马尔可夫链的定义及例子
第三章 马尔可夫链
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第三章 马尔可夫链 一、马尔可夫链的概念马尔可夫过程是一类有重要应用意义的随机过程,它具有如下特征:随机过程‘将来’所处的状态仅与‘现在’所处的状态有关,而与‘过去’曾处于什么状态无关。
马尔可夫过程按其状态和时间参数是离散还是连续的可以分成三类 (1) 时间和状态都是离散的马尔可夫过程,称为马尔可夫链。
(2) 时间连续、状态离散的马尔可夫过程,称为连续时间的马尔可夫链。
(3) 时间和状态都连续的马尔可夫过程。
本章介绍马尔可夫链定义1 设}0,{≥n X n 为随机序列,其状态空间为},,,{210 i i i I =,如果对任意正整数n 及任意n+2个状态I i i i i n ∈+1210,,,, ,有},,,{110011n n n n i X i X i X i X P ====++}{11n n n n i X i X P ===++则称此随机序列}0,{≥n X n 为马尔可夫链。
若将时刻n 称为‘现在’,将时刻n+1称为‘将来’,而把0,1,2,……,n-1称为‘过去’。
定义中的等式便可通俗解释为:在已知}0,{≥n X n ‘现在’所处的状态条件下,‘将来’所要达到的状态与‘过去’所经历的状态无关,这一特性常称为马尔可夫的无后效性。
例1.一个n 级数字传输系统,每一级的输入和输出信号只取0或1两个值,每一级的输出是下一级的输入;并假定当一级输入为0时,其输出为0和为1的概率分别为p 和1-p;当输入为1时,其输出为1和0的概率分别为p 和1-p (见图)令Xn 表示第n 级输出,则{ Xn,n ≥0}便为一个马尔可夫链。
例2.从1,2,……,N 数字中任取一个数,记为X0;再从1,2,……,X0数字中任取一个数,记为X1;再从1,2,……,X1中任取一个数,记为X2;依此类推,在1,2,……,Xn-1中任取一个数,记为Xn 。
可以证明{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
事实上,{ Xn,n ≥0}的状态空间为I={1,2,……,N},对任意正整数n ,取n+1个状态I i i i i n ,,,,210 ,由题意可知故{ Xn,n ≥0}为马尔可夫链。
马尔可夫链性质
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马尔可夫链性质马尔可夫链的性质及简单分类1。
关于马尔可夫性的定义: Markov chain(M)是一个基于(随机)概率分布,或者更确切地说一个集合,这里的概率取决于一个分布的参数值。
一般用“ M”来表示这种性质。
2。
单个马尔可夫链的特征马尔可夫链是有限个无限深的、具有有限个状态和无限个后继的动态过程。
例如,如果考虑在一次掷一颗色子中不被点到次数最多的那个动作为初始状态,那么将该动作进行第k次后停止并且记为k+1,从而就形成了一条以0为状态、具有0个后继的马尔可夫链。
3。
M 的稳定性①一条马尔可夫链是稳定的,如果存在一个稳定点,则它必定收敛于一个极小值。
②无穷大的马尔可夫链不是稳定的,因为无限大的马尔可夫链没有极小点。
③一条马尔可夫链是不稳定的,如果存在一个临界值,那么它将不能收敛到一个极小值。
④当m= 1时,M为不稳定的,因为此时不存在一个能使得M在不断移动中达到极小值的事件。
4。
多重马尔可夫链的稳定性①当m=1时,每个马尔可夫链都是稳定的,但是有一个M-1,即当m=1时, M至少存在两个状态。
②当m为有限值时,它的收敛速度相当快。
所以可以利用它实现无限大的马尔可夫链的分析。
5。
稳定性的相关例子:单个马尔可夫链,初始状态集( 0, 1)多个马尔可夫链,初始状态集( 1, 0)多重马尔可夫链,初始状态集( 1, n-1)马尔可夫链的多样性对比类似于巴斯德的多样性:只有三个简单的经典情况:一组确定的物理事件;一组随机变量;一组标准的模式。
6。
平衡状态:给定初始状态,单个马尔可夫链不可能达到平衡状态,而多重马尔可夫链可以通过某种算法达到平衡状态。
7。
平衡状态下单个马尔可夫链的产生( 1)可以设想,只要每个平衡状态都是不稳定的,那么有无限多个初始状态集,其中有多个不同的选择。
( 2)单个马尔可夫链不可能生成的情况:对于给定的马尔可夫链来说,如果一开始的状态集不为空,那么平衡状态也一定不会为空。
第四章 马尔可夫链
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股市预测
预测股票价格变化 基于历史数据建立模型 考虑股票之间的相关性 用于投资决策和风险管理
05
马尔可夫链的算法
状态转移矩阵算法
定义:状态转移 矩阵算法是马尔 可夫链中用于描 述状态转移概率 的算法
计算方法:根据 历史数据和当前 状态计算未来的 状态转移概率
应用场景:广泛 应用于自然语言 处理、语音识别、 机器翻译等领域
类问题等。
可扩展性强: 马尔可夫链可 以通过增加状 态和转移概率 来扩展模型, 以处理更复杂
的问题。
缺点
状态转移概率矩 阵必须已知
无法处理连续时 间或非齐次过程
无法处理多维或 多状态过程
无法处理非马尔 可夫过程
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特点:隐马尔可夫链的状态转移和观测概率是参数化的,需要通过训练数据来估计。
应用:隐马尔可夫链在语音识别、自然语言处理、机器翻译等领域有广泛应用。
算法:隐马尔可夫链的算法包括前向-后向算法、Viterbi算法和Baum-Welch算法等。
04
马尔可夫链的应用
自然语言处理
文本分类:利 用马尔可夫链 对文本进行分 类,如垃圾邮 件过滤、情感
01
添加章节标题
02
马尔可夫链的定义
状态转移
定义:马尔可夫链的状态转移概率是描述状态之间转移的规则
特性:状态转移具有无记忆性,即下一个状态只与当前状态有关,与过去状态无关
转移矩阵:描述状态转移概率的矩阵
稳态分布:在长期状态下,马尔可夫链将趋于一个稳态分布,该分布描述
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马尔可夫链
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马尔可夫链课件
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格,或以
Q现在处于1(或5)这 1的概率留在原处;如果 3
一点上,则下一时刻就以概率1移动到2(或4)这点上,1 和5这两点称为反射壁,这种游动称为带有两个反射壁的
随机游动。以Xn表示时刻n时Q的位置,说明{Xn,n =
0,1,2 …}是一齐次马氏链,并写出它的一步转移概率矩 阵。
二、转移概率
定义3 设 { X n,n 0} 是齐次马尔可夫链,其一步 矩阵的每一行都 转移概率为 pij (i, j S ),记 是一条件分布律
p00 p10 P ( pij ) p 20 pi 0
.
p 01 p 02 p11 p12 p 21 p 22 pi1 pi 2
1 2 3 4 5
三、马氏链的例子
解:它的一步转移概率矩阵为: 0 1 0 0 0
1 3 P 0 0 0
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
0
1 3 1 3
0 0
0
1
0 0 1 3 0
如果把1这点改为吸收壁,即Q一旦到达1这一点,则永远 留在点1时,此时的转移概率矩阵为:
• 第一节 基本概念 • 第二节 状态的分类及性质 • 第三节 极限性态及平稳分布
• 第四节 Markov链的应用
第一节
基本概念
一、Markov链的定义 二、转移概率 三、Markov链的例子 四、n步转移概率,C-K方程
第一节
基本概念
一、Markov链的定义
马尔可夫性(无后效性 )过程(或系统)在时刻t 所处的状态为已知的条件下,过程在时
1 1 3 P 0 0 0 0
1 3 1 3
0
马尔可夫链
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例7 设马氏链{Xn}的状态空间为 I={1, 2, 3, 4, 5}, 转移概率矩阵为
1 2
1
2
0 0
0
1 2
1 2
0
0
0
P 0 0 1 0 0
3 / 16 . 1/ 4
于是: (1) P{X0 0, X2 1}
P{ X0 0}P{ X2 1 | X0 0} 1 5 5 ;
3 16 48
2020年5月21日星期四
(2)P{X2 1}
P{X0 0}P{X2 1 | X0 0} P{X0 1}P{X2 1 | X0 1}
显然有
p(n) 11
p(n) 21
P(n)
p(n j1
)
L
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1j
L
p(n) 2j
L
p(n) j2
p(n) jj
L
LL
L
(1)
0
p(n) ij
1
(2)
p(n) ij
1,
i
1,
2,L
j
2020年5月21日星期四
切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(C-K方程): 对任意的m,n≥0,有
的矩阵
p11 p21
P
L
pj1 L
p12 L p22 L LL pj2 L LL
p1 j L
p2 j L
L
L
p jj L
L L
称为一步转移概率矩阵. 显然有
(1) 0 pij 1
(2)
pij 1, i 1, 2,L
j
2020年5月21日星期四
3、马尔可夫链举例
马尔可夫链
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(3) P( n) P P( n1) (4) P( n) P n
初始概率和绝对概率
初始概率: 绝对概率:
p j (n) P{X n j}, ( j I )
p j P{X 0 j}, ( j I )
初始分布:
{ p j } { p j , j I}
绝对分布:
(第七章)马尔可夫链
马尔可夫链的概念及转移概率 马尔可夫链的状态分类 状态空间的分解 遍历性与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型
马尔可夫链
时间、状态都离散 时间离散、状态连续
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程
时间连续、状态离散
时间、状态都连续
连续马尔可夫过程(或扩散过程)
(3)函数表达式
[例3] 设 { Xn , nT } 是一个马尔可夫链,其状态
空间 I = {a, b, c},转移矩阵为
1 / 2 1 / 4 1 / 4 P 2 / 3 0 1 / 3 3 / 5 2 / 5 0
求: (1) P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c X 0 c};
一步转移概率矩阵
p11 P p21 p12 p22 p1n p2 n
性质: (1) pij 0 , i, j I
(2)
p
jI
ij
1, i I
(随机矩阵)
n 步转移概率
[定义] 称条件概率
( n) pij P{X mn j X m i}, (i, j I , m 0, n 1)
( n) n 0, 0 l < n 和 i , j I ,n 步转移概率 pij 具有下 列性质:
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
![马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解](https://img.taocdn.com/s3/m/c138e55f326c1eb91a37f111f18583d049640f39.png)
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中,马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链(Markov chain),又称离散时间马尔可夫链(discrete-time Markov chain),因俄国数学家安德烈·马尔可夫(俄语:Андрей Андреевич Марков)得名,为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质:下一状态的概率分布只能由当前状态决定,在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步,系统根据概率分布,可以从一个状态变到另一个状态,也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移,与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点,每一步可以移动到任何一个相邻的点,在这里移动到每一个点的概率都是相同的(无论之前漫步路径是如何的)。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话,那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子,假如每天的天气是一个状态的话,那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气,而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨,但是这样做可以大大简化模型的复杂度,因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用,比如循环神经网络RNN,隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知,时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关,用数学公式来描述就是:既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态,那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率,这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的,共有三种状态:牛市(Bull market), 熊市(Bear market)和横盘(Stagnant market)。
《马尔可夫链分析法》课件
![《马尔可夫链分析法》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/460b788d2dc58bd63186bceb19e8b8f67c1ceffa.png)
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性,适用于描述 大量随机现象,如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动,以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域,马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源,实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作,共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
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感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态,并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果,计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列,形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率,可以了解系统的长期行为和趋势,例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率,可以对系统未来的状态进行预测,从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程,通过分析人口在各个地区之间 的转移概率,预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势,制定相应的政策和计划。
马尔可夫链的基本概念
![马尔可夫链的基本概念](https://img.taocdn.com/s3/m/3f736e8e77a20029bd64783e0912a21615797f1f.png)
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程,广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念,我们先从基本定义开始,再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程,即在给定当前状态的前提下,未来状态与过去状态无关。
换句话说,系统的未来发展只依赖于当前的状态,而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”,是马尔可夫链最大的特点。
在形式上,我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列,其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态,若满足条件:[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中,( P ) 是条件概率,这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间:状态空间是指系统所有可能的状态集合,通常用集合 ( S ) 表示。
例如,一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率:马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间,转移概率通常用转移矩阵表示,其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布:初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时,各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示,如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质,其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性:如果一个马尔可夫链在长期运行后,将以一种稳定的方式达到各个状态,并且这个稳态与初始选择无关,那么我们称它为遍历。
换句话说,一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后,各个状态出现的概率将保持不变。
马尔可夫链的基本概念
![马尔可夫链的基本概念](https://img.taocdn.com/s3/m/d0af8e33a517866fb84ae45c3b3567ec102ddc98.png)
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种数学模型,用于描述具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下,未来状态的概率只与当前状态有关,与过去状态无关。
马尔可夫链由一组状态和状态之间的转移概率组成,可以用于模拟和预测各种随机过程,如天气变化、股票价格波动等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间和转移概率矩阵组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合,用S表示。
转移概率矩阵是一个n×n的矩阵,其中n 是状态空间的大小。
转移概率矩阵的元素表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质:在给定当前状态的情况下,未来状态的概率只与当前状态有关,与过去状态无关。
2. 遍历性:从任意一个状态出发,经过有限步骤后可以到达任意一个状态。
3. 周期性:一个状态可以分为周期为k的状态和非周期状态。
周期为k的状态在经过k步后才能返回原状态,非周期状态的周期为1。
4. 不可约性:如果一个马尔可夫链中的任意两个状态都是可达的,那么该马尔可夫链是不可约的。
5. 非周期马尔可夫链的收敛性:如果一个马尔可夫链是非周期的且不可约的,那么它具有收敛性,即在经过足够多的步骤后,状态分布会趋于稳定。
三、马尔可夫链的应用马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用,包括自然语言处理、机器学习、金融市场分析等。
1. 自然语言处理:马尔可夫链可以用于语言模型的建立,通过分析文本中的词语之间的转移概率,可以预测下一个词语的出现概率,从而实现自动文本生成、机器翻译等任务。
2. 机器学习:马尔可夫链可以用于序列数据的建模和预测,如音频信号处理、图像处理等。
通过分析序列数据中的状态转移概率,可以预测下一个状态的出现概率,从而实现序列数据的预测和分类。
3. 金融市场分析:马尔可夫链可以用于分析金融市场的波动性和趋势。
通过分析股票价格的状态转移概率,可以预测未来股票价格的走势,从而指导投资决策。
四、马尔可夫链的改进和扩展马尔可夫链的基本概念可以通过改进和扩展来适应更复杂的问题。
马尔可夫链的基本概念与应用实例
![马尔可夫链的基本概念与应用实例](https://img.taocdn.com/s3/m/3d22d539bb1aa8114431b90d6c85ec3a86c28b7c.png)
马尔可夫链的基本概念与应用实例马尔可夫链是一种数学模型,用于描述一个过程,该过程在任何给定状态下进行的概率取决于前一状态,而与过去状态无关。
它在许多领域中有着广泛的应用,如统计学、经济学、化学、物理学等等。
本文将对马尔可夫链的基本概念和一些应用实例进行阐述。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种随机过程,在任何给定状态下,转移到另一个状态的概率只取决于前一个状态,而与之前的状态无关。
这被称为马尔可夫性质。
因此一个马尔可夫链可以完全由初始状态和转移概率矩阵来描述。
1. 状态空间状态空间是指一个马尔可夫链中所有可能的状态的集合。
它可以是有限的,也可以是无限的。
例如,一个投掷硬币的例子,状态空间为{正面, 反面}。
2. 转移概率矩阵转移概率矩阵描述的是从一个状态到另一个状态的概率。
在一个马尔可夫链中,概率矩阵的每一行表示从一个状态转移到所有其他状态的概率。
在一个有限状态空间中,概率矩阵是一个n x n 的矩阵(n表示状态的数量)。
例如一个2 x 2的矩阵表示如下:s1 s2s1 p11 p12s2 p21 p22其中,p11 表示从状态 s1 转移到状态 s1 的概率;p12 表示从状态 s1 转移到状态 s2 的概率;p21 表示从状态 s2 转移到状态 s1 的概率;p22 表示从状态 s2 转移到状态 s2 的概率。
3. 初始状态概率分布每个马尔可夫链起始状态可以是任何一个状态。
初始状态概率分布表示从哪个可能的起始状态开始进行模型。
它通常会假定为一个向量,其中每个元素表示该状态成为起始状态的概率。
二、马尔可夫链的应用实例随机漫步是马尔可夫链的一个重要应用。
在随机漫步中,一个行动的结果只取决于之前的状态,而与其之前的状态无关。
这种情况下,马尔可夫链为该过程提供了一个可靠的模型。
在金融领域,股市价格变动也被认为是一个形式的马尔可夫链。
一个股票的价格在任何时间不仅取决于过去的价格,还受到多种经济因素的影响。
马尔可夫链在文本生成中的应用
![马尔可夫链在文本生成中的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/b7326c03a9956bec0975f46527d3240c8547a15c.png)
马尔可夫链在文本生成中的应用随着人工智能的发展,越来越多的技术被应用到了文本生成中。
其中,马尔可夫链就是一种非常重要的技术。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念、在文本生成中的应用以及其优缺点。
一、马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是指一种随机过程,它具有“无记忆”的特性。
也就是说,它的下一个状态只与当前状态相关,而与历史状态无关。
在数学上,马尔可夫链可以用一个状态转移矩阵来表示。
这个矩阵描述了在不同状态下,如何以一定的概率转移到其他状态。
举个简单的例子,假设我们有一个只含有两种词的句子:hello world。
我们可以用一个二阶马尔可夫链来生成新的句子。
这个马尔可夫链的状态包含了前两个单词。
也就是说,如果当前的状态是“hello world”,那么下一个单词只与这两个单词相关,而与句子的其他部分无关。
例如,如果下一个单词是“hello”,那么我们可以得到一个新的句子“world hello”。
二、马尔可夫链在文本生成中的应用马尔可夫链在文本生成中的应用非常广泛。
例如,在自然语言处理中,我们可以用马尔可夫链来生成新的句子。
为了实现这个目标,我们需要做以下几件事情。
1.建立马尔可夫链模型首先,我们需要建立一个马尔可夫链模型。
这个模型应该包含所有的状态和状态之间的概率转移矩阵。
在实际中,我们通常使用n阶马尔可夫链来生成新的文本。
n的大小决定了模型的复杂度。
通常来说,n的取值范围是1到5。
2.训练模型接下来,我们需要给模型提供大量的训练数据,以便它能够学习到不同的状态之间的概率转移规律。
这个训练数据可以是一个文本文件,也可以是一个网站的内容。
通常来说,训练数据越多,模型的效果越好。
3.生成新的文本最后,我们可以用已训练好的模型来生成新的文本。
具体来说,我们可以通过随机选择一个初始状态,从而得到一个新的单词。
接着,我们可以通过查找当前状态下的概率转移矩阵,来选择下一个单词。
然后,我们将新的单词加入到生成的文本中,并更新状态。
15 马尔可夫链
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7、艾伦费斯特模型
该模型可以用一个模型来说明。设一个 坛中装有c个球,它们或是红色的,或者 黑色的。随机地从坛子中取出一个球, 并换以另一个颜色的球放回坛中。经过n 次摸换,研究坛中的黑球数。
设原来黑球数为i作为状态。经过 一次摸换,坛子中的黑球数可能是 i -1个,也可能是i 1 。 pi ,i -1 i c i , pi ,i 1 c c
P X n j | X m i
i, j 1, 2,L , N
表示已知在时刻 m 系统处于状态 ai , 或说 X m 取值 ai 的条件下,经 ( n-m ) 步转 移到状态 a j 的概率,也可理解为已知在 时刻 m 系统处于状态 i 的条件下,在时刻 n 系统处于状态 j 的条件概率。
p m 1
jS ij
3、转移概率性质-k步
类似地,定义k步转移概率 p
(k ) ij
m P{ X m k (k ) pij m 0;
(1) ij
j | X m i}, i, j S
p m 1
jS (k ) ij
令k 1, p 规定:p
求:P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a | X 0 c} P{ X n 2 c | X n b}
3、马尔可夫链-3
设{ X n , n N }是数轴上整数点上的随机 徘徊过程,即X n X 0 Y1 Y2 ... Yn 式中X 0,Y1,相互独立,且 ... Y1 , Y2 ,...具有公 共概率分布P{Yn k} pk , k 0, 1...且
随机游走-转移概率矩阵
p pij q 0 n步转移概率
马尔可夫链的概念及转移概率
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第四章4.1 马尔可夫链的的概念与转移概率一、知识回顾二、马尔可夫链的的定义三、转移概率四、马尔可夫链的一些简单例子五、总结一、知识回顾1. 条件概率定义:设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB) P(A)为事件A发生条件下B事件发生的条件概率。
将条件概率公式移项即得到所谓的乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A)2.全概率公式设试验E的样本空间为S,A为E的事件,若B1,B2,⋯,B n为S的一个完备事件组,既满足条件:1).B1,B2,⋯,B n两两互不相容,即B i B j=∅,i≠j,i,j=1,2,⋯,n2). B1∪B2∪⋯∪B n=S,且有P(B i)>0,i=1,2,⋯,n,则P(A)=∑P(B i)P(A|B i)ni=1此式称为全概率公式。
3.矩阵乘法矩阵乘法的定义A=(a11a12a13a21a22a23),B=(b11b12b21b22b31b32)C=(c11c12c21c22)如果c11=a11×b11+a12×b21+a13×b31c12=a11×b12+a12×b22+a13×b32c21=a21×b11+a22×b21+a23×b31c22=a21×b12+a22×b22+a23×b32那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积,记作C=AB4.马尔可夫过程的分类马尔可夫过程按其状态和时间参数是连续的或离散的,可分为三类:(1)时间、状态都是离散的马尔科夫过程,称为马尔可夫链;(2)时间连续、状态离散的马尔科夫过程称为连续时间的马尔可夫链的;(3)时间、状态都连续的马尔科夫过程。
二、马尔科夫链的定义定义 4.1设有随机过程{X n,n∈T},若对于任意的整数n∈T和任意的i0,i1,…,i n+1∈I,条件概率都满足P{X n+1=i n+1|X0=i0,X1=i1,…,X n=i n}=P{X n+1=i n+1|X n=i n}(4.1.1)则称{X n,n∈T}为马尔科夫链,简称马氏链。
5第四章马尔可夫链
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例题: 例题:带一个吸收壁的随机游动 质点在数轴上移动,规律同上例。 质点在数轴上移动,规律同上例。当质点一旦达到 Xn = 0时, Xn+1就停留该 状态,这种状态称为吸收 就停留该0状态 状态, 时 是一个齐次马尔可夫链, 态。{Xn,n∈T}是一个齐次马尔可夫链,求一步转移 ∈ 是一个齐次马尔可夫链 概率。 概率。 解:
Pij( n ) = P{ X m + n = j | X m = i} P{ X m + n = j , X m = i} = P{ X m = i} =∑
k ∈I
P{ X m + n = j , X m + l = k , X m = i} P{ X m = i} P{ X m + n = j , X m + l = k , X m = i} P{ X m + l = k , X m = i} P{ X m + l = k , X m = i} P{ X m = i}
0 0 q 0 0 . . .
0 p 0 q 0
0 0 p 0 q
0 0 0 p 0
. . . 0 p
. . .
. . .
. . . . . .
. . .
. . .
. . . p 0 q 0 0
. . . 0 p 0 q 0
. . . 0 0 p 0 0
. . q 0 . . 0 q . . 0 0 . . 0 0 . . 0 0
( p ij n ) =
∑
k∈ I
( ( p ikl ) p kjn − l )
ChapmanKolmogorov方程 方程
( p ijn ) =
k1 ∈ I
随机过程中的马尔可夫链与随机游走
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随机过程中的马尔可夫链与随机游走马尔可夫链和随机游走是随机过程中两个重要的概念,它们在各个领域的建模和分析中都有着广泛的应用。
本文将介绍马尔可夫链和随机游走的基本概念、性质和应用,帮助读者全面了解和认识这两个重要的随机过程。
一、马尔可夫链1. 马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种离散时间的随机过程,在某一时刻的状态只依赖于前一时刻的状态,与之前的状态无关。
马尔可夫链具有马尔可夫性质,即未来的状态只与当前的状态有关,与过去的状态无关。
2. 马尔可夫链的转移概率马尔可夫链的状态转移是通过概率矩阵描述的。
概率矩阵P=(pij)的第i行第j列元素pij表示从状态i转移到状态j的概率。
概率矩阵满足以下条件:每一行的元素之和为1,且所有元素都非负。
3. 马尔可夫链的平稳分布如果一个马尔可夫链满足某些条件,那么它将具有平稳分布。
平稳分布是指在长时间运行后,马尔可夫链中各个状态的概率趋于稳定,不再发生变化。
二、随机游走1. 随机游走的定义随机游走是一种在数学上描述随机过程的模型,其基本思想是在某个状态空间中随机地进行步长为1的移动。
每次移动的方向和位置都是根据特定的概率分布决定的。
2. 随机游走的简单例子一个简单的随机游走的例子是一维平面上的步长为1的游走。
从原点开始,每次向左或向右移动,移动方向由一个公平的硬币决定。
经过n次移动后,游走的位置可以用一个整数表示。
3. 随机游走的性质随机游走具有一些有趣的性质。
首先,随机游走是马尔可夫链的一个特例,因为每一步的移动只依赖于当前的位置。
其次,随着游走次数的增加,游走的位置呈现出一定的规律性,如对称性、回归性等。
这些性质在实际问题的建模和分析中有重要的应用价值。
三、马尔可夫链与随机游走的应用1. 马尔可夫链的应用马尔可夫链在很多领域有广泛的应用。
在自然语言处理中,马尔可夫链可以用于语言模型的建立。
在金融领域,马尔可夫链可以用于股票价格模型的构建。
此外,在生物学、物理学、工程学等领域,马尔可夫链也有着重要的应用。
马尔可夫链具体实例
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马尔可夫链具体实例1蒙特卡洛马尔可夫链蒙特卡洛马尔可夫链(Monte Carlo Markov Chain,简称MCMC)是一种广泛应用的数据模拟方法,得名于20世纪40年代经典的蒙特卡洛算法。
它是一种随机算法,可以在无数据或有限数据的情况下,根据指定的概率分布,从而利用单个链来模拟出有关数据集的信息。
2工作原理蒙特卡洛马尔可夫链的基本原理是:假设一个样本数据集可以由一组独立的随机变量X1,X2,···,Xn,表示,其中Xi是根据一个未知概率分布f(Xi|Θ),在一个潜在参数空间Θ2中取值。
其中Θ是一组未知参数,这些参数定义了数据集的概率分布及其统计属性,并最终决定了数据集的行为。
蒙特卡洛马尔可夫链利用一种抱着穷尽所有可能性的思想,用一条链将所有假设的可能性考虑进来,这样就可以利用上述参数空间Θ2中的参数Θ调整特定的概率分布,从而确定该样本的潜在参数。
此外,MCMC还利用概率流量来确定每次尝试的状态,从而有效地收敛参数,最终获得数据模型的参数。
3如何使用学习MCMC的最简单的方法是将其应用于蒙特卡洛算法。
首先,需要构建参数空间Θ2,将参数Θ根据可能性来进行划分。
接下来,通过一个未知概率f(Xi|Θ)计算样本点Xi。
然后,通过把潜在参数Θ替换为具有完全参数的新参数θ',将其应用于f(Xi|θ’),重复这一步骤,直到收敛,最终得到样本数据集的参数。
4应用MCMC有着众多的应用,不仅可以用于统计学中的数据分析,而且在实际的商业运用中也发挥着重要的作用。
例如,淘宝和京东在推荐商品时,会利用MCMC动态调整其抵押推荐系统的参数,从而更好地向客户推荐购买更多符合用户需求的商品,同时达到双赢的目的。
5总结蒙特卡洛马尔可夫链(MCMC)是一种基于统计的模拟方法,它可以通过利用单个链上的多次尝试,从而根据假设的概率分布,实现从独立变量Xi到参数Θ的潜在参数变换,最终实现数据集的整体分析。
马尔可夫链课件
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p12 p22 0 0
p13 p23 1 0
p14 p24 0 1
三、马氏链的例子
例2 (0-1传输系统或简单信号模型)
X0 1 X1 2 X2 Xn-1 Xn
…
n
…
如图所示,只传输数字0和1的串联系统中,设每一级的传真率为p, 误码率为q=1-p。并设一个单位时间传输一级,X0是第一级的输入,Xn
n
P P X i |X ik k 1 和 1 P{ X n j | X n 1 i} 确定. {kX i} 分布 条件概率 0 k P X 0 i0,X 1 i1, ,X k 2 ik 2 马氏性
P X k 1 ik 1 | X 0 i0, ,X k 2 ik 2 P X k ik |X k 1 ik 1
则称 { X n,n 0}为齐次马尔可夫链,称 pij 为从状态 i
转移到状态 j 的一步转移概率. 若马尔科夫链 { X n,n 0}的状态空间是有限集,则
称 { X n,n 0}为有限状态的马尔科夫链;
若马尔科夫链 { X n,n 0}的状态空间是可列集,则 称 { X n,n 0} 为可列状态的马尔科夫链.
P X 0 i0 P X 1 i1 | X 0 i0 P X k ik |X k 1 ik 1
二、转移概率
定义1 设 { X n,n 0}是马尔可夫链,记
Байду номын сангаас
pij (n) P{X n 1 j | X n i}
称 pij 为马尔可夫链 { X n,n 0} 在时刻 n 时的一步转 移概率。 当 i,n 固定时,一步转移概率 pij (n) 实质上就是 在 X n i 的条件下,随机变量 X n 1的条件分布律,所以 条件分布律满足:
马尔可夫链
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部的医生却必然要转出去,分配到产科病房的机会是
妇科病房机会的4倍。则 p13 0 p11 0.4 p12 0.6 p22 0.4 p23 0.6 p21 0 p33 0 p31 0.8 p32 0.2
0.4 0.6 0
P
0
0.4 0.6
0.8 0.2 0
2019年7月10日
概率统计-马尔可夫链
第10页
例:院方规定:一个在产科病房(1)工作的医生不能
分配到门诊部(3)工作,但有40%的机会仍可以分配到 产科病房,60%的机会转移到妇科病房(2);在妇科病 房工作的医生,有40%的机会可以保留在妇科病房, 60%的机会转移到门诊部,但不能转到产科;在门诊
p11 p12 p13 p11 p12 p13
P (2)
p21
p22
p23
p21
p22
p23
P2
p31 p32 p33 p31 p32 p33
对
0.4 0.6 0
P
0
0.4 0.6
0.8 0.2 0
0.4 0.6 0 0.4 0.6 0 0.16 0.48 0.36
2019年7月10日
概率统计-马尔可夫链
第16页
(2) 未知X0的确切值, 但知的X0分布(初始分布), 则 可求: pi(n) P( Xn i) —— 状态概率 记 p(n) ( p1(n) , p2(n) ,, p(Nn) ) —— 状态概率行向量
则 p(n) p(0)P(n)
Yt:t1,2,) (随机过程)
描述一个离散随机变量用分布列
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3、转移概率
定义 i, j S, 称 P Xn1 j Xn i
的一步转移概率。
pij n 为n时刻
若i, j S, pij n pij ,即pij与n无关,称转移概率
具有平稳性.此时称{Xn,n≥0}为齐次(或时齐的)马尔 可夫链。记P=(pij),称P为{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
0
j!
j 0,1, i
pi0公式略有不同,它是服务台由有i个顾客转为空闲的
概率,即第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之
间系统服务完的顾客数≥i+1。
pi0 P X n1 0 X n i P(Yn i 1) P(Yn k) k i1
et (t)k dG t ,
0 P{Yn
j Tn1 x}dG x
( x) j exdG x, j 0,1, 2,
0 j!
因此, {Xn,n≥1}是马尔可夫链。其转移概率为
P0 j P( X n1 j X n 0) P(Yn j X n 0)
P(Yn
P( X n1 in1 X n in )
所以{Xn,n≥0}是马尔可夫链,且
pij P( X n1 j X n i) P( f i,Yn1 j) P( f i,Y1 j)
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1,随机矩阵 定义:称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵,若aij ≥0,且
一步转移概率矩阵
0.5009
0.0458 0.2559 0.1388 0.2134
0.0466 0.0988 0.36584 0.14264
0.01820
0.04355
0.01196
0.14306
半年后A种鲜奶的市场占有率为
0.8894
(0.25, 0.30, 0.35,
0.10)
0.60175
0.624
0.4834
0.5009
例
甲、乙两人进行比赛,设每局比赛中甲胜的概率是p,
乙胜的概率是q,和局的概率是 r ,( p q r 1 )。
设每局比赛后,胜者记“+1”分,负者记“-1”分,和
局不记分。当两人中有一人获得2分结束比赛。以X n
P X n k X 0 i P X nm j X n k k 0
pink pkmj k 0
Pn P Pn1 P P Pn2 Pn
例(马尔可夫预测)P82 解 一阶转移矩阵为
0.95 0.02 0.02 0.01
i r
nc
,
0,
j ic ji else
这是一个非齐次的马尔可夫链,在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法,并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。 定理:设随机过程{Xn,n≥0}满足 (1) Xn=f(Xn-1,Yn),(n ≥1), 其中f:S× S→ S,且Yn取值在S上, (2) {Yn,n≥1}为独立同分布随机变量,且X0与{Yn,n≥1}也相 互独立,则{Xn,n≥0}是马尔可夫链,其一步转移概率为
i S,有 aij 1 jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。
2,n步转移概率 定义:设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链,称
pinj P Xnm j Xm i , n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
表示比赛至第n局时甲获得的分数。
(1)写出状态空间;(2)求P(2);
(3)问在甲获得1分的情况下,再赛二局可以结束比 赛的概率是多少?
解
(1)
记甲获得“负2分”为状态1,获得 “负1分”为状态2,获得“0分”为状态3, 获得“正1分”为状态4,获得“正2分”为 状态5,则状态空间为
I {1,2,3,4,5}
M/G/1排队系统中字母M代表顾客来到时间间隔服从 指数分布, G代表服务时间的分布, 数字1代表只有一个 服务员。
若以X(t)记在t时刻系统中的顾客数,{X(t),t≥0}则不 具马尔可夫性。因为,若我们知道在t时刻系统中的顾客 数,那么为了预测将来的状态,我们不用关心从最近的一 位顾客来到后已过去了多长时间(因为来到过程是无记忆 的),但和服务中的顾客服务了多长时间有关(因为服务 时间分布不具无记忆性)。
CHAPTER 5 马尔可夫链
第一节 基本概念
一、马尔可夫链的定义及例子
1、分类 按马尔可夫过程参数空间和状态空间的不同可分为
X t
t
离散
连续
离散 连续
马尔可夫链
可数状态马 尔可夫过程
马尔可夫序列
连续状态马 尔可夫过程
2. 马尔可夫链的定义
随机过程 Xn, n 0,1, 2, 称为马尔可夫链,若
0 k i1
k!
i0
例4 直线上的随机游动
(1)无限制的随机游动 设有一质点在数轴上随机游 动,每隔一单位时间移动一次,每次只能向左或向右移动一 单位,或原地不动。设质点在0时刻的位置为a,向右移动的概 率为p,向左移动的概率为q,原地不动的概率为r(p+q+r=1), 且各次移动相互独立,以Xn表示质点经n次移动后所处的位 置,则{Xn,n≥0}是一马尔可夫链,转移概率为 Pi,i+1=p, Pi,i-1=q, Pi,i=r, 其余Pi,j=0
P
0.30 0.20
0.60 0.10
0.06 0.70
0.04
0.00
0.20
0.20
0.10
0.50
初始分布为
(1, 2, 3, 4 ) (0.25, 0.30, 0.35, 0.10)
则
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0.8894
P3
0.60175
0.4834
pij=P[f(i,Y1)=j] 证明:设n≥1 ,则Yn+1与X0, X1, …, Xn相互独立,事实上,
因为X1=f(X0,Y1), Y2与X0,Y1独立,所以, Y2与X1, X0 独立。同理, X2=f(X1,Y2)= f(f(X0,Y1),Y2),所以, Y3与X2,
X1, X0独立。归纳可得Yn+1与X0, X1, …, Xn相互独立。
j i 1,i 1
Pij 0,
其它
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G,服务时间分布为指数分布,参
数为 ,且与顾客到达过程独立。
Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数(包括 该顾客),则{Xn,n≥1}是马尔可夫链。记
Yn -----第n个顾客来到时刻到第n+1个顾客来到时刻之 间系统服务完的顾客数,则
P X 0 i0 P X1 i1 X 0 i0 P X 2 i2 X 0 i0, X1 i1
P X n in X 0 i0 , , X n1 in1
P X0 i0 P X1 i1 X 0 i0 P X 2 i2 X1 i1
p00 p01 p02
p10
p11
p12
P
pi0 pi1 pi2
1, pij 0i, j 0
2, pij 1i 0,1, 2, j 1
4、马尔可夫链的例子
例1 独立随机变量和的序列
设 {Yn,n≥1}为独立同分布随机变量序列,且Yn取 值为非负整数,其概率分布为P{Yn=i}=ai,i=0,1,2, …令 X0=0,Xn=Y1+…+ Yn ,则易证{Xn,n≥0}是一马尔可夫链, 且
罐中有b只黑球及r只红球,每次随机地取出一只后 把原球放回,并加入与抽出球同色的球c只,再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去,{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后,罐中有i只黑球这一事件,所以
i, b r nc
P
X n1 j X n i
1
b
所以有
P( X n1 in1 X 0 i0 , X n in )
P( f X n ,Yn1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f in ,Yn1 in1 X 0 i0 , X n in ) P( f in ,Yn1 in1)
pij a0j,i ,
ji ji
显然{Yn,n≥1}也是一马尔可夫链。
例2 M/G/1排队系统
假设顾客依参数为 的泊松过程来到一服务中心,
只有一个服务员,来客发现服务员空着即刻得到服务;其 他人排队等待服务。相继来到的顾客的服务时间Ti假定为 相互独立的随机变量,具有共同的分布G;且假定他们与 来到过程独立。
i (n) P Xn i,
称
1(n),2(n), ,i (n),
为n时刻Xn的概率分布向量。
1(0),2(0), ,i (0),
称为马尔可夫链{Xn,n≥0}的初始分布向量。 结论:一个马尔可夫链的特性完全由它的一步转移概
率矩阵及初始分布向量决定。
事实上
P X 0 i0 , X1 i1, , X n in
j)
ex x j dG x,
0
j!