函数的图象(讲义)
第2讲 一次函数的图像及性质(讲义)解析版
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（1）当 x 取何值时， y = 2 ? （2）当 x 取何值时， y > 2 ? （3）当 x 取何值时， y < 2 ? （4）当 x 取何值时， 0 < y < 2 ?
2 （4）令 0 < 1 x - 3 < 2 ，解得： 6 < x < 10 ．
2 【总结】本题考察了一次函数与不等式的关系，本题也可以通过函数图像求解． 例 10.已知函数 f (x) = -3x + 1 ．
（1）当 x 取何值时， f (x) = -2 ? （2）当 x 取何值时， 4 > f (x) > -2 ? （3）在平面直角坐标系中，在直线 f (x) = -3x + 1 上且位于 x 轴下方所有点，它们的横 坐标的取值范围是什么?
A． x < 0
B． x > 0
C． x < 2
D． x > 2 ．
【答案】A
【分析】根据题意在函数图像中寻找 y > 3 时函数图像所在的位置，发现此时函数图像对
应的 x 范围是小于零，从而得出答案
【详解】解：∵由函数图象可知，当 x＜0 时函数图象在 3 的上方，
∴当 y＞3 时，x＜0．
故选：A．
【总结】本题考察了一次函数与一元一次不等式的关系． 例 8.已知 y = kx + b(k ¹ 0) 的函数图像如图所示：
（1）求在这个函数图像上且位于 x 轴上方所有点的横坐标的取值范围； （2）求不等式 kx + b £ 0 的解集．
2022高考数学二轮复习讲义：专题1 第1讲 函数的图象与性质(学生版)
2022高考数学二轮复习讲义 专题一 第1讲 函数的图象与性质【要点提炼】考点一 函数的概念与表示 1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m ，n]，则在f(g(x))中，m ≤g(x)≤n ，从中解得x 的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m ，n]，则由m ≤x ≤n 确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．【热点突破】【典例1】 (1)若函数f(x)＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．(1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)(2)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，4x，x>0，则满足f(x)＋f(x －1)≥2的x 的取值范围是________．【拓展练习】(1)已知实数a<0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2a ，x<1，－x ，x ≥1，若f(1－a)≥f(1＋a)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，－1] C ．[－1,0)D ．(－∞，0)(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D ，如果对任意的x ∈D ，存在y ∈D ，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“H 函数”．下列为“H 函数”的是( )A ．y ＝sin xcos xB ．y ＝ln x ＋e xC ．y ＝2xD ．y ＝x 2－2x【要点提炼】考点二 函数的性质 1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有： f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法． 3．函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a ＋x)＝2b －f(a －x)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(a ，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a ＋x)＝f(b －x)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．【热点突破】考向1 单调性与奇偶性【典例2】 (1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R 上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x －1)≥0的x 的取值范围是( ) A ．[－1,1]∪[3，＋∞) B ．[－3，－1]∪[0,1] C ．[－1,0]∪[1，＋∞)D ．[－1,0]∪[1,3](2)设函数f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e2的最大值为M ，最小值为N ，则(M ＋N －1)2 021的值为________．考向2 奇偶性与周期性【典例3】(1)定义在R 上的奇函数f(x)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f(x)，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f(x)＝()12log 1x -，则f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( ) A ．减函数且f(x)>0 B ．减函数且f(x)<0 C ．增函数且f(x)>0D ．增函数且f(x)<0(2)已知定义在R 上的函数f(x)满足：函数y ＝f(x －1)的图象关于点(1,0)对称，且x ≥0时恒有f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝e x－1，则f(2 020)＋f(－2 021)＝________. 【拓展练习】 (1)(2018·全国Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于( ) A ．－50 B ．0 C ．2 D ．50(2)(多选)关于函数f(x)＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ) A ．f(x)是奇函数 B ．f(x)是周期函数C ．f(x)有零点D ．f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增【要点提炼】考点三 函数的图象1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．【热点突破】考向1 函数图象的识别【典例4】 (1)(2020·衡水模拟)函数f(x)＝x ·ln |x|的图象可能是( )(2)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )A ．f(x)＝1－ex1＋e x ·sin xB ．f(x)＝e x－1e x ＋1·sin xC ．f(x)＝1－ex 1＋e x ·cos xD ．f(x)＝e x－1e x ＋1·cos x考向2 函数图象的变换及应用【典例5】 (1)若函数y ＝f(x)的图象如图所示，则函数y ＝－f(x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，－x 2－3x ，x>0，若不等式|f(x)|≥mx －2恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[3－22，3＋22]B ．[0,3－22]C ．(3－22，3＋22)D ．[0,3＋22]【拓展练习3】 (1)(2020·天津市大港第一中学模拟)函数y ＝2|x|sin 2x 的图象可能是( )(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x ≤0，ln x ＋1，x>0，若存在x 0∈R 使得f(x 0)≤ax 0－1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞)B ．[－3,0]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－3]∪(0，＋∞)专题突破一、单项选择题1．函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg x ＋1的定义域为( )A ．(－1,3]B ．(－1,0)∪(0,3]C ．[－1,3]D ．[－1,0)∪(0,3]2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21－x ，x<0，22x －1，x ≥0，则f(－3)＋f(log 23)等于( )A.112B.132C.152D ．103．设函数f(x)＝4x23|x|，则函数f(x)的图象大致为( )4．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a|，x ≤1，x ＋1，x>1，若f(1)是f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)5．(2020·抚顺模拟)定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋2)＝f(x)，当x ∈[－1,0]时，f(x)＝－x －2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6>f ⎝⎛⎭⎪⎫cos π6 B ．f(sin 3)<f(cos 3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3D ．f(2 020)>f(2 019) 6．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a<b 时，ab ＝b 2.则函数f(x)＝(1x)x －(2x)，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．－1B ．1C ．6D ．127．(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f(x)( )A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12单调递减C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12单调递增D ．是奇函数，且在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12单调递减 8．已知函数f(x)(x ∈R )满足f(x)＝f(2－x)，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f(x)图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则i 等于( ) A ．0 B ．m C ．2m D ．4m 二、多项选择题9．若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝e x，则( ) A ．f(x)＝e x＋e－x2B ．g(x)＝e x －e－x2C ．f(－2)<g(－1)D ．g(－1)<f(－3)10．(2020·福州质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋32x ，x ≥0，x 2－32x ，x<0，则( )A ．f(x)是偶函数B ．f(x)在[0，＋∞)上单调递增C ．f(x)在(－∞，0)上单调递增D ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≥f(1)，则－1≤a ≤111．符号[x]表示不超过x 的最大整数，如[3.14]＝3，[－1.6]＝－2，定义函数f(x)＝x －[x]，则下列命题正确的是( ) A ．f(－0.8)＝0.2B ．当1≤x<2时，f(x)＝x －1C ．函数f(x)的定义域为R ，值域为[0,1)D ．函数f(x)是增函数、奇函数12．已知函数f(x)的定义域为R ，且f(x ＋1)是偶函数，f(x －1)是奇函数，则下列说法正确的是( ) A ．f(7)＝0B ．f(x)的一个周期为8C ．f(x)图象的一个对称中心为(3,0)D ．f(x)图象的一条对称轴为直线x ＝2 019 三、填空题13．(2020·江苏)已知y ＝f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)＝23x ，则f(－8)的值是________． 14．已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋2)＝－1f x，当x ∈(0,2]时，f(x)＝2x ＋1，则f(2 020)＋f(2 021)的值为________．15．对于函数y ＝f(x)，若存在x 0使f(x 0)＋f(－x 0)＝0，则称点(x 0，f(x 0))是曲线f(x)的“优美点”．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x<0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f(x)存在“优美点”，则实数k 的取值范围是________________．16．(2020·全国Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f(x)的图象关于y 轴对称； ②f(x)的图象关于原点对称；③f(x)的图象关于直线x ＝π2对称； ④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是________．。
第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义
第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（第3讲(学生)一次函数的图象和性质讲义）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲一次函数的图象和性质(1)学习目标：学会用图表描述变量的变化规律，会准确地画出函数图象，结合函数图象，能体会出函数的变化情况学习重点：函数的图象学习难点：函数图象的画法学习过程引入:信息1：下图是一张心电图，信息2：下图是自动测温仪记录的图象,他反映了北京的春季某天气温T如何随时间的变化二变化，你从图象中得到了什么信息？问题：正方形的边长x与面积S的函数关系为S=x2，你能想到更直观地表示S与x 的关系的方法吗？一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象(graph）.•已经知道了形如y=•kx•（k•是常数， k ≠0 )的函数，•叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．那么正比例函数的图象有什么特征呢？范例：例1．画出下列正比例函数的图象，并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．1．y=2x 2．y=—2x2．y=列表表示几组对应值：y3．两个图象的共同点:都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=—2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限． 1比较可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升,经过一、三象限,即随x增大y也增大;函数y=—x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳：正比例函数图象的规律：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x〉0时,图象经过一、三象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k〈0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降,即随x增大y反而减小．正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线,•我们可以称它为直线y=kx．思考：经过原点与点（1，k)的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单?为什么?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k)．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象:1．y=x 2．y=-3x练习1、某函数具有下面的性质：（1）．它的图象是经过原点的一条直线．（2）．y随x增大反而减小．121232请你举出一个满足上述条件的函数,写出解析式，画出图象．2。
函数的周期性与函数的图象讲义
八、函数的周期性㈠ 主要知识：1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得 ()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期. 2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,① ()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； ②()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；③()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； ④()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；⑤1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.⑥1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑦1()()1()f x f x a f x ++=-，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.⑧函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =.⑨函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以 ()2b a -为周期的周期函数；⑩函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；⑾函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数；3、图象的对称性一个函数的对称性：1、函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
函数的图象讲义
函数的图象讲义一、知识梳理1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)．(3)伸缩变换①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)． 注意：1．关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称．(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．2．函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( )(2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a >0且a ≠1)的图象相同．( )(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( )题组二：教材改编2．]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称 3．[函数y ＝21－x 的大致图象为( )4．]如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是__________．题组三：易错自纠5．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )6．将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象．7．设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a <b 且f (a )＝f (b )，则ab 的取值范围是________．三、典型例题题型一：作函数的图象作出下列函数的图象：(1)y ＝x )21(；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝x 2－2|x |－1.题型二：函数图象的辨识典例 (1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )思维升华：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练 (1)函数f (x )＝sin x ln (x ＋2)的图象可能是( )(2)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )题型三：函数图象的应用命题点1：研究函数的性质典例 (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则nm＝________.命题点2：解不等式典例函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x<0的解集为____．命题点3：求参数的取值范围典例(1)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是__________．思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练(1)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是______．四、反馈练习1．函数f(x)＝sin xx2＋1的图象大致为()2．函数f(x)＝x a满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a(x＋1)|的图象大致为()3．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－24．已知函数f (x )＝2ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋5，则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －16．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．07.如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ))3(1(f ＝______.8．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________．9．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________．10．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.11．函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________．12．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<014．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数g (x )＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是______．15．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．。
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用一、知识梳理1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈R振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：x0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径注意：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标．二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin )4(π-x 的图象是由y ＝sin )4(π+x 的图象向右平移π2个单位长度得到的．( ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( ) (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( ) 题组二：教材改编2．为了得到函数y ＝2sin )32(π-x 的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度3．]函数y ＝2sin )321(π-x 的振幅、频率和初相分别为( )A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π34．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．题组三：易错自纠 5．要得到函数y ＝sin )34(π-x 的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．三、典型例题题型一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin )32(π+x .(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明y ＝2sin )32(π+x 的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．思维升华：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标． (2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练：(1)若把函数y ＝sin )6(πω-x 的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y ＝cos ωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是( )A ．2 B.32 C.23 D.12(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．题型二：由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f )6(π+x 取得最小值时x 的集合为________．思维升华：y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 跟踪训练 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12 题型三：三角函数图象性质的应用 命题点1：三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin )6(ϕπ+x ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 命题点2：函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在),2(ππ上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________．引申探究：本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 命题点3：三角函数图象性质的综合 典例 已知函数f (x )＝3sin )32(πω+x (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点)0,3(π-，求当m 取得最小值时，g (x )在]127,6[ππ-上的单调递增区间．思维升华：(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω≤>的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点)21,2(-，则函数f (x )的解析式为__________．四、反馈练习1．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin )322(π+x ，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 22．若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8D.5π43．若函数y ＝sin(ωx －φ))2,0(πϕω<>在区间],2[ππ-上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π34．函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移的单位长度是( ) A.π2 B.2π3 C.π3D.π45．将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( )A.π6B.π3C.π2D.2π3 6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在]2,0[π上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.327．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是______________． 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))20,0(πϕω<<>的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B )1,3(-π，则f (x )＝________.9．已知函数f (x )＝cos )33(π+x ，其中x ∈],6[m π，若f (x )的值域是]23,1[--，则m 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ))2(πϕ<的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P )23,0(，则φ的值为________． 13．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．14.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f )61(的值为________．.15．设函数f (x )＝sin )6(πω-x ＋sin )2(πω-x ，其中0＜ω＜3.已知f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。
高考数学复习讲义：三角函数的图象与性质
2
突破点二 三角函数的性质
3
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突破点一 三角函数的定义域和值域
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抓牢双基·自学回扣
[基本知识]
三角
余弦函数 y＝
正弦函数 y＝sin x
正切函数 y＝tan x
函数
cos x
图象
定义 R
域
{ x| x∈R ，且 x
R
≠
kπ＋π2
，k∈Z
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三角 函数 值域
正弦函数 y＝sin x
()
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二、填空题
1．y＝ 2sin x－ 2的定义域为________________________．
解析：要使函数式有意义，需2sin
x－
2≥0，即sin
x≥
2 ，借 2
助正弦函数的图象(图略)，可得 π4 ＋2kπ≤x≤34π ＋2kπ，k∈Z，所
以该函数的定义域是π4＋2kπ，34π＋2kπ(k∈Z)．
换元法 asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t ＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
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[集训冲关]
1.[考法一]函数y＝log2(sin x)的定义域为________．
解析：根据题意知sin x>0，得x∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)．
(2)依题意，f(x)＝sin2x＋ 3cos x－34＝－cos2x＋ 3cos x
＋14＝－cos x－ 232＋1， 因为 x∈0，π2，所以 cos x∈[0,1]，
因此当 cos x＝ 23时，f(x)max＝1.
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(3)设t＝sin x－cos x， 则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x， 即sin xcos x＝1－2 t2，且－1≤t≤ 2. ∴y＝－t22＋t＋12＝－12(t－1)2＋1. 当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1]
一次函数的图像和性质讲义-综合提高版
一次函数的图像和性质讲义-综合提高版内容指引：知识点+例题+达纲测试训练+答案 一、一次函数的图像1.正比例函数y=kx(k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （-kb，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-kb ，0）.设直线与x 的夹角为α，则tg α=|kb b|=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tg α＞,因此|k|=tg α.4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1若l2相交，则k1≠k2;若k1≠k2，则l1与l2不平行，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=k1x1+b①y2=k2x2+b2②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.【重点难点解析】例1已知一次函数y=(m+3)x+(4-n),(1)m为何值时，y随x的增大而减小；（2）n为何值时，函数的图像与y轴的交点x轴下方；（3）m、n为何值时，函数图像与y=x+2的图像平行.解：（1）当m+3＜0,即m＜-3时，y随x的增大而减小；（2）当4-n＜0,即n＞4时，函数的图像与y轴的交点在x下方；（3）当m+3=1且4-n ≠2时，即m=-2, n ≠2时，函数的图像是一条与y=x+2平行的直线.例2 当a 、b ＞0，ac ＜0，直线ax+by+c=0不通过哪个像限. 解：∵b ≠0 ∴由原函数式变形得： y=-b a x-bc ∴ab ＞0 ∴-b a＜0 又∵ac ＜0,∴-bc＞0直线ax+by+c=0不通过第三像限. 例3 直线l 1:y 1=k 1x+b 1 与y=2x 平行且通过A （3，4），直线l 2:y 2=k 2x+b 2通过B （1，3），C （-1，5），求l 1和l 2的解析式.解：∵y 1=k 1x+b 1与y=2x 平行且通过A （3，4）∴⎩⎨⎧=+=4b 3k 2k 111解这个方程组得：⎩⎨⎧==-2b 2k 11∴l 1的解析式为:y=2x-2∵y 2=k 2x+b 2通过B （1，3）和C （-1，5）两点，将两点的坐标代入解析式得：∴l 2的解析式为：y=-x+4例4 已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图像都经过P （-2，1），且一次函数在y 轴上的截距为3.（1）求这两个函数的解析式；（2）在同一坐标系中，分别画出两个函数的图像；（3）求这两个函数的图像与y 轴围成的三角形的面积.解：（1）设正比例函数和一次函数的解析式分别为y=k 1x 和 y=k 2x+b.由y=k 1x 过点（-2，1）得1=-2k 1 ∴k 1=-21由y=k 2x+b 过点（-2，1），截距为3 得：b=3 -2k 2+b=1 解得：k 2=1 b=3(2)过点O （0，0）、P （-2，1）两点画一条直线，即得函数y=-21x 的图像.经过A （0，3）和P （-2，1）画一条直线即得y=x+3的直线，如图13-21（3）直线y=x+3与y 轴交于点A （0，3）过P 作PH ⊥y 轴，则OA=3，PH=|-2|=2，而函数与y 轴所围成的三角形面积即是△APO 的面积.S △APO=21·AO ·PH =21×3×2=3例5 已知y-(m-3)与x （m 是常数）成正比例，且 x=6时，y=1；x=-4时， y=-4.(1)求y 与x 之间的函数关系式；（2）在直角坐标系中，画出这个函数的图像；（3）求出这个函数的图像与坐标轴的两个交点之间的距离.解：∵y-(m-3)与x 成正比例∴可设y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①⎩⎨⎧-=+-=+1m k 44m k 6故所求函数关系式为：y=21x-2 (2)经过A （6，1）和B （-4，-4）画直线即是函数y=21x-2的图像.如图13-22（3）当x=0时：y=21×0-2=-2 当y=0时，0=21x-2 x=4 ∴C （4，0），D （0，-2）|CD|=52242222=+=+OD OC综上所述5例可见，本节重点为：①根据直线所通过的点的条件求直线方程；②根据直线方程求作直线的图像；③根据增减性、截距求直线方程；④根据两直线的位置关系求直线方程；本节的难点是求直线围成的图形的面积.解决重难点的方法是运用待定系数法和数形结合的方法.【难题巧解点拨】例6 已知函数y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a 为常数，且满足19＜a ＜96,当自变量x 的取值范围为a ≤x ≤96时，求y 的最大值.解：∵19＜a ＜96,a ≤x ≤96∴x-a ≥0,x+19＞10,x-a-96＜0则y=x-a+x+19+a+96-x=115+x 函数y=15+x 是一次函数，其增减性表明y 随x 的增大而增大. ∴在a ≤x ≤96的x 取值范围内，当x=96时，y 取最大值，即： y max =96+115=211说明：含绝对值的函数首先要讨论绝对值的式子的正负性质，再根据绝对值定义化简，从而得到一次函数；讨论在某一自变量的取值范围内最大值或最小值要根据一次函数的性质和自变量x 范围的两端点取值来求.例7 如图13-23在平面直角坐标系中，点O ′的坐标为（0，3），⊙O ′与y 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为（0，-2）、（4，0）、（x ，0），且0＜x ＜4.（1）求点A 的坐标；（2）当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O ′有哪几种位置关系？（3）求出直线BE 与⊙O ′每种位置关系时，x 的取值范围.分析：直线与圆有三种位置关系，从直线与圆相切这种特殊情形，用运动变化的观点寻求结论成立的条件是解本题的关键.解：（1）∵O ′（0，3） ∴⊙′的半径为： OO ′=3，∴OA=2·OO ′=2×3=6，∴A （0，6）（2）∵点B 在⊙O ′外，BE 与⊙O ′有三种位置关系：相离、相切、相交； （3）当直线BE 与⊙O ′相切于D 点时，连结O ′D ，则△O ′BD 是Rt △. O ′D=3, O ′B=5,BD=4,OB=2,OE=x∵△O ′BD ∽△EBO∴BD OB D O OE =＇ 即423=x ，解得：x=23故当23＜x ＜4时，直线BE 与⊙O ′相离；当x=23时，直线BE 与⊙O ′相切.当0＜x ＜23时，直线BE 与⊙O ′相交.例8 如图13-24，某航空公司托运行李的费用与托运行李重量的关系为一直线，由图中可知行李的重量不超过多少公斤，就可以免费托运？解：设直线方程为：y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）由图可知：x=20时，y=330；x=40时，y=630;把x,y 的对应取值代入直线方程，得：解这个方程组，得：k=30,b=-570 ∴直线方程为:y=30x-570若y=0时，30x-570=0, ∴x=19答：只要行李重量不超过19公斤时，就可免费托运.【命题趋势分析】由于一次函数是最基本的函数内容，是初中重点之一，在实际中应用十分广泛，因此是中考热点考题.有关一次函数考试主要是概念、图像、性质三个基本内容和待定系数法、数形结合法两种数学方法.【典型热点考题】例9 填空题：已知直线l:y=-3x+2，现在4个命题：①点P （1，-1）在直线l 上；②若直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，则AB=1032；③若点M （31，1），N （a 、b ）都在直线l 上，且a ＞31,则b ＞1;④若点Q 到两坐标轴的距离相等，且点Q 在l 上，则点Q 在第一或第四像限.其中正确的命题是 .（注意：在横线上填上你认为正确的命题序号）（2000年厦门市中考题）分析：检验①：只需将x=1,y=-1代入函数式看是否适合，当x=1时，y=-3+2=-1,即P（1，-1）在直线y=-3x+2上，①命题正确；检验②；当y=0时，求得x=32,即A （32，0），当x=0时，y=2，即B （0，2），∴AB=10322)32(22=+，命题②正确；检验③，若M （31，1），N(a,b)都在y=-3x+2上，根据直线的性质，k=-3＜0,y 随x 的增加而减小，∴a ＞31时，应该有b ＜0,因此b ＞1错误，即命题③错误；检验④，∵Q 到两坐标轴的距离相等，设Q （m 、n ），则|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：⎩⎨⎧-==11n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2121n m 因此Q 点在第一或第四像限，命题④正确.因此，选①、②、④填空.例10 某居民小区按照分期付款的形式福利售房，政府给予一定的贴息，小明家购得一套现价为120000元的房子，购房时首期（第一年）付款30000元，从第二年起，以后每年应付房款5000元与上一年剩余欠款利息的和，设剩余欠款年利率为0.4%.（1）若第x （x ≥2）年小明家交付房款y 元，求年付款y （元）与x （年）的函数关系式；（2）将第三年，第十年应付房款填入下列表格中：（2000年大连市中考题）年份 第一年 第二年 第三年 …… 第十年 交房款（元）300005360……分析：首期付款后共余120000-30000=90000元房款，以后每年付款应为5000，与上一年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.解：（1）y=5000+[90000-5000(x-2)] ×0.4% =5400-20x （x ≥2）（2）当x=3时，y=5340，当 x=10 时，y=5200， 因此第三年应付款5340元，第十年应付款5200元. 例11 已知直线x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它们的交点在第四像限内，（1）求k 的取值范围，（2）若k 为非负整数，点A 的坐标为（2，0），点P 在直线x-2y=-k+6上，求使△PAO 为等腰三角形的点P 的坐标.（2000年西安市中考题）解：（1）依题意：解这个方程组，得：x=k+4,y=k-1 ∵两直线的交点在第四像限 ∴k+4＞0,且k-1＜0解不等式组得：-4＜k ＜1 （2）∵k 为非负整数，∴k=0 ∴直线x-2y=-k+6即为：y=x 21-3设P （a ，b ）为直线y=x 21-3上一点，作PE ⊥x 轴，垂足为E ，若使PO=PA ，则应有OE=AE ，即E （1，0）∵a=1,∴b=-25∴P 1(1,- 25) 若使PO=OA=2，则a 2+b 2=4,a 2+(21a-3)2=4,45a 2-3a+5=0, △=9-25＜0此方程无解.若使PA=OA=2，则（2-a ）2+b 2=4,(2-a)2+(21a-3)2=4, ∴45a 2-7a+9=0,a 1=2,a 2=518,当a 1=2时，b 1=-2，当a 2=518时 ,b 2=-56. ∴P 2(2,-2)或P 3（518，56）综合上所述，点P 的坐标为（1，-25），（2，-2），（518，-56）如图13-25.【同步达纲练习】（时间：45分钟，满分：100分）一、选择题（10分×6=60分）（1）一次函数y=kx+b 的图像经过点(m,-1)和点(1,m)，其中，m ＜-1,则k 和b 满足的条件是（ ）A.k ＜0,b ＜0B.k ＞0,b ＞0C.k ＜0,b ＞0D.k ＞0,b ＜0（2）若一次函数y=(1-2k)x-k （x 为自变量）的函数值y 随x 的增大而增大，且此函数的图像不经过第二像限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＜21 B.k ＞0 C.0＜k ＜21 D.k ＜0或k ＞21 （3）当mn ＜0 mp ＞0时，一次函数y=mnx p m 的图像不经过的像限是（ ） A.第一像限 B.第二像限 C.第三像限 D.第四像限（4）一次函数y=kx+b 的图像如图13-26,那么k 、b 应满足的条件是（ ） A.k ＞0,b ＞0 B.k ＞0,b ＜0 C.k ＜0,b ＞0 D.k ＜0,b ＜0 （5）已知函数y=xk的图像经过点（-1，1），则函数y=kx+3的图像是（ ）（6）直线y=kx+b 与直线 y=-x 垂直，并且经过点（-1，1），那么直线y=kx+b 的解析式为（ ）A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2 三、解答题（10分×3=30分）（7）已知一次函数y=(3-k)x+2k+1.①如果它的图像经过（-1，2）点，求k 的值；②如果它的图像经过第一、二、四像限，求k 的取值范围.（8）已知y+b 与x-1（其中b 是常数）成正比例.①证明：y 是x 的一次函数；②若这个一次函数的图像经过点（25，0），且与坐标轴在第一像限内围成的三角形的面积为425，求这个一次函数，并画出它的图像.（9）已知一次函数y=(p+3)x+(2-q).①p 为什么实数时y 随x 的增大而增大？②q 为什么实数时，函数图像与y 轴的交点在x 轴的上方；③p 、q 为什么实数时，函数的图像过原点？（10）如图13-27，在直角坐标系中，点A （x 1，-3）在第三像限，点B （x 2,-1）在第四像限，线段AB 与y 轴交于点D ，∠AOB=90°，①当x 2=1时，求图像经过A 、B 的一次函数的解析式；②当△OAB 的面积等于9时，设∠AOD=α，求sin α·cos α的值.【素质优化训练】一个水池的容积是100m 3,现存水20m 3,今要灌满水池，已知进水管的流量是每小时8m 3,写出水池的水量υ与进水时间t 之间的函数关系式，并画出图像.【生活实际应用】某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出货，可获利15%，并可用本和利再投资其它商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用200元，请问根据商场的资金状况，如何购销获利最多？【知识探究学习】求直线方程的几种方法：1.如图1，若l 与x 轴的夹角为α（0＜α＜90），直线与y 轴交于点（0，b ）,则直线l 方程即为：y=tg α·x+b2.若l 与x 的夹角为α（0＜α＜90），且经过点M （x 1,y 1），如图2，则直线l 的方程即可写为：αtg x x y y =--113.若l 经过A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）,则直线l 的方程即可写为：122122x x xx y y y y --=--11参考答案：【同步达纲练习】一、A C D D C B二、（7）k=34,k ＞3,(8)①y=kx-(k+b)(k ≠0)；②y=-2x+5;(9)①P ＞-3,②q ＜2,③p ≠3且 q=2;(10)①y=21x-32;②sin α·cos α=61 【素质优化训练】1． v=20+8t(0≤t ≤10)【生活实际应用】设商场投资x 元，在月初出售，到月末可获得y 1元，在月末出售可获利y 2元. y 1=0.265x ，y 2=0.3x-700（1） 当y 1=y 2时,x=20000（2） y 1＜y 2时，x ＞20000（3） y 1＞y 2时，x ＜2000。
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函数的图象
1．描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
2．图象变换(1)平移变换
(2)对称变换
(3)伸缩变换
(4)翻折变换
概念方法微思考
1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？
2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，求f(x)，g(x)的关系．
题组一思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．()
(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．()
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．()
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．()
题组二 教材改编
2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1
x 的图象关于( )
A ．y 轴对称
B ．x 轴对称
C ．原点对称
D ．直线y ＝x 对称
3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)
4．[P75A组T10]如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是．
题组三易错自纠
5．把函数f(x)＝ln x的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是．
6．(2018·太原调研)若关于x的方程|x|＝a－x只有一个实数解，则实数a的取值范围是．
7．设f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则ab的取值范围是．
8．下列图象是函数
y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2，x <0，x －1，x ≥0
的图象的是 ．
题型一作函数的图象
分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；
(2)y＝2x＋1－1；
(3)y＝x2－|x|－2；
(4)y ＝2x －1x －1.
题型二 函数图象的辨识
例1 (1)函数y ＝x 2ln|x |
|x |
的图象大致是( )
(2)设函数f(x)＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是()
A．y＝f(|x|) B．y＝－|f(x)|
C．y＝－f(－|x|) D．y＝f(－|x|)
跟踪训练1 (1)函数
f (x )＝1＋lo
g 2x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12x
在同一直角坐标系下的图象大致是( )
(2)(2018·汉中模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫21＋e x －1·sin x 的图象的大致形状为( )
题型三函数图象的应用
命题点1研究函数的性质
例2 (1)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是() A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
(2)已知函数f(x)＝|log3x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则n
m＝ .
命题点2解不等式
例 3 函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式
f(x)
cos x<0的解集
为．
命题点3 求参数的取值范围
例4 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
12
log x ，x >0，
2x
，x ≤0，
若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围
是 ．
(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是．
跟踪训练2 (1)(2018·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)()
A．有最小值－1，最大值1
B．有最大值1，无最小值
C．有最小值－1，无最大值
D．有最大值－1，无最小值
(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是．
高考中的函数图象及应用问题
一、函数的图象和解析式问题
例1 (1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP ＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()
(2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝ln|x |
x
B ．f (x )＝e x
x
C ．f (x )＝1
x 2－1
D ．f (x )＝x －1
x
(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －x
x
2的图象大致为( )
二、函数图象的变换问题
例2 已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()
三、函数图象的应用 例3 (1)已知函数
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x |，x ≤m ，x 2
－2mx ＋4m ，x >m ，
其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同
的根，则m 的取值范围是 ．
(2)不等式3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫π2x －12
log x <0
的整数解的个数为 ．
(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx ，0≤x ≤1，log 2 020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是 ．。