近世代数 环同态的性质ppt
合集下载
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
3.4环的同态与同构
0,
x R
则 f 是R到R' 的一个同态，且同态像为 f(R)={0'}， 这个同态称为零同态，它是任何两个环之间都存在 的一个同态。
例4．通过同构映射，可以把一个环“嵌入”到另
一个环中去.
设M2(R) 到M3(R)的一个同构映射为
a b 0 a b : c d 0 c d 0 0 0
例1．设 R= Z，R' = Z/(n)，命
f :a a, (R R)
则 1°f 是Z到Z/(n)的满射 2°f (a1 a2 ) a1 a2 a1 a2 f (a1 ) f (a2 ) 3° f (a1a2 ) a1a2 a1 a2 f (a1 ) f (a2 )
Th2：（环的第一同构定理）
设R是环, S是R的子环，I是R的理想，则
(S I ) / I S /(S
I)
Th3：（环的第二同构定理，商环同构定理） 设f是环R到环R'的满同态，I是R的理想，Ker f I，
则
R / I R / f ( I )
( ( R / K ) /( I / K ))
故 f 是 R=Z 到 R' = Z/(n) 的同态映射，亦为满射。
例2．设R是任一个环， I是R的一个理想，命
: R R / I, a
a
(a R, a R / I )
则是R到商环R/I的满同态，这个同态映射 叫R到R/I的自然同态。 例3．设R和R'是两个环，定义
f : R R, x
§3.4 环的同态与同构
(3.4 Homomorphism and Isomorphism of Ring)
代数结构与数理逻辑-环同态基本定理
❖ 例:复数域[C;+,]是实数域[R;+,]的扩 张,(1, i)是它的一组基
C={a+ib|a,bR,i2=-1}, [C:R]=2
❖ 引进线性空间的目的是为了方便表示扩 域中的元素。
❖ 例:Z5[x]是域Z5上的多项式环, K=Z5[x]/(x3+x+1) ={(x3+x+1)+a0+a1x+a2x2|a0,a1,a2Z5} K为Z5上的线性空间,基为(1,x,x2), [K:Z5]=3。
❖ 因时间关系，14.5整环与分式域不做介 绍
第十五章 域
❖ 方程x2-2=0 ❖ 有理数域内无解 ❖ 扩充到实数域中则有解。 ❖ 域扩张
§1 扩域
❖ 一、扩域
❖ 1. 扩域
❖ 定义15.1：当[F;+,*]是域,F‘F,F’,F'按F中
的运算也是域时,称[F';+,*]是[F;+, *]的子域; 也称F为F'的扩域;又称F是域F'的一个扩张。
?
L K( 2 )
K( 2 )是包含 2的最小域
❖ 推广到一般情况:当F的扩域L为在F上添加 k≥1 个 元 素 1 , , k 得 到 的 , 我 们 就 把 它 记 为 L=F(1,,k)=F(1)(k-1)(k)。 这 k个 元 素 作扩张的先后次序不影响最终结果。
❖ 二、素域
❖ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ❖ 设p为素数,则Zp是素域. ❖ 域F的特征数 ❖ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或
❖ [Q;+,]是实数域[R;+,]的子域, ❖ R是Q的扩域, ❖ 同理,复数域C 是实数域的扩张, 也是有
C={a+ib|a,bR,i2=-1}, [C:R]=2
❖ 引进线性空间的目的是为了方便表示扩 域中的元素。
❖ 例:Z5[x]是域Z5上的多项式环, K=Z5[x]/(x3+x+1) ={(x3+x+1)+a0+a1x+a2x2|a0,a1,a2Z5} K为Z5上的线性空间,基为(1,x,x2), [K:Z5]=3。
❖ 因时间关系，14.5整环与分式域不做介 绍
第十五章 域
❖ 方程x2-2=0 ❖ 有理数域内无解 ❖ 扩充到实数域中则有解。 ❖ 域扩张
§1 扩域
❖ 一、扩域
❖ 1. 扩域
❖ 定义15.1：当[F;+,*]是域,F‘F,F’,F'按F中
的运算也是域时,称[F';+,*]是[F;+, *]的子域; 也称F为F'的扩域;又称F是域F'的一个扩张。
?
L K( 2 )
K( 2 )是包含 2的最小域
❖ 推广到一般情况:当F的扩域L为在F上添加 k≥1 个 元 素 1 , , k 得 到 的 , 我 们 就 把 它 记 为 L=F(1,,k)=F(1)(k-1)(k)。 这 k个 元 素 作扩张的先后次序不影响最终结果。
❖ 二、素域
❖ 定义15.4：一个没有真子域的域称为素域。 ❖ 设p为素数,则Zp是素域. ❖ 域F的特征数 ❖ 定理14.5:任何整环的特征数或为素数或
❖ [Q;+,]是实数域[R;+,]的子域, ❖ R是Q的扩域, ❖ 同理,复数域C 是实数域的扩张, 也是有
3.5子环、环同态
事实上, xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( 是S 到S的同构映射)
xs ys ( xs ) ( ys ) ( xs ys )( R中 的定义) ( xs ys )( xs ys S ) xs ys
（平凡子环）
例2：一个环R的可以同每一个元交换的元作成 一个子环,叫做环R的中心.
Байду номын сангаас
§3.5 子环、环的同态
二、环的同态及其若干性质
定理1：设R是一个环, R是一个不空集合, R有两个代数运算,一个叫做加法,一个 叫做乘法.若存在一个R到R的满射,使得 R与R对于一对加法以及一对乘法来说都 同态,则R也是一个环.
则规定的法则是 A 的加法和乘法, 且 对于一对加法 和一对乘法来说都是同构映射.
§3.5 子环、环的同态
(1)构造R S ( R S ); 证明： (2)作一个R 到 R 的一一映射;
(3)在R中定义两个代数运算,使得 R R ; (4)证明S是R 的子环.
R
S
§3.5 子环、环的同态
(1)作R S (R S ) {as , bs , cs , } {a, b, c, }.
§3.5 子环、环的同态
(2)规定 ：
RR
xs xs ( xs ), xs S , x x, x R S ,
则 是R到R的一一映射.
R
S
§3.5 子环、环的同态
§3.5 子环、环的同态
定义：设R和R 是两个环,则称R和R同态 （同构）,若满足
(1)存在满射(一一映射) : R R (2)保持运算(保持加法和乘法运算） ( x y ) ( x ) ( y )(x, y R );
近世代数课件 第11节 子环与理想
11/27
近世 代数
理想子环的实例
前面的例1已经证明：对任意给定的自然数n, nZ={nz|z∈Z}
是整数环Z的子环。 于是有： 2Z ={2z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环. 3Z ={3z|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
…… nZ={nz|z∈Z}是Z的子环，还是Z的理想子环.
22/27
近世 代数
极大理想
由(交换)环得到域的方法之一：利用极大理想的方法
定义1 环R的理想H称为R的极大理想，如果H是R的真 理想，且R不存在真理想N使得H N.
定义1’ 环R的一个不等于R的理想H称为R的极大理 想，如果除了R同H自己以外，没有包含H的理想.
定义1” 环R的真理想H称为R的极大理想，如果N是R
4/27
近世 代数
子环的判定
定理1 (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a–b∈S； (2) a, b∈S, ab∈S.
定理1’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。 S是R的子环的充要条件是
(1) a, b∈S, a+b∈S； (2) a∈S, -a∈S; (3) a, b∈S, ab∈S.
的特征数，简称为特征，记为ChR.
定理2 若无零因子环R的特征数为正整数p，则p为素
数.
推论2 整环、体和域的特征数或是无穷大，或是
一个素数.
问题：若 p不为素数，则Zp肯定不是域.
2/27
近世 代数
第11节 子环与理想
主要内容:
子环 理想(子环) 环的同态基本定理 极大理想
3/27
近世 代数
定理1’’ (子环判定定理) 设R是环，S是R的非空子集。
近世代数课件-3-3_环的同态与同构
2020/4/27
18:19
一、环同态与同构的定义
注：
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
一、环同态与同构的定义
2020/4/27
二、同态的性质
近世代数
第三章 环
环是具有两种代数运算的代数系，它也是 近世代数的一个重要分支。
本章介绍环的一些初步理论。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
对环进行比较，采用的主要工具是环同态和环同构，从 而可揭示出两个貌似不同的环之间的某些共同性质，这是 在环的研究中具有重要意义的基本观念和基本方法，同时 也是实践性很强的一种基本要求。
本节教学目的与要求： 了解环同态和同构的代数现象；了解环同态和同构的
代数传递性质和一些不能传递的代数性质；熟悉一些常用 的彼此同态和同构的实例。
领会代数性质的传递是重点，掌握其中的定理证明方 法是难点。
2020/4/27
§3.3 环的同态与同构
一.环同态与同构的定义 二.环同态的性质 三.同态象和同态核的定义
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
作业：P83第1,4题
2020/4/27
2020/4/27
说明如下：
二、同态的性质
2020/4/27
二、同态的性质
注
2020/4/27
二、同态的性质
2020/4/27
三、同态像与同态核
2020/4/27
三、同态像与同态核
近世代数课件(全)--3-3循环环剩余类环
若
[] a [ 0 ] , [] b [ 0 ] , m| a, m| b, 即
m 不是素数，则 m ab,
m
但 [] ab [] [ a b ] [ 0 ] , Z
为有零因子环.
2019/2/25
定理3
Z
m
为域
m
为素数.
（有限无零因子环是除环）
2019/2/25
练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部 子环及子环特征、单位群.
(3) 全部子环:
( [ 0 ] ) , ( [1 ] ) , ( [ 2 ] ) , ( [ 3 ] ) , ( [ 4 ] ) , ( [ 6 ] )
h a r ( ( [ 2 ] ) ) 6 , c h a r ( ( [ 0 ] ) ) 1 ,c h a r ( ( [ 1 ] ) ) 1 2 ,c c h a r ( ( [ 3 ] ) ) 4 ,c h a r ( ( [ 4 ] ) ) 3 ,c h a r ( ( [ 6 ] ) ) 2 .
ma ] [] [ m a ] [ 0 ] ,但 [m1 ] [0] ,所以 [ 1 1 ,于是 [ a ] 是零因子.
2019/2/25
(2)若
[] ab [] [ a b ] [ 1 ] . 于是, m | ab 1,即 cZ b ( cm ) 1 ,也就是 a b 1 c m ,使得 a ) 1. ，所以 (a, m
2019/2/25
规定关于剩余类的加法与乘法构成为大于1的正整数则有剩余类环的性质剩余类环的性质的零因子则存在使得所以矛盾
近世代数
第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环
2019/2/25
一、循环环 定义1 若环 R 关于加法是循环群，称 R 为循环环. 例1 整数环是循环环. , ) (a ) ，则 定理1 若 (R （1）当 | a | 时，
[] a [ 0 ] , [] b [ 0 ] , m| a, m| b, 即
m 不是素数，则 m ab,
m
但 [] ab [] [ a b ] [ 0 ] , Z
为有零因子环.
2019/2/25
定理3
Z
m
为域
m
为素数.
（有限无零因子环是除环）
2019/2/25
练习： 求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部 子环及子环特征、单位群.
(3) 全部子环:
( [ 0 ] ) , ( [1 ] ) , ( [ 2 ] ) , ( [ 3 ] ) , ( [ 4 ] ) , ( [ 6 ] )
h a r ( ( [ 2 ] ) ) 6 , c h a r ( ( [ 0 ] ) ) 1 ,c h a r ( ( [ 1 ] ) ) 1 2 ,c c h a r ( ( [ 3 ] ) ) 4 ,c h a r ( ( [ 4 ] ) ) 3 ,c h a r ( ( [ 6 ] ) ) 2 .
ma ] [] [ m a ] [ 0 ] ,但 [m1 ] [0] ,所以 [ 1 1 ,于是 [ a ] 是零因子.
2019/2/25
(2)若
[] ab [] [ a b ] [ 1 ] . 于是, m | ab 1,即 cZ b ( cm ) 1 ,也就是 a b 1 c m ,使得 a ) 1. ，所以 (a, m
2019/2/25
规定关于剩余类的加法与乘法构成为大于1的正整数则有剩余类环的性质剩余类环的性质的零因子则存在使得所以矛盾
近世代数
第三章 环与域 §3 循环环、剩余类环
2019/2/25
一、循环环 定义1 若环 R 关于加法是循环群，称 R 为循环环. 例1 整数环是循环环. , ) (a ) ，则 定理1 若 (R （1）当 | a | 时，
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
4：环同态
§6.7 环 同 态 6.7.1 理想
定义6.7.1 设R是一个环，R的一个子集N说是R的 一个理想子环，简称理想，如果 （1） N非空； （2） 若a∈N，b∈N，则a-b∈N; （3） 若a∈N,х∈R,则aх∈N,хa∈N。
从定义即可看出，理想一定是子环，但子环未必 是理想。
例6.7.1 设I为整数环I,mI是I的子环，且是I的 理想。因为 mI非空；若a∈mI，b∈mI，
2021/4/8
6
如果R是有壹的交换环，而N是主理想，N=（c）， 则a和b模N合同也可以说是模c合同，记为 a≡b（mod c）。
例6.7.3 设R为整数环I，N=（m）=mI， 则a≡b（mod N）,
即a-b∈mI或m∣a-b，或a≡b（mod m）。
和在整数合同中讨论的一样，我们有
2021/4/8
a∈N,r∈R,N是理想知,ar∈N,即x∈N。
所以（a）N。
2021/4/8
5
6.7.2 环 中 合 同 关 系
定义6.7.3 设R是一个环，N是一理想。对于a， b∈R，如果a-b=n∈N，或a=b+n，n∈N，
则称a和b模N合同，记为a≡b （mod N）。
这不过是加法群R中模加法子群N的合同关系。所 以可将R分为N的陪集，N的一个陪集叫N的一个剩 余类。若a是R的任意元素，则包含a的剩余类可 以写成a+N的形式，a和b在同一剩余类，当且仅 当a和b模N合同 。
2021/4/8
9
6.7.3 环 同 态 与 同 构 由于环是有加、乘两种运算的代数系统，因此定
义同态映射时必须同时保持加、乘的同态性。
定义6.7.4 设R是一个环，S是有加法和乘法两种 运算的系统，称R到S中的一个映射σ是环R到S中 的一个同态映射，如果
定义6.7.1 设R是一个环，R的一个子集N说是R的 一个理想子环，简称理想，如果 （1） N非空； （2） 若a∈N，b∈N，则a-b∈N; （3） 若a∈N,х∈R,则aх∈N,хa∈N。
从定义即可看出，理想一定是子环，但子环未必 是理想。
例6.7.1 设I为整数环I,mI是I的子环，且是I的 理想。因为 mI非空；若a∈mI，b∈mI，
2021/4/8
6
如果R是有壹的交换环，而N是主理想，N=（c）， 则a和b模N合同也可以说是模c合同，记为 a≡b（mod c）。
例6.7.3 设R为整数环I，N=（m）=mI， 则a≡b（mod N）,
即a-b∈mI或m∣a-b，或a≡b（mod m）。
和在整数合同中讨论的一样，我们有
2021/4/8
a∈N,r∈R,N是理想知,ar∈N,即x∈N。
所以（a）N。
2021/4/8
5
6.7.2 环 中 合 同 关 系
定义6.7.3 设R是一个环，N是一理想。对于a， b∈R，如果a-b=n∈N，或a=b+n，n∈N，
则称a和b模N合同，记为a≡b （mod N）。
这不过是加法群R中模加法子群N的合同关系。所 以可将R分为N的陪集，N的一个陪集叫N的一个剩 余类。若a是R的任意元素，则包含a的剩余类可 以写成a+N的形式，a和b在同一剩余类，当且仅 当a和b模N合同 。
2021/4/8
9
6.7.3 环 同 态 与 同 构 由于环是有加、乘两种运算的代数系统，因此定
义同态映射时必须同时保持加、乘的同态性。
定义6.7.4 设R是一个环，S是有加法和乘法两种 运算的系统，称R到S中的一个映射σ是环R到S中 的一个同态映射，如果
4：环同态PPT课件
.
11
设σ是R到R′上的同态映射，R′的零0′的逆映象 σ-1(0′)叫σ的核。
定理6.7.3同态映射σ的核N是R的一个理想.设a′ 是R′的任意元素,则a′的逆映象
σ-1(a′)={a∈R∣σ(a)=a′}是N的一个剩余类。
证明： 因为σ是R的加法群到R′的加法群上面的 一个同态映射,所以σ的核N=σ-1(0′)是R的一 个子群,且a′的逆映象σ-1（a′）是模N的一个 剩余类。现在再证N做成理想，即证：若 a∈N,х∈R,则aх∈N,χa∈N, 事实上σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故aχ∈N,同样可证χa∈N。
.
23
事实上，根据定理6.7.8和定理6.7.9，R∕N是一 个域，必要而且只要R∕N是一个有壹的交换的单 纯环，又根据定理6.7.7，对于有壹的环R∕N（ 环R∕N有壹,则R∕N中至少有两个元素,因之N<R ）,其为单纯环,必要而且只要N是R的一个极大理 想.
规定σ（a）= a+N，则σ是R到R∕N上的一个同态 映射，其核为N。
R∕N叫做R对于N的剩余环，前面定理6.7.1中 （4），（5）所说的加法和乘法的同态性，其实是
说剩余环R∕N中的加法和乘法运算可由剩余类中 的任意元素来确定，剩余类的运算与其中元素的 特殊选择无关。剩余环R∕N有了这加法和乘法两 种运算，就与环R同态。
证明：取F的任意理想N≠（0），则有a∈N,a≠0, 于是有a-1∈F。因为N是F的理想,故aa-1∈N，
即1∈N，因此，对于任意的χ∈F，有χ=1χ∈N， 即FN。但自然NF，所以N=F。总之，F为单纯 环。
定理6.7.10 设R是有壹的交换环，N是R的理想。 于是，R∕N是一个域，必要而且只要N是一个极 大理想。
近世代数课件--3.1. 加群、环的定义
1.1 加群及符号的转换
定义 一个交换群叫做一个加群，假如我们把这 个群的代数运算叫做加法，并且用符号+来表示。
Байду номын сангаас
一个加群的唯一的单位元我们用0表示，并且把它 叫做零元。我们有以下计算规则：
（1）
0＋a=a＋0= a (a是任意元)
元a的唯一的逆元我们用来表示-a，并且把它叫做 的负元（简称负),a+(－b)记为a－b.
§1. 加群、环的定义
内容提要: 1.1 加群及符号的转换 1.2 环的定义及基本性质 1.3 一批例子
重点: 加群的符号转换引起的运算律的不同表达. 理解和熟记环的定义. 使用定义验证.
1.1 加群及符号的转换
在环的定义里要用到加群这个概念。我们先把 这个概念说明一下。抽象群的代数运算到现在为 止我们都用乘法的符号来表示。但我们知道，一 个代数运算用什么符号来表示是没有关系的。一 个交换群的代数运算，在某种场合之下，用加法 的符号来表示为方便。
(10)
(a)(b) ab
1.2 环的定义及基本性质
(11) (12) 即:
a(b1 b2 L bn ) ab1 ab2 L abn
(b1 b2 L bn )a b1a b2a L bna
(a1 L am )(b1 L bm )
a1b1 L a1bm L amb1 L ambm
m
n
mn
( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
1.2 环的定义及基本性质
(13) (na)b a(nb) n(ab)
这里:n是任何整数
规定:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1） 环同态与群同态的区别所在。
-
（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。
（3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。
（4） 环同构的应用——挖补定理。
-
本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“S 视为R的子环”的不同意义。
为同态 的核.
-
例 3 一些常见的同态.
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
-
例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
-
他们同态吗？
-
定一 义
环 同 态
-
定义 1 设 是环 R,,• 到环 R ,,• 的映射.如果 a,b R. 满足:
a b a m b, a b a b
则称 是一个环同态映射.
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同
态满射(环同态单射,环同构).
特别 是环同态满射时,则称R 与 R 同态,记
同态.
-
定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
④ 若R可交换，则R 也可交换.
-
证明
① a R, 因 是满射，所以a R使 a a.于是
-
证明 任取a1, a2 A.定义:
a1 a2 xy，a1 ma2 x y, 其中 x a1, y a2 所以 x y a1 ma2 x m y
xy a1 a2 x y
又已知 是双射，由a1, a2的任意性，得 R A.. 因R为环,所以 A也是环 .故 为同构映射.
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
-
上课啦！
The class is begin!-
-
第 19 讲
第 三 章 环与域
§4 环的同态与同构
-
本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，
环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。
则 a b a b a b b a b a b a
因此 ab ba ，故R 是交换环.
-
说明
（1） 设 为环R到R '的同态, 则 (an ) ((a))n.
证明 由群同态的定义知,
(an) (aL a) (a)L (a) ((a))n.
（2） 设 为环R到R '的同态, 称集合 ker() {a R (a) 0}
-
例1
设
R1
a 0
b c
a,b,c Z
,
R2
a 00 ຫໍສະໝຸດ a,cZ
,
则 R1, R2关于矩阵的加法和乘法都构成环.令
a b a 0
R1 R2
: 0
c 0
c
易证 是由R1到R2的一个满同态，从而R1 ~ R2.
例2 若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.
: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
定理 3.4.3 若R和 R 都是环,且R R,那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域)当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣 的事实.
-
引理 设R,,是一个环,而 : R A是一个双
射,其中 A仅是一个集合.那么,可以给集合 A定义加
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
-
由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
中: n n.
在例 3 中，显然Z 是整环. 所以Z 中没有零
因子,但在 Z6中,2 和 3、4 都是零因子.即 2 显然不是Z 中的零因子,但 2 2却是Z6 中的零
因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
-
例 5 设R (a,b) a,b Z .在R中定义运算
a 1 , b 1 a 2 , b 2 a 1 a 2 , b 1 b 2 . a 1 ,b 1 a 2 ,b 2 a 1 a 2 ,b 1 b 2 .
-
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R,,• 和 R,m, • 都
是代数体系,如果 是 R 到 R 的满射且有 a,b R,.
a b a m b, a • b a • b，
则当 R,,• 是环时, R,m, • 也必是环.
O R a O R a O R a O R
因此 OR 是R中的零元.
② a R,a R 使 a a.
而 1 R a 1 R a a a ,
同理,
a 1 R a 1 R 1 R .
-
③
a
a
a
a
OR
O R
,
同理
,
a
a
O R
,
所以 aa.
④ a,b R, a,b R 使 a a,b b.
为 R～R.
-
说明： • 环同态是环之间保持运算的映射. • 如果 为单映射, 则称 为单同态.
• 如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作, : R : R ', 并称R与 R '同态.
• 如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同
构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.
-
（2） 扩环与子环之间在单位元变换性，零 因子和环的特殊性方面都具有“转变”的特点， 这是与群截然不同的地方。
（3）环同态映射（既使是环同态满射）也 有一些性质不能传递过去。
（4） 环同构的应用——挖补定理。
-
本讲的难点和重点： 本讲涉及的内容较多，变化性较大，有一些困难之处。 （1） 环与子环之间的性质“变异”问题。 （2）环同态的保性质问题。 （3）挖补定理中“S 视为R的子环”的不同意义。
为同态 的核.
-
例 3 一些常见的同态.
(1) 零同态: : R R', (a) 0, ker() R.
(2) 自然同态: 设I 是环R的理想,
:RR
aa
自然同态为满同态, 且ker() I.
(3) 恒等同构: : R R
aa
ker( ) {0}.
-
例 4 设 : Z Z6 是 环 同 态 满 射 , 其
-
他们同态吗？
-
定一 义
环 同 态
-
定义 1 设 是环 R,,• 到环 R ,,• 的映射.如果 a,b R. 满足:
a b a m b, a b a b
则称 是一个环同态映射.
如果 是满射(单射、双射),则称 为环同
态满射(环同态单射,环同构).
特别 是环同态满射时,则称R 与 R 同态,记
同态.
-
定理 3.4.2 设 R ~ R 是环同态满射,那么
① 若OR 是 R 中的零元，则 OR 必是 R
的零元.
即
OR
O R
.
② 若 1R是 R的单位元，则 1R 必是R 的
单位元.
即
1R
1 R
.
③ 负元的象必是象的负元,即 a a.
④ 若R可交换，则R 也可交换.
-
证明
① a R, 因 是满射，所以a R使 a a.于是
-
证明 任取a1, a2 A.定义:
a1 a2 xy，a1 ma2 x y, 其中 x a1, y a2 所以 x y a1 ma2 x m y
xy a1 a2 x y
又已知 是双射，由a1, a2的任意性，得 R A.. 因R为环,所以 A也是环 .故 为同构映射.
In our classes, all the mobile phones should be switched off !
-
上课啦！
The class is begin!-
-
第 19 讲
第 三 章 环与域
§4 环的同态与同构
-
本讲的教学目的和要求： 本讲的内容出发点都是跟循群认的思略，
环——子环的定义——子环的实例——环同 态（尤其是环同态满射）——同态映射（满 射）所能传递的代数性质和不能传递的代数 性质。本讲中，要求能弄略和领会。
则 a b a b a b b a b a b a
因此 ab ba ，故R 是交换环.
-
说明
（1） 设 为环R到R '的同态, 则 (an ) ((a))n.
证明 由群同态的定义知,
(an) (aL a) (a)L (a) ((a))n.
（2） 设 为环R到R '的同态, 称集合 ker() {a R (a) 0}
-
例1
设
R1
a 0
b c
a,b,c Z
,
R2
a 00 ຫໍສະໝຸດ a,cZ
,
则 R1, R2关于矩阵的加法和乘法都构成环.令
a b a 0
R1 R2
: 0
c 0
c
易证 是由R1到R2的一个满同态，从而R1 ~ R2.
例2 若R是一个环，S为R的一个子环，则S到R的映射.
: s s(s S ) 是由环S到环R的一个单
定理 3.4.3 若R和 R 都是环,且R R,那么
不仅能传递所有的代数性质,而且 R 是整环(除环, 域)当且仅当 R 是整环(除环,域).
利用环同构的性质,可以得到下面一个有趣 的事实.
-
引理 设R,,是一个环,而 : R A是一个双
射,其中 A仅是一个集合.那么,可以给集合 A定义加
法和乘法,使得 成为R到 A的同构映射(即环同构).
可以验证: R 是一个环.现作一个对应:
: R Z ,其中, a,b a .则 是一个环同态满 射.由于0,0是 R 中的零元,当 a 0 且 b 0 时. 有 a,00,b 0,0 R 中有 零因子.但显然 Z 中
没有零因子.这表明:零因子的象可能不是零因子.
-
由上可知,环同态满射不能保证传递全部的 代数性质，但我们有
中: n n.
在例 3 中，显然Z 是整环. 所以Z 中没有零
因子,但在 Z6中,2 和 3、4 都是零因子.即 2 显然不是Z 中的零因子,但 2 2却是Z6 中的零
因子.这告诉我们:非零因子的象可能会是零因子.
-
例 5 设R (a,b) a,b Z .在R中定义运算
a 1 , b 1 a 2 , b 2 a 1 a 2 , b 1 b 2 . a 1 ,b 1 a 2 ,b 2 a 1 a 2 ,b 1 b 2 .
-
二、环同态的性质
由上定义可知,一个环同态映射就是分别对 环的加法和乘法都满足“保运算”的性质.利用这 一点,可以自然地得到:
定理 3.4.1 设 R,,• 和 R,m, • 都
是代数体系,如果 是 R 到 R 的满射且有 a,b R,.
a b a m b, a • b a • b，
则当 R,,• 是环时, R,m, • 也必是环.
O R a O R a O R a O R
因此 OR 是R中的零元.
② a R,a R 使 a a.
而 1 R a 1 R a a a ,
同理,
a 1 R a 1 R 1 R .
-
③
a
a
a
a
OR
O R
,
同理
,
a
a
O R
,
所以 aa.
④ a,b R, a,b R 使 a a,b b.
为 R～R.
-
说明： • 环同态是环之间保持运算的映射. • 如果 为单映射, 则称 为单同态.
• 如果 为满映射, 则称 为满同态, 记作, : R : R ', 并称R与 R '同态.
• 如果 既是单映射又是满映射, 则称 为同
构. 同构是环之间的一个等价关系, 且同构 的环之间有完全相同的代数性质.