不等关系与不等式-
3.1.1不等关系与不等式
【分析】若要判断上述命题的真假，依据就是实数集 的基本性质和实数运算的符号法则及不等式的基本性质， 经过合理的逻辑推理即可判断.
【解析】（１）因为c的正、负或是否为零未知，因 而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该命题是假命题. （２）由ac2>bc2，知c≠0,c2>0, ∴ 12 >0. 故该命题为真命题. （3）由
注意实际问题中关键性的文字语言与对应符号之间的正确转
换，这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系. 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
文字 语言 大于
数学 符号 ＞
文字 语言
数学 符号 ≥
文字 语言 至多
数学 符号 ≤
文字 语言 不小于
数学 符号 ≥
大于 等于
小于 等于
小于
＜
≤
至少
≥
不多于
3 2
当x=1时，x =x －x+1， 3 2 当x<1时，x <x －x+1.
例 4 比较(a＋3)( a－5)与( a＋2)(a－4) 的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
－b的取值范围。
解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b) =(m+4n)a－(m+n)b， 令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得， 5 8 m ,n 3 3 8 5 所以9a－b= (a－b)+ (4a－b) 3 3
由－4≤a－b≤－1，得
不等式1：不等式,不等关系
3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。
知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。
如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。
如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。
如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。
（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。
如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。
如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。
知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
§1 1.2 不等关系与不等式
i > j > 0, a j = a1q j −1 , (2)对于任意的 (2)对于任意的
ai = aq = aq 1 1
,
i− 1
( j− +(i− j) 1)
= aq 1
( j− (i− j) 1)
q
= ajq
(i− j)
,
2 因 0 < q <1,由 等 的 要 质3,有q2 <1 =1 为 质3 不 式 主 性
因此, 因此,
a+m a a > , 又 ≥ 10%, b+m b b
一般地, 为正实数, 一般地,设 a,b 为正实数,且 a < b, m > 0 ,则
a+m a > . b+m b
日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是 B ) ．不等式 恒成立的个数是( ； － － ； A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
思考:如何进行作差比较呢? 思考:如何进行作差比较呢?
作差比较法其一般步骤是: 作差比较法其一般步骤是: 其一般步骤是
作差→变形→判断符号→确定大小. 作差→变形→判断符号→确定大小.
（ 的大小. 例 1 试比较 x + 1)( x + 5) 与 ( x + 3) 的大小
2
解:由于
（x + 1)( x + 5) - ( x + 3) 2
m＋ n
的大小关系是( 与 d ＋ d 的大小关系是 A )
不等关系与不等式 课件
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
不等关系与不等式
作业 ：
必修5第75页 习题3.1 A组4、5； B组1、3
a b 0 n a n b (n N *, n 2)
(可乘方性、可开方性)
课堂练习
1. 若a、b、c R，a b，则下列不等式成
立的是
（C ）
A. 1 1 ab
C. a b c2 1 c2 1
B. a2 b2 D. a | c | b | c |
课堂练习
2. 若、 满足 ，则 的
a - b < 0 <=> a < b
比较两实数大小的方法 —作差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的Байду номын сангаасa-b 的符号；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们 的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号．
性质1: (对称性) a b b a
性质2 : (传递性)
a b
b
c
a
3x y
x
N
*
y N *
必修5 第74页
a+b ≥0 h4
新课讲授
2.文字语言与数学符号间的转换.
文字语言 数学符号 文字语言 数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于 ≥
不少于
≥
小于等于 ≤
不多于
≤
三、不等式基本原理
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b
b c
例5 :已知x 0,求证 1+x 1 x 2
例６:（比较大小）
高二数学不等关系与不等式
的简报中医师名录听者莫不撕小纸片记录……。彷佛太平盛世就应该这样，每件事都跟昨天、前天没什么差别。一位迟到妈妈拉著尚未换穿球衣、头发睡歪一边的儿子小跑步而来，手上还捧著纸碗装蚵仔面线，由於限塑政策推行彻底，一支小汤匙只好含在嘴里，就这么快快快抵达树荫下，
立刻有几只妈妈手围上来替男孩剥衣换服下一秒钟他就像走出电话亭的超人，直接上场了。 ? 唉，在太平盛世的范围，早起算是相当痛苦的。 ? 你坐在布满粉紫草花的草地上，看这浮世一角看得趣味盎然，甚至还不想打开手中诗集。你不禁想，浮生之所以有趣，在於允许你隐身於安全
一粒吃又揣了一粒在口袋，再将它放回原处，装作啥事都不知晓。过不了几日，便会听到她的抱怨：“半包软糖仔那是你们阿姑买给我的，放在棉被堆里也给你们偷拿去呷。看看，剩三粒，比日本仔还野！夭鬼囡仔，我藏到无路啰！－－喏，敏嫃，剩这粒给你。”
?我
的确是特权了，可以分享到阿嬷的卷仔饼，及她那个年代的甜处。于是，公事包里常常有些奇怪的东西：五条卷仔饼、一把纽仔饼、六粒龙眼球、两块爆米香、一块红龟仔果......我便拿着去普渡众生，遇到谁就给谁。回到家，阿嬷还要问食后心得：“好呷莫？”我说：“马马虎虎啦，
气息。扑蝶事件将成为他生命中的奇异点，此後因不断被引述、传诵而有了亮度。浮生甚暖，一陌生男孩抓到奇异光点时，你正好在现场。 ? 中场休息。孩子奔来，肥鸭们赶忙递水、擦汗、喂面包、抹驱蚊膏。你打开波兰女诗人辛波丝卡诗集，阳光捆著你的眼眸放在〈越南〉那页： ?
妇人，你叫什么名字？── 我不知道。 ? 你生於何时，来自何处？──我不知道。 ? 你为什么在地上挖洞？──我不知道。 ? 你在这里多久？」──我不知道。 ? 你看著树荫下十多个家庭的寻常早晨，相信太平盛世里所有的缺口都有办法弥补，即使「挖洞」这讨人厌的事，也能找
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与不等式
不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用， 要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学 习时，应抓好基本概念，少做偏难题．二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数 学符号 连接两个数或代数式以表示它们 之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a －b ＞0⇔ ；a －b ＝0⇔ ；a －b ＜0⇔ . 另外，若b ＞0，则有a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b ＜1⇔a ＜b .3．不等式的性质(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a ；(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔ ；(3)可加性：a ＞b ⇔a ＋c b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ；(4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd ；(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)；(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．三、典型题型题型一 比较大小【例1】已知a ，b ，c 是实数，试比较a 2＋b 2＋c 2与 ab ＋bc ＋ca 的大小．解：∵a 2＋b 2＋c 2－(ab ＋bc ＋ca )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .【训练1】 已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是( )．A.a b ＞1B ．a 2＞b 2C ．lg(a －b )＞0D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b题型二 不等式的性质【例2】 若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列命题：(1)ad ＞bc ；(2)a d ＋b c ＜0；(3)a －c ＞b －d ；(4)a ·(d －c )＞b (d －c )中能成立 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的 命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应 用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如 对数函数，指数函数的性质等．题型三 不等式性质的应用【例3】已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. 求f (－2)的取值范围．[审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式f (－2)与已知式f (－1)， f (1)之间的关系，即用f (－1)，f (1)整体表示f (－2)，再利用 不等式的性质求f (－2)的范围．解：f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)．∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤f (－2)≤10.题型四 利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a ＞b ＞c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a ＞0. 证明：∵a ＞b ＞c ，∴－c ＞－b .∴a －c ＞a －b ＞0，∴1a －b ＞1a －c ＞0. ∴1a －b ＋1c －a ＞0.又b －c ＞0，∴1b －c＞0. 1a －b ＋1b －c ＋1c －a＞0.四 、小结。
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种不等关系。
比如，身高的比较、成绩的高低、物品价格的差异等等。
不等关系是客观存在的，它反映了事物之间的数量差异和大小顺序。
不等关系可以用文字语言来描述，例如“大于”“小于”“不超过”“不少于”等；也可以用符号语言来表示，常见的不等号有“＞”（大于）、“＜”（小于）、“≥”（大于或等于）、“≤”（小于或等于）。
二、不等式不等式是用不等号连接两个代数式所形成的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞5 就是一个不等式。
1、不等式的性质性质 1：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 b ＜ a ，那么 a ＞ b 。
（对称性）性质 2：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c 。
（传递性）性质 3：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（加法法则）性质 4：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜0 ，那么 ac ＜ bc 。
（乘法法则）这些性质是解决不等式问题的重要依据，需要熟练掌握和运用。
2、一元一次不等式形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2 和 3 ）（2）去括号（乘法分配律）（3）移项（根据不等式的性质 1 ）（4）合并同类项（5）系数化为 1 （根据不等式的性质 4 ）在系数化为1 时，需要注意当系数为负数时，不等号的方向要改变。
3、一元二次不等式形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）的不等式叫做一元二次不等式。
解一元二次不等式通常需要先求出对应的一元二次方程的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式 x² 2x 3 ＞ 0 ，先解方程 x² 2x 3 ＝ 0 ，得到 x＝－1 或 x ＝ 3 。
不等关系与不等式
a －b ＞0 ⇔ a ＞b a＞
思考4 如果两个实数的差等于零， 思考4：如果两个实数的差等于零，那么这两个实
数的大小关系如何？反之成立吗？ 数的大小关系如何？反之成立吗？如何用数学语 言描述这个原理？ 言描述这个原理？
学生活动one 学生活动one
雷电的温度大约是28000℃，比太阳 ℃ 雷电的温度大约是 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温 倍还要高。 表面温度的 倍还要高 度为t 那么t应满足怎样的关系式 应满足怎样的关系式？ 度为 ℃，那么 应满足怎样的关系式？
4.5t<28000
课堂评价：用不等式表示下面的不等关系： 课堂评价：用不等式表示下面的不等关系：
698 x + 518 y ≤ 4000 x ≥ 0 y≥0 x, y ∈N*
实际应用中建构数学
实际问题： 实际问题：不等关系
抽象 概括 刻 画
数学问题： 数学问题：不等式
三、不等式基本原理 思考1 实数可以比较大小，对于两个实数a 思考1：实数可以比较大小，对于两个实数a，b，
1.a与b的和是非负数； 与 的和是非负数 的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度 “限高 某公路立交桥对通过车辆的高度h“ 某公路立交桥对通过车辆的高度 4m” ”
0<h≤4
数学应用
二、用不等式组来表示不等关系
学生活动two 学生活动two
这是某酸奶的质量检查规定 脂肪含量（ ） 脂肪含量（f） 不少于2.5％ ％ 不少于 蛋白质含量（ ） 蛋白质含量（p） 不少于2.3％ ％ 不少于
不等关系与不等式
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 作差 解: ∵ ( a 3)( a 5) ( a 2 )( a 4 )
变形
∵ a 、 、 m 都是正数,且 a b b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号
确定大小
∴
bm am
b a
0
∴
bm am
b a
例 4 .当 p , q 都 为 正 数 且 p + q = 1 时 ， 试 比 较 代 数 式 (px qy ) 与 px qy 的 大 小
2 2
>
练习2. 比较下列各组中两个代数式的大小 :
(1)当x 1 , x 与x x 1; 时
3 2
(2) x y 1与2( x y 1).
2 2
练3. ,乙两人同时从A出发去B地,已知甲在前一半 甲 路程的速度为v1 , 而在后一半的路程为v2 (v1 v2 );乙 在前一半时间的速度为v1 , 而在后一半时间的速度 为v2 . : 两人中谁先到达B地 ? 问
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作差法比较两个实数大小的基本步骤 (1)作差． (2)变形，将两个实数作差，作差后变形为： ①常数；②几个平方和的形式；③几个因式积的形 式． • (3)定号，即判断差的符号是正、负还是零． • (4)结论，利用实数大小之间的关系得出结论．
不等关系与不等式
1第十一课时 不等关系与不等式【知识与技能】(1)通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系； (2)能用不等式或不等式组解决简单的实际问题； (3)了解不等式的基本性质． 【重点难点】重点：用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不等关系的问题；难点：用不等式或不等式组准确地表示不等关系，用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题． 【教学过程】 一、问题与探究1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%.你能用不等式表示对脂肪和蛋白质含量的规定吗？我们经常应用 来研究含有不等关系的问题，常用的不等号有： ． 2．想一想，怎样比较两个实数的大小？ 作差法比较两实数(代数式)大小2类型1 用不等式(组)表示不等关系【例1】《铁路旅行常识》规定：“一、随同成人旅行身高1.2～1.5米的儿童，享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票；……；十、旅客免费携带品的体积和重量是：每件物品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160厘米，杆状物品不超过200厘米，重量不超过20千克……”。
设身高为h (米)，物品外部尺寸长、宽、高之和为P (厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系．“不足”、“不超过”等，对于实际问题中不要漏掉隐含条件．2．文字语言与数学符号语言之间的转换．将实际问题中的不等关系写成对应的不等式时，问题中关键性的文字语言与对应的数学符号语言之间的正确转换，关系到是否能正确地用不等式表示出不等关系．3．常见的文字语言与数学符号的转换： (1)x 为非负数；(2)x 为实数，而且大于1不大于6；(3)x 与y 的平方和不小于2，而且不大于10． 类型2 作差法比较两数(式)的大小【例2】已知x >1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．3 【变式】设a >0，b >0，且a ≠b ，比较a a b b 与a b b a 的大小．小结：1．本题采用的是作差法比较大小，一般地，涉及两个代数式比较大小，常用作差法． 2．作差法比较两个数(式)的大小可以归纳为“三步一结论”，即作差→变形→定号→结论．其中变形为关键，定号为目的．在变形中，一般变形得越彻底，越有利于下一步的判断．在定号中，若为几个因式积，需对每个因式均先定号，若符号不确定时，需进行讨论． 【练习1】将例题中“x >1”改为“x ∈R ”，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．【练习2】比较1816与1618的大小．类型3 不等式基本性质及应用【例3】(1)已知a >b ，e >f ，c >0．求证：f －ac <e －bc ； (2)若bc －ad ≥0，bd >0．求证：a ＋b b ≤c ＋d d ．小结：用不等式的性质进行证明时要善于寻找欲证不等式的已知条件，利用相应的不等式性质证明；要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘以(除以)一个常数；一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的；一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等．【练习】已知0a b >>，0c d <<，0e <. 求证：e ea cb d>--．类型4 利用不等式的性质求范围问题【例4】已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab 的取值范围．4【练习1】已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．【练习2】若α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是( )A ．－π<2α－β<0B ．－π<2α－β<πC ．－3π2<2α－β<π2 D ．0<2α－β<π三、课时小结1．使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用． 2．用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤(1)审题．通读题目，分清楚已知量和未知量，设出未知量；(2)找关系．寻找已知量与未知量之间有哪些不等关系(即满足什么条件，同时注意隐含条件)；(3)列不等式(组)．建立已知量和未知量之间的关系式．3．作差法比较大小的关键步骤是变形，变形时常采用配方，因式分解、通分、有理化等手段进行. 四、课时作业1．(2013·长沙高二检测)设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c >b －d B ．ac >bd C ．a ＋c >b ＋d D ．a ＋d >b ＋c 2．(2013·岳阳高二检测)已知非零实数a ，b 满足a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2 B.1a <1b C ．a 2b >ab 2 D.a b 2>ba 23．(2013·南昌高二检测)若a >b 且c ∈R ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a >bc B ．a 2>b 2 C ．a ＋c >b ＋c D ．ac 2>bc 2 4．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，下列不等式恒成立的是( )A ．ac >bcB ．ab >acC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2 5．已知c >1，且x ＝c ＋1－c ，y ＝c －c －1，则x ，y 之间的大小关系是( ) A ．x >y B ．x ＝y C ．x <y D ．x ，y 的关系随c 而定 6．一个两位数，其中个位数字为a ，十位数字为b ，且这个两位数大于50，可用不等式表示为________．7．若－1<x <y <0，则1x ，1y ，x 2，y 2的大小关系为________．8．已知a >b >c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0．11．某粮食收购站分两个等级收购小麦，一级小麦每千克a 元，二级小麦每千克b 元(b <a )，现有一级小麦m 千克，二级小麦n 千克，若以两种价格的平均数收购，是否合理？为什么？。
高中数学课件-不等式与不等关系
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判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础.
作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
解：(x2－x)－(x－2)=x2－2x+2
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
变变式式46、已知－π2≤α<β≤π2，求α＋2 β，α－2 β的范围．
解析:∵－π2≤α<β≤π2，∴－π4≤α2<π4，－π4<β2≤π4. 两式相加，得－π2<α＋2 β<π2.
(2)现在销售量是多少?
8 x 2.5 0.2 0.1
(3)销售总收入为多少?
(8 x 2.5 0.2)x万元 0.1
(8 x 2.5 0.2)x 20 0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本 0.1
因此，销售总收入为： (8 x 2.5 0.2)x万 元 0.1
分析：假设截得500mm的钢管x根，截得600mm的钢管y根。根 据题意，应当有什么样的不等关系呢？
(1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负.
不等式与不等关系
不等式与不等关系一、概念引入不等式是数学中的一种重要概念，与等式相对应。
不等式表示了数值之间的大小关系，常用于描述实际问题中的约束和条件。
不等式由不等号连接的两个数或表达式组成，不等号可以是大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）或小于等于号（≤）。
二、基本性质1. 不等式的传递性不等式的传递性指若a>b 且b>c，则有a>c。
例如，若3>2 且2>1，则有 3>1。
2. 不等式的加减运算性质若 a>b，则 a+c>b+c。
例如，若 3>2，则有 3+1>2+1。
3. 不等式的乘除运算性质当 c>0 时，若 a>b，则 ac>bc。
例如，若 3>2，则有 3×2>2×2。
当c<0 时，不等号方向反向。
三、一元一次不等式一元一次不等式是指只包含一个未知数，并且该未知数的最高次幂为一次的不等式。
例如，2x+3>5、4x-1<10等都是一元一次不等式。
解一元一次不等式的方法包括图解法、试值法和代数法。
图解法将不等式表示在数轴上，利用数轴的方向性确定不等式的解集。
试值法则通过给定一个试探值，并代入不等式中验证是否成立。
代数法则通过一系列的变形和运算，将不等式化简为更简单的形式，从而求得解集。
四、二元一次不等式组二元一次不等式组是指包含两个未知数的一次不等式的系统。
常用于描述平面上的几何关系和约束条件。
解二元一次不等式组一般采用图解法。
将两个不等式表示在二维直角坐标系中，分别确定两个不等式的解集，然后找出二者的交集区域，即为不等式组的解集。
五、不等关系不等关系是用于比较两个不等式的关系。
常见的不等关系包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）以及不等于（≠）。
不等关系可以根据两个不等式之间的关系，利用布尔运算（与、或、非）进行合并和推导。
不等关系与不等式介绍
不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。
在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。
不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。
不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。
在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。
为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。
例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。
不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。
不等式可以分为一元不等式和二元不等式。
一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。
解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。
解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。
对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。
当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。
一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。
例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。
在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。
第六章 第一节 不等关系与不等式
解析：若“a＞0且b＞0”则“a＋b＞0且ab＞0”成立； 当ab＞0时，∴a、b同号，又a＋b＞0，∴a＞0且b＞0，
即“a＋b＞0且ab＞0”能推得“a＞0且b＞0”成立．
答案：C
x2 2． (2010· 江苏高考)设 x， 为实数， y 满足 3≤xy2≤8,4≤ y ≤9， x3 则 4 的最大值是________． y
答案：B
[归纳领悟] (1)使用不等式的性质判断一些不等式是否成立，可用直 接法，有时用特值法也十分简便． (2)要注意不等式性质中的条件是否为充要条件，不能用 充分不必要条件的性质解不等式.
[题组自测] 1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)
的大小关系是________．
1 1 解析：∵a＜b＜0，∴a＜0，b＜0.∴a＋b＜0，ab＞0，∴a ＋b＜ab，①正确． 1 1 1 1 b－a 由a＜b＜0，得a－b＝ ab ＜0. ∵ab＞0，∴b－a＜0，即 b＜a，∴③错误． 由 b＜a＜0，知|b|＞|a|，∴②错误． b2＋a2－2ab a－b2 b a 由(a＋b)－2＝ ＝ ab ， ab a－b2 b a 2 ∵b＜a＜0， ∴ab＞0， (a－b) ＞0.∴ ab ＞0， a＋b＞2， 即 ∴④正确．
[题组自测]
1．某地规定本地最低生活保障金不低于300元，上述不 等关系写成不等式为________．
解析：设最低生活保障金为x元，则x≥300.
答案：x≥300
2．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分 别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要， 软件至少买3片，磁盘至少买2盒．写出满足上述所有 不等式关系的不等式．
b<0⇔a<b，a－b＝0⇔a＝b”，其过程可分四步：①
不等式关系与不等式
§3.1 不等式关系与不等式教学目的：1.在学生了解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣. 教学重点：1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例 1 限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过40km/h,写成不等式就是:v405.2,蛋白质的含量p 引例 2 某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于%3.2,写成不等式组就是——用不等式组来表示应不少于%2.5%2.3%f p ≤⎧⎨≥⎩问题1: 设点A 与平面α的距离为d ,B 为平面α上的任意一点,则||d AB ≤.问题2: 某种杂志原以每本5.2元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高1.0元,销售量就可能相应减少2000x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解: 设杂志社的定价为x 元,则销售的总收入为 2.5(80.2)0.1x x --⨯万元, 那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式2.5(80.2)200.1x x --⨯≥ 问题3: 某钢铁厂要把长度为4000mm 的钢管截成500mm 和600mm 两种.按照生产的要求,600mm 的数量不能超过500mm 钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解: 假设截得500mm 的钢管x 根,截得600mm 的钢管y 根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过4000mm;(2)截得600mm 钢管的数量不能超过500mm 钢管数量的3倍; (3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:5006004000;3;0;0.x y x y x y +≤⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩(二)不等式的基本性质对于任意两个实数b a ,,在b a b a b a <=>,,三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:0>-⇔>b a b a 0=-⇔=b a b a 0<-⇔<b a b a由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明: (1)不等号的种类:≠≤≥<>,,,,.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等). (3)不等式研究的范围是实数集R .同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如d c b a >>,,是同向不等式. 异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如d c b a <>,,是异向不等式.定理1：如果b a >,那么a b <,如果a b <,那么b a >.(对称性)即a b b a <⇔>证明: ∵b a >∴0>-b a由正数的相反数是负数,得0)(<--b a 即0<-a b∴a b <(定理的后半部分略)点评：定理1即 a b b a <⇔>定理2：如果b a >且c b >,那么c a >.(传递性)即c a c b b a >⇒>>,证明：∵c b b a >>,∴0,0>->-c b b a 根据两个正数的和仍是正数 得0)()(>-+-c b b a 即0>-c a ∴c a >点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为a c a b b c <⇒<<,;(2)不等式的传递性可以推广到n 个的情形.定理3：如果b a >,那么c b c a +>+.即c b c a b a +>+⇒>(加法性质)证明：∵b a >∴0>-b a∴0)()(>+-+c b c a 即c b c a +>+点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出,如果c b a >+,那么b c a ->,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.推论：如果b a >且d c >,那么d b c a +>+(相加法则) 即d b c a d c b a +>+⇒>>, 证法一：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>证法二：⇒>-+-⇒⎭⎬⎫>-⇒>>-⇒>000d c b a d c d c b a b a d b c a +>+点评：这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：如果b a >且0>c ,那么bc ac >;如果b a >且0<c ,那么bc ac <.(乘法性质) 证明：∵c b a bc ac )(-=-∵b a > ∴0>-b a当0>c 时,0)(>-c b a 即bc ac > 当0<c 时,0)(<-c b a 即bc ac <推论1: 如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >.(相乘法则)证明：,0a b c >> ac bc ∴> ①又,0,c d b >> ∴bc bd > ②由①、②可得ac bd >.说明： (1)所有的字母都表示正数，如果仅有,a b c d >>，就推不出ac bd > 的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2: 若0,(1)nna b a b n N n >>>∈>则且. 说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意N n ∈1n >且的条件, 如果0>>b a ,那么nn b a >(N n ∈且1>n ).定理5: 若0>>b a ,则nn b a >(N n ∈且1>n ).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,<=所以不能<就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.证明：假定n a 不大于n b ,n n b a =由推论2和定理1,<,有a b <; 当nn b a =时,显然有b a =这些都同已知条件0a b >>矛盾>点评：反证法证题思路是:反设结论→找出矛盾→肯定结论.定理6：若b a >且0>ab ,则11.a b<(倒数性质) 证明：abab b a -=-110,>>ab b a 又011,0<-=-<-∴abab b a a b ba 11<∴(1)a b b a <⇔>;a b b a <⇔>(定理1,对称性) (2)c a c b b a >⇒>>,(定理2,传递性) (3)c b c a b a +>+⇒>(定理3,加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(定理3推论,同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)(6)bc ac c b a >⇒>>0,.;bc ac c b a <⇒<>0,(定理4,乘法单调性) (7)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(定理4推论1,同向不等式相乘) (8)dbc ad c b a >⇒<<>>0,0(异向不等式相除) (9)0,>>ab b a ba 11<⇒(倒数关系) (10))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(定理4推论2,平方法则) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)(**)ααααααb a b a b a b a <⇒<>>>⇒>>>0,0;0,0 (**)0,0>>b a ,则1 ;1 ;1<⇔<=⇔=>⇔>bab a b a b a b a b a三、讲解范例：(一)用不等式表示不等关系例1 如图,函数)(x f y =反映了某公司产品的销售收入y 万元与销售量x 吨的函数关系,)(x g y =反映了该公司产品的销售成本与销售量的函数关系,试问:(1)当销售量为多少时,该公司赢利(收入大于成本);(2)当销售量为多少时,该公司亏损(收入小于成本). 解: 略例2 某用户计划购买单价分别为60元,70元的单片软件和盒装磁盘,使用资金不超过500元,根据需要,软件至少买3片,磁盘至少买2盒.问:软件数与磁盘数应满足什么条件? 解: 略例3 某厂使用两种零件B A ,,装配两种产品甲,乙,该厂的生产能力是月产量甲最多2500件,月产量乙最多1200件,而组装一件产品,甲需要4个A ,2个B ;乙需要6个A ,8个B .某个月,该厂能用的A 最多有14000个,B 最多有12000个.用不等式将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出来. 解: 略例4 若需要在长为4000mm 的圆钢上,截出长为698mm 和518mm 两种毛坯,问怎样写出满足上述条件所有不等关系的不等式组? 解: 略(二)不等式的基本性质例1 已知0≠x ,比较22)1(+x 与124++x x 的大小.解: 略引伸: 在例中,如果没有0≠x 这个条件,那么两式的大小关系如何?结论: 例1是用作差比较法来比较两个实数的大小,其一般步骤是:作差——变形——判断符号.这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题,至于差本身是多少,在此无关紧要.例2 已知0,0>>>m b a ,试比较m a m b ++与ab的大小. 解: 略例3 已知d c b a <<>>0,0,求证:db c a > 证明: 略例4 已知y x >且0≠y ,比较yx与1的大小. 解: 略 思考题:*,0,,a b n N >∈且b a ≠,比较()()n n a b a b ++与112()n n a b +++的大小.222c b a ++与ca bc ab ++的大小.y x ,均为正数,设yx N y x M +=+=4,11,试比较M 和N 的大小.例5 若31,51<-<-<+<b a b a ,求b a 23-的范围. 解: 略类型题: 已知bx ax x f +=2)(,如果4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f .求证:14)2(7≤≤f .分析: 利用(1)f -与(1)f 设法表示b a ,然后再代入(2)f 的表达式中,从而用(1)f - 与来表示(2)f , 最后运用已知条件确定(2)f 的取值范围.证明: 略 思考题:R b a ∈,,求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件.2.||||,0b a ab >>,比较a 1与b1的大小.0,0<<>>d c b a ,求证:db c a ->-ππααsin sin log log .)(x f y x ,均为不等正数,0,0>>q p 且1=+q p ,求证:)()()(y qf x pf qy px f +<+四、课堂练习：1.在以下各题的横线处适当的不等号:(1)2)23(+ 626+; (2)2)23(- 2)16(-;; (4)当0.>>b a 时,a 21log b 21log .2.选择题:(1)若01,0<<-<b a ,则有( )A. 2ab ab a >> B. a ab ab >>2C. 2ab a ab >> D. a ab ab >>2(2)2log 2log n m >成立当且仅当( )A ．1>>m n 或01>>>n mB ．01>>>n mC ．1>>m n 或01>>>m n 或01>>>n mD ．1>>n m 3.比较大小：(1))7)(5(++x x 与2)6(+x (2)31log 21与21log 310>x ,比较2)1(-x 与2)1(+x 的大小.0≠a ,比较)12)(12(22+-++a a a a 与)1)(1(22+-++a a a a 的大小.142=+y x ,比较22y x +与201的大小.θsin 2与θ2sin 的大小(πθ20<<).0>a 且1≠a ,0>t ,比较t a log 21与21log +t a的大小.0>a 且1≠a ,比较)1(log 3+a a 与)1(log 2+a a 的大小.0,>b a ,求证:a b ab>⇔>1§3.2 一元二次不等式及其解法教学目的：1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系“三个二次”之间的关系;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.掌握简单的分式不等式、高次不等式以及绝对值不等式的解法;4.能利用分类讨论的思想讨论简单的含参一元二次不等式解法;5.通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想,培养学生动手能力、观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力，培养学生简约直观的思维方法和良好的思维品质. 教学重点：1.从实际情境中抽象出一元二次不等式模型; ;3.利用分类讨论的思想解简单的含参一元二次不等式. 教学难点：1.理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系;2.分类讨论的数学思想. 教学过程： 一、引入新课：让学生阅读课本的上网计时收费问题.某同学要把自己的计算机接入因特网,现在有两家ISP 公司可供选择,收费标准不一样.让学生计算并比较两种不同的收费方式,由此抽象出不等式的关系,引出一元二次不等式的概念,并逐步讨论其解法. 二、讲解新课：(1)一元二次不等式含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的解法求一般的一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 的解集,我们可以由二次函数的零点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的根,再根据函数图像与x “二次函数”图像和性质解一元二次不等式,首先要明确“二次函数”的开口方向及其在x “三个二次”之间的关系,这是解一口诀:二次不等式,系数先化正;大于取两边,小于取中间. (3)解一元二次不等式的一般步骤①利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式(其中0>a ): 02>++c bx ax 或02≥++c bx ax 或02<++c bx ax 或02≤++c bx ax ②计算判别式ac b 42-=∆的值③当0>∆时,解方程02=++c bx ax 得两不等的实根21,x x ,不妨设21x x <, 则02>++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ><或 02≥++c bx ax 的解集为}|{21x x x x x ≥≤或 02<++c bx ax 的解集为}|{21x x x x << 02≤++c bx ax 的解集为}|{21x x x x ≤≤④当0=∆时,解方程02=++c bx ax 得两相等的实根21,x x , 则02>++c bx ax 的解集为}|{1x x x ≠ 02≥++c bx ax 的解集为R 02<++c bx ax 的解集为∅ 02≤++c bx ax 的解集为}|{1x x x = ⑤当0<∆时,解方程02=++c bx ax 没有实根, 则02>++c bx ax 的解集为R 02≥++c bx ax 的解集为R 02<++c bx ax 的解集为∅ 02≤++c bx ax 的解集为∅(1))0(0)()()0(0)()(<>⇔<>x g x f x g x f (2)⎩⎨⎧≠≤≥⇔≤≥0)()0(0)()()0(0)()(x g x g x f x g x f(1)a x f a x f a a x f -<>⇔>>)()()0(|)(|或 (2)a x f a a a x f <<-⇔><)()0(|)(|——分类讨论在处理系数含有参数的二次不等式问题时,务必注意对参数进行讨论. (1)二次项系数含参时,一般要分三种情况讨论:0,0,0<=>a a a (2)对判别式∆也分三种情况讨论:0,0,0<∆=∆>∆(3)对不等式对应方程的根21,x x 也分三种情况讨论:212121,,x x x x x x >=<三、讲解范例： 例1 解下列不等式⑴2450x x -+> ⑵2210x x -++< 解：⑴二次方程2450x x -+=,40∆=-<,方程无解.又函数245y x x =-+的图像开口向上,与x 轴无交点, 故不等式的解集为R .⑵法1:注意到二次项系数小于0,函数图像开口向下又方程2210x x -++=的解为121,12x x =-=由图像可得,不等式的解集为1{|,1}2x x x <->或法2:第一步“系数化正”（同解变换）,不等式可化为2210x x -->第二步“求出零点”,方程的解为121,12x x =-=第三步“大于取两边,小于取中间”（分类讨论）,不等式的解集为1{|,1}2x x x <->或．评注:利用“二次函数”图像,结合上表固然可以灵活的解决各种一元二次不等式问题,但第⑵小题法2所用的“口诀”方法在解决一元二次不等式、一元高次不等式及一元分式不等式中都有着非常广泛的应用,其中所包含的同解变换思想、分类讨论思想值得同学们认真体会;另外,它的算法“步骤”更适合初学者掌握.练习1:解下列不等式：⑴2440x x -+-> ⑵22320x x --> ⑶23730x x -+<⑷2620x x --+≤答案: ⑴∅ ⑵1{|2}2x x x ><-或⑶{x x << ⑷21{|}32x x x ≤-≥或例2 解下列不等式：⑴2113x x ->+ ⑵1x x≥ 解：⑴通分、移项(同解变换),不等式可化为403x x ->+,它的同解不等式为(4)(3)0x x -+>解得不等式解集为{|4,3}x x x ><-或 ⑵分类讨论：1°0>x ,原不等式可化为21x ≥,解得1x ≥或1x ≤-,故1x ≥2°0<x ,原不等式可化为21x ≤,解得[1,0)(0,1]x ∈-,故10x -≤< 综上,不等式得解集为{|10,1}x x x -≤<≥或评注:⑴解简单的分式不等式及高次不等式其实跟解二次不等式的道理是相通的,无外乎将其尽量化成一次式的乘积,然后通过讨论求解.其等价性类似此例：404040(4)(3)030303x x x x x x x x ->-<⎧⎧->⇔⇔-+>⎨⎨+>+<+⎩⎩或 ⑵第2小题还有一种解法比较普遍,即先通分,将不等式一边化为0,然后“系数化正”、“求出零点”、“穿线求值”,此法谓“穿根法”.练习2:解下列不等式：⑴103x x ->- ⑵(2)03x x x +<- ⑶(1)(1||)0x x +-> 答案: ⑴{|31}x x x ><或 ⑵{|2,03}x x x <-<<或 ⑶{|1,1}x x x <≠-且例3 ⑴已知不等式220ax bx ++>的解集为11{|}23x x -<<,试求实数,a b 的值; ⑵若不等式210ax ax --<的解集为R ,求实数a 的取值范围.解: ⑴由题意知11,23-是方程220ax bx ++=的二实根,由韦达定理得112232111223bb a a a⎧-=-+⇒=-⎪⎪⎨⎪=-⨯⇒=-⎪⎩⑵分两种情况:1°0=a ,原不等式可化为10-<,显然成立2°0a ≠,则240a a a <⎧⎨∆=+<⎩,得04<<-a ∴40a -<≤练习3:(1)已知关于x 的不等式220ax bx ++<的解集是1{|2,}2x x x <->-或,求不等式220ax bx -+>的解集;(2)已知关于x 的不等式01)3()32(22<-----x m x m m 的解集为R , 求实数m 的取值范围. 答案: (1)1{|2}2x x << (2)]3,51(-∈m例4 解关于x 的不等式01)1(2<++-x aa x (R a a ∈≠,0). 解: 方程01)1(2=++-x a a x 的两个根为aa 1, 且aa a a a a a )1)(1(112+-=-=-①当1>a 或01<<-a 时,a a 1>,原不等式的解集为),1(a a②当1-<a 或10<<a 时,a a 1<,原不等式的解集为)1,(aa③当1±=a 时,aa 1=,原不等式的解集为∅例5 解关于x 的不等式0222>++mx x 解: 当44<<-m 时,不等式解集为R 当4±=m 时,不等式的解集为}4|{m x x -≠ 当44-<>orm m 时,不等式的解集为}416416|{22---<-+->m m orx m m x x例6 解关于x 的不等式0122>+-x mx 解: 当1>m 时,不等式的解集为R 当1=m 时,不等式的解集为}1|{≠x x当10<<m 时,不等式的解集为}1111|{mmorx m m x x --<-+>当0=m 时,不等式的解集为}21|{<x x 当0<m 时,不等式的解集为}1111|{mmx m m x -+<<--练习4:(1)解关于x 的不等式(2)(2)0x ax --> (2)解关于x 的不等式0)(322<++-m x m m x 答案: (1)当0=a 时,有}2|{<x x当0<a 时,即0)2)(2(<--a x x ,得}22|{<<x a x 当0>a 时,即0)2)(2(>--ax x①当10<<a 时,得}22|{<>orx ax x②当1=a 时,得}2|{≠x x③当1>a 时,得}22|{aorx x x <>(2)当10==orm m 时,不等式的解集为∅当01<>orm m 时,不等式的解集为}|{2m x m x <<当10<<m 时,不等式的解集为}|{2m x m x <<例7 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度x km/h 有如下的关系:21120180s x x =+在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于5.39m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少？(精确到01.0km/h) 解: 设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h根据题意,我们得到21139.520180x x +> 移项整理得：2971100x x +->显然0>∆,方程2971100x x +-=有两个实数根 即1288.94,79.94x x ≈-≈所以不等式的解集为{}|88.94,79.94x x x <->或在这个实际问题中0>x ,所以这辆汽车刹车前的车速至少为94.79km/h.例8 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系22220y x x =-+若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解: 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车,根据题意,我们得到222206000x x -+> 移项整理得211030000x x -+<因为0100>=∆,所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250,60x x ==由二次函数的图象,得不等式的解为6050<<x 因为x 只能取正整数所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在59~51辆之间时,这家工厂能够获得6000元以上的收益.§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教学目标：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;3.了解线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题;4.培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力;5.通过本节学习,着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想,理解如何用“形”去研究“数”,如何用“数去解释“形”. 教学重点：1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组),灵活运用二元一次不等式(组)表示的平面区域;2.用图解法解决简单的线性规划问题;3.根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解即线性规划在实际生活中的应用. 教学难点：的确定及怎样确定不等式0>++C By Ax (或0<)表示0=++C By Ax 得哪一区域; 2.准确求得线性规划问题的最优解及最优解是整数解; 3.把实际问题转化为线性规划问题,并给出解答. 教学过程：一、讲授新课1.二元一次不等式表示平面区域:先讨论在平面直角坐标系中，以二元一次不等式1-+y x ＞0的解为坐标的点的集合}01|),{(>-+y x y x 所在的平面区域.由01>-+y x 得1+->x y ,令100+-=>x y y ,则点),(00y x 在直线1+-=x y ,即01=-+y x 上,点),(0y x 在点),(00y x 的上方,即在直线01=-+y x 的上方.所以在平面直角坐标系中，以二元一次不等式01>-+y x 的解为坐标的点的集合()}01|,{>-+y x y x 是在直线01=-+y x 右上方的平面区域.一般地,二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域.说明:①二元一次不等式0≥++C By Ax 在平面直角坐标系中表示直线0=++C By Ax 某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;事实上,}0|),{(}0|),{(}0|),{(=++>++=≥++C By Ax y x C By Ax y x C By Ax y x②作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 推导:举例说明.2.判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法1:记住下列一般性结论:(1)若0>B ,则0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方的平面区域. 0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方的平面区域. (2)若0<B ,则0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方的平面区域. 0<++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方的平面区域. (3)若0,0>=A B ,则0>+C Ax 表示直线0=+C Ax 右侧的平面区域. 0<+C Ax 表示直线0=+C Ax 左侧的平面区域. 若0,0<=A B ,则0>+C Ax 表示直线0=+C Ax 左侧的平面区域. 0<+C Ax 表示直线0=+C Ax 右侧的平面区域.方法2:取特殊点检验;原因:由于对在直线0=++C By Ax 的同一侧的所有点),(y x ,把它的坐标),(y x 代入C By Ax ++,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点),(00y x ,从C By Ax ++00的正负即可判断0>++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当0≠C 时,常取原点检验.对于二元一次不等式组,则分别判断每个不等式表示的平面区域,然后取它们的公共区域即是不等式组表示的平面区域.求不等式(组)表示的平面区域的一般步骤: ①先依不等式作直线,注意虚实; ②取点:在直线的某一侧取一点; ③确定符号,即确定直线某一侧的符号;④若为不等式组,则各不等式表示平面区域的公共部分.3.线性规划问题：引例: 已知q px x f -=2)(且5)2(1,1)1(4≤≤--≤≤-f f ,求)3(f 的取值范围. 错解: 由71,3054114≤≤≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤--≤-≤-q p q p q p而q p f -=9)3(利用不等式性质得269)3(7≤-=≤-q p f .正解: 由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=-==-=3434)2()1(μνμννμq p q p f q p f 而νμνμ35389)3(,51,14-=-=≤≤--≤≤-q p f 所以]20,1[)3(-∈f错解中似乎没有任何漏洞,那么到底是错在什么地方呢?是什么原因致使出现错误呢?通过今天的学习----线性规划,我们便可以发现问题出在哪里了. (1)基本概念：设y x z +=2,式中变量满足下列条件:1255334⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-x y x y x ,求z 的最大值和最小值. 线性规划的基本概念:①线性约束条件：(由不等式或不等式组构成的关于变量n x x x ,,,21 的限制条件称为约束条件)在上述问题中,不等式组是一组变量y x ,的约束条件,这组约束条件都是关于y x ,的一次不等式,故又称线性约束条件.②线性目标函数：(关于变量n x x x ,,,21 达到最大值或最小值的解析式称为目标函数)关于y x ,的一次式y x z +=2是欲达到最大值或最小值所涉及的变量y x ,的解析式,叫线性目标函数.(例如关于y x ,的解析式：22,2y x z y x z +=+=等等的叫做目标函数). ③线性规划问题：一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.④可行解、可行域和最优解：a. 满足约束条件的解),(y x 叫可行解．b. 由所有可行解组成的集合叫做可行域.可行域可以是封闭的多边形也可以是一侧开放的无限大的平面区域.如果可行域是一个多边形,那么一般在其顶点处使目标函数取得最值,最优解一般就是多边形的某个顶点,确定方法有两种:一是将目标函数的直线平行移动,最先通过或者最后通过的顶点就是;二是可利用围成可行域的直线的斜率来判断:若围成可行域的直线n l l l ,,,21 的斜率为n k k k ,,,21 ，而且目标函数的直线的斜率为k ,则当1+<<i i k k k 时，直线i l 与1+i l 相交的顶点一般是最优解;特别的,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边平行(i k k =)时,其最优解可能有无数个.c. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. ⑤线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,统称为线性规划问题. (2)用图解法解决线性规划的一般步骤： ①画: 画出约束条件表示的可行域;②移: 作出目标函数,并平移确定出最优解的位置; ③求: 根据直线方程求解出最优解;④算: 根据最优解算出最优值(最大值或最小值);⑤特: 若要求的是整数解,则可行域是一些点集(整数点),求解过程中应打网格. 4.实际问题中的线性规划：(1)建模: 注意审题,根据题意列出线性规划模型; (2)求解: 利用图解法求解模型(注意实际意义).二、例题解析：(一)平面区域的表示：例1 画出不等式062<-+y x 表示的平面区域. 解: 略例2 作出0)4)(2(<+--+y x y x 表示的平面区域. 解: 略例3 画出不等式组 3005⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-x y x y x 表示的平面区域 解: 略例4 (1)画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+<<-+>-+2052012x y y x y x 所表示的平面区域;(2)求由不等式2≤y 及1+≤≤x y x 所表示的平面区域.解: 略例5 已知直线l 的方程为0=++C By Ax ,点()222211,),,(y x M y x M 为直线l 异侧的任意两点,),(,3331y x M M 为直线l 同侧的任意两点. 求证: (1)C By Ax ++11与C By Ax ++22异号;(2)C By Ax ++11与C By Ax ++33同号.证明: (1)21,M M 在直线l 的异侧,则l 必交21M M 于0M 设0M 分21M M 之比为λ,则2001M M M M λ= 易得02211>++++-=CBy Ax CBy Ax λ所以C By Ax ++11与C By Ax ++22异号;(2)31,M M 在直线l 的同侧,而21,M M 在直线l 异侧 所以23,M M 在l 异侧由(1)得C By Ax ++33与C By Ax ++22异号; 所以C By Ax ++11与C By Ax ++33同号(二)线性规划的基本概念：例1 已知y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥+0,01222y x y x y x ,求y x z +=3的最小值.解: 略评述: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数;（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; （3）在可行域内求解目标函数的最优解.例2 已知y x ,满足不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x ,试求y x z 900300+=的最大值时的点的坐标,及相应的z 的最大值. 解: 略例3 求y x z 300600+=的最大值,使式中的y x ,满足约束条件330022520,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩的整数值.解: 略例4 在约束条件:102,632,1052≤+-≥-≥+y x y x y x 下,求22y x z +=的最大值. 解: 略。
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思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高， 如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款， 则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
二、新课讲解
40
实例 1.限速 40km/h的路,标 指示司机在前方路
驶时 ,应使汽车的v不 速超 度4过0km/h.
思考: (1)以上不等关系中的不等 词？
不超过，
(2)将以上两个不等不 关等 系式 (用 组)表示?
v40
学生活动
实例2 这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 蛋白质含量（p） 不少于2.5％ 不少于2.3％
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？
a＞b，c＞0 ac＞bc；
a＞b，c＜0 ac＜bc
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？
作差Βιβλιοθήκη 变形判断结论因式分解、配方、 通分等手段
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮， 反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性 质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
ab
例2 已知1 1 0 ，x＞y＞0，
ab
x 求证：x a
y yb
.
例3 若a＜b＜0，判断下列结论是否成
立.
1 （1） a
1 b
（2） a
1
b
1 a
（3） a 2 b2 （4）ac2＜bc2
例4 给出三个不等式：
①ab＞0，② c d
ab
, ③bc＞ad，
以其中任意两个作条件，余下一个做结 论，可组成几个正确命题.
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？
a＞b＞0 an＞bn (n∈N*)
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 n a 与 n b 的大小关系如何？
a＞b＞0 n a ＞ n b (n∈N*)
理论迁移
例1 已知a＞b＞0，c＜0， 求证: c c .
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
作差
ab ma ab bm (a m)a
变形
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号 确定大小
∴bm b 0∴bm b
回顾反思
(1)解决实际问题的常规步骤
实际问题
抽象、概括 刻画
数学问题
(2)本堂课建立的模型主要是
不等关系
不等式的证 明方法（作
差法）
谢谢！
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
am a
am a
不等式的证明（作差法）
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是： f≥2.5% p≥2.3%
小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、 不少于、不多于、至多、最多、至少、最少
三.建构数学
实际问题：不等关系
抽象 概括
刻画
数学问题：不等式
用今天所学的数学知识来解释生活中“糖 水加糖甜更甜”的现象.
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?
不等关系与不等式-
一.问题情境
实际生活中
轻重
长短
大小
高矮
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
说一说 在数学中我们如何表示不等关系?
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2)解析式是指：代数式 (3)不等式研究的范围是实数集 R．