高中数学重要二级结论及典型例题
高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。
①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。
高中数学二级结论（精）
⾼中数学⼆级结论（精）⾼中数学⼆级结论1.任意的简单n ⾯体内切球半径为表S V3(V 是简单n ⾯体的体积，表S 是简单n ⾯体的表⾯积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝⾓三⾓形 3.斜⼆测画法直观图⾯积为原图形⾯积的42倍 4.过椭圆准线上⼀点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常⽤放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的⾯积S 为πab S =7.,8.圆锥曲线的切线⽅程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为12020=+b yya xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意⼀点),(00y x P 的切线⽅程为12020=-b yya xx9.切点弦⽅程：平⾯内⼀点引曲线的两条切线，两切点所在直线的⽅程叫做曲线的切点弦⽅程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦⽅程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦⽅程为12020=-by y a x x~④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦⽅程为)(00x x p y y +=⑤⼆次曲线的切点弦⽅程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 10.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-11.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(⼆次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常⽤相交弦定理)的⼀个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表⽰AC 和BD 的斜率)12.已知椭圆⽅程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三⾓形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)13.椭圆的焦半径(椭圆的⼀个焦点到椭圆上⼀点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=14.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的⾓平分线，则1k ，2k ，3k 满⾜下述转化关系：%3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-=15.任意满⾜r by ax n n =+的⼆次⽅程，过函数上⼀点),(11y x 的切线⽅程为r y by x ax n n =+--111116.已知f (x )的渐近线⽅程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim17.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=18.平⾏四边形对⾓线平⽅之和等于四条边平⽅之和19.在锐⾓三⾓形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++20.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且⼀个正周期为|22|b a -21.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222b k a mb +22.~23.已知三⾓形三边x ，y ，z ，求⾯积可⽤下述⽅法(⼀些情况下⽐海伦公式更实⽤，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ?+?+?==+=+=+222224.圆锥曲线的第⼆定义：椭圆的第⼆定义：平⾯上到定点F 距离与到定直线间距离之⽐为常数e (即椭圆的偏⼼率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为⼩于1的正数)双曲线第⼆定义：平⾯内，到给定⼀点及⼀直线的距离之⽐⼤于1且为常数的点的轨迹称为双曲线25.到⾓公式：若把直线1l 依逆时针⽅向旋转到与2l 第⼀次重合时所转的⾓是θ，则21121tan k k k k θ=?+-26.A 、B 、C 三点共线?nm n m +=+=1,(同时除以m+n ) 27.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意⼀点作两条渐近线的平⾏线，与渐近线围成的四边形⾯积为2 ab28.【29.反⽐例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.⾯积射影定理：如图，设平⾯α外的△ABC 在平⾯α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的⾯积和△ABO 的⾯积为S 和S′，记△ABC 所在平⾯和平⾯α所成的⼆⾯⾓为θ，则cos θ=S′:S28,⾓平分线定理：三⾓形⼀个⾓的平分线分其对边所成的两条线段与这个⾓的两边对应成⽐例⾓平分线定理逆定理：如果三⾓形⼀边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对⾓的两边对应成⽐例，那么该点与对⾓顶点的连线是三⾓形的⼀条⾓平分线 29.数列不动点：定义：⽅程的根称为函数的不动点利⽤递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等⽐数列或较易求通项的数列，这种⽅法称为不动点法、定理1：若是的不动点，满⾜递推关系，则，即是公⽐为的等⽐数列.定理2：设，满⾜递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则（这⾥）x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++= bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --?=----11qca pca k --=(2)若只有唯⼀不动点，则（这⾥）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.(1)+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：$①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+—(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin≤??C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤??C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos ≤++C B A⑤833sin sin sin ≤C B A ⑥81cos cos cos ≤C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A )(x f p k p a p a n n +-=--111da ck +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB Atan 2tan 2tan ≥++CB A932tan 2tan 2tan ≤??C B A ?332cot 2cot 2cot≥++CB A ?3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐⾓△ABC 中，有：①33tan tan tan ≥??C B A②93cot cot cot ≤C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果⼀个六边形内接于⼀条⼆次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同⼀条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平⾏平⾯内的多⾯体叫做拟柱体，它在这两个平⾯内的⾯叫做拟柱体的底⾯，其余各⾯叫做拟柱体的侧⾯，两底⾯之间的垂直距离叫做拟柱体的⾼拟柱体体积公式[⾟普森(Simpson )公式]：设拟柱体的⾼为H ，如果⽤平⾏于底⾯的平⾯γ去截该图形，所得到的截⾯⾯积是平⾯γ与⼀个底⾯之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底⾯的⾯积，0S 是中截⾯的⾯积(即平⾯γ与底⾯之间距离2Hh =时得到的截⾯的⾯积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平⾏平⾯上、⽤平⾏于底⾯的平⾯去截该图形时所得到的截⾯⾯积是该平⾯与⼀底之间距离的不超过3次的函数)的⽴体图形也可以利⽤该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为⾯上⼀点，过A 的斜线AO 在⾯上的射影为AB ，AC 为⾯上的⼀条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三⾓的余弦关系为：cos∠OAC=cos∠BAC ·cos∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐⾓)34.在Rt △ABC 中，C 为直⾓，内⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.⽴⽅差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- ⽴⽅和公式：))((233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外⼼，H 为其垂⼼，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任⼀点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任⼀点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三⾓形的内切圆圆⼼的横坐标为定值a (长半轴长) 42.向量与三⾓形四⼼：在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重⼼(2)??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为ABC ?的垂⼼ (3)O c b a ?=++为ABC ?的内⼼==?O 为ABC ?的外⼼43.正弦平⽅差公式：)sin()sin(sin sin 2βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意⼀点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三⾓函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为??+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离⼼率)48.超⼏何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公⽐为q 的等⽐数列，若数列{}n c 满⾜n n n b a c ?=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的⽅程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=51.过椭圆上⼀点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.⼆项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三⾓形五⼼的⼀些性质：(1)三⾓形的重⼼与三顶点的连线所构成的三个三⾓形⾯积相等(2)三⾓形的垂⼼与三顶点这四点中，任⼀点是其余三点所构成的三⾓形的垂⼼(3)三⾓形的垂⼼是它垂⾜三⾓形的内⼼；或者说，三⾓形的内⼼是它旁⼼三⾓形的垂⼼ (4)三⾓形的外⼼是它的中点三⾓形的垂⼼ (5)三⾓形的重⼼也是它的中点三⾓形的重⼼(6)三⾓形的中点三⾓形的外⼼也是其垂⾜三⾓形的外⼼(7)三⾓形的任⼀顶点到垂⼼的距离，等于外⼼到对边的距离的⼆倍54.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则222c b a AC AB -+=? >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+&。
高中高考数学所有二级结论《[完整版]》
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高中高考数学所有二级结论《[完整版]》一、几何结论1、关于点1.1 同一直线上三点，若其中两点间距相等，则三点共线；1.2 直线平分线定理：若直线Ⅰ平分线段AB，则AM/MB=1；1.3 直线的垂直平分线定理：若直线Ⅰ对AB的垂直平分线，则M是A、B中点；1.4 同一直线出发点，夹萝卜角度相等，终足点也在同一直线上；1.5 同一直线上三点，至少有2点共线；1.6 若任意一点位于AB的延长线上，则距AB同侧的距离相等；2、关于直线2.1 齐次直线：若直线上所有点满足y=ax+b，则直线称为齐次直线；2.2 相交线定理：若两条直线相交，则它们的夹角一定是锐角；2.3 相等的夹角可以定位：若两条直线的夹角为有限尺寸夹角，则它们可以定位；2.4 两平行线定理：若两条直线平行，则它们过同一直线上的任意一点都相等；2.5 同一实轴向非相交点所在直线定理：由两条实轴向非相交的直线，所形成的不规则四边形，相较相邻的两边的夹角度数之和为180°；3、关于三角形3.1 相等的边角定理：若两角的大小相等，则它们两理封闭的边也相等；3.2 对角线定理：若一个多边形的对角线相交，则其论线的和为360°；3.3 相等的三角形定理：若三角形的两边和它们之间的夹角相等，则三角形中的任何一点到另外两点的距离也相等；3.4 含有相同角的三角形定理：若两个三角形包含有相同大小的角，则其面积之比，与相应边的比值的平方成正比；3.5 三角形角度和定理：若三角形的三边的长度都不相等，那么它的三内角之和等于180°；3.6 斜边长度定理：若一个三角形的两边长度相等，那么它们所构成的内角一定是锐角；4、关于圆4.1 直径定理：若任意直线与圆相交，则此直线必经过圆心；4.2 垂足定理：若圆上存在一点，使得其到圆心的距离（即圆上点P到垂足M）尽可能的小，则M为圆上某一点P的垂足；4.3 旋转定理：把椭圆上的任意一点A旋转一定的角度，得到的椭圆上的点B，满足AB距离的平方等于AB分别到圆点的距离的积；二、代数结论1、关于一元二次方程1.1 一元二次方程的解：解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个解是：x1=(-b+√（b2-4ac）)/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）)/2a；1.2 求解实数解：若b2-4ac>0，那么它有实数解，若b2-4ac=0，那么它有重根，若b2-4ac<0，则无实数解；2、关于一元三次方程2.1 三次方程的解：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a ≠ 0）的三个实数解为：x1 = [-b + √（b2-3ac）]/3ax2 = [-b - √（b2-3ac）]/6a + i√3/6ax3 = [-b - √（b2-3ac）]/6a - i√3/6a；2.2 求解实数解：若b2-3ac>0，它有三个不同的实数解；若b2-3ac=0，它有重根；若b2-3ac<0，它有三个不同的实数解；3、关于系数代数方程3.1 二次代数方程：若一个二次代数方程ax2+bx+c=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-4ac）/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）/2a；3.2 三次代数方程：若一个三次代数方程ax3+bx2+cx+d=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-3ac）/3a，x2=(-b-√（b2-3ac）/6a + i√3/6a，x3=(-b-√（b2-3ac）/6a - i√3/6a；4、关于函数4.1 闭区间：函数定义域上下端点其值皆有效，叫闭区间；4.2 周期：当变量满足周期函数关系，即变量与函数之间存在正反循环吻合关系时，称其为“周期函数”；4.3 偶函数：若变量x在定义域内变换了一倍角度，f（x）应等于自己，叫作偶函数；4.4 奇函数：若变量x在定义域内变换了一倍定义域，而f（x）值改变了符号，叫作奇函数；5、关于初等函数5.1 线性函数的定义：当关系式为y=ax+b，a、b为有理常数，b≠0时，它称为“线性函数”；5.2 二次曲线的定义：当关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），a、b、c 为有理常数时，它称为“二次曲线”；5.3 对称性：定义域内一点同它的对称点在函数图像上所对应的点总是具有相同的函数值，称为函数具有“对称性”；5.4 反函数定义：当函数f（x）在它的定义域内是一一對應的，可以反求f（x）的值的函数，称为“反函数”；。
高中数学常用二级结论(精编)
高中数学常用二级结论一、基础常用结论1.立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积， S表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC的内切圆半径为4.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和6. 函数ʃ{(x)具有对称轴x=a,x=b(a≠b),则ʃ(x)为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e²≥x+1,e*>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标二、圆锥曲线相关结论10.若圆的直径端点A(x,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为(x-x₁)(x-x₂)+(y-yi)(y-y₂)=0.11. 椭圆的面积S 为S=πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：①过圆(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,yo) 的切线方程为(x o-a)(x-a)+(vo-b)(y-b)=r²;②过椭圆上任意一点P(x₀,y₀)的切线方程为;③过双曲：上任意一点P(xo,yo)的切线方程为 1.14.任意满足ax”+by”=r的二元方程，过曲线上一点(x₁,yi)的切线方程为ax,x'-+by₁y°+=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两 切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程. ①过圆x²+y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x ₀,y ₀) 的 切点弦方程②过椭圆外 一 点P(x ₀,yo) 的切点弦方程为;③过双曲线)外一点P(x,yo) 的切点弦方程为;④过抛物线y²=2px(p>0) 外一点P(x ₀,y ₀) 弦方程为yoy=p(x ₀+x);⑤二次曲线Ax²+Bry+Cy²+Dx+Ey+F=0点 P(x ₀,y ₀) 的 切 点 弦 方 程 为16.①椭圆与直线Ax+By+C=0(AB≠0) 相切的条件是A²a²+B²b²=C²;②双曲线与直线的切点外17.若A、B、C、D是圆锥曲线(二次曲线)上顺次的四点，则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是：直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并有kac+kaD=0 (k₄c,k₈p 分别表示AC和BD的斜率).18.已知椭圆方程为),两焦点分别为F,F2, 设焦点三角形PFF₂中∠PEF₂=θ,则cosθ≥1-2e²(cosθmm=1-2e²).19.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x₀的点P 的距离)公式₁₂=a±ex₀.20.已知k,k₂,k₃为过原点的直线l,l₂,I₃的斜率，其中l₂是l₁和l₃的角平分线，则k,k₂,k₃满足下述转化关系：,21. 椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积22. 过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为23.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值。
(完整版)高中高考数学所有二级结论《完整版》
高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为(V 是简单n 面体的体积，是简单n 面体的表面积)表S V3表S 2.在任意内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan CABC △推论：在内，若tan A +tan B +tan C <0，则为钝角三角形ABC △ABC △3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍424.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩、、1+≥x e x1ln 11-≤≤-<-x x xx x )1(>>x ex e x 6.椭圆的面积S 为)0,0(12222>>=+b a by a x πabS =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆上任意一点的切线方程为222)()(r b y a x =-+-),(00y x P 200))(())((rb y b y a x a x =--+--②过椭圆上任意一点的切线方程为)0,0(12222>>=+b a b y a x ),(00y x P 12020=+b yy a xx ③过双曲线上任意一点的切线方程为)0,0(12222>>=-b a b y a x ),(00y x P 12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆的切点弦方程为022=++++F Ey Dx y x 0220000=++++++F E yy D x x y y x x ②椭圆的切点弦方程为)0,0(12222>>=+b a by a x 12020=+b y y a x x③双曲线的切点弦方程为)0,0(12222>>=-b a by a x 12020=-b y y a x x ④抛物线的切点弦方程为)0(22>=p px y )(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆与直线相切的条件是)0,0(12222>>=+b a by a x )0·(0≠=++B A C By Ax 22222Cb B a A =+②双曲线与直线相切的条件是)0,0(12222>>=-b a by a x )0·(0≠=++B A C By Ax 22222Cb B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有,(,分别表示AC 和BD 的斜率)0=+BD AC k k AC k BD k 11.已知椭圆方程为，两焦点分别为，，设焦点三角形中，则)0(12222>>=+b a by a x 1F 2F 21F PF θ=∠21F PF ()221cos e -≥θ2max 21cos e -=θ12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为的点P 的距离)公式0x 02,1ex a r ±=13.已知，，为过原点的直线，，的斜率，其中是和的角平分线，则，，满足下述1k 2k 3k 1l 2l 3l 2l 1l 3l 1k 2k 3k 转化关系：，，3222223321212k k k k k k k k +-+-=31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=2122221123212k k k k k k k k +-+-=14.任意满足的二次方程，过函数上一点的切线方程为r by ax nn=+),(11y x ry by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则，a xx f x =∝+→)(limbax x f x =-∝+→])([lim 16.椭圆绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为)0(12222>>=+b a by a x πabV 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中CB AC B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴，，则f (x )为周期函数且一个正周期为a x =b x =)(b a ≠|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆相交于两点，则纵坐标之和为)0(12222>>=+b a b y a x 22222b k a mb +21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如，，)272829AC C B B A S z A C y C B x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，)的点的集合ace =(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线依逆时针方向旋转到与第一次重合时所转的角是，则1l 2l θ21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线同时除以m+n )⇔OB OC n OA m OD =+=,25.过双曲线上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为)0,0(12222>>=-b a by a x 2ab 26.反比例函数为双曲线，其焦点为和，k <0)0(>=k xky )2,2(k k )2,2(k k --27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′ ，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ = S′ : S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线29.数列不动点：定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，初值条件)(11a f a ≠(1)若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）(2)若)(x f 只有唯一不动点p ，则k p a p a n n +-=--111 （这里da ck +=2）定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex cbx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++30.(1)，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA *N∈k (2)若，则：πC B A =++①2sin2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin222CB AC B A -=++④4sin 4sin 4sin 412sin 2sin 2sinC B A C B A ---+=++πππ⑤2sin 2sin 2sin4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cotC B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+(3)在任意△ABC 中，有：①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin ≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin222≥++C B A ⑩12tan 2tan 2tan222≥++C B A ⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A ⑫932tan 2tan 2tan≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A (4)在任意锐角△ABC 中，有：①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A ②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A ③9tan tan tan 222≥++C B A ④1cot cot cot 222≥++C B A 31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为，式中，和是两底面的面积，是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离H S S S V )4(61201++=1S 2S 0S 时得到的截面的面积)2Hh = 事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2c b a -+35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=-立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OCOB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x et i h i n推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx 推论：①)0(ln 21>≥-t t tt ② )20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)是的重心⇔=++0OC OB OA O ABC ∆(2)为的垂心⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O ABC ∆(3)为的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0ABC ∆为的外心O ABC ∆43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：(e 为圆锥曲线的离心率)θρcos 1e ep-=48.超几何分布的期望：若，则(其中为符合要求元素的频率)，),,(M N n X~H N nM X E =)(NM1111()(----=N n N M N M nX D 49.为公差为d 的等差数列，为公比为q 的等比数列，若数列满足，则数列的前n {}n a {}n b {}n c n n n b a c ⋅={}n c项和为n S 2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点，则圆的方程为()()1122,,,A x y B x y ()()()()12120x x x x y y y y --+--=51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n kn nC kC 53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m enm e e e e +>-->+。
高中数学二级结论
1高中数学二级结论1.任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--②过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yya xx③过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yya xx8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-by y a x x④抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y +=⑤二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F yy E x x D y Cy x y y x Bx Ax 9.①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =-10.若A 、B 、C 、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有0=+BD AC k k ,(AC k ,BD k 分别表示AC 和BD 的斜率)11.已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，两焦点分别为1F ，2F ，设焦点三角形21F PF 中θ=∠21F PF ，则221cos e -≥θ(2m ax 21cos e -=θ)12.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±=13.已知1k ，2k ，3k 为过原点的直线1l ，2l ，3l 的斜率，其中2l 是1l 和3l 的角平分线，则1k ，2k ，3k 满足下述转化关系：3222223321212k k k k k k k k +-+-=，31231231312)()1(1k k k k k k k k k +++-±-=，2122221123212k k k k k k k k +-+-= 14.任意满足r by ax n n =+的二次方程，过函数上一点),(11y x 的切线方程为r y by x ax n n =+--111115.已知f (x )的渐近线方程为y=ax+b ，则a xx f x =∝+→)(lim，b ax x f x =-∝+→])([lim16.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 绕Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为πab V 34=17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++19.函数f (x )具有对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则f (x )为周期函数且一个正周期为|22|b a -20.y=kx+m 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 相交于两点，则纵坐标之和为22222bk a mb + 21.已知三角形三边x ，y ，z ，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如27，28，29)AC C B B A S zA C y CB x B A ⋅+⋅+⋅==+=+=+222222.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义：平面上到定点F 距离与到定直线间距离之比为常数e (即椭圆的偏心率，ace =)的点的集合(定点F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线 23.到角公式：若把直线1l 依逆时针方向旋转到与2l 第一次重合时所转的角是θ，则21121tan k k k k θ=⋅+-24.A 、B 、C 三点共线⇔OD nm OB OC n OA m OD +=+=1,(同时除以m+n ) 25.过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为2ab26.反比例函数)0(>=k xky 为双曲线，其焦点为)2,2(k k 和)2,2(k k --，k <0 27.面积射影定理：如图，设平面α外的△ABC 在平面α内的射影为△ABO ，分别记△ABC 的面积和△ABO 的面积为S 和S′，记△ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则cos θ=S′:S28,角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线 29.数列不动点：定义：方程的根称为函数的不动点利用递推数列的不动点，可将某些递推关系所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法定理1：若是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.定理2：设，满足递推关系，初值条件(1)若有两个相异的不动点，则 （这里）(2)若只有唯一不动点，则（这里）定理3：设函数有两个不同的不动点,且由确定着数列,那么当且仅当时,30.x x f =)()(x f )(x f )(1-=n n a f a ),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p )(x f n a )1(),(1>=-n a f a n n )(1p a a p a n n -=--}{p a n -a )0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f }{n a 1),(1>=-n a f a n n )(11a f a ≠)(x f q p ,q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11qca pca k --=)(x f p k p a p a n n +-=--111da c k +=2)0,0()(2≠≠+++=e af ex cbx ax x f 21,x x )(1n n u f u =+}{n u a e b 2,0==2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++(1)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=-+=+==-=++342cos 2cos 2cos 4242sin 2sin 2sin 4142cos 2cos 2cos 442sin 2sin 2sin 4)sin()sin()sin(k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA k n nC nB nA nC nB nA ，*N ∈k (2)若πC B A =++，则：①2sin 2sin 2sin 8sin sin sin 2sin 2sin 2sin CB AC B A C B A =++++②2sin 2sin 2sin 41cos cos cos CB AC B A +=++③2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 2sin 222C B A C B A -=++④4sin4sin 4sin 412sin 2sin 2sin C B A C B A ---+=++πππ ⑤2sin 2sin 2sin 4sin sin sin CB AC B A =++⑥2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan =++A C C B B A⑧C B A C B A B A C A C B sin sin sin 4)sin()sin()sin(=-++-++-+ (3)在任意△ABC 中，有： ①812sin 2sin 2sin≤⋅⋅C B A ②8332cos 2cos 2cos ≤⋅⋅C B A ③232sin 2sin 2sin≤++C B A ④2332cos 2cos 2cos≤++C B A ⑤833sin sin sin ≤⋅⋅C B A ⑥81cos cos cos ≤⋅⋅C B A ⑦233sin sin sin ≤++C B A ⑧23cos cos cos ≤++C B A ⑨432sin 2sin 2sin 222≥++C B A⑩12tan 2tan 2tan 222≥++CB A⑪32tan 2tan 2tan ≥++CB A⑫932tan 2tan 2tan ≤⋅⋅C B A ⑬332cot 2cot 2cot≥++CB A ⑭3cot cot cot ≥++C B A(4)在任意锐角△ABC 中，有： ①33tan tan tan ≥⋅⋅C B A②93cot cot cot ≤⋅⋅C B A③9tan tan tan 222≥++C B A④1cot cot cot 222≥++C B A31.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上32.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式[辛普森(Simpson )公式]：设拟柱体的高为H ，如果用平行于底面的平面γ去截该图形，所得到的截面面积是平面γ与一个底面之间距离h 的不超过3次的函数，那么该拟柱体的体积V 为H S S S V )4(61201++=，式中，1S 和2S 是两底面的面积，0S 是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离2Hh =时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积 33.三余弦定理：设A 为面上一点，过A 的斜线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC ,∠BAC ,∠OAB 三角的余弦关系为：cos ∠OAC=cos ∠BAC ·cos ∠OAB (∠BAC 和∠OAB 只能是锐角)34.在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则△ABC 的内切圆半径为2cb a -+ 35.立方差公式：))((2233b ab a b a b a +--=- 立方和公式：))((2233b ab a b a b a +-+=+36.已知△ABC ，O 为其外心，H 为其垂心，则OC OB OA OH ++=37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba 推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值)0(22>>-b a ba38.12)!1(!!21+++++++=n θxn xx n e n x x x e 推论：212x x e x++>39.)2(≤≥--a ax ee xx推论：①)0(ln 21>≥-t t tt②)20,0(ln ≤≤>+≥a x ax axx 40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F 的连线垂直于该焦点弦 41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a (长半轴长)42.向量与三角形四心：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c (1)⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心(2)⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心 (3)O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心==⇔O 为ABC ∆的外心43.正弦平方差公式：)sin()sin(sin sin 22βαβαβα+-=-44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：21cos2)21sin()21sin(sin --+=x x x 46.点(x ,y )关于直线A x+B y+C =0的对称点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-+++-2222)(2,)(2B A C By Ax B y B A C By Ax A x 47.圆锥曲线统一的极坐标方程：θρcos 1e ep-=(e 为圆锥曲线的离心率)48.超几何分布的期望：若),,(M N n X~H ，则N nM X E =)((其中NM为符合要求元素的频率)，)111)(1()(----=N n N M N M n X D49.{}n a 为公差为d 的等差数列，{}n b 为公比为q 的等比数列，若数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，则数列{}n c 的前n项和n S 为2121)1(-+-=+q c c q c S n n n 50.若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--= 51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：11--=k n k n nC kC53.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 (4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则2222c b a AC AB -+=⋅55.m >n 时，22nm nm n m e nm e e e e +>-->+。
高中数学：16个二级结论（含例题解析）吃透，数学选择能快速解题
高中数学二级结论我们都知道掌握二级结论不仅能在考试中快速解决选择与填空题而且也能用来检验简答题的结果考试很实用
高中数学：16个二级结论（含例题解析吃透，数学选择能快速解题高中数学二级结论我们都知道，掌握二级结论不仅能在考试中快速解决选择与填空题，而且也能用来检验简答题的结果，考试很实用！
那么二级结论如何用？很多同学不知道，为了帮助大家更好地复习，学姐整理了《高中数学16个二级结论》每个结论都有例题与详细的解析，建议家长给孩子打印！
高中数学数列二级结论
数列结论篇一.等差数列1.常用结论(1)通项公式的推广:a n =a m +n -m d n ,m ∈N * .(2)在等差数列a n 中,当m +n =p +q 时,a m +a n =a p +a q m ,n ,p ,q ∈N * .特别地,若m +n =2t ,则a m +a n =2a t m ,n ,t ∈N * .(3)a k ,a k +m ,a k +2m ,⋯仍是等差数列,公差为md k ,m ∈N * .(4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,⋯也成等差数列,公差为n 2d .(5)若a n ,b n 是等差数列,则pa n +qb n 也是等差数列.(6)若a n 是等差数列,则S n n也成等差数列,其首项与a n 首项相同,公差是a n 公差的12.(7)若项数为偶数2n ,则S 2n =n a 1+a 2n =n a n +a n +1 ,S 例-S 分=nd ;S 奇S 明=an a n +1.(8)若项数为奇数2n -1,则S 2n -1=2n -1 a n ;S 奇-S 偶=a n ;S 奇S 偶=n n -1.(9)在等差数列a n 中,若a 1>0,d <0,则满足a m ≥0a m +1≤0 的项数m 使得S n 取得最大值S m ;若a 1<0,d >0,则满足a m ≤0a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .10 等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n =d 2n 2+a 1-d2n .数列a n 是等差数列⇔S n =An 2+Bn (A 、B 为常数).11 等差数列的前n 项和的最值在等差数列a n 中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.2.a n 与S n 之间一步转换a m 1+a m 2+a m 3+⋯⋯+a m n=na m 1+m 2+m 3+⋯⋯+mnn例:a 2+a 6+a 7=3a 5;3a 8-a 12=2a 6.公式一:S n =a 1+a 2+a 3+⋯⋯+a n ⇒S n =n ⋅a n +12(其中n 为奇数)例:S 5=5a 3.公式二:a n =S 2n -12n -1 例:a 5=S99;a 8=S 1515.当m 1、m 2、m 3、⋯、m n 也成等差数列时,均有a m 1+a m 2+a m 3+⋯⋯+a m n=na m 1+m n2.3.只有S 的模型与最值问题性质1.等差数列中:S m +n m +n =S m -S nm -n ,则有S 2m +m 2m +m =S 2m -S m 2m -m可以求出S 3m ,甚至S 4m .注意:(1)若S m =S n ,则一定有:S m +n =0;a m +n +12=0.(2)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等差数列,公差为n 2d 性质2等差数列a n 中:S n n为首项是a 1,公差是d 2的等差数列,若m +n =p +q ,则S m m +S n n =S p p+S qq;特别的,若m +n =2p ,则有S m m +Sn n =2S p p.性质3.S n 有最大值⇔a n >0a n +1<0 ;S n 有最小值⇔a n <0a n +1>0 ,若a n =0,则有S n =S n -1同时取得最值S n >0,n 的最大值⇔S n >0S n +1<0;S n <0,n的最大值⇔S n <0S n +1>0.二.等比数列1.常用等比数列结论1.若m +n =p +q =2k m ,n ,p ,p ,q ,k ∈N ,则a m ⋅a n =a p ⋅a q =a 2k .2.若a n ,b n (项数相同)是等比数列,则λa n λ≠0 ,1a n,a n 2,a n ⋅b n ,a n b n 仍是等比数列.3.在等比数列a n 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ⋯为等比数列,公比为q k .4.公比不为-1的等比数列a n 的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n .5.a n 为等比数列,若a 1⋅a 2⋯a n =T n ,则T n ,T 2n T n ,T 3nT 2n,⋯成等比数列.6.当q ≠0,q ≠1时,S n =k -kq n k ≠0 是a n 成等比数列的充要条件,此时k =a 11-q.7.有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,还等于中间项的平方.2.等比积秒杀公式:a m 1⋅a m 2⋅a m 3⋅⋯⋅a m n=a m 1+m 2+m 3+⋯⋯+mnnn注:角标为分数时,小题依然适用.例:a 2⋅a 6⋅a 7=a 5 3; a 1⋅a 2⋅a 3⋯⋅a n =a 1+n 2n; a 1⋅a 2⋅a 3⋯⋅a 9=a 5 9拓展:若m 1、m 2、m 3⋯m n 成等差数列时,有a m 1⋅a m 2⋅a m 3⋅⋯⋅a m n=a m 1+mn2n3.等间隔的等比数列比值公式1:a m 1+k +a m 2+k +⋯a m n+ka m 1+a m 2+⋯a mn=q k .例如:(1)a 3+a 6+⋯a 99a 2+a 5+⋯a 98=q (2)a 3+a 6+⋯a 99a 1+a 4+⋯a 97=q 2(3)a 7+a 8+a 9a 4+a 5+a 6=q 3(4)a 7+a 8+a 9a 1+a 2+a 3=q 6强调:一定要项数相等,才能用此定理。
高中数学二级结论
高中数学二级结论1.任意简单n面体内切球半径为3V/S表。
其中V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积。
2.在任意三角形ABC内，有XXX=XXX。
由此得出，若XXX<0，则三角形ABC为钝角三角形。
3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的2倍。
4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。
5.导数题常用放缩e≥x+1、-x≤1/(1-x)≤lnx≤x-1、ex>ex(x>1)、x/(x^2+y^2)≤1/sqrt(2)。
6.椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)的面积S为S=πab。
7.圆锥曲线的切线方程求法为隐函数求导。
推论：过圆(x-a)^2+(y-b)^2=r上任意一点P(x,y)的切线方程为(x-a)(x-x)+ (y-b)(y-y)=r，过椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)上任意一点P(x,y)的切线方程为(x/a^2)(x-x)+(y/b^2)(y-y)=1，过双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)上任意一点P(x,y)的切线方程为(x/a^2)(x-x)-(y/b^2)(y-y)=1.8.切点弦方程是平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程。
对于圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，切点弦方程为xx+yy+2(Dx+Ey+F)=0；对于椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)，切点弦方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1；对于双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)，切点弦方程为(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1；对于抛物线y=2px(p>0)，切点弦方程为yy=p(x+x)；对于二次曲线Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0(B≠0)，切点弦方程为Axx+Bxy+Cyy+Dx+Ey+F=0.9.两个二次曲线相切的条件是A^2a^2+B^2b^2=C^2，其中A和B不同时为0.对于椭圆2/a^2+2/b^2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(B≠0)，相切的条件为A^2a^2-B^2b^2=C^2；对于双曲线2/a^2-2/b^2=1(a>b)与直线Ax+By+C=0(B≠0)，相切的条件为A^2a^2+B^2b^2=C^2.10.若A、B、C、D是圆锥曲线上顺次四点，则四点共圆的一个充要条件是直线AC、BD的斜率存在且不等于零，并且kAC+kBD=-2.1.已知椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$，两焦点分别为$F_1$，$F_2$，设焦点三角形$PF_1F_2$中$\anglePF_1F_2=\theta$，则有$ab\cos\theta\geq1-2e^2(\cos\theta_{max}=1-2e^2)$。
高中高考数学所有二级结论《完整版》 .
高中高考数学所有二级结论《完整版》 .一、最大值最小值和极值点1、若解三角形的函数图象上的最小值为 b，则其最大值和极值点为 (a，b)。
2、使函数 y=f(x) 在闭区间 [a, b] 内取得最小值时，有：f(x) 在区间 (a, b) 的极值点位于 x=a 或 x=b。
6、若曲线 y=f(x) 的各个极值点间段形成单调递增或递减区间，则函数 y=f(x) 在该区间上取得同一值，并且该值为最小值或最大值。
2、若函数 y=f(x) 在a≤x≤b 的范围内单调递增，则函数可能在 (a, b) 的范围内取得极大值 c，其中 a 和 b 可能也是极值点；若函数 y=f(x) 在a≤x≤b 范围内单调递减，则函数可能在 (a, b) 的范围内取得极小值 d，其中 a 和 b 可能也是极值点。
三、极限1、函数 y=f(x) 对某个数 x 求极限时，当lim x→a f(x) 存在时，就可以确定函数在 x=a 的极限值及其未定义点，即lim x→a f(x)=L。
四、不等式1、若 y=f(x) 是多元函数，则该函数满足两个单调的不等式的交汇处就是极大值点，而满足两个逆单调的不等式的交汇处就是极小值点。
2、若函数 y=f(x) 是不等式 y>f(x) 的解，则当y≤f(x) 时，函数 y=f(x) 就取得最小值，而当y≥f(x) 时，函数 y=f(x) 就取得最大值。
3、若函数有极值点，那么该函数的对应的不等式中的所有值介于函数的最大值和最小值之间。
2、当有限次多项式函数 y=f(x) 在 having T 公式的拟合函数中有极值时，Tarrance 公式会捕捉该函数的起伏特性。
3、当函数 y=f(x) 可以用 Taylor 公式进行估计时，该函数在 x=a 处可能取得最大值或最小值，即函数可能在 x=a 上取得极值。
(完整版)高中数学二级结论
高中数学二级结论3V单n 面体内切球半径为 (V 是简单 n 面体的体积， S 表 是简单 n 面体的表面积 ) S 表2.在任意 △ ABC 内，都有 tan A +tan B+tan C=tan A · tanB · tanC推论： 在 △ ABC 内，若 tanA +tan B+tan C<0，则 △ ABC 为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的2 倍44.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点5.导数题常用放缩 exx 1、1 x 1 ln x x 1、 e xex( x 1)x xx 2 y 2 1(a0, b 0) 的面积 S 为 Sπab6.椭圆b 2a 27.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论： ①过圆 (x a)2( y b) 2 r 2 上任意一点 P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 (x 0 a)( x a) ( y 0 b)( y b) r 2①过椭圆x 2 y a 2b2xx 0yy 01(a 0,b 0) 上任意一点P( x 0 12, y 0 ) 的切线方程为2b 2ax 2 y 2 1(a 0,b 0) 上任意一点P( x 0 , y 0 ) 的切线方程为xx 0 yy 0 1①过双曲线b 2a 2b 2a 28.切点弦方程： 平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆 x 2y 2 DxEyF 0 的切点弦方程为 x 0 xy 0 yx 0 x Dy 0 y E F 02 2①椭圆 x 2y 2 1( a 0,b0) 的切点弦方程为x 0 x y 0 y 122a 2b 2a bx 2 y 21(a0,b0) 的切点弦方程为x 0 x y 0 y 1①双曲线b 2a 2b 2a 2①抛物线 y 22 px( p 0) 的切点弦方程为y 0 yp( x 0 x)①二次曲线的切点弦方程为Ax 0 x Bx 0yy 0 x Cy 0 y Dxx EyyF222229.①椭圆 x2y 2 1(a0,b 0) 与直线 AxBy C0( A ·B 0) 相切的条件是 A 2 a 2 B 2b 2C 2ab②双曲线 x 2y 21(a 0,b0) 与直线 Ax By C0( A ·B 0) 相切的条件是 A 2a 2 B 2b 2C 2a 2b 210.若 A 、B 、C 、D 是圆锥曲线 (二次曲线 )上按序四点 ,则四点共圆 (常用订交弦定理 )的一个充要条件是 :直线 AC 、BD 的斜率存在且不等于零,并有 k AC k BD 0 ,( k AC , k BD 分别表示 AC 和 BD 的斜率 )111. 已知椭圆方程为x 2y 2 b0) ，两焦点分别为 F 1 ， F 2 ，设焦点三角形PF 1F 2 中 PF 1F 2，则a2b21(acos 12e 2 ( cos m ax 1 2e 2 )12. 椭圆的焦半径 (椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为 x 0 的点 P 的距离 )公式 r 1, 2 a ex 013. 已知 k 1 ， k 2 ， k 3 为过原点的直线 l 1 ， l 2 ， l 3 的斜率，此中 l 2 是 l 1 和 l 3 的角均分线，则 k 1 ， k 2 ， k 3 满足下述转变关系：k 12k 2 k 3 k 3k 22k 1k 3 1(1 k 1k 3 ) 2 ( k 1 k 3 ) 22k 2 k 1 k 1k 221 k 22， k 2k 1 k 3， k 31 k 22 2k 1k 22k 2 k 314. 任意满足 axnby n r 的二次方程，过函数上一点( x 1 , y 1) 的切线方程为 ax 1 x n 1 by 1 y n 1 r 15. 已知 f(x)的渐近线方程为f (x) a ， lim [ f ( x) ax]by=ax+b ，则 limx xx16. 椭圆 x2y 2 1(a b0) 绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V4πaba 2b 2317. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和18. 在锐角三角形中 sin A sin B sin C cos A cosB cosC19. 函数 f(x)拥有对称轴 xa ， xb ( a b) ，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2a2b |20.y=kx+m 与椭圆x 2 y 2 1(ab 0) 订交于两点，则纵坐标之和为2mb 2a2b2a 2k 2 b221. 已知三角形三边x ， y ， z ，求面积可用下述方法 (一些状况下比海伦公式更适用，如27 ， 28 ， 29 )A B x 2B C y 2C A z 22SAB BC C A22.圆锥曲线的第二定义：椭圆的第二定义： 平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏爱率，c)的点的会集 (定e点 F 不在定直线上，该常数为小于1的正数)a双曲线第二定义： 平面内，到给定一点及向来线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式： 若把直线 l 1 依逆时针方向旋转到与 l 2 第一次重合时所转的角是，则 tan θ=k 2k 11 k 1 k 2、 B 、 C 三点共线ODmOA nOC ,OB1OD (同时除以 m+n )m nx 2 y 21(a 0, b 0) 上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形面积为ab 25.过双曲线b 22a 2226.反比率函数 y k2k ) 和 (2k , 2k ) ，k<0 (k 0) 为双曲线，其焦点为 ( 2k ,x27.面积射影定理：如图，设平面α外的①ABC 在平面α内的射影为①ABO ，分别记①ABC 的面积和①ABO 的面积为 S 和 S′，记①ABC 所在平面和平面α所成的二面角为θ，则 cos θ= S′: S28,角均分线定理：三角形一个角的均分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比率角均分线定理逆定理：假如三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比率，那么该点与对角极点的连线是三角形的一条角均分线29.数列不动点：定义：方程 f ( x)x 的根称为函数 f (x) 的不动点利用递推数列 f ( x) 的不动点，可将某些递推关系a n f (a n 1 ) 所确立的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这类方法称为不动点法定理 1 ：若f (x)ax b(a0, a1),p 是 f ( x)的不动点，a n满足递推关系a n f (a n 1 ), (n1) ，则a n p a(a n 1p) ，即 { a n p} 是公比为 a 的等比数列.定理 2：设f ( x)ax b(c0, ad bc0) ，{ a n}满足递推关系a n f (an 1 ), n 1 ，初值条件a1 f (a1 )cx d(1) 若f (x)有两个相异的不动点p,q ，则a n p a n1p a pc）a nka n（这里 kqc q1q a(2) 若f (x)只有独一不动点p，则11k（这里 k2c）a n p a n 1 p a d定理3：设函数f ( x)ax 2bx c( a0, e0) 有两个不一样的不动点x1 , x2, 且由u n 1 f (u n ) 确立着数列ex f{ u n } ,那么当且仅当 b0,e2a时,u n1x1(unx1 ) 2u n1x2u n x2 30.3nAsinnB nCn 4k4sinsin22 2nA nBnC n 4k14 cos coscos2(1) sin(nA) sin(nB) sin(nC)22，k N *4 sinnAsinnBsinnCn 4k22224cosnAcosnBcosnCn 4k3222(2) 若 A B C π，则： ① sin 2 A sin 2Bsin 2C 8sin A sin Bsin Csin A sin Bsin C2 2 2 ② cos A cos BcosC 1 4 sin A sin B sin C2 2 2 ③ sin 2Asin 2Bsin2C 12 sin A sin B sin C2222 2 2④ sinAsin Bsin C1 4 sinAsinBsinC 2224 44⑤ sin Asin Bsin CA B C4 sinsin sin2 2 2 A BCA B C⑥cotcotcotcot cotcot2 22222⑦ tan A tanBtan Btan C tan C tan A122 2 2 2 2⑧ sin( B C A)sin(CAB) sin( A B C ) 4 sin A sin B sin C(3) 在任意 ①ABC 中，有： ① sinAsin B sin C1⑥ cos A cos B cosC1? tanAtanBtanC3 22 2 882 229 ② cosAcosBcosC3 3⑦ sin Asin B sin C3 3A B C 3 3 22282? cotcotcot③ sinAsinBsinC33222⑧ cos A cos B cosC? cot A cot Bcot C3222 22④ cosAcosBcosC3 3 ⑨ sin 2Asin 2B sin 2C322 24 2222⑩ tan 2Atan 2B tan 2C13 32 2 2⑤ sin A sin B sin CAB C38? tantantan2 2 2(4) 在任意锐角 ①ABC 中，有：① tan A tan B tan C 3 3③ tan 2 Atan 2 B tan 2 C9 3④ cot 2 A cot 2 B cot 2 C1② cot A cot B cot C931.帕斯卡定理： 假如一个六边形内接于一条二次曲线( 椭圆、双曲线、抛物线) ，那么它的三对对边的交点在同4一条直线上32.拟柱体：全部的极点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积公式 [ 辛普森 ( Simpson) 公式 ] ：设拟柱体的高为 H ，假如用平行于底面的平面γ去截该图形，所获得的截面面积是平面γ与一个底面之间距离 h 的不超出 3 次的函数，那么该拟柱体的体积V 为1102，式中， S1和 S2是两底面的面积， S0是中截面的面积(即平面γ与底面之间距离H (S4S S )H6)2时获得的截面的面积事实上，不但是拟柱体，其余吻合条件( 全部极点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所获得的截面面积是该平面与一底之间距离的不超出 3 次的函数 ) 的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为AB ， AC 为面上的一条直线，那么①OAC , ①BAC , ①OAB 三角的余弦关系为：cos ①OAC= cos ①BAC · cosOAB① ( ①BAC 和①OAB 只好是锐角 )a b c34.在 Rt △ ABC 中， C 为直角，内角A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，则△ ABC 的内切圆半径为2 35.立方差公式： a3b3( a b)(a2ab b2 )立方和公式： a3b3(a b)(a2ab b2 )36.已知△ ABC ， O 为其外心， H 为其垂心，则OH OA OB OC37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右极点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值a2(a b0)b22推论：椭圆上不与左右极点重合的任一点与左右极点构成的直线斜率乘积为定值a2(a b 0)b38. e x1x x2x n eθx x n 12!n!(n 1)!推论： e x1x x2239.e x e x ax(a2)推论：① t10)② ln xax0,0 a2) t2 ln t (t( xx a40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a( 长半轴长 )542.向量与三角形四心：在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c(1) OAOB OC 0O 是 ABC 的重心(2) OA OB OB OCOC OA O 为 ABC 的垂心(3) aOA bOB cOC 0O 为 ABC 的心里(4) OAOBOCO 为 ABC 的外心43.正弦平方差公式： sin 2sin 2sin( )sin( )44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点sin( x1) sin(x1 ) 45.三角函数数列乞降裂项相消：sin x222 cos1246. 点 (x,y)关于直线 Ax+ By+ C=0 的对称点坐标为x2A( Ax By C ) , y 2B( Ax ByC )A 2B 2 A 2 B 247. 圆锥曲线一致的极坐标方程：ep)(e 为圆锥曲线的离心率1 ecosnM (此中M为吻合要求元素的频率)，48. 超 几 何 分 布 的 期 望 ： 若 X~H (n, N , M ) ， 则 E( X )nM(1M)(1n 1 ) NND(X)a n NNN 1b n 为公比为 q 的等比数列，若数列c n 满足 c na nb n ，则数列c n 的前 n49. 为公差为 d 的等差数列，cn 1q 2c n c 1 项和 S n 为 S n (q 1)250. 若圆的直径端点A x 1, y 1 ,B x 2 , y 2 ，则圆的方程为 x x 1 x x 2y y 1 y y 2 051. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于 A 、 B 两点，则直线AB 的斜率为定值52. 二项式定理的计算中不定系数变成定系数的公式：kC n k nC n k 1153. 三角形五心的一些性质：(1) 三角形的重心与三极点的连线所构成的三个三角形面积相等 (2) 三角形的垂心与三极点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心 (3) 三角形的垂心是它垂足三角形的心里；也许说，三角形的心里是它旁心三角形的垂心 (4) 三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5) 三角形的重心也是它的中点三角形的重心 (6) 三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7) 三角形的任一极点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a 2 b 2 c 2a ，b ，c ，则 AB AC2 eme nemenm ne 255.m>n 时，2m n6。
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2
2
24
⑩ tan2 A tan2 B tan2 C 1
2
2
2
⑪ tan A tan B tan C 3
2
2
2
⑫ tan A tan B tan C 3 2 2 29
⑬ cot A cot B cot C 3 3
2
2
2
⑭ cot A cot B cot C 3
③ tan2 A tan2 B tan2 C 9
利用递推数列 f (x) 的不动点，可将某些递推关系 an f (an1 ) 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的
数列，这种方法称为不动点法
定 理 1： 若 f (x) ax b(a 0, a 1), p 是 f (x) 的 不 动 点 ， an 满 足 递 推 关 系 an f (an1 ), (n 1) ， 则
p q
k
an1 an1
p q
（这里 k a pc ） a qc
(2)若 f (x) 只有唯一不动点 p ，则 1 1 k an p an1 p
（这里 k 2c ） ad
定理 3：设函数
f (x)
ax
2 bx ex f
c
(a
0,
e
0)
有两个不同的不动点
x1
,
x2
,且由
u n 1
15.已知 f(x)的渐近线方程为 y=ax+b，则 lim f (x) a ， lim [ f (x) ax] b
x x
x
16.椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 绕
Ox
坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V
4 πab 3
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1.任意的简单n面体内切球半径为3V（V是简单n面体的体积，S表是简单n面体的表面积）
S表
2.在任意△ABC内，都有tanA+tan B+tanC=tanA tan B tanC推论：在厶ABC内，若tanA+tan B+tanC<0,则△ABC为钝角三角形
3•斜二测画法直观图面积为原图形面积的
2
②过椭圆笃
a
2
1（a
XX0
~2
a
泌
b2
2
③过双曲线笃
a
2
与
b
XXo
yy。
b2
8•切点弦方程:
①圆
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程y。yE
2
Dx Ey F 0
y
2
2
②椭圆笃
a
2
每
b
X
2
a
YgY1
b
③双曲线
2X~~2a
2
爲1（a0,b0）的切点弦方程为
b
x
~2~
a
④抛物线
2px（p0）的切点弦方程为y°y
P
x)
⑤二次曲线的切点弦方程为
AX0X BX0y加
Cy
d3
2
y
2
9•①椭圆
2x~~2a
2
~2
b
0,b
0）
By
0(AB
0）相切的条件是
A
B
C
②双曲线
2
x
2
a
2
十
0,b
0）
By
0(
0）相切的条件是
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高中数学二级结论1、任意的简单n 面体内切球半径为表S V3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积)2、在任意ABC △内，都有t a n A +t a n B +t a n C =t a n A ·t a n B ·t a n C3、若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x )定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x )是周期函数，且2|a |是它的一个周期。
①f(x ＋a )＝f(x －a ) ②f(x ＋a )＝－f(x ) ③f(x ＋a )＝1/f(x ) ④f(x ＋a )＝－1/f(x )4、若函数y ＝f(x )同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|5、若函数y ＝f(x )同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝2|a －b|6、若函数y ＝f(x )既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x )必为周期函数，且T ＝4|a －b|7、斜二测画法直观图面积为原图形面积的42倍 8、过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点9、导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<-x x xx x、)1(>>x ex e x 10、椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 的面积S 为πab S =11、圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导推论：①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为1220=-b yy a xx 12、切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程①圆022=++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为0220000=++++++F E yy D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b yy a x x①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-byy a x x①抛物线)0(22>=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为0222000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x Bx Ax 13、①椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+②双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是||22222A a -B b =C14、椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为0x 的点P 的距离)公式02,1ex a r ±= （左加右减）15、双曲线的焦半径(双曲线上横坐标为x 的点P 到焦点的距离)公式，且F 1为左焦点，F 2为右焦点，e 为双曲线的离心率。
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高中数学16个---------------二级结论结论一 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D 上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D 上有最值,则f(x)max +f(x)min =0,且若0∈D,则f(0)=0.例1 设函数22(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值为M,最小值为m,则M+m= .跟踪集训1.(1)已知函数2()ln(193)1f x x x =++,则1(lg 2)(lg )2f f + =( ) A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c 的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( )A.4和6 B.3和1C.2和4D.1和2结论二 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T 为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=1()f x (a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a. 例2 已知定义在R 上的函数f(x)满足f 3()2x + =-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1, f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 014)+f(2 015)=( )A.-2B.-1C.0D.1跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= 2log (1),0,(1)(2),0,x x f x f x x -≤⎧⎨--->⎩则f(2 014)=( )A.-1B.0C.1D.2结论三 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R 上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x= 2a b+对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a 对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点(,)22a b c+中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b 恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x -1)对任意的x∈1[,1]2恒成立,则实数a 的取值范围是( )A.[-3,-1] B.[-2,0] C.[-5,-1]D.[-2,1]跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)= .(2)函数y=f(x)对任意x∈R 都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)的值为 . 结论四 反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D 上的单调函数,则存在反函数y=f -1(x).特别地,y=a x与y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x 对称,即(x 0, f(x 0))与(f(x 0),x 0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f -1(x)的图象上.例4 设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B.2(1-ln 2)C.1+ln 2D.2(1+ln 2)跟踪集训4.若x 1满足2x+2x=5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )A.52 B.3 C. 72D.4 结论五 两个对数、指数经典不等式 1.对数形式:1-11x +≤ln(x+1)≤x(x>-1),当且仅当x=0时,等号成立. 2.指数形式:e x≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时,等号成立.例5 设函数f(x)=1-e -x.证明:当x>-1时, f(x)≥1x x +. 跟踪集训5.(1)已知函数f(x)=1ln(1)x x+-,则y=f(x)的图象大致为( )(2)已知函数f(x)=e x,x∈R.证明:曲线y=f(x)与曲线y=12x 2+x+1有唯一公共点.结论六 三点共线的充要条件设平面上三点O,A,B 不共线,则平面上任意一点P 与A,B 共线的充要条件是存在实数λ与μ,使得OP OA OB λμ=+,且1λμ+=.特别地,当P 为线段AB 的中点时, 1122OP OA OB =+.例6 已知A,B,C 是直线l 上不同的三个点,点O 不在直线l 上,则使等式20x OA xOB BC ++=成立的实数x 的取值集合为( )A.{-1} B. ∅ C.{0} D.{0,-1}跟踪集训6.在梯形ABCD 中,已知AB∥CD,AB=2CD,M、N 分别为CD 、BC 的中点.若AB AM AN λμ=+,则λμ+= .结论七 三角形“四心”的向量形式设O 为△ABC 所在平面上一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔ ||||||2sin aOA OB OC A===.(2)O 为△ABC 的重心⇔ 0OA OB OC ++=.(3)O 为△ABC 的垂心⇔ OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅.(4)O 为△ABC 的内心⇔ 0aOA bOB cOC ++=. 例7 已知A,B,C 是平面上不共线的三点,动点P 满足1[(1)(1)(12)],3OP OA OB OC R λλλλ=-+-++∈,则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心B.△ABC 的垂心C.△ABC 的重心D.AB 边的中点跟踪集训7.(1)P 是△ABC 所在平面内一点,若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心(2)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足,(0,)2OB OCOP AP λλ+=+∈+∞,则P 点的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (3)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足(),[0,)||||AB ACOP OA AB AC λλ=++∈+∞,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心 B.内心 C.重心D.垂心结论八 等差数列1.若S m ,S 2m ,S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项,前2m 项,前3m 项的和,则S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m 成等差数列.2.若等差数列{a n }的项数为2m,公差为d,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m =m(a m +a m+1),S 偶-S 奇=md,1m m S a S a +=奇偶. 3.若等差数列{a n }的项数为2m-1,所有奇数项之和为S 奇,所有偶数项之和为S 偶,则所有项之和S 2m-1=(2m-1)a m ,S 奇=ma m ,S 偶=(m-1)a m ,S 奇-S 偶=a m ,1S mS m =-奇偶. 例8 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m-1=-2,S m =0,S m+1=3,则m=( ) A.3 B.4 C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a m-1+a m+1- 2m a =0,S 2m-1=38,则m 等于 . 跟踪集训8.(1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=20,S 20=50,则S 30= .(2)一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27,则数列的公差d= .结论九 等比数列已知等比数列{a n },其公比为q,前n 项和为S n .(1)数列1{}n a 也为等比数列,其公比为1q. (2)若q=1,则S n =na 1,且{a n }同时为等差数列.(3)若q≠1,则S n =11111(1)()11111n n n n a a q a q a a aq q q q q q qλλλ--==-=-=-----. (4)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列(q≠-1或q=-1且n 为奇数),其公比为q n.(5)S n ,2n n S S , 32nnS S ,…仍为等比数列,公比为2n q .例9 (1)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列1{}na 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若63S S =3,则96SS =( )A.2 B.73C.83D.3跟踪集训9.在等比数列{a n }中,公比为q,其前n 项和为S n .已知S 5=3116,a 3= 14,则1234511111a a a a a ++++= . 结论十 多面体的外接球和内切球1.长方体的体对角线长d 与共点三条棱长a,b,c 之间的关系为d 2=a 2+b 2+c 2;若长方体外接球的半径为R,则有(2R)2=a 2+b 2+c 2.2.棱长为a 的正四面体内切球半径r=612a ,外接球半径R= 64a . 例10 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O(重量忽略不计),现从该三棱锥顶端向内注水,小球慢慢上浮,若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时,小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切),则小球的表面积等于( )A. 76π B. 43π C. 23π D. 2π跟踪集训10.(1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形,直角边长是1,且其外接球的表面积是16π,则该三棱柱的侧棱长为( )A. 14 B. 23 C. 46D.3(2)已知正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点E 是线段AB 的中点,过点E 作球O 的截面,则截面面积的最小值是( )A.74π B.2π C. 94πD.3π 结论十一 焦点三角形的面积公式1.在椭圆22221x y a b+= (a>b>0),F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F Sb θ=,其中θ=∠F 1PF 2.2.在双曲线22221x y a b -=1(a>0,b>0)中,F 1,F 2分别为左、右焦点,P 为双曲线上一点,则△PF 1F 2的面积122tan2PF F b Sθ=,其中θ=∠F 1PF 2.例11 已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=3π,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433 B. 233C.3D.2跟踪集训11.(1)如图,F 1,F 2是椭圆C 1: 2214x y +=与双曲线C 2的公共焦点,A,B 分别是C 1,C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形,则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D. 62(2)已知F 1,F 2是椭圆C: 22221x y a b+= (a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 一上点,且12PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b= . 结论十二 圆锥曲线的切线问题1.过圆C:(x-a)2+(y-b)2=R 2上一点P(x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)=R 2.2.过椭圆22221x y a b +=上一点P(x 0,y 0)的切线方程为00221x x y y a b+=.3.已知点M(x 0,y 0),抛物线C:y 2=2px(p≠0)和直线l:y 0y=p(x+x 0).(1)当点M 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线.(2)当点M在抛物线C外时,直线l与抛物线C相交,其中两交点与点M的连线分别是抛物线的切线,即直线l为切点弦所在的直线.(3)当点M在抛物线C内时,直线l与抛物线C相离.例12 已知抛物线C:x2=4y,直线l:x-y-2=0,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点,当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程.跟踪集训12.(1)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( ) A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0(2)设椭圆C:22143x y+=,点P3(1,)2,则椭圆C在点P处的切线方程为.结论十三圆锥曲线的中点弦问题1.在椭圆E:22221x ya b+= (a>b>0)中:(1)如图①所示,若直线y=kx(k≠0)与椭圆E交于A,B两点,过A,B两点作椭圆的切线l,l',有l∥l',设其斜率为k0,则k0·k=22ba -.(2)如图②所示,若直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的点,若直线PA,PB的斜率存在,且分别为k1,k2,则k1·k2=22ba -.(3)如图③所示,若直线y=kx+m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A,B两点,P为弦AB的中点,设直线PO的斜率为k0,则k0·k=22ba -.[提醒]该结论常变形为:以椭圆22221x y a b +=内任意一点(x 0,y 0)为中点的弦AB 的斜率k=2020x b a y -⋅.2.在双曲线E: 22221x y a b -= (a>0,b>0)中,类比上述结论有:(1)k 0·k=22b a .(2)k 1·k 2=22b a .(3)k 0·k=22b a. 例13 已知椭圆E: 22221x y a b+= (a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E 的方程为( )A.2214536x y += B.2213627x y += C. 2212718x y += D.221189x y += 跟踪集训13.(1)椭圆C: 22143x y +=的左,右顶点分别为A 1,A 2,点P 在椭圆上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA 1的斜率的取值范围是 .(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的直线交椭圆22142x y +=于P,A 两点,其中P 在第一象限,过P 作x 轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA 的斜率为k.对任意k>0,求证:PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点P(非顶点)与曲线上的两动点A,B满足直线PA 与PB的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线AB的斜率为定值.图示条件结论已知椭圆22221x ya b+= (a>b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在椭圆上,A,B是椭圆上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y已知双曲线22221x ya b-= (a,b>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在双曲线上,A,B是双曲线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值22b xa y-已知抛物线y2=2px(p>0),定点P(x0,y0)(x0y0≠0)在抛物线上,A,B是抛物线上两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0 直线AB的斜率k AB为定值py-例14 已知抛物线C:y2=2x,定点P(8,4)在抛物线上,设A,B是抛物线上的两个动点,直线PA,PB的斜率分别为k PA,k PB,且满足k PA+k PB=0.证明:直线AB的斜率k AB为定值,并求出该定值.跟踪集训14.已知椭圆C:22143x y+=,A为椭圆上的定点且坐标为31,2（）,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.(1)对于椭圆22221x ya b+= (a>b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b-⋅+.同理,当以AB为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线l AB过定点2222(,0)a baa b--⋅+.(2)对于双曲线22221x ya b-= (a>0,b>0)上异于右顶点的两动点A,B,以AB为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线l AB过定点2222(,0)a baa b+⋅-.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为2222(,0)a baa b+-⋅-.(3)对于抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若0OA OB ⋅=,则弦AB 所在直线过点(2p,0).同理,抛物线x 2=2py(p>0)上异于顶点的两动点A,B,若OA OB ⊥,则直线AB 过定点(0,2p).例15 已知抛物线y 2=2px(p>0)上异于顶点的两动点A,B 满足以AB 为直径的圆过顶点.求证:AB 所在的直线过定点,并求出该定点的坐标.跟踪集训15.已知椭圆22143x y +=,直线l:y=kx+m 与椭圆交于A,B 两点(A,B 不是左、右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点.求证:直线l 过定点,并求该定点的坐标.结论十六 抛物线中的三类直线与圆相切问题AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)焦点F 的弦(焦点弦),过A,B 分别作准线l:2p-的垂线,垂足分别为A 1,B 1,E 为A 1B 1的中点.(1)如图①所示,以AB 为直径的圆与准线l 相切于点E.(2)如图②所示,以A 1B 1为直径的圆与弦AB 相切于点F,且|EF|2=|A 1A|·|BB 1|.(3)如图③所示,以AF 为直径的圆与y 轴相切.例16 过抛物线y 2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a,0)(a>0)的直线与抛物线相交于M,N 两点,自M,N 向直线l:x=-a 作垂线,垂足分别为M 1,N 1.当a=2p时,求证:AM 1⊥AN 1.跟踪集训16.已知抛物线C:y 2=8x 与点M(-2,2),过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点,若0MA MB ⋅=,则k= .答案全解全析结论一 奇函数的最值性质跟踪集训1.(1)D 令g(x)=ln(-3x),x∈R,则g(-x)=ln(+3x),因为g(x)+g(-x)=ln(-3x)+ln(+3x)=ln(1+9x 2-9x 2)=ln 1=0,所以g(x)是定义在R 上的奇函数.又lg =-lg 2,所以g(lg2)+g=0,所以f(lg 2)+f=g(lg 2)+1+g+1=2.故选D.(2)D 令g(x)=f(x)-c=asin x+bx, 易证g(x)是奇函数.又g(-1)+g(1)=f(-1)-c+f(1)-c=f(-1)+f(1)-2c, 而g(-1)+g(1)=0,c 为整数, ∴f(-1)+f(1)=2c 为偶数. 1+2=3是奇数,故不可能,选D.结论二 函数周期性问题跟踪集训2.(1)D 由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2),又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-f(x-2),所以f(x+2)=-f(x-2), f(x+4)=-f(x), f(x+8)=f(x),故f(x)是以8为周期的周期函数,所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1,又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(8)=f(0)=0,故f(8)+f(9)=1,故选D.(2)C 当x>0时,有f(x)=f(x-1)-f(x-2),①同理有f(x+1)=f(x)-f(x-1),②①+②得f(x+1)=-f(x+2),即f(x+3)=-f(x).所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),T=6.故f(2 014)=f(4)=-f(1)=f(-1)-f(0)=log22-0=1,故选C.结论三函数的对称性跟踪集训3.(1)答案 3解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),则f(-1)=f(4-1)=f(3)=3.(2)答案 4解析因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数. f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2 017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2 016)+f(2 018)=-f(2 014)+f(2 014+4)=-f(2 014)+f (2 014)=0,所以f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)=4.结论四反函数的图象与性质跟踪集训4.C 因为2x+2x=5,所以x+2x-1=,同理x+log2(x-1)=,令t=x-1,则x=t+1,即t1是t+2t=的解,t2是t+log2t=的解,且t1=x1-1,t2=x2-1.如图所示,t1为函数y=2t与y=-t的图象交点P的横坐标,t2为函数y=log2t与y=-t的图象交点Q的横坐标,所以P(t1,),Q(t2,log2t2),所以P,Q为对称点,且t1+t2=t1+=t1+=.所以x1+x2=t1+1+t2+1= +2=.故选C.结论五两个对数、指数经典不等式跟踪集训5.(1)B 由题意得f(x)的定义域为{x|x>-1且x≠0},所以排除选项D.令g(x)=ln(x+1)-x,则由经典不等式ln(x+1)≤x知,g(x)≤0恒成立,故f(x)=<0恒成立,所以排除A,C,故选B.(2)证明令g(x)=f(x)-=e x-x2-x-1,x∈R.g'(x)=e x-x-1,由经典不等式e x≥x+1恒成立可知,g'(x)≥0恒成立,所以g(x)在R上为单调递增函数,且g(0)=0,所以函数g(x)有唯一零点,即两曲线有唯一公共点.结论六三点共线的充要条件跟踪集训6.答案解析解法一:由=λ+μ及题意得=λ·(+)+μ·(+),则++ =0,得++=0,得λ+μ-1+=0.又因为,不共线,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=.解法二:如图,连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB=AT,∴==λ+μ.∴=λ+μ,∵T、M、N三点共线,∴λ+μ=1,则λ+μ=.结论七三角形“四心”的向量形式跟踪集训7.(1)D 由·=·,可得·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理可证⊥,⊥,∴P是△ABC的垂心.(2)C 设BC的中点为M,则=,则有=+λ,即=λ,∴P点的轨迹所在直线一定通过△ABC的重心.(3)B 解法一:为上的单位向量,为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的平分线的方向.又λ∈[0,+∞),∴λ的方向与+的方向相同.=+λ,∴点P在上移动.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.故选B.解法二:由于P点轨迹通过△ABC内一定点且该定点与O点位置和△ABC的形状无关,故取O点与A点重合,由平行四边形法则很容易看出P点在∠BAC的平分线上,故选B.结论八等差数列跟踪集训8.(1)答案90解析(S20-S10)-S10=(S30-S20)-(S20-S10),S30=3S20-3S10=3×50-3×20=90.(2)答案 5解析设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,由已知条件,得解得又S偶-S奇=6d,所以d==5.结论九等比数列跟踪集训9.答案31解析由等比数列的性质知,a1a5=a2a4=,则++++=++====31.结论十多面体的外接球和内切球跟踪集训10.(1)A 因为该三棱柱外接球的表面积是16π,所以外接球的半径R=2.又直三棱柱底面是等腰直角三角形,直角边长是1,故该三棱柱的侧棱长是=,故选A.(2)C 由题意知,正三角形ABC的外接圆半径为=,则AB=3,过点E的截面面积最小时,截面是以AB为直径的圆面,截面面积S=π×=.结论十一焦点三角形的面积公式跟踪集训11.(1)D 设双曲线C2的方程为-=1,则有+===4-1=3.又四边形AF1BF2为矩形,所以焦点三角形AF1F2的面积为tan 45°=,即==1.所以=-=3-1=2.故双曲线的离心率e==== .故选D.(2)答案 3解析在焦点三角形PF1F2中,⊥,故=|PF1||PF2|,又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,|PF1|+|PF2|=2a,则(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=|F1F2|2,4a2-2|PF1|·|PF2|=4c2,所以|PF1||PF2|=2b2,则=b2=9,故b=3.结论十二圆锥曲线的切线问题跟踪集训12.(1)A 如图,圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).又k AB·k PC=-1,且k PC==,∴k AB=-2.故直线AB的方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.(2)答案x+2y-4=0解析由于点P在椭圆+=1上,故所求的切线方程为+=1,即x+2y-4=0.结论十三圆锥曲线的中点弦问题跟踪集训13.(1)答案解析设PA2的斜率为k2,PA1的斜率为k1,则k1·k2=-=-,又k2∈[-2,-1],所以k1∈.(2)证明设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),C(x0,0),k AC==,又k PA==k,所以k AC=,由k BA·k BP =-知,k BP·k BA=k BP·k AC=·k PB=-,所以k PB·k=-1,即PA⊥PB.结论十四圆锥曲线中的一类定值问题跟踪集训14.解析设直线AE的方程为y=k(x-1)+,联立得消去y,整理得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+4-12=0,则x E==.①同理,可得x F=.②所以k EF===,将①②代入上式,化简得k EF=.所以直线EF的斜率为定值,这个定值为.结论十五圆锥曲线中的一类定点问题跟踪集训15.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,则有Δ=(8km)2-4(4k2+3)·(4m2-12)>0,即m2<4k2+3,即m2<4k2+3,①因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),所以(x1-2,y1)·(x2-2,y2)=0,即x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0, 即x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+m)(kx2+m)=0.把①代入化简得7m2+16km+4k2=0,得m=-2k或m=-.当m=-2k时,直线l:y=kx-2k过右顶点(2,0),与题意不符,故舍去;当m=-时,直线l:y=kx-过定点,且满足m2<4k2+3,符合题意.所以l:y=kx+m过定点.结论十六抛物线中的三类直线与圆相切问题跟踪集训16.答案 2解析如图所示,因为·=0,所以MA⊥MB,故点M在以AB为直径的圆上,又准线为x=-2,直线AB经过焦点F(2,0),所以有MF⊥AB,又k MF==-,所以k AB=2.。