月）相应的扇形面积，大于其他季节时扇形的面积，表明在冬季死亡人数相较其他季节显著增加，正确；对于C选项，从左侧图像可以看出，1855年12月之后，每个扇形白色部分的面积较大幅度的在减少，表明因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降，正确；对于D选项，随着38名志愿女护士的加入，分析未来一年“玫瑰图”每个扇形白色部分面积、在逐步的变少，可以判断出因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，因此，可以推断出随着志愿女护士的加入，改善了军队和医院的卫生状况，从而使得因疾病或其他原因导致的死亡的士兵越来越少，大幅度降低了不必要的死亡，正确,故选：BCD.11.如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OA OB +=恒成立，则l 始终和曲线C1+=相切，关于曲线C 的说法正确的有（）A.曲线C 关于直线y x =和y x =-都对称B.曲线C 上的点到11,22⎛⎫⎪⎝⎭和到直线y x =-的距离相等C.曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦D.曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14-【答案】BCD 【解析】【分析】根据方程与图形，进行距离和面积的相关计算，逐项判断即可.【详解】对于A ，曲线C1+=中，0,0x y ≥≥，所以不关于直线y x =-对称，故错误；对于B ，设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy =⇔+---+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=--⇔+---+=，故正确；对于C，2221OP x y =+≤=，()22222112228x y x y ⎛⎫++ ⎪+≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭，所以221[,1]8x y +∈，所以曲线C上任意一点到原点距离的取值范围是,14⎤⎥⎣⎦，故正确；对于D ，(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy =-+-=+--+=+≥，故曲线C 位于圆()()22111x y -+-=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14-．故选：BCD .三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12.若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为160-，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得r 的值，代入列出方程，即可求解.【详解】由二项式62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()6662166C 2(()2C r r r r r r rr a T x a x x ---+=-=-，令620r -=，可得3r =，代入可得333346()2C 160160T a a =-=-=-，解得1a =.故答案为：1.13.已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =-+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．【答案】2【解析】【分析】设出公比，公差，首项，依据给定条件得到62026S S +=，进而得到132da =-，最后写出n S ，利用二次函数的性质求解即可.【详解】设{}n b 的公比为q ，故()()2223414222S b b b b q =-+=-+，()()()24612561266S b b b b b b q =++=+，可得62026S S +=，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，故得110212665a d a d++=+，化简得1230a d +=，解得132da =-，故23(1)2222n d n n S n d n n d d ---=+=，故当n S 最小时，2222d n d -=-=⨯，故得2S 是n S 的最小项，即{}n S 的最小项是第2项．故答案为：214.已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC 绕点O 逆时针旋转角2π03θθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ''' ，使得两三角形所在平面的距离为3，连接AA '，AC '，BA '，BB '，CB '，CC '，得到八面体ABCA B C '''，则该八面体体积的取值范围为______．【答案】3⎛ ⎝⎦【解析】【分析】将八面体转换成四个三棱锥的体积之和，结合三角函数的值域即可得解.【详解】先证明一个引理：如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11111,A C AB a C A B CAB α==∠=∠=，三棱柱111ABC A B C -的高为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.引理的证明如下：()1111111111111111111112223C A AB C A AB C A ABB ABC A B C C ABC ABC A B C ABC A B C V V V V V V V -------⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭111221111sin sin 3326ABC A B C V a h a h αα-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，引理得证.事实上上述引理等价于，若三棱锥11C A AB -满足，11A C AB a ==，异面直线11,C A AB 所成夹角为α，且异面直线11,C A AB 之间的距离为h ，则三棱锥的体积为1121sin 6C A AB V a h α-=.从而由上述引理有ABCA B C A ABC C A B C A B BC A C ACV V V V V ''''''''---''-'=+++213261π261262222sin 22sin 34363363θθ⎛⎫=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭π1sin sin333θθ⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭11sin cos 22θθ⎫=++⎪⎪⎭π1sin 6θ⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭．若2π03θ<<，则ππ5π663θ<+<，从而πsin 6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围是1,12⎛⎤⎥⎝⎦，π1sin6ABCA B C V θ'''⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎭的取值范围是3⎛ ⎝⎦.故答案为：3⎛ ⎝⎦.【点睛】关键点点睛：关键在于对八面体的适当划分，结合体积公式以及引理即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C -．【答案】（1）12（2）24-【解析】【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得1tan 2B =；（2）由（1）得2sin cos sin sin BB A C=，再借助角B 的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解.【小问1详解】因为a ，b ，c 是等比数列，所以2b ac =，有2sin sin sin B A C =，因为1tan A ，1cos B ，1tan C 是等差数列，所以211cos cos sin cos tan tan sin sin sin sin A C BB AC A C A C =+=+=.故22sin sin 1cos sin sin sin sin B B B A C B B===.所以1tan 2B =．【小问2详解】由（1）的过程可知2sin cos sin sin B B A C =，若π3B =，则13sin sin sin cos 28A CB B ==.又由()13cos cos cos cos sin sin cos cos 28B AC A C A C A C -=-=+=-=-，得1cos cos 82A C =-，故()12cos cos cos sin sin 8284A C A C A C -=+=-+=．16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分别为1+1-．（1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P '，求PF P F '+；（3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB 面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）；（3）4.【解析】【分析】（1）设出椭圆上的点00(,)M x y ，求出||MF 的最值，进而求出,a c 即可.（2）利用椭圆的对称性及椭圆定义求解即得.（3）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的表达式，再求出最大值即得.【小问1详解】令(,0)F c -，设00(,)M x y 是椭圆22221x y a b+=上的点，则22220002(),b y a x a x a a =--≤≤，则0||c MF a x a===+，显然当0x a =-时，min ||MF a c =-，当0x a =时，max ||MF a c =+，则11a c a c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆的方程为2212x y +=.【小问2详解】记椭圆的右焦点为F '，由椭圆对称性知，||||P F PF ''=，所以2PF P F PF PF a +=+==''.【小问3详解】显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为2x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，由22222x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(2)420m y my +++=，222168(2)8(2)0m m m ∆=-+=->，则12122242,22m y y y y m m +=-=++，1222||y y m -==+，因此122|1322|||22ABFS QF y y m =-=+，令0t =>，于是24224ABF S t t =≤=+⨯ ，当且仅当2t =，即m =时取到等号，所以FAB面积的最大值4.17.如图，已知三棱台111ABC A B C -，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点.（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π4【解析】【分析】（1）取AB 中点M ，利用平行四边形的性质证明AD OM ∥，从而利用线面平行的判定定理证明即可；（2）法1（建系）：利用梯形性质证明1A O OM ⊥，建立空间直角坐标系，设))1cos C αα-，利用平面11BCC B ⊥平面11ACC A 求得,0,33C ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，再利用线面角的向量公式求解即可；法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N ，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据面面垂直的性质定理，结合线面角的定义得1AVC ∠即为所求，在直角三角形中求解即可；法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，根据三余弦定理求解即可.【小问1详解】取AB 中点M ，连接,,CM MO CO ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面，由AM 与OD 平行且相等得，ODAM 为平行四边形，故AD OM ∥，因为AD ⊄平面1OCC ，OM ⊂平面1OCC ，所以AD ∥平面1OCC .【小问2详解】法1（建系）：连接OA ，因为BA ∥1B O ，且1=2BA B O =，所以1BAOB 为平行四边形，故12AO BB ==，又点D 为线段1OA 的中点，所以1AO AD ⊥，由AD OM ∥得1A O OM ⊥，故以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则)()())11,0,2,0,0,2,0,1,0AA B B--，因为2AB BC CA ===，AB 的中点M ，所以AB CM ⊥，又AB OM ⊥，CM OM M = ,,CM OM ⊂平面CMO ，所以AB ⊥平面CMO ，又AB ⊂平面11ABB A ，所以平面CMO ⊥平面11ABB A ，设CMO α∠=，CM =，则))1cos ,0,Cαα-，设平面11ACC A 的法向量为()1111,,n x y z =，()))1,,1cos ,2,AC A C αααα=-=-- ，则()111111cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧-+=⎪--+=，取11x =，则111cos sin y z αα+==，则平面11ACC A的法向量为11cos sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭ ；设平面11BCC B 的法向量为()2222,,n x y z =，()))1,1cos ,2,BC B C αααα==- ，则()222222cos sin 01cos 2sin 0y y αααα⎧+=⎪-+=，取21x =，则221cos sin y z αα+==，则平面11BCC B的法向量为21cos 1,sin n αα+⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，所以120n n ⋅=，即(1cos 1cos 110sin sin αααα++⨯+⨯=，即23cos 2cos 10αα+-=，解得1cos 3α=或cos 1α=-（舍去），故,0,33C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(21,n =，记直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为θ，()1AA =，则1212sin 2AA n AA n θ⋅===，故π4θ=，即直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角π4.法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取11A C 中点N，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面11BCC B 平面11ACC A ，1CA ⊂平面11ACC A ，故1CA ⊥平面11BCC B ，1B C ⊂平面11BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin 2A C AVC AV ∠==，所以1πsin 4AVC ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角的大小为π4.法3（三余弦定理）：先证三余弦定理：设A 为平面α上一点，过点A 的直线AO 在α平面上的射影为AB ，AC 为α平面内的一条直线，令OAC θ∠=，1OAB θ∠=，2BAC θ∠=，则这三个角存在一个余弦关系：12cos cos cos θθθ=(其中1θ和2θ只能是锐角)，称为三余弦定理，又称最小张角定理.证明：如上图，自点O 作OB AB ⊥于点B ，过B 作BC AC ⊥于C ，连接OC ，因为OB ⊥平面α，AC ⊂平面α，所以OB AC ⊥，又BC AC ⊥，BC OB B ⋂=，,BC OB ⊂平面CBO ，所以AC ⊥平面CBO ，又OC ⊂平面CBO ，所以AC OC ⊥，则cos ,cos ,cos AC AB ACOAC OAB BAC OA OA AB∠=∠=∠=，所以cos cos cos OAC OAB BAC ∠=∠⋅∠，即12cos cos cos θθθ=.延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠，由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，所以2111cos 2C VA ∠=，所以112cos 2C VA ∠=，故直线1AA 与平面11BCC B 所成线面角为11π4C VA ∠=.18.第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义.已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号.假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号.现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N .甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N N X i =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =-作为N 的估计.乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果.例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅-=<.（1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值.当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷.请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明.【答案】（1）16（2）分布列见解析，()365E M =（3）()E M N <，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分别求出()5P M =和()5P Y M M <=且，代入条件概率公式计算即得；（2）根据题意，列出M 的可能取值4,5,6,7,8，利用古典概型概率公式计算概率，写出分布列，求出其均值即可；（3）直观判断()E M N <，根据随机变量均值的定义列式，并将其适当放大，利用分布列的性质即可证得.【小问1详解】由5N =，3n =知，当5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C 种可能，故()2435C 35C 5P M ===，由Y M <，有215X -<，解得3X <，故总编号和小于9，则除最大编号5外，另2个编号只能是1，2，故()35115C 10P Y M M <===且，因此()()()1511053565P Y M M P Y M M P M <=<=====且；【小问2详解】依题意，用M 作为N 的估计值，因8N =，则M 的可能取值有4,5,6,7,8，于是3348C 1(4)C 70P M ===，3448C 42(5)C 7035P M ====，3548C 11(6)C 707P M ====，3648C 202(7)C 707P M ====，3748C 351(8)C 702P M ====，于是M 的分布列如下：M 45678P170235172712故()12121364567870357725E M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】直观上可判断()E M N <，证明：因()()(1)(1)()E M nP M n n P M n NP M N ==++=+++= [()(1)()]N P M n P M n P M N N <=+=+++== .【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于，正确理解题意，将相关量合理表达，如把握,,M n N 的含义，求出()5P M =和()5P Y M M <=且；以及用M 作为N 的估计值时，M 的可能值的概率；最后对于()E M N <的推理证明.19.卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11N nn k n kk c a bn +-+==∈∑，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2nn b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n i d a n i+-<⎧=⎨≥⎩的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i -项，前1i -项都取为0．试找到数列(){}i n t ，使得(){}{}{}innint a T a ⋅=；（3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c --=-+．【答案】（1）12c =，28c =，322c =，452c =（2）()1,0,n i n i t n i=⎧=⎨≠⎩（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式，分别求出这两个数列的前四项，再根据数列{}n c 的定义求出1c ，2c ，3c ，4c .（2）通过特例(1)n t 和前面的一些项来寻找规律及性质，有效转化特殊与一般.（3）思路一：由卷积运算的交换律，得()11nkn k n k bc =+-=∑，记{}n b 的前n 项和为n S ，再利用n S 求n b .思路二：记{}n b 的前n 项和为n S ，(){}int 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列为{}nT ，易证卷积关于数列加法有分配律、卷积运算满足结合律，因此可得{}{}{}*n n n T b S =，1nn ii c S==∑，再利用n S 求n b .【小问1详解】因为n a n =，2nn b =，所以11a =，12b =；22a =，24b =；33a =，38b =；44a =，416b =.因为{}{}{}*n n n a b c =，()11N n n k n k k c a bn +-+==∈∑，所以12c =，28c =，322c =，452c =.【小问2详解】(1)1,10,2n n t n =⎧=⎨≥⎩，对一般的N i +∈，()1,0,n i n i t n i =⎧=⎨≠⎩.【小问3详解】方法一：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11n k n k n k b c =+-=∑,故()11n n k n k n S kbc =+-=∑，因此()()111121n n k n n k n S kb n bc +++=+--+=∑，②②－①得11n n n S c c ++=-，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．方法二：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1N n T n +∈=∀，注意（Ⅰ）易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意（Ⅱ）注意{}n T 是(){}i nt 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*n n i t T 对所有i +∈N 对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1n n i i c S==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c ------=-=---=-+．注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中n n n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+．因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111n n i j i j i n n n n n n n j i j i i a b t t b t t b S ∞∞∞∞=====⎛⎫⎛⎫⎛⎫*=**=**= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑.【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义与卷积运算的综合问题，属于难题.1、解决数列新概念问题时需注意:（1）读懂定义，理解新定义数列的含义；（2）通过特例列举前面的一些项来寻找规律及性质，以及新定义数列与已知数列的关系，进行求解.2、卷积运算具有的性质（1）交换律：{}{}{}{}**n n n n a b b a =.（2）结合律：{}{}(){}{}{}{}()****n n n n n n x y x y ωω=.（3）分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***n n n n n n nx y x y ωωω+=+.。

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浙江省湖州市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(2)题设集合，，则（）A．或B．C．或D．第(3)题已知全集，，则（）A．B．C．D．第(4)题不等式成立的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．第(5)题已知曲线:与曲线:,直线是曲线和曲线的公切线,设直线与曲线切点为,则点的横坐标满足（）A．B．C．D．第(6)题已知，则（）A．B．C．D．第(7)题函数的定义域是（）A．B．C．D．第(8)题设是正方体的对角面（含边界）内的点，若点到平面、平面、平面的距离相等，则符合条件的点A．仅有一个B．有有限多个C．有无限多个D．不存在二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题一个笼子里关着10只猫，其中有4只黑猫､6只白猫，把笼子打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫，猫争先恐后地往外钻，如果10只猫都钻出了笼子，事件表示“第只出笼的猫是黑猫”，，则（）A．B．C．D．第(2)题下列说法正确的是（）A．两个变量x，y的相关系数为r，则r越小，x与y之间的相关性越弱B．数据1，3，4，5，7，8，10第80百分位数是8C．已知变量x，y的线性回归方程，且，则D．已知随机变量，则第(3)题如图所示的几何体，是将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点，作平行于底面的截面所得，且其所有棱长均为1，则（）A．直线与直线所成角为B．直线与平面所成角为C．该几何体的体积为D．该几何体中，二面角的余弦值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是_________第(2)题若满足约束条件则的最大值为___________.第(3)题两条直线与的夹角的大小是____四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若，讨论函数的单调性.第(2)题已知函数(1)求不等式的解集；(2)若的最小值为，且，求的最小值．第(3)题如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；(2)求点到平面的距离．第(4)题如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.(1)求证：；(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.第(5)题数列满足：或.对任意，都存在，使得，其中且两两不相等.(1)若，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①；②；③(2)记.若，证明：；(3)若，求的最小值.。

浙江省杭州市(新版)2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷

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浙江省杭州市（新版）2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线C上，.若为等边三角形，且，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．第(2)题已知，，，则（）．A．B．C．D．第(3)题已知函数，，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知抛物线的顶点是坐标原点O，焦点为F，A是抛物线C上的一点，点A到x轴的距离为．过点A向抛物线C的准线作垂线、垂足为B．若四边形ABOF为等腰梯形，则p的值为（）A．1B．C．2D．第(5)题已知四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面，，点M，N分别为线段AD，CD上一点，E为BC的中点，当取得最小值时，三棱锥的体积为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题中医是中华传统文化的瑰宝，中医传统补气名方“四君子汤”是由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成的，补血名方“四物汤”是由熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成的，这两个方子中的八味药又组合而成“八珍汤”，现从“八珍汤”的八味药中任取四味.取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（）A．B．C．D．第(8)题如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（）．A．2个极大值点，1个极小值点B．3个极大值点，2个极小值点C．2个极大值点，无极小值点D．3个极大值点，无极小值点二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题关于函数，下列判断正确的是（）A．的极大值点是B．函数有且只有个零点C．存在实数，使得成立D．对任意两个正实数，，且，若，则第(2)题下列说法中正确的是（）A．8道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数B．100件产品中包含5件次品，不放回地随机抽取8件，其中的次品数C．设随机变量，，则D．设M，N为两个事件，已知，，，则第(3)题定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（）A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为6C．D．和的图象所有交点横坐标之和等于8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在圆内随机地取一点，则该点坐标满足的概率为________．第(2)题在中，角，，所对的边分别为，，，且，，若，则的最大值为___________.第(3)题已知的展开式的各项系数的绝对值之和为1024，____________，展开式中的项的系数为____________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收.为了解某新品种水稻品种的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取400亩，统计其亩产量（单位：吨）.并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(1)求这400亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；(2)若这400亩水稻的灌溉水源有河水和井水，现统计了两种水源灌溉的水稻的亩产量，并得到下表：亩产量超过亩产量不超过合计河水灌溉18090270井水灌溉7060130合计250150400试根据小概率值的独立性检验分析，用井水灌溉是否比河水灌溉好？第(2)题二十四节气起源于黄河流域，是古代中国劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶.其中“立冬小雪十一月，大雪冬至迎新年”就是描述二十四节气农历11月和12月的节气口诀.某中学为调查本校学生对二十四节气的了解情况，组织测试活动，按照性别分层抽样抽取了150名学生进行答题，其中男生占，记录其性别和是否全部答对的情况，得到如图的等高条形图.(1)若该校有3000人，试估计该校对二十四节气的测试活动全部答对的学生人数；(2)完成下面的列联表，判断能否有的把握认为“是否全部答对”与性别有关？完全答对部分答对合计男女合计附：，其中.0.1500.1000.0500.0100.0052.072 2.7063.841 6.6357.879第(3)题四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，为的中点，为的中点，平面底面.（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）若与底面所成的角为，求二面角的余弦值.第(4)题已知是等差数列的前项和，，数列是公比大于1的等比数列，且，.(1)求数列和的通项公式；(2)设，求使取得最大值时的值.第(5)题已知，设向量，.（1）若，求x的值；（2）若，求的值.。

浙江省杭州市2024年数学(高考)统编版模拟(提分卷)模拟试卷

浙江省杭州市2024年数学(高考)统编版模拟(提分卷)模拟试卷

浙江省杭州市2024年数学（高考）统编版模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题敏感性问题多属个人隐私．对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密．例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人的情况下，独自一人回答问题．被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题A；若抽到红球，则回答问题B．且罐中只有白球和红球．问题A：你的生日是否在7月1日之前?（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为）问题B：你是否有早恋现象？已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张回答“是”，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（）（精确到0.01）A．0.08B．0.07C．0.06D．0.05第(2)题曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为（）A．(1, 0)B．(2, 8)C．(1, 0)和(-1, -4)D．(2, 8)和(-1, -4)第(3)题已知集合，，则( )A．B．C．D．第(4)题已知命题，，若为假命题，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知，则的值构成的集合是（）A．B．C．D．第(6)题已知奇函数与偶函数满足，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(7)题已知全集，集合或，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（）A．2B．4C．6D．8二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知定义在上的函数，对任意的满足，下列说法正确的是（）A．若为一次函数，则B．若为一次函数，则C．若不是一次函数且，则D．若不是一次函数且，则第(2)题已知一组样本数据：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10.关于这组样本数据，结论正确的是（）A．平均数为8B．众数为7C．极差为6D．中位数为8第(3)题已知函数的定义域为，且，，，则下列说法中正确的是（ ）A．为偶函数B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

浙江省杭州市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

浙江省杭州市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷含解析

浙江省杭州市第二中学2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”的长宽比为2:1.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（ ） A ．400米 B ．480米 C ．520米D ．600米2．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α,//m β,则//αβ B ．若m α⊥，m n ⊥,则n α⊥ C ．若m α⊥,//m n ,则n α⊥ D ．若αβ⊥,m α⊥,则//m β3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减4．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．5．已知向量11,,2a b m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，若()()a b a b +⊥-，则实数m 的值为（ ）A ．12B ．32C ．12±D ．32±6．已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ．53B ．329C ．43D ．2597．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ．B ．C ．D ．9．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ） A ．22B ．25C ．10D ．2010．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④11．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷(附答案)

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷(附答案)

2024年浙江省高三数学考前模拟联考试卷(附答案)一、选择题（每题5分，共50分）1. 设集合A={x|1≤x＜3}，B={x|x＞4}，则A∪B 的取值范围是（）A. [1，3)B. (4，+∞)C. [1，+∞)D. (1，4]2. 若函数f(x)=x²-2x+3在区间（-∞，a）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. a＜-1B. a≤1C. a＜0D. a≤23. 已知函数y=2x-1与y=kx+3的图象有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A. k＜2B. k＞2C. k≠2D. k=24. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则S15的值为（）A. 50B. 60C. 70D. 805. 设函数f(x)=2x³-3x²+x+1，若f(x)在区间（-∞，a）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a＞1D. a＜1答案：1.C 2.D 3.C 4.C 5.A二、填空题（每题5分，共30分）6. 若函数f(x)=x²-4x+c在区间（-∞，2）上是减函数，则实数c的取值范围是______。

答案：c≤47. 已知函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若f(3)=4，则f(1)=______。

答案：48. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，则公差d=______。

答案：19. 设函数f(x)=x²-2x+3，若f(x)在区间（-∞，a）上单调递增，则实数a的取值范围是______。

答案：a≥110. 若函数y=2x-1与y=kx+3的图象有两个不同的交点，则实数k的取值范围是______。

答案：k≠2三、解答题（共70分）11. （本题15分）已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间（-∞，a）上的单调性，并给出实数a的取值范围。

浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷(宁波一模)(含答案)

浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷(宁波一模)(含答案)

浙江省宁波市2025届高三上学期高考模拟考试数学试卷（宁波一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ={−2,0,1}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∪B =A. {−2,0,1}B. {0,1,4}C. {0,1}D. {−2,0,1,4}2.复数z 满足z =5i−2，则|z|=A. 1B. 2C.5D. 53.向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a ⊥b ，则|a−3b |=A.3B.7C.10D.134.研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长(单位：小时)分成五组：[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是A. 7B. 7.5C. 7.8D. 85.圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为A.33B.32C. 233D.36.已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过上顶点A 作直线AF 2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F 1B|，则椭圆C 的离心率为A. 13B. 12C.33D.227.不等式(x 2−ax−1)(x−b)≥0对任意x >0恒成立，则a 2+b 2的最小值为A. 22−2B. 2C. 22 D. 22+28.设a ∈R ，函数f(x)={sin (2πx−2πa),x <a,|x−a−1|−3a +6,x ≥a 若f(x)在区间(0,+∞)内恰有6个零点，则a 的取值范围是A. (2,72]B. (2,3]C. (2,73]∪(52,72]D. (2,73]∪(52,3]二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列{a n}，{b n}都是正项等比数列，则A. 数列{a n+b n}是等比数列B. 数列{a n·b n}是等比数列C. 数列{a n b n}是等比数列D. 数列{a n b n}是等比数列10.函数f(x)=e x−a ln x，则A. f(x)的图象过定点B. 当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增C. 当a=1时，f(x)>2恒成立D. 存在a>0，使得f(x)与x轴相切11.已知曲线C：(x2+y2−1)3−7sin2x+7cos2y=6，下列说法正确的是A. 曲线C过原点OB. 曲线C关于y=x对称C. 曲线C上存在一点P，使得|OP|=1D. 若P(x,y)为曲线C上一点，则|x|+|y|<3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷

浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷

浙江省宁波市2024-2025学年高三上学期高考模拟考试数学试卷一、单选题1．集合{}2,0,1A =-，{}2,B y y x x A ==∈，则A B = （）A ．{}2,0,1-B ．{}0,1,4C ．{}0,1D ．{}2,0,1,4-2．复数z 满足5i 2z =-，则z =（）A ．1B ．2CD ．53．向量a ，b 满足1a b == ，a b ⊥ ，则3a b -= （）AB C D 4．研究小组为了解高三学生自主复习情况，随机调查了1000名学生的每周自主复习时间，按照时长（单位：小时）分成五组：[)2,4，[)4,6，[)6,8，[)8,10，[)10,12，得到如图所示的频率分布直方图，则样本数据的第60百分位数的估计值是（）A ．7B ．7.5C ．7.8D ．85．圆台的高为2，体积为14π，两底面圆的半径比为1:2，则母线和轴的夹角的正切值为（）A ．3B ．2C ．3D 6．已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，过上顶点A 作直线2AF 交椭圆于另一点B .若1AB F B =，则椭圆C 的离心率为（）A ．13B ．12C D ．27．不等式()()210x ax x b ---≥对任意0x >恒成立，则22a b +的最小值为（）A．2B ．2C．D．28．设a ∈R ，函数()()sin 2π2π,,136,.x a x a f x x a a x a ⎧-<⎪=⎨---+≥⎪⎩若()f x 在区间()0,∞+内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A ．72,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]2,3C ．7572,,322⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦ D ．752,,332⎛⎤⎛⎤⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、多选题9．已知数列{}n a ，{}n b 都是正项等比数列，则（）A ．数列{}n n a b +是等比数列B ．数列{}n n a b ⋅是等比数列C ．数列n na b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D ．数列{}n b n a 是等比数列10．函数()e ln x f x a x =-，则（）A ．()f x 的图象过定点B ．当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增C ．当1a =时，()2f x >恒成立D ．存在0a >，使得()f x 与x 轴相切11．已知曲线C ：()3222217sin 7cos 6x y x y +--+=，下列说法正确的是（）A ．曲线C 过原点OB ．曲线C 关于y x =对称C ．曲线C 上存在一点P ，使得1OP =D ．若(),P x y 为曲线C 上一点，则3x y +<三、填空题12．已知()3x f x =，则()3log 2f =.13．抛物线C ：24y x =的焦点为F ，P 为C 上一点且3PF =，O 为坐标原点，则OPF S = .14．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个大小质地完全相同的小球.甲、乙两人玩游戏，规则如下：第一轮，甲先从盒子中不放回地随机取两个球，乙接着从盒子中不放回地随机取一个球，若甲抽取的两个小球数字之和大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分；第二轮，甲、乙从盒子中剩余的两个球中依次不放回地随机取一个球，若甲抽取的小球数字大于乙抽取的小球数字，则甲得1分，否则甲不得分.则在两轮游戏中甲共获得2分的概率为.四、解答题15．在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 是边长为2的等边三角形，AB =2PB =，π2ABC ∠=.(1)求证：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)求平面PAB 与平面PAC 的夹角的余弦值.16．已知数列{}n a 为等差数列，且满足()221n n a a n *=+∈N .(1)若11a =，求{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n b 满足215134b b -=，且数列{}n n a b ⋅的前n 项和()13428n n T n +=-×+，求数列{}n b 的通项公式.17．已知53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>上一点，E的渐近线方程为2y x =±.(1)求E 的方程；(2)直线l 过点()1,1A ，且与E 的两支分别交于P ，Q 两点.若AP AQ PQ ⋅=l 的斜率.18．已知函数()sin f x ax x =.(1)判断()f x 的奇偶性；(2)若12a =-，求证：()1f x ≤；(3)若存在()00,πx ∈，使得对任意()00,x x ∈，均有()1f x <，求正实数a 的取值范围.19．开启某款保险柜需输入四位密码123s a a a x ，其中123a a a 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是09 中的一个整数），s x 是根据开启时收到的动态校验钥匙s （s 为1~5中的一个随机整数）计算得到的动态校验码.s x 的具体计算方式：s x 是32123M a s a s a s =⋅+⋅+⋅的个位数字.例如：若静态密码为301，动态校验钥匙2s =，则3232021226M =⨯+⨯+⨯=，从而动态校验码26x =，进而得到四位开柜密码为3016.(1)若用户最终得到的四位开柜密码为2024，求所有可能的动态校验钥匙s ；(2)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙5s =，求动态校验码s x 的概率分布列；(3)若三位静态密码为随机数且等可能，动态校验钥匙()15,s i i i =≤≤∈N 的概率为i p ，其中i p 是互不相等的正数.记得到的动态校验码()09,s x k k k =≤≤∈N 的概率为k Q ，试比较0Q 与1Q 的大小.。

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(自测卷)完整试卷

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(自测卷)完整试卷

浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．1B．2C．3D．4第(2)题已知函数，，且在上单调.设函数，且的定义域为，则的所有零点之和等于（）A．B．C．D．第(3)题设为等差数列的前n项和，已知，，则（）A．5B．6C．7D．8第(4)题甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A．6种B．12种C．30种D．36种第(5)题函数的图象大致是（）A．B．C．D．第(6)题已知则（）A．B．C．D．第(7)题已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）A．B．C．D．第(8)题已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，且，则（）A．B．C．D．若，则第(2)题已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C．在上单调递增D．区间上有且只有一个极值点第(3)题把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E为线段上的动点，MN为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（）A．当平面时，为的中点B．三棱锥外接球的表面积为C．若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为D．三棱锥体积的最大值为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若圆台的上底面面积为下底面面积的一半，体积为，表面积为，则的最大值是______.第(2)题已知椭圆的左焦点为_____.第(3)题已知等差数列的首项，而，则____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，直线平面分别是的中点．(1)记平面与平面的交线为，证明：平面；(2)设（1）中的直线与圆的另一个交点为，且点满足．记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，求证：．第(2)题阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，并按这样的规律继续下去．(1)求．(2)求证：不存在正整数，使得三角形的面积为2022;(3)求证：对于任意正整数，三角形为锐角三角形．第(3)题已知椭圆的离心率为是椭圆的一个焦点，点，直线的斜率为2．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，是否存在直线使得？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．第(4)题某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，）每天下午6点前的销售量/千克250300350400450天数10105(1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；(2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望．第(5)题盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．(1)记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证：；(2)用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望．。

浙江高考数学模拟卷(含答案)

浙江高考数学模拟卷(含答案)

浙江高考数学模拟卷一、单选题1．已知集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =，且A B = （）A ．{}1,3B ．{}1,3,5C ．{}1,2,3,4D ．{}1,2,3,4,52．设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（）A ．95B ．85C ．65D ．454．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．173B ．6C ．203D ．2235．设实数x ，y 满足约束条件2040640-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩x y x y x y 则2z x y =+的最小值（）A ．5B ．385-C ．8-D ．86．已知直线l 不在平面α内，则“//l α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数4()ln f x x x =+，53()sin g x x x =+，则如图所示的函数为（）A ．()()y f x g x =+B ．()()y f x g x =-C ．()()1y f x g x =⋅+D ．()f x y =8．设,,αβγ为互不相等的三个实数，且,k k Z αβγπ++=∈，则有A ．sin sin sin 1αβγ++≥B ．sin sin sin 1αβγ++≥C ．cos cos cos 1αβγ++≥D ．cos cos cos 1αβγ++≥9．若实数,a b 满足224ln 4ln 1a b a b -≥+-，则4a b +=（）AB．C．D．10．设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列二、填空题11．下面这道题来自于《张丘建算经》，张丘建是南北宋时期的著名数学家，最早提出三元一次不定方程的根，这题也是他买鸡偶然提出的.题：用100文购买了100只鸡，公鸡一只5文钱，母鸡一只3文钱，小鸡则一文钱３只，则三种鸡都有时，公鸡至少有_______只.12．已知a R ∈，函数()27sin 2,06log ,0x x f x x x π⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪<⎩，若3f f a π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则=a ________.13．已知()()()2550125222x a a x a x a x =+-+-++- ，则2a =__________；则123452345a a a a a ++++=__________.14．如图，在ABC 中，D 是BC 边上一点，满足32CD BD =，2,5,AB BC AC ===则AD =__________；sin DAC ∠=__________.15．袋中有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有x 个，其余均为白球，每次从袋中有放回地抽取一个小球，抽取3次，记取到红球的次数为随机变量ξ，若()1171125P ξ≥=，则()0P ξ==______，()E ξ=______．16．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是_____，双曲线的离心率是_________.17．已知平面向量1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 满足1234561123456a a a a a a======，1234560a a a a a a +++++=，则246a a a ++ 的最小值是________，15162526a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅的最大值是_______.三、解答题18．设函数()3cos 2cos 262f x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（Ⅰ）求a 值及()f x 递增区间；（Ⅱ）若将函数()y f x =图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求满足()006g x g x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭12≥的实数0x 的集合.19．在四棱锥P ABCD -中，//,BC AD CD AD ⊥，二面角P AD B --的大小为23π，且PA =PD222AD DC BC ===.（1）求证：PB AD ⊥；（2）设E 是直线PC 上一点，求AE 与平面PAB 所成角正弦的最大值.20．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+b 2)n n b a ++= .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N ∈122n c c c +++< .21．椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1N ⎛-- ⎝⎭，.直线:(0)l y kx m k =+>与椭圆C 交于A 、B 两点，且线段AB 的中点P 恰好在抛物线218y x k=上.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求OAB （O 为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线l 的方程.22．已知函数()2()ln 0,f x x bx a x a b R =-+>∈.（1）当1b =时，试讨论函数()f x 的单调增区间；（2）设()()g x xf x =，()g x 在[]1e ，上不单调，且124b a+≤e 恒成立，求a 的取值范围（e 为自然对数的底数）；（3）设2b a =+，若()f x 存在两个极值点12x x 、，且121x x ->，求证：()()1234ln 2f x f x ->-.参考答案1．A 【分析】直接进行交集运算即可求解.【详解】因为集合{}13,5A =,，{}1,2,3,4B =所以{}1,3A B = ，故选：A.2．C 【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．3．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340±=x y ，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==.故选：A.4．C 【分析】首先画出几何体的直观图，再求其体积即可.【详解】将三视图的直观图放入长方体中，如图所示：由题知：长方体的长为4，宽为2，高为4，B ，C 为棱上的中点.11421222522ABCD S =⨯-⨯⨯-⨯⨯=，则1205433V =⨯⨯=.故选：C 5．B 【分析】做出x ，y 满足约束条件的可行域，结合图形可得答案.【详解】做出x ，y 满足约束条件2040640-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩x y x y x y 的可行域如图，2z x y =+化为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，当直线经过点A 时2z x y =+有最小值，由20640-+=⎧⎨--=⎩x y x y 得166,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭A ，所以2z x y =+的最小值为166382555-⨯-=-.故选：B.6．A 【分析】根据充分、必要条件的定义，结合空间中线、面的位置关系，即可得答案.【详解】若//l α，则l 上任意点到平面α的距离都相等，即存在两个点到平面α的距离相等，充分性成立，若直线l 上存在两个点到平面α的距离相等，则l 与平面α可相交，且面上、下各有一点到平面的距离相等，故必要性不成立，所以“//l α”是“直线l 上存在两个点到平面α的距离相等”的充分不必要条件.故选：A 7．D 【分析】由图象判断函数的奇偶性，根据解析式判断()f x 、()g x 的奇偶性，再由各选项的函数表达式，应用奇偶性定义判断奇偶性即可.【详解】由图象的对称性知：函数关于原点对称，即为奇函数，根据解析式易知：()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-A ：()()()()f x g x f x g x -+-=-，不合要求；B ：()()()()f x g x f x g x ---=+，不合要求；C ：()()1()()1f x g x f x g x --+=-+，不合要求；D ：()()()()f x f xg x g x -=--为奇函数，符合要求.故选：D.8．D 【分析】运用绝对值不等式的性质和三角函数的有界性（α1,α1sin cos ≤≤）求解可得结论．【详解】∵,k k Z αβγπ++=∈，∴()cos 1αβγ++=．∵()()()()cos cos cos αcos αsin sin αβγαβγβγβγ⎡⎤++=++=+-+⎣⎦()()cosαcos αsin sin βγβγ≤+++()cosαsin βγ≤++，又()sin sinβcos βsin sinβcos βsin cos cos βγγγγγ+=+≤+sinβcos βsin cos βcos cos γγγ=+≤+，∴()cos 1|cosα|βcos cos αβγγ++=≤++，即|cosα|βcos 1cos γ++≥．故选D ．【点睛】本题考查三角函数的值域及绝对值不等式，考查放缩法的应用，解题时要灵活运用正弦函数和余弦函数的有界性，同时要注意不等式中等号成立的条件，考查变化能力的运用．9．D 【分析】由224ln 4ln 1a b a b -≥+-，得40,0a b >>，利用基本不等式可得2244111a a b b +-≥=-，令4,0at t b=>，令()ln 1g t t t =-+，利用倒数可求得()()10g t g ≤=，结合()0g t ≥，可得()()10g t g ==，从而可求得,a b ，即可的解.【详解】解：由224ln 4ln 1a b a b -≥+-，得40,0a b >>，则2244111aa b b+-≥-=-，当且仅当224a b=时，取等号，4ln 4ln lna ab b -=，则44ln 10a ab b-+≥，令4,0at t b=>，令()ln 1g t t t =-+，()11g t t'=-，当01t <<时，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<，所以函数()g t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，所以()()10g t g ≤=，又因为()0g t ≥，所以()()10g t g ==，所以2241400a b a b a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪>⎪⎪>⎩，解得a b ==所以4a b +=故选：D.10．B 【详解】1112b a c =-且11b c >，1112a c c ∴->，11a c ∴>，111111120b a a c a a c ∴-=--=->，111b a c ∴>>，又111b c a -<，11112a c c a ∴--<，112c a ∴>，∴112a c >，由题意，112n n n n nbc b c a ++++=+，1112(2)2n n n n n n b c a b c a ++∴+-=+-，1112b c a += ，11120bc a ∴+-=，20n n n b c a ∴+-=，122n n n b c a a ∴+==，12n n b c a +∴=，由此可知顶点n A 在以n B 、n c 为焦点的椭圆上，又由题意，112n n n n c b b c ++--=，∴111112(2)2n n n n n a b bb a b a b ++----==-，1111()2n n b a a b +∴-=-，111(2n n b a -∴-=-，∴11111()(2n n b a b a -=+--，1111112()(2n n n c a b a b a -=-=---，∴21111111111111333311()[()()][()()]222222n n n a a a a S a a b a a b a --=------+--2212111131[()()]424n a a b a -=--单调递增（可证当1n =时22111()0)4a b a -->故选：B ．11．4【分析】设买公鸡x 只,母鸡y 只，小鸡z 只，由1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，得到7254y x =-，再根据,,x y z 为正整数求解.【详解】设买公鸡x 只,母鸡y 只，小鸡z 只，由题意得：1531003100x y z x y z ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩，则7254y x =-，因为,,x y z 为正整数，所以x 必须是４的倍数，当x 分别为4,8,12时，得41878x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，81181x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12484x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以公鸡至少有4只，故答案为：412．1-【分析】利用函数()f x 的解析式可得出求得实数a 的值.【详解】由已知可得111sin sin 2sin 36662f πππππ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故211log 1322a f ff π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1-.13．80405【分析】由()()()()5255012522222x x a a x a x a x =+-=+-+-++-⎡⎤⎣⎦ ，利用通项公式求解2a ；由()()()2550125222x a a x a x a x =+-+-++- 两边求导，再利用赋值法求解.【详解】因为()()()()5255012522222x x a a x a x a x =+-=+-+-++-⎡⎤⎣⎦ ，所以2325280a C ==；两边求导得()()4412552252x a a x a x =+-++- ，令21x -=，得3x =，所以41252553405a a a +++=⨯= ，故答案为：80，40514133【分析】①ABC 中由余弦定理求出cos C ，在ADC 中，由余弦定理可得解；②ADC 中，由正弦定理可得解.【详解】由题满足32CD BD =，2,5,AB BC AC ==2,3CD BD ==ABC 中，由余弦定理cosC C ==ADC 中，由余弦定理可得AD ==ADC2sin DAC =∠，所以s in DAC ∠=.，13315．812595【分析】根据对立事件的概率求得()0P ξ=，从而解得x ，再根据二项分布求得数学期望.【详解】∵()1171125P ξ≥=，∴()()8011125P P ξξ==-≥=，则()3350C 55x x P ξ-⎛⎫⎛⎫==⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8125=，∴3x =，则3~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，∴()39355E ξ=⨯=．故答案为：8125；95.16【分析】由题意，写出圆心坐标与半径，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，表示出AB 和BC ，计算AC ，从而计算出tan BAC ∠，进而得直线斜率，再由双曲线的性质得22b PF a=，2AF a c =+，列等式，由,,a b c 关系即可得离心率.【详解】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC =，得2tan 4aBC BAC AC∠==，所以直线的斜率是4；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以2222tan 4PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得242(42)0e e --+=，求解得424e +=.故答案为：24；424+【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a ，c ，代入公式ce a=；只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．17．112【分析】由条件结合三角不等式可得2461155131a a a a a a a a a ++=++≥--= ，设112b a a =+，234b a a =+ ，356b a a =+ ，则有13b ≤ ，27b ≤ ，311b ≤ ，1230b b b ++=，然后()()()()1256131312111712a a a a b b b b b b b b b '+⋅+=⋅≤≤-≤-≤.【详解】因为1234561123456a a a a a a ====== ，1234560a a a a a a +++++= ，所以2461155131a a a a a a a a a ++=++≥--= ，且等号可以取到，如下图()()151625261256a a a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+ 设112b a a =+ ，234b a a =+ ，356b a a =+ ，则有13b ≤ ，27b ≤ ，311b ≤ ，1230b b b ++= ，如下图所以有()()()()1256131312111712a a a a b b b b b b b b b '+⋅+=⋅≤≤-≤-≤，且等号可以取到，如下图故答案为：1；12【点睛】本题考查的是平面向量的加减法、三角不等式和数量积的应用，考查了学生分析能力和转化能力，属于难题.18．（Ⅰ）0a =；5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈；（Ⅱ）0,12242k k x x k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【分析】（Ⅰ）先利用三角恒等变换化简整理()f x ，再利用最大值求参数，并求递增区间即可；（Ⅱ）先平移得到函数()y g x =解析式，再解不等式即可.【详解】解（Ⅰ）()3cos 2cos 262f x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2cos 222x x a =+sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴()max 11f x a =+=，∴0a =；令22,2,322x k k k Z πππππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦得5,,1212x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦∴()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k Z ∈；（Ⅱ）()f x 向右平移6π个单位，得()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()200000001sin 2sin 2=sin 2sin 2cos 2632g x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭200000111sin 2+2cos 24cos 2244x x x x x ==-+011sin 4264x π⎛⎫=-+ ⎝⎭∴()00162g x g x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即0111sin 42642x π⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，得01sin 462x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得05242,666k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，故实数0x 的集合为0,12242k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【点睛】本题考查了三角恒等变换和三角函数的应用，属于中档题.19．（1）证明见解析（2【分析】(1)取AD 中点O ，证明,PO AD BO AD ⊥⊥，由线面垂直判定定理证明AD ⊥平面POB ，由此可证PB AD ⊥；(2)建立空间直角坐标系利用向量法求AE 与平面PAB 所成角正弦再求其最大值.（1）取AD 中点O ，则,PO AD BO AD ⊥⊥，PO ，BO ⊂平面POB ，PO BO O =，AD ∴⊥平面POB ，PB ⊂平面POB ，∴AD PB ⊥；（2）以O 为原点，,OB OD 为x ，y 轴，建立空间直角坐标系，由（1）知，23POB π∠=，则1(2P -，(0,1,0),(1,0,0),(1,1,0)A B C -，设PE PC λ=，则31(,1))2AE λλλ-=+- 设平面PAB 的法向量(,,)n x y z =，则1022x y z x y ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩，故取(1,n =-设AE 与平面PAB 所成角θ，则sin θ故AE 与平面PAB，20．（1）(*)n a n n N =∈（2）证明见解析【分析】（1）根据题意得到12n n n a a S +=和112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，解得答案.（2）计算1(1)n b n n =+，n c 放缩n c <和n c >，利用裂项相消法计算得到证明.（1）由12n n n a a S +=得112(2)n n n a a S n --=≥，两式相减得112(2)n n a a n +--=≥，由11a =，得22a =，数列的偶数项和奇数项分别是公差为2的等差数列，当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，n a n =.综上所述(*)n a n n N =∈.（2）由1211n n n a n b b b a n ++++==+ ，1211n n b b b n --+++= ，2n ≥，112b =，两式相减得1(1)n b n n =+，2n ≥，验证112b =成立，故1(1)n b n n =+.则n c =那么n c =，故122(1n c c c +++<-+=2(12<，同理n c =，故12n c c c +++>+=.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，证明数列不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中数列的放缩是解题的关键，同学们需要灵活掌握.21．（1）2214x y +=（2）1，112y x =-【分析】（1）将点1N ⎛-- ⎝⎭，代入椭圆标准方程，结合离心率和关系式即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，得出关于x 的一元二次方程，写出韦达定理，结合中点在218y x k=上求出k 与m 关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出OAB S ，结合二次函数性质可求最值.（1）椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>C 经过点P ，2222222411314c a a a b c b ab ⎧=⎪⎪⎧=⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪⎪+=⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=；（2）由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222418440k x kmx m +++-=，()()()()222228441441641km k m k m ∆=-+-=+-，设()()1122,,A x y B x y ，，则21212228444141km m x x x x k k --+==++，，∵线段AB 的中点为D ，12024241x x km x k +-∴==+，00241my kx m k =+=+，又 点D 在抛物线218y x k =上，2221441841m kmk k k -⎛⎫∴=⋅ ⎪++⎝⎭，0m =或()2241m k =-+，当0m =时，O A B 、、三点共线（舍去），又AB =点O 到直线l 的距离d =1122OABS AB d ∴=⋅⋅=⋅△，=，1=，当1m =-时，OAB 的面积取得最大值，此时12k =，此时直线l 的方程为112y x =-.22．（1）当18a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当108a <<时，()f x 在10,4⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增.（2）22e e 44⎡+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，（3）证明见解析【分析】（1）求出导函数22'()21a x x af x x x x-+=-+=，对分子分类讨论；（2）根据'()0g x =在()1,e 上有解，转化为讨论ln 1()3a x a F x x x a+=++单调性求解；（3）()2ln f x x bx a x =-+利用导函数分析出a 的范围，根据单调性求解.（1）当1b =时，2()ln f x x x a x =-+，()f x 的定义域为()0,∞+，22'()21a x x af x x x x-+=-+=，()214218a a ∆=--⨯=-，①当0∆≤时，即11808a a -≤⇒≥时，'()0f x ≥，()f x ∴在()0,∞+上单调递增，②当0∆>时，即108a <<时，令12'()0f x x x =⇒==，显然1211044x x <<>，，()f x ∴在⎛ ⎝⎭和14⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；综上所述：当18a ≥时，()f x 在()0,∞+上单调递增，当108a <<时，()f x 在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；（2）32()ln g x x bx ax x =-+，2'()32ln g x x bx a x a =-++，()g x ∵在[]1,e 上不单调，'()g x ∴在()1,e 上有正负，'()0g x ∴=，在()1,e 上有解，()23ln 2,1,e x a x ab x x++⇒=∈，答案第17页，共17页124b a+≤e 恒成立，记ln 1()3a x a F x x x a +=++，则23ln '()x F x a a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，记23ln 12ln ()'()x x G x G x x x -=∴=，，()G x ∴在(上单调递增，在)上单调递减，[]max 1()2e G x G ∴==，于是知：①当312a e≥，即6a ≤e 时，'()0F x ≥恒成立，()F x 在()1,e 上单调递增，21(e)3e 4e e a F a ∴=++≤，222e e 0a a a ⇒-+≤≤，②当6e a >时，14e F a =+>=>，故不满足题意，综上，a ∈⎢⎥⎣⎦；（3）证明：()()220ln b a a f x x bx a x =+>=-+∵，，()()()12'222x x a a a f x x b x a x x x--∴=-+=--+=，由()12'012a f x x x =⇒==，，又由12122a x x ->⇒>，()f x ∴在12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，()()()2121ln 1242a a a f x f x f f a ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭，令22a t =>，记()22ln 1h t t t t =--，则()'22ln 2h t t t =--，()222''20t h t t t -∴=-=>，()()'2,h t ∴+∞在上单调递增，()()''222ln 20h t h ⇒>=->，()h t ∴在()2,+∞上单调递增，()()234ln 20h t h ⇒>=->，()()1234ln 2f x f x ∴->-.。

浙江省杭州市(新版)2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷

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浙江省杭州市（新版）2024高考数学统编版模拟(预测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限第(2)题设，若平面上点满足对任意的，恒有，则一定正确的是A ．B ．C ．D ．第(3)题已知中，C 为直角，若分别以边CA ，CB ，AB 所在的直线为轴旋转一周，得到几何体的体积为，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(4)题已知集合，集合，则的子集个数为（ ）A ．8B ．3C ．2D ．1第(5)题已知为虚数单位，复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．第(6)题函数图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．第(7)题过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）A ．3B ．C ．D ．第(8)题函数的极值点是（ ）A ．0B ．1C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A ．.B ．由“第行所有数之和为”猜想：.C．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.第(2)题下列结论正确的是（）A．经验回归直线恒过样本点的中心，且在经验回归直线上的样本点越多，拟合效果越好B．在一个列联表中，由计算得的值，那么的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大C．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数D．根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得．依据的独立性检验，则变量x与y独立第(3)题设，，则下列计算正确的是（）A．B．若，则C．若，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知三棱锥的四个面都是边长为2的正三角形，是外接圆上的一点，为线段上一点，，是球心为，半径为的球面上一点，则的最小值是______．第(2)题已知，则的最大值为___________第(3)题已知，函数，．若关于的方程有个解，则的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某工厂预算用56万元购买单价为5千元（每吨）的原材料和2千元（每吨）的原材料，希望使两种原材料的总数量（吨）尽可能的多，但的吨数不少于的吨数，且不多于的吨数的倍，设买原材料吨，买原材料吨，按题意列出约束条件､画出可行域，并求､两种原材料各买多少才合适.第(2)题如图1所示，长方体，底面是正方形，为中点，图2是该几何体的左视图.（1）求四棱锥的体积；（2）正方体内（包括边界）是否存在点，使三棱锥体积是四棱锥体积的？若存在，请指出满足要求的点的轨迹，并在图1中画出轨迹图形；若不存在，请说明理由.第(3)题已知.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若，证明：.第(4)题第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．(1)从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；(2)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．第(5)题已知为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)若为的前项和，求.。

浙江省温州市(新版)2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷

浙江省温州市(新版)2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷

浙江省温州市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题在天文学中，常用星等，光照度等来描述天体的明暗程度.两颗星的星等与光照度满足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等为，天狼星的光照度是织女星光照度的4倍，据此估计织女星的星等为（参考数据）（）A．2B．1.05C．0.05D．第(2)题某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）A．B．C．D．第(3)题方程的根所在区间是（）A．B．C．D．第(4)题设，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(5)题若集合A＝{x|y}，B＝{x|x2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．[0，1）B．[0，1]C．[0，2）D．[0，2]第(6)题已知，则的概率为（ ）A．B．C．D．第(7)题执行下面的程序框图，若输入的，，则输出的结果为（）A．3B．8C．24D．504第(8)题设复数满足（为虚数单位），则（）A．B．C．1D．－1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（）A．B．C．D．第(2)题已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则下列说法正确的是（）A．在单调递减B．C．D．第(3)题正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则（）A．直线与直线AF垂直B．直线与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点与点D到平面AEF的距离相等三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若函数在单调，且在存在极值点，则的取值范围为___________第(2)题已知函数在区间上单调递增，则的最小值为__________．第(3)题四色定理又称四色猜想、四色问题，是世界近代三大数学难题之一．地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的．四色定理的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色．”某同学在横格纸上研究填涂蓝、红、黄、绿4种颜色问题，如图，第1行有1个格子，第2行有2个格子，…，第n行有n个格子，将4种颜色在每行中分别进行涂色，每行相邻的格子颜色不同，记为第k行不同涂色种数，则_____，________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，已知，，.（1）求的长；（2）求的值.第(2)题设函数，.（1）若，讨论的零点个数；（2）证明：.第(3)题已知椭圆，点在椭圆上，过点作斜率为的直线恰好与椭圆有且仅有一个公共点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点为椭圆的长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于不同的两点，，是否存在常数，使成等差数列？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由.第(4)题如图，在圆台中，截面分别交圆台的上下底面于点，，，四点.点为劣弧的中点.(1)求过点作平面垂直于截面，请说明作法，并说明理由；(2)若圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，母线长为3，，求平面与平面所成夹角的余弦值.第(5)题在中，角，，的对边分别为，，，已知，.(1)求角的大小；(2)若，求的面积.。

2023年高考数学模拟试卷01(浙江省)(原卷版)

2023年高考数学模拟试卷01(浙江省)(原卷版)

2023年高考数学模拟试卷01（浙江省）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合{}3A x x =∈≤N ，{}(3)(3)0B x x x =∈-+<R ，则A B =（ ） A ．{0,1,2}B ．{}33x x ∈-<<RC ．{}13x x ∈≤<RD ．{1,2}2．若函数()π()sin 3f x x =+在(,)a a -上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π0,6⎛⎤⎥⎝⎦B ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3．马林•梅森（MarinMersenne ，1588-1648）是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物．梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对21p -作了大量的计算、验证工作．人们为纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如21p -（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数（素数也称质数）．在不超过30的素数中，随机选取3个不同的数，至少有一个为梅森素数的概率是（ ） A ．815 B ．15C ．715D ．651204．已知数列{}n a 满足21112n n n a a a +++=，且11a =，213a =，则2022a =（ ） A ．12021B ．12022C ．14043D ．140445．函数()3sin 3291x xx f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．6．如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x =>，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．47．已知椭圆221:143x y E +=的右焦点为F ，以椭圆1E 的长轴为直径作圆2E ，过点F 作不与坐标轴垂直的两条直线1l ，2l ，其中1l 与椭圆1E 交于M ，N 两点，2l 与圆2E 交于P ，Q 两点，若0MN PQ ⋅=，且都有MN PQ λ+>，则实数λ的取值范围为（ ）． A ．(,423∞⎤-+⎦ B ．(],7-∞ C ．(],5-∞D ．(,243∞⎤-+⎦8．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O 是半径分别为1cm,2cm 的两个同心圆的圆心，等腰三角形ABC 的顶点A 在外圆上，底边BC 的两个端点都在内圆上，点,O A 在直线BC 的同侧．若线段BC 与劣弧BC 所围成的弓形面积为1S ，△OAB 与△OAC 的面积之和为2S ，设2BOC θ∠=．经研究发现当21S S -的值最大时，纪念章最美观，当纪念章最美观时，cos θ=（ ）A ．152-+ B ．512- C ．12D ．22二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．已知1z ，2z 均为复数，则下列结论中正确的有（ ） A ．若12=z z ，则12=±z z B ．若12z z =，则12z z +是实数 C ．()221212z z z z -=-D ．若120z z +=，则12z z 是实数10．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出的球的数字为1X ，第二次取出的球的数字为2X ．设12[]XX X =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[1]1=，[2.5]2=，则（ ） A ．125()12P X X >=B ．122(5)9P X X +==C ．事件“16X =”与“X 0=”互斥D ．事件“21X =”与“X 0=”对立11．取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数()f x ，在其定义域内存在一点0x ，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的一个不动点，那么下列函数具有“不动点”的是（ ） A ．()ln f x x =B ．()221f x x x =++C ．21,0()sin ,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩D ．()e 2xf x x =+12．如图，正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，P 是直线1A D 上的一个动点，则下列结论中正确的是（ ）A ．BP 的最小值为6B ．PA PC +的最小值为222- C ．三棱锥1B ACP -的体积不变D ．以点B 为球心，2为半径的球面与面1AB C 的交线长26π3三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）13．写出一个使命题“()2,3x ∃∈，230mx mx -->”成立的充分不必要条件______（用m 的值或范围作答）．14．如图，在等腰直角ABC 中，90,2B AC ∠==，D 为AC 的中点，将线段AC 绕点D 旋转得到线段EF .设M 为线段AB 上的点，则ME MF ⋅的最小值为___________.15．在线投标问题的定义是：商家给出一个足够大的正整数M ，但投标者不知道M 的值，故只能通过不断给出价格序列{}123,,,x x x 来竞标，已知11x =，1n n x x a +=⋅．若正整数k 使得1k k x M x +≤<，则此次竞标投标者共花费121k k Q x x x x +=++++中标，我们的目标是对于任意足够大的正整数M ，最小化竞争比()*Nmax 1M QMρρ∀∈=>，则当=a ________．时，在线投标问题的竞争比最小．16．已知12,F F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的左右焦点，过点1F 作一条渐近线的垂线交双曲线右支于点P ，直线2PF 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，如图，若1PQF △内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠=________；双曲线的离心率e =________．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第16题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．设函数23()(0)3x f x x x +=>，数列{}n a 满足1111,n n a a f a -⎛⎫== ⎪⎝⎭（*n ∈N ，且2n ）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设212233445221n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+-，若22n T tn >对*n ∈N 恒成立，求实数t 的取值范围．18．如图，在四棱锥P OABC -中，已知1OA OP ==，2CP =，4AB =，π3CPO ∠=，π6ABC ∠=，π2AOC ∠=，E 为PB 中点，F 为AB 中点. (1)证明：平面//CEF 平面PAO ；(2)若3PA =，求平面POC 与平面PAB 所成夹角的余弦值.19．在钝角ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知cos cos cos1sin1sin sinA A BA A B+=--+.(1)若2π3C=，求sin A；(2)求222a cb+的取值范围.20．京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.2017年6月18日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷､全天候工作､智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区2022年1到5月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示：2022年1月 2月 3月 4月 5月 时间代码x 1 2345配送比率y1428 354146(1)如果用回归方程ˆˆˆln ya b x =+进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程； 51ln 5ii x=≈∑，51ln 188i i i x y =⋅≈∑，()521ln 6.2i i x =≈∑.参考公式：若ˆˆˆya bx =+，则()()()1122211ˆn niiiii i nniii i x y nx y x x yy b xnxx x ====⋅-⋅-⋅-==--∑∑∑∑(2)已知某收件人一天内收到8件快递，其中京东快递3件，菜鸟包裹3件，邮政快递2件，现从这些快递中任取4件，X 表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量X 的分布列以及随机变量X 的数学期望.21．已知抛物线G ：28y x =的焦点与圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点F 重合，椭圆E的短轴长为2. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ､B 两点，交抛物线G 于M ，N 两点，请问是否存在实常数t ，使5t AB MN+为定值？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.22．（1）已知函数()()12ln 1x f x x =++，()()h x f x ax b =+-，R a b ∈，.（i ）记()()()()()*211l n n l 1N 21x x h x a x x g x x x ⎛⎫-+ ⎪ ⎪++⎝⎭=∈+'，.证明：()()()111111133102121x x g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++⋯+< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （ii ）若125448a b ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，，记此时()h x 的两个零点为12x x ，.证明：2122434bx bx b b -<-+；（2）某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有()∈*N n n 份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n 次；（2）混合检验，将其中k （N k ∈且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01.p p <<现取其中k （*N k ∈且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.若关于k 的函数关系式()p f k =与抗生素计量n x 相关，其中()122n x x x n ≥，，，是不同的正实数，满足11x =，对任意的()*N 2n n ∈≥，都有1222113221121e n n n i i i x x x x x x x --=+-⋅=-∑ （i ）证明：{}n x 为等比数列； （ii ）当3411p x =-时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值.参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈。

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2011年宁波高三“十校联考”
数学（理科）试题
命题学校：北仑中学 宁海中学
说明：
1、本试卷分选择题 和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟。

2、请将答案全部填写在答题卡上。

选择题部分（共50分）
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合}0log |{},01|{22
>=>-=x x B x x A ，则等于B A （ ）
A ．}1|{>x x
B ．}0|{>x x
C ．}1|{-<x x
D ．}11|{-<>x x x 或
2．若命题甲：32≠≠y x 或；命题乙：5≠+y x ，则（ ）
A ．甲是乙的充分非必要条件
B ．甲是乙的必要非充分条件；
C ．甲是乙的充分条件；
D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
3．某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎
叶图如右图所示，则中位数与众数分别为（ ）
A ．23，21
B ，23，23
C ．23，25
D ．25，25
4．已知m,n 为直线，βα,为平面，给出下列命题（ ） ①a n m a m //⇒⎩⎨⎧⊥⊥β ②n m n m //⇒⎩⎨⎧⊥⊥β
β ③ββ//a m a m ⇒⎩⎨⎧⊥⊥ ④n m a n a m ////⇒⎪⎩
⎪⎨⎧⊂⊂ββ 其中的正确命题序号是（ ）
A ．③④
B ．②③
C ．①② D.①②③④
5．设双曲线以椭圆19
252
2=+y x
长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的离心率
为（ ）
A ．2
B ．
25 C ．23 D ．2
6
6．某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数
是（ ）
A ．2)(x x f =
B ．x
x f 1)(= C ．x e x f =)( D ． x x f s i n
)(= 7．已知函数x x x h x x x g x x f x +=+=+=32)(,log )(,2)(的零点依
次为c b a ,,,则c b a ,,的大小顺序正确的是（ ）
A ．a c b >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．a b c >>
8．已知02=+-n mx x 的两根为βα,且βα<<<21，则22n m +的取值范围是（ ）
A. [)+∞,12
B. ()+∞,12
C. [)+∞,13
D. ()+∞,13
9.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ） A.
215 B. 72 C. 31 D. 218
10
．对于集合M 、N ，定义M-N={N x M x x ∉∈且|},},,3|{),()(R x y y A M N N M N M x ∈==--=⊕设 B A R x x y y B ⊕∈+--==则},,2)1(|{2=( )
A ．[)20， B. (]20， C. (]()∞∞-，，20 D. ()[)∞+∞-，，20
非选择题部分（共100分）
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。

把答案填在答题卡的相应位置。

11．已知=+-=z z i z 则复数,3|| 。

12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。

13．已知曲线C ：m y x =+22恰有三个点到直线026512=++y x 距离为1，则m=
14．如图△OAB 中2||,3||==OB OA ，点P 在线段AB 的垂直平分线上，记向量===,,，则()的值为-∙ ；
15．已知关于x 的方程012223=-+--a ax ax x 只有一个实根，则
实数a 的取值范围是 ；
16．一个人随机的将编号为1，2，3，4的四个小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了。

设放对的个数记为ζ，则ζ的期望E ζ=
17．已知)2(),()3)(2)(1()(N ，n n n x x x x x f ∈≥+⋯+++=，其导函数为)
0()2('),('f f a x f n -=设则=100a
三、解答题：本题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）如图，A 是单位圆与X 轴正半轴的交点，点B 、P 在单位圆上，且AOP AOB B +=<<=∠=∠-),0(,),5
4,53(πθθα，四边形OAQP 的面积为S .
（1）求ααsin cos +
（2）求S +·的最大值及此时θ的值0θ；
19．（本题满分14分）在数列{a n }中，a 1=1,当n ≥2时，其前n 项和S n 满足：)21(2-=n n n S a S 。

（1）求a n
（2）令1
2+=n S b n n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
20．如图1，直角梯形ABCD 中，AD//BC ，∠ABC =90°E ，F 分别为边AD 和BC 上的点，且EF//AB ，AD=2AE=2AB=4FC=4将四边形EFCD 沿EF 折起（如图2）使AD=AE .
（1）求证：BC//平面DAE ；
（2）求四棱锥D-AEFB 的体积；
（3）求面CBD 与面DAE 所成锐二面角的余弦值。

21．已知：圆12
2=+y x 过椭圆22
22b y a x +=1（0>>b a ）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点；直线m kx y +=与圆12
2=+y x 相切，与椭圆22
22b y a x +=1相交于A ，B 两点记OB OA ∙=λ，且4
332≤≤λ
（1）求椭圆的方程
（2）求k 的取值范围
（3）求△OAB 的面积S 的取值范围。

22．设函数,ln )1()(2x b x x f +-= 其中b 为常数。

（1）若函数)(x f 有极值点，求b 的取值范围及)(x f 的极值点；
（2）证明：对任意不小于3的正整数n ，不等式n n n n 1ln )1ln(12<-+<都成立。

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