不等关系与不等式-

am a
am a
不等式的证明（作差法）
对于任意两个实数 a、b，在 a＞b，a = b，a＜b 三种关系中有且仅有一种成立．
判断两个实数大小的依据是：
abab0 a b ab 0
作差比较法
abab0 这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是 推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是:
不等关系与不等式-
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一.问题情境
实际生活中
轻重
长短
大小
高矮
远横 近看 高成 低岭 各侧 不成 同峰
说一说 在数学中我们如何表示不等关系?
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2)解析式是指：代数式 (3)不等式研究的范围是实数集 R．
a＞b，c＞d a+c＞b+d（同向可加性）
思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？
a＞b，c＞0 ac＞bc；
a＞b，c＜0 ac＜bc
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？
a＞b＞0 an＞bn (n∈N*)
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 n a 与 n b 的大小关系如何？
a＞b＞0 n a ＞ n b (n∈N*)
理论迁移
例1 已知a＞b＞0，c＜0， 求证: c c .
二、新课讲解
40
实例 1.限速 40km/h的路,标 指示司机在前方路
驶时 ,应使汽车的v不 速超 度4过0km/h.
思考: (1)以上不等关系中的不等 词？
不超过，
(2)将以上两个不等不 关等 系式 (用 组)表示?
v40
学生活动
实例2 这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 蛋白质含量（p） 不少于2.5％ 不少于2.3％
作差
变形
判断
结论
因式分解、配方、 通分等手段
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮， 反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性 质吗？
a＞b b＜a（对称性）
思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高， 那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
这个数学问题怎么解决?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢?
这是一个不等式的证明问题
已知 a 、b 、m 都是正数,且 a b ,求证: b m b am a
ab
例2 已知1 1 0 ，x＞y＞0，
ab
x 求证：x a
y yb
.
例3 若a＜b＜0，判断下列结论是否成
立.
1 （1） a
1 b
（2） a
1
b
1 a
（3） a 2 b2 （4）ac2＜bc2
例4 给出三个不等式：
①ab＞0，② c d
ab
, ③bc＞ad，
以其中任意两个作条件，余下一个做结 论，可组成几个正确命题.
回顾反思
(1)解决实际问题的常规步骤
实际问题
抽象、概括 刻画
数学问题
(2)本堂课建立的模型主要是
不等关系
不等式的证 明方法（作
差法）
谢谢！
证明: ∵ b m b (b m)a (a m)b
am a
(a m)a
作差
ab ma ab bm (a m)a
变形
m(a b) (a m)a
∵ a 、b 、m 都是正数,且 a b ∴ m 0, m a 0, a 0, a b 0
定符号 确定大小
∴bm b 0∴bm b
a＞b，b＞c a＞c； a＜b，b＜c a＜c（传递性）
思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高， 如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款， 则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质 如何用数学符号语言表述？
a＞b a+c＞b+c（可加性）
思考4：还有一个不争的事实：若甲班的 男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多， 则甲班的人数比乙班多. 这里反映出的 不等式性质如何用数学符号语言表述？
从表格中你能获得什么信息？ 用数学关系来反映就是： f≥2.5% p≥2.3%
小于、大于、不小于、不大于、少于、多于、 不少于、不多于、至多、最多、至少、最少
三.建构数学
实际问题：不等关系
抽象 概括
刻画
数学问题：不等式
用今天所学的数学知识来解释生活中“糖 水加糖甜更甜”的现象.
生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?