平面向量应用举例 PPT
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平面向量的数量积与平面向量应用举例_图文_图文
三、向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 2．a⊥b⇔ a·b＝0 .
|a|2
4．cos θ＝
.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b| ≤ |a||b|.
四、数量积的运算律
1．交换律：a·b＝ b·a . 2．分配律：(a＋b)·c＝ a·c＋b·c . 3．对λ∈R，λ(a·b)＝ (λa)·b＝ a·(λb．) 五、数量积的坐标运算
∴a与c的夹角为90°. (2)∵a与b是不共线的单位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b与a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)． ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1.∴k＝1. [答案] (1)B (2)1
解析：(1) a＝(x－1,1)，a－b＝(x－1,1)－(－x＋1,3)＝ (2x－2，－2)，故a⊥(a－b)⇔2(x－1)2－2＝0⇔x＝0或2 ，故x＝2是a⊥(a－b)的一个充分不必要条件．
答案: (1)B (2)D
平面向量的模 [答案] B
[答案] D
[典例总结]
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用，要掌 握此类问题的处理方法：
[巩固练习]
2．(1)设向量a＝(x－1,1)，b＝(－x＋1,3)，则a⊥(a－b)
的一个充分不必要条件是
()
A．x＝0或2
B．x＝2
C．x＝1
D．x＝±2
(2)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝a＋λb(λ∈R)，
向量d如图所示，则
()
A．存在λ>0，使得向量c与向量d垂直 B．存在λ>0，使得向量c与向量d夹角为60° C．存在λ<0，使得向量c与向量d夹角为30° D．存在λ>0，使得向量c与向量d共线
平面向量应用举例课件
F
由
200 2 cos
3
2
≤
200,
cos
2
≥
3 2
,
2
≤
6
,
≤
3
.
u ur
u ur
F1 F2
从 而 可 知 0 o ， 6 0 o 绳 子 才 不 会 断 .
ur G
例艘4船.如从图A处,一出u条ur发河到的河两对岸岸平,已行知,河船的的宽速度度d=|5vur10| 01m0k,一m/h, ,水流速度 |v2|2km/h,问行驶航程最短时,所用时间 是多少？(精确到0.1min)
2.5平面向量的应用举例 主页
1.平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何 背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运 算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我 们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。 研究对象： 与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹 角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
2 cos
u ur
2
（1）θ为何值时，| F 1 最| 小，最小值是多少？
答：在上式ur 中，当θ =0º时，
c
o
s
2
最大，|
u ur F1
最| 小
且等于 | G | .
2
u ur
ur
（2）| F 1 | 能等于 | G | 吗？为什么？
答：在上式中，当
cos
2
1 2
,
uur ur
| F1 ||G|
即θ=120º时，
生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.
平面向量的应用举例精选课件
A
F
E
a
B
P D
b
c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
F
E
a
B
P D
b
c
C
练习: ABCD中，点E、F分别是边AD、DC边的中 点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现 AR、RT、TC之间的关系吗？
D E A
R
F
T
C
1,建立平面几何与向量的联系，用 向量表示问题中的几何元素，将 平面几何问题转化为向量问题； 2,通过向量运算，研究几何元素之 间的关系； 3,把运算结果’翻译‘成几何关系.
2.5 平面向量应用举例
一.复习:
1.平面向量数量积的含义:
a b | a || b | cosθ
2.平面向量数量积的运算律.
(1)a b b a (2)( a) b (a b ) a (b ) (3)(a b ) c a c b c
所以： OD a,即有： a bc 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个 人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠 上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力！你 F 能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示的 F1 是同个问题，抽象为数学模型如 下： 用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
λ1λ2=-1；
③若向量 a =(cosα,sinα), b =(cosβ,sinβ),则 a + b 与 a - b 的夹角为90°； ④若向量 a 、 b 满足| a |=3,| b |=4,| a + b |= 13 ,则 a , b 的夹角为60°.
《平面向量应用举例》高一年级下册PPT课件
第二章 平面向量
[解析] 以 B 为原点，BC 所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标
系．
∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴B(0,0)，A(3,4)，C(6,0)， 则A→C＝(3，－4)． ∵点 M 是边 AC 上靠近点 A 的一个三等分点， ∴A→M＝31A→C＝(1，－43)，
8
∴M(4，3)，
第二章 平面向量
(3)证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(线 段)是否垂直等，常运用向量垂直的条件：a⊥b⇔a· b＝0(或 x1x2＋y1y2＝0)
_______________________________.
a· b cosθ＝|a ||b|
(4)求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式________________.
第二章 平面向量
∴B→M＝(4，8)．
3
假设在 BM 上存在点 P 使得 PC⊥BM， 设B→P＝λB→M，且 0<λ<1， 即B→P＝λB→M＝λ(4，83)＝(4λ，83λ)， ∴C→P＝C→B＋B→P＝(－6,0)＋(4λ，83λ)＝(4λ－6，83λ)． ∵PC⊥BM，∴C→P· B→M＝0，
第二章 平面向量
[解析] A→B＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j， (1)F1所做的功 W1＝F1· s＝F1· A→B ＝(i＋j)· (－13i－15j)＝－28； F2 所做的功 W2＝F2· s＝F2· A→B ＝(4i－5j)· (－13i－15j)＝23. (2)因为 F＝F1＋F2＝5i－4j， 所以 F 所做的功 W＝F· s＝F· A→B ＝(5i－4j)· (－13i－15j)＝－5.
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
平面向量应用举例课件2
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”. (1)若AB∥CD,则直线AB与CD平行.( ) (2)若△ABC是直角三角形,则有AB· BC=0.( ) (3)向量AB,CD的夹角与直线AB,CD的夹角未必相等.( ) 答案:(1)× (2)× (3)
探究一
探究二
探究三
解析:(1)由 ������������ = ������������ 知 ,四边形 ABCD 为平行四边形 , 又������������ ·������������ =0,则 AB⊥BC, 故平行四边形 ABCD 为矩形 . (2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是 |������������ + ������������ |和 |������������ − ������������ |.
.
������ 2
, ������������ = ������,
, ������������ ⊥ ������������ ,
������2 ∴������������ ·������������ =2x- 4 =0(x ≠0).
∴y2=8x(x ≠0).
答案:y2=8x(x≠0)
探究一
探究二
探究三
做一做 (1)在四边形 ABCD 中,������������ ·������������ =0,且������������ = ������������ ,则四
边形 ABCD 是( ) A.梯形 B.菱形
C.矩形D.正方形
(2)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线 段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别 是 、 .
251平面向量应用举例.ppt
11
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？ 3.为何值时，F1 G？
12
,
uuur 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
6
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
1
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
9
解：由已知条件得 v v2 0
2
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
1.当逐渐增大时，F1 的大小怎样变化，为什么？ 2.为何值时，F1 最小，最小值是多少？ 3.为何值时，F1 G？
12
,
uuur 于是 RT
1
uuur AC
3
3
3
故AT=RT=TC
6
练习、证明直径所对的圆周角
是直角
C
如图所示，已知⊙O，AB为直径，C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° A
分析：要证∠ACB=90°，只须证向
r b
ar O
B
量AC CB，即 AC CB 0 。
解：设 AO a,OC b
2.5平面向量应用举例
2.5.1平面几何的向量方法
1
平面几何中的向量方法
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
9
解：由已知条件得 v v2 0
2
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
平面向量的应用PPT课件
（4）点 P 满足：OP OA ( AB AC ) ， (0, ) ，则
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
| AB | | AC |
点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
第10页/共29页
例3.
1）、在ABC中AB • BC 0,则ABC为
三角形
2）、在ABC中BC
• CA
2
BC
变式：若AC 10，求BD长度
第14页/共29页
3．(【093天】3．津()09在天四津边)形在A四BC边D形中A，BCADB 中= D，CA=B（=1D，C1）=，（1，1），
|
1 BA
|
BA
1
|
BB1CA|BC1
|
3
BDC
BD
|
，3则B四D边，形则AB四C边D 形
ABCD
| BA | 3 | BC | | BD |
的面积是
2
解：由题的知面四积边是形ABCD是菱形，其边长为 2,
A
D
B
C
第15页/共29页
平面向量的应用（3）
第16页/共29页
例 1.已知 ABC 中, AB 2, AC 3， (1)若O为 ABC 的垂心，求 AO BC ； (2)若O为 ABC 的重心，求 AO BC ； (3)若O为 ABC 的外心，求 AO BC .
9.（2013
浙江卷理
7）设
ABC,
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，
且对于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB • PC P0B • P0C 。则
A. ABC 900 B. BAC 900 C. AB AC D. AC BC
平面向量应用举例ppt
xx年xx月xx日
平面向量应用举例ppt
平面向量的基础知识平面向量在几何中的应用平面向量在物理中的应用平面向量在解析几何中的应用平面向量的实际应用举例平面向量的发展前景与研究方向
contents
目录
01
平面向量的基础知识
平面向量的定义
带有方向和大小的量
平面向量
零向量
单位向量
相等向量
长度为0的向量
要点三
平面向量在经济学中的应用
总结词
向量在经济学中可以用于描述经济指标之间的关系和趋势。
向量在生产函数中的应用
生产函数是经济学中的一个重要概念，它可以用向量来表示各种生产要素之间的比例关系。
向量在投入产出分析中的应用
投入产出分析是经济学中用于研究各部门之间相互依存关系的方法，可以用向量来表示不同部门之间的相互影响。
2
3
直线方向向量是直线上任意两点坐标差的向量，因此可用向量表示直线方向。
直线方向向量的表示
直线距离向量可以用两个点之间的距离表示，从而用于计算点到直线的距离。
直线距离向量的表示
曲线每一点的切向量是该点处曲线切线的方向向量，而法向量则是垂直于切向量的向量。
曲线切向量和法向量的表示
03
向量夹角的求解
两个向量夹角的求解可以用两个向量的点积除以两个向量的模长乘积得到。
总结词
向量在几何形状分析中的应用
向量可以用有向线段表示，具有方向和大小两个属性，可以用来表示物体的位置和运动
向量的几何意义
向量可以表示直线和平面，用向量表示直线可借助其方向和长度来刻画直线的基本性质；用向量表示平面可借助其法向量和到平面的距离来刻画平面的基本性质
向量在解析几何中的应用
平面向量应用举例课件PPT
解： (1)粒子 b 相对于粒子 a 的位移 s＝sb－sa＝(4,3)－(3，－4)＝ (1,7)． (2)设 s 与 sa 的夹角为 θ，则 s 在 sa 方向上的投影为 |s|cos θ＝|s||ss|··s|saa|＝s|s·saa| ＝1×33＋2＋7×－4－24＝－5.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
误区解密 推理不严谨而出错 【例题】 三角形 ABC 中，设B→C＝a，C→A＝b，A→B＝c，若 a·b ＝b·c＝c·a，请确定三角形 ABC 的形状．
典例剖析 知识点 1 用向量解答几何问题
【例 1】 已知两定点 A(－2,0)，B(2,0)，P 是圆 C：(x－5)2＋ (y－12)2＝4 上的一个动点，求|PA|2＋|PB|2 的最大值和最小值．
思路点拨：用向量运算，把|PA|2＋|PB|2 转化为只与一个变量 (|O→P|)有关的式子，在根据|O→C|－|P→C|≤|O→P|≤|O→C|＋|P→C|可求得最 大值与最小值．
③过点 P0(x0，y0)且与向量 a＝(m，n)垂直的直线的方程为 m(x －x0)＋n(y－y0)＝0.
3．向量方法解决物理问题的步骤： ①认真分析物理现象，深刻把握物理量之间的关系． ②通过抽象、概括，把物理现象转化为向量问题． ③利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量问题的 解． ④利用这个结果，对原物理现象作出解释.
5．功是力与_位__移___的数量积．
自主探究 已知直角三角形的两直角边长分别为 10 和 12，求两直角边上 的中线所夹的锐角的余弦值．
解： 如图，设直角三角形 ABC 的∠C＝90°，D，E
分别是 BC，AC 边的中点，BC＝10，AC＝12. 则 CD＝5，CE＝6. 所以|A→D|＝ 122＋52＝13， |B→E|＝ 62＋102＝ 136. A→D·B→E＝(A→C＋C→D)·(B→C＋C→E) ＝0＋12×6×(－1)＋5×10×(－1)＋0＝－122. 于是 cos〈A→D，B→E〉＝|AA→→DD|·|BB→→EE|＝13－×122234＝－6144234.
平面向量应用举例PPT教学课件
2.5平面向量应用举例
复习
a b | a || b | cos a b x1 x2 y1 y2
(1) | a | 5, | b | 6, 30， a b 15 3
(2)a (1,5), b (3, 2), a b 7
复习
? a b a b 0
a b | a || b | cos
| a || b | cos 90 | a || b | 0
0
2
a
|
a
|2
复习
| i | 1 | j | 1
2
i
| i |2
1
2
j | j |2 1
i j 0 ji 0
y
1
j
i1
x
复习：坐标表示模
已知a ( x, y), 求| a |
| a | x2 y2
复习：.坐标表示向量垂直和平行
三、教学方法
因为本节反映了从特殊到一般的认知规律，所 以采用启发式教学，通过图形直观提出问题，通过 数学表格分析问题，通过数学符号解决问题。以独 立思考发现为前提，在教师的指导下，分析解决问 题。
四：教学手段
对教学手段的选择和利用 （1）利用辅助小黑板，展示引入函数的图象，以利节约时间. （2）利用彩色粉笔，引导学生发现图象的规律。
三、教学过程
数形结合 形成概念 剖析例题 巩固新知 及时练习 反馈调控 梳理总结 内化提高 布置作业 以图创新
图形引入 激发兴趣
对称是大自然的一种美， 通过观察图象的共同特征， 引出课题。
数形结合 形成概念
•观察图象的对称特征，完成课本表 格，引导学生观察当自变量互为相 反数时，函数值的变化情况。即 f(x)=f(-x) ，进而引导学生归纳概括 出偶函数的定义。
复习
a b | a || b | cos a b x1 x2 y1 y2
(1) | a | 5, | b | 6, 30， a b 15 3
(2)a (1,5), b (3, 2), a b 7
复习
? a b a b 0
a b | a || b | cos
| a || b | cos 90 | a || b | 0
0
2
a
|
a
|2
复习
| i | 1 | j | 1
2
i
| i |2
1
2
j | j |2 1
i j 0 ji 0
y
1
j
i1
x
复习：坐标表示模
已知a ( x, y), 求| a |
| a | x2 y2
复习：.坐标表示向量垂直和平行
三、教学方法
因为本节反映了从特殊到一般的认知规律，所 以采用启发式教学，通过图形直观提出问题，通过 数学表格分析问题，通过数学符号解决问题。以独 立思考发现为前提，在教师的指导下，分析解决问 题。
四：教学手段
对教学手段的选择和利用 （1）利用辅助小黑板，展示引入函数的图象，以利节约时间. （2）利用彩色粉笔，引导学生发现图象的规律。
三、教学过程
数形结合 形成概念 剖析例题 巩固新知 及时练习 反馈调控 梳理总结 内化提高 布置作业 以图创新
图形引入 激发兴趣
对称是大自然的一种美， 通过观察图象的共同特征， 引出课题。
数形结合 形成概念
•观察图象的对称特征，完成课本表 格，引导学生观察当自变量互为相 反数时，函数值的变化情况。即 f(x)=f(-x) ，进而引导学生归纳概括 出偶函数的定义。
平面向量应用举例PPT课件
化的主要手段是向量的坐标运算.( )
(4)在△ABC中，若
则△ABC为钝角三角形.( )
AB AC，
AB BC＜0，
【解析】( 1)正确 .因为
有相同 的起点 A，故 A，B， C三点 共线， 故正确.
(2)正确. 解析几 何中的 坐标、 直线平 行、垂 直、长 度等问 题可利 用向量 的共线 、数量 积、模 等知识 解决， 故正确.
(A)2 (B)3 (C)4 (D)6 【解析】 选B.由 题意可 知，
则CM CB
CM CB＝(CA＋1 AB) CB 3
＝CA CB＋1 AB CB 3
＝0＋1 3 2 3cos45＝3. 3
BM＝2MA，
4.在△ABC中，已知向量 满足 则△ABC为( )
(A)等边三角形 (C)等腰非等边三角形 (D)三边均不相等的三角形
1.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3( 单位： 牛顿) 的作用 而处于平衡状态，已知F1,F2成60°角， 且F1,F2的大小 分别 为2和4，则F3的大小为( ) 【解析】选D.|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos 60°=28,所 以|F3|= 选D.
A6B2C2 5D2 7
②用含θ 的关系 式表示m,n，然 后转化 为三角 函数的 最值问 题
求解.
| BC BA | 2
【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos θ)，b=(-1,2cos θ)， ∵a⊥b， ∴a·b=0， ∴-1+2co s2θ=cos 2θ= 0，故 选C.
2① | BC BA |2 | AC |2 ( 2cos 1)2 ( 2sin 1)2
AB AC且AB,AC
《平面向量的应用》课件
详细描述
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
向量的模表示向量的长度，可以通过坐标表示计算得出。具体计算公式为$sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$分别是向量的起点和终点的坐标。
向量加法和数乘可以通过坐标表示进行计算，遵循平行四边形法则和数乘的分配律。
详细描述
总结词
向量的大小或模定义为向量起点到终点的距离。
总结词
向量的模是表示向量大小的数值，可以通过勾股定理计算得到。向量的模具有几何意义，表示向量起点到终点的距离。
详细描述
向量小。
总结词
向量的加法是将两个有向线段首尾相接，形成一个新的有向线段。数乘则是将一个向量放大或缩小，保持方向不变。通过向量的加法和数乘，可以组合多个向量，形成复杂的向量关系。
平面向量的应用实例
03
速度和加速度
在匀速圆周运动和平抛运动等物理问题中，可以利用平面向量表示速度和加速度，进而分析运动规律。
力的合成与分解
通过向量加法、数乘和向量的数量积、向量的向量积等运算，可以方便地表示出力的合成与分解过程，进而分析物体的运动状态。
力的矩
矩是一个向量，可以利用平面向量表示力矩，进而分析转动效果。
总结词：平面向量在解决几何问题中具有广泛的应用，如向量的加法、减法、数乘等运算可以用于解决长度、角度、平行、垂直等问题。
总结词：平面向量在解决代数问题中具有广泛的应用，如向量的模长、向量的数量积、向量的向量积等运算可以用于解决方程组、不等式等问题。
总结词
通过平面直角坐标系，可以将向量表示为有序实数对。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量可以由其起点和终点的坐标确定，并表示为有序实数对。例如，向量$overset{longrightarrow}{AB}$可以表示为$(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$。
1-7 平面向量的应用举例(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
高中数学
必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
高中数学
必修第二册
湖南教育版
跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
2
2
3
2
3
2
3
1
3
∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.几何法和坐标法
（1）几何法：
①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示；
②利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
2
3
2
3
6
2
由
又O为和 的公共点，∴ 点E，O，F在同一直线上.
1
＝ ＝ .
2
高中数学
必修第二册
湖南教育版
3.平面几何中的长度问题
例 3 如图所示，四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F.
求证：AF＝AE.
证明
如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A（-1，1），B（0，1）.
（2）计算得出1 2 + 1 2＝0，从而得到⊥ ；
（3）给出几何结论AB⊥CD.
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必修第二册
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跟踪训练
1-1
（1）若M为△ABC所在平面内一点，且满足（- ）·（+ - 2）＝0，则△ABC为（ B ）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
证明：（方法1）∵ 在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∴ 2|AC|＝ 2|BC|＝|AB|.
1
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1
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∵＝- ＝ - ，＝+ ＝+ ＝+ （- ）＝ + ，
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E F
P
B
D
C
探究（三）：计算夹角的大小
思考1：如图，在等腰△ABC中，D、E分 别是两条腰AB、AC的中点，若CD⊥BE， 你认为∠A的大小是否为定值？
A
D
E
B
C
思考2：设向量 AB a，AC b，可以利 用哪个向量原理求∠A的大小？
A
a
D
b
E
cos A a b | a || b |
B
C
思考3：以a，b为基底，向量 BE ，CD 如
平面向量应用举例
探究（一）：推断线段长度关系
思考1：如图，在平行四边形ABCD中，已
知AB=2，AD=1，BD=2，那么对角线AC的
长是否确定？
D
C
A
B
思考2：设向量AB a，AD b，则向量AC
等于什么？向量 DB 等于什么？
AC =a+b, DB =a-b
AB=2，AD=1，BD=2（二）：推断直线位置关系
思考1：三角形的三条高线具有什么位置
关系？
交于一点
思考2：如图，设△ABC的两条高AD与BE
相交于点P，要说明AB边上的高CF经过点
P，你有哪些办法？
A
证明PC⊥AB.
E F
P
B
D
C
思考3：设向量 PA a，PB b，PC c， 那么PC⊥BA可转化为什么向A 量关系？
E
B
C
理论迁移
例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E、 F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC 相交于点M、N，试推断AM、MN、NC的长 度具有什么关系，并证明你的结论.
DF E MN
A
B
C
结论:AM=MN=NC
例2 如图，△ABC的三条高分别为AD，BE， CF，作DG⊥BE，DH⊥CF，垂足分别为G、 H，试推断EF与GH是否平行.
述？
D
|a|=2，|b|=1，|a-b|=2. b Aa
C B
利用 | AC |2 (AC)2 ，若求 | AC | 需要解决
什么问题？
利用|a|=2，|b|=1，|a－b|=2，如何求 a·b？| AC | 等于多少？
a b 1 , | AC | 6 2
根据上述思路，你能推断平行四边形两 条对角线的长度与两条邻边的长度之间 具有什么关系吗？ 平行四边形两条对角线长的平方和等于 两条邻边长的平方和的两倍.
A
结论:EF∥GH
E
F
G
PH
B
D
C
小结作业
1.用向量方法解决平面几何问题的基本 思路：几何问题向量化 向量运算关系 化 向量关系几何化.
2.用向量方法研究几何问题，需要用向 量的观点看问题，将几何问题化归为向 量问题来解决.它既是一种数学思想，也 是一种数学能力.其中合理设置向量，并 建立向量关系，是解决问题的关键.
何表示？
A
BE
1 2
b
a
ab
D
E
CD 1 a b
2
B
C
思考4：将CD⊥BE转化为向量运算可得 什么结论？
a·b = 25（a2＋b2）
思考5：因为△ABC是等腰三角形，则
|a|=|b|，结合上述结论:
a·b
=
2 5
(a2＋b2
),cosA等于多少？
A
cos A
ab | a || b |
4 5
ab
D
E
Fa
c·(a－b)＝0.
P
bc
B
D
C
思考4：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观 点可分别转化为什么结论？
a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
思考5：如何利用这两个结论: a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0 推出c·(a－b)＝0？
思考6：你能用其它方法证明三角形的三
条高线交于一点吗？
A