高中各地名校期中期末试题及答案 (1)
湖南省名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷含答案
高二数学专版（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题后，用铅笔把答题卡对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号.回答非选择题时，将写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(13i)(i)()z a a =-+∈R 为纯虚数，则a =（）A.3B.3- C.13D.13-【答案】B 【解析】【分析】利用复数乘法求出z ，再利用纯虚数的意义求解即得.【详解】依题意，(3)(13)i z a a =++-，由z 是纯虚数，得30130a a +=⎧⎨-≠⎩，所以3a =-.故选：B2.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()()1,1,1,2,1,0A B -，若点P 与点A 关于Oyz 平面对称，则BP =（）A.()3,2,1- B.()1,0,1- C.()1,0,1-- D.()3,2,1--【答案】A 【解析】【分析】根据空间坐标系的定义得对称点P 的坐标，再求得向量坐标．【详解】由点P 与点A 关于Oyz 平面对称，可得()1,1,1P -，所以()3,2,1BP =-.故选：A ．3.若过点()1,1-的直线l 的倾斜角为α，且cos 5α=，则l 的方程为（）A.230x y -+=B.230x y --=C .230x y -+= D.230x y --=【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数恒等式，可求得tan α的值，即为直线l 的斜率，再由点斜式方程得到答案.【详解】由[)0,πα∈及cos 5α=，可得sin 5α==，所以l 的斜率tan 2k α==，所以由点斜式方程得l 的方程为:()121y x -=+，即230x y -+=.故选：C.4.函数()()22log 23f x x x =--的单调递减区间为（）A.()1,+∞B.()3,+∞ C.(),1-∞- D.(),1∞-【答案】C 【解析】【分析】求出函数()y f x =的定义域，利用复合函数的单调性可求得原函数的单调递减区间.【详解】对于函数()()22log 23f x x x =--，2230x x -->，解得1x <-或3x >.所以，函数()()22log 23f x x x =--的定义域为()(),13,-∞-+∞ ，内层函数223u x x =--在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()3,+∞上单调递增，外层函数2log y u =为增函数，由复合函数的单调性可知，函数()()22log 23f x x x =--的单调递减区间为(),1-∞-.故选：C.【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题.5.6万多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中国科学院紫金山天文台发现的第8颗彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可观测到.已知某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距太阳最近的点）距太阳中心0.6天文单位，远日点（距太阳最远的点）距太阳中心35天文单位，且近日点､远日点及太阳中心在同一条直线上，则该椭圆的离心率约是（）A.0.017B.0.25C.0.86D.0.97【答案】D 【解析】【分析】根据给定的信息，结合椭圆的概念特征，离心率公式列式计算即得.【详解】解析设该椭圆的半焦距为>0，长半轴长为()0a a >，根据题意有0.6,35a c a c -=+=，可得235.6a =，234.4c =，所以离心率234.40.97235.6c e a ==≈.故选：D.6.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的一个焦点到其渐近线的距离为2a ，则C 的渐近线的斜率为（）A.12±B.5±C.2±D.【答案】A 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式可得双曲线C 的上焦点()0,c 到其渐近线0ax by -=的距离为b ，则2a b =，再结合双曲线的渐近线方程即可得答案.【详解】设C 的半焦距为()0c c >，则222c a b =+，根据对称性，可知C 的上焦点()0,c 到其渐近线0ax by -=b =，所以2a b =，所以C 的渐近线的斜率为12a b ±=±.故选：A.7.已知直线2y x =-+与抛物线2:4C y x =相交于,A B 两点，点D 在y 轴上，且DA DB ⊥，则点D 到坐标原点的距离为（）A.4B.2C.2+D.2【答案】D 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线方程代入抛物线方程（消去x ）可得1212,y y y y +，把0DA DB ⋅=用坐标表示后可求得b ，从而得结论．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，将2y x =-+与24y x =联立，得2480y y +-=，所以12124,8y y y y +=-=-.设()0,D b ，因为DA DB ⊥，所以()()()2222121212121248416y y DA DB x x y b y b y y b y y b b b ⋅=+--=+-++=-++= 0，解得2b =-±，故点D 到坐标原点的距离为2b =±.故选：D ．8.已知正四面体A BCD -的棱长为3，点E 在棱AD 上，且1DE =，若点,,,A B C E 都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（）A.3π2B.2πC.9πD.12π【答案】D 【解析】【分析】取BC 的中点F ，连接,DF AF ，在线段AF 上取点G ，使得2AG GF =，连接,,GB GC GE ，点G 为等边ABC V 的中心，同时可得点G 即为球心O ，进而可求表面积.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接,DF AF ，在线段AF 上取点G ，使得2AG GF =，连接,,GB GC GE .在ADF △中，3,2AD AF DF ===.易知点G 为等边ABC V 的中心，所以23GA GB GC AF ====.易知GE ∥DF ，所以23GE DF ==.所以GA GB GC GE ===，点G 即为球心O ，球O表面积为212πS ==.故选：D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:120l kx k y ++-=和圆22:8O x y +=，则（）A.直线l 过定点()2,1-B.直线l 与圆O 有两个交点C.存在直线l 与直线0:220l x y -+=垂直D.直线l 被圆O 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】利用直线方程求定点可判断选项A ；利用直线恒过定点在圆内可判断选项B ；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项C ；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A ，由210kx y k -++=可得，(2)10k x y +-+=，令20x +=，即2x =-，此时1y =，所以直线l 恒过定点()2,1-，A 正确；对B ，因为定点()2,1-=<，所以定点()2,1-在圆内，所以直线l 与圆O 相交，B 正确；对C ，因为直线0:220l x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为2-，即2k =-，此时直线l 与直线0l 垂直，满足题意，C 正确；对D ，因为直线l 恒过定点(2,1)A -，圆心到直线l 的最大距离为||OA =此时直线l 被圆O 截得的弦长最短为=，D 错误；故选：ABC.10.如图，在直三棱柱ABC DEF -中，4,2,,AC BC AB AD M N ====分别为棱,AC EF 的中点，则（） BM⊥B.MN ∥平面ABED C.MN =D.点E 到平面BMN 的距离为5【答案】BC 【解析】【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用向量法表示出线段的方向向量和平面的法向量，根据向量的数量积判断线线垂直、线面平行，再利用向量方法计算点到平面的距离，依次判断选项正误.【详解】如图所示，设O 是棱AB 的中点，连接OC ，因为4AC BC AB ===，所以OC AB ⊥且OC =，以O 为原点，直线OC ，OB 分别为,x y 轴，过O 作AD 的平行线为z 轴建立空间直角坐标系，则()()0,2,0,,(0,2,0)B C A --，()()()()0,2,2,2,1,0,2,E F M N --所以())))0,2,2,,2,MN MB CN NE ==== ，(0,4,0),(0,0,2)AB BE ==，对于选项A，因为310260MB CN ⋅=+⨯+⨯=≠，所以CN 与BM 不垂直，故A 错误；对于选项B ，设平面ABED 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AB m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4020y z =⎧⎨=⎩，所以取(1,0,0)m = ，因为1002020,m MN MN ⋅=⨯+⨯+⨯=⊄平面ABED ，所以MN ∥平面ABED ，故B 正确；对于选项C，MN =C 正确；对于选项D ，设平面BMN 的法向量为 =s s ，则30220n MB y n MN y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()1n =- ，所以点E 到平面BMN的距离为5NE nn ⋅==，故D 错误.故选：BC.11.已知椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左、右焦点分别为12F F ，，上顶点为(B，离心率为2M N ，为C 上关于原点对称的两点（与C 的顶点不重合），则（）A.C 的方程为22142x y +=B.111452MF NF +≥C.2MNF 的面积随周长变大而变大D.直线BM 和BN 的斜率乘积为定值12-【答案】AD【解析】【分析】对于A ，由椭圆的离心率求解；于B ，由椭圆的对称性知：12||||NF MF =，从而11121414||||||||MF NF MF MF +=+，借助基本不等式可得1114||||MF NF +的最小值；对于C ，表示出周长和面积分析可得;对D:设1(M x ,1)y ，则1(N x -,1)y -，，由点1(M x ，1)y 在椭圆上，即可化得BM BN k k ⋅的值.【详解】由题易知222,22c b c a a ==+=，解得2c a ==，故椭圆方程为：22142x y +=，故A正确；连接1212,,,MF MF NF NF ，由椭圆对称性知12MF NF 为平行四边形，111224MF NF MF MF a +=+==11121414||||||||MF NF MF MF +=+1212114()(||||)4||||MF MF MF MF =++2112||4||1(14)4||||MF MF MF MF =+++519444≥+⨯=当且仅当14||3=MF ，28||3=MF 时等号成立，故B 错误；对选项C:由选项B 可知：22114MF NF MF NF +=+=，设1(M x ,1)y，则OM ===2MNF的面积为2111222OMF S y =⨯= ’由对称性，不妨设M 在第一象限及,x y 正半轴上,故OM 随1y 的增大而减小，2MNF 的面积为22OMF S 随1y 的增大而增大，即2MNF 的面积随周长变大而变小，C 错误；对选项D ：设1(M x ,1)y ，则1(N x -,1)y -，又B，所以211121112BM BNy y y K K x x x --⋅=⋅=-， 点1(M x ，1)y 在椭圆上，结合选项C,221142x y =-，所以2121212BM BN y K K x -⋅==-，故D 正确；故选：AD.【点睛】利用椭圆对称性及定义推导出12MF NF 为平行四边形是本题关键.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，已知3ππ,,46A B b ===，则a =__________.【答案】4【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】因为3ππ,,46A B b ===，所以由正弦定理可得sin 241sin 2b Aa B===.故答案为：4.13.曲线2222x y x y +=+的周长为__________.【答案】【解析】【分析】曲线围成的图形关于x 轴，y 轴对称，结合圆的方程运算求解.【详解】当0,0x y ≥≥时，方程2222x y x y +=+可化为22(1)(1)2x y -+-=，的半圆，由对称性可得曲线2222x y x y +=+的半圆，故曲线2222x y x y +=+的周长是4即4π⨯=.故答案为：.14.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 的直线l 交圆222x y a +=于A ，B 两点，交C 的右支于点Q ，若FA AB BQ ==，则C 的离心率为__________.【答案】5【解析】【分析】作出辅助线，结合题目条件得到方程组，求出2188,55a aQF QF ==，结合双曲线定义得到方程，求出离心率.【详解】设C 的半焦距为>0，如图，设O 为坐标原点，AB 的中点为,M C 的右焦点为2F ，连接2,QF OM ，AO .因为FA AB BQ ==，所以M 也是FQ 的中点.设()20FA AB BQ m m ===>，由双曲线的定义得22QF QF a -=，所以262,3QF m a OM m a =-=-，在Rt AOM △中，由222(3)a m a m =-+，得35a m =，所以2188,55a aQF QF ==，在2Rt QFF 中，由222188455a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得975c a =.故答案为：5.【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：（1）直接法：直接求出,a c ，求解e ；（2）变用公式，整体求出e ；（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出,,a b c 的关系；（4）构造,a c 的齐次式，解出e .四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()23π2sin cos 12f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）若()f x 在区间π,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π5ππ,π,36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）5π7π,66⎡⎤⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递增区间;（2）要使得在π,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-，即在π,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-，可得3ππ13π2266m ≤-≤，从而可得结果.【小问1详解】因为()22sin cos 1f x x x x =+-cos2=-x xπ2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以()f x 的单调递减区间为π5ππ,π,36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【小问2详解】当π,2x m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,2666x m ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()f x 在区间π,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1-，令()1f x =，得π1sin 262x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，有5π113π1sin ,sin 6262==，令()2f x =-，得πsin 216x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，有3πsin 12=-.所以3ππ13π2266m ≤-≤，得5π7π66m ≤≤，即m 的取值范围是5π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥．（1）证明：⊥BC 平面PCD ；（2）若4PA =，E 为棱PC 的中点，求直线PC 与平面ABE 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）7【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质可得PD ⊥平面ABCD ，进而可得PD BC ⊥，CD BC ⊥，结合线面垂直的性质定理分析证明；（2）建系标点，求平面ABE 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PD AD ⊥，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PD ⊂平面PAD ，可得PD ⊥平面ABCD ，由⊂BC 平面ABCD ，则PD BC ⊥，因为ABCD 为正方形，则CD BC ⊥，且PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以⊥BC 平面PCD .【小问2详解】由（1）可知：PD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形，以D 为坐标原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意可得：()()()((2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,,0,1,A B C P E ，则(()(,0,2,0,0,2,AE AB CP =-==- ，设平面ABE 的法向量为(),,n x y z =，则2020n AE x y n AB y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令x =0,2y z ==，可得)2n = ，且cos ,7n CP n CP n CP⋅==⋅ ，所以直线PC 与平面ABE所成角的正弦值为7.17.已知抛物线C ：()220y px p =>与椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>的一个交点为(1,2)A ，且E 的离心率22e =.（1）求抛物线C 和椭圆E 的方程；（2）过点A 作两条互相垂直的直线AP ，AQ ，与C 的另一交点分别为P ，Q ，求证：直线PQ 过定点.【答案】（1）24y x =，22163y x +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点(1,2)A 坐标代入抛物线方程可求出p ，从而可求出抛物线的方程，再将点(1,2)A 的坐标代入椭圆方程，结合2e =和222a b c =+，从而可求出椭圆方程；（2）设直线PQ 为x my t =+，1122)(,),(,P x y Q x y ，将直线方程代入抛物线方程，化简利用根与系数的关系，表示出AP k ，AQ k ，由AP AQ ⊥，得1AP AQ k k ⋅=-，化简后可得25t m =+，代入x my t =+可求得直线过的定点.【小问1详解】因为点(1,2)A 在抛物线C ：2=2B >0上，所以24p =，得2p =，所以抛物线方程为24y x =，因为点(1,2)A 在椭圆E ：()222210y x a b a b +=>>上，离心率22e =，所以2222241122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆方程为22163y x +=【小问2详解】由题意可知直线PQ 的斜率不为零，所以设直线PQ 为x my t =+，1122)(,),(,P x y Q x y ，由24y x x my t⎧=⎨=+⎩，得2440y my t --=，由216160m t ∆=+>，得20m t +>，则12124,4y y m y y t +==-，由题意可知直线AP ，AQ 的斜率均存在且不为零，所以111221111224(2)414214AP y y y k y x y y ---====--+-，222222222224(2)414214AQ y y y k y x y y ---====--+-，因为AP AQ ⊥，所以1244122AP AQ k k y y ⋅=⋅=-++，所以12(2)(2)16y y ++=-，则12122()200y y y y +++=，所以48200t m -++=，得25t m =+，所以直线PQ 为25x my m =++，所以(5)(2)x m y -=+，所以直线PQ 恒过定点(5,2)-【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，第（2）问解题的关键是设出直线PQ 的方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，再结合1AP AQ k k ⋅=-化简求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题.18.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为1212,,4F F F F =，短轴长为2.（1）求E 的方程.（2）若P 为E 上一点，求12PF PF ⋅ 的取值范围.（3）判断E 上是否存在不同的三点,,A B C ，使得线段OB （O 为坐标原点）的中点与AC 的中点重合于直线1x =上一点D .若存在，求出直线AC 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2215x y +=（2）[]3,1-（3）42550x +-=或42550x --=.【解析】【分析】（1）由已知求得,a b 即可得；（2）设s ，得221,555x y x =-≤≤，代入12PF PF ⋅ 后可求得取值范围；（3）设直线AC 的方程为()()()11220,,,,,1,y kx m A x y C x y D y =+，直线方程代入椭圆方程整理后可得1212,x x x x +，求出AC 中点D 的坐标，再求得B 点坐标，代入椭圆方程得,k m 的关系式，结合韦达定理中1212x x +=，可求得,k m 得直线方程．也可设点()()()11220,,,,1,A x y C x y D y ，得()02,2B y ，代入椭圆方程求得0y ，从而得D 点坐标，利用D 是AC 中点（把,A C 坐标代入椭圆方程相减）求得直线斜率后可得直线方程．【小问1详解】因为124F F =，所以224a b -=，因为E 的短轴长为2，所以21,5b a ==，所以E 的方程为2215x y +=.【小问2详解】设s，则22221,1,55x x y y x +==-≤≤易知()()122,0,2,0F F -，所以()()22122,2,4PF PF x y x y x y⋅=---⋅--=-+ 222441355x x x =-+-=-.因为x ≤≤243315x -≤-≤，所以12PF PF ⋅ 的取值范围是[]3,1-.【小问3详解】方法一：由题意得直线AC 的斜率存在，设直线AC 的方程为()()()11220,,,,,1,y kx m A x y C x y D y =+，由22,1,5y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221510550k x kmx m +++-=，所以()()222Δ(10)415550km k m =-+->，即22510k m -+>，21212221055,1515km m x x x x k k-+=-=++.因为AC 的中点为()01,D y ，所以12251215x x km k+=-=+，①()12120122y y k x x m k m y +=++=+=.因为点D 为线段OB 的中点，所以()2,22B k m +，将点B 的坐标代入2215x y +=，得21()20k m +=，与①式联立，解得,55,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或,55,2k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩均满足22510k m -+>，所以直线AC的方程为52y x =-或52y x =-+，即450x --=，或450x +-=.方法二：设点()()()11220,,,,1,A x y C x y D y ，则()02,2B y ，由题意知直线AC 的斜率存在，所以12x x ≠.将B 点坐标代入E 的方程，得204415y +=，解得010y =±，所以1,10D ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.若AC 与OB的中点重合，则12122,5x x y y +=+=±.由点,A C 在E 上，得221122221,51,5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减，得2222121205x x y y -+-=，整理可得()121212125AC y y x x k x x y y -+==--+.当D 点坐标为51,10⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭时，255AC k =-，当D点坐标为1,10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭时，5AC k =，所以直线AC的方程为()1105y x -=--或()1105y x +=-，即450x +-=或450x --=.【点睛】方法点睛：已知椭圆22221x y a b+=的弦中点坐标00(,)x y ，设弦两端点坐标为1122(,),(,)x y x y ，代入椭圆方程有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，12x x ≠时，22012122212120()()b x y y b x x k x x a y y a y -+==-=--+，即为弦所在直线斜率．19.在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()()1122,,,A x y B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及直线l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l .（1）已知点()1,1P 和点()1,4R -，直线:1l x =-，求(),d P R 和(),d P l .（2）已知圆22:230C x y x +--=和圆22325:()24E x a y a ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭.①若两圆心的切比雪夫距离()1,2d C E =，判断圆C 和圆E 的位置关系；②若0a >，圆E 与x 轴交于,M N 两点，其中点M 在圆C 外，且(),3d M N =，过点M 任作一条斜率不为0的直线与圆C 交于,A B 两点，记直线AN 为1l ，直线BN 为2l ，证明：()()12,,d M l d M l =.【答案】（1）3，(),2d P l =.（2）①圆C 与圆E 相切；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据“切比雪夫距离”定义计算；（2）①转化为圆与圆的位置关系判定即可；②运用直线与圆联立，借助韦达定理证明即可.【小问1详解】(){}{},max 11,14max 2,33d P R =+-==.设l 上任意一点为()1,Q y -，则(){}{},max 11,1max 2,1d P Q y y =+-=-.当12y -≥时，(),12d P Q y =-≥；当12y -<时，(),2d P Q =，所以(),d P Q 的最小值为2，故(),2d P l =.【小问2详解】①由题可知圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=，所以圆心为()1,0C ，半径12r =.由圆E 的方程知圆心为3,2E a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径252r =.()3,max 1,2d C E a a ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭.当312a a -≥-，即54a ≥时，由()1,12d C E a =-=，解得32a =，所以3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.此时2112CE r r ==-，所以圆C 与圆E 相切（答“内切”也对）.当312a a -<-，即54a <时，由()31,22d C E a =-=，解得1a =，所以11,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时2112CE r r ==-，所以圆C 与圆E 相切.②因为,M N 都在x 轴上，所以(),3MN d M N ==，所以322a -===，得72a =或12a =-（舍去）.此时圆22725:(2)24E x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，令0y =，解得2x =或5x =，因为点M 在圆C 外，所以()()5,0,2,0M N .由题意设直线AB 的方程为()()5,,,,A A B B x my A x y B x y =+.由225,230,x my x y x =+⎧⎨+--=⎩可得()2218120m y my +++=，当()22Δ644810m m =-+>，即23m >时，有22812,11A B A B m y y y y m m +=-=++.()()223223339A B A B A B A B AN BN A B A B A B A B my y y y y y y y k k x x my my m y y m y y +++=+=+=--+++++，因为()22242423011A B A B m m my y y y m m ++=-=++，所以0AN BN k k +=，所以直线1l 与2l 关于x 轴对称，即关于直线MN 对称，由对称性知()()12,,d M l d M l =.。
云南省2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年上学期高三年级期中考数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，若，则可能是（ ）A.B.1C.2D.32.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A. B.C.D.3.已知，则（ ）A. B. C. D.4.下列命题中，真命题的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.函数的图象大致为（ ）A. B.{ln 1}A xx =<∣a A ∉a 1e,,i a b ∈R i a -2i b +2(i)a b +=54i +54i -34i +34i-11sin cos ,cos sin 23αβαβ+=-=()sin αβ-=5972-59726772-6772a b <11a b>a b >22a ab b >>0a bc <<<log log c c a b <22a b +=244a b+≥()2e e 1x xf x x --=-C. D.6.设是数列的前项和，且，则（ ）A. B. C. D.7.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）8.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A. B.C.D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知为非零实数，则下列说法一定正确的有（ ）A.若成等差数列，则成等差数列B.若成等比数列，则成等比数列C.若成等差数列，则成等比数列D.若成等比数列，则成等比数列10.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，是中点，则下面正确的是（）n S {}n a n ()111,21n n n a S S S +==+511a S =12-23-2-34-2222:1x y C a b+=12,F F 1F C ,A B 1132AF F B =290AF B ∠= ()()32340f x ax x a a =-+≠()f x 0x 00x <a ()(),01,∞∞-⋃+()(),00,1∞-⋃()(),10,∞∞--⋃+()1,∞+,,a b c ,,a b c 222,,a b c ,,a b c 111,,a b c,,a b c 2,2,2a b c 222,,a b c ,,a b c ABC V ,,A B C ,,a b c ,,A B C b D =ACA.周长的最大值为B.C.中线长度的最大值为D.若A 为锐角，则11.若是平面内两条相交成角的数轴，和是轴､轴正方向上的单位向量，若向量，则规定有序数对为向量在坐标系中的坐标，记作，设，则（ ）A.B.C.若，则D.若构成锐角三角形，则三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.向量满足与的夹角为，则__________.13.已知正四棱台上底面边长为2cm ，侧棱和下底面边长都是4cm ，则它的体积为__________.14.已知函数满足下列条件：①为的极值点；②在区间上是单调函数，则的取值范围是__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.（13分）已知数列的前项和为，且，__________.在①；②成等比数列；③三个条件中任选一个补充在横线上，并解答下面问题：（1）求数列的通项公式；（2）若数列的前项和，求证：.ABC V ABC V BD 32(]1,2c ∈,Ox Oy 120 1e2ex y 12OP xe ye =+(),x y OP xOy (),OP x y = ()()()1,1,1,1,1,OA OB OC t ==-=OA =OA OB⊥ BC ∥OA3t =ABC ()2,5t ∈,a b2,1,a b a == b π32a b -= 3cm ()()sin cos 0f x a x b x ωωω=+>π3()y f x =()f x 3π4π,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω{}n a n n S 11n n n S S a +=++31116a a +=2511,,a a a 1177S ={}n a 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 12n T <16.（15分）如图，在四棱锥中，平面，分别是棱的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.17.（15分）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率.18.（17分）已知函数.（1）若函数在处的切线平行于轴，求的值；（2）讨论的单调性；（3）若有两个不同的零点，求的取值范围.19.（17分）我们之前学习了用斜率刻画直线的倾斜程度，那如何刻画曲线的弯曲程度呢？考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点A 处的曲率.（其中分别表示在点A 处的一阶､二阶导数）P ABCD -AD ∥,224,BC PA BC AD AB AD ====⊥PAB ,PA AB E F ⊥､PB PC ､DF ∥ACE ACE PCD xOy ()()12122,0,2,0,2F F MF MF --=M E E 2F l E C D ､223CF F D =CD ()()()221ln f x x a x a x a =-++∈R ()y f x =1x =x a ()f x ()()()21ln g x f x x a x =---12,x x a ():C y f x =AB Δs A AB B A A l B B l ΔθB l A l K sθ∆=∆AB B A Δs K C A()3022lim 1s y K sy θ∆→''∆==∆'+C ,y y '''()y f x =（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.()220x py p =>()3,y ()11212x g x =-+()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭x ∈R ωA ()228f x x =-()(),n n B x f x B x ()()*1,0n x n +∈N14,2,n n n xb x T ==-{}n b n 3n T <2024-2025学年上学期高三年级期中考数学试卷参考答案一､选择题题号12345678910答案D CADCBCABCACD题号11答案BCD二､填空题12.214.三､解答题15.（1）（2）证明见解析【详解】（1）由，得，得，所以数列为等差数列，公差.若选①，因为，所以，得，所以，所以，若选②，因为成等比数列，所以，所以，所以，所以，所以.若选③，因为，所以，所以，（2），所以，又因为，所以.1515300,,747⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦1n a n =+11n n n S S a +=++11n n n S S a +-=+11n n a a +-={}n a 1d =31116a a +=7216a =78a =71168,2a a d a =+==()11211n a a n d n n =+-=+-=+2511,,a a a 25211a a a =()()()2111410a d a d a d +=++()()()21114110a a a +=++12a =()11211n a a n d n n =+-=+-=+111111011772S a ⨯=+=12a =()11211n a a n d n n =+-=+-=+()()111111212n n a a n n n n +==-++++1111111123341222n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭102n -<+111222n T n =-<+16.（1）证明见解析（2【详解】（1）如图所示，连接.因为分别是棱的中点，所以.因为，所以，所以四边形是平行四边形，则.因为平面平面，所以平面.（2）因为平面平面，所以，又因为，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题中数据可得，，设平面的法向量为，则令，得.设平面的一个法向量为，则，令，得.设平面与平面的夹角为，则即平面与平面.EF,E F,PB PC EF∥,2BC BC EF=AD∥,2BC BC AD=EF∥,AD EF AD=ADFE AE∥DFAE⊂,ACE DF⊄ACE DF∥ACEAD⊥,PAB PA AB⊂､PAB,AD PA AD AB⊥⊥PA AB⊥,,AB AP ADA,,AB AP AD,,x y z()()()()()()()0,0,0,2,0,4,1,2,0,0,4,0,0,0,2,2,0,4,1,2,0A C E P D AC AE==()()2,4,4,0,4,2PC PD=-=-ACE(),,n x y z=240,20,n AC x zn AE x y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩2x=()2,1,1n=--PCD(),,m a b c=2440420m PC a b cm PD b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1b=-()2,1,2m=--ACE PCDθcos cos,n mn mn mθ⋅====ACE PAD17.（1）（2【详解】（1）（1）根据题意由可知，动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线，即，所以，所以可得的方程为.（2）由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立，故直线的斜率存在，且不为0，设，联立，则，且即，，22142x y +=121224MF MF F F -=<=M ()()122,0,2,0F F -22a =2,1c a ==22221,3a b c a ==-=E 2213y x -=()22,0F l l 223CF F D =l ()()()1122:20,,,,l x my m C x y D x y =+≠()2222231129013x my m y my y x =+⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩2Δ36360m =+>2310m -≠213m ≠121222129,3131m y y y y m m +=-⋅=--又，所以，所以，所以由得，解得，故，故直线或18.（1）（2）答案见解析（3）【详解】（1），故，则.（2），当时，令，解得或，令，解得，故此时在单调递增，在的单调递减，当时，在上恒成立，故此时在单调递增，当时，令，解得或，令，解得，故此时在单调递增，在的单调递减，当时，，故在的单调递减，在单调递增，当时，令，解得，令，解得，故此时在的单调递减，在单调递增，（3），223CF F D = 123y y =-22222122319331m y m y m ⎧-=-⎪⎪-⎨⎪-=⎪-⎩①②2①②22164313m m =--2115m =2115m =CD 1a =11e 22ea --<<()221af x x a x=--+'()12210f a a =--+='1a =()()()()()222121221x a x a x x a a f x x a x x x-'++--=-++==12a >()0f x '>x a >102x <<()0f x '<12x a <<()f x ()10,,,2a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭12a =()0f x '≥()0,∞+()f x ()0,∞+102a <<()0f x '>12x >0x a <<()0f x '<12a x <<()f x ()10,,,2a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭0a =()2f x x x =-()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭0a <()0f x '>12x >()0f x '<102x <<()f x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()()()()()2221ln 21ln 1ln 21ln g x f x x a x x a x a x x a x a x x =---=-++---=-++令，则，记，则，当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，且，当时恒成立，要使有两个零点，则由两个交点，故，解得19.（1（2）（3）证明见解析【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，即扡物线方程为，即，则，又抛物线在点处的曲率，则处的曲率为；（2）在上为奇函数，又在上为减函数.对于恒成立等价于对于恒成立.()()21ln 0g x a x x =-++=ln 21x a x +=()ln x h x x =()21ln x h x x -='e x >()21ln 0x h x x -=<'0e x <<()21ln 0xh x x-=>'()h x ()0,e ()e,∞+()1e eh =1x >()0h x >()g x ln 21xa x+=1021e a <+<11e 22ea --<<[]1,1- ()220x py p =>3,3p ∴=26x y =()216f x y x ==()()11,33f x x f x ''='=()3,y 322131139K ===⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭()3,y ()()()112111,212212221x x x xg x g x g x --=-=-==-∴+++ R ()g x R ()e e 2cos 2x x g g x ω-⎛⎫+∴≤- ⎪⎝⎭x ∈R e e cos 22x xx ω-+≥-x ∈R又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方，，又因为，所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率，即，又因为，所以，解得：，因此，的取值范围为；（3）由题可得，所以曲线在点处的切线方程是，即，令，得，即，显然，由，知，同理，故，从而，设，即，所以数列是等比数列，故，即，从而，所以，当时，显然；当时，，，综上，.()()e e cos ,22x xp x x q x ω-+==-()p x ()q x ()()e e sin ,2x xp x x q x ωω-'-=-=-'()()001p q ==0x =()p x ()q x ()()()()3321222001010p q pq≤''''⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦'()()()()22e e cos ,,0,012x xp x x q x p q ωωω-+'=-''''''-'==-=-21ω≤11ω-≤≤ω[]1,1-()4f x x '=()y f x =()(),n n x f x ()()()n n n y f x f x x x '-=-()()2284n n n y x x x x --=-0y =()()2142nn n n x x x x +--=-2142n n n x x x ++=120,2n n n n x x x x +≠∴=+122n n nx x x +=+()21222222n n n nnx x x x x +++=++=()21222n n nx x x +--=2112222n n n n x x x x ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭1122lg2lg 22n n n n x x x x ++++=--2lg 2n n n x a x +=-12n n a a +={}n a 111111222lg2lg32n n n n x a a x ---+===-12lg 2lg32n n n x x -+=-21232n n n x x -+=-()11111112212222222314311111,20,33131313133n n n n n n n n nnn n b x b x b -------++-=∴=-=>==<≤=---+1n =1123T b ==<1n >21121111333n n n n b b b b ---⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112111113111333133313n n nn n b T b b b b b b -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦∴=+++<+++==-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ()*3n T n <∈N。
广东名校联盟2024年高二11月期中联考数学试题+答案
高二数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一､二章. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知A 与B 是互斥事件，且()0.3,()0.2P A P B ==，则()P A B = （ ） A. 0.5 B. 0.6C. 0.8D. 0.9【答案】D【详解】由()0.3P A =，可得()1()0.7P A P A =−=. 由于A 与B 是互斥事件，故()()()0.70.20.9P A B P A P B =+== . 故选：D2. 已知直线30x my +−=的倾斜角为150°，则实数m 的值为（ ）A. B. C.D.【答案】C【详解】直线30x my +−=的倾斜角为150°，所以斜率一定存在，且 tan150== k 直线30x my +−=即13y x m m=−+，所以斜率1=k m−,即m =.3. 已知坐标原点不在圆22:20C x y x y m ++++=的内部，则m 的取值可能为（ ） A. 1 B. 1−C. 2D. −2【答案】A【详解】依题意，方程2220x y x y m ++++=表示圆，则221240m +−>，解得54m <. 因为坐标原点不在圆22:20C x y x y m ++++=的内部，所以0m ≥. 综上所述，504m ≤<，结合选项可知A 符合题意. 故选：A4. 从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为（ ） A.25B.35C.625D.1225【答案】B【详解】记三名男生为A ，B ，C ，两名女生为1，2，任意选出两人的样本空间为{AB,AC,A1,A2，BC,B1,B2,C1,C2,12}，共10个样本点， 恰好一男生和一女生样本点有6所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为63105=. 故选：B.5. 已知空间向量,,a b c满足20,1a b a b c +==== ，则a与b 的夹角为（ ）A. 30B. 150C. 60D. 120【答案】C【详解】设a 与b 的夹角为θ.由20a b +=，得2a b + ， 两边平方得222447a a b b c +⋅+=，所以1411cos 47θ+×××+=， 解得1cos 2θ=.又[]0,πθ∈，所以60θ= . 故选：C.6. 若过点(1,1)A 的直线l 与圆22:4820C x y x y +−−+=交于,M N M ，N 两点，则弦长MN 的最小值的A. 4B.C.D. 【答案】C【详解】224820x y x y +−−+=可化为22(2)(4)18x y −+−=，可得圆心(2,4)C ，半径r =当CA l ⊥时，|MMMM |最小，此时点C 到l 的距离||d CA ==，所以|MMMM |的最小值为. 故选：C7. 已知点()()4,4,2,3A B −−−，直线:10l kx y k −++=，若,A B 位于直线l 的两侧，则k 的取值范围为（ ） A. ()4,1−B. ()1,4−C. ()(),14,−∞−∪+∞D. ()(),41,−∞−+∞【答案】B【详解】由10kx y k −++=，可得()110k x y +−+=， 所以直线l 恒过点()1,1P −，则41311,44121PA PB k k −−−−−+−+， 由题意，直线只需与线段相交（不包括端点）即可， 故k 的取值范围为()1,4−. 故选：B8. 在ABC 中()()1,0,,1,0A B C −，若动点M 满足3MA MC ⋅=，则MB 的取值范围为（ ）A. []1,3B. []0,4C. []3,7D. []1,5【答案】C【详解】设(),M x y ，则()()221,1,13MA MC x y x y x y ⋅=−−−⋅−−=−+=，即224x y +=， 即点M 的轨迹是以()0,0O 为圆心，2为半径的圆.又5BO ==，所以MB 的取值范围为[]3,7.故选：C二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“两次掷出的点数之和是5”，事件B 表示“第二次掷出的点数是偶数”，C 表示“两次掷出的点数相同”，D 表示“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. A 与C 互斥 B. A 与B 相互独立 C. B 与D 对立 D. B 与C 相互独立【答案】ABD【详解】试验的样本空间()()()()()()()()()Ω{1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3=，()()()()()()()()()()()()()2,4,2,5,2,6,3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4，()()()()()()()()()()()()()4,5,4,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，()6,6}.事件()()()(){}()()()()()()1,4,4,1,2,3,3,2,{1,2,1,4,1,6,2,2,2,4,2,6AB =，()()()()()()()()()()()()3,2,3,4,3,6,4,2,4,4,4,6,5,2,5,4,5,6,6,2,6,4,6,6},()()()()()(){}1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6C =.对于A ，A 与C 没有公共的基本事件，A 与C 互斥，A 正确；对于B ，()()()(){}()()()4118121,,1,4,3,2,,3693623618P A P B AB P ABP A P B A ========⋅与B 相互独立，B 正确；对于C ，显然，B 与D 可以同时发生，C 错误；对于D ，()()(){}()()()()61312,2,4,4,6,6,,,3663612BCP CP BC P B P C B ======与C 相互独立，D 正确.故选：ABD.10. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，O 为正方体1111ABCD A B C D −的中心，点E 满足1114A D ED =，则（ ）A. AO ⊥平面1A BDB. //EO 平面1A BDC. 1DC 在1DA1DAD. 二面角1D A B A −−【答案】AD【详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图， 则1111(0,0,2),(2,0,2),(0,0,0),(2,2,0),(2,0,0),(0,2,2),(1,1,1),,022D A D B A C O E，， 所以()111(2,0,2),(2,2,0),,1,1,(1,1,1),0,222DA DB EO AO DC ===−=−=，. 设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z =，则1220,220,n DA x z n DB x y ⋅=+= ⋅=+= 令1x =，则(1n = ，1,1)−−. 因为AO n =−，所以AO ⊥平面1A BD ，A 正确.102n EO ⋅=≠ ，所以EO 不与平面1A BD 平行，B 错误.1DC 在1DA上的投影向量为1111212DC DA DA DA DA⋅⋅=，C 错误． 易知平面1A AB 的一个法向量为(1,0,0)m =，设二面角1D A B A −−的大小为θ，则cos m nm nθ⋅=D 正确. 故选：AD11. 已知点P 在圆22:6O x y +=上，点(3,0),A B ，则下列说法正确的是（ ）A. 圆22:4710M x y x y ++++=与圆O 的公共弦方程为4770x y ++=B. 满足AP BP ⊥的点P 有2个C. 若圆N 与圆O 、直线AB 均相切，则圆ND.||3||PA PB +的最小值是【答案】ABD【详解】对于A ，224710x y x y ++++=和226x y +=两式作差， 可得4770x y ++=，故A 正确. 对于B ，由AP BP ⊥，可得点P AB 为直径，3为半径的圆，圆心的坐标为32 3=，半径和与半径差分别为3+−，由333>>−，得两圆相交，则满足条件的点P 有2个，故B 正确.对于C ，直线AB 的方程为13x =0y +−=，圆心(0,0)O 到直线AB所以圆N C 错误.对于D ，设存在定点(,0)C t ，使得点P 在圆O 上任意移动时均有3|||PC PA =．设(,)P x y ，则有22229()6(3)x t y x y −+=−+ ，化简得222(126)183x y t x t ++−=−．因为22x y +6=，所以212601836t t −=−=， 解得2t =，则(2,0)C3()PB PC +≥3||BC =，故D 正确． 故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人命中的概率是__________. 【答案】0.7##710【详解】他们至少有一人命中的概率是()()110.410.50.7−−×−=. 故答案为：0.713. 若点(0,4)A 和点(1,3)B −关于直线:0l mx y n ++=对称，则m n +=______． 【答案】−2【详解】因为点(0,4)A 和点(1,3)B −关于直线:0l mx y n ++=对称， 所以l 是线段AB 的垂直平分线，由AB l ⊥，可得34()110m −⋅−=−−−，解得1m =. 又AB 的中点坐标为12 − ，72，所以17022n −++=，解得3n =−， .故2m n +=−. 故答案为：2−.14. 已知(1,1,1)A ，(2,0,1)B ，(1,0,2)C 是球M 上三点，球心M 的坐标为(1,0,1)，P 是球M 上一动点，则三棱锥P ABC −的体积的最大值为______.【详解】依题意，(1,1,0),(0,1,1)AB AC =−=−，则||||AB AC A===12||||AB AC AB AC ⋅=， 则π3A =，ABC的面积为12，)(0,1,0MA =，则球M 的半径||1R MA == , 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z = ，则00n AB x y n AC y z ⋅=−= ⋅=−+=，令1y =，得(1,1,1)n = ，则点M到平面ABC的距离||||n MAdn⋅==，球面上的点到平面ABC距离最大值为1d R+，所以三棱锥P ABC−的体积的最大值为11)3+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 在四棱柱1111ABCD A B C D−中，四边形ABCD为菱形，11BAD A AD A AB∠=∠=∠= 136,,02,AA AB O==为AC的中点.（1）用1,,AB AD AA表示1A O，并求1A O的值；（2）求11A O DC⋅的值.【答案】（1）11122AB AD AA+−（2）6−【解析】【小问1详解】由题意可知：1111111222A O A A AO AA AC AB AD AA=+=−+=+−，且11111233,222,233222AB AA AB AD AA AD⋅=××=⋅=××=⋅=××=，则1A O==；【小问2详解】易知111DC AB A DC CC A +=+=，所以()2111111112222A O DC AB AD AA AB AA AB AD AB ⋅=+−⋅+=+⋅211AA AB AA −⋅− 111122AB AA AD AA +⋅+⋅332139622=+−−++=−.16. 已知圆M 经过点(1,4)和(3,2)，其圆心在直线220x y −−=上. （1）求圆M 的标准方程；（2）若直线l 过点(1,0)P 且与圆M 相切，求l 的方程. 【答案】（1）22(3)(4)4x y −+−=（2）1x =或3430x y −−=【解析】【分析】（1）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r −+−=，代入点的坐标，解方程即可求得圆M 的标准方程.（2）分直线l 的斜率不存在和直线l 的斜率存在两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】设圆M 的标准方程为222()()x a y b r −+−=， 所以222222(1)(4)(3)(2)220a b r a b r a b −+−= −+−=−−=， 解得3,4,2a b r ===， 故圆M 的标准方程为22(3)(4)4x y −+−=． 【小问2详解】由（1）可知圆心为(3,4),2M r =．①当直线l 斜率不存在时，易得直线l 的方程为1x =，符合题意；的②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =−，即0,kx y k −−=由题意，圆心(3,4)到直线l 的距离等于半径22=，解得34k =， 此时直线l 的方程为3430x y −−=． 综上，所求直线l 的方程为1x =或3430x y −−=． 17. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p ，乙同学答对每题的概率都为()q p q >，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值；（2）试求两人共答对3道题的概率. 【答案】（1）34p =，23q =（2）512【解析】【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得,p q ；（2）分别求出两人答对1道题的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论． 【小问1详解】设A ={甲同学答对第一题}，B ={乙同学答对第一题}，则()P A p =，()P B q =. 设C ={甲、乙二人均答对第一题}，D {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}， 则C AB =，D AB AB =+.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以A 与B 相互独立，AB 与AB 相互互斥，所以()()()()P C P AB P A P B ==，()()PD P AB AB =+()()()()()()()()()()()()11P AB P AB P A P B P A P B P A P B P A P B +=+=−+− 由题意可得()()1,2511,12pq p q q p = −+−=即1,217.12pq p q = += 解得3,42,3p q = = 或2,33.4p q = =由于p q >，所以34p =，23q =. 【小问2详解】设=i A {甲同学答对了i 道题}，i B ={乙同学答对了i 道题}，0i =，1，2. 由题意得，()11331344448P A =×+×=，()23394416P A =×=， ()12112433339P B =×+×=，()2224339P B =×=. 设E ={甲乙二人共答对3道题}，则1221E A B A B =+. 由于i A 和i B 相互独立，12A B 与21A B 相互互斥，所以()()()()()()()12211221349458916912P E P A B P A B P A P B P A P B =+=+=×+×=. 所以，甲乙二人共答对3道题的概率为512. 18. 如图，在四棱台1111ABCD A B C D −中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，111224AB AA A B ===，点P 在线段1C D 上运动.（1）证明：111B D CC ⊥.（2）求异面直线1AB 与1DD 所成角的余弦值..（3）求直线1D P 与平面11AB D 所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见详解；（2）12； （3）,13. 【解析】【分析】（1）以{}1,,AB AD AA 为正交基底建立空间直角坐标系，由数量积1110B D CC ⋅= 可证； （2）求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算可得；（3）设11(01)C P C D λλ=≤≤ ，求出平面法向量，根据线面角的向量夹角公式，将sin θ用λ表示，利用换元和二次函数性质求解可得.【小问1详解】证明：因为1AA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ， 所以11,AA AB AA AD ⊥⊥，又ABCD 为正方形，所以1,,AA AB AD 两两垂直，以{}1,,AB AD AA 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，111(2,0,2),(0,2,2),(2,2,2),(4,4,0),(0,4,0)B D C C D ，所以111(2,2,0),B D CC =−=(2,2,2)−−， 则1112(2)2(2)0B D CC ⋅=−×−+×−=，所以111B D CC ⊥ 【小问2详解】解：由（1）可得11(2,0,2),(0,2,2)AB DD ==− ，所以111cos ,2AB DD = ，故异面直线1AB 与1DD 所成角的余弦值为12【小问3详解】 解：设11(01)C P C D λλ=≤≤ .因为1(2,2,2)C D =−− ，所以1(2,2,2)C P λλλ=−− ， 则1111(2,0,0)(2,2,2)(22,2,2)D P D C C P λλλλλλ=+=+−−=−− 由（1）可得11(2,0,2),(0,2,2)AB AD ==. 设平面11AB D 的法向量为(,,)n x y z = ，则11220,220,n AB x z n AD y z ⋅=+= ⋅=+= 取(1,1,1)n =− 设直线1D P 与平面11AB D 所成的角为θ，则111sin cos ,n D P n D P n D P θ⋅==.令1t λ+=，则[1,2]t ∈，所以sin θ= 当123t =，即32t =时，sin θ取得最大值，最大值为1； 当11t=，即1t =时，sin θ. 故直线1D P 与平面11AB D所成角的正弦值的取值范围为19. 定义：P 是圆C 外一点，过点P 所作的圆C 的两条切线,PM PN （,M N 为切点）相互垂直，记圆D 经过点,,,P M N C ，则称P 为圆C 的“伴随点”，圆D 为“C P −伴随圆”.已知O 为坐标原点，圆22:26,O x y P +=为圆O 的“伴随点”，圆G 为“O P −伴随圆”. （1）求点P 所在曲线的方程.（2）已知点P 的横坐标为6，且位于第一象限. （i ）求圆G 的方程；（ii ）已知,M N 为过点P 所作的圆O 的两条切线的切点，直线MN 与,x y 轴分别交于点,E F ，过点()0,5T 且斜率为k 的直线l 与圆G 有两个不同的交点,A B ，若()3613OE OFOA OB +⋅= ，求l 的方程.【答案】（1）2252x y +=（2）（i ）22(3)(2)13x y −+−=；（ii ）5y =. 【解析】【分析】（1）应用伴随点定义得出PO ==进而求出曲线方程； （2）（i=，进而求出曲线方程；（ii ）先求直线MN 的方程为32130x y +−=，得出()3636131330131332OE OF+ =×+= ，直线l 的方程为5y kx =+，代入方程22(3)(2)13x y −+−=，应用数量积计算求解得出直线.小问1详解】因为P 为圆O 的“伴随点”，所以四边形PMON 为正方形，则PO ==， 所以点P 的轨迹是以O为圆心， 故点P 所在曲线的方程为22x y +=.【小问2详解】由题可知()6,4P .（i ）因为四边形PMON 为正方形，所以圆心G 的坐标为()3,2，=， 故圆G 的方程为22(3)(2)13x y −+−=.（ii ）因为直线MN 为圆G 与圆O 的公共弦所在直线，所以直线MN 的方程为32130x y +−=. 令0y =，可得133x =，令0x =，可得132y =， 所以()3636131330131332OE OF+ =×+=. 【由题意，可知直线l 的方程为5y kx =+， 代入方程22(3)(2)13x y −+−=，整理得()()2216150k x k x +−−+=. 设AA (xx 1,yy 1),BB (xx 2,yy 2)，则()121222615,11k x x x x k k−+==++， 所以()()1212121255OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+++ ()()()2121223011525301k k k x x k x x k−=++++=++. 由题意可得()230130301k k k −+=+，解得1k =或0k =.经检验，当1k =时，不满足Δ=[−6(1−kk )]2−4×(1+kk 2)×5>0； 当0k =时，满足Δ=[−6(1−kk )]2−4×(1+kk 2)×5>0.故l 的方程为5y =.。
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |﹣2＜x ＜0}D ．{x |1＜x ＜2}2．若函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．33．若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y =2x+1的定义域为（ ）A ．(−√3，2]B ．[0，√3]C ．（﹣1，2]D ．(−1，√3]4．已知a ，b ，c 均为实数，则（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则b a＞abC ．若a ＞b 且1a＞1b，则b ＜0＜aD ．若a ＜b ，则a 2＜ab ＜b 25．已知命题p ：∀x ＞0，√3−x ＞0，则命题p 的否定是（ ） A ．∀x ＞0，√3−x ≤0 B ．∃x ＞0，3﹣x ≤0 C ．∃x ＞0，√3−x ≤0D ．∀x ≤0，√3−x ≤06．已知函数f(x)=x +√x +1，其定义域为M ，值域为N ．则“x ∈M ”是“x ∈N ”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=12（|x ﹣a 2|+|x ﹣2a 2|﹣3a 2）．若∀x ∈R ，f （x ﹣a ）＜f （x ），则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−16，16]B ．[0，16]C ．[−13，13]D ．(0，16)8．不等式x 2+2axy +4y 2≥0对于∀x ∈[2，3]，∀y ∈[2，9]恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[−2512，+∞） B ．[﹣5，+∞） C ．[−133，+∞) D ．[﹣1，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）是减函数B ．∀a ∈R ，f （a 2）＞f （a ﹣1）C ．若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a 的取值范围是（﹣2，+∞）D ．在区间[1，2]上的最大值为010．已知a ，b 是两个正实数，满足a +b ＝1，则（ ） A ．√a +√b 的最小值为1 B ．√a +√b 的最大值为√2C ．a 2+b 2的最小值为12D ．a 2+b 2的最大值为111．已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +4，若任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．−12C ．0D ．1212．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （3x ﹣2）为偶函数，则（ ） A ．f(13)=0B ．f （1）＝0C ．f （4）＝0D ．f （3）＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （f （2））＝ ．14．写出3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件是 ． 15．关于x 的不等式11−x≥2x的解集为 ．16．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1，则m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|x−2x+1≤0}，集合B ＝{x |2m +3＜x ＜m 2}，m ∈R ． （1）当m ＝﹣2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）f(x)=1−x 21+x 2． （1）判断f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）求f （x ）的值域．19．（12分）命题p ：关于x 的方程x 2+2ax +4a +5＝0有两个不相等的正实根，命题q ：a ∈（m ，7m +7）， （1）若命题￢p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件，求m 的取值范围．20．（12分）原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会．运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a（a＞0）万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x名，调整后运营人员的人均投入调整为a（m﹣4x%）万元/人，服务人员的人均投入增加2x%．（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m的最大值及此时运营人员的人数．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2，a∈R．（1）设a＞−12，解关于x不等式f（x）＜ax；（2）设a＞0，若当x∈[−12，+∞)时，f（x）的最小值为−94，求a的值．22．（12分）已知函数f(x)=√3x−2−34x+12．（1）判断f（x）在区间[2，+∞）上的单调性并证明；（2）令g(x)=f(x)+34x−12，对∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），使得(g(x1))2+2−m≥m√3x1−2−f(x2)成立，求m的取值范围．2023-2024学年山东省名校考试联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |﹣2＜x ＜0}D ．{x |1＜x ＜2}解：因为A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}＝{x |﹣2＜x ＜1}， 所以∁R A ＝{x |x ≥0}，则（∁R A ）∩B ＝{x |0≤x ＜1}． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．3解：∵函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝﹣1或2， 故选：C ．3．若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y =f(x 2−1)√x+1的定义域为（ ） A ．(−√3，2]B ．[0，√3]C ．（﹣1，2]D ．(−1，√3]解：函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]， 则{−1≤x 2−1≤2x +1＞0，解得−1＜x ≤√3， 故所求函数的定义域为（﹣1，√3]． 故选：D ．4．已知a ，b ，c 均为实数，则（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则b a＞abC ．若a ＞b 且1a＞1b，则b ＜0＜aD ．若a ＜b ，则a 2＜ab ＜b 2解：当c ＝0时，A 显然错误；若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，即ab＞ba ，B 错误；若a ＞b 且1a＞1b，则1a−1b=b−a ab＞0，所以ab ＜0，即a ＞0＞b ，C 正确； a ＜b ＜0时，D 显然错误． 故选：C ．5．已知命题p：∀x＞0，√3−x＞0，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，√3−x≤0B．∃x＞0，3﹣x≤0C．∃x＞0，√3−x≤0D．∀x≤0，√3−x≤0解：根据题意，命题p：∀x＞0，√3−x＞0，即0＜x＜3，则命题p的否定为：∃x＞0，有x≥3，即3﹣x≤0．故选：B．6．已知函数f(x)=x+√x+1，其定义域为M，值域为N．则“x∈M”是“x∈N”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解：由题意知，x+1≥0，所以x≥﹣1，所以函数f（x）的定义域M＝[﹣1，+∞），因为函数y＝x和y=√x+1在定义域内均为增函数，所以f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1，即函数f（x）的值域N＝[﹣1，+∞），因此“x∈M”是“x∈N”的充要条件．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．若∀x∈R，f（x ﹣a）＜f（x），则实数a的取值范围为（）A．[−16，16]B．[0，16]C．[−13，13]D．(0，16)解：当x≥0时，f(x)=12(|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，∴当0≤x≤a2时，f(x)=12[−x+a2−(x−2a2)−3a2]=−x，当a2＜x≤2a2时，f（x）＝﹣a2，当x＞2a2时，f（x）＝x﹣3a2，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣a）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，即f（x）的图像向右平移a个单位后的图象总在f（x）图象下方，结合（图二）可得a﹣3a2＞3a2，则0＜6a＜1，故a的取值范围为(0，16 )．故选：D．8．不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，则a的取值范围是（）A．[−2512，+∞）B．[﹣5，+∞）C．[−133，+∞)D．[﹣1，+∞）解：不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，即a≥−x2+4y22xy=−12（xy+4yx）对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，令t=xy，则t∈[29，32]，则a≥−12（t+4t）对于∀t∈[29，32]恒成立，由对勾函数的性质可知y＝t+4t在[29，32]上单调递减，所以当t=32时，y取最小值为256，所以−12（t+4t）的最大值为−2512，所以a≥−2512，即a的取值范围是[−2512，+∞）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）是减函数B ．∀a ∈R ，f （a 2）＞f （a ﹣1）C ．若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a 的取值范围是（﹣2，+∞）D ．在区间[1，2]上的最大值为0 解：函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，对于A ，∵y ＝x 2﹣2x +1在（﹣∞，1]上单调递减，y ＝﹣x +1在（1，+∞）上单调递减， 且12﹣2×1+1＝0，﹣1+1＝0， ∴f （x ）在R 上单调递减，A 正确；对于B ，∵a 2﹣（a ﹣1）＝a 2﹣a +1＝（a −12）2+34＞0，∴a 2＞a ﹣1，f （a 2）＜f （a ﹣1），B 错误； 对于C ，若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a ﹣4＜3a ，解得a ＞﹣2，C 正确； 对于D ，f （x ）在区间[1，2]上单调递减，最大值为f （1）＝0，D 正确． 故选：ACD ．10．已知a ，b 是两个正实数，满足a +b ＝1，则（ ） A ．√a +√b 的最小值为1 B ．√a +√b 的最大值为√2C ．a 2+b 2的最小值为12D ．a 2+b 2的最大值为1解：(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ，由于0＜2√ab ≤a +b =1，所以1＜(√a +√b)2≤2，当且仅当a =b =12时，等号成立． 即√a +√b 的最大值为√2，没有最小值，故A 错误，B 正确；因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ，且0＜ab ≤(a+b)24=14，当且仅当a =b =12时，等号成立． 所以12≤a 2+b 2＜1，即a 2+b 2的最小值为12，没有最大值，故C 正确，D 错误．故选：BC ．11．已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +4，若任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．−12C ．0D ．12解：任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞），设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，∵任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜﹣（x 1﹣x 2）， ∴f （x 1）+x 1＜f （x 2）+x 2， 设g （x ）＝f （x ）+x ＝ax 2﹣2x +4， 则g （x 1）＜g （x 2），∴函数g （x ）＝ax 2﹣2x +4在[﹣1，+∞）上单调递减， 当a ＝0时，g （x ）＝﹣2x +4在R 上单调递减，符合题意， 当a ≠0时，则a ＜0且1a ≤−1，解得﹣1≤a ≤0，观察各个选项，实数a 的值可以是﹣1，−12，0． 故选：ABC ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （3x ﹣2）为偶函数，则（ ） A ．f(13)=0B ．f （1）＝0C ．f （4）＝0D ．f （3）＝0解：因为f （x ﹣1）为奇函数， ∴f （x ﹣1）＝﹣f （﹣x ﹣1）， 所以f （x ）关于（﹣1，0）对称， 因为f （3x ﹣2）为偶函数， ∴f （3x ﹣2）＝f （﹣3x ﹣2）， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称， 所以f （x ）周期为4， 所以f （﹣1）＝f （3）＝0， 因为f （x ）关于（﹣1，0）对称， 所以f （x ）+f （﹣2+x ）＝0，所以f （x ）+f （﹣2﹣x ）＝f （x ）+f （﹣2﹣x +4）＝0， 即f （x ）+f （2﹣x ）＝0，故得到f （x ）关于（1，0）和（3，0）对称． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （f （2））＝ ﹣3 ． 解：根据题意，函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （2）＝4﹣6+1＝﹣1，则f （f （2））＝f （﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．写出3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件是 （0，+∞） ． 解：由3x ﹣1＞0，解得：x ＞13，故3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件可以是x ＞0． 故答案为：（0，+∞）． 15．关于x 的不等式11−x≥2x的解集为 {x |x ＜0或23≤x ＜1} ．解：由11−x≥2x可得11−x−2x=3x−2x(1−x)≥0，即{(3x −2)(x −1)x ≤0x(x −1)≠0，解得x ＜0或23≤x ＜1． 故答案为：{x |x ＜0或23≤x ＜1}．16．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1，则m 的取值范围是 （﹣∞，15−√56] ． 解：因为f （x +1）＝3f （x ），所以f （x ）＝3f （x ﹣1），即f （x ）右移1个单位，图象变为原来的3倍， 当x ∈（0，1]时，f(x)=x(x −1)∈[−14，0]，当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝（3x ﹣1）(x −2)∈[−34，0]； ∴x ∈（2，3]时，x ﹣1∈（1，2]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝9（x ﹣2）(x −3)∈[−94，0]； 令9（x ﹣2）（x ﹣3）＝﹣1，解得x 1=15+√56，x 2=15−√56， 所以要使对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1， 则m ≤15−√56，即m 的取值范围是（﹣∞，15−√56]． 故答案为：（﹣∞，15−√56]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A ={x|x−2x+1≤0}，集合B ＝{x |2m +3＜x ＜m 2}，m ∈R ． （1）当m ＝﹣2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意得A ={x|x−2x+1≤0}={x |﹣1＜x ≤2}， 当m ＝﹣2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜4}， 故A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜4}； （2）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝∅时，2m +3≥m 2，解得﹣1≤m ≤3，当B ≠∅时，{2m +3＜m 2m 2≤22m +3≥−1，解得−√2≤m ＜−1，综上，m 的范围为[−√2，3]．18．（12分）f(x)=1−x 21+x 2．（1）判断f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）求f （x ）的值域． 解：（1）∵f(x)=1−x 21+x 2的定义域为R ， 且f （﹣x ）=1−(−x)21+(−x)2=1−x 21+x 2=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数； （2）∵y =21+x 2∈（0，2]， ∴f （x ）=1−x 21+x 2=−1+21+x 2∈（﹣1，1]，∴f （x ）的值域为（﹣1，1]．19．（12分）命题p ：关于x 的方程x 2+2ax +4a +5＝0有两个不相等的正实根，命题q ：a ∈（m ，7m +7）， （1）若命题￢p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件，求m 的取值范围．解：若命题p 为真命题，则{Δ=4a 2−4(4a +5)＞0x 1+x 2=−2a ＞0x 1x 2=4a +5＞0，解得−54＜a ＜−1．（1）若命题￢p 为真命题，则实数a 满足a ≤−54或a ≥﹣1，即a 的取值范围是(−∞，−54]∪[−1，+∞)；（2）若q 是p 的充分条件，则（m ，7m +7）⊆(−54，−1)，可得{m ＜7m +7m ≥−547m +7≤−1，解得−76＜m ≤−87，即m 的取值范围是(−76，−87]．20．（12分）原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会．运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a （a ＞0）万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x 名，调整后运营人员的人均投入调整为a （m ﹣4x %）万元/人，服务人员的人均投入增加2x %．（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m 的最大值及此时运营人员的人数．解：（1）由题意可知，调整后的服务人员有（200﹣x ）人，人均投入为（1+2x %）a 万元/人， 从而（200﹣x ）（1+2x %）a ⩾200a ，解得0⩽x ⩽150， 调整后服务人员最多有200人；（2）由题意，得（200﹣x ）（1+2x %）a ⩾（m ﹣4x %）ax ，得(200x −1)(1+x50)⩾m −x25， 整理得m ⩽200x +3+x50， 因为200x+3+x 50⩾2√200x⋅x 50+3=7，当且仅当200x=x50，即x ＝100时等号成立，所以m ⩽7，则m 的最大值为7，此时运营人员有100人．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2，a ∈R ． （1）设a ＞−12，解关于x 不等式f （x ）＜ax ；（2）设a ＞0，若当x ∈[−12，+∞)时，f （x ）的最小值为−94，求a 的值． 解：（1）因为f （x ）＜ax ⇔ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2＜ax ⇔ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0， 当a ＝0时，原不等式等价于x ﹣2＜0，解得x ＜2；当a ≠0时，因为Δ＝（2a ﹣1）2+8a ＝4a 2+4a +1＝（2a +1）2， 因为a ＞−12，所以Δ＝（2a +1）2＞0，2a +1＞0，令ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＝0⇔（ax +1）（x ﹣2）＝0（a ≠0），解得x 1=−1a，x 2＝2，当−12＜a ＜0时，−1a＞2，所以不等式ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0的解集为：（﹣∞，2）∪（−1a，+∞）； 当a ＞0时，−1a＜0＜2，所以不等式ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0的解集为：（−1a，2）； 综上所述，当a ＝0时，f （x ）＜ax 的解集为：（﹣∞，2）；当−12＜a ＜0时，f （x ）＜ax 的解集为：（﹣∞，2）∪（−1a，+∞）； 当a ＞0时，f （x ）＜ax 的解集为：（−1a ，2）；（2）a ＞0，所以函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2的开口向上，对称轴为x =a−12a =12−12a ＜12，当12−12a ≤−12，即0＜a ≤12时，f （x ）min ＝f （−12）=3a−104=−94，解得a =13∈（0，12]，满足题意；当12−12a＞−12，即a ＞12时，f （x ）min ＝f （12−12a）=−a 2+6a+14a =−94，a 2﹣3a +1＝0， 解得a =3−√52＜12或a =3+√52＞12， 所以a =3+√52， 综上所述，a =13或a =3+√52． 22．（12分）已知函数f(x)=√3x −2−34x +12． （1）判断 f （x ）在区间[2，+∞）上的单调性并证明；（2）令g(x)=f(x)+34x −12，对∀x 1∈[2，+∞），∃x 2∈[2，+∞），使得(g(x 1))2+2−m ≥m √3x 1−2−f(x 2)成立，求m 的取值范围．解：（1）f(x)=√3x −2−34x +12在[2，+∞） 上是单调递减， 证明：对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1＜x 2，有f（x1）﹣f（x2）=(√3x1−2−34x1+12)−(√3x2−2−34x2+12)=12√1√2−34(x1−x2)=(x1−x2)(3√1√234 )，∵x2＞x1≥2，∴√3x1−2+√3x2−2＞4，3x1−2+3x2−2＜34，3x1−2+3x2−2−34＜0，由x1﹣x2＜0，得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间[2，+∞）上单调递减．（2）化简得∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），3x1−2+2−m−m√3x1−2≥−f(x2)成立，由（1）知（﹣f（x））min＝﹣f（2）＝﹣1，∴3x1−2+2−m−m√3x1−2≥−1，∀x1∈[2，+∞），令√3x1−2=t≥2，∴t2+3﹣m（t+1）≥0，∴m≤t2+3t+1=t+1+4t+1−2，∴p(t)=t+1+4t+1−2在[2，+∞）单调递增，∴p(t)min=p(2)=7 3，∴m≤73，即m的取值范围是（﹣∞，73]．。
河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷含答案
2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,1,2,3M =-，{}|114N x x =-<-≤，则M N = （）A.{}2,0,1,2,3- B.{}2,0,1- C.{}0,1,2,3 D.{}20-，【答案】B 【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可．【详解】因为{}2,0,1,2,3M =-，{}|32N x x =-≤<，所以{}2,0,1M N ⋂=-.故选：B 2.函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,3)-∞-- C.(,3)-∞- D.(,3)-∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(3)f x x =+，则3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解得3x <且3x ≠-，所以函数的定义域为(,3)(3,3)-∞-- 故选：B3.已知p ：223x x +=，q ：2x =，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解方程223x x +=和2x =，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由223x x +=，得1x =-或3x =，由2x =，得3x =或0x =，因为1x =-或3x =成立推不出3x =或0x =成立，反之也不成立，所以p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.故选：D4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3xf xg x --+-=，即()()3xf xg x --=，由()()()()33xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由33122x x -+≥=，排除BC ．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ．故选：A5.函数y =）A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.[)4,+∞ D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】2540x x -+≥，即(4)(1)0x x --≥，解得4x ≥或1x ≤，令254t x x -=+，则254t x x -=+的对称轴为5522x -=-=，254t x x ∴=-+在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增，又y =是增函数，y ∴=在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增.故选：B.6.若函数()2,142,12x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.(2,)-+∞B.(2,8)- C.10,83⎛⎫⎪⎝⎭D.10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据条件，要使函数是R 上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以1240214+22aaa a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-⎪⎩，解得：1083a ≤<，故选：D .7.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()41f =，对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当()0,1x ∈时，()0f x <.则()()31263f x f x ++-≤的解集为（）A.(]0,4 B.(]3,5 C.()3,6 D.[)4,5【答案】B 【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解.【详解】设()34,0,x x ∞∈+且34x x <，对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+即()()()f xy f x f y -=，∴()()3344x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,340x x << ，3401x x ∴<<，又当()0,1x ∈时,()0f x <，()()33440x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭,()f x \在()0,∞+上是增函数，令124x x ==,则()()()16442f f f =+=,令14x =,216x =，则()()()644163f f f =+=，()()()3126364f x f x f ∴++-≤=，结合()f x 的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上是增函数，又()()()1212f x x f x f x ⋅=+恒成立，()()()312664f x x f ⎡⎤∴+⋅-≤⎣⎦，()()310260312664x x x x +>⎧⎪->∴⎨⎪+-≤⎩(]3,5x ∴∈，∴不等式的解集为(]3,5，故选：B .8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数x ，使210x +=B.“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C.命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D.“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.10.已知正实数,x y 满足22x y +=，则下列说法不正确的是（）A.3x y +的最大值为174B.42x y +的最小值为2C.2xy 的最大值为2D.211x y+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC ，利用乘“1“法即可判断D ，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A ，因为22x y +=，所以22x y =-，因为,x y 为正实数，所以220y ->，解得：0<<y ，2231732324x y y y y ⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知3x y +的无最大值，故A 错误；对于B ，22422(22x y x y ++≥⨯=，当且仅当21x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，22212x y xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21x y ==时取等号，所以2xy 的最大值为1，故C 错误；对于D ，因为22x y +=，所以2122x y +=，222222111111=1=12222x y y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222≥+=+⨯=，当且仅当2222y xx y=，即21x y ==时取等，故D 正确.故选：AC .11.给出定义：若()1122m x m m -<≤+∈Z ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（）A.函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =图象关于直线()2kx k =∈Z 对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<≤+即{}11,22x x -<-≤所以{}10,2x x ≤-≤故函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎣⎦，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2kx k =∈Z 对称，D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f =__________.【答案】3【解析】【分析】将5x =代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以()()()()()55233211223f f f f f =-==-==-++=.故答案为：3.13.已知函数()1f x xx=+，计算()()()()1111122024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2024【解析】【分析】先求出1()()f x f x+，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由()1xf x x=+，得111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++，所以111()()()(1)(1)(2)(2024)202420232f f f f f f f ++++++++ 111[((2024)][()(2023)][()(2)][(1)(1)]202420232f f f f f f f f =++++++++ 11112024=++++= .故答案为：2024.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若1x <-，则11x x ++的最大值为2-②当0x ≥时，函数21244x y x x +=++的最大值为1③若正数,x y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为83④若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+【答案】③④【解析】【分析】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得()12211y x x =+++，再利用基本不等式计算即可得；对③：由23x y xy +=可得12133y x+=，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由11a b a b+=+可得1ab =，再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①：由1x <-，则10x -->，故()()11111311x x x x +=---+-≤-=-+---当且仅当()111x x --=--，即2x =-时，等号成立，即11x x ++的最大值为3-，故①错误；对②：()()22111122444212211x x y x x x x x ++===≤+++++++，当且仅当0x =时，等号成立，故函数21244x y x x +=++的最大值为14，故②错误；对③：由23x y xy +=，故2121333x y xy y x+=+=，又,x y 为正数，故()12224482233333333x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当423x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为83，故③正确；对④：若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+由11a b a b +=+，则11a b a b b a ab--=-=，又,a b 为不相等的正实数，故1ab =，则11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当1a =+，1b =-或1a =-，1b =+时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：110340.064(π)(16)--++；（2）已知()112230a aa -+=>，求值：12222a a a a --++++.【答案】（1）8π5-；（2）949【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果；（2）由()112230a aa -+=>平方可得1a a -+的值，再对1a a -+平方可得22a a -+的值，代入即可得出答案.【详解】（1）110340.064(π)(16)--++()1313442123π5⎡⎤⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212π35=-++-8π5=-（2）()112230a a a -+=> ，21112227,a a a a --⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭()2221247,a a a a --+=+-=12229.249a a a a --++∴=++16.设全集U =R ，集合{}{}02,123A x x B x a x a =<≤=-<<+.（1）若2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}07A B x x ⋃=<<，(){}01U A B x x ⋂=<≤ð（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）得到集合B 后，结合并集定义即可得A B ，结合交集与补集定义即可得()U A B ⋂ð；（2）由A B B = 可得B A ⊆，分B =∅及B ≠∅计算即可得解.【小问1详解】当2a =时，{}17B x x =<<，则{}07A B x x ⋃=<<，{1U B x x =≤ð或}7x ≥，故(){}01U A B x x ⋂=<≤ð；【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，若B =∅，则231a a +≤-，即4a ≤-，若B ≠∅，则232410a a a +≤⎧⎪>-⎨⎪-≥⎩，无解；综上，当A B B = 时，a 的取值范围是(,4ù-¥-û.17.已知函数2()()2f x x a b x a =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|12}x x <<，求,a b 的值；（2）当2b =时，（i ）若函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（ii ）解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩（2）（i ）6a ≤-；（ii ）答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.(2)把2b =代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意，关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，于是得322a b a +=⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】当2b =时，2()(2)2f x x a x a =-++，（i ）函数()f x 的对称轴为22a x +=，因函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，则222a +≤-，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-；（ii ）不等式为2(2)20x a x a -++>，即()(2)0x a x -->，当2a <时，解得x a <或2x >，当2a =时，解得2x ≠，当2a >时，解得2x <或x a >，综上可知，当2a <时，不等式的解集为(,)(2,)a -∞⋃+∞，当2a =时，不等式的解集为(2)(2,)-∞⋃+∞，，当2a >时，不等式的解集为(2)(,)a -∞⋃+∞，.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+->⎪-⎩（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩，所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-+->⎪-⎩；【小问2详解】当020x <≤时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x ≤时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x ⎡⎤=-+-=--++⎢⎥--⎣⎦，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x ⎡⎤=--++≤-⨯⨯=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.19.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x =．（1）求,a b 的值;（2）若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围;（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0a b ==（2）(],1-∞（3）()0,∞+【解析】【分析】(1)根据()g x 的函数性质,即可判断()g x 在[]2,3上单调性,即有()()21,34g g ==,解出,a b 即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令()21xh x t =-=,根据图像变换画出函数图象,根据()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根及()h x 图象性质可知,只需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知()()211g x a x b a =-++-,因为0a >,所以()g x 为开口向上的抛物线,且有对称轴为1x =,所以()g x 在区间[]2,3上是单调增函数,则()()2134g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即11414a b a a b a ++-=⎧⎨++-=⎩,解得1,0a b ==;【小问2详解】由(1)得()221g x x x =-+,则()12f x x x =+-,因为()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,即[]1,1x ∃∈-,使得12222x x x k +-≥⋅成立,因为20x >,所以有2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭成立,令12x t =,因为[]1,1x ∈-,所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,22t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221k t t ≤-+成立,只需()2max 21k t t ≤-+即可,记()()22211h t t t t =-+=-,因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得()()max 21h t h ==,所以k 的取值范围是(],1-∞;【小问3详解】因为()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同实数解,即()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,令()21x h x t =-=,则()0,t ∈+∞,则()h x 图象是由2x y =图象先向下平移一个单位,再将x 轴下方图像翻折到x 轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个()h x 的函数值,最多对应两个x 值,要使()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,则需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =,记()()()23221m t t k t k =-+++,当101t <<,21t >时,只需()()021010m k m k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩,解得0k >,当101t <<,21t =,只需()()021********m k m k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩,解得不存在,故舍去,综上:实数k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:(1)对方程进行整体换元;(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.。
2023-2024学年上海中学高二期中数学试卷及答案(2023.11)
1上海中学2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分42分,第16∼题每题3分,第7-12题每题4分）1．向量()1,0,1a = ，(),1,2b x = 且3a b ⋅=，则x =__________．2．已知两条相交直线a ，b ，且a 平面α，则b 与α的位置关系是__________．3．将一个圆心角为2π3，面积为3π的扇形卷成一个圆锥，那么该圆锥的体积为__________． 4．如图，我们将一本书打开放置在桌面上（每页书都有一边恰好落在桌面上）．根据我们所学的__________定理，我们可以证明书脊所在的直线AB 垂直于桌面．5．已知四棱锥P ABCD −的高为2，其底面ABCD 水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为1的正方形，则该四棱锥的体积为__________．6．正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，点E 是棱1CC 的中点，则点E 到平面1A BD 的距离是__________．7．正三棱柱ABC A B C ′′′−中，1AB =，2AA ′=，则直线BC ′与平面ABB A ′′所成角的正弦值为__________．8．下列说法正确的是__________．�一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量．�如果直线AB 与CD 是异面直线，那么向量AB 与CD不共面�两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段． �直三棱柱任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积．29．设AB 和CD 都是平面α的垂线，其垂足分别为B ，D ．已知5AB =，9CD =，3BD =，那么线段AC =__________．10．设1O ，2O 分别是圆柱P 的上、下底面1π，2π的中心．i Q 是以i O 为顶点，3πi −为底面的圆锥体()1,2i =，若圆柱P 的体积为1，那么圆锥1Q ，2Q 的公共部分的体积为__________． 11．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知2AB =，11AA =，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．12．已知空间四个单位向量1e ，2e ，3e ，4e 满足：1234123421e e e e e e e e +=+=+++=，则13e e ⋅的最大值为__________．二、选择题（本大题共有4题,满分16分，每小题4分）13．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为2140.0km ；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为2180.0km ，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为（ ）．（保留两位有效数字） A ．931.010m × B ．931.210m × C ．931.410m ×D ．931.610m ×14．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a ，b ，c 满足：a α⊂，b β⊂，c γ⊂，则直线a ，b ，c 的位置关系不可能是（ ）． A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面15．已知二面角l αβ−−的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到βQ 到α，则PQ 两点之间的距离为（ ）． AB ．1C ．2D316．如图，已知正三棱柱111ABC A B C −中1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）． A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤三、解答题（本大题共有4题,满分42分） 17．（本题满分10分）如图，在正四棱锥P ABCD −中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PA 平面EDB ； （2）求三棱锥E BDC −的体积．18．（本题满分10分）如图，在四面体ABCD 中，3AB =，2AC AD ==，2π3BAD CAD ∠=∠=，π2BAC ∠=，点M ，N 分别在棱AB ，BC 上，且AM BM =，2CN BN =． （1）请用AB ，AC ，AD 表示AN ，DM；（2）求异面直线AN ，DM 所成角的余弦值．419．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C −中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=°，124AA AB ==． （1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A −−的余弦值．20．（本题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D −中（1）如图一，点P ，Q 分别在棱AB ，1CC 上，请在图一中作出过点1D ，P ，Q 的平面与长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由．（2）如图二，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化过程中，求这两个球的半径之和的最大值．5参考答案一、填空题1.1;2.平行或相交; 4.线面垂直定理; 8.��;9.; 10.112；11.5311．正四棱柱1111ABCD A B C D −中，已知2AB =，11AA =，那么以A 为球心，半径为2的球面与该四棱柱表面交线的总长度为__________．【答案】53+ 【解析】以A 为球心,2为半径的球面与该棱柱表面的交线如图所示,其中平面ABCD 内的交线为2为半径的圆周长的14在平面11ABB A ,平面11ADD A 内的交线为圆心角为30 的扇形的弧长, 在1111A B C D 内的交线为以A 为圆心14,∴为半径的球面与该棱柱表面的交线的总长度为11122222446πππ××+×+××53=二、选择题13.C 14.B 15.A 16.A15．已知二面角l αβ−−的大小为60°，点P ，Q 分别在α，β上且PQ l ⊥，若点P 到βQ 到α，则PQ 两点之间的距离为（ ）． AB ．1C ．2D【答案】A6【解析】如图，作,PC QD βα⊥⊥，过C 作CM l ⊥，连接,PM QM ，由l αβ∩=， 所以,PC l QD l ⊥⊥，又,PQ l l ⊥⊥平面QCDP ，即l ⊥平面QMP由二面角l αβ−−为60P ，到bQ 到a在Rt QMD ∆中,60,1QD QMD QM ∠== 在Rt PCM ∆中,60,2PC QMD PM ∠== ，在PMQ ∆中,22212cos60142232QP QM PM QM PM =+−⋅=+−××=所以PQ =故选:A16．如图，已知正三棱柱111ABC A B C −中1AC AA =，E ，F 分别是棱BC ，11AC 上的点．记EF 与1AA 所成的角为α，EF 与平面ABC 所成的角为β，二面角F BC A −−的平面角为γ，则（ ）． A ．αβγ≤≤ B ．βαγ≤≤ C ．βγα≤≤D ．αγβ≤≤【答案】A【解析】 正三棱柱111ABC A B C −中,1AC AA =,∴正三棱柱的所有棱长相等,设棱长为1, 如图,过F 作FG AC ⊥,垂足点为G ,连接GE ,则1//A A FG ,EF ∴与1AA 所成的角为,tan ,GEEFG GE FGαα∠===且 又[][]0,1,tan 0,1GE α∈∴∈,EF ∴与平面ABC 所成的角为FEG β∠=, 且[)1tan 1,,tan tan GF GE GEββα==∈+∞∴…,...(1),7再过G 点作GH BC ⊥,垂足点为H ,连接HF ,又易知FG ⊥底面,ABC BC ⊂底面ABC ,BC FG ∴⊥,又,FG GH G BC ∩=∴⊥平面GHF ,∴二面角F BC A −−的平面角为GHF γ∠=,且1tan GF GH GH γ==,又[0GH ∈,tan ,tan tan γγα ∴∈+∞∴…,...(2), 又,tan tan ,GE GH βγ∴…厔(3),由(1)(2)(3)得tan tan tan αβγ剟, 又,αβ,0,,tan 2y x πγ ∈= 在0,2π单调递增,,αβγ∴剟故选:A. 三．解答题17.（1）证明略 （2）3V =18.（1）2133AN AB AC =+ ，12DM AB AD =− ；（219．（本题满分10分）如图，在底面为正三角形的三棱柱111ABC A B C −中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，160CBB ∠=°，124AA AB ==．（1）证明：111B C AC ⊥；（2）求二面角1C AB A −−的余弦值． 【答案】（1）见解析（2【解析】(1)证明:在底面为正三角形的三棱柱111,ABC A B C −中平面ABC ⊥平面11,BCC B8160CBB ∠= ,111124,4,2AA AB CC B C ==∴==1B C =2221111111,B C B C CC B C B C ∴+=∴⊥ 平面ABC ⊥平面11,BCC B∴平面111A B C ⊥平面11BCC B , 平面111A B C ∩平面1111BCC B B C =,1B C ∴⊥平面11111A B C A C ∴⊂平面111A B C ,111B C A C ∴⊥;(2)以1B 为坐标原点,1B C 所在直线为x 轴,11B C 所在直线为y 轴,过1B 作平面11BCC B 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系,则((),2,0A B −−,()(1,C A,(0,1,,(0,1,AB AC =−−=),()1AA =−,设平面ABC 的法向量(),,n x y z = ,则00n AB y n AC y ⋅=−= ⋅=−=,得0y z ==,则()1,0,0n = , 设平面1ABA 的法向量(),,m a b c = ,则1020m AB b m AA b ⋅=−= ⋅−+=,取1a =,得()1m =−, 设二面角1C AB A −−的平面角为θ,则1020m AB b m AA b ⋅=−= ⋅−+=,取1a =,得()1m =− ,设二面角1C AB A −−的平面角为θ,则•cos m n m nθ==⋅ , ∴二面角1C AB A −−. 20．（本题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D −中（1）如图一，点P ，Q 分别在棱AB ，1CC 上，请在图一中作出过点1D ，P ，Q的平面与9长方体的截面，保留作图痕迹，不必说明理由．（2）如图二，已知13AB =，5AD =，112AA =，过点A 且与CD 平行的平面α将长方体分成两部分，现同时将两个球分别放入这两部分几何体内，则在平面α变化过程中，求这两个球的半径之和的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)�延长1D Q 交DC 延长线于点E ;�连接PE 与BC 交于点F ,并延长EP 交DA 延长线于点G ; �连接1D G 交1AA 于点H ;�分别连接线段11,,,,D H HP PF FQ QD ,则五边形1D HPFQ 及其内部(图中阴影部分)即为所求截面. (2)如图所示,平面ABMN 将长方体分成两部分,MN 有可能在平面11CDD C 上或平面1111A D C B 上,但是若MN 在平面1111A D C B 上运动,两部分几何体都是细长形状,放入的两个小球由于棱长AD 限制,易知要使两球半径和的最大,需在平面11CDD C 上运动. 延长11B C 与BM 交于点P ,作1O Q BC ⊥于Q 点,设1CBP BPB α∠=∠=,圆1O 对应的半径为1r ,根据三角形内切圆的性质, 在Rt 1O QB ∆中,12QBO α∠=,15BQ BC CQ r =−=−,10111tan 25O Q r BQ r α==−,则15tan5251tan 1tan22r ααα==−++, 又当BP 与1BC 重合时,1r 取得最大值,由内切圆等面积法求得1512251213r ×≤=++,则2tan23α≤设圆2O 对应的半径为2r ,同理可得266tan ,2r α=−又252r ≤,解得7tan 212α≥.故1255566tan1761tan ,221tan1tan 22r r αααα+=−+−=−−+ ++72tan ,1223α≤≤()19551tan,,,176,2123x x f x x x α=+∈=−−设则 由对勾函数性质易知195,123x∈,函数()f x 单减, 则()195191651761912123812f x f ≤−−×,即最大值为16538. 故两个球的半径之和的最大值为16538.。
2023-2024学年上海高一第一学期数学期中期末考试 专题05 期末解答压轴题(解析版)
专题05期末解答压轴题新定义题型1．（2023上·上海徐汇·高一统考期末）已知函数()y f x =，x D ∈，若存在常数k （0k >），使得对定义域D 内的任意12,x x （12x x ≠），都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()y f x =在其定义域D 上是“k -利普希兹条件函数”(1)判断函数①y x =，②3y x =是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；(2)若函数y x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；(3)若()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，且(0)(1)f f =，求证：对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)y x =是，3y x =不是(2)12(3)证明见解析【分析】（1）证明()()1212f x f x x x -≤-即可判断y x =，举出反例即可判断3y x =；（2）分离参数，将不等式变为关于12,x x 的不等式,结合定义域即可求得常数k 的最小值；（3）对任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12f x f x m -≤，只需要()()12max f x f x m -≤即可，根据新定义求出()()12max f x f x -即可得出答案.【解析】（1）对于函数()y f x x ==，不妨设12x x >，则()()1212f x f x x x -=-，符合题意，所以函数y x =是“1-利普希兹条件函数”，对于函数()3y f x x ==，因为()()21721f f -=>-，所以函数3y x =不是“1-利普希兹条件函数”；（2）若函数()f x x =（14x ≤≤）是“k -利普希兹条件函数”，则对定义域[]1,4内任意12,x x （12x x ≠），均有()()1212f x f x k x x -≤-，即1212x x k x x -≤-，设12x x >，则1212x x k x x -≤-，即121k x x ≤+，因为2114x x ≤<≤，所以1211142x x <<+，所以12k ≥所以k 的最小值为12；（3）设12x x ≥，当1212x x -≤时，因为()y f x =是定义在闭区间[]0,1上的“2-利普希兹条件函数”，所以()()121212212f x f x x x -≤-≤⨯=，当1212x x ->时，由[]12,0,1x x ∈，得12112x x <-≤，故()()()()()()121212(1)(0)(1)(0)f x f x f x f f f x f x f f f x -=-+-≤-+-()()1212212221x x x x ≤-+=--≤恒成立，综上所述，()()121f x f x -≤，【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k -利普希兹条件函数”.2．（2023上·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若定义在区间[],a b 上的函数()y f x =满足：存在常数M ，使得对任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y f x =为一个有界变差函数，并将满足条件的M 的最小值称为()y f x =的全变差.(1)判断函数()()311f x x x =--≤≤，和()[][]R 0,0,1Q 1,0,1Q x D x x ⎧∈⋂⎪=⎨∈⋂⎪⎩ð（Q 为有理数集）是否为有界变差函数；（无需说明理由）(2)求函数()()414g x x x x=+≤≤的全变差；(3)证明：函数()2log 4xh x x x=+是[]1,4上的有界变差函数.【答案】(1)3()f x x =-是有界变差函数,()D x 不是有界变差函数；(2)2；(3)证明见解析.【分析】（1）根据已知定义判断即可;（2）根据全变差定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;（3）根据有界变差函数定义结合单调性,把差的绝对值去掉求解可得;【解析】（1）由3()f x x =-在[1,1]-上递减，令121...1n x x x -=≤≤≤=，则23121()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=121231()()()()...()()()()(1)(1)2n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f f --+-++-=-=--=，显然，存在2M ≥，使任意的12n a x x x b =≤≤⋅⋅⋅≤=，都有()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，所以3()f x x =-为一个有界变差函数；对于()D x ，令120...1n x x x =≤≤≤=，所得i x *(1,N )i n n ≤≤∈中有理数、无理数都有可能为无限个，若12,,...,n x x x 以无理数、有理数成对依次出现时12312()()()()...()()n n f x f x f x f x f x f x --+-++-随n 的变大趋向于正无穷大，所以()D x 不是一个有界变差函数.（2）对任意的11221.....4.n m m x x x x x +=≤≤≤≤≤≤==，()g x 在[]1,2上单调递减，所以()()()()121...m m g x g x g x g x -≥≥≥≥，即()()()()()()12231...mm g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()()()122311...m m m g x g x g x g x g x g x g x g x -=-+-++-=-，()g x 在[]2,4上单调递增，所以()()()()11n n m m g x g x g x g x -+≥≥≥≥ ，即()()()()()()1112...m n n n n m g x g x g x g x g x g x --+--+-++-()()()()()()()()2111...n n n n m n m m g x g x g x g x g x g x g x g x --+-=-+-++-=-，所以()()()()()()12231...n n g x g x g x g x g x g x --+-++-()()()()()()1222214n m g x g x g x g g g =+-=+-=，所以，存在2M ≥使()()()()()()12231n n g x g x g x g x g x g x M --+-+⋅⋅⋅+-≤成立，则称()y g x =为一个有界变差函数，M 的最小值2称为()y g x =的全变差.（3）由（2）知：()g x 在[]1,4上是一个有界变差函数，令1()()p x g x =，则111()()|()()|||()()i i i i i i g x g x p x p x g x g x -----=，而在[]1,4上()54g x ≥≥，所以111|()()||()()|16i i i i p x p x g x g x ---≤-，即11221|()()||()()|1616nn i i i i i i M p x p x g x g x --==-≤-=∑∑，故()p x 是有界变差函数；又2()log q x x =在[]1,4上递增且值域为[0,2]，任意1214n x x x =≤≤≤= ，则()()()12...n q x q x q x ≤≤≤，所以12|()()|n i i i q x q x -=-∑()()()()1412n q x q x q q =-=-=，故存在2M ≥使12|()()|ni i i q x M q x -=-≤∑，则()q x 是有界变差函数，令()()()h x q x p x =⋅，则11122|()()||()()()()|nn ii i i i i i i h x h xq x p x q x p x ---==-=-∑∑1112|()[()()]()[()()]|ni i i i i i i q x p x p x p x q x q x ---==-+-∑，由上可设1|()|,|()|i i q x N p x L -≤≤且,N L 均为常数，故111222|()()||()()||()()|nn nii i i i i i i i h x h xN p x p x L q x q x ---===-≤-+-∑∑∑，而()p x 、()q x 均为有界变差函数，所以()()()h x q x p x =⋅2log 4xx x=+为有界变差函数.【点睛】关键点点睛：根据有界变差函数的定义，结合相关函数的单调性判断无限细分后区间端点函数值差的绝对值小于某一常数是否恒成立.3．（2023上·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],ma mb （其中(]0,1)m ∈，则称()f x 为区间[],a b 上的“m 倍缩函数”.(1)证明：函数()3f x x =为区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的“14倍缩函数”；(2)若存在[],R a b ⊆，使函数()()2log 2xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，求实数t 的取值范围；(3)给定常数0k >，以及关于x 的函数()1kf x x=-，是否存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出,a b 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)1(0,)4；(3)答案见解析.【分析】（1）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，再结合定义判断作答.（2）利用函数()f x 的单调性，求出()f x 的值域，结合定义构造方程，再利用方程有两个不等的正根求解作答.（3）根据给定条件，可得0a >，再分类去绝对值符号，结合单调性求出值域即可求解作答.【解析】（1）函数3()f x x =在R 上单调递增，则3()f x x =在区间11[,]22-上的值域为11[,]88-，显然有111111(),842842-=⨯-=⨯，所以函数()3f x x =为区间11[,]22-上的“14倍缩函数”.（2）因为函数2x u t =+在R 上单调递增，当0u >时，函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数2()log (2)xf x t =+是定义域上的增函数，因为函数2()log (2)xf x t =+为[],a b 上的“12倍缩函数”，则函数()f x 在[],a b 上的值域为11[,]22a b ，于是得1()21()2f a a f b b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,()a b a b <是方程1()2f x x =的两个不等实根，则方程12221log (2)22(2)(2)02x xxx x t x t t +=⇔+=⇔-+=有两个不等实根，令(2)0x z =>，则关于z 的一元二次方程20z z t -+=有两个不等的正实根，因此Δ140100t t =->⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得104t <<，当104t <<时，函数()f x 恒有意义，所以实数t 的取值范围是1(0,)4.（3）常数0k >，函数()1kf x x=-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，并且()0f x ≥，假定存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，由[,](,0)(0,)a b ⊆-∞+∞ ，及[,][0,)a b ⊆+∞知0a b <<，因为函数1k y x =-在[],a b 上单调递增，即111k k k a x b-≤-≤-，若101k ka b -<<-，即0a k b <<<，则函数()f x 在区间[],a b 上的值域中有数0，矛盾，若10k b -≤，即0a b k <<≤，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递减，有()()f a b f b a =⎧⎨=⎩，即11ka bk ba⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，整理得k b ab k a ab -=⎧⎨-=⎩，显然无解，若10k a -≥，即k a b ≤<，当[,]x a b ∈时，()1kf x x=-在[,]a b 上单调递增，有()()f a a f b b =⎧⎨=⎩，即,()a b a b <是方程()f x x =的两个不等实根且a k ≥，而方程210kx x x k x-=⇔-+=，于是得方程2()0g x x x k =-+=在[,)k +∞上有两个不等实根，从而2Δ140()012k g k k k=->⎧⎪⎪=≥⎨⎪>⎪⎩，解得14k <，而0k >，即有104k <<，解方程20x x k -+=得：12114114,22k kx x --+-==，所以当104k <<时，存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”，114114,22k ka b --+-==，当14k ≥时，不存在实数,()a b a b <，使()f x 为区间[],a b 上的“1倍缩函数”.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.4．（2023上·上海徐汇·高一位育中学校考期末）若函数()f x 的定义域为R ，且对12,x x ∀∈R ，都有()()()1212f x x f x f x +≤⋅，则称()f x 为“J 形函数”(1)当()1f x x =+时，判断()f x 是否为“J 形函数”，并说明理由；(2)当()22f x x =+时，证明：()f x 是“J 形函数”；(3)如果函数()2x f x a =+为“J 形函数”，求实数a 的取值范围.【答案】(1)否，理由见解析；(2)证明见解析；(3)1a ≥或0a =.【分析】（1）作差可得()()()121212f x x f x f x x x +-⋅=-，根据12,x x 的任意性，无法判断该式符号，即可说明；（2）作差可得()()()1212f x x f x f x +-⋅()22212122x x x x =----，即可证明得出结论；（3）代入化简可得()12122x x f x x a ++=+，()()1212212222x x x x f x x a a ++++=+.由“J 形函数”的概念整理化简可得，()12122x xa -+≥，进而即可得出实数a 的取值范围.【解析】（1）解：()f x 不是“J 形函数”，理由如下：当()1f x x =+时，有()111f x x =+，()221f x x =+，()12121f x x x x +=++，则()()()1212f x x f x f x +-⋅()()1212111x x x x ++-++=12x x =-.因为12,x x ∈R ，所以12x x -与0的关系不确定，不能得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤，所以()f x 不是“J 形函数”.（2）证明：当()22f x x =+时，有()2112f x x =+，()2222f x x =+，()()22212121212222f x x x x x x x x +=++=+++，则()()()()2222221212121222224f x f x x x x x x x ⋅=++=+++，所以()()()1212f x x f x f x +-⋅212222121222x x x x x x =----()22212122x x x x =----，显然有()()()121220f x x f x f x +-⋅≤-≤对12,x x ∀∈R 恒成立，所以有()()()1212f x x f x f x +≤⋅对12,x x ∀∈R 恒成立，所以()f x 是“J 形函数”.（3）解：由已知可得()112x f x a =+，()222x f x a =+，()12122x x f x x a ++=+，所以()()121222x x f x f x a a ⋅=+⋅+()12122222x x x x a a +=+++.因为函数()2x f x a =+为“J 形函数”，所以有()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++，即()121212202222x x x x x x a a a ++++≤+≤+.由1220x x a ++≥，可得0a ≥；由()12121222222x x x x x x a a a +++≤+++可得，()12222x x a a a ≤++.当0a =时，该式恒成立，满足；当0a >时，有()12122x xa -+≥恒成立.因为12220x x +>，所以1a ≥.综上可得，1a ≥或0a =.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题，解题关键是能够充分理解“J 形函数”的本质是函数值的大小关系的比较问题，从而利用作差法，整理化简()()()1212f x x f x f x +-⋅.只要得出()()()12120f x x f x f x +-⋅≤恒成立，即可说明()f x 是“J 形函数”.5．（2023上·上海徐汇·高一上海市西南位育中学校考期末）已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．【答案】(1)函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，理由见解析(2){|13x x ≤≤或}0x =(3)必要不充分条件，证明见解析【分析】（1）根据给定的定义为[)1,+∞时，求12()()f x f x -的取值区间即可判断作答.（2）根据给定条件，可得(2)()2f x f x +-=，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.【解析】（1）函数()21f x x =-是[)1,+∞关联，证明如下：任取12,x x ∈R ，若12[1,)-∈+∞x x ，则()()()[)121222,[1,)f x f x x x -=-∈+∞⊂+∞，()()()12122[1,)f x f x x x ∴-=-∈+∞所以函数()21f x x =-是[)1,+∞关联；函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联，证明如下：：若12[1,)-∈+∞x x ，则121211()()(),22⎡⎫-=-∈+∞⎪⎢⎣⎭f x f x x x ，所以函数1()12g x x =-不是[)1,+∞关联；（2）因()f x 是{}2关联，则122x x -=，有12()()2f x f x -=，即(2)()2f x f x +-=，当[)0,2x ∈时，22111(),2244⎛⎫⎡⎫=-=--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x x x x ，而()02f x ≤≤，即202≤-≤x x ，解得12x ≤≤或10x -≤≤，所以不等式的解集为{|12x x ≤<或}0x =，当[2,22),,0x n n n Z n ∈+∈≠时，()2112224f x x n n ⎛⎫=---+ ⎪⎝⎭，所以当[2,4)x ∈时，2577()(2)2,4244⎛⎫⎡⎫=-+=-+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭f x f x x ，而0()2f x ≤≤，得2570224⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭x ，解得23x ≤≤，所以不等式的解集为{}|23x x ≤≤，当0n <时，()0f x <或当2n ≥时，()2f x >，此时不等式0()2f x ≤≤无解；综上得13x ≤≤或0x =，所以不等式2()3f x ≤≤的解集为{|13x x ≤≤或}0x =，.（3）“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件，证明如下，易得函数,()1,x x Zf x x x Z ∈⎧=⎨-∉⎩是{}2关联，但1 2.112≤-≤时2)(2.1()0f f <-，所以函数()f x 不是[1,2]关联；所以充分性不成立；当函数()f x 是[1,2]关联时，即2112x x ≤-≤，21)1(()2f x f x -≤≤，则有1(2)(1)2f x f x -≤++≤，)1(1()2f x f x -≤+≤，即有)2(2()4f x f x -≤+≤，又1(2)2x x ≤+-≤，则有)1(2()2f x f x -≤+≤，于是得(2)()2f x f x +-=，从而得()()21212,=2x x f x f x -=-，即函数()f x 是{2}关联；所以“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的必要不充分条件.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.抽象函数6．（2023上·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知函数()f x 在定义域D 上是严格增函数.(1)若()221f x x x =+--，求()f x 的值域；(2)若()[]12241log ,,(04)214x x x f x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，求m n +的值；(3)若()0,D =+∞，且对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，试求()f x 的解析式.【答案】(1)[2,2]-；(2)4；(3)()152f x x-=.【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数的单调性可求出函数的最值，从而可求出函数的值域；（2）根据函数在D 上是严格增函数，可得()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t +-==++++，然后相加化简可得答案；（3）由已知可得111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，则有()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，再根据其单调性和已知条件可得()111()x f x f x x+=+，从而可求出()f x 的解析式.【解析】（1）由22010x x +≥⎧⎨-≥⎩，解得11x -≤≤，因为22y x =+和1y x =--在[1,1]-上均为增函数，所以()221f x x x =+--在[1,1]-上为增函数，所以min ()(1)221(1)2f x f =-=-+---=-，max ()(1)222f x f ==+=，所以()f x 的值域为[2,2]-；（2）因为()[]12241log ,,(04)214x x xf x D t t t x+-=++=-<<++的值域为[],m n ，且()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()12241log 214t t t m f t t --++=-=+++-，()12241log 214t t tn f t t+-==++++，所以()()m n f t f t +=-+112224241log 1log 214214t t t t t tt t -++-+-=++++++-++1222442log 212144t t t t t t t ++-⎛⎫=+++⋅ ⎪++-+⎝⎭22(21)2log 211t t +=+++224=+=；（3）因为对定义域D 内任意自变量x 均有()()11f x f f x x ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭成立，所以111()()11()f f x f f f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫+⋅++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()()111()()1()f x f fx f f f x f x x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⋅+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()11()1()f f f x f x x f x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以11()1()f f x x x f x x⎛⎫++= ⎪⎝⎭+，所以()111()xf x f x x+=+，所以()()()()()()211f x f x xf x f x xf x f x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎥⎣⎦，所以()()210xf x f x x --=，解得()152f x x±=，因为函数()f x 在定义域D 上是严格增函数，所以()152f x x-=.7．（2023上·上海松江·高一上海市松江二中校考期末）若函数f （x ）满足：对于任意正数s ，t ，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数f （x ）为“L 函数”.(1)试判断函数()2h x x =是否是“L 函数”，并说明理由；(2)若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；(3)若函数f （x ）为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，都有()2x f x >.【答案】(1)是“L 函数”，理由见解析；(2)[1,1]-；(3)证明见解析.【分析】（1）根据“L 函数”的定义分析判断即可；（2）由()g x 为“L 函数”，可得()0g t >，则3t a <，得1a ≤，()()()g s g t g s t +<+可得30s t a ++>，得10a +≥，从而可求出实数a 的取值范围；（3）由函数f （x ）为“L 函数”，可得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，则112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，再结合111()(2)(2)(2)k k k f x f x f f --->-+>可证得结论.【解析】（1）对于()2h x x =，当0,0t s >>时，()20h t t =>，()20h s s =>，因为()()()222()20h s h t h s t s t s t st +-+=+-+=<，所以()()()h s h t h s t +<+，所以()2h x x =是“L 函数”；（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，得()()31310t t g t a -=-+->，即(31)(3)0t t a -->对一切正数t 恒成立，因为310t ->，所以3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤，由()()()g s g t g s t +<+，得3331(3331)0s t s t s t s t a +------++--+>，所以(31)(31)(3)0s t s t a +--+>，因为(31)(31)0s t -->，所以30s t a ++>，由30s t a ++>对一切正数,s t 恒成立，所以10a +≥，即1a ≥-，综上可知，实数a 的取值范围为[1,1]-；（3）因为函数f （x ）为“L 函数”，所以对于任意正数,s t 都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，所以对于正整数k 与正数s 都有112(2)(2)(2)(2)2()(2)(2)()k k k k k k f s f s f s f s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅>，对任意()()1*2,2N k k x k -∈∈，可得()()1*12,2N k k k x--∈∈，因为(1)1f =，所以11112()(2)(2)(2)2(1)22k k k k k x f x f x f f f ---->-+>≥=>.【点睛】关键点点睛：此题考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，然后结合已知条件求解即可，考查理解能力和运算能力，属于较难题.8．（2023上·上海闵行·高一统考期末）已知函数()y F x =的定义域为D ，t 为大于0的常数，对任意x D ∈，都满足()()()2F x t F x t F x ++->，则称函数()y F x =在D 上具有“性质A ”．(1)试判断函数2x y =和函数2y x =-是否具有“性质A ”（无需证明）；(2)若函数()y f x =具有“性质A ”，且()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，求证：对任意n ∈N ，都有()()1f n f n >+；(3)若函数()y g x =的定义域为R ，且具有“性质A ”，试判断下列命题的真假，并说明理由，①若()y g x =在区间(),0∞-上是严格增函数，则此函数在R 上也是严格增函数；②若()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，则此函数在R 上也是严格减函数．【答案】(1)函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”(2)证明见解析(3)命题①为假命题，命题②为真命题，理由见解析【分析】（1）利用作差法结合“性质A ”的定义判断可得出结论；（2）利用“性质A ”的定义结合不等式()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭可推导出()1102f n f n ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭，()102f n f n ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，利用不等式的基本性质可证得结论成立；（3）取()2g x x =-可判断命题①为假命题，对命题②，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，根据“性质A ”的定义结合基本不等式的性质、单调性的定义证得()()12g x g x >，即可证得结论成立.【解析】（1）解：函数2x y =不具有“性质A ”，函数2y x =-具有“性质A ”，理由如下：设()2xp x =，()2q x x =-，对任意的0t >，()()()()222222222x t x t x x t tp x t p x t p x +--++--=+-⋅=+-()222220x t t ->⨯⋅-=，所以，()()()2p x t p x t p x ++-<，所以，函数2x y =不具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()()()22222220q x t q x t q x x x t x t t ++--=-+--=<，所以，()()()2q x t q x t q x ++->，所以，函数2y x =-具有“性质A ”.（2）证明：因为函数()y f x =具有“性质A ”，对任意的0t >，()()()2f x t f x t f x ++->，所以，()()()()f x f x t f x t f x -->+-，又因为()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以，()()()1130011222f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->->-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1111222f n f n f n f n f n f n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-->+->+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，()()1021102f n f n f n f n ⎧⎛⎫+-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，由不等式的可加性可得()()10f n f n +-<，故对任意的N n ∈，()()1f n f n +<.（3）解：命题①是假命题，命题②是真命题，理由如下：对于命题①，取函数()2g x x =-，由（1）可知，函数()g x 具有“性质A ”，函数()2g x x =-在区间(),0∞-上是严格增函数，但该函数在R 上不单调；对于命题②，对任意的0t >，对任意的x ∈R ，()()()2g x t g x t g x ++->，所以，()()()()g x t g x g x g x t -->-+，对任意的1t 、2t ∈R 且12x x <，取210t x x =->，必存在1k ≥且N k ∈，满足()2201x kt x k t >->-+，因为函数()y g x =在区间(),0∞-上是严格减函数，所以，()()()221g x kt g x k t -<-+，即()()()2210g x kt g x k t ---+<，所以，()()()()()()()()222222011g x k t g x kt g x kt g x k t g x t g x <-+--<----<<-- ，故()()()()22120g x t g x g x g x <--=-，即()()12g x g x >，故函数()y g x =在R 上是严格减函数.所以，命题②为真命题.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.9．（2022上·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）若函数()f x 满足:对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，则称函数()f x 为“L 函数”．（1）试判断函数()21f x x =与()122f x x =是否是“L 函数”；（2）若函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数()f x 为“L 函数”，且()11f =，求证：对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，都有()122x f x f x x⎛⎫->- ⎪⎝⎭．【答案】（1）21()f x x =是“L 函数”.2()f x x =不是“L 函数”.（2）[11]-，（3）见解析【解析】试题分析：利用“L 函数”的定义判断函数21()f x x =符合要求，而2()f x x =不符合要求（只需举一个反例说明）；函数()()3131x xg x a -=-+-为“L 函数”，则()g x 满足“L 函数”的定义，当0,0t s >>时，()0,()0,()()()g s g t g s g t g s t >>+<+成立；根据要求可以求出a 的范围；令s t =得(2)2()f s f s >，即(2)2()f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k kk k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，()()12,2N *k kx k -∈∈,则()112,2kk x--∈，利用(1)1f =，借助()()()1122k k f x f x f -->-+及()111122kk f f f x x --⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭借助不等关系证明.试题解析：（1）对于函数()21f x x =，当0,0t s >>时，()()22110,0f t t f s s =>=>，又()()()()22211120f t f s f t s t s t s ts +-+=+-+=-<，所以()()()111f s f t f s t +<+，故()21f x x =是“L 函数”.对于函数()2f x x =，当1t s ==时，()()()22222f t f s f t s +=>=+，故()2f x x =不是“L 函数”.（2）当0,0t s >>时，由()()3131x xg x a -=-+-是“L 函数”，可知()()31310t t g t a -=-+->，即()()3130t ta -->对一切正数t 恒成立，又310t ->，可得3t a <对一切正数t 恒成立，所以1a ≤．由()()()g t g s g t s +<+，可得()+333133310s ts t s t s t a ------++--+>，故()()()31313+0s t s t a +-->，又()()31310t s-->，故3+0s t a +>，由3+0s t a +>对一切正数,s t 恒成立，可得10a +≥，即1a ≥-．综上可知，a 的取值范围是[]11-，．（3）由函数()f x 为“L 函数”，可知对于任意正数,s t ，都有()()0,0f s f t >>，且()()()f s f t f s t +<+，令s t =，可知()()22f s f s >，即()()22f s f s >，故对于正整数k 与正数s ，都有()()()()()()()()1122222222k k k k k k f sf s f sf s f s f s f s f s ---=⋅⋅⋅> ，对任意()()12,2N *k kx k -∈∈，可得()112,2kk x--∈，又()11f =，所以()()()()()111122222122k k k k k xf x f x f f f ---->-+>≥=>，同理()()()11111112222212k k k k kf f f f f x x x -----⎛⎫⎛⎫<--<≤=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()1f x f x ⎛⎫->⎪⎝⎭22x x -．【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数()g x 是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.零点问题10．（2022上·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期末）已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，若存在常数0T >，使得对任意()0,x ∈+∞，都有()()f Tx f x T =+，则称函数()f x 具有性质()P T ．(1)若函数()f x 具有性质()2P ，求()122f f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值(2)设()log a f x x =，若01a <<，求证：存在常数0T >，使得()f x 具有性质()P T (3)若函数()f x 具有性质()P T ，且()f x 的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数()f x 在()0,∞+上存在零点．【答案】(1)()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，代入2x =和12x =即可得出答案；（2）设()log a g x x x =-，利用零点存在性定理即可证得结论；（3）先转化为()()nf T x f x nT =+，然后令1x =得，()()1nf T f nT =+，分情况利用零点存在性定理证得结论.【解析】（1）函数()f x 具有性质()2P ，所以对任意()0,x ∈+∞，都有()()22f x f x =+，令2x =，得()()212f f =+，令12x =，得()1122f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()1242f f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）证明：函数()f x 具有性质()P T 的充要条件为存在0T >，使得()log log a a Tx x T =+，即log a T T =，设()log a g x x x =-，因为()110g =-<，()10g a a =->，所以在区间(),1a 上函数()g x 存在零点0x ，取0T x =，则log a T T =，得函数()f x 具有性质()P T ．（3）设n N *∈，因为()()f Tx f x T =+，所以()()nf T x f x nT =+，令1x =得，()()1nf T f nT =+，①若()10f =，则函数()f x 存在零点若()10f <，当()01f n T>-时，()00nf T >，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点②因为()n x f x f nTT ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()()1nf T f nT-=-若()10f >，当()01f n T>时，()00nf T -<，所以此时函数()f x 在区间()0,+∞上存在零点．综上，函数()f x 在()0,∞+上存在零点．11．（2023上·上海浦东新·高一校考期末）已知函数21()4f x x ax =++，()ln g x x =-．（1）若函数[()]g f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，讨论()h x 零点的个数．【答案】（1）()1,1-；（2）5[,)4-+∞；（3）答案见解析.【解析】（1）由对数函数的性质及函数的定义域为R ，利用判别式，列出不等式，即可求解；（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，结合对数函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解；（3）根据函数()min{(),()}(0)h x f x g x x =>，先分1x >，1x =和01x <<三种情况讨论，再结合二次函数的性质，分∆<0，0∆=和0∆>三种情况讨论，即可求解.【解析】（1）由题意，函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，因为该函数的定义域为R ，则2104x ax ++>对任意x R ∈恒成立，可得210a ∆=-<，解得11a -<<，即实数a 的取值范围()1,1-.（2）由函数21[()]ln()4=-++g f x x ax ，若[()]g f x 在(1,)+∞上单调递减，则问题等价于()0f x >在(1,)+∞上恒成立，且()f x 在(1,)+∞上单调递增，即5(1)0412f a a ⎧=+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得54a ≥-，所以实数a 的取值范围是5[,)4-+∞．（3）当1x >时，()ln 0g x x =-<，所以当1x >时，min{(),()}()0≤<f x g x g x ，所以()h x 在(1,)+∞上没有零点；当1x =时，(1)0g =，5(1)4f a =+，若504a +≥即54a ≥-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，此时1x =是函数()h x 的一个零点；若504+<a 即54a <-时，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，此时1x =不是函数()h x 的一个零点；当01x <<时，因为()ln 0g x x =->，则函数()h x 的零点个数等价于函数()f x 的零点个数，①当210a ∆=-<，即11a -<<时，()0f x >，则()min{(),()}0=>h x f x g x ，函数()h x 在(0,1)上没有零点；②当0∆=即1a =±时，函数()f x 有且只有一个零点，若1a =，由()0f x =可得1(0,1)2=-∉x ，则函数()h x 在(0,1)上没有零点；若1a =-，由()0f x =可得12x =，则函数()h x 在(0,1)上有1个零点；③当0∆>，即1a <-或1a >时，函数()f x 有两个零点，不妨设为12,x x 且12x x <，当1a >时，120x x a +=-<，12104=>x x ，所以120x x <<，则()f x 在(0,1)上没有零点；当1a <-时，120x x a +=->，12104=>x x ，所以120x x <<，当5(1)04=+≤f a 即54a ≤-时，1(0)04=>f ，所以(0)(1)0f f <，则101x <<，21x ≥，所以此时()f x 在(0,1)上有且只有一个零点；当(1)0f >，即514a -<<-时，对称轴15(,)228=-∈a x ，且(0)0f >，(1)0f >所以1201x x <<<，()f x 在(0,1)上有两个零点，综上所述：当54a <-或1a >-时，()h x 有一个零点；当54a =-或1a =-时，()h x 有两个零点；当514a -<<-时，()h x 有三个零点.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解12．（2023上·上海徐汇·高一南洋中学校考期末）设k ∈R ，函数()y f x =的表达式为()243f x x x =-+，函数()y g x =的表达式为()1g x kx =+，()()y f x g x =-有四个零点，设为()12341234,,,x x x x x x x x <<<.(1)求实数k 的取值范围；(2)求22221234x x x x k+++的取值范围．【答案】(1)1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，做出图像，结合图像即可得到k 的取值范围；（2）根据题意，利用韦达定理，求得2214x x +，2223x x +和k 的关系，将目标式转化为关于k 的函数，借助对勾函数的单调性，即可求得结果.【解析】（1）根据题意，令2430x x -+=，解得1x =或3x =，不妨设()()()1,03,0,0,,1A B C 做图如下：又直线BC 的斜率为13-，数形结合可知，要满足题意，1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，14,x x 为方程2431x x kx -+=+，即()2420x k x -++=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2480k ∆=+->，则41414,2x x k x x +=+=，故()()2422244111244x x x x x x k +=+-=+-；23,x x 为方程2431x x kx -+-=+，即()2440x k x +-+=的两根，当1,03k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()24160k ∆=-->，则23234,4x x k x x +=-=，故()()2222232323248x x x x x x k +=+-=--；则22221234x x x x k +++22201012,,03k k k k k +⎛⎫⎛⎫==+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1012,,03f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由对勾函数单调性可知()f x 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又118233f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()f x ∈182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，即22221234x x x x k+++的取值范围为182,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.13．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，设()()f xg x x=.(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1a =，1b =(2)4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(3)()1,+∞【分析】（1）根据题意得0a >，再根据二次函数单调性列方程求解即可；（2）由题知2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，进而得2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，再求最值即可得答案；（3）用换元法化简方程()22131021xx mg m -+-+=-为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布的知识求得m 的取值范围.【解析】（1）解：()()2221f x ax ax b a x b a =-+=-+-，(),0a b ≥因为，当0a =时，()f x b =，为常函数，不满足题意；所以，0a >，()()21f x a x b a =-+-在[]1,3x ∈上单调递增，因为函数()()22,0f x ax ax b a b =-+≥在[]1,3x ∈时有最大值4和最小值0，所以()()10334f b a f a b ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得1a b ==，所以1a =，1b =.（2）解：由（1）知()221f x x x =-+，()()12f x g x x x x==+-，因为不等式()22log log 0g x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，所以2221log 2log 0log x k x x+--≤在[]4,8x ∈上恒成立，设2log t x =，则[]2,3t ∈，所以，120t kt t +--≤，在[]2,3t ∈上恒成立，所以2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，因为[]2,3t ∈，所以111,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以，当113t =时，211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭取得最大值，最大值为211394⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以，2212111k t t t ⎛⎫≥+-=- ⎪⎝⎭，在[]2,3t ∈上恒成立，则49k ≥，所以k 的取值范围是4,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（3）解：方程()22131021xx m g m -+-+=-等价于122123102121xx x m m -+-+-+=--，即()()2211321120x x m m --+-++=，210x-≠，令21xt -=，则方程化为()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，因为方程()22131021xxmg m -+-+=-有三个不同的实数解，所以，画出21xt =-的图像如下图所示，所以()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =.记()()()21312h t t m t m =-+++，所以，()()0120110h m h m ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩，即121m m ⎧>-⎪⎨⎪>⎩，此时1m >或()()()012011013012h m h m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-=⎨⎪-+⎪<-<⎪⎩得1211133m m m ⎧>-⎪⎪=⎨⎪⎪-<<⎩，此时m 无解，综上，1m >，即实数m 的取值范围()1,+∞【点睛】本题第三问解题的关键在于令21xt -=，进而结合题意，数形结合得()()213120t m t m -+++=，()0t ≠，有两个根1t ､2t ，且1201t t <<<或101t <<，21t =，再根据零点存在性定理求解即可.二次函数（包括含绝对值）、对勾函数14．（2022上·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期末）对于定义域为D 的函数y=f （x ），如果存在区间[m ，n]⊆D ，同时满足：①f （x ）在[m ，n]内是单调函数；②当定义域是[m ，n]时，f （x ）的值域也是[m ，n]．则称[m ，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数()53y g x x ==-不存在“和谐区间”．（3）已知：函数()()221aa x y h x a x+-==（a ∈R ，a≠0）有“和谐区间”[m ，n]，当a 变化时，求出n﹣m 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质,在区间[]0,1上单调递增,且值域也为[]0,1满足“和谐区间”的定义,即可得到结论；（2）该问题是一个确定性问题,从正面证明有一定的难度,故可采用反证法来进行证明；（3）设[],m n 是已知函数定义域的子集,我们可以用a 表示出n m -的取值,转化为二次函数的最值问题后,根据二次函数的性质,可以得到答案.试题解析：（1）y=x 2在区间[0，1]上单调递增．又f （0）=0，f （1）=1，值域为[0，1]，区间[0，1]是y=f （x ）=x 2的一个“和谐区间”．（2）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程的同号的相异实数根．x 2﹣3x+5=0无实数根，函数不存在“和谐区间”．（3）设[m ，n]是已知函数定义域的子集．x≠0，故函数在[m ，n]上单调递增．若[m ，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m 、n 是方程，即222()10a x a a x -++=的同号的相异实数根．，m ，n 同号，只须，即a ＞1或a ＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m ，n]，当a=3时，n ﹣m 取最大值考点：1.函数的单调性的性质；2.集合的关系；3.二次函数的图象和性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出区间上单调递增，且值域也为满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设是已知函数定义域的子集，我们可以用a 表示出的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．15．（2023上·上海徐汇·高一上海中学校考期末）设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.(1)写出集合A =R 到集合{R ,B x x =∈且}0x >的一个保序同构函数（不需要证明）；(2)求证：不存在从整数集Z 的到有理数集Q 的保序同构函数；(3)已知存在正实数s 和t 使得函数()21xf x x m =+-是集合[]0,s 到集合[]0,t 的保序同构函数，求实数m 的取值范围和s 的最大值（用m 表示）.【答案】(1)()2xf x =(2)见解析。
2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |a 2﹣a ＜x ＜2，x ∈Z }中恰有两个元素，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[1，2]2．在复平面内，复数z =i+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．里氏震级（M ）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A ）和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（A 0）的常用对数演算而来的，其计算公式为M =lgAA 0.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A 5.5和A 3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则A 5.5A 3.0≈（ ）（参考数据：√10≈3.16）A ．25B ．31.6C ．250D ．3164．已知函数f （x ）＝a sin x +cos （x +π6）的图象关于直线x =π3对称，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣25．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（ ） A ．21B ．19C ．18D ．3726．玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，其余棱用另4种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，同一面内再无同色的棱，则染法总数为（ ） A ．216B ．360C ．720D ．10807．已知ω是正整数，函数f （x ）＝sin （ωx +ω）在（0，ωπ）内恰好有4个零点，其导函数为f ′（x ），则f （x ）+f ′（x ）的最大值为（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．√108．已知过点P （﹣2，2）的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且PA →=λPB →，点Q 满足QA →=−λQB →，点C （4，0），则|QC |的最小值为（ ） A ．2√2B ．2C ．√2D ．1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，且S 7＞S 6＞S 8，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 5+a 10＞0 B ．d ＜0C ．S 14＜0D ．当n ＝7时，S n 取得最大值10．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点A 在椭圆上，且AF 1⊥F 1F 2，直线AF 2与椭圆的另一个交点为B ，且AF 2→=3F 2B →，则下列结论中正确的是（ ） A ．椭圆的长轴长是短轴长的√6倍 B ．线段AF 1的长度为23aC ．椭圆的离心率为√33D ．△BF 1F 2的周长为6+√33a 11．已知函数f （x ）=x 2−x+1e x，则（ ）A ．f （x ）的极大值为3e 2B ．存在无数个实数m ，使关于x 的方程f （x ）＝m 有且只有两个实根C ．f （x ）的图象上有且仅有两点到直线y ＝1的距离为1D ．若关于x 的不等式f （x ）≥ax 的解集内存在正整数，则a 存在最大值，且最大值为1e12．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的棱长均为2，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，动点Q 满足QM →•QN →=0，则下列结论中正确的是（ ） A ．动点Q 的轨迹是半径为√22的球面B ．点P 在动点Q 的轨迹外部C ．动点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的是半径为√104的圆D ．动点Q 的轨迹与平面P AB 有交点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出对任意x ∈R ，都有sin （x +θ）＝sin x sin θ+cos x cos θ成立的—个θ的值 ．14．过点P 向圆C 1：x 2+y 2﹣2x ﹣3y +3＝0作切线，切点为A ，过点P 向圆C 2：x 2+y 2+3x ﹣2y +2＝0作切线，切点为B ，若|P A |＝|PB |，则动点P 的轨迹方程为 ．15．已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝1，PB =3√2，P A ⊥AB ，AD ⊥平面P AB ．当四棱锥P ﹣ABCD 的体积最大时，cos ∠CPD ＝ ．16．已知函数f （x ）＝x 2−12lnx +ax 在区间（1，+∞）上没有零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，√3b tan B ＝a cos C +c cos A ． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）过点A 作AD ∥BC ，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =√72，AC ＝1，CD =√22，求AD 的长．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝CA ＝15，PB ＝CB ＝13，AB ＝14，PC =12√2，PO ⊥AB 于点O ．（Ⅰ）证明：CO ⊥平面P AB ；（Ⅱ）若点Q 满足PQ →=13QC →，求二面角P ﹣AB ﹣Q 的余弦值．19．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一个焦点到E 上的点的最小距离为2−√3． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝x ﹣2与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ，B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ，C ，求四边形ABCD 的面积．20．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1+S 2+…+S n ＝4a n ﹣2n ﹣4． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）记b n ＝log 2a n ，求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2＜53．21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，负一场得0分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，则名次并列．已知甲胜乙、丙、丁的概率均为23，乙胜丙、丁的概率均为35，丙胜丁的概率为12，且各场比赛的结果相互独立． （Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X ，求X 的分布列和期望；（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣aln （x +1）（a ∈R ）． （Ⅰ）若x ＝0为f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在区间（﹣1，0），（π4，π）上各有一个零点，求a 的取值范围．参考数据：√22e π4＞1．2023-2024学年河南省顶级名校联盟高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |a 2﹣a ＜x ＜2，x ∈Z }中恰有两个元素，则a 的取值范围为（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[1，2]解：由集合A ＝{x |a 2﹣a ＜x ＜2，x ∈Z }中恰有两个元素，得﹣1≤a 2﹣a ＜0，解得a ∈（0，1）． 故选：B ．2．在复平面内，复数z =i+2i对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：z =i+2i =(i+2)⋅(−i)i⋅(−i)=−i 2−2i1=1−2i ，故复数对应的点坐标为（1，﹣2），所以位于第四象限．故选：D ．3．里氏震级（M ）是表示地震规模大小的标度，它是由观测点处地震仪所记录到的地震波最大振幅（A ）和观测点所在地规模标准地震所应有的振幅（A 0）的常用对数演算而来的，其计算公式为M =lgAA 0.2023年8月6日2时33分，山东省德州市平原县发生5.5级地震，29分钟后又发生3.0级地震，用A 5.5和A 3.0分别表示震级为5.5和3.0的地震波最大振幅，则A 5.5A 3.0≈（ ）（参考数据：√10≈3.16）A ．25B ．31.6C ．250D ．316解：由题意得，5.5=lg A 5.5A 0，3.0=lg A3.0A 0，从而A 5.5A 0=105.5，A 3.0A 0=103.0， 因此A 5.5A 3.0=105.5103.0=102.5=102×√10≈100×3.16=316．故选：D ．4．已知函数f （x ）＝a sin x +cos （x +π6）的图象关于直线x =π3对称，则实数a 的值为（ ）A．1B．2C．﹣1D．﹣2解：函数f（x）＝a sin x+cos（x+π6）＝a sin x+√32cos x−12sinx＝（a−12）sin x+√32cos x=√(a−12)2+34sin（x+θ），其中tanθ=√32a−12=√32a−1，因为函数图象关于直线x=π3对称，则θ+π3=kπ+π2，k∈Z，解得θ=kπ+π6，k∈Z，则tanθ=√32a−1=√33，解得a＝2．故选：B．5．某班男生人数是女生人数的两倍，某次数学考试中男生成绩（单位：分）的平均数和方差分别为120和20，女生成绩的平均数和方差分别为123和17，则全班学生数学成绩的方差为（）A．21B．19C．18D．37 2解：根据题意，设该班有女生m人，则男生有2m人，则全班有3m人，则全班学生数学成绩的平均数2m×120+m×1233m=121，全班学生数学成绩的方差S2=2m3m[20+（120﹣121）2]+m3m[17+（123﹣121）2]＝21．故选：A．6．玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，其余棱用另4种颜色，且在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，同一面内再无同色的棱，则染法总数为（）A．216B．360C．720D．1080解：根据题意，如图：分3步进行分析：①要求侧棱用同一种颜色，则侧棱有5种选色的方法，②对于上底ABCD，有4种颜色可选，而要求4条边的颜色都不相同，则有A44=24种选法，③对于下底A1B1C1D1，每条边与上底和侧棱的颜色不同，有3×3×1×1＝9种选法，则共有5×24×9＝1080种选法． 故选：D ．7．已知ω是正整数，函数f （x ）＝sin （ωx +ω）在（0，ωπ）内恰好有4个零点，其导函数为f ′（x ），则f （x ）+f ′（x ）的最大值为（ ） A ．2B ．√5C ．3D ．√10解：因为f （x ）在（0，ωπ）内恰好有4个零点， 所以3T 2＜ωπ−0≤5T 2，即3πω＜ωπ≤5πω，所以3＜ω2≤5，又ω∈N +，所以ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x +2），f ′（x ）＝2cos （2x +2），所以f(x)+f ′(x)=√5sin(2x +2+φ)≤√5，其中tanφ=2(φ∈(0，π2))．故选：B ．8．已知过点P （﹣2，2）的直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且PA →=λPB →，点Q 满足QA →=−λQB →，点C （4，0），则|QC |的最小值为（ ） A ．2√2B ．2C ．√2D ．1解：易知直线l 的斜率存在且不为零，不妨设直线l 的方程为y ＝k （x +2）+2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x +2)+2y 2=4x，消去x 并整理得ky 2﹣4y +8k +8＝0， 因为Δ＝16﹣4k （8k +8）＞0，所以2k 2+2k ﹣1＜0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=8k+8k，①不妨设Q （x 0，y 0），因为PA →=λPB →，所以y 1﹣2＝λ（y 2﹣2），② 因为QA →=−λQB →，所以y 1﹣y 0＝﹣λ（y 2﹣y 0），③ 联立②③可得（y 0+2）（y 1+y 2）﹣2y 1y 2﹣4y 0＝0，④ 又k =y 0−2x 0+2，⑤ 联立①④⑤，可得x 0﹣y 0﹣2＝0，所以|QC |的最小值即为点C （4，0）到直线x ﹣y ﹣2＝0的距离，则最小距离d =|4−2|√1+(−1)=√2，经检验，其满足2k 2+2k ﹣1＜0，所以|QC |的最小值为√2． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，且S 7＞S 6＞S 8，则下列结论中正确的是（ ） A ．a 5+a 10＞0 B ．d ＜0C ．S 14＜0D ．当n ＝7时，S n 取得最大值解：由题意，S 6+a 7＞S 6＞S 6+a 7+a 8，即a 7＞0，a 7+a 8＜0，且a 8＜0， A 项，a 5+a 10＝a 7+a 8＜0，错误； B 项，d ＝a 8﹣a 7＜0，正确； C 项，S 14＜=a 1+a 142×14＝7（a 7+a 8）＜0，正确； D 项，由已知可得，数列单调递减，且在n ＝7时加完所有正项，即当n ＝7时，S n 取得最大值，正确． 故选：BCD ．10．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点A 在椭圆上，且AF 1⊥F 1F 2，直线AF 2与椭圆的另一个交点为B ，且AF 2→=3F 2B →，则下列结论中正确的是（ ） A ．椭圆的长轴长是短轴长的√6倍 B ．线段AF 1的长度为23aC ．椭圆的离心率为√33D ．△BF 1F 2的周长为6+√33a 解：由AF 1⊥F 1F 2，可设A （﹣c ，b 2a ），B （x ，y ），又F 2（c ，0），AF 2→=3F 2B →，可得2c ＝3（x ﹣c ），−b2a=3y ，解得x =53c ，y =−b 23a ，即B （53c ，−b23a ），将B 的坐标代入椭圆方程，可得25c 29a 2+b 29a 2=25(a 2−b 2)9a 2+b 29a 2=1，化为2a 2＝3b 2，即a =√62b ，故A 错误；|AF 1|=b 2a =23a ，故B 正确；椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a2=√1−23=√33，故C 正确；△BF 1F 2的周长为|BF 1|+|BF 2|+|F 1F 2|＝2a +2c =6+2√33a ，故D 错误． 故选：BC ． 11．已知函数f （x ）=x 2−x+1e x ，则（ ） A ．f （x ）的极大值为3e 2B ．存在无数个实数m ，使关于x 的方程f （x ）＝m 有且只有两个实根C ．f （x ）的图象上有且仅有两点到直线y ＝1的距离为1D ．若关于x 的不等式f （x ）≥ax 的解集内存在正整数，则a 存在最大值，且最大值为1e解：∵f （x ）=x 2−x+1e x， ∴f ′(x)=(2x−1)e x −(x 2−x+1)e x (e x )2=−(x−1)(x−2)e x ， ∴当x ∈（﹣∞，1）∪（2，+∞）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（1，2）时，f ′（x ）＞0， ∴f （x ）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减， ∴f （x ）极小值为f （1）=1e ，f （x ）极大值为f （2）=3e2，且f （0）＝1，当x →﹣∞时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→0， ∴作出f （x ）的图象如下：对A 选项，∵f （x ）极大值为f （2）=3e 2，∴A 选项正确； 对B 选项，由图可知仅存m =3e2或m =1e ，使关于x 的方程f （x ）＝m 有且只有两个实根，∴B 选项错误；对C 选项，由图可知f （x ）图象上仅有一个在y ＝1上方的点到直线y ＝1的距离为1，∴C 选项错误； 对D 选项，∵f （x ）≥ax 的解即为f （x ）的图象在直线y ＝ax 上方所对应的x 范围，∴要使关于x 的不等式f （x ）≥ax 的解集内存在正整数，则直线y ＝ax 的斜率a 最大为过点（1，1e）时，∴a 的最大值为1e，∴D 选项正确．故选：AD ．12．已知正四棱锥P ﹣ABCD 的棱长均为2，M ，N 分别为棱PD ，BC 的中点，动点Q 满足QM →•QN →=0，则下列结论中正确的是（ ） A ．动点Q 的轨迹是半径为√22的球面B ．点P 在动点Q 的轨迹外部C ．动点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的是半径为√104的圆D ．动点Q 的轨迹与平面P AB 有交点解：设点O 是底面正方形ABCD 的中心，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 中，AO =√22AB =√2，PO =√PA 2−AO 2=√22−(√2)2=√2，连接OM 、ON ，则OM =12PB ＝1，ON =12AB ＝1，△OMN 中，∠MON ＝180°﹣∠P AB ＝120°，可得MN =√OM 2+ON 2−2OM ⋅ONcos120°=√3． ∵QM →•QN →=0，∴QM ⊥QN ，点Q 在以MN 为直径的球面上， 因此动点Q 的轨迹是半径为√32的球面，故A 错误； ∴OM ＝1，OP =√2，∴PM =√3，∴PM ＞OM ，∴点P 在以M 为球心的球面外，故B 正确；∵OM ＝1，OA =√2，∴AM =√3，MA ＞OM ，∴球面与平面ABCD 相交，故C 正确； 由前面的分析，可得点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的是圆，且该圆的半径为√104， 故点Q 的轨迹被平面ABCD 截得的圆面和平面P AB 没有公共点，故D 错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出对任意x∈R，都有sin（x+θ）＝sin x sinθ+cos x cosθ成立的—个θ的值：θ=π4（答案不唯一）．解：因为sin（x+θ）＝sin x cosθ+cos x sinθ，又sin（x+θ）＝sin x sinθ+cos x cosθ，故只要sinθ＝cosθ，即tanθ＝1，故满足条件的一个θ=π4．故答案为：θ=π4（答案不唯一）．14．过点P向圆C1：x2+y2﹣2x﹣3y+3＝0作切线，切点为A，过点P向圆C2：x2+y2+3x﹣2y+2＝0作切线，切点为B，若|P A|＝|PB|，则动点P的轨迹方程为5x+y﹣1＝0．解：设P（x，y），由|P A|＝|PB|及圆的切线长的性质可得：P到相应圆心的距离平方减去对应圆半径的平方相等：即x2+y2﹣2x﹣3y+3＝x2+y2+3x﹣2y+2，化简可得所求曲线方程为5x+y﹣1＝0．故答案为：5x+y﹣1＝0．15．已知在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝1，PB=3√2，P A⊥AB，AD⊥平面P AB．当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，cos∠CPD＝2√3819．解：四棱锥P﹣ABCD的体积为V=13⋅12⋅(AD+BC)⋅AB⋅PA=23⋅AB⋅PA．要使四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值，只需AB•P A取得最大值．由条件可得P A2+AB2＝PB2＝18≥2P A•AB，即P A•AB≤9，当且仅当P A＝AB＝3 时，P A•AB取得最大值9，此时计算可得PC=√19，又PD=3√2CD=√13，所以由余弦定理可得：cos∠CPD=PC2+PD2−CD22⋅PC⋅PD=2√3819．故答案为：2√38 19．16．已知函数f（x）＝x2−12lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点，则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．解：∵f（x）＝x2−12lnx+ax在区间（1，+∞）上没有零点，且x→+∞时，f（x）→+∞，∴f（x）＝x2−12lnx+ax＞0在区间（1，+∞）上恒成立，∴a＞lnx2x−x在区间（1，+∞）上恒成立，设g（x）=lnx2x−x，x＞1，∴g′(x)=1−lnx2x2−1=1−lnx−2x22x2，又x＞1时，1﹣lnx﹣2x2＜0，∴g′（x）＜0，∴g （x ）在区间（1，+∞）上单调递减，∴g （x ）＜g （1）＝﹣1， 故a ≥﹣1，即实数a 的取值范围为[﹣1，+∞）． 故答案为：[﹣1，+∞）．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，√3b tan B ＝a cos C +c cos A ． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）过点A 作AD ∥BC ，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD ，若AB =√72，AC ＝1，CD =√22，求AD 的长．解：（Ⅰ）由√3b tan B ＝a cos C +c cos A ，所以由正弦定理可得√3sin B tan B ＝sin A cos C +sin C cos A ， 故√3sin B tan B ＝sin （A +C ）， 而sin B ＝sin （A +C ）＞0， 所以tanB =√33，又B ∈（0，π）， 所以B =π6；（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理可得sin ∠ACB =AB ×sinB AC =√74， 因为AD ∥BC ，所以sin ∠DAC =√74，在△ACD 中，因为CD ＜AC ，所以∠DAC 为锐角，所以cos ∠DAC =34，由余弦定理可得cos ∠DAC =AD 2+12−(√22)22AD×1=34，解得AD ＝1或12．18．（12分）如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝CA ＝15，PB ＝CB ＝13，AB ＝14，PC =12√2，PO ⊥AB 于点O ．（Ⅰ）证明：CO ⊥平面P AB ；（Ⅱ）若点Q 满足PQ →=13QC →，求二面角P ﹣AB ﹣Q 的余弦值．（Ⅰ）证明：因为P A ＝CA ，PB ＝CB ，AB 是公共边，所以△P AB ≌△CAB ， 因为PO ⊥AB ，所以CO ⊥AB ，且PO ＝CO ，设OB ＝x ，则OA ＝14﹣x ，所以152﹣（14﹣x ）2＝132﹣x 2，解得x ＝5， 故OB ＝5，OA ＝9，PO ＝CO ＝12，在△POC 中，因为PO 2+CO 2＝PC 2，所以PO ⊥CO ， 又因为CO ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ， 所以CO ⊥平面P AB ；（Ⅱ）解：如图所示，以O 为坐标原点，以OC ，OA ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则O （0，0，0），A （0，9，0），B （0，﹣5，0），C （12，0，0）， P （0，0，12），AB →=(0，−14，0)，设Q （x 0，y 0，z 0）， 则PQ →=(x 0，y 0，z 0−12)，QC →=(12−x 0，−y 0，−z 0)，因为PQ →=13QC →，所以{x 0=13(12−x 0)y 0=−13y 0z 0−12=−13z 0，解得{x 0=3y 0=0z 0=9，故Q （3，0，9），QA →=(−3，9，−9)，设平面QAB 的法向量为m →=（x 1，y 1，z 1），则{m →⋅AB →=−14y 1=0m →⋅QA →=−3x 1+9y 1−9z 1=0，令x 1＝3，可得m →=（3，0，﹣1），易知平面P AB 的一个法向量为n →=（1，0，0）， 因为cos ＜m →，n →＞=3√3+(−1)2×1=3√1010，所以二面角P ﹣AB ﹣Q 的余弦值为3√1010． 19．（12分）已知双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线的倾斜角为30°，其中一个焦点到E 上的点的最小距离为2−√3． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y ＝x ﹣2与双曲线E 交于A ，B 两点，过A ，B 作直线l 的垂线分别交E 于另一点D ，C ，求四边形ABCD 的面积．解：（Ⅰ）不妨设双曲线的半焦距为c （c ＞0），因为的一条渐近线的倾斜角为30°，所以ba=tan30°，①因为一个焦点到E 上的点的最小距离为2−√3，所以c −a =2−√3，② 又a 2+b 2＝c 2，③联立①②③，解得a =√3，b ＝1， 则E 的方程为x 23−y 2=1；（Ⅱ）联立{x 23−y 2=1y =x −2，消去y 并整理得2x 2﹣12x +15＝0，不妨设A （x 1，x 1﹣2），B （x 2，x 2﹣2）， 由韦达定理得x 1+x 2＝6，x 1x 2=152，不妨设x 1＞x 2， 所以x 1=3+√62，x 2=3−√62，此时|AB|=√1+12|x 1−x 2|=2√3，易知直线AD 的方程为y ＝﹣（x ﹣x 1）+x 1﹣2，联立{y =−(x −x 1)+x 1−2x 23−y 2=1，消去y 并整理得2x 2−12(x 1−1)x +12x 12−24x 1+15=0， 由韦达定理得x D ＝（x 1+x D ）﹣x 1＝5x 1﹣6， 同理x C ＝5x 2﹣6，所以|AD |+|BC |=√2（x D ﹣x 1）+√2（x C ﹣x 2）=√2（4x 1﹣6）+√2（4x 2﹣6）＝4√2（x 1+x 2）﹣12√2=12√2， 故四边形ABCD 的面积S =|AD|+|BC|2×|AB|=12√22×2√3=12√6．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S1+S2+…+S n＝4a n﹣2n﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n＝log2a n，求证：1b12+1b22+⋯+1b n2＜53．（Ⅰ）解：当n＝1时，S1＝a1＝4a1﹣6，解得a1＝2；当n＝2时，S1+S2＝2a1+a2＝4a2﹣8，解得a2＝4，当n≥2时，由S1+S2+⋯+S n＝4a n﹣2n﹣4，得S1+S2+⋯+S n﹣1＝4a n﹣1﹣2（n﹣1）﹣4，两式相减得S n＝4a n﹣4a n﹣1﹣2，从而S n+1＝4a n+1﹣4a n﹣2，所以S n+1﹣S n＝a n+1＝4a n+1﹣8a n+4a n﹣1，整理得3（a n+1﹣2a n）＝2（a n﹣2a n﹣1）（n≥2），因为a2﹣2a1＝0，所以a n﹣2a n﹣1＝0，即a n＝2a n﹣1（n≥2），所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为a n＝2n．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，b n＝log2a n＝log22n＝n，当n＝1时，1b12=1＜53，不等式成立；当n≥2时，1b n2=1n2=44n2＜44n2−1=2（12n−1−12n+1），所以1b12+1b22+⋯+1b n2＜1+2[（13−15）+（15−17）+…+（12n−1−12n+1）]＝1+2（13−12n+1）＜1+23=53，综上，原不等式成立．21．（12分）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，亚运会的召开推动了全民健身的热潮．某小区甲、乙、丙、丁四位乒乓球爱好者准备开展一次乒乓球比赛．每两人进行一场比赛，胜一场得1分，负一场得0分，最终累计得分最高者获得冠军，若多人积分相同，则名次并列．已知甲胜乙、丙、丁的概率均为23，乙胜丙、丁的概率均为35，丙胜丁的概率为12，且各场比赛的结果相互独立．（Ⅰ）设比赛结束后，甲的积分为X，求X的分布列和期望；（Ⅱ）在甲获得冠军的条件下，求乙也获得冠军的概率．解：（Ⅰ）易知X的所有可能取值为0，1，2，3，此时P(X=0)=(1−23)3=127，P(X=1)=C31⋅23⋅(1−23)2=29，P(X=2)=C32⋅(23)2⋅(1−23)=49，P(X=3)=C33⋅(23)3=827，则X 的分布列为：故E （X ）＝0×127+1×29+2×49+3×827=2； （Ⅱ）记“甲获得冠军”为事件A ，“乙获得冠军”为事件B ，“甲胜乙、丙、丁”分别记为事件 A 1，A 2，A 3，“乙胜丙、丁”分别记为事件B 1，B 2，“丙胜丁”记为事件C ， 此时P(A 1)=P(A 2)=P(A 3)=23，P(B 1)=P(B 2)=35，P(C)=12，所以P （A ）＝P （A 1A 2A 3）+P （A 1A 2A 3）[1﹣P （B 1B 2）] +P （A 1A 2A 3）[1﹣P （B 1C ）]+P （A 1A 2A 3）[1﹣P （B 2C ）]=(23)3+13×(23)2×[1−(35)2]+13×(23)2×(1−25×12)+13×(23)2×(1−25×12)=424675， P （AB ）＝P （A 1A 2A 3）[P （B 1B 2）+P （B 1B 2）]+P （A 1A 2A 3）P （B 1B 2）+P （A 1A 2A 3）P （B 1B 2） =13×(23)2×25×35×2+13×(23)2×(35)2×2=845， 所以在甲获得冠军的条件下，乙也获得冠军的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=1553． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e x sin x ﹣aln （x +1）（a ∈R ）． （Ⅰ）若x ＝0为f （x ）的极值点，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）在区间（﹣1，0），（π4，π）上各有一个零点，求a 的取值范围．参考数据：√22e π4＞1．解：（Ⅰ）已知f （x ）＝e x sin x ﹣aln （x +1）（a ∈R ），函数定义域为（﹣1，+∞）， 可得f ′(x)=e x (sinx +cosx)−a x+1， 因为x ＝0为f （x ）的极值点， 所以f ′（0）＝1﹣a ＝0，解得a ＝1， 当a ＝1时，f ′(x)=e x (sinx +cosx)−1x+1， 不妨设g(x)=e x (sinx +cosx)−1x+1， 可得g ′(x)=2e x cosx +1(x+1)2， 当﹣1＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，又g（0）＝0，所以当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝0为函数f（x）的极值点，故a＝1；（Ⅱ）若a≤0，当x∈（﹣1，0）时，f（x）＝e x sin x﹣aln（x+1）＜0，所以函数f（x）在（﹣1，0）上无零点，不符合题意；若a＞0，易知f′(x)=e x(sinx+cosx)−ax+1，不妨设ℎ(x)=e x(sinx+cosx)−ax+1，可得ℎ′(x)=2e x cosx+a(x+1)2，当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，f′（x）单调递增，所以f′（x）＜f′（0）＝1﹣a；若a≥1，此时f′（x）＜f′（0）＝1﹣a≤0，所以函数f（x）在（﹣1，0）上单调递减，则f（x）＞f（0）＝0，所以函数f（x）在区间（﹣1，0）上无零点，不符合题意；若0＜a＜1，当﹣1＜x＜0时，h（0）＝f′（0）＝1﹣a＞0，当x→﹣1时，h（x）→﹣∞，所以存在x1∈（﹣1，0），使得h（x1）＝f′（x1）＝0，当x∈（﹣1，x1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（x1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，因为当x→﹣1时，f（x）→+∞，又f（0）＝0，所以f（x1）＜0，则函数f（x）在区间（﹣1，x1）上存在一个零点，当x∈(π4，π)时，不妨设m（x）＝h′（x），可得m′(x)=2e x cosx−2e x sinx−2a(x+1)3=2e x(cosx−sinx)−2a(x+1)3＜0，所以h′（x）在(π4，π)上单调递减，又ℎ′(π4)＞0，ℎ′(π)=−2eπ+a(π+1)2＜−2eπ+1(π+1)2＜0，所以存在x2∈(π4，π)，使得h′（x2）＝0，则当x∈(π4，x2)时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（x2，π）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，因为ℎ(π4)=√2eπ4−a4＞0，ℎ(π)=−eπ−aπ+1＜0，所以存在x3∈（x2，π），使得h（x3）＝0，则当x∈(π4，x3)时，h（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（x3，π）时，h（x）＜0，f（x）单调递减，因为f(π4)=√22eπ4−aln(π4+1)＞√22eπ4−ln(π4+1)＞√22eπ4−1＞0，f（π）＝﹣aln（π+1）＜0，所以存在x4∈（x3，π），使得f（x4）＝0，则函数f（x）在(π4，π)上存在一个零点，综上，满足条件的a的取值范围为（0，1）．。
河北省保定市示范高中2024-2025学年高三上学期11月期中考试 数学含答案
高三年级期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容（不含圆锥曲线、统计、概率）．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}21,A y y x x ==-∈R ，{}lg(1)B x y x ==-，则A B = （）A ．∅B ．(1,1)-C ．[1,1)-D ．[1,1]-2．设{}n a 是无穷数列，记1n n n b a a +=-，则“{}n a 是等比数列”是“{}n b 是等比数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知平面向量m ，n 满足||||2m n == ，且m 在n上的投影向量为12n -，则向量n 与向量n m +的夹角为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．在棱长为2的正四面体A BCD -中，E 为棱AD 上的动点，当BE CE +最小时，三棱锥A BCE -的体积为（）A ．3B ．3C ．2D ．95．已知函数3()f x x x =+，若正实数a ，b 满足()(4)0f a f b +-=，则114a b+的最小值是（）A ．94B ．916C ．49D ．1696．若数列{}n a 和{}n b 满足111a b ==，1234n n n a a b +=++，1234n n n b a b +=+-，则20252024b a -=（）A ．202322-B ．202422+C ．202522-D ．202622+7．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为125,1313⎛⎫-⎪⎝⎭，AOC α∠=．若||1BC =，则22cos 12αα-的值为（）A ．1213-B ．1213+C ．513-D ．513+8．设()f x 为定义在整数集上的函数，(1)1f =，(2)0f =，(1)0f -<，对任意的整数x ，y 均有()()(1)(1)()f x y f x f y f x f y +=-+-，则()202421i f i ==∑（）A ．0B ．1012C ．2024D ．4048二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知a ，b ∈R ，关于x 的方程20x ax b ++=有一个根为12i +，i 为虚数单位，另一个根为z ，则（）A ．该方程存在实数根B ．2a =-，5b =C ．z 对应的点在第四象限D ．1i 2z =+10．设函数()ln f x m x x =-，31()6g x x x a =-++，则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y =-B ．当222233a -<<时，()g x 有三个零点C ．若()()()F x f x g x '=-有两个极值点，则14m >D ．若()e xf mx mx ≤-，则正实数m 的取值范围为(0,e]11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是11A D 的中点，P（与点1C 不重合）是平面11BCC B内的动点，下列说法正确的是（）A ．平面1A BD ⊥平面1APC B ．若1MAP MAC ∠=∠，则动点P 的轨迹为抛物线的一部分C ．当112BP PC = 时，过点P 作该正方体的外接球的截面，其截面面积的最小值为16π9D ．线段AD 绕1AD 旋转一周，在旋转过程中，AD 与1AC 所成角的正切值的取值范围为3⎡-+⎣三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >．若{}n a 的连续四项是集合{}54,24,6,36,81--，中的元素，则q 的值为___________．13．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴为直线π6x =，则函数()y f x =的零点的最小正值为___________．14．过曲线C 上一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A ，B ，若4PA PB k k ⋅=，则曲线C 的方程为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，150ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =．（1）若AD =，求ABD △的面积；（2）求2a +的最小值．16．（15分）如图，四边形ABCD 为梯形，//BC AD ，AB AD ⊥，四边形ADEF 为矩形，且FA ⊥平面ABCD ，122FA AB BC AD ====，G 为FB 的中点．（1）证明：//BD 平面AEG ．（2）在线段FD （不含端点）上是否存在一点M ，使得直线BM 与平面GCD 所成角的正弦值为11？若存在，求出BM 的长；若不存在，说明理由．17．（15分）已知函数113()ee (1)x xf x ax b x --=-++-．（1）当0b =时，若()f x 在R 上单调递增，求a 的取值范围；（2）若0b ≥且()f x 在R 上有两个极值点，求()f x 的极大值与极小值之和的取值范围．18．（17分）已知数列{}n a 的首项132a =，其前n 项和n S 满足1213n n S a +=-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若n T m ≤对任意*n ∈N 恒成立，求m 的最小值．19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入的，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐被数学家接受．形如i(,)z a b a b =+∈R 的数称为复数的代数形式，而任何一个复数i z a b =+都可以表示成(cos isin )r θθ+的形式，即cos ,sin ,a r b r θθ=⎧⎨=⎩其中r 为复数z 的模，θ叫做复数z 的辐角，我们规定02πθ≤<范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz ．复数(cos isin )z r θθ=+叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若()1111cos isin OZ r θθ=+ ，()2222cos isin OZ r θθ=+，则()()()()111222121212cos isin cos isin cos isin r r r r θθθθθθθθ⎡⎤+⋅+=+++⎣⎦．其几何意义是把向量1OZ绕点O 按逆时针方向旋转角2θ（如果20θ<，就要把1OZ绕点O 按顺时针方向旋转角2θ），再把它的模变为原来的2r 倍．请根据所学知识，回答下列问题：（1）试将1z =+写成三角形式（辐角取主值）．（2）类比高中函数的定义，引人虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数1()n n f x x x=+，x ∈C ，*n ∈N ．①当1n =时，解关于x 的方程1()2f x =；②当2n =时，若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x 和实数M ，使得()f x M ≥成立，复数x 在复平面上对应的点为A ，点(2,0)P ，以PA 为边作等边PAQ △，且Q 在AP 的上方，求线段OQ 的最大值．高三年级期中考试数学参考答案1．【答案】C【解析】因为集合{}[){}()21,1,,lg(1),1A y y x x B x y x ==-∈=-+∞==-=-∞R ，所以[1,1)A B =- ．故选C ．2．【答案】D【解析】非充分性：若{}n a 的项为1，1，1，1，…，则{}n b 的项为0，0，0，0，…．此时{}n a 是等比数列，但{}n b 不是等比数列．非必要性：若{}n b 的项为1，1，1，1，…，则11n n a a +-=．此时{}n b 是等比数列，但{}n a 是公差为1的等差数列，不是等比数列．所以“{}n a 是等比数列”是“{}n b 是等比数列”的既不充分也不必要条件．故选D ．3．【答案】B【解析】因为m 在n 上的投影向量为1||||2m n n n n n ⋅⋅=- ，即12m n⋅=-，所以2m n ⋅=- ，又2()422n n m n m n ⋅+=+⋅=-=，||2n m +==== ，所以()21cos ,||||222n n m n n m n n m ⋅+〈+〉===+⨯，且0,180n n m ︒≤〈+〉≤︒ ，则,60n n m 〈+︒〉= ．故选B ．4．【答案】A【解析】将侧面展开（图略），由平面几何性质可得，当E 为AD 的中点时，满足题意，所以211136222223433A BCE A BCD V V --==⨯⨯⨯⨯⨯=．故选A ．5．【答案】B【解析】由题意知函数()f x 是奇函数且在R 上单调递增，由()(4)0f a f b +-=，得()(4)(4)f a f b f b =--=-，则4a b =-，即4a b +=，而0,0a b >>，所以1111115159()4444444416b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4b a a b =，即823b a ==时，等号成立，所以114a b +的最小值是916．故选B ．6．【答案】A【解析】1234n n n a a b +=++ ，1234n n n b a b +=+-，()()1124n n n n a b a b ++∴+=+，即()112n n n n a b a b +++=+，{}n n a b ∴+是以2为首项，2为公比的等比数列，2n n n a b ∴+=，又1234n n n b a b +=+- ，131222n n n b a b +∴=+-，111122222n n n n n b a a b -+∴-=+-=-，20232025202422b a ∴-=-．故选A ．7．【答案】A 【解析】125,1313B ⎛⎫-⎪⎝⎭，1OB ∴=，圆O 的半径为1．根据三角函数的定义，易得5sin 13AOB ∠=，12cos 13AOB ∠=，又1BC =，BOC ∴△为等边三角形，则π3AOB α=-∠，且α为锐角，2π2π2cos 1cos 2cos 2cos233AOB ααααα⎛⎫⎛⎫∴--==+=-∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos13AOB AOB -=-∠+∠=．故选A ．8．【答案】B【解析】令1x y ==，则(2)2(1)(0)2(0)0f f f f ===，(0)0f ∴=．令2,1x y ==-，则()()()()22212111f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-=-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又(1)0f -<，(1)1f ∴-=-．令1y =，则(1)(1)f x f x +=-+，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称．令1y =-，则(1)()(2)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x -=+--=--，()f x ∴的图象关于点(0,0)对称．(2)()()(2)f x f x f x f x ∴+=-=-=-，()f x ∴是周期4T =的函数．又(0)0f =，(1)1f =，(2)0f =，(1)1f -=-，∴当x 为偶数时，()0f x =．当n 为偶数时，2n 也为偶数，此时()20f n =；当n 为奇数时，令21n k =+，k ∈Z ，则()()22441(1)1f n f k k f =++==．()()()2221220241012f f f ∴+++= ．故选B ．9．【答案】BCD【解析】由12i +是方程20x ax b ++=的根，得2(12i)(12i)0a b ++++=，整理得3(42)i 0a b a +-++=，因此30,420,a b a +-=⎧⎨+=⎩解得2a =-，5b =，方程为2250x x -+=，可知B正确；对于A ，根据方程2250x x -+=，可得2(2)415160∆=--⨯⨯=-<，所以方程无实数根，A 错误；对于C ，D ，方程2250x x -+=，由韦达定理可知12i 2z ++=，得12i z =-，对应的点为(1,2)-，在第四象限，且|12i |1i |1i |2z -==++，故C ，D 正确．故选BCD ．10．【答案】ABD【解析】对于A ，当1m =时，()ln f x x x =-，()11f x x'=-，0k =，(1)1f =-，1y ∴=-，A 正确；对于B ，当222233a -<<时，()2112g x x '=-+，令()0g x '=，得x =，(2203g a =-+<，2203ga =+>，B 正确；对于C ，2()ln 12x F x m x x =-+-，2()1m x x m F x x x x-+'=-+=，令20x x m -+=，设1x ，2x 是()F x 的两个极值点，则121x x +=，120x x m =>，140m ∆=->，得104m <<，C 不正确；对于D ，()ln()e xf mx m mx mx mx =-≤-，即ln()e xm mx ≤，可化为ln ln e ln e (ln )xx m x x m -+≤+-，令()e xh x x =+，()h x 单调递增，即ln ln x x m ≤-，ln ln m x x ≤-，令()ln p x x x =-，11()1x p x x x-'=-=，当01x <<时，()0p x '<，()p x 单调递减，当1x >时，()0p x '>，()p x 单调递增，min ()(1)1p x p ==，则ln 1m ≤，即0e m <≤，D 正确．故选ABD ．11．【答案】ACD【解析】对于A ，因为1AC ⊥平面1A BD ，1AC ⊂平面1APC ，所以平面1A BD ⊥平面1APC ，故A 正确；对于B ，满足条件1MAP MAC ∠=∠的点P 应在以AM 为旋转轴，1AC 绕其旋转所得的圆锥的侧面上，旋转轴AM 与平面11BCC B 平行，又P 是平面11BCC B 内的动点，所以动点P 的轨迹为双曲线的一支的一部分，故B 错误；对于C ，当112BP PC =时，P 为线段1BC 上靠近点B 的三等分点，如图1，易知正方体的外接球的球心为正方体的中心O ，过点O 作1ON BC ⊥于点N ，连接OP ，则113OP =，若要截面面积最小，需球心到截面的距离最大，最大为OP ，此时()22min 16ππ9S R OP=-=，故C 正确；对于D ，线段AD 绕1AD 旋转一周后得到一个母线与旋转轴所成的角为π4的圆锥，设11D AC θ∠=，tan2θ==，π04θ<<，在旋转过程中，AD 与1AC 所成的角在如图2所示的轴截面内分别取得最值，1πtan tan 34D AC θ⎛⎫'∠=-=- ⎪⎝⎭，1πtan tan 34DAC θ⎛⎫∠=+=+ ⎪⎝⎭所以在旋转过程中，AD 与1AC 所成角的正切值的取值范围为3⎡-+⎣，故D 正确．故选ACD ．12．【答案】32-【解析】因为数列{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，所以数列{}n a 的连续四项要么同号，要么两正两负．因为四项属于集合{54,24,6,36,81}--，所以数列{}n a 的连续四项一定两正两负，故1q <-，且数列的连续四项必包含24-，54-．公比22543242q -⎛⎫== ⎪-⎝⎭，则q =32-．故答案为32-．13．【答案】2π3【解析】()sin cos )f x x a x x ϕ=+=+，tan a ϕ=，由条件得ππ2x k ϕ+=+，则πππ()26x k k ϕ=+-=∈Z ，得ππ()3k k ϕ=+∈Z，所以tan a ϕ==，所以π()sin 2sin 03f x x x x ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，ππ3x k '+=，得()ππ3x k k ''=-∈Z ，由1k '=可得2π3x =．故答案为2π3．14．【答案】2243x y -=（245x >且21x ≠）或2243x y -=（5x >或5x <-且1x ≠±）【解析】设()00,P x y ，则过点P 的切线方程为()00y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，所以1=，得()22200001210x k x y k y --+-=，则PA k ，PB k 是此方程的两根，2010x -≠，()()2222000044110x y x y∆=--->，即22001x y +>，所以2020141PA PBy k k x -⋅==-，得220043x y -=，又22001x y +>，所以2045x >，即曲线C 的方程为2243x y -=（245x >且21x ≠）．故答案为2243x y -=（245x >且21x ≠）或2243x y -=（5x >或5x <-且1x ≠±）．15．【解析】（1）由150ABC ∠=︒，BD BC ⊥，可得60ABD ∠=︒．在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB BD AB BD ABD AD +-⋅∠=，即217AB AB +-=，可得3AB =．故11sin 132224ABD S BD AB ABD =⋅∠=⨯⨯⨯=△．（2）ABC ABD BCD S S S =+ △△△，111sin sin sin 222ac B c BD ABD a BD CBD ∴=⋅∠+⋅∠，111111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，2ac a ∴=+，21a c∴=+．32432(2)a c a a a c c a ⎛⎫∴+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当43a cc a=，即4c =，a =故2a +的最小值为．16．【解析】（1）方法一：设FD 交AE 于点H ，如图1，连接GH ．四边形ADEF 为矩形，H ∴为FD 的中点，又G 为FB 的中点，GH ∴为FBD △的中位线，//GH BD ∴，又GH ⊂平面AEG ，BD ⊂/平面AEG ，//BD ∴平面AEG．方法二：由题意可知，以A 为原点建立如图2所示的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,4,0)D ，(0,4,2)E ，(0,0,2)F ，()1,0,1G ，(2,2,0)C ，(2,4,0)BD ∴=- ，(0,4,2)AE = ，(1,0,1)AG =．设平面AEG 的法向量为(,,)m x y z = ，则,m AE m AG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，420,0,m AE y z m AG x z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩令1x =，则11,,12m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，12140(1)02BD m ∴⋅=-⨯+⨯+⨯-= ，BD ⊂/ 平面AEG ，//BD ∴平面AEG．（2）假设在线段FD 上存在一点M ，使得直线BM 与平面GCD所成角的正弦值为11．设(0,4,2)FM FD λλλ==-，01λ<<，则()2,4,22BM BF FM λλ=+=-- ．由（1）可知(1,2,1)GC =- ，(1,4,1)GD =--．设平面GCD 的法向量为()111,,n x y z = ，则,,n GC n GD ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩11111120,40,n GC x y z n GD x y z ⎧⋅=+-=⎪∴⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令111x y ==，则(1,1,3)n = ．设直线BM 与平面GCD 所成的角为θ，则sin cos ,n BM n BM n BM θ⋅=〈〉==11==，整理得2210λλ+-=，01λ<< ，12λ∴=．故存在满足题意的点M，此时||3BM =．17．【解析】（1）当0b =时，11()e e x x f x ax --=-+．()f x 单调递增，()11e e 0x x f x a --'∴=++≥恒成立，即()11e e x x a --≥-+恒成立．令()11()e e 2x x h x --=-+≤--，当且仅当1x =时，等号成立．max ()2h x ∴=-，2a ∴≥-．（2）(1)(1)2f x f x a ++-= ，()f x ∴的图象关于点(1,)a 对称．()112e e 3(1)x x f x b x a --'=++-+，令()()g x f x '=，则()11e e 6(1)x x g x b x --'=-+-，0b ≥ ，()g x '∴单调递增，又(1)0g '=，()g x ∴在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．()()min min (1)2g x f x g a '∴===+．要使()f x 有两个极值点，必有()min 0f x '<，即20a +<，得2a <-．令1ln(1)1m a =--<，1121ln(1)()e e 3(1)e e 10m m m a f m a b m a a ----'=+++->+=+=>，1(,1)x m ∴∃∈，()10f x '=．令1ln(1)1n a =+->，1121ln(1)()e e 3(1)e e 10n n n a f n a b n a a ----'=+++->+=+=>，2(1,)x n ∴∃∈，()20f x '=．∴当()1,x x ∈-∞时，()f x 单调递增，当()12,x x x ∈时，()f x 单调递减，当(2,)x x ∈+∞时，()f x 单调递增，()1()f x f x ∴=极大值，()2()f x f x =极小值，()f x 的图象关于点(1,)a 对称，()()1224f x f x a ∴+=<-，即()f x 的极大值与极小值之和的取值范围为(,4)-∞-．18．【解析】（1）当1n =时，由题意得12213a a =-，又132a = ，234a ∴=-．由1213n n S a +=-①，可知12213n n S a ++=-②，两式相减可得1121122222113333n n n n n n n S S a a a a a ++++++⎛⎫⎛⎫-==---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112n n a a ++=-．又2112a a =- ，{}n a ∴是首项为32，公比为12-的等比数列，故13122n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭．（2）由（1）知13122n n n b -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭．012213113213313(1)1312222222222n n n n n T --⨯⨯⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-++⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①，两边同乘以12-，得12313113213312222222n T ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-+⨯-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 13(1)1312222n n n n --⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②，①—②得12311331313131311222222222222n n n n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯-+⨯-+⨯-++⋅--⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．从而311223311313111112222222212n n n n n n n n n T ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅-=----=-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．于是221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当n 是奇数时，221332n n T n ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，222212212332332n n n n T T n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2222812181211430323232322n n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-+⋅=-⋅< ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当n 是奇数时，{}n T 为递减数列，132n T T ≤=．当n 是偶数时，21032n n ⎛⎫⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，22123323n n T n ⎛⎫⎛⎫=-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此32n T ≤．n T m ≤ 对任意*n ∈N 恒成立，32m ∴≥，即m 的最小值为32．19．【解析】（1）由于1z =+，因此||2z =，所以13222z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1cos 2θ=，3sin 2θ=，因为02πθ≤<，所以π3θ=，所以ππ2cos isin 33z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）①由题意得112x x +=，整理得2220x x -+=，1144x ±±==．②设i(,,0,0)x a b a b a b =+∈≠>R ，则222211()(i)(i)f x x a b x a b =+=+++()()222212i 2i a b ab a b ab =-++-+()()()()222222222i 2i 2i 2i a b ab a b ab a b ab a b ab --=-++⎡⎤⎡⎤-+⋅--⎣⎦⎣⎦()()()2222222222i 2i 4a b ab a b ab a b a b --=-++-+()()()()()()222222222222222222i 2i 2i 2i a b ab a b ab a b ab a b ab a b a b a b ---=-++=-++-+++()()()222222222222a b ab a b ab a b a b ⎡⎤-⎢⎥=-++-⎢⎥++⎣⎦．因为存在实数M ，使得()f x M ≥成立，所以()f x 为实数，所以()222220abab a b -=+，因为0a ≠，0b ≠，所以221a b +=，当221a b +=时，()()222()22212(0)f x a b a a =-=->-≠，符合题意，点A 的轨迹为单位圆的一部分．解法一：设(cos ,sin )A θθ，ππ0,,π22θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，PA 所表示的复数为1z ，PQ 所表示的复数为2z ，则1cos 2sin z i θθ=-+，21ππππcos isin cos 1i sin 3333z z θθ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-=--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣，所以ππcos 1,sin 33Q θθ⎛⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，则OQ ===，所以当πsin 16θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，即2π3θ=时，||OQ 取得最大值3，故线段OQ 的最大值为3．解法二：连接OA ，设||||||PA PQ QA t ===，OPA α∠=，POA θ∠=，ππ0,,π22θ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．由||1OA =，在AOP △中，可得22413cos 44t t t tα+-+==，在AOP △中，可得sin sin AO AP αθ=，于是sin sin t θα=，在AOP △中，可得222||||||2||||cos AP OA PO OP OA θ=+-⋅，于是254cos t θ=-，在QOP △中，可得222π||||||2||||cos 3OQ OP PQ OP PQ α⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭，化简得225π||54sin 9226t OQ θθ⎛⎫=++=+-≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2π3θ=时，等号成立．故线段OQ 的最大值为3．。
2023-2024学年广东省部分名校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．若f （x ）＝（m ﹣1）x m 是幂函数，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣12．已知集合A ＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x （x +3）＞10}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣4，﹣2）B ．（﹣2，4）C ．（2，4）D ．（﹣4，2）3．已知x ＞0，则25x +4x 的最小值为（ ） A ．50B ．40C ．20D ．104．已知函数f(x)={x −5，x ≥0f(x 2)，x ＜0，则f （﹣3）+f （2）＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．7D ．55．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ） A ．1.1倍 B ．1.25倍C ．1.1025倍D ．1.0025倍7．函数f （x ）=xe |x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知21a ＝ln 11，14b ＝ln 5，6c ＝ln 2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．下列函数的定义域为（﹣∞，2）的是（ ） A ．f(x)=1√2−xB ．f(x)=lg √2−xC ．f （x ）＝|4﹣x 2|D ．f(x)=18−x 310．已知函数f(x)=2−x2+6x−3在区间D 上是单调函数，则D 可能为（ ）A ．[1，2]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[3，6]11．人们常用里氏震级M 表示地震的强度，E （单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M ＝mlgE ﹣4.8（m 为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为1014.7焦耳，则（ ） A ．m =12B ．m =23C ．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为1016焦耳D ．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的101.05倍 12．已知函数f （x ）＝6﹣x ﹣6x ，若f （3m ﹣2k ）＞f （m ﹣2），则（ ）A ．e m ＜e k ﹣1B ．若m ＞0，则m−1k−1＜m kC ．ln （k ﹣m ）＜0D ．k 35＞m 35三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．“∃x ∈（0，+∞），x 4＜4x ”的否定是 ．14．已知集合M ={x ∈N ∗|2x ∈Z}，则M 的子集个数为 ．15．函数y ＝ax 2的图象恒在函数y ＝ax ﹣90图象的上方，则a 的取值范围为 ．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +4．若关于x 的方程[f （x ）]2+mf （x ）+12＝0有四个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算： （1）13lg64+2lg5．（2）√(1−π)44+√43×√46+2−1．18．（12分）已知实数x 0满足log a （x 0﹣2）＝0（a ＞0且a ≠1），且函数g （x ）＝a x 满足g(x 0)=18． （1）求a 的值；19．（12分）如图，对数函数f（x）的图象与一次函数ℎ(x)=13x−13的图象有A，B两个公共点．（1）求f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式4f（x）＜k的解集中恰有1个整数解，求k的取值范围．20．（12分）已知定义在R上的偶函数f（x）．当x≥0时，f（x）＝x（x﹣2）．（1）在平面直角坐标系xOy中作出f（x）在[﹣3，3]上的图象；（2）若f（x）在[a，2a2﹣1]上单调递增，求a的取值范围．21．（12分）某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量y（单位：万件）与年广告宣传费用x（单位：万元）之间满足关系式y=6x+2x+1(x≥0，x∈Z)，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为(2y+12)万元，每件产品的生产费用为64元．已知该厂家销售的该类产品的产品单价=54×每件产品的生产费用+12×平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出．（1）请写出该类产品的年度总利润z（单位：万元）与年广告宣传费用x（单位：万元）之间的函数关系式．（注：年度总利润＝年销售总收入+年度政府的专项补贴﹣总成本，总成本＝固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）（2）试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润．22．（12分）已知函数f(x)=m x+1(m∈R)为奇函数．（1）求m的值；（2）试判断f（x）的单调性，并用定义证明；（3）设函数ℎ(x)=21−f(x)−2，若13≤n＜1，函数y＝|h（x）|﹣n的两个零点分别为a，b（a＜b），函数y＝（2n+1）|h（x）|﹣n的两个零点分别为c，d（c＜d），求a+b﹣c+d的最大值．2023-2024学年广东省部分名校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．若f （x ）＝（m ﹣1）x m 是幂函数，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1解：由于f （x ）＝（m ﹣1）x m 是幂函数， 故m ﹣1＝1，求得m ＝2． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x |﹣4＜x ＜4}，B ＝{x |x （x +3）＞10}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣4，﹣2）B ．（﹣2，4）C ．（2，4）D ．（﹣4，2）解：由x （x +3）＞10，即x 2+3x ﹣10＞0，得到x ＜﹣5或x ＞2， 所以B ＝{x |x ＜﹣5或x ＞2}，又A ＝{x |﹣4＜x ＜4}，所以A ∩B ＝（2，4）． 故选：C ．3．已知x ＞0，则25x +4x 的最小值为（ ） A ．50B ．40C ．20D ．10解：由x ＞0，则25x +4x ≥2√25x ⋅4x =20，当且仅当25x =4x ，即x =25时，等号成立． 故选：C ．4．已知函数f(x)={x −5，x ≥0f(x 2)，x ＜0，则f （﹣3）+f （2）＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．7D ．5解：由题意可知：f （﹣3）＝f （9）＝9﹣5＝4， f （2）＝2﹣5＝﹣3，故f （﹣3）+f （2）＝4﹣3＝1． 故选：B ．5．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ） A ．充要条件B ．充分不必要条件解：会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”． 所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件． 故选：B ．6．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ） A ．1.1倍B ．1.25倍C ．1.1025倍D ．1.0025倍解：设某湖泊的蓝藻量为1，由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数， 即y ＝（1+5%）x ＝1.05x ，所以经过2天后，湖泊的蓝藻量y ＝（1+5%）2＝1.1025， 所以该湖泊的蓝澡变为原来的(1+5%)21=1.1025倍．故选：C ． 7．函数f （x ）=xe |x|的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数f （x ）=x e |x|，可得f （﹣x ）=−xe|x|=−f （x ）．函数是奇函数，排除C ； 当x ＞0时，y ＝e x 与y ＝x 满足e x ＞x ，所以x e x＜1．排除A 、D ；故选：B ．8．已知21a ＝ln 11，14b ＝ln 5，6c ＝ln 2，则（ ） A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a解：由题意可得42a ＝2ln 11＝ln 112＝ln 121，42b ＝3ln 5＝ln 53＝ln 125，42c ＝7ln 2＝ln 27＝ln 128． 因为函数y ＝lnx 在（0，+∞）上单调递增． 所以ln 121＜ln 125＜ln 128，则a ＜b ＜c ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．下列函数的定义域为（﹣∞，2）的是（）A．f(x)=1√2−xB．f(x)=lg√2−xC．f（x）＝|4﹣x2|D．f(x)=18−x3解：对于函数y=12−x，y=lg√2−x要有意义需2﹣x＞0⇒x＜2，即其定义域为（﹣∞，2），对于函数y＝|4﹣x2|，显然其定义域为R，对于函数y=18−x3要有意义，需8﹣x3≠0⇒x≠2，即其定义域为（﹣∞，2）∪（2，+∞）．即A、B正确，C、D错误．故选：AB．10．已知函数f(x)=2−x2+6x−3在区间D上是单调函数，则D可能为（）A．[1，2]B．[2，4]C．[0，1]D．[3，6]解：根据题意，设t＝﹣x2+6x﹣3，则y＝2t，函数t＝﹣x2+6x﹣3在（﹣∞，3）上单调递增，（3，+∞）上单调递减，而函数y＝2t在R上单调递增，根据复合函数的单调性可得：f（x）的单调递增区间为（﹣∞，3]，单调递减区间为[3，+∞）．显然选项A、C对应集合是（﹣∞，3]的真子集，选项D对应集合是[3，+∞）的真子集，符合题意．故选：ACD．11．人们常用里氏震级M表示地震的强度，E（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为M＝mlgE﹣4.8（m为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为1014.7焦耳，则（）A．m=12B．m=23C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为1016焦耳D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的101.05倍解：AB选项，由题意可得5＝mlg1014.7﹣4.8，即14.7m＝9.8，解得m=23，A错误，B正确．C选项，由题意得3.2=23lgE1−4.8，解得E1=1012，C错误．D选项，由题意得4.3=23lgE2−4.8，解得E2=1013.65，1014.71013.65=101.05，D正确．12．已知函数f （x ）＝6﹣x ﹣6x ，若f （3m ﹣2k ）＞f （m ﹣2），则（ ）A ．e m ＜e k ﹣1B ．若m ＞0，则m−1k−1＜m kC ．ln （k ﹣m ）＜0D ．k 35＞m 35解：因为函数y ＝6﹣x ，y ＝﹣6x 在R 上都单调递减，所以f （x ）在R 上是减函数． 由f （3m ﹣2k ）＞f （m ﹣2），得3m ﹣2k ＜m ﹣2， 即m ＜k ﹣1，则e m ＜e k ﹣1，A 正确．因为m ＞0，所以0＜m ＜k ﹣1＜k ， 则m−1k−1−m k=(m−1)k−m(k−1)k(k−1)=m−k k(k−1)＜0，所以m−1k−1＜m k，B 正确．因为y ＝lnx 在（0，+∞）上是增函数，且k ﹣m ＞1， 所以ln （k ﹣m ）＞ln 1，即ln （k ﹣m ）＞0，C 错误． 因为m ＜k ﹣1，所以m ＜k ，因为幂函数y =x 35在R 上单调递增，所以k 35＞m 35，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．“∃x ∈（0，+∞），x 4＜4x ”的否定是 ∀x ∈（0，+∞），x 4≥4x ． 解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，即“∃x ∈（0，+∞），x 4＜4x ”的否定是“∀x ∈（0，+∞），x 4≥4x ”． 故答案为：∀x ∈（0，+∞），x 4≥4x ．14．已知集合M ={x ∈N ∗|2x∈Z}，则M 的子集个数为 4 ． 解：易知M ={x ∈N ∗|2x ∈Z}={1，2}，有2个元素， 所以M 的子集个数为22＝4． 故答案为：4．15．函数y ＝ax 2的图象恒在函数y ＝ax ﹣90图象的上方，则a 的取值范围为 [0，360） ． 解：由题意可得ax 2＞ax ﹣90恒成立，即ax 2﹣ax +90＞0恒成立， 当a ＝0时，90＞0恒成立，符合题意； 当a ≠0时，由题意可得：{a ＞0Δ=a 2−4×a ×90＜0，解得0＜a ＜360；故a 的取值范围为[0，360）．故答案为：[0，360）．16．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +4．若关于x 的方程[f （x ）]2+mf （x ）+12＝0有四个不相等的实数根，则m 的取值范围是 (−7，−4√3) ．解：易知f （x ）＝x 2﹣2x +4＝（x ﹣1）2+3≥3，令f （x ）＝t ，则满足条件，需关于t 的方程t 2+mt +12＝0在（3，+∞）上有两个不相等的实数根，则{32+3m +12＞0−m 2＞3Δ=m 2−48＞0，解得−7＜m ＜−4√3． 故答案为：(−7，−4√3)．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算： （1）13lg64+2lg5．（2）√(1−π)44+√43×√46+2−1．解：（1）原式=lg6413+lg52=lg4+lg25=lg100=2； （2）原式=(π−1)+413×416+12=π−1+412+12=π−1+2+12=π+32． 18．（12分）已知实数x 0满足log a （x 0﹣2）＝0（a ＞0且a ≠1），且函数g （x ）＝a x 满足g(x 0)=18． （1）求a 的值；（2）求g （x ）在[﹣1，2]上的值域．解：（1）由log a （x 0﹣2）＝0＝log a 1得x 0＝3，则g(3)=a 3=18，解得a =12． （2）因为g(x)=(12)x 在[﹣1，2]上单调递减， 所以g(x)max =(12)−1=2，g(x)min =(12)2=14， 故g （x ）在[﹣1，2]上的值域为[14，2]．19．（12分）如图，对数函数f （x ）的图象与一次函数ℎ(x)=13x −13的图象有A ，B 两个公共点． （1）求f （x ）的解析式； （2）若关于x 的不等式4f（x ）＜k 的解集中恰有1个整数解，求k 的取值范围．解：（1）∵h（4）=43−13=1，∴B（4，1），设f（x）＝log a x，a＞0且a≠1，则f（4）＝log a4＝1，∴a＝4，∴f（x）＝log4x；（2）由（1）可得关于x的不等式4f（x）＜k可化为：4log4x＜k，∴0＜x＜k，故不等式4f（x）＜k的解集为{x|0＜x＜k}，又关于x的不等式4f（x）＜k的解集中恰有1个整数解，∴1＜k≤2，故k的取值范围为（1，2]．20．（12分）已知定义在R上的偶函数f（x）．当x≥0时，f（x）＝x（x﹣2）．（1）在平面直角坐标系xOy中作出f（x）在[﹣3，3]上的图象；（2）若f（x）在[a，2a2﹣1]上单调递增，求a的取值范围．解：（1）因为f（x）为偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称．作出f（x）在[﹣3，3]上的图象，如图所示．（2）由图可知f （x ）的单调递增区间为[﹣1，0]，[1，+∞）．当[a ，2a 2﹣1]⊆[﹣1，0]时，{a ≥−12a 2−1≤0a ＜2a 2−1，解得−√22≤a ＜−12，当[a ，2a 2﹣1]⊆[1，+∞）时，由{a ≥12a 2−1≥1a ＜2a 2−1，解得a ＞1．综上，a 的取值范围为[−√22，−12)∪(1．+∞)． 21．（12分）某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量y （单位：万件）与年广告宣传费用x （单位：万元）之间满足关系式y =6x+2x+1(x ≥0，x ∈Z)，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为(2y +12)万元，每件产品的生产费用为64元．已知该厂家销售的该类产品的产品单价=54×每件产品的生产费用+12×平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出．（1）请写出该类产品的年度总利润z （单位：万元）与年广告宣传费用x （单位：万元）之间的函数关系式．（注：年度总利润＝年销售总收入+年度政府的专项补贴﹣总成本，总成本＝固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）（2）试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润．解：（1）由题意知，当年生产量为y 万件时，总成本为8+64y +x =64×6x+2x+1+8+x （万元）， 当销售量为y 万件时，年销售总收入为54×64×6x+2x+1+12x （万元）， 由题意得z =(54×64×6x+2x+1+12x)+(2y +12)−(64×6x+2x+1+8+x)，即z =−72x+1−12x +2012(x ≥0，x ∈Z)． （2）由（1）得z =−72x+1−12x +2012(x ≥0，x ∈Z)，因为x ＞0，所以x +1＞0，则z =−72x+1−12x +2012(x ≥0，x ∈Z)=−72x+1−12(x +1)+101=−[72x+1+12(x +1)]+101 ≤−2√72x+1⋅12(x +1)+101＝﹣2×6+101＝89，当且仅当72x+1=12(x +1)，即x ＝11时，等号成立．故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元．22．（12分）已知函数f(x)=m1+e x +1(m ∈R)为奇函数．（1）求m 的值；（2）试判断f （x ）的单调性，并用定义证明；（3）设函数ℎ(x)=21−f(x)−2，若13≤n ＜1，函数y ＝|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为a ，b （a ＜b ），函数y ＝（2n +1）|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为c ，d （c ＜d ），求a +b ﹣c +d 的最大值．解：（1）由f （﹣x ）+f （x ）＝0，可得m 1+e −x +1+m 1+e x +1=0， 即me x +m1+e x +2=0，化简得（m +2）e x +m +2＝0，故m ＝﹣2．（2）f （x ）在R 上单调递增．由（1）得f(x)=−21+e x +1．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=−21+e x 1+1+21+e x 2−1=2(e x 1−e x 2)(1+e x 1)(1+e x 2)， 因为0＜e x 1＜e x 2，所以e x 1−e x 2＜0，1+e x 1＞0，1+e x 2＞0，所以f(x 1)−f(x 2)=2(e x 1−e x 2)(1+e x 1)(1+e x 2)＜0，即f （x 1）＜f （x 2），故f （x ）在R 上单调递增． （3）由题意得h （x ）＝e x ﹣1．函数y ＝|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为a ，b （a ＜b ）即|h （x ）|＝n ，得e a ＝1﹣n ，e b ＝1+n ，从而e a +b ＝（1+n ）（1﹣n ），函数y ＝（2n +1）|h （x ）|﹣n 的两个零点分别为c ，d （c ＜d ）， 得（2n +1）|h （x ）|＝n ，则e c =1−n 2n+1=n+12n+1，e d =1+n 2n+1=3n+12n+1，从而e c−d =n+13n+1， 则e a+b−c+d =(1+n)(1−n)⋅3n+1n+1=(1−n)(3n +1)=−3n 2+2n +1=−3(n −13)2+43， 又因为13≤n ＜1，所以e a+b−c+d =−3(n −13)2+43∈(0，43]，则a +b −c +d ≤ln 43，即a +b ﹣c +d 的最大值为ln 43．。
2025届青海省名校高三数学上学期期中联考试卷及答案解析
高三数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：一轮复习第一章到第四章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若一扇形的圆心角的弧度数为2，且该扇形的半径为7，则该扇形的弧长为（ ）A. 72B. C. 14D. 【答案】C【解析】【分析】利用弧长计算公式求解即可.【详解】该扇形的弧长为14r α=．故选：C.2. 已知全集{10}U xx =-<∣，集合{}2340A x x x =+-<∣，则U A =ð（ ）A. (),4-∞- B. (],4-∞- C. ()4,1- D. [)4,1-【答案】B【解析】【分析】先求解集合A ，然后利用补集的定义即可求解详解】根据题意，集合{}{}234041A x x x x x =+-<=-<<∣∣，因为(),1U ∞=-，所以(],4U A ∞=--ð.故选：B3. 函数41tan(π3y x =-的最小正周期为（ ）A. 4 B. 2π2 C. 8 D. 2π4【【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用正切函数的周期公式求出结果.【详解】函数41tan(π3y x =-的最小正周期为2ππ44πT ==.故选：D4 2log 0.5lg2lg5++=（ ）A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】利用对数运算法则计算可求值.【详解】122log 0.5lg2lg5log 2lg10110-++=+=-+=．故选：B.5. 将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，且()g x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意可得函数的解析式，根据三角函数的性质，可得答案.【详解】由题意得()πsin 12g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且π04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()πππ412k k ω⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭Z ，得()3k k ω=∈Z ，因为0ω>，所以ω的最小值为3.故选：C.6. “0a b >>”是“lnb a b a ->”（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件.的C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质，对数函数的性质结合充分不必要的定义即可判断.【详解】由0a b >>，得0,01b a b a -><<，则ln 0b a<，从而ln b a b a ->取1,2a b =-=-，满足lnb a b a ->，不满足0a b >>.故“0a b >>”是“lnb a b a->”的充分不必要条件.故选：A .7. 已知()1f x +是奇函数，当1x >时，()2f x x =，则()3f -=（ ）A. 25- B. 9- C. 9 D. 25【答案】A【解析】【分析】由已知可得()()11f x f x -+=-+，可得()()35f f -=-，可求值.【详解】由()1f x +是奇函数，得()()11f x f x -+=-+．令13x -+=，得4x =．所以()()235525f f -=-=-=-．故选：A .8. 若π3sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2π5cos 313β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5π4π,63α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2ππ,36β⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=（ ）A. 3365- B. 3365 C. 6365 D. 6365-【答案】D【解析】【分析】利用()π2πsin sin 33αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=---+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合三角恒等变换可求值..【详解】因为π3sin 35α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2π5cos 313β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ,π32α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，2ππ0,32β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π4cos 35α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π12sin 313β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()π2πsin πsin 33αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦π2ππ2π3541263sin cos cos sin (333351351365αβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+=⨯--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3541263()51351365=⨯--⨯=，则()()63sin sin 65αβαβπ-=---=-．故选：D .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列命题是真命题的是（ ）A. 若sin 2cos θθ=，则()tan 2πθ-=-B. 函数()()ln 42f x x =-的定义域为(),2∞-C. 若集合A ，B 满足A B B = ，则A B⊆D. 1+=9+≥【答案】ABD【解析】【分析】利用同角间的三角函数的关系与诱导公可求解判断A ；求得定义域判断B ；由集合的运算可得B A ⊆判断C ；利用1的代换结合基本不等式可求最小值判断D.【详解】对于A ，若sin 2cos θθ=，则tan 2θ=，()tan πtan 2θθ-=-=-，故A 正确．对于B ，函数()()ln 42f x x =-的定义域为(),2∞-，故B 正确．对于C ，若集合A ，B 满足A B B = ，则B A ⊆，故C 错误．对于D 1==559=+≥+=，=，即49a b ==时，等号成立，D 正确．故选：ABD .10. 函数()12y a x a =-+与(0,1)x y a a a =>≠的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指数函数的性质与一次函数的性质逐项判断可得结论.【详解】对于A ，当1a >时，()12y a x a =-+单调递增，与y 轴交于正半轴，x y a =在R 上单调递增，故选项A 符合题意．对于B 选项，由指数函数的图象可知01a <<，由一次函数的图象可知1a >，则a ∈∅，故B 选项不符合题意．对于C ，当01a <<时，()12y a x a =-+单调递减，与y 轴交于正半轴，x y a =在R 上单调递减，C 选项符合题意．对于D 选项，由一次函数图象可知1021a a ->⎧⎨<⎩，解得a ∈∅，则D 选项不符合题意．故选：AC.11. 已知函数()321132f x x x ax b =+++的极小值点为1，极小值为16-．则（ ）A. 2a =- B. 1b =-C. ()f x 有3个零点D. 直线5y =与()f x 的图象仅有1个公共点【答案】ACD【解析】【分析】运用导数值为0来计算判定A,B ，借助导数研究函数单调性，极值，结合图象可判定C,D.【详解】由题意得()2f x x x a '=++，则()120f a ='+=，解得2a =-，故A 正确．由()11112326f b =+-+=-，解得1b =，故B 错误．()()()2212f x x x x x =+-=-+'，当(),2x ∞∈--时，f ′(x )>0，所以()f x 在(),2∞--上单调递增，当()2,1x ∈-时，f ′(x )<0，所以()f x 在()2,1-上单调递增，当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )>0，所以()f x 在(1,+∞)上单调递增，所以()f x 的极大值为()1323f -=，画出草图，所以()f x 有3个零点，故C 正确；直线5y =与()f x 的图象仅有1个公共点，故D 正确．故选：ACD .【点睛】方法点睛：函数零点问题：1，直接法，通过判断函数的单调性与极值点的正负可判断；2，间接法，将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知命题p ：()0,1m ∀∈，()20,1m ∈，则p 的否定为__________．p 为__________．（填入“真”或“假”）命题．【答案】①. ()()20,1,0,1m m ∃∈∉ ②. 真【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题求出p 的否定，由二次函数的性质判断p 的真假.【详解】p 的否定为()()20,1,0,1m m ∃∈∉，()0,1m ∀∈，2y m =是增函数，则()20,1m ∈，故p 为真命题．故答案为：()()20,1,0,1m m ∃∈∉；真.13. 若钝角α满足5tan 12α=-，则tan 2α=______.【答案】5【解析】【分析】根据α为钝角易得tan 02α>，进而结合正切的二倍角公式求解即可.【详解】由题意，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,242αæöç÷Îç÷ç÷èø，所以tan 02α>，由22tan 52tan 121tan 2ααα==--，解得tan 52α=.故答案为：5.14. 已知函数()3232f x x x =--+，若不等式()()2154f a f a -+-->成立，则a 的取值范围是__________．【答案】()2,3-【解析】【分析】构造函数()()3223g x f x x x =-=--，利用()g x 的奇偶性与单调性求解即可.【详解】设()()3223g x f x x x =-=--，定义域为R ，则()()323g x x x g x -=+=-，故()g x 是奇函数．不等式()()2154f a f a -+-->等价于不等式()()212520f a f a --+--->，即不等式()()2150g a g a -+-->．因为()g x 是奇函数，所以()()215g a g a ->+．因为3,23y x x y -==-均是R 上的减函数，所以()g x 是R 上的减函数，则215a a -<+，即260a a --<，解得23a -<<．则a 的取值范围是()2,3-.故答案为：()2,3-.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin :sin :sin 3:A B C =（1）求C 的大小；（2）若ABC V 的面积为，求ABC V 外接圆的直径.【答案】（1）5π6（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得::3:a b c =，设3,,a x b c ===，0x >，进而结合余弦定理即可求解；（2）结合题意，由三角形的面积公式可得ab =1）所设，求出c =，进而结合正弦定理求解即可.【小问1详解】因为sin :sin :sin 3:A B C =由正弦定理得，::3:a b c =不妨设3,,a x b c ===，0x >，则由余弦定理得，222cos 2a b c C ab +-===又()0,πC ∈，则5π6C =.【小问2详解】设ABC V 外接圆的半径为R ，由题意，111sin 222ABC S ab C ab ==⋅=V ab =由（1）知，设3,,a x b c ===，0x >，则3ab x =⋅=，解得2x =，则c =2sin c R C===，则ABC V外接圆的直径为.16. 已知函数()()πsin 302f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（1）求ϕ；（2）将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式与单调递增区间.【答案】（1）π6ϕ=- （2）()π2sin 66g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，单调递增区间为ππππ,31839k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【解析】【分析】（1）采用换元法令3t x ϕ=+，先分析sin y t =的单调性，然后根据sin y t =的最小值求解出ϕ的值；（2）先根据图象变换求解出()g x 的解析式，然后根据单调递增区间的公式结合整体替换法求解出()g x 的单调递增区间.【小问1详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]3,πx ϕϕϕ+∈+，令[]3,πt x ϕϕϕ=+∈+，因为π,02ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以()ππ,π2ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以sin y t =在π,2ϕ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π2ϕ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减，当[),0t ϕ∈时，sin 0<t ，当(]0,πt ϕ∈+时，sin 0t >，所以()min 1sin sin 2t ϕ==-，且π,02ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以π6ϕ=-.【小问2详解】()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12可得πsin 66y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，πsin 66y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的纵坐标变为原来两倍可得()π2sin 66g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；令πππ2π62π,262k x k -≤-≤+Z k ∈，所以ππππ,31839k k x -≤≤+Z k ∈，所以()g x 的单调递增区间为ππππ,31839k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).17. 已知函数()()11e x f x x +=+.（1）求()f x 的图象在0x =处的切线方程；（2）若函数()232g x x x =++，求不等式()()f x g x ≥的解集.【答案】（1）2e e 0x y -+=（2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）由函数解折式，求得其导数，结合导数与切线斜率的关系，利用斜率与切点，可得答案；（2）利用分解因式整理不等式，构造函数，根据导数研究其单调性，求得最值，可得答案.【小问1详解】因为()()11e ,x f x x x +=+∈R ，所以()()12e x f x x +'=+，则()()0e,02e f f =='，则()f x 的图象在0x =处的切线方程为()e 2e 0y x -=-，即2e e 0x y -+=.【小问2详解】()()()()()1211e 321e 2x x f x g x x x x x x ++-=+---=+--.令()1e 2,x h x x x +=--∈R ，则()1e 1x h x +'=-，由()0h x '=，得1x =-，当(),1x ∈-∞-时，()()0,h x h x '<单调递减，当()1,x ∈-+∞时，()()0,h x h x '>单调递增，则()()10h x h ≥-=.故当1x <-时，()()11e 20x x x ++--<，当1x ≥-时，()()11e 20x x x ++--≥，从而()()f x g x ≥的解集为[)1,-+∞.18. 某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计6400元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为()612x x ≤≤米，原有墙体足够长.（1）当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为()()32010a x a x +>元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求a 的取值范围.【答案】（1）左面墙的长度为10米（2）()0,36【解析】【分析】（1）设甲工程队的总报价为y 元，根据题意可得出y 关于x 的函数关系式，利用基本不等式可求出y 的最小值，利用等号成立的条件求出x 的值，即可得出结论；（2）根据题意可得出()32011003206400a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭，可知，()2101x a x +<+对任意的[]6,12x ∈恒成立，利用基本不等式求出()[]()2106,121x x x +∈+的最小值，即可得出实数a 的取值范围.【小问1详解】解：设甲工程队的总报价为y 元，依题意，左、右两面墙的长度均为()612x x ≤≤米，则长方体前面新建墙体的长度为100x米，所以1001602132016400y x x=⨯⨯+⨯⨯+，即1003206400320640012800y x x ⎛⎫=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当且仅当100x x=时，即10x =时，等号成立故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为12800元.【小问2详解】解：由题意可知，()32011003206400a x x x x +⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即()110020a x x x x+⎛⎫++> ⎪⎝⎭对任意的[]6,12x ∈恒成立，所以()()2101x a x xx ++>，可得()2101x a x +<+，即()2min 101x a x ⎡⎤+<⎢⎥+⎢⎥⎣⎦.()21081118183611x x x x +=+++≥+=++，当且仅当8111x x +=+时，即8x =时，()2101x x ++取最小值36，则036a <<，即a 的取值范围是()0,36.19. 设函数()f x 的定义域为D ，若x D ∀∈，()()f f x x =，则称()f x 为“循环函数”.（1）试问函数()()e 1,0,ln 1,0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是否为“循环函数”？说明你的理由.（2）已知函数()342f x x =-，证明：存在常数C ，使得()()g x f x C =+为“循环函数”.（3）已知对任意x ，y ∈R ，函数()f x ，()g x 都满足()()()()22334f x f y g x g y x y y ++=+--.①证明：()f x 为“循环函数”.②若()30f -=，证明：当1x >时，()()321ln 2g x x x >+-.【答案】（1）是，理由见解析（2）证明见解析（3）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用“循环函数”的定义证明即可；.（2）由函数的定义域与值域一致，确定常数C 的值，然后验证“循环函数”的定义即可；（3）先联立方程，结合利用赋值法得到()2a f x x =-，()22a g x x x =++，①利用“循环函数”的定义证明即可；②先求出()g x 的解析式，然后构造函数求最值求解即可．”．【小问1详解】()()e 1,0,ln 1,0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，当()0,e 10x x f x -=-，则()()()()e 1ln e 11x xf f x f x --=-=--+=，当0x >时，()()ln 10f x x =-+<，则()()()ln 1e 111x ff x x x +=-=+-=.当0x =时，()00f =，()()()000f f f ==；因此对任意的R x ∈，都有()()ff x x =，故()()e 1,0,ln 1,0x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩是“循环函数”.【小问2详解】根据题意可知函数()342g x C x =+-，显然，()342g x C C x =+≠-，易知函数()g x 的定义域为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，要使任意1|2x x x ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭满足(())g g x x =，那么()12g x ≠，因此不妨令12C =，当12C =时，()31142221x g x x x +=+=--， 则()()()()1112121212221121x x x x g g x x x x x x ++++--===++----， 所以存在常数12C =，使得()()g x f x C =+为“循环函数”.【小问3详解】证明：由题意得()()()()22334f x g x x g y f y y y +-=---对x ，y ∈R 恒成立，所以存在常数a ，使得()()()()22334f x g x x g y f y y y a +-=---=.令y x =，得()()()()22,334,f xg x x a g x f x x x a ⎧+-=⎪⎨---=⎪⎩解得()2a f x x =-，()22a g x x x =++.①由()()22aa f f x x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得()f x 为“循环函数”.②若()30f -=，则32a =-，()23g x x x =+-.要证明()()32ln g x x x >-，所以即证()()2323ln 2ln ln 1x x x xx x +->-=+-，即证()232ln ln 10x x x x +---->，不妨设()()232ln ln 1h x x x x x =+----，显然1x >，所以导函数()()()()2212212111x x h x x x x x x --=+--=--'，显然当)x ∞∈+时，导函数()0h x '>，此时函数()h x 单调递增；当(x ∈时，导函数()0h x '<，此时函数()h x 单调递减；所以())1ln 2ln 1h x h ≥=---，设()1ln G x x x =--，因此()111x G x x x'-=-=，0x >，显然当01x <<时，()0G x '<，此时()G x 单调递减，当1x >时，()0G x '>，此时()G x 单调递增，故()()10G x G ≥=,即ln 1x x -≥，)1ln1ln 21ln 20---≥->，即()()232ln ln 10h x x x x x =+---->，即()()32ln g x x x >-．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差或变形；(2)构造新的函数ℎ(x )；(3)利用导数研究ℎ(x )的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
广东省部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含解析)
2024—2025年度高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为（ ）A.C.2.椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.16B.18C. D.203.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.94.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）A.9B.1C.1或9D.11或95.在正方体中，，，则（ ）A. B.C. D.6.过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C 于A ，B 两点，则（ ）0y +=22:19x y C m+=1F 2F P C 12PF F △10+212y x =F P (5,2)Q ||||PQ PF +22:1412x y C -=1F 2F C P 15PF =2PF =1111ABCD A B C D -13AE AB = 134BF BD = EF =11231234AB AD AA -++ 11331244AB AD AA -+11121243AB AD AA --+ 11331244AB AD AA -++2:4C y x =22:(3)1P x y -+=||AB =A. B.14 C.15 D.167.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（ ）A.B.C.D.8.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若与圆相交于，两点，则D.过上一点向圆作切线，切点为，则10.在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）P ABCD -PA ⊥ABCD PB ABCD π4ABCD π2ABC BAD ∠=∠=2AD =1PA BC ==P ACD -O PBC O 9π811π89π411π421:2C x x +20y +=222:68160C x y x y +--+=P 21PC PC -1:(1)50l ax a y ++-=2:3450l x y -+=22:(3)(4)9C x y ++-=12//l l 37a =-12l l ⊥4a =-1l C A B min ||2AB =2l P C Q min ||PQ =ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE △1A DE △1A DE C --P 1A CA.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为B.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为C.若存在点，使得，且，则椭圆D.若存在点，使得，且，则椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为___________.13.双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为___________，渐近线方程为___________.14.已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.16.（15分）//BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C P 12π2F PF ∠=C ⎛ ⎝P ||2aOP =C ⎫⎪⎪⎭P 122PF PF =12π3F PF ∠=C P 2||3a OP =122π3F PF ∠=C (5,9,1)a =(2,1,1)b = a b C 2212036x y +=C 22:(1)(3)4C x y ++-=:280l x y --=M C N l (7,4)P --||||MN PN +2222:1(0)x y C a b a b+=>>C l C (3,4)--l已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为.（1）求曲线的方程.（2）过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P ，Q ，O 为坐标原点，试判断直线OP ，OQ 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.17.（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.（1）求该几何体的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程.（2）已知直线与轨迹交于A ，B 两点，以A ，B 为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求.19.（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于A ，B 两点（A 在B 上方），当轴时，直线为的等线.（1）求双曲线的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）已知为坐标原点，直线OP 与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由.ABC △(2,0)A -(3,0)B C 3||2||CA CB =C W W A l W 111ABDC A B C -111//A B C ABDC 11A ACC ABDC 11A ACC ⊥ABDC 111A B C △2AB =160A AC BAC ︒∠=∠=11A ABB 11B C D M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭30y +=32M C C :3l y kx =+C 1l 2l 1l 2l P ||||AB AP =k l l l l 22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>222:31C x y -=1F 2F 1C P 1C 1C P 1l 1C 2PF x ⊥y =12PF F △1C y =12AF BF 12AF BF O 2C Q 2C Q 2l 12AF F △[注]双曲线在其上一点处的切线方程为.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()00,P x y 00221x x y y a b -=2024—2025年度高二上学期期中考试数学参考答案1.D的斜率为，倾斜角为120°，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的倾斜角为30°，斜率为.2.B 因为长轴长为10，所以长半轴长，短半轴长，半焦距，故的周长为.3.C 因为等于点到准线的距离，所以当PQ 垂直于准线时，有最小值，最小值为.4.A因为，所以，故.5.D 因为，，所以.因为，所以.6.D 记抛物线的焦点为，则.记切点为，因为圆的圆心为，所以，，所以，所以直线AB 的方程为.设，，联立方程组得，所以，所以.7.A 如图，建立空间直角坐标系，则，，.易知三棱锥的外接球球心为PD 的中点，所以.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.0y +=tan 30=︒5a =3b =4c ==12PF F △2218a c +=||PF P ||||PQ PF +82Q px +=156PF a c =<+=2124PF PF a -==29PF =13AE AB = 134BF BD = 12334EF EB BF AB BD =+=+111BD BD DD AD AB AA =+=-+()1123133341244EF AB AD AB AA AB AD AA =+-+=-++C F (1,0)F Q P (3,0)P ||2PF =||1PQ =30PFQ ∠=︒1)y x =-()11,A x y ()22,Bx y 21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩21410x x -+=1214x x +=12||16AB x x p =++=(0,0,1)P (1,0,0)B (1,1,0)C P ACD -O 10,1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭PBC (,,)n x y z = (1,0,1)BP =- (0,1,0)BC = 0,0,n BP x z n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩1x =(1,0,1)n = 10,1,2OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ O PBC ||||OP n d n ⋅===设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.8.A 由题知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设点为圆与圆的根轴上的任意一点，则，所以，整理得，即圆与圆的根轴为直线.取关于对称的点，则.因为，所以在上，所以当，，三点共线时，取得最大值.因为到到，所以，即的最大值为.9.ABD 若，则，得，故A 正确.若，则，得，故B 正确.因为过定点，所以，故C 不正确.因为，所以当时，取得最小值.因为圆心到直线的距离，所以，故D 正确.10.AC 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.r222519||488r OP d =-=-=9π81C 1(1,0)C -11r =2C 2(3,4)C 23r =(,)P x y 1C 2C l 22221122PC r PC r -=-()()()22222211343x y x y++-=-+--20x y +-=1C 2C l 20x y +-=1C l1C '11PC PC '=12C C l ⊥1C '12C C P 1C '2C 2121PC PC PC PC '-=-12C C '1C l 2C l 12C C '=21PC PC -12//l l 15345a a +-=≠-37a =-12l l ⊥34(1)0a a -+=4a =-1l (5,5)M -min ||4AB ===2222||||||||9PQ PC CQ PC =-=-2PC l ⊥||PQ C 2l 4d ==min ||PQ ==1(0,0,1)A (1,0,0)B C D 12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭对于A ，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A 正确.对于B ，因为，，所以，所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.对于C ，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C 正确.对于D ，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D 错误.11.BCD 对于A ，只需，因为，所以，所以，故A 错误.对于B ，若存在，则只需，所以，故B 正确.对于C，因为，，所以，.因为，所以，，所以，故C 正确.12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1A DE (1,0,0)m =0BP m ⋅= //BP 1ADE 11,2DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭EC =102DP EC ⋅=≠ 10,2PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 11)A D =-1cos ,PB A D = 1112PB A D PB A D ⋅=PB 1A D π3PBD (,,)n x y z =12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(BD =- 10,20,n BP y z nBD x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ x =n = 1A B PBD θ1(1,0,1)A B =-111sin cos ,A B n A B n A B nθ⋅====cos θ=b c ≤222b ac =-2222b ac c =-≤c e a ⎫=∈⎪⎪⎭||2a OP =2ab ≥e ⎫=⎪⎪⎭122PF PF =122PF PF a +=143a PF =223aPF =12π3F PF ∠=2221644214299332a a c a a =+-⨯⨯⨯223c a =c e a ==对于D ，因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.由，得D 正确.向量在向量上的投影向量的模为.13.； 设双曲线的方程为，因为椭圆的焦点为，长轴顶点为，所以，，所以.故双曲线的标准方程为，渐近线方程为.14.11 设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，（图略），所以，故的最小值为.15.解：（1）由题意，可知解得因为，所以椭圆的方程为.（2）设，，则122PF PF PO += 2221212122cos 4||PF PF PF PF F PF PO ++∠=122PF PF a +=()2222121212121639PF PF PF PF PF PF PF PF a +-=+-=2122027PF PF a =222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=()2212124PF PF PF PF c +-=221244PF PF a c =-222204427a a c =-e =ab ||||b a b ⋅= 2211620y x -=y x =C 22221(0,0)y x a b a b-=>>2212036x y +=(0,4)±(0,6)±4a =6c =b ==C 2211620y x -=a y x x b =±=(1,3)C -l ()000,C x y 000013280,2232,1x y y x -+⎧-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩005,9,x y =⎧⎨=-⎩0(5,9)C -0C N 0C P 0013CN PN C N PN C P +=+≥=MN PN +13211-=16,4,a c a c +=⎧⎨-=⎩10,6.a c =⎧⎨=⎩22264b a c =-=C 22110064x y +=()11,A x y ()22,B x y 221122221,100641,10064x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，整理可得.因为线段AB 的中点坐标为，所以，，.所以直线的斜率，故直线的方程为，即.16.解：（1）设，因为，所以，所以，所以的方程为.（2）设，，.联立方程组得，所以，.因为，所以，故直线OP ，OQ 的斜率之积为定值，且定值为.17.解：取AC 的中点，连接，，则，.因为平面平面，且交于AC ，所以平面.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.（1）连接BC .因为，所以.因为，，所以，2222121210064x x y y --+=121212121625y y x xx x y y -+=-⨯-+(3,4)--126x x +=-128y y +=-l 1212121216166122525825y y x x k x x y y -+-==-⨯=-⨯=--+-l 124(3)25y x +=-+12251360x y ++=(,)C x y 3||2||CA CB =22229(2)94(3)4x y x y ++=-+22120x y x ++=W 22120(0)x y x y ++=≠:2l x my =-()11,P x y ()22,Q x y 222,120,x my x y x =-⎧⎨++=⎩()2218200m y my ++-=12281m y y m +=-+122201y y m =-+()()()222121212122222016422244111m m x x my my m y y m y y m m m -=--=-++=++=+++12125OP OQ y y k k x x ⋅==-5-O 1A O BO 1A O AC ⊥BO AC ⊥11A ACC ⊥ABDC 1A O ⊥ABDC O OB OC 1OA(0,1,0)A -B (0,1,0)C 2,0)D 1A 1B 1(0,C 1222ABC S =⨯⨯=△1OA =11113A B C ABC ABC V S OA -=⋅=△(BC = 1BB = 1cos ,BC BB = 1114||BC BB BC BB ⋅=则.设平面的法向量为，则令，得，因为，所以点到平面的距离所以，所以该几何体的体积.（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，则.设平面的法向量为，因为，，所以所以.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设，，联立方程组得，则，.易知，的斜率存在，设的方程为，1sin B BC ∠=11B BCC S =四边形11B BCC (,,)n x y z = 10,0,n BC y n BB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1n =- (0,2,0)DB =- D 11B BCC ||||DB n d n ⋅==1111123D B BCC B BCC V S d -=⋅=四边形111115A B C ABC D B BCC V V V --=+=11A ABB ()111,,p x y z =AB = 1AA = 111110,0,p AB y p AA y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11x =(1,p = 11B C D ()222,,q x y z =11(B C = 1(0,1,B D = 11221220,0,q B C y q B D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩q = 11A ABB 11B C D θ||1cos |cos ,|||||5p q p q p q θ⋅=〈〉==11A ABB 11B C D 15M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭32y =-C 26x y =2111,6A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2221,6B x x ⎛⎫⎪⎝⎭26,3,x y y kx ⎧=⎨=+⎩26180x kx --=126x x k +=1218x x =-1l 2l 1l ()21116y x m x x -=-联立方程组得.由，解得，所以的方程为.同理可得，的方程为. 由解得即点.因为，，，且，所以，即，化简得，因此或故.因为直线为的等线，所以点在轴的上方，即.由，得因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的离心率为，又因为，所以，所以，，所以双曲线的方程为.（2）设，则双曲线在点处的切线的方程为.双曲线的渐近线方程为，可得，()21121,66y x m x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩2211660x mx mx x -+-=()221136460m mx x ∆=--=13x m =1l 2111136y x x x =-2l 2221136y x x x =-21122211,3611,36y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1212,2,6x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭222121,6x x AB x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ()12121,26x x x x x AP -⎛⎫-=⎪⎝⎭()22121,26x x x x x PB -⎫-⎛=⎪ ⎝⎭ ||||AB AP =()0AB AP PB +⋅=()()()()()222221212212112210236436x x x x x x x x x x x x x AB PB AP PB -+---⋅+⋅=+++= 22122227290x x x x ++=-=126,3x x =-⎧⎨=⎩126,3,x x =⎧⎨=-⎩12k =±y =12PF F △P x 2,b Pc a⎛⎫ ⎪⎝⎭2b a -=2b a=2C 1C 2ca=222c a b =+223b a =a =3b =1C 22139x y -=()00,P x y 1C P 1l 00139x x y y-=1C y =A x =B x =所以，所以是线段AB 的中点.因为点，到过原点的直线的距离相等，所以过原点的等线必定满足点A ，B 到该等线的距离相等，且分别位于两侧，所以该等线必过点，即直线OP 的方程为.方程组解得或所以.所以，，所以，故.（3）设，则双曲线在点处的切线的方程为.易知与在的右侧，在的左侧，因为，，所以点到的距离由得.因为，，所以，，所以因为点到的距离，点到的距离所以，即为的等线.02A B x x x +=+=P 1F 2F O O P y =22,1,39y x y⎧=⎪⎨-=⎪⎩3,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3,x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩P A A y ===+B B y ===--A B y y -=1212113622A B AF BF S F F y y =⋅-=⨯=四边形()11,Q x y 2C Q 2l 11310x x y y --=A 2F 2l 1F 2l A x =A y =A 2l 1d 0022,31,y y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩22022003x x x y =-10x >220039x y -=013x x =013y y =1d 2F 2l 2d =1(F -2l 3d =123d d d +=2l 12AF F △。
2024-2025学年陕西省西安三中高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年陕西省西安三中高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|ln (x +3)>0}，集合B ={x ∈N|(x +2)(x−3)≤0}，则A ∩B =( )A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {0,1,2,3,4}D. {−2,−1,0,1,2,3}2.“a =3”是“直线l 1：(a−1)x +2y +1=0与直线l 2：3x +ay−1=0平行”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.已知复数z =3+2i 2−i ，则以下命题中为真命题的是( )A. z 的共轭复数为75−4i 5B. z 的虚部为−75C. |z|=3D. z 在复平面内对应的点在第一象限4.已知椭圆x 25+y 2m =1的一个焦点坐标为(0,−2)，则实数m 的值为( )A. 1 B. 4 C. 7 D. 95.平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，A 1M =2MC ，AM =xAB +yAD +zAA 1，则实数x ，y ，z 的值分别为( )A. 13，23，23B. 23，13，23C. 23，23，13D. 23，12，236.已知圆C 1：x 2+y 2=1与圆C 2：x 2+y 2−8x +7=0，则圆C 1与圆C 2的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 内切D. 外切7.点P 在直线l ：x−y−1=0上运动，A(2,3)，B(2,0)，则|PA|−|PB|的最大值是( )A. 5 B. 6 C. 3 D. 48.设体积相等的正方体、正四面体和球的表面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A. S 1<S 2<S 3B. S 2<S 1<S 3C. S 3<S 1<S 2D. S 3<S 2<S 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年福建省厦门三中高一(上)期中数学试卷+答案解析
2024-2025学年福建省厦门三中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则()A. B.C. D.2.函数的图象是()A. B. C. D.3.若集合，则() A.0B.1C.D.1，4.下列说法错误的是() A.命题“，”，则：“，”B.“”是“”的充分条件C.若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件D.已知a ，，则“”是“且”的充分而不必要条件5.已知函数，在上是单调函数，则k 的取值范围是()A. B.C.D.6.若正实数a ，b 满足，则有()A.最小值，且最小值为B.最小值，且最小值为C.最大值，且最大值为D.最大值，且最大值为7.已知函数的定义域为，则的定义域为()A.B.C.D.8.已知奇函数满足，且在上单调递减，则的解集是()A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知关于x的不等式对恒成立，则实数a的可取值是()A. B.0 C.3 D.710.已知函数，关于函数的结论正确的是()A.的定义域是RB.的值域是C.若，则x的值为D.图象与有两个交点11.已知定义在R上且不恒为0的函数满足如下条件：①，②当时，，则下列结论正确的是()A.B.函数是偶函数C.函数在上是增函数D.不等式的解集为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的值域为______.13.函数是R上的减函数，则a的取值范围是______.14.已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则在上的最大值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分已知集合，命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.命题“r：，使得”是真命题，求实数m的取值范围.16.本小题15分已知，求函数的解析式；已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；已知，求的解析式.17.本小题15分已知函数是定义在上的奇函数，且求m，n的值：试判断函数的单调性，并证明你的结论；求使成立的实数a的取值范围．18.本小题17分某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米.当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.19.本小题17分“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若定义在R上函数的图象关于点对称，且当时，求的值；设函数函数的图象关于点对称，求m，n的值.若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】D【解析】【解答】集合P和M分别表示直线，集合即两条直线的交点，解方程组，解得：故集合，故选【分析】由题意可得集合即两条直线的交点，解方程组，可得两条直线的交点的坐标，从而求得集合本题主要考查求两条直线的交点坐标的方法，二元一次方程组的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：定义域为：，，函数为奇函数，又，，，，结合选项可知，函数的图象为故选：观察四个选项函数图象的差别，发现在定义域上取值不同，故利用特殊值点的函数值来确定函数大致图象．本题考查由函数的解析式求函数的图象，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为集合，当，则，，符合题意；当，则，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意；当，则，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意；所以故选：根据集合相等求参，再分别计算是否符合题意即可得出参数．本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题．4.【答案】D【解析】对于A：命题“，”，则：“，，正确；对于B：当时，成立，充分性成立，正确；对于C：若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，正确；对于D：当，时，满足，此时且不成立，故充分性不成立，错误．故选：根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案．本题主要考查充分条件、必要条件的判断，是基础题．5.【答案】C【解析】解：函数的对称轴为，开口向上，若函数在上是单调递增函数，则，若函数在上是单调递减函数，，解得或，故k的取值范围是故选：根据二次函数的图象和性质，若函数在是单调函数，则区间应完全在对称轴的同侧，由此构造关于k的不等式，解得k的取值范围．本题主要考查了二次函数单调性的应用，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：，，且满足，则，当且仅当且，即时，等号成立，因此，的最小值为故选：将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最值，进而可得出合适的选项．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：函数的定义域为，则，故，故函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为故选：求出函数的定义域，对于，可得出关于实数x的不等式组，即可解得函数的定义域．本题主要考查抽象函数定义域的求解，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：为奇函数，故，故，因为，所以，又在上单调递减，根据奇函数的对称性可知，在上单调递减，故当时，，时，，当时，，当时，，故原不等式的解集为故选：根据函数为奇函数，得到，故，，所以，并得到在上单调递减，从而得到和时，，和时，，得到不等式解集．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的综合应用，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：当时，需满足，解得，当时，恒成立，满足要求，故实数a的取值范围是，故A错误，BCD正确．故选：分与两种情况，结合判别式得到不等式，求出a的取值范围，得到答案．本题主要考查一元二次不等式的求解，属于基础题．10.【答案】BC【解析】解：时，；时，；所以的定义域是，选项A错误；的值域是，选项B正确；由时，，解得，选项C正确；由题意知，时，，解得，选项D错误．故选：根据分段函数的解析式，即可求出的定义域和值域，再判断选项中的命题是否正确．本题考查了分段函数的性质与应用问题，是基础题．11.【答案】AC【解析】解：令，则；令，则，故A对；令，则，即是奇函数，B错；在上，若，则，当时，，所以，故，所以在上递增，C对；若，，则，根据性质②知，所以时，，结合奇函数性质知：时，，同理，由时，，则时，，由或，则解集为，D错．故选：特殊值法、求得判断A；令即判断B；在上，若，得到判断C；若，，进而得到，结合奇函数性质确定在各区间上的符号，最后求解集判断本题考查了用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性、单调性及利用这些性质解不等式，属于中档题．12.【答案】【解析】解：令，则，函数化为其对称轴方程为，则当时，函数有最小值为函数的值域为故答案为：令，则，原函数化为关于t的一元二次函数，再由二次函数的单调性求得函数值域．本题考查利用换元法求函数的值域，是中档题．13.【答案】【解析】解：是R上的减函数，，解得，故a的取值范围是故答案为：由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于a 的不等式组求解可得．本题主要考查了分段函数性质，一次函数及二次函数单调性的应用，属于中档题．14.【答案】6【解析】解：令得，则，令，可得，所以，所以是奇函数；令，则，因为当时，，所以，即，所以在，均递减，因为是R 上的连续函数，所以在R 上递减；，可得；令，可得，，，，在上的最大值是故答案为：用赋值法证明函数是奇函数，再证明其是减函数，计算出区间端点处函数值后可求最大值．本题主要考查函数最值的求解，属于中档题．15.【答案】解：不等式，解得，即，所以因为q 是p 的必要不充分条件，所以，则B 不为空集，所以，解得：所以m 的取值范围为；，使得，所以B 为非空焦合且，所以，解得，所以m的取值范围为【解析】解分式方程，求出集合A，根据q是p的必要不充分条件，确定，且B不为空集，建立不等式组求m的取值范围；由“，使得”是真命题确定，建立不等式组求m的取值范围．此题考查了由充分、必要条件求参数，考查了存在量词命题，考查了转化思想，属于基础题．16.【答案】解：设，则，，即，所以，所以；因为是二次函数，所以设，由，得由，得，整理得，所以，所以，所以；用替换中的x，得，由，解得【解析】利用换元法求解即可，注意定义域的变化；利用待定系数法求解即可；利用方程组法求解即可．本题考查了函数解析式的求解，属于中档题．17.【答案】解：函数是定义在上的奇函数，且，可得即；又，则，所以，；在上为增函数．证明：设，则，由，可得，，则，即，所以在上为增函数；由为奇函数，可得即为，由在上为增函数，可得，解得，即a的取值范围是【解析】由奇函数的性质可得，结合，解方程可得m，n的值；在上为增函数，再由单调性的定义证明，注意运用因式分解和不等式的性质；由奇函数在上为增函数，可将不等式的两边的“f”去掉，解不等式可得所求取值范围．本题考查函数的奇欧旭和单调性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米，所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为米，设甲工程队报价为y元，馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元，则，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324000元；根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，因为，，当且仅当，即时，等号成立，所以，故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，【解析】根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解；根据题意可知对任意的恒成立，分离参数对任意的恒成立，进而变形利用基本不等式求a的范围即可．本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．19.【答案】解：因为函数的图象关于点对称，所以，令，则ⅰ因为的图象关于对称，所以，即，，整理得：，所以，解得；ⅱ，易知函数在上单调递增，所以，不妨设在上的值域为A，对任意，总存在，使得成立，则，当时，，且，当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或，因为，所以，，又，，所以，，所以当时，成立．当，即，函数在上单调递增，由对称可知，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以，所以，由，可得，解得当，即时，函数在上单调递减，由对称性可知在上单调递减，因为，，所以，所以，由，可得，解得综上，实数a的取值范围为【解析】由函数的图象关于点对称，直接求解即可；ⅰ由题意可知，代入求解即可；ⅱ求得的值域，记函数，的值域为A，结合二次函数的性质求出a的取值范围即可．本题考查函数的对称性的运用和函数恒成立问题，考查分类讨论思想和转化思想，属于难题．。
2024-2025学年山东师大附中高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年山东师大附中高一（上）期中数学试卷✥一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−3,−2,0,2}，B={x||x−1|<2}，则A∩B=( )A. {−2,0}B. {0,2}C. {−2,2}D. {−2,0,2}2.若命题“∃x∈R，使得ax+2=0”是假命题，则实数a的范围为( )A. {a|a>0}B. {a|a>2}C. {0}D. {a|a>2，或a=0}3.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(|x|)+1的大致图象是( )A.B.C.D.4.已知幂函数f(x)=(m2+m−1)x m的图像与坐标轴没有公共点，则f(2)=( )A. 12B. √ 2 C. 14D. 2√ 25.已知函数f(x)的定义域为(−3,4)，则函数g(x)=√ 3x−1的定义域为( )A. (13,3) B. (13,4) C. (13,5) D. (13,6)6.函数f(x)={(−a −5)x −2,x ≥2x 2+2(a −1)x −3a,x <2，若对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( ) A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]7.已知正数x ，y 满足1x+1+2y =1，则2x +y 的最小值是( ) A. 8B. 7C. 6D. 58.已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(−∞,0)上单调递增，若f(−2)=0，则(x +1)(f(x)−2f(−x))<0的解集是( ) A. (−2,0)∪(0,2)B. (−2,0)∪(1,2)C. (−2,−1)∪(0,2)D. (−2,−1)∪(1,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。
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高中期中期末试题及答案
A． 这篇赠序的重点，不是写丁琰的才干，而是针砭吏治不修、地方官员才德 低下的社会现实，进而建议推行古代庠序、师友、赏罚之法，以培养足够的人才。
B． 本文首段感慨贤人之少，一唱三叹；再通过古今对比，叹问之间，忧虑 国事之情溢于言表；文末由勉励丁琰推及天下为吏者，更使文章深意无尽。
21. 在横线处写出诗文原句（14 分）
（1）桑之末落
。桑之落矣，
。
（2）昔我往矣，
。今我来思，
。
（3）亦余心之所善兮，
。
（4）还顾望旧乡，
。同心而离居，
。
（5）
？唯有杜康。
，悠悠我心。
（6）
，一去三十年。
，池鱼思故渊。
（7）
，依依墟里烟。狗吠深巷中，
。
（8）及其所之既倦，
，
。
（9）
，
，亦足以畅叙幽情。
经》，并沿用至今。《诗经》表现手法上分为风、雅、颂，与赋、比、兴合称“六义”。
6. 下列句子中没有通假字的一项是（ ）
A. 匪来贸丝 B. 进不入以离尤兮 C. 葳蕤自生光 D. 至莫夜月明
7. 对下列句子中加点词语的解释，有错误的一项是（ ）
A. 及其所之既倦．（厌倦）
B. 女也不爽．（爽快）
C. 有怠．而欲出者（懈怠）
缺一不可。
B. 虽然计算机应用的范围越来越广，但拥有了它并不意味着一切工作都会那么轻而易
举，一．挥．而．就．。 C. 传统节日是一宗重大而特殊的民族文化遗产，其文化内涵和相关习俗不应该与现代社
会格．格．不．入．。
D 将往昔林．林．总．总．的记忆吐露在纸上，我意识到完成了我生活中最重要的行动，我注定
为记忆而生。
（10）
，而不知其所止；
，羽化而登仙。
（11）驾一叶之扁舟，
。寄蜉蝣于天地，
。
（12）
，
，耳得之而为声，目遇之而成色。
（13）
，
，其孰能讥之乎？
（14）不吾知其亦已兮，
。
22. 读下面这首诗，完成（1）、（2）小题。（6 分）
《迢迢牵牛星》
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。纤纤擢素手，札札弄机杼。终日不成章，泣涕零如雨。河汉
小型雕塑作品创作和按原比例缩小的概念模型制作。
5. 下列有关文学常识的表述，正确的一项是（ ）
A. 屈原，名平，字原，其代表作《离骚》是我国古代最长的叙事诗：而我国古代最长的
抒情诗是《孔雀东南飞》，《孔雀东南飞》与《木兰诗》合称为“乐府双璧”。
B. 苏轼，字子由，号东坡居士，其散文代表作《前赤壁赋》《后赤壁赋》创于贬谪黄州
③“天生我材必有用”，这不是诗人
，而是在怀才不遇的情况下，仍希望终有一
日能大展宏图。
A. 解释 偶然 妄自尊大 B. 解读 偶然 夜郎自大
C. 解释 偶尔 妄自尊大 D. 解读 偶尔 夜郎自大
3. 下列句子中，加点的成语使用不恰当的一句是（ ）
A. 道德是一切制度运行的社会土壤，道德与法律在一个国家的文明框架中，唇．齿．相．依．，
） 稍纵即．（jí）逝 图穷匕．（bǐ）见 力能扛．（káng）鼎 戛．（jiá）然而止
2. 下列各句横线处应填入的词语，最恰当的一组是（ ）
①对严复提出的“信、达、雅”的翻译标准，有学者
为：“信”是忠于原作，“达”
是忠于读者，“雅”是对于文学语言的忠诚。
②走在大街上，天色微暗，行人稀少，
几片雪花飘落，更平添了几分寒意。
使天子大臣患天下之弊，则数更法以御之。法日以愈密，而弊日以愈多。岂 今之去古也远，治天下卒无术哉！盖古人之有庠有序，有师友之游，有有司之论，
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高中期中期末试题及答案
而赏罚之始于乡，属于天下，为教之详至此也。士也有圣人之道，则皆得行其教；
有可教之质，则皆可为材且良，故古之贤也多。贤之多，则自公卿大夫至于牛羊
B. 固知一．死生为虚诞．齐．彭殇为妄作
C. 虽趣舍．万殊
D. 舞．幽壑之潜蛟，泣．孤舟之嫠妇
11. 下列各句中加点的词语，从词类活用的角度看不同于其他三项的是（ ）
A. 火尚足以明．也 B. 有泉侧．出 C. 高．余冠之岌岌兮 12. 下列各组加点词语中不是偏义复词的一项是（ ）
D. 长．余佩之陆离
4. 下列各句中，没有语病的一项是（ ）
A．这部由第六代导演执导的青春片带有鲜明的时代印记，表现了主人公拒绝平庸、坚守梦想
的成长故事，具有极强的感染力，深深地打动了观众。
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高中期中期末试题及答案
B．瑞典和芬兰研究人员最近发现某些癌症存在“基因开关”，这一成果有助于未来的癌症防 治，但距离相应的药物的问世还需要很多年的深入研究。 C．近年来，我国在海外开展了形式多样的汉语教学、汉语推广等文化交流活动，促进了汉语 国际传播，在世界主要国家和城市越来越受欢迎。 D．作为“第三次工业革命重要标志之一”的三 D 打印技术，目前被各国艺术家用于复杂的中
D. 何意致．不厚（招致，招来）
8. 下列句子中的加点词，意义相同的一项是（ ）
A. 古人之观．于天地、山川
而世之奇伟、瑰怪、非常之观．
B. 而吾与子之所共适．
余目齐安舟行适．临汝
C. 酾酒临．江，横槊赋诗
未尝不临．文嗟悼
D. 则或咎．其欲出者
尔卜尔筮，体无咎．言
9. 下列各组句子中加点词语的意义和用法，相同的一项是（ ）
清且浅，相去复几许？盈盈一水间，脉脉不得语。
【注释】：
①选自《古诗十九首》，河汉女指织女星。
②擢（zhuó）：引，抽，伸出的意思。
③札（zhá）札：织布机发出的声音。
④杼（zhù）：织机上的工具。
⑤章：这里指布匹。
（1）赋、比、兴是古代诗歌的传统手法，本诗使用的是：
A. 只有赋 B. 只有兴 C. 赋和兴 D. 赋比兴都有
此数人者，非特任守令也。过此数人，有千里者相接而无一贤守，有百里者相环 而无一贤令。至天子大臣尝患其然，则任奉法之吏，严刺察之科，以绳治之。诸 郡守县令以罪不任职，或黜或罢者相继于外。于是下诏书，择廷臣，使各举所知 以任守令。是天子大臣爱国与民而重守令之意，可谓无不至矣。而诏虽下，举者 卒不闻。惟令或以旧制举，不皆循岁月而授。每举者有姓名，得而视之，推考其 材行能堪其举者，卒亦未见焉。举者既然矣，则以余之所见闻，阴计其人之孰可 举者，卒亦未见焉。犹恐予之愚且贱闻与见焉者少不足以知天下之材也则求夫 贤而有名位闻与见之博者而从之问其人之孰可举者卒亦未见焉。岂天下之人固 可诬，而天固不生才于今哉！
A. 便可白公．姥． B. 昼夜勤作．息． C. 逼迫兼弟．兄． D. 否．泰．如天地 13. 下列句子从古汉语句式角度看不同于其他三项的一项是（ ）
A. 古之人不余欺也
B. 不吾知其亦已兮
C. 客有吹洞箫者
D. 而今安在哉？
14. 对下列句子的翻译，有错误的一项是（ ）
A. 至于幽暗昏惑而无物以相之──到了那幽深昏暗、叫人迷乱的地方却什么也看不见。
仓廪贱官之选咸宜焉，独千里、百里之长哉？其为道岂不约且明，其为致天下之
材岂不多哉？其岂有劳于求而不得人，密于法而不胜其弊，若今之患哉？
今也，庠序、师友、赏罚之法非古也，士也有圣人之道，欲推而教于乡于天
下，则无路焉。人愚也，则愚矣！可教而贤者，卒谁教之哉？故今之贤也少。贤
之少，则自公卿大夫至于牛羊仓廪贱官之选常不足其人焉，独守令哉？是以其求
平：安定
16．下列各组句子中，加点词的意义和用法相同的一项是(
)
A．则皆可为材且．良 B．今也．，庠序、师友、赏罚之法非古也
否者，若属皆且．为所虏 野马也．，尘埃也，生物之以息相
吹也
C．人愚也，则．愚矣！ D．拒而莫之．与也
于其身也，则．耻师焉 恐年岁之．不吾与
17．下列对原文的赏析，不正确的一项是(
时期；而与苏轼同时代的王文公，字介甫，是“唐宋八大家”之一。
C. 王羲之，字逸少，善书法，有“书圣”之称；同是东晋文士，陶潜曾做过几年小官，
后辞官回家，从此隐居，田园生活是陶渊明诗的主要题材，相关作品有《饮酒》《归园田居》
《桃花源记》《五柳先生传》《归去来兮辞》等。
D. 《诗经》是我国第一部诗歌总集，又称《诗三百》。西汉时被尊为儒家经典，始称《诗
B. 以斧斤考击而求之──用斧头敲打石头的办法来寻求（石钟山得名的）原因。
C. 民生各有所乐兮，余独好修以为常──人生各有各的乐趣啊，我独爱美，并且习以为
常。
D. 所以游目骋怀──借以纵展眼力，开畅胸怀。
二、阅读下面一段文言文，完成 15－19 题。（共 10 分） 守令之于民近且重，易知矣。予尝论今之守令，有道而闻四方者不过数人。
盖 夫 秋 之 为 状 也 其 色 惨 淡 烟 霏 云 敛 其 容 清 明 天 高 日 晶 其 气栗
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高中期中期末试题及答案
冽砭人肌骨其意萧条山川寂寥故其为声也凄凄切切呼号愤发丰
草绿缛而争茂佳木葱茏而可悦草拂之而色变木遭之而叶脱其所
以 摧 败 零 落 者 乃 一 气 之 余 烈。
不信于彼哉！求余文者多矣，拒而莫之与也。独丁君之行也，不求余文，而余乐
道其所尝论者以送之，以示重丁君，且勉之，且勉天下之凡为吏者也。
（本文有删节）
15．对下列句子中加点词语的解释，不正确的一项是（
）
A．推考其材行能堪．其举者
堪：胜任
B．岂天下之人固可诬．
诬：诬蔑
C．则数更法以御．之
御：防备
D．南城之政平．
C． 作者认为有圣人之道的士人匮乏并且缺少激励机制，学校又严重不足，是 造成“今之贤也少”的重要原因，这种见解可谓一针见血，深中肯綮。