双曲线的几何性质(一)

双曲线的几何性质（一）

教学目标

1.掌握双曲线的几何性质

2.能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程. 教学重点

双曲线的几何性质 教学难点

双曲线的渐近线 教学过程 I.复习回顾：

双曲线的标准方程、研究椭圆的几何性质的方法与步骤 II.讲授新课： 1.范围：

双曲线在不等式x ≥a 与x ≤－a 所表示的区域内. 2.对称性：

双曲线关于每个坐标轴和原点都对称， 这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是 双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫 双曲线的中心。 3.顶点：

双曲线和它的对称轴有两个交点A 1(－a ,0)、A 2(a ,0)，它们叫做双曲线的顶点.

线段A 1A 2叫双曲线的实轴，它的长等于2a ,a

叫做双曲线的实半轴长；

线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，它的长等于2b ,b 叫做双曲线的虚半轴长. 4.渐近线

①我们把两条直线y=±

x a

b

叫做双曲线的渐近线； ②从图可以看出，双曲线122

22=-b

y a x 的各支向

外延伸时，与直线y =±x a

b

逐渐接近. ③“渐近”的证明：略 ④等轴双曲线：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.

⑤ 利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.

注意：⑴求渐近线方程的简便方法：令方程左边等于零即0b

y a x 22

22=-

⑵等轴双曲线一般可设为k y x 22=-

等轴双曲线的性质：①离心率为2

②等轴双曲线的相伴矩形是正方形 ③渐近线方程为y ＝±x 且互相垂直

④两条渐近线平分双曲线实轴和虚轴所成的角。

5.离心率：

双曲线的焦距与实轴长的比e =a

c

，叫双曲线的离心率. 注意：①由c >a >0可得e >1；

②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.

例1 求双曲线9y 2－16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解：把方程化为标准方程.

13

422

22=-x y 由此可知，实半轴长a =4，虚半轴长b =3.

5342222=+=+=b a c . 焦点的坐标是（0，－5），（0，5）. 离心率4

5

==

a c e . 渐近线方程为

y x 43±

=，即x y 3

4±= III.课堂练习：

（1）写出第二种形式的标准方程所对应的双曲线性质. （2）课本P 113练习 1 课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉并掌握双曲线的几何性质，尤其是双曲线的渐近线方程及其“渐近”性质的证明，并能简单应用双曲线的几何性质. 课后作业

P 113－114 习题8.4 1、4 、5、6