第十二章-微分方程(习题及解答)
第十二章--6.一阶微分方程-习题课
解法
需经过变量代换化为线性微分方程． 需经过变量代换化为线性微分方程．
令z = y1−n ,
y
1− n
=z =e ∫
− ( 1− n ) P ( x ) dx
∫ ( 1−n ) P ( x ) dx dx + c ). ( ∫ Q( x )(1 − n)e
两种基本类型
变量可分离 一阶线性
其余类型的方程可借助于变量代换化成基本类型 两种基本类型代表两种典型解法 分离变量法 常数变易法
于是
F(x) = e
2x
−e
−2x
P327 题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ), 它的切线在纵 轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 . 提示: 提示 设曲线上的动点为 M (x,y), 此点处切线方程为 令 X = 0, 得截距 由题意知微分方程为
y − y′x = x 1 y′ − y = −1 即 x 定解条件为 y x=1 = 1.
f (x) + g( x) = 2ex .
(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程 ; (2) 求出F(x)的表达式 . 解: (1) Q F′( x) = f ′( x) g( x) + f (x) g′( x)
(03考研)
= g (x) + f (x)
2 2
= [g(x) + f (x)] − 2 f (x)g(x)
(3) ( y − x3 ) dx − 2x dy = 0 (4) 2 y dx + ( y3 − x) dy = 0
(5) ( y sin x − 2) y dx = x dy
例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: f ′(x) = g( x), g′(x) = f ( x), 且 f (0) = 0,
(完整版)常微分方程试题及答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（X ）2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
15•微分方程xy |nx 0的通解是y 2In① y 3 In xdx xdy 0是可分离变量微分方程。
② xy 2x dx y x 2y dy 0是可分离变量微分方程。
③ x? y 4是齐次方程。
y 2y 0是二阶常系数齐次线性微分方程。
6. ysiny 是一阶线性微分方程。
（X)7. y 3 3x yxy 不是一阶线性微分方程。
(O )8. y 2y 5y 0的特征方程为r 22r 5 0。
(9. dy 1 xy 2 xy 2是可分离变量的微分方程。
dx、填空题1.在横线上填上方程的名称o )(O )2. sin xy x cosx 的通解中应含 _3个独立常数。
3. 1 e 2x 的通解是-e 2x C 1x C 2。
42x4.1 sin2x cosx 的通解是 -sin2x cosx C 1x C 2。
45. xy 2x 2yx 41是二 ______ 阶微分方程。
3.函数y 3sinx 4cosx 是微分方程y y 0的解。
（0 ）4.函数y x 2 e x 是微分方程y 2y y0的解。
（X ）C （C 为任意常数）。
（0 ）④xyy x 2 sinx 是一阶线性微分方程。
6 .微分方程y y阶微分方程。
1A. 3 B7. y y 满足y L 0 2的特解是（B ） oxA. y e x 1 B . y 2e x C . y 2 e 2&微分方程y y sinx 的一个特解具有形式 A . y a sinx24 .微分方程y 3y 3的一个特解是（cosxC 1e xC 2e x 是方程y y 0的（A ）,其中C 1,C 2为任意常数。
A.通解B .特解C .是方程所有的解 D .上述都不对7. 8.丄所满足的微分方程是yx空的通解为y xCx 2。
9.dx dy 0的通解为 x10.dy dx 2yx 15x 1 2,其对应的齐次方程的通解为11. 方程xy 1 0的通解为y 12. 3阶微分方程x 3 * 5的通解为yx 2Cxe 2 o x C 1 x C 2 x C 3 o120三、选择题1 .微分方程 xyy 3y 4y 0的阶数是（D ） oA. 3 B 2 .微分方程x 51的通解中应含的独立常数的个数为3.下列函数中，哪个是微分方程dy 2xdx 0的解（A . y 2xB . y x 2C .2x Dy a cosxy xy 3y 2 011 .在下列函数中，能够是微分方程 y y 0的解的函数是（C ）y 1 B . y x C . y sinx D . y.Cx17.微分方程0的解为（B ）C . y x asin x bcosxy acosx bsinx9.下列微分方程中,是二阶常系数齐次线性微分方程。
微分方程(习题及解答)0001
2第十二章 微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、 、单项选择题 1.下列所给方程中，不是微分方程的是 (A) xy 2y ； (C) y y 0 ； 4 2•微分方程5y y xy (A) 1 ； (B) 2 ；3. 下列所给的函数，是微分方程 (A) y C i cosx ；(C) y cosx Csinx ；齐次微分方程2y (3)( x 2(7x(B) (D) 0的阶数是( (C) 3 ； y (B) (D) 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是 (A) y e x y ； (B) xy (C) y xy 1 0 ； (D) (x ). 2 2 y C ；6y)dx (x y)d y ).(D) 4 ； 0的通解的是( ). C 2 sin x ；G cosx ( ). y x ； y)dx (x 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是 (A) y (C) y 、填空题 c x y e ;xy x 0 ；(B) xy (D) (x 答(B). 答(C).C 2 si nx 答(D).y)dy 0.答(A).(2y x y)dx答(D).1. 函数y 5x 2是否是微分方程 xy 2y 的解？ 答: 是.2 . 微分方程 dx dy0, y x 3 4的解是 .答:2x 2y25 .y x3x2冬C .3 . 微分方程 3x 2 5x 5y 0的通解是 . 答: y5 24 . 微分方程 xy y lny 0的通解是 答: yCxe .5 . 微分方程 1 2 x y -1 y 2的通解是 . 答: arcsin y arcsin x6. 微分方程 xy y y(ln y ln x)的通解是 . 答: _yxCxe三、解答题y)；C .xy a(y 2(x y)d y1•求下列微分方程的通解. ⑵ (1) sec xtanydx s ec ytanxdy 0 ； 解:解：dy 心y⑶ —10 ； ⑷dx解:解：2 . 求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) 2x yy e ,y x 0 0 ;(2) 解:解：⑶ xdy 2ydx 0, yx 21;⑷解:解：y (y 2 x 3 o.y si nx yl ny2xtf - dt ln 2，求f (x)的非积分表达式. 答：f(x) e x ln2 .0 2§ 一阶线性微分方程、全微分方程23xy xy 的通解.可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程、单项选择题 1.方程ysinx 的通解是().1.下列所给方程中，是一阶微分方程的是((A)字址dx (C)乎dx 2•微分方程(X (A) 齐次微分方程； (C) 可分离变量的微分方程；23(lnx)y ；(B)(x y)2 ；(D) y 2)dx 2xydy ).dy dx2y x 1(x(x y)dx (x y)dy 答(B).0的方程类型是 (B) 一阶线性微分方程; (D)全微分方程.( ).答(D).二、填空题1 .微分方程xy e 的通解为.答: y Cedx32 .微分方程 (x 2 y)dx xdy 0的通解为.答：x3xy 3 •方程(x y)(dx dy) dx dy 的通解为.答: x y 三、简答题C .ln(x y)1 .求下列微分方程的通解:3.方程xy . x (A)齐次方程；(C)伯努利方程；(B) 一阶线性方程；(D)可分离变量方程.答(A).xxxe(1)ycosx sin xex 竺dx解:⑶ 解:xy3x 解:⑷解:ytanx sin2x ；(5) (y 2 6x)塑 dx 2ye y(xe y 2y)dy 0 ；解:解:(a 22xy y 2)dx (x y)2dy 0 . 解: 2 .求下列微分方程满足所给初始条件的特解. (1)乎 3y 8, y x 0 2 ；dx解：dy dx解:sin x ,y xx3* •设连续函数f (X )、单项选择题 y 2 y 是()• 3* .求伯努利方程— dx解：(A) y cosx (C) y sin x2.微分方程1C 1x 2 C 2x C 3 ； 2 Gx? C 2X C 3 ；2y xy 满足条件y (A) y (x 1)2；(B) y cosx G ; (D) y(B)2sin 2x .答(A) y x2的解是(2).1(C) y -(x3. 对方程y1)21 2 ；y 2，以下做法正确的是 y p 代入求解；(D)答(C).(A)令 y p(x)， (C)按可分离变量的方程求解；4. 下列函数组线性相关的 是(2 x2 x(A) e , 3e ;(C) sinx, cosx ;5. 下列方程中，二阶线性微分方程是(A) y (C) y 6. y 1, (A) y (C) y (D) yp(y), yp p 代入求解；答(B).).32y(y)0 ；2 o 2y 3x ； py qy y 2 ； C 2『2，其中C 2『2，其中2x y y 2是yC i y i C i y iG% (B) 2xe 3x ,e ；(D)2xe 2x,xe).(B) y 2yy xy (D) y 2xy2x y则其通解是().(B) yC 1y1C 2 y2 ；(0的两个解, xe ;2e x .((B)令 y(D)按伯努利方程求解. 答(A).答(D).y 1与y 线性相关; y 与y 2线性无关.7.下列函数组线性相关的 是( ).(A) e 2x , 3e 2x ； (C) si nx,、填空题 答(D).1 .微分方程 cosx； (B) (D) 3x2xy x sinx 的通解为 2x : e , e2xe , xe答(A).答:sin x C 1e xC 1x C 2. x C 2.三、简答题 1 •求下列微分方程的通解.2(1) y 1 (y)； (2) y 如)2解： 解:2 .求方程y x(y )2 0满足条件y x12，y x 1 1的特解.2 .微分方程 答:y y x 的通解为 解： § 二阶常系数线性齐次微分方程、单项选择题 1.下列函数中，不是微分方程 y y 0的解的是( ).(A) y sin x ； (B) y cosx ； (C) y e x ；(D) y sin x cosx .答(C).x 3 x2.下列微分方程中，通解是 y GeC ?e 的方程是( ).(A) y 2y 3y 0 ；(B) y 2y 5y 0 ； (C) yy 2y 0 ；(D) y 2y y 0 .答(A)3.下列微分方程中， 通解是y C 1e xC 2 x xe 的方程是().(A) y 2y y 0 ；(B) y 2yy 0 ；(C) y2y y 0 ；(D) y 2y4y 0 .答(B)4.下列微分方程中， 通解是y xe (C 1 cos2x C 2sin2x)的方程是().(A) y 2y 4y 0 ；(B) y2y 4y 0(C) y2y5y 0 ；(D)y 2y5y 0 .答(D) 5.若方程 ypyqy 0的系数满足1 p q 0 ，则方程的一个解是( ).(A) x ；(B) x e ;(C) xe(D) sin x . 答(B)6*.设 y f(x)是方程 y 2y 2y 0 的一个解，若 f(X o ) 0, f (xj 0,则 f(x)在 x x 0 处( ).(A) x 0的某邻域内单调减少;(B) X 0的某邻域内单调增加；(C)取极大值；(D)取极小值.答(C).、填空题1 •微分方程的通解为 y 4y 0的通解为. 答： y C 1 C 2e 4x .2 .微分方程y y 2y 0的通解为 答: y C 1e x C 2e 2x .3 .微分方程y4y 4y 0的通解为 答: y Ge 2x C 2xe 2x .4 .微分方程y 4y 0的通解为答: y C 1 cos2x C 2si n2x 5 .方程 y 6y 13y 0 的通解为 __________________________ . 答：y e 3x (C 1 cos2x C 2sin 2x). 三、简答题1 •求下列微分方程的通解：(1) y y 2y 0 ； (2) 4d ^ 20空 25x 0 .dt 2 dt解：解：、单项选择题 1.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ( ).(A) Ax 2;(B) Ax 2Bx ；(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C).2.微分方程 y y2x 的一个特解应具有形式 ().(A) Ax 2 ；(B) Ax 2Bx -(C) Ax 2Bx C ；(D) x(Ax 2Bx C).答(C)3.微分方程y 5y6y xe 2x 的一个特解应具有形式( ).(A) Axe 2x;(B) (Ax 2x B)e(C) (Ax 2Bx C)e 2x ；(D) x(Ax B)e 2x答(B) 4.微分方程y y2 y x 2e x 的一个特解应具有形式().(A) Ax 2e x(B) (Ax 2x Bx)e解:2 •求下列方程满足初始条件的特解.(1) y 4y 3y 0,y x 0 10, y x 06⑵ y 25y 0, y x 05,y x 02.解:§ 二阶常系数线性非齐次微分方程(C) x(Ax2Bx C)e x；(D) (Ax2 Bx C)e x.答(C).5. 微分方程y 2y 3y e x sin x的一个特解应具有形式().(A) e x(AcosxBsinx)；(B) Ae x sinx ；(C) xe x (Asin x Bcosx) ；(D) Axe x sinx 答(A). 、填空题1 .微分方程y 4y 3 x x的一个特解形式为答:y*3x x4 82.微分方程y 2y x的一个特解形式为. 答:y* x(Ax B).3 .微分方程y 5y 6y xe x的一个特解形式为.答:y* (Ax B)e x.4.微分方程y 5y 6y xe3x的一个特解形式为.答:y* x(Ax B)e3x.5 .微分方程y y sin x的一个特解形式为. 答：y* Asin x .6 .微分方程y y si n x的一个特解形式为. 答：y* x(Acosx Bsin x)三、简答题1.求下列微分方程的通解•：(1) 2y y y 2e x；(2) y 5y 4y 3 2x ；解:解：⑶y 6y 9y (x 1)e2x.解:。
高等数学 第十二章 常微分方程 习题课
1 4x41 2x2y21 4y4
(0,0) (x,0)
1 4x41 2x2y21 4y4c 为原方程的隐式通解.
例 5. (x3x2y)dx(x2yy3)dy0
又.解dy dx
x3xy2 x2yy3
1
y x
y2
x2 y3 x3
齐次方程
设 u x y,则 y x u ,d d x y u x d d u x .
P y(xys(xiyyn ) syi(y x n )2 coy)s
Q x
例 6. dy3(x1)2(y1)2 dx 2(x1)(y1)
解 .令 u x 1 ,v y 1 ,
则dyd(v1) d v dx d(u1) d u
dv 3u2 v2 du 2uv
3
2
v u v u
x
du dx
1 cosu
,
cousdudxx, xcesinxy .
例 3.(cx o )d dx s yysixn 1 解 . d dx y(tax)n ysexc 一阶线性方程
ye ta xd nx se xe c ta xd nd x x c
e lc n x o ss x e e lc c n x d o c s x
uxd du x1 u u u2 3, xd d u x 1 2 u u 2 u 3 u 4 1 u u 2, 1uduu2 dxx, 1 2ln 1u (2) ln xln c,
ln 1 u (2 ) 2 ln x 2 lc n ,
x2(1u2)2c, x2y2c2.
例 5 .( x 3 x 2 ) d y ( x 2 y y 3 ) d 0 y 事 ,x ( x 实 2 y 2 ) d 上 y x ( x 2 y 2 ) d 0 y
高等数学科学出版社下册课后答案第十二章 微分方程 习题简答
习题 12.11. (1) 是一阶线性微分方程; (2) 是一阶非线性微分方程; (3) 是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. (1) 是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证略,所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．(1) 2y x y '=+，00x y==(2)xy y '-=以及初值条件23x y ==。
习 题 12-21．( 1) C x y =+-1010； (2)； C x y +=a r c s i n a r c s i n (3) C e e y x =-+)1)(1(； (4) C x y +-=sin 1C x a a y+--=)1ln(1；2.(1) 2)(arctan 21x y =； (2)0)cos 2(cos =-y x ； (3) )4(412--=x y ； (4) y e xcos 221=+；(5) 0322=+-y y x ； (6) )2(ln 222+=x x y ； 3. (物体冷却的数学模型))20(--=T k dtdT. 4. ).310107(265.45335h h gt +-⨯=π5. 6分钟后，车间内2CO 的百分比降低到%.056.0习题12-31． (1) x C x y sin e )(-+=；(2) x x C y 2cos 2cos -=；(3) 1sin esin -+=-t C s t； (4) 2e 2x C y -+=； (5) )2()2(3-+-=x C x y ;（6）)||(ln 12C y yx +=2． (1) 412e e 22++-=x y xx； (2) 11332e 2--=x x x y ； (3) x x y sec =； (4) )cos 1(1x xy --π=； (5) 1e5sin cos =+xx y ； （6）.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 3.⎰-=dx dx d e y ϕ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰C dx e dxd x dx dx d ϕϕϕ)(⎰+=-])([)()(C d e x e x x ϕϕϕϕ.1)()(x Ce x ϕϕ-+-= 4. ,62320⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=T t t m F x .0T t ≤≤5 ..224⎪⎭⎫⎝⎛+=C x x y 6. yx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2)(l n 2x a C .1= 习题12-41. (1) Cxy x =-331; (2) x sin y +y cos x =C ; (3) xe y -y 2=C ;(4) .132C yx y =+- (5)不是全微分方程;(6) 不是全微分方程.2. (1) y x +1, x -y =ln(x +y )+C ; (2) 21y , C x y x =+22.(3) 21y , Cxy y x =--3122; (4) 221y x +为, x 2+y 2=Ce 2x ; (5) 21x , x ln x +y 2=Cx ; (6) 2y x , 032=-x y x .3. (1)2212yx e Cy x =; (2) C y y x y x =++||ln 3113322.4. (1)21ln 2x C x y +-=; (2) x C x x y cos 1tan ++=. 习 题12-51、（1）21c x c e y x ++=（2）21212x y x x c e c =--++（3）12ln y C x C =+ （4）12arcsin()xy c e c =+（5）.3231C x x C y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（6）221121()c y c x c -=+ 2、(1).4521cos 412-++=x x e y x (2) .133++=x x y （3）x y 11+= （4）11y x=-(5) ).4tan(π+=x y3、 .212+=x y 4、2)1()(-=x x f5 、.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==-a xa x e e a a x ach y 这曲线叫做悬链线.习题12-61. (1) 线性相关(2) 线性无关(3) 线性无关(4) 线性无关2. 略.3. (1) y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C += (2) ;22x x xe e y y y -=-'-''(3) .342x x x xe e e y ++=- 4. .33221x C x C y ++=习题12-71.(1) y ＝C 1e -x＋C 2e-2x；(2)＝C 1e 0x ＋C 2e-2/3x＝C 1＋C 2e-2/3x ；(3) y ＝C 1cos2x ＋C 2sin2x ．（4）x ＝(C 1＋C 2t) e 5t/2；(5) .321x x e C e C y +=-(6）.)(221x e x C C y -+=(7）).2sin 2cos (21x C x C e y x +=-(8))3sin 3cos (212x C x C e y x +=．(9) y ＝C 1cosx ＋C 2sinx ＋C 3e x ＋C 4e -x；（10）).2sin 2cos (4321x C x C e x C C y x +++=（11）w ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x C x C ex 2sin 2cos 212βββ.2sin 2cos 432⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-x C x C ex βββ(12) .sin )(cos )(54321x x C C x x C C C y ++++= (13) x x xxe C e C e C eC y --+++=432221.sin cos 65x C x C ++(14) y ＝C 1＋C 2x ＋(C 3＋C 4x)e x. 2. ϕ(x)＝1/2(cosx ＋sinx ＋e x)．3. ,04852)4(=+'-''+'''-y y y y y .2sin 2cos )(4321x C x C e x C C y x +++=4.略.习题12-81. (1) ;30*x e b y =(2) ;)(210*x e b x b x y -+=(3) .)(21202*x e b x b x b x y -++=(4) *(c o s 2s i n 2).xy x e a xb x =+2.（1）.31*+-=x y （2）*y **21y y +=.3)221(22++-=x e x x x 3. (1) .)121(2221x x x e x x e C e C y -++=(2) y .21s i n c o s 21x e x x C x C +++=(3) y *y Y +=.81)(2321x x e e x C x C C +++=-(4) .cos 2sin cos 21x x x C x C y -+=（5）.2sin 942cos 31sin cos 21x x x x C x C y +-+=4． y ＝－1/16 sin2x ＋1/8 x(1＋sin2x) 5..32cos cos 3sin )(++-=x x x x y 6. .221x x x xe e C e C y ++=7.y .1)(ln ln 321xx x C C -++=8. y .2123321x x C x C C -++= 9. .)1(41)1()1ln(2141x x x y +++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=本章复习题A1.（1）二;（2）;（3）ln(ln )xy x x e=+;（4）''2'50y y y -+=；（5）2()x Ax B x e -+. 2. （1） A （2） (A)（3）（C ）（4） (B )（5）（C ） 3. （1）);(12x x e Ce xy +=（2）3221Cy y x += （3）C x xy +=2；（4）x Ce x y tan 1tan -+-=（5）13423++=x Cx y （6）22)1(1-=-x C y （7）31)1(tan x e C y -=- （8）221ln xCx y +-=（9）C x e x x +=+2)1(；（10）C xy x =-4. （1）322142224181C x C x C x e y x +++-=； （2）2212C x C e xe y x x ++-= （3）21|)cos(|ln C C x y ++-= （4）)sin cos (e 212x C x C y x+=x x x2cos e 412-5. （1）)1(ln 222+=x x y （2）)2sin 22(cos x x e y x +=- （3）x x x y 2sin 31sin 31cos +--= （4）2135672--+=-x e e y x x ． 6. 2231()()4f x x x=- 7. 可知当敌舰行245个单位距离时，将被鱼雷击中。
第十二章 微分方程习题课 (一)(二)
(3) y′ =
3x + y − 6x + 3 2x y − 2 y
2 2
d y 3( x − 1)2 + y2 = 化方程为 dx 2y( x − 1)
dy dy dt dy = = 令t=x–1,则 dx d t dx d t dy 3t 2 + y2 (齐次方程 齐次方程) 齐次方程 = dt 2t y 令y=ut
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q ∵ = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
5
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
22
为通解的微分方程 .
提示: 提示 由通解式可知特征方程的根为
(7) y′′ + 2 y′ + 5y = sin2x
特征根: 特征根 齐次方程通解 通解: 齐次方程通解 Y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 令非齐次方程特解为 令非齐次方程特解为 特解 代入方程可得 A题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) ， ，
(题3只考虑方法及步骤 题 只考虑方法及步骤 只考虑方法及步骤)
P326 题2 求以 为通解的微分方程. 为通解的微分方程 ( x + C )2 + y2 = 1 消去 C 得 提示: 提示 2( x + C )+ 2 y y′ = 0 P327 题3 求下列微分方程的通解 求下列微分方程的通解: 提示: 提示 令 u = x y , 化成可分离变量方程 : 提示: 提示 这是一阶线性方程 , 其中
第12章 微分方程 习题 12- (3)
1 = − sin x + Ce x . y (2)
方程化为
y
−
1 2
y′ −
4 2 y = x, x
6
1
令z=
1 y2
, 方程化为 z′ − 2 x z= , 2 x
求解此线性方程, 得
z=e ∫ x dx
2
x − ∫ dx 1 [ ∫ e x dx + C ] = x 2 ( ln x + C ) , 2 2
解此方程, 得
1 − ln 1 − 2u 3 = ln x + C , 2
3
x3 − 2 y 3 = Cx . (8)
方程化为
dy y y = + tan , x dx x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du = u + tan u , dx dx , x
解此方程, 得
− ln 1 − u 2 + ln C = ln x , y 2 = x( x − C ) . (5)
方程化为
2
dy 1 y y = [2 − ( ) 2 ] , x dx 2 x
令
du y = u, y ′ = u + x , 方程化为 x dx u+x du u = (2 − u 2 ) , dx 2 2du dx , − 3 = x u
(4)
(1) 方程化为
( xy )′ = y ln xy ,
令 u = xy , 方程化为
u ln u , x du dx = , u ln u x u′ =
求解此微分方程, 得
ln ln u = ln x + ln C , xy = eCx . (2)
微分方程习题和答案
微分方程习题和答案(总42页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a .7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了染色，30分钟后剩下，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y （4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
常微分方程习题与答案
第十二章常微分方程(A)、是非题1.任意微分方程都有通解。
（）2 •微分方程的通解中包含了它所有的解。
（）3. 函数y =3si nx-4cosx是微分方程y，y=0的解。
（）4. 函数y = x2・e x是微分方程y'；"-2y ' y = 0的解。
（）5. 微分方程xy"T nx=0的通解是y =丄（1 nx）2+C （C为任意常数）。
（）26. y"=siny是一阶线性微分方程。
（）7. / = x3y3 xy不是一阶线性微分方程。
（）8 . /-2/ 5^0的特征方程为『-2—5=0。
（）9. dy = 1 x y2 xy2是可分离变量的微分方程。
（）dx、填空题1 .在横线上填上方程的名称①y _ 3 ln xdx _ xdy 二0 是__________________________ 。
②xy2 x dx y _ x2 y dy = 0 是__________________________ 。
③x-d^ = y l n 丫是。
dx x④xy ：= y x2 sin x 是__________________ 。
⑤y y -2y =0是________________________ 。
2 . y si nxy"-x=cosx的通解中应含____________ 个独立常数。
3. _____________________________________ y “ = e Qx的通解是。
4. ______________________________________ y = sin 2x - cos x 的通解是。
5. _______________________________ x^ 2x2y 2，x3y=x4，1是阶微分方程。
6•微分方程y y - y Q =0是________________ 阶微分方程。
i7. y-丄所满足的微分方程是。
高等数学课件--第十二章 微分方程12-4 一阶线性微分方程
解 n 2,令
则原方程化为
z y
1 n
1 y
,
dz dx
z (cos x sin x ),
所以
1 y
2
dx dx z e (sin x cos x )e dx C
e [ (sin x cos x ) e
x
代入原方程 ，得 yf ( v ) dx g ( v )( dv ydx ) 0 ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
u( x )[ P ( x )]e
,
将 y 和 y 代入原方程得
u ( x )e
P ( x ) dx
Q ( x ),
积分得 u( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C ,
0
x
ydx x y ,
y f (x)
P
两边求导得 y y 3 x 2 ,
o
x
x
解此微分方程
y y 3 x
y e
dx
2
C
3x e
2
dx
dx
Ce
x
3 x 6 x 6,
2
由 y |x0 0, 得 C 6,
yf ( x ) dx [ 2 xf ( x ) x ]dy 在右半平面
2
( x 0 )内与路径无关
, 其中 f ( x ) 可导 , 且 f ( 1 ) 1 , 求 f ( x ).
[解答]
4 求下列伯努利方程的通
微分方程习题(附答案)
微分方程习题§1 基本概念1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解.（1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22（2）⎰'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=.3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。
（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。
（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。
（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。
§2可分离变量与齐次方程1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=⋅+⋅xdy y ydx x ；（3）23xy xy dxdy =-； （4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x .2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='xy y y x ； （2）03)(233=-+dy xy dx y x .4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y yx xy dx dy ； （2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y .5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+'（3）11+-='yx y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等27. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系.8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？§3 一阶线性方程与贝努利方程1．求下列微分方程的通解（1）2x xy y =-'； （2）0cos 2)1(2=-+'-x xy y x ；（3）0)ln (ln =-+dy y x ydx y ；（4）)(ln 2x y y y -='； （5）1sin 4-=-x e dxdy y 2．求下列微分方程的特解 （1）0 ,sec tan 0==-'=x yx x y y ； (2)1|,sin 0==+'=x y xx x y y 3．一 曲线过原点，在) ,(y x 处切线斜率为y x +2，求该曲线方程.4．设可导函数)(x ϕ满足方程⎰+=+ x0 1sin )(2cos )(x tdt t x x ϕϕ，求)(x ϕ. 5．设有一个由电阻Ω=10R ，电感H L 2=，电流电压tV E 5sin 20=串联组成之电路，合上开关，求电路中电流i 和时间t 之关系.6．求下列贝努利方程的通解(1) 62y x xy y =+' （2）x y x y y tan cos 4+='（3）0ln 2=-+y x x dydx y（4）2121xy x xy y +-='§4 可降阶的高阶方程1.求下列方程通解。
第12章 微分方程习题解答与辅导
第12章微分方程12.1微分方程的基本概念一 主要内容二 疑难解析1. 微分方程非初值问题、初值问题与微分方程的解及图形有什么关系？答 微分方程非初值问题（即无初始条件）的解是通解，其几何图形是曲线簇；微分方程初值问题的解是特解，其图形是一条曲线．反过来，微分方程反映了满足此方程式的曲线（簇）的性质特征.2．所有的微分方程是否都有通解？不一定！微分方程的通解是指含有任意常数且任意常数的个数与微分方程的阶数相同。
例如考虑下列两个微分方程：,012=+'y 此方程显然无解，,022=+'y y 此方程仅有一个解,0=y由此可见，不是所有的微分方程都有通解。
3．微分方程的通解是否能包含它的所有解？ 不一定！例如微分方程,0122=-+'y y 因为由)sin(C x y +=得),cos(C x y +='，故 ,01)(sin )(cos 12222=-+++=-+'C x C x y y所以)sin(C x y +=是0122=-+'y y 的解，又因解中含有一个任意常数，与方程的阶数相同，所以它是通解。
但是1±=y 显然也是微分方程0122=-+'y y 的解，但它不包含在通解中，也就是说在通解中无论C 取什么值，都不可能有1±=y 。
这里1±=y 称作原方程的奇解。
奇解1±=y 的曲线和积分曲线)sin(C x y +=都是相切的。
课本中对微分方程的奇解未进行讨论。
同学们只要知道这一概念即可。
三 典型例题1. 判断函数是否为所给微分方程的通解（1）);(,0)(2121212121λλλλλλλλ≠+==+'+-''x xe C eC y y y y（2）C y x x y x y y x =+--='-22,2)2(由方程确定的隐函数y ．解 （1）x x x x e C e C y e C e C y 21212222112211,λλλλλλλλ+=''+='，代入原方程得 左边=1212222112211212(xxx x C e C eC e C e λλλλλλλλλ+-+=1212211222112212)0x xx x C e C e C e C e λλλλλλλλλλλ++++==右边.所以y 是该方程的解.（2）C y x x =+-22方程两边对x 求导，得： 0212='+-y y x ，不满足原微分方程. 所以y 不是该方程的解.2. 设曲线过点（2，3），它在两坐标轴间的任意切线段被切点平分，求此曲线满足的微分方程．解 设曲线的方程为()y y x =，设切点坐标为(,)x y ，依条件有23x dy y dxx y=⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：xy C =，代入初始条件得6C =，所求方程为：6xy = 3. 求曲线簇212x x y C e C e =+满足的微分方程．解 由例1(1)知，由121,2λλ==，所求方程为：320y y y '''-+=四 综合与提高1. 求函数ttx tey e -⎧=⎪⎨=⎪⎩所满足的一阶微分方程，并指出其是否是线性微分方程． 解 由复合函数求导法则，得21/1t t t dy e y y dx e t e y x xy ----===+⋅++或22111dx xy x dy y y y +==--- 即为函数所满足的一阶微分方程．若以y 为未知函数，该方程不是线性方程；若以x 为未知函数，该方程是线性方程．2. (1991，江苏省高等数学竞赛)已知微分方程yx y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭有特解ln ||x y x =，求()x ϕ．解 因2ln ||1(ln ||)x y x -'=，代入微分方程得2ln ||11(ln ||)(ln ||)ln ||x x x x ϕ-=+ 令ln ||t x =，得2221111()t t t t t t t t ϕ---=-==-，故21()x xϕ=-．12.2 可分离变量的微分方程一 主要内容二 疑难解析1. 怎样求解可分离变量的微分方程？ 答 如果微分方程(,)y f x y '=可分离变量成()()g y dy f x dx =或1122()()()()M y N x dy dx M y N x =则两边积分可得()()G y F x C =+. 值得注意的是, 这是一个隐式解，由于含有任意常数，因此又叫隐式通解．隐式解通常不要求化成显式解．2. 怎样建立应用问题的微分方程？答 常用直接法和间接法，要根据具体情况选用．直接法是利用物理、化学、几何定理确定具体问题的自变量、未知函数和未知函数的导数，写出微分方程和初始条件．间接法又叫小元素平衡法，是通过具体问题中的微小量的分析，找出自变量、未知函数和未知函数的导数，从而建立微分方程并确定初始条件．3. 用可分离变量法解微分方程是否会发生丢掉原方程解的情况？怎么办？答 用可分离变量法解微分方程可能发生丢掉原方程解的情况.例如解微分方程220x dy y dx -=，两边同除以22(0)x y xy ≠得22dy dx y x =，积分得通解11C y x =+，确实就丢掉了解0x =与0y =．应该采取适当的措施将丢失的解补回．三 典型例题对可分离变量的微分方程，可先将y '改写成dydx，再分离变量求解．对某些较困难的微分方程，可先作变量代换，对新变量作变量分离，积分后再代换回去．遇到积分后两边都有对数的情形，可将积分常数C 写作ln C ，以便消去解中的对数记号．1. 求解微分方程： （1）;01122=---dy x dx y （2）;sin x y y =' （3）;0=+'y e y x （4）;0|,133=='=x y y x y （5）;2|,01==-'=x y y y x （6）.1|,02)1(022==+'-=x y xy y x解 （1）分离变量得：2211xdx ydy -=-，两边积分得：C x y +=arcsin arcsin ；（2）分离变量得：xdx ydysin =，两边积分得：x Ce y C x y cos ,cos ln -=+-=或； （3）分离变量得：dx e ydy x -=，两边积分得：ln xy e C =-+；（4）分离变量得：dx x dy y 33=，两边积分得：4444,由(1)0,得1,1y x C y C y x =+==-=-；(5)分离变量得：xdx y dy =，两边积分，得通解：Cx y C x y =+=,ln ln ln ， 由初始条件y(1)=2,知：2,2C y x =∴=．（6）分离变量得：2212x xdx y dy -=，两边积分得：.1|1|ln 1,1,1)0(,|1|ln 122+-===+-=x y C y C x y 得由 2. 求下列方程的通解 （1）0])([22=+---dx ey x y xydy xy； （2）xy y dx dy xln =； （3）dy y xy x x dx y xy x y )()(2222++=+-．解 (1) 原方程可化为2yx dy y y xe dx x x y -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令y u x =，则12u du u xu u e dx u -⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭解得ln ln 1ue x C u -=++，代入y u x =整理得 exp yx xe Cx x y -⎛⎫ ⎪=-⎪+ ⎪⎝⎭(2) 原方程可化为ln dy y y dx x x =，令yu x=，则 ln duu xu u dx+= 解得ln(ln 1)ln ln u x C -=+，代入yu x=整理得 ln1yCx x=+ (3) 原方程可化为2211y y dy y x x dx x y y x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，令y u x =，则 2211du u u u x u dx u u -++=++解得1ln 2ln ln u u x C u --=+，代入yu x=整理得 2exp lnx y y Cx y xx ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3. 求解微分方程：（1）2)12(-+='y x y ； （2）)ln (ln y x y y y x +=+'；（3）4252--+-='y x x y y ； （4）14212-+++='y x y x y ；（5）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y ； （6）y x x y +=+'2．解：(1) 令21u x y =+-，则22du u dx =+，解得C =+即arctanC =+ (2 ) 原方程可化为(ln )xdy ydx y xy dx +=，即()(ln )d xy y xy dx = 令u xy =，则ln udu udx x=，分离变量后解得ln(ln )ln ln u x C =+，代入u xy =化简得：Cx xy e =(3) 令250240y x x y -+=⎧⎨--=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，令12x X y Y =+⎧⎨=-⎩代入原方程得22dY Y X dX X Y -=-，令Y u X=，则 212du u u X dX u -+=-，解得：ln(1)3ln(1)2ln ln u u X C --+=+，或特解1u =-，再代入Yu X=得 ln()3ln()ln Y X X Y C -=++，所以：33(1)y x C x y -+=++，特解10x y ++= (4) 令2v x y =+，则12dv dy dx dx =+，或1(1)2dy dv dx dx=-，于是原方程可化为 11(1)221dv v dx v +-=- 解得：43ln |41|8v v x C -+=+，特解410v +=，再代入2v x y =+得所求解为：843ln 841y x y x C --++=，特解8410y x ++=注：(3)、(4)题总结：对于111dy ax by cdx a x b y c ++=++型方程，若10c c ==时是齐次的，令y u x =即可求解，否则不是齐次的，分下列两种情形求解(ⅰ) 当11a b a b ≠时，由11100ax by c a x b y c ++=⎧⎨++=⎩解得x h y k =⎧⎨=⎩，再令x X h y Y k =+⎧⎨=+⎩即可将原方程化为齐次方程11dY aX bYdX a X bY +=+来求解． (ⅱ) 当11a b a b =时，令11a b a b λ==，原方程可化为：1()dy ax by c dx ax by c λ++=++， 作代换v ax by =+，将原方程化为：11dv v ca b dx v c λ+⎛⎫-=⎪+⎝⎭，这是可分离变量的方程，能够求解．(5) 原方程可化为22(1)()0xy d xy x y xdy ++⋅=，令u x y =，则2(1)uud u u d yy+=-⋅，分离变量后解得ln ln ln u u y C +=-+，代入u xy =化简得：2xy xy e C =(6)令u =22u x y =+，22dy du u x dx dx=-，代入原方程得 2duuu x dx-= 4. 物体的冷却速率正比于物体温度与环境温度之差，用开水泡速溶咖啡，3min 后咖啡的温度是85℃，若房间温度为20℃．几分钟后咖啡温度为60℃？解：设咖啡温度为T=T(t)，由题意得：.85)3(,100)0(),20(==-=T T T k dtdT其中k 为常数．方程的通解为：C kt T +-=-)20ln( 由T(0)=100,得C=ln80，又由T(3)=85，得k=0.07所以 07.0/)]20ln(80[ln --=T t 代入T=60℃，得t 约为10min ．5. 在美国把核废料抛到91.5m 深的海底是否恰当的争论中，工程师们发现，当废物桶落到海底的速度超过12.2m/s 时，会与海底相撞而破裂，而废物桶速度v 与海水深x 满足微分方程：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(v B W dx dvvg W美国这样抛核废物到海底是否妥当（其中桶重W 为239.46kg ，g 为9.8m/s ，海水对桶的浮力B 为213.5kg ）?解：代入数据，方程化为 0624.1=dxdvv ，满足初始条件的解为x v 1248.2=代入x=91.5m ，得v=13.9434m/s>12.2m/s ．所以美国这样的作法是不妥的．四 综合与提高1. (1996，江苏省高等数学竞赛)设曲线C 经过点(0,1)，且位于x 轴上方．就数值而言主，C 上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在x 轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求C 的方程．解：设曲线方程为()y y x =，由题意得,(0)1y ==⎰⎰两边求导得y y dx '=⇒==±于是ln(ln y x C =±+x y Ce ±+=由(0)1y =，解得1C =．故x y e ±+=x e ±=，所以x y e ±=，x y e =曲线方程为1()2x xy e e -=+． 2. (2004，数学一)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h. 经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为66.010k =⨯）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg 表示千克，km/h 表示千米/小时.分析：本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可．解：由题设，飞机的质量m=9000kg ，着陆时的水平速度h km v /7000=. 从飞机接触跑道开始记时，设t 时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得kv dt dvm -=. 又dxdv v dt dx dx dv dt dv =⋅=， 由以上两式得 dv kmdx -=， 积分得 .)(C v k m t x +-= 由于0)0(,)0(0==x v v ，故得0v kmC =，从而)).(()(0t v v kmt x -=当0)(→t v 时， ).(05.1100.67009000)(60km k mv t x =⨯⨯=→所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.另解：也可由kv dtdvm -=,分离变量求得通解t m kCe v -=，代入初始条件00v v t ==解得0v C =，故 .)(0t mk ev t v -=飞机滑行的最长距离为).(05.1)(000km kmv e kmv dt t v x tmk==-==∞+-∞+⎰本题还可用二阶齐次线性微分方程dt dxk dtx d m -=22求解．12.3一阶线性微分方程一 主要内容二 疑难解析怎样理解常数变易法？答 常数变易法是基于这样一种想法而产生的.当求得线性齐次微分方程0)(=+y x P dxdy的通解.)(⎰-=dx x P Ce y 自然会想到如何求非线性微分方程)()(x Q y x P dxdy=+的通解形式．由于齐次微分方程和非齐次微分方程左边完全一致，仅在右边的()Q x 是否等于零的有所区别，因此推测通解的形式相类似，从而设想用待定函数()u x 代替齐次通解中的常数C ．这种以未知函数()u x 代换常数C 的方法，就是常数变易法．它在二阶常系数微分方程的求解中也有应用．求解一阶线性的微分方程时，可用常数变易法，也可用公式法．前者行之有效，后者比较简捷．三 典型例题1. 求微分方程的通解（1）;33x xy y =-' （2）;22x y y =-' （3）x y y cos =-'． 解 该题都是一阶线性微分方程，可用公式法求解．（1）⎰-==-=223)(,3)(,3)(x dx x P x x Q x x P ，代入公式，得：22222333332222223[3][()] 1.2x x x x x y exedx C eed x C Ce --=+=--+=-⎰⎰（2）⎰-==-=x dx x P x x Q x P 2)(,)(,2)(2，代入公式，得：).21(21]412121[]21[][22222222222222++-=+---=++-=+=------⎰⎰x x Ce C e xe e x e C dx xe e x e C dx e x e y xx x x x x x x x x（3）⎰-==-=x dx x P x x Q x P )(,cos )(,1)(，代入公式，得：)c o s (s i n 21)c o s (s i n 21[]c o s [x x Ce C x x e e C dx xe e y x x x x x -+=+-=+=--⎰（4）⎰-==-=221)(,)(,)(x dx x P x x Q x x P ，代入公式，得：1][][222222121212121-=+-=+=⎰--x x x x x eC C e e C dx xe e y（5）⎰-==-=x dx x P x x Q x P )(,sin )(,1)(，代入公式，得：)c o s (s i n 21)c o s (s i n 21[]s i n [x x Ce C x x e e C dx xe e y x x x x x +-=++-=+=--⎰（6）⎰+-=+=+-=|1|ln )(,)1()(,11)(3x dx x P x x Q x x P ，代入公式，得：42)1(31)1(])1()[1(+++=+++=⎰x x C C dx x x y2. 求微分方程满足初始条件的特解（1）;)(,b a y e y y x x ==+' （2）.0)0(,sec tan ==-'y x x y y 解 该题都是一阶线性微分方程，可用公式法求通解后利用初始条件确定常数．（1）⎰===x dx x P e x x Q x x P x ln )(,1)(,1)(，代入公式得通解： ][1]1[1C e xC xdx e x x y x x +=+=⎰代入初始条件，得：a e ab C -=，所以特解为：)(1ab e e xy a x +-=（2）⎰==-=)ln(cos )(,sec )(,tan )(x dx x P x x Q x x P ，代入公式得通解：⎰+=+=][s e c ]1[s e cC x x C dx x y3. 解微分方程：（1）;032=--xy xy dx dy （2）;2xy x y dx dy =+ （3）2(1)).y dx y xy dy +=-解 该题都可变形为一阶线性微分方程． （1）方程变形为：x xu dx duy u x yx dx dy y -=+==-3:,1,312得令，是函数u 的线性微分方程．⎰=-==223)(,)(,3)(x dx x P x x Q x x P ，代入公式，得： 31])23(31[][2222223223232323-=+-=+-=---⎰⎰x x x xx Ce C x d e e C dx e x e u 即：311223-=-x Ce y（2）方程变形为：x u x dx du y u x xy dx dy y-=-==+1:,1,112得令，是函数u 的线性微分方程． ⎰-=-=-=x dx x P x x Q xx P ln )(,)(,1)(，代入公式，得：)(]1[x C x C dx x u -=+-=⎰即：)(1x C x y -=（3）方程变形为：221sin 1y y x y y dy dx+=++，是x=x(y) 的线性微分方程． ⎰+=+=+=2221ln )(,1sin )(,1)(y dy y P y y y Q y y y P ，代入公式，得：⎰+-=++=221cos ]sin [11yy C C ydy yx4. 一曲线过原点，它在点（y x ,）处的切线的斜率等于y x +3，求此曲线的方程． 解 由题意，得：0)0(,3=+='y y x y⎰-==-=x dx x P x x Q x P )(,3)(,1)(，代入公式得通解 )1(3)(3]3[--=--=+=---⎰x Ce e xe C e C dx xe e y x x x x x x代入初始条件，得C=1，所以曲线方程为：)1(3--=x e y x四 综合与提高1. 求函数ttx tey e-⎧=⎪⎨=⎪⎩所满足的一阶微分方程，并指出其是否是线性微分方程．解 由复合函数求导法则，得21/1t t tdy e y y dx e t e y x xy ----===+⋅++或22111dx xy x dy yy y +==--- 即为函数所满足的一阶微分方程．若以y 为未知函数，该方程不是线性方程；若以x 为未知函数，该方程是线性方程．2. (1991，江苏省数学竞赛)已知微分方程yx y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭有特解ln ||x y x =，求()x ϕ． 解 因2ln ||1(ln ||)x y x -'=，代入微分方程得2ln ||11(ln ||)(ln ||)ln ||x x x x ϕ-=+ 令ln ||t x =，得2221111()t t t t t t t t ϕ---=-==-，故21()x xϕ=-． 3. (2004，数学三)设级数)(864264242864+∞<<-∞+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅x x x x 的和函数为S (x ). 求：(I) S (x )所满足的一阶微分方程； (II) S (x )的表达式.分析：对S (x )进行求导，可得到S (x )所满足的一阶微分方程，解方程可得S (x )的表达式.解 (I) +⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=864264242)(864x x x x S ， 易见 S (0) = 0，+⋅⋅+⋅+='642422)(753x x x x S)642422(642 +⋅⋅+⋅+=x x x x)](2[2x S x x +=.因此S (x )是初值问题0)0(,23=+='y x xy y 的解.(II) 方程23x xy y +='的通解为]2[3C dx e x ey xdx xdx+⎰⎰=⎰- 22212x Ce x +--=，由初始条件y(0) = 0，得C = 1.故12222-+-=x e x y ，因此和函数12)(222-+-=x e x x S .12.4可降阶的高阶微分方程一 主要内容二 疑难解析1. 对于可降阶的高阶微分方程(,)y f y y '''=，方程的特点是不显含自变量x ，令p y ='则用y ''=dxdpp而不用p y '=''，为什么？ 因为),(y y f y '=''中不显含x ，用代换p y ='，则y ''=dxdpp ,代入原方程，可将方程化为一个含有关于p 与y 的一阶方程：dxdpp =),(p y f ，从而达到降阶求解的目的。
第十二章 微分方程习题课
它的特征方程 解得两个不同的实根
故齐次方程的通解为
r 2 3r 2 0
r1 1, r2 2
Y C1e x C2e2 x
x 由于 f ( x) 5 是Pm ( x)e 型(其中 Pm ( x) 5, 0 )，且 0
0 y * ae a ，求出 不是特征方程根，所以应设特解
y y 2 y (1 2 x)e x
y Y y C1e x C2e2 x xe x
【例5】求方程 y 3 y 2 y 5 满足初始条件 y(0) 1 , y(0) 2 的特解。
分析：此为二阶常系数非齐次线性微分方程，由解的结 构，先求出对应齐次的通解，再求出其本身的一个特解. 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，
1．定义
y py qy 0 (2)二阶常系数线性非齐次微分方程: y py qy f ( x )
(1)二阶常系数线性齐次微分方程： 2．解的结构性质 (1)若 y1 和 y2 是齐次方程的解,则 C1 y1 C2 y2是齐次方程的解。 (2)若 y1 和 y2 是齐次方程的线性无关解,则 C1 y1 C2 y2 是齐次 方程的通解。
解题方法流程图
求 y py qy f ( x ) 通解 特征方程：r 2 pr q 0 Yes 有实根 No
Yes
r1 r2
No
r1,2 i
Y C1er1x C2er2 x
f ( x ) 的类型
Yes 混合型 No
Y (C1 C2 x)e r1 x
可降阶的高阶微分方程
解题方法流程图
No
Yes
y ( n) f ( x)
常微分方程习题及答案
第十二章常微分方程(A)7. y=-所满足的微分方程是x、是非题 1•任意微分方程都有通解。
（） 2.微分方程的通解中包含了它所有的解。
（） 3.函数y =3sinx —4cosx 是微分方程y" + y=0的解。
（ ） 4.函数y=x 2 ■e x 是微分方程y"-2y ，+y=0的解。
（）1 25.微分方程xy'-1 n X = 0的通解是j In x ） +C （C 为任意常数）。
（） 6.y' 7. y'8. y 9. dydx 、填空题=sin y 是一阶线性微分方程。
（） = x 3y 3+xy 不是一阶线性微分方程。
（） -2/ +5y=0 的特征方程为 r 2-2 r + 5=0。
(= 1+x + y 2 +xy 2是可分离变量的微分方程。
（） 1.在横线上填上方程的名称 ①(y -3 H n xdx-xdy =0 是 ②(xy 2 +x dx + (y - X 2y dy = 0是 2. 3.4. 5. ③x —.ln y 是 dx x ④ xy’ = y +x 2sinx 是y ^+sin xy’—x =cosx 的通解中应含y =sin2x -cosx 的通解是 xy'" + 2x 2y"2 +x 3y = x 4 +1是6.微分方程yry"-(y '6 =0是个独立常数。
阶微分方程。
阶微分方程。
12. 3阶微分方程yJx 3的通解为三、选择题1 .微分方程xyy "+x （y ，3-y 4y = 0的阶数是（） A. 3 B . 4 C . 5 D . 22 .微分方程 厂-x 2y"-x 5=1的通解中应含的独立常数的个数为（）。
A. 3 B . 5 C . 4 DA . y = 2xB . y = X 2C .24 .微分方程y'=3y 3的一个特解是（）。
微分方程(习题及解答)
第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C).3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A).5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+．6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cx y e x=． 三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解：(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x++= 解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22xt f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x y ye x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=． 三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；解： 解： (5) 2d (6)20d y y x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d y xy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭； (C)211(1)22y x =-+； (D )21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；(C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B).4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D).6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )．(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；(C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D).7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题1．求下列微分方程的通解． (1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=． 解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．(A)230y y y '''--=； (B )25y y y '''-+=； (C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D )250y y y '''-+=． 答(D).5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x的某邻域内单调增加； (C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+．3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+．5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t-+=． 解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解： §12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C).5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为 答：3*48x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．解：。
(完整版)高等数学微分方程试题
第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念、判断题 1.y=ce 2x(c 的任意常数 )是 y =2x 的特解。
2. y=( y ) 3是二阶微分方程。
3. 微分方程的通解包含了所有特解。
4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
二、填空题 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
A)( y )+x 2 y+x 2=0 (B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y 2=sinx2 2 2x 3x 1．y Cx 2 C 2(其中 C 为任意常数) 2.y C 1e 2x C 2e 3x (其中 C 1 ,C 2为任意常数)五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻 力与运动的速度成正比。
用微分方程表示物体， 在液体中运动速度与时间的关系并写出初始 条件。
12-2 可分离变量的微分方程 一、求下列微分方程的通解1. 2. 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2x中满足y x=0=0, y x=0=1 的曲线是三、选择题 1．下列方程是常微分方程A )、x 2+y 2=a 2 (B) 、 y+ d(earctanx) 0 (C)dx2 a2+ 2a2 22=0 (D)、 y =x 2+y 2y2.下列方程中是二阶微分方程3.微分方程 ddx 2y+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数A ) y=ccoswx(B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx2 则微分方程 y =3y3 的一个特解是 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 34. C 是任意常数，(A )y-=(x+2) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
可分离变量的微分方程
dV ( 200h h )dh,
2
( 2)
2 ( 200 h h )dh 0.62 2 gh dt , 比较(1)和(2)得:
( 200h h )dh 0.62 2 gh dt ,
2
即为未知函数的微分方程.
可分离变量
dt ( 200 h h3 )dh, 0.62 2 g 400 3 2 5 t ( h h ) C, 0.62 2 g 3 5 14 5 10 , h |t 0 100, C 0.62 2 g 15 所求规律为 t (7 105 103 h3 3 h5 ). 4.65 2 g
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解分离变量方程 g ( y) d y f ( x) d x
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一、可分离变量的微分方程
g( y )dy f ( x )dx 可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g( y ) 和 f ( x ) 是连续的,
dy kdt , y(800 y )
初始条件 y(0) 1, y(12) 3
1 1 1 dy kdt , 即 800 y 800 y 1 [ln y ln( 800 y )] kt C1 , 两边积分,得 800 800 800C1 y 通解 ( C e ). 800kt 1 Ce 由初始条件 y(0) 1, 得 C 799. 再由 y(12) 3, 便可确定出 800k 1 ln 799 0.09176 . 12 2397 800 所以 y( t ) 0.09176t . 1 799e
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第十二章 微分方程§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=；(C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4； 答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；(C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D).4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；(C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；(C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(D).二、填空题1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ． 答：是 .2．微分方程3d d 0,4x x y y y x=+==的解是 ． 答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是． 答：3252x x y C =++．4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是 ． 答： Cx y e =.5'的通解是 ． 答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是． 答：Cxy e x=．三、解答题1．求下列微分方程的通解．(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+； 解： 解： (3)d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d yy x x++=解： 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：(1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2sin ln ,x y x y y y e π='==；解： 解：(3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y yx+=． 解： 解：3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 的非积分表达式． 答：()ln 2x f x e =⋅．§12.2 一阶线性微分方程、全微分方程一、单项选择题1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).2d (A)3(ln )d y y x y x x+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x=+； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=． 答(B).2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )． (A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；(C) 可分离变量的微分方程； (D)全微分方程． 答(D).3. 方程y y x y x ++='22是( )．(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).二、填空题1．微分方程d d x yy e x-+=的通解为 ． 答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为 ． 答：33x xy C -=．3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为 ． 答：ln()x y x y C --+=．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x=； 解： 解：(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=； 解： 解：(5) 2d (6)20d yy x y x-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=； 解： 解：(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=． 解：2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解．(1) 0d 38,2d x yy y x=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==． 解： 解：3*．求伯努利方程2d 3d yxy xy x-=的通解． 解：§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程一、单项选择题1. 方程x y sin ='''的通解是( ).(A)322121cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=；(C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A)2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).(A)2(1)y x =-； (B)212124y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；(C)211(1)22y x =-+； (D)21524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 答(C).3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解； (C)按可分离变量的方程求解； (D)按伯努利方程求解． 答(B). 4. 下列函数组线性相关的().是(A)22,3x x e e ; (B)23,x xe e ；(C)sin ,cos x x ; (D)22,x x e xe ． 答(A).5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；(C)2223y x y y x '''++=； (D)222x y xy x y e '''++=． 答(D). 6. 12,y y 是0y py qy '''++=的两个解，则其通解是( )． (A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+； (C)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性相关；(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关． 答(D). 7. 下列函数组线性相关的().是22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ． 答(A).二、填空题1．微分方程sin y x x ''=+的通解为． 答： 312sin .6x y x C x C =-++2．微分方程y y x '''=+的通解为． 答： 212.2xx y C e x C =--+三、简答题1．求下列微分方程的通解．(1) 21()y y '''=+； (2) 21()2y y '''=．解： 解：2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解． 解：§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程一、单项选择题1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．(A)sin y x =； (B)cos y x =；(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+． 答(C).2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )． (A)230y y y '''--=； (B)250y y y '''-+=；(C)20y y y '''+-=； (D)20y y y '''-+=． 答(A).3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )． (A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；(C)20y y y '''++=； (D)240y y y '''-+=． 答(B).4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )． (A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=(C)250y y y '''++=； (D)250y y y '''-+=． 答(D). 5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．(A)x ； (B)x e ； (C)x e -； (D)sin x ． 答(B).6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处( )．(A)0x 的某邻域内单调减少； (B)0x 的某邻域内单调增加；(C) 取极大值； (D) 取极小值． 答(C).二、填空题1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为 ． 答：412x y C C e =+．2．微分方程20y y y '''+-=的通解为 ． 答：212x x y C e C e -=+． 3．微分方程440y y y '''-+=的通解为 ． 答：2212x x y C e C xe =+．4．微分方程40y y ''+=的通解为 ． 答：12cos2sin 2y C x C x =+． 5．方程6130y y y '''++=的通解为 ． 答：312(cos2sin 2)x y e C x C x -=+．三、简答题1．求下列微分方程的通解：(1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x xx t t-+=．解： 解：2．求下列方程满足初始条件的特解．(1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 0250,5,2x x y y y y=='''+===．解： 解：§12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程一、单项选择题1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C).2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++． 答(C). 3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+；22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D)()x x Ax B e -+． 答(B).4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D)()x Ax Bx C e ++． 答(C). 5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．(A)(cos sin )x e A x B x +； (B)sin x Ae x ；(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).二、填空题1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为答：3*48x xy =-．2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+． 3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+． 4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+． 5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =． 6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.三、简答题1．求下列微分方程的通解．：(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-； 解： 解：(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+． 解：。